自主招生立体几何

专题六 立体几何1、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，BC AC ⊥，2BC AC ==，13AA =，D 为棱AC 的中点．⑴ 证明1AB ∥平面1BDC ；⑵ 求直线1AB 与平面11BCC B 所成角的正切值．C 1B 1A 1D CB EBCD A 1B 1C 1答案:⑴（本小问6分）连接1B C ，交1BC 于点E ，则E 为1B C 中点．连接DE ，由于D 为棱AC 的中点，所以在1ACB △中，1AB DE ∥，又因为DE ⊂平面1BDC ，而且1AB ⊄平面1BDC ，所以1AB ∥平面1BDC ． ⑵（本小问7分）因为1AA ⊥底面ABC ，11CC AA ∥，所以1CC ⊥底面ABC ，故1CC AC ⊥．又因BC AC ⊥，于是AC ⊥平面11BCC B ，所以1AB C ∠是直线1AB 与平面11BCC B 所成的角． 1Rt ACB △中，2AC =，1B C于是，11tan AC AB C B C ∠===． 所以，直线1AB 与平面11BCC B2、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AD BC ∥，AB BC ⊥，侧面PAB ⊥底面ABCD ，1PA AD AB ===，2BC =。

（Ⅰ）证明：平面PBC ⊥平面PDC ；（Ⅱ）若o 120PAB ∠=，求二面角B PD C --的正切值。

解答：（Ⅰ）由于平面PAB ⊥底面ABCD ， 且平面PAB 平面ABCD AB =，BC AB ⊥，BC ⊥平面ABP ，BC ⊂平面BCP ，所以平面PBC ⊥平面PDC .（Ⅱ）由120,1PAB AP AB AB ∠=︒==⇒由（Ⅰ）知BC ⊥平面ABP BC PB ⇒⊥，且2BC PC =⇒DCBAP由于平面PAB ⊥底面ABCD ,且平面PAB 平面ABCD AB =，AD AB ⊥且AD AB ⊥， 故AD ⊥平面PAB ，从而AD AP ⊥， 再由1AD AP ==知PD =，易见CD BD =. 设二面角B PD C --的平面角的大小为θ，则由空间余弦定理知cos cos cos cos sin sin BDC PDB PDCPDB PDCθ∠-∠⋅∠=∠⋅∠:易求得13cos 0,cos ,cos ,sin 44BDC PDB PDC PDB PDC ∠=∠=∠=-∠=∠，故cos tan θθθ===，即所求的二面角B PD C --3、在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为棱AA 1的中点，F 是棱A 1B 1上的点，且A 1F ：FB 1=1：3，则异面直线EF 与BC 1所成角的正弦值为( B ) (A(B(C(D4、在三棱锥ABC —A 1B 1C 1中，底面边长与侧棱长均等于2，且E 为CC 1的中点，则点C 1到平面AB 1E 的距离为 ( D ) (A(B(C(D5、圆心角为60 的扇形面积为6π,求它围成的圆锥的表面积. 【解】设扇形的半径为r ,则由21623r ππ=⨯,得6r =. 于是扇形的弧长为623l ππ=⨯=,其即为圆锥的底面周长,于是圆锥的底面半径为1,所以底面面积为21ππ⨯=,也所以圆锥的表面积为67S πππ=+=.6、正四棱锥S ABCD -中，侧棱与底面所成角为α，侧面与底面所成二面角为β，侧棱SB 与底面正方形ABCD 的对角线AC 所成角为γ，相邻两侧面所成二面角为θ， 则,,,αβγθ之间的大小关系是（B ）(A)αβθγ<<< (B) αβγθ<<< (C) αγβθ<<< (D) βαγθ<<< 解：设正四棱锥的高是,h a 底面边长为可求cos ,cos =,cos =0,22a h h αβγ因为0,22ah h>>所以2παβγ<<≤，下面求cos θ，过B 作BM SC ⊥于M ，连接DM ，由对称性，可知DM SC ⊥，所以DMB ∠为二面角B SC D --的平面角，可以计算出ABDP22222212()2cos 102()4a h a a h a θ+=-<+，所以θ为钝角.选B. 7、已知三棱锥S ABC -的底面ABC 为正三角形，点A 在侧面SBC 上的射影H 是ABC的垂心，二面角H AB C --为30°，且2SA =，则此三棱锥的体积为（ ） (A)12(B)(C) (D) 34 解：连接BH 交SC 于M ，因此BM SC ⊥，又A H S C ⊥，因此SC ⊥ 平面ABM ，所以SCAB ，过M 作MN ⊥AB ，连接CM ，因此AB 平面SCN ，从而AB ⊥CN ，三角形ABC 为等边三角形，因此N 为AB 的中点，又SN ⊥AB ，由三角形SAN 和三角形SAN 和三角形SBN 全等，可以得到SA=SB ，类似的做法可以证明2SA SB SC ===，S 在地面射影为三角形ABC 中心。

