2011走向高考,贾凤山,高中总复习,化学,7-3_78

阶段性测试题十一(计数原理与随机变量(理))本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。

)1.⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 6展开式中的常数项是 ( ) A ．15 B ．20C ．1D ．6[答案] A[解析] T k ＋1＝C k 6(x 2)6－k ·(1x)k ＝C k 6x 12－3k 令12－3k ＝0得k ＝4.则常数项C 46＝15.2．将1,2,3，…，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为 ( ) A.156 B.1280C.556D.1420[答案] A[解析] 基本事件总数C 39·C 36·C 33A 33＝280. 每组三个数都成等差数列的有(1)(1,2,3)，(4,5,6)，(7,8,9)(2)(1,2,3，)，(4,6,8)，(5,7,9)(3)(1,3,5)，(2,4,6)，(7,8,8)(4)(1,4,7)，(2,5,8)，(3,6,9)(5)(1,5,9)，(2,3,4)，(6,7,8)1为第一组首项时，只有公差1,2,3,4，四种情形，∴所求概率P ＝5280＝156. 3．已知随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，P (ξ≤4)＝0.84，则P (ξ<－2)等于 ( )A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ．0.84[答案] A[解析] P (ξ<－2)＝P (ξ>4)＝1－P (ξ≤4)＝1－0.84＝0.16.4．若ξ是离散型随机变量，P (ξ＝x 1)＝23，P (ξ＝x 2)＝13且x 1<x 2，又已知E (ξ)＝43，D (ξ)＝29，则x 1＋x 2的值为 ( )A.53B.73C ．3 D.113[答案] C[解析] 由期望和方差的计算公式得⎩⎨⎧x 1·23＋x 2·13＝43，⎝⎛⎭⎫x 1－432·23＋⎝⎛⎭⎫x 2－432×13＝29， 即⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＋x 2＝4， ①2⎝⎛⎭⎫x 1－432＋⎝⎛⎭⎫x 2－432＝23， ②由①得x 2＝4－2x 1，代入②得，6⎝⎛⎭⎫x 1－432＝23， 又x 1<x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝1x 2＝2，∴x 1＋x 2＝3. 5．已知两个实数集A ＝{a 1，a 2，…，a 60}与B ＝{b 1，b 2，…，b 25}，若从A 到B 的映射f 使得B 中的每一个元素都有原象，且f (a 1)≥f (a 2)≥…≥f (a 60)，则这样的映射共有 ( )A ．C 2459B ．C 2460 C ．C 2560D ．C 2559[答案] A[解析] 将a 1，a 2，a 3，…，a 60依序号排成一列，在形成的59个空档中任取24个插板隔开，得到25个部分，依次对应B 中从大到小的各一个元素，共有不同方法C 2459种．6．已知直线x a ＋y b＝1(a 、b 是非零常数)与圆x 2＋y 2＝100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有 ( )A ．60条B ．66条C ．72条D ．78条[答案] A[解析] 在第一象限内圆x 2＋y 2＝100上的整数点只有(6,8)，(8,6)，而点(±10,0)，(0，±10)在圆上，∴圆x 2＋y 2＝100上横、纵坐标均为整数的点共有12个．过这12个点的圆x 2＋y 2＝100的切线有12条，割线有C 212＝66条，共78条．其中垂直于坐标轴的有14条，过原点与坐标轴不垂直的有4条，∴共有78－18＝60条．7．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n }：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1 第n 次摸取红球1 第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为 ( ) A ．C 57⎝⎛⎭⎫132·⎝⎛⎭⎫235 B ．C 27⎝⎛⎭⎫232·⎝⎛⎭⎫135 C ．C 57⎝⎛⎭⎫132·⎝⎛⎭⎫135 D ．C 37⎝⎛⎭⎫132·⎝⎛⎭⎫235 [答案] B[解析] 有放回地每次摸取一个球，摸到红球的概率为23，摸到白球的概率为13，这是一个独立重复试验．S 7＝3，说明共摸7次，摸到白球比摸到红球多3次，即摸到白球5次，摸到红球2次，所以S 7＝3的概率为C 27⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫135.8．