高三自主招生知识点汇总高三学生在备战自主招生考试时，需要掌握一些关键的知识点，以便在考试中取得更好的成绩。

下面是针对高三自主招生考试的知识点进行的详细汇总。

1. 数学知识点在数学科目中，以下是一些重要的知识点需要掌握：(1) 高等代数：矩阵、行列式、向量和线性方程组等内容；(2) 函数与导数：函数的性质、导数的计算和应用；(3) 三角函数：三角函数的性质、三角恒等式和反三角函数；(4) 立体几何：空间中的几何体和相关计算；(5) 数列与数学归纳法：等差数列、等比数列等的性质和计算。

2. 物理知识点在物理科目中，以下是一些重要的知识点需要掌握：(1) 运动学：位移、速度、加速度等的计算和相关概念；(2) 力学：牛顿三定律、摩擦力、弹力等的应用；(3) 电学：电流、电压、电阻的计算和基本电路的分析；(4) 光学：光的反射、折射、色散等的原理和相关计算；(5) 热学：温度、热量、热传导等的基本概念和计算。

3. 化学知识点在化学科目中，以下是一些重要的知识点需要掌握：(1) 元素周期表：元素的周期性和元素的性质；(2) 化学键：共价键、离子键和金属键的形成和性质；(3) 反应方程式：化学反应的平衡和化学方程式的写法；(4) 酸碱中和反应：酸碱反应的原理和相关计算；(5) 化学反应速率：反应速率的影响因素和计算方法。

4. 生物知识点在生物科目中，以下是一些重要的知识点需要掌握：(1) 细胞生物学：细胞的结构、功能和相关实验；(2) 遗传学：基因的结构、遗传规律和基因工程的原理；(3) 植物与动物的生殖：植物和动物的生殖方式和生殖器官；(4) 生态学：生态系统的结构、能量流动和物种适应性；(5) 免疫学：免疫系统的功能、疫苗和抗生素的原理。

5. 英语知识点在英语科目中，以下是一些重要的知识点需要掌握：(1) 词汇与拼写：常见单词的拼写和词义；(2) 语法：动词时态、句型转换和从句的使用；(3) 阅读理解：阅读文章后的问题回答和推理判断；(4) 写作技巧：写作的结构、表达方式和常见写作题材；(5) 听力技巧：听取录音材料后的问题回答和填空。

第5讲 竞赛和“三一”专题资料——立体几何中与球有关问题 编写林国夫班级___________姓名____________学号__________一.多面体与球的问题（1）多面体内接于球：若球O 是多面体 的外接球，则球O 的球心O 在多面体 的各个表面上的射影为该表面多边形的外心.根据这个性质我们可以确定球心的位置，结合截面法求解相应的量.（2）多面体的内切球：若球O 内切多面体 ，则球O 的球心到多面体 各个表面的距离均为球半径.根据这个性质，结合等体积法求解内切球的半径.（3）球O 被平面 相截，所得的截面为圆截面，设截面圆的圆心为1O ，则1OO 平面 . （4）若多面体是通过长方体或正方体切割所得，则求其外接球的半径可以等价转化为求长方体或正方体的外接球半径.例1（1）如图，一个四面体棱长分别为6,6,6,6,6,9， 则其外接球的半径为______________.（2）如图，已知空间一球，SC 为其直径且||4,,SC A B =为球上两点，满足：||30AB ASC BSC ︒=∠=∠=，则四面体S ABC -的体积为___________.AP（3）在四面体ABCD 中,1AD DB AC CB ====，则四面体ABCD 体积最大时，它的外接球半径R =.（4）（2018·浙江预赛）在四面体PABC 中，PA BC PB AC PC AB ======,则该四面体外接球的半径为_________.B例2 （有关几何体中球的内切问题）(1)四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是正方形,边长为,,a PD a PA PC ===,在这个四棱锥中放入一个球,则球的最大半径为(2)在边长为1的正方体C 内作一个内切大球1O ，再在C 内作一个小球2O ，使它与大球1O 外切，同时与正方体的三个面都相切，则球2O 的表面积为___________.(3)在正三棱锥P ABC 中，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，正三棱锥的三个侧面都和半球相切. 如果半球的半径等于1，则正三棱锥的体积最小时，正三棱锥的高等于 _______________.(4)设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半径为r 的一个实心球，此时球与容器壁及水面恰好都相切，则取出球后水面高为_______________二.有关球与球的组合体（抓住球心构建的多面体）例3（1）若4个半径为1的球两两外切，则这4个球的外切正四面体的棱长为__________（2）桌面上有3个半径为2017的球两两相切，在其上方空隙里放入一个球，使其顶点（最高点）与3个球的顶点（最高点）在同一平面内，则该球的半径是___________.（3）若半径为R 的球的内部装有4个相同半径为r 的小球,则小球半径r 的最大可能值是________.（4）将3个半径为1的球和一个半径为1-的球叠为两层放在桌面上，上层只放一个较小的球，四个球两两相切，那么上层小球的最高点到桌面的距离是___________.O2第5讲 竞赛和“三一”专题资料——立体几何中与球有关问题（练习） 编写林国夫班级___________姓名____________学号__________一.多面体与球的问题相关练习1.外接球的半径为1的正四面体的棱长为________________2.直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===，120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 .3.在四面体ABCD 中，AB BCD ⊥平面，BCD △是边长为3的等边三角形。

自主招生数学考典自主招生数学考试知识大纲：一、代数：1、代数方程：包括一元一次方程、一元二次方程、不定方程、分段函数、切线、函数概念及性质、指数函数、根号函数以及椭圆型函数等。

2、向量：二维空间的向量的加减、数乘以及其性质。

3、直线和圆：直线、圆的方程式及性质。

二、数学分析：1、微分：高阶导数、泰勒公式、逐阶展开、级数的概念及多项式的两个重要性质等。

2、积分：定积分和不定积分，复合函数的导数及积分、置换积分等。

3、极限：极限的概念及表示形式、极限的基本性质及求极限法则等。

三、几何：1、平面向量：平面两点的距离、向量的基本性质以及点的距离、夹角及其三角函数的概念。

2、直三角形：全等三角形、直角三角形及其面积、勾股定理、反三角函数等。

3、立体几何：立体几何空间的性质及梯形、圆柱、圆锥、球等曲面的表面积和体积等。

四、统计数学：1、分类数据分析：率、平均数、比例、比值、选举算法等。

2、可靠性测试：均值偏差法、贝叶斯法、拉普拉斯公式等。

3、随机变量：均值和方差的概念、正态分布等。

自主招生数学考试是一门重要的考试，学生在备考过程中，要把握这些知识考点，将基础知识融汇贯通，运用解答问题的知识以及合理的方法解决实际的问题。

代数部分是自主招生数学考试的重点之一，对于需要理解的方程，向量，以及直线和圆这几个方面，学生要正确掌握其基本性质，特别是在一元一次方程，二次方程以及不定方程求解上要掌握其解答方法。