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧，其中a 、b 、c ∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝“|a －b |的取值”，则ξ的数学期望E (ξ)为 ( )A.89B.35C.25D.13[答案] A[解析] ∵对称轴在y 轴左侧，∴－b 2a<0，∴ab >0，即a 与b 同号， ∴满足条件的抛物线有2C 13C 13C 17＝126条．ξ的取值为0、1、2，P (ξ＝0)＝6×7126＝13，P (ξ＝1)＝8×7126＝49，P (ξ＝2)＝4×7126＝29. ∴E (ξ)＝13×0＋49×1＋29×2＝89. 9．一工人负责n 台机器，每台机器是否需要料理是相互独立的，若每台机器一天中需要料理的可能性都是P ，则该工人一天中平均料理机器的台数为 ( )A ．nB ．nPC ．nP (1－P )D ．P (1－P )[答案] B[解析] 这是成功概率为P 的n 次独立重复试验，期望为nP .10．某产品的正品率为910，次品率为110，现对这批产品进行抽检，设第ξ次首次测到正品，则P (ξ＝4)＝ ( )A ．C 14⎝⎛⎭⎫910·⎝⎛⎭⎫1103B ．C 34⎝⎛⎭⎫9103·110C.⎝⎛⎭⎫1103·910D.110·⎝⎛⎭⎫9103 [答案] C[解析] ξ＝4即前三次都是次品，第四次抽到正品，故概率P (ξ＝4)＝⎝⎛⎭⎫1103·910. 11．设随机变量ξ～B (10，p )，若E (ξ)＝4，则P (ξ＝2)等于 ( )A ．C 210p 2B ．C 210×0.42×0.68C ．C 110×0.4×0.69D ．C 210×0.48×0.62[答案] B[解析] E (ξ)＝10p ＝4，∴p ＝0.4，∴P (ξ＝2)＝C 210×0.42×0.68.12．一篮球运动员投篮得分ξ的分布列如表且abc ≠0)，则ab 的最大值为 ( ) A.148 B.124C.112D.16[答案] B [解析] 由已知3a ＋2b ＋0×c ＝1，即3a ＋2b ＝1，∴ab ＝16·3a ·2b ≤16⎝⎛⎭⎫3a ＋2b 22＝16·⎝⎛⎭⎫122＝124， 当且仅当3a ＝2b ＝12，即a ＝16，b ＝14时取等号．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．设随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，记Φ(x )＝P (ξ<x )，给出下列结论：①Φ(0)＝0.5；②Φ(1)＝1－Φ(－1)；③Φ(|ξ|<3)＝2Φ(3)－1；④Φ(|ξ|>3)＝1－Φ(3)．其中正确的序号是________．[答案] ①②③[解析] ①②显然正确，又Φ(|ξ|<3)＝Φ(－3<ξ<3)＝Φ(3)－Φ(－3)＝Φ(3)－[1－Φ(3)]＝2Φ(3)－1.可知③正确．对于④，Φ(|ξ|>3)＝Φ(ξ>3)＋Φ(ξ<－3)＝1－Φ(3)＋1－Φ(3)＝2－2Φ(3)，可知④错．[点评] 解决这种正态随机变量的问题，关键要抓住其密度曲线的对称轴为x ＝μ.14．a 4(x ＋1)4＋a 3(x ＋1)3＋a 2(x ＋1)2＋a 1(x ＋1)＋a 0＝x 4，则a 3－a 2＋a 1＝________.[答案] －14[解析] [(x ＋1)－1]4＝a 4(x ＋1)4＋a 3(x ＋1)3＋a 2(x ＋1)2＋a 1(x ＋1)＋a 0，∴a 3－a 2＋a 1＝(－C 14)－C 24＋(－C 34)＝－14.15．以圆x 2＋y 2－2x －2y －1＝0内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点的三角形个数为______．[答案] 76[解析] 如图首先求出圆内的整数点个数，然后求组合数，圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝3，圆内共有9个整数点，组成的三角形的个数为C 39－8＝76.16．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率是________．[答案] 1127[分析] 从2号箱中取出红球的概率大小与从一号箱中取出的球有关，故应按从一号箱中取出红球和白球讨论，故这是一个条件概率问题．[解析] 记事件A ：最后从2号箱中取出的是红球；事件B ：从1号箱中取出的是红球．则P (B )＝42＋4＝23，P (B －)＝1－P (B )＝13， P (A |B )＝3＋18＋1＝49，P (A |B －)＝38＋1＝13， 从而P (A )＝P (AB )＋P (A B －)＝P (A |B )P (B )＋P (A |B －)P (B －)＝49×23＋13×13＝1127. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)一批零件中有10个合格品，2个次品，安装机器时从这批零件中任选1个，取到合格品才能安装；若取出的是次品，则不再放回．(1)求最多取2次零件就能安装的概率；(2)求在取得合格品前已取出的次品数ξ的分布列．[解析] (1)第一次就能安装的概率：1012＝56； 第