而数学分析部分也是自主招生数学考试的重点，如微分，积分及极限，要求学生对函数概念，导数等知识有个大致的了解，譬如，学生要熟悉变量的基本性质，由其求出原函数的值，并熟悉多项式的求和与求积法。

几何部分涉及平面向量，直三角形及立体几何，学生需要正确理解和计算两点距离、向量乘减等关系，充分利用勾股定理，熟悉三角函数，掌握多边形面积以及曲面表面积和体积的计算方法。

统计数学部分涉及分类数据的分析，可靠性测试以及随机变量，学生要掌握平均数、比例、比值等考点，熟悉均值偏差法、贝叶斯法以及正态分布位置，正确理解拉普拉斯公式的应用。

2023深圳中学自主招考几何题目随着教育改革的不断深入，越来越多的中学开始采取自主招生的方式，而深圳中学作为一所知名的中学也不例外。

每年的自主招考都备受关注，其中数学科目的几何题目更是备受学生和家长们的关注。

在2023年的深圳中学自主招考中，几何题目将会是怎样的呢？下面我们就来分析一下。

一、题目类型在2023年的深圳中学自主招考中，几何题目可以分为基础题和拓展题两种类型。

基础题主要涉及到几何图形的性质、判定和计算，如平行线性质、三角形全等判定等；而拓展题则会涉及到一些几何定理的证明和应用，如圆的性质证明、相似三角形的应用等。

二、题目难度在题目难度上，2023年的深圳中学自主招考几何题目将会有一定的难度，既考察了学生对几何知识的掌握，又考察了学生对几何证明和推理能力的运用。

基础题将会有一些综合性较强的计算题目，需要学生熟练掌握相关公式和定理；而拓展题则会要求学生具有一定的逻辑思维能力，需要通过一些几何证明来解决问题。

三、解题技巧针对2023年的深圳中学自主招考几何题目，学生在备考时可以注意以下几点解题技巧：1. 熟练掌握几何基本定理和性质：在备考过程中，要花时间巩固几何基本定理和性质，这样才能在考试中游刃有余地解决基础题目。

2. 多做几何题目：通过多做几何题目来提高解题速度和准确度，加强对各种几何题型的应对能力。

3. 注重几何证明的训练：针对拓展题目中的几何证明，要多进行相关训练，提高自己的推理能力和逻辑思维能力。

四、总结2023年的深圳中学自主招考几何题目将会是一个考察学生数学综合能力的重要环节。

学生在备考时要注重对几何知识的掌握和运用，同时要注重对几何证明和推理能力的训练。

只有全面提升自己的数学能力，才能更好地应对未来的考试。

希望学生们在备考中能够取得优异的成绩，实现自己的理想。

家长和学生们急切地期待2023年深圳中学的自主招生考试。

对于数学考生来说，几何题目往往是备受关注的焦点。

在备考阶段，家长和学生都希望了解更多关于几何题目的内容和要求，以便有针对性地进行复习和提高。

PBB洞口一中2011届高三自主招生数学讲义第五讲 平面几何、立体几何与解析几何洞口一中数学组 肖丹枫平面几何是数学的基本内容，它以严密的逻辑结构，灵活的证题方法，在发展学生的逻辑思维能力和空间想象能力方面起着特殊的作用，因此，平面几何在各校自主招生考试中占有一定的地位。

立体几何是高中数学的重要内容，在自主招生中，客观题和大题都有体现主要考查空间想象能力、逻辑推理能力。

体现空间问题平面化的化归思想。

解析几何是高中数学内容的一个重要组成部分。

在具体解题时，要注意结合图形，观察图形的几何特征并灵活运用待定系数法，设而不求等常用方法。

I ．知识梳理与补充一、平面几何中的几个重要定理 1．梅涅劳斯（Menelaus ）定理如图1，设P ，Q ，R 分别是ABC ∆的边BC ，CA ，AB 所在直线上的三点，则P ，Q ，R 三点共线的充要条件是1BP CQ AR PC QA RB⋅⋅=。

图1 图22．塞瓦（Ceva ）定理如图2，设P ，Q ，R 分别是ABC ∆的边BC ，CA ，AB 边上的三点，则AP ，BQ ，CR 相交于一点M 的充要条件是1BP CQ AR PC QA RB⋅⋅=。

说明：定理中的三个比值分别是P ，Q ，R 分BC ，CA ，AB 所成的比，因此三个比值中最多有两个为负，即P ，Q ，R 中如有外分点，则必有两点是外分点。

3．托勒密（Ptolemaeus ）定理如图3，圆内接四边形ABCD 两组对边之积的和等于两条对角线之积，即：AB CD BC DA AC BD ⋅+⋅=⋅。

说明：对于任意凸四边形ABCD ，必有AB CD BC DA AC BD ⋅+⋅≥⋅，当且仅当A ，B ，C ，D 四点共圆时取等号。

图3 图44．西姆松（Simson ）定理如图4，从ABC ∆的外接圆上任意一点P 向BC ，CA ，AB 或它们的延长线引垂线，垂足分别是D ，E ，F 共线，则D ，E ，F 三点共线。

第一讲：立体几何第一部分：立体几何中的一些结论1、如图1，分别在两条异面直线上的两点间的距离公式：l =θ为两条异面直线所成的角．2、如图2，PA 与平面π所成的角是PAO α=∠，AQ ⊆面π，QAO β=∠，QAP θ=∠，则得三线角定理：cos cos cos θαβ=．3、如图3，在二面角12l ππ--中，射线DA 、DB 分别在平面1π、2π内，已知ABD θ∠=，ADC α∠=，BDC β∠=，且θ、α、β都是锐角，ϕ是二面角12l ππ--的平面角，则cos cos cos cos sin sin θαβϕαβ-=．4、如图4，二面角12l ππ--的大小为ϕ，A ∈面1π，B ∈面2π，AB 与面1π和面2π所成的角分别为α、β，点A 、B 到棱l 的距离分别为b 、a ，AB c =，则sin sin sin a b cαβϕ==． 5、欧拉定理：设V 、E 和F 分别表示凸多面体的顶点、棱（或边）、面的个数，则2V E F -+=． 6、类比平面几何中的三角形，可以得到空间四面体的一些性质：（1）四面体的六条棱的垂直平分面交于一点，这一点叫四面体的外接球球心；A BM Ndlm n ABM Ndl m n图1PAQO图2lBA D1π2π图3ClBAD1π 2π图4Cr 、S 分别表示四面体的体积、内切球半径、表面积，则13V rS =；（3）四面体的四个面的重心与相对顶点的连线交于一点，这一点叫四面体的重心，四面体的四个面的重心与相对顶点的连线段被四面体的重心分为3:1；（4）每个四面体都有外接球和内切球；7、直角四面体：有一个三面角的三个面角均为直角的四面体称为直角四面体，以长方体的共顶点的三条棱的端点为顶点的四面体是直角四面体．对于直角四面体A BCD -，若直三面角的顶点为A ，互相垂直的三条棱长为a 、b 、c ，外接球半径为R ，内切球半径为r ，则有如下结论：（1）空间勾股定理：22222222221()4ABC ACD ABD BCD S S S S a b b c a c ∆∆∆∆++==++； （2）ABC ACD ABD BCD S S S S r a b c ∆∆∆∆++-=++；（3）R =；（4）直角四面体的对棱中点的连线长相等，且等于外接球半径；8、等腰四面体：三组对棱都相等的四面体统称为等腰四面体，以长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体，正四面体是特殊的等腰四面体（犹如平几中等腰三角形与等边三角形的关系）；在等腰四面体ABCD 中，记BC AD a ==，AC BD b ==，AB CD c ==，体积为V ，外接球半径为R ，内切球半径为r ，高为h ，则有：（1）V 22222a b c k ++=；（2）R =（3）4h r =；（4）等腰四面体的四个顶点与对面重心的连线段的长相等，且可表示为m =AB DC OM 图5 ADBC图6第二部分：例题讲解【例1】（“卓越联盟”2012自招）在直角梯形ABCD 中，90ABC ∠=，1AB AD AP ===,2BC =，面ABP ⊥面A B C D． （1）求证：面PAB ⊥面PBC ；（2）若0120PAB ∠=，求二面角B PD C --的正切值．【例2】（清华2008自招）（1）一个四面体，证明：至少存在一个顶点，从其出发的三条棱可以组成一个三角形；（2）四面体的一个顶点的三个面角分别为090、060、arctan 2，求060的面和arctan 2的面所成的二面角的大小．【例3】（同济2010自招）四面体ABCD 中，AB 和CD 为对棱，设AB a =，CD b =，且异面直线AB 与CD 间的距离为d ，夹角为θ．（1）若2πθ=，且棱AB 垂直与平面BCD ，求四面体ABCD 的体积； （2）当2πθ=时，证明：四面体ABCD 的体积为定值；（3）求四面体ABCD 的体积． PAB C DAB C D ACBNO【例4】（清华2009自招）四面体ABCD 中，AB CD =，AC BD =，AD BC =． （1）求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形；（2）设底面为BCD ，另外三个面与面BCD 所成的二面角为α、β、γ，求证：cos cos cos 1αβγ++=．【例5】（复旦2009自招）半径为R 的球内部装4个半径相同的小球，则小球半径r 的最大值为 ．【例6】（1）（武大2006自招）已知一个简单多面体的每一个面均为五边形且它共有30条棱，则多面体的面数F 和顶点数V 分别是 ．（2）一个凸多面体各面的内角和为20π，求它的面数、棱数和顶点数．【例7】（五校联考2010）如图，四棱锥P ABCD -中，1B 、1D 分别为PB 、PD 的中点，求两个棱锥11A B CD -、P ABCD -的体积之比11A B CD P ABCDV V --的值．（提示：本题可用这样一个结论：如图，1A 、1B 、1C 分别是OA 、OB 、OC 上（或其延长线）的点，则111111O A B C O ABCV OA OB OC V OA OB OC--=） ADBCABCDP1B1D【例8】（五校联考2010）（1）一个正三棱锥的体积为3，求它的表面积的最小值； （2）一个正n 棱锥的体积为V （定值），求一个与n 无关的充要条件，使得正n 棱锥的表面积取得最小值．【例9】（复旦2001基地）全面积为定值2a π（0a >）的圆锥中，体积的最大值为 ．第三部分：练习题1、（五校联考2010）平面α∥平面β，直线m α⊆，n β⊆，A m ∈，B n ∈，AB 与平面α所成角为4π，AB n ⊥，AB 与m 的夹角为3π，则m 与n 所成的角为 ．2、直线l ⊆面α，经过面α外一点A 作与直线l 、面α都成030的直线有且只有 条． 3、（华约2011自招）两条异面直线a 、b 所成角为060，点P 为空间一定点，则过点P 且与直线a 、b 所成的角都是045的直线有且只有 条．4、已知二面角l αβ--的大小为050，P 为空间一定点，则过点P 且与面α、面β所成的角都是025αβmn AB5、直线a 与平面α所成的角为030，P 为空间一定点，过P 作与直线a 、面α都成045角的直线有且只有 条．6、过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线l ，使l 与棱AB 、AD 、1AA 所成的角都相等，这样的直线有 条．7、（复旦2008自招）空间中，与三条两两异面的直线都相交的直线有 条．8、已有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点相连能焊接成一个三棱锥的铁架，则a 的范围是 ．9、一个空间四面体有5条棱长均为2，则该四面体的体积的取值范围为 ． 10、在正三棱锥P ABC -中，M 为ABC ∆内（含边界）一动点，若点M 到三个侧面PAB 、面PBC 、面PCA 的距离成等差数列，则点M 的轨迹是 ．11、在直三棱柱111ABC A B C -中，底面为直角三角形，090ACB ∠=，6AC =，1BC CC ==，点P 是1BC 上一动点，则1A P PC +的最小值为 ．12、一个四棱锥和三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面是正方形，且底面边长和侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长和侧棱长也相等，设四棱锥、三棱锥、棱柱的高分别为1h 、2h 、h ，则12::h h h = ．13、在三棱锥O ABC -中，三条棱OA 、OB 、OC 两两垂直，且OA OB OC >>，分别过三条棱作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为1S 、2S 、3S ，则1S 、2S 、3S 的大小关系为 ．14、在三棱锥P ABC -中，2PA BC ==，3PB AC ==，4PC AB ==，则此三棱锥外接球的表面积为 ．15、在正三棱锥P ABC -中，E 、F 分别是PA 、AB 的中点，若090CEF ∠=，AB =，则此三棱锥的外接球球心到底面ABC 的距离是 ．若M ∈面ABC ，且点M 到面PAB 、面PBC 、面PAC 的距离分别为1、2、3，则PM = ．16、（华南理工2009自招）已知A 、B 、C 、D 四点是某球面上不共面的四点，且AB BC AD ===2BD AC ==，BC AD ⊥，则此球的表面积为 ．17、半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，且2AB CD ==，则四面体ABCD 的体积的最大值为 ．18、（复旦2008自招）在三棱柱111ABC A B C -中，M 、N 分别是1BB 和11B C 的中点，由A 、M 、N 所确定的平面将该三棱柱分割成的体积不等的两部分，则小部分的体积和大部分的体积之比为 ． 19、（南大2009自招）四面体ABCD 中，平面π截四面体所得的截面为EFGH ，且AB ∥面π，CD ∥面π，AB 到平面π的距离为1d ，CD 到平面π的距离为2d ，1d k d =．则空间几何体ABEFGH 与四面体ABCD 的体积之比 ．（用k 表示）20、（华南理工2009自招）在正三棱锥P ABC -中，侧棱长为3，底面边长为2，E 为BC 的中点，EF ⊥PA 于F ．（1）求证：EF 为异面直线PA 与BC 的公垂线；（2）求异面直线PA 与BC 间的距离； （3）求点B 到面PAC 的距离． 21、（华约2011）在正四棱锥P ABCD -中，M 、N 分别为PA 、PB 的中点，且侧面与底面所成，则异面直线DM 与AN 所成角的余弦值为 ．22、（卓越联盟2011）在三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长均为2，且E 为1CC 的中点，则点1C 到平面1AB E 的距离为 ．23、（复旦2012）侧面积为定值a 的圆锥的最大体积的二次幂为 ．24、（2011年全国高中数学联赛）在四面体ABC D 中，3A DB B DC CD A π∠=∠=∠=，3AD BD ==，2CD =，则外接球的半径是 ．。

2023年深圳中学自主招考几何题目研究与解析目录 1. 前言 2. 深圳中学自主招考概况 3. 2023年自主招考题目分析 3.1 第一道题目 3.2 第二道题目 3.3 第三道题目 4. 解题思路与方法 5. 个人观点与总结1. 前言在21世纪的今天，教育越来越受到重视，高中教育更是备受关注。

而深圳中学自主招考作为高中教育中的一部分，其数学题目一直备受关注。

在2023年，深圳中学的自主招考数学题目将再次受到广泛关注，特别是其中的几何题目。

本文将针对2023年深圳中学自主招考的几何题目展开深入研究与解析，以期帮助广大考生更好备战考试。

2. 深圳中学自主招考概况深圳中学自主招考是深圳中学招生办公室定期举行的一项重要招生考试，旨在选拔优秀学生进入该校学习。

自主招考的数学部分一直以考查学生的逻辑思维能力和数学解决问题的能力而著称。

其中几何题目作为数学的重要组成部分，也一直是考生们需要认真准备的部分。

接下来我们将针对2023年的自主招考几何题目展开具体分析。

3. 2023年自主招考题目分析3.1 第一道题目题目内容：一张长方形纸的长是宽的3倍，若将它剪成一个正方形和一个长方形，这个长方形的面积是48平方厘米，求剪掉的长方形的周长。

解析：这道题目考查了考生对长方形和正方形的边长关系的理解，以及对周长和面积的计算能力，考生可以通过列方程的方式来解决。

3.2 第二道题目题目内容：已知正方形ABCD的边长为10cm，P、Q、R分别是AB、BC、CD上的点，且AP=CR=6cm，BP=5cm，连接PR，求三角形PQR的周长。

解析：这道题目考察了几何图形的性质和周长的计算能力，学生需要掌握正方形和三角形的性质，并能够灵活运用相关知识进行解题。

3.3 第三道题目题目内容：如图，在三棱锥ABCD-A1B1C1中，AB＝4cm，AB∥A1B1，AA1＝6cm，AA1⊥ABC， A1B1＝3cm，求证：BCB1A1是平行四边形。

单招立体几何真题答案解析立体几何一直是单招考试的难点之一，考查了同学们对三维图形的理解和应用能力。

下面我们就针对几道立体几何的真题进行解析，帮助同学们更好地掌握这一知识点。

1. 题目：已知长方体的棱长分别为a、b、c，若长方体的体积是(a+b+c)的平方，则它的表面积是多少？解析：首先我们可以知道长方体的体积V等于相邻棱长的乘积。

根据题目的条件可得：abc = (a+b+c)^2化简后得：ab+bc+ca+2ab+2bc+2ac=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac整理后得：a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca这个等式是我们解题的关键，同时也是立方体两个对角线的平方和等于其三个相邻棱长的和的平方的一个重要结论。

使用这个结论，我们可以得到立方体的表面积和体积：表面积S=a^2+b^2+c^2体积V=abc所以，这道题的表面积就等于a^2+b^2+c^2。

2. 题目：一个正三角形的边长为a，它的面心距是多少？解析：这道题目考察了同学们对面心距的理解和计算能力。

我们知道，在一个正三角形的面上，有一个垂直于面的线段连接面心和面外一点，这个线段就是面心距。

我们可以将问题转化为求垂线的长度。

根据勾股定理，可以得到垂线的长度：垂线长^2 = 边长^2 - (边长/2)^2= 3a^2/4所以，面心距就是根号下3/4倍边长。

3. 题目：在一个正方体ABCDA1B1C1D1中，M是底面ABCD的中心，S是侧面A1BM的中点，连接MS并延长交对角线BB1的延长线于点O，试问OM与面A1B1C1D1的平面的夹角是多少？解析：这道题目考查了同学们对于空间几何图形的理解和运用能力。

我们可以先利用点和平面的定义求出线段OM的延长线与平面A1B1C1D1的交点N。

然后，我们可以通过分析几何图形发现，立方体的中心O连接对角线BB1的延长线，可以将平面A1B1C1D1分为与BB1垂直的两个等腰直角三角形和一个正三角形，其中角度最小的等腰直角三角形对应OM与平面A1B1C1D1的平面的夹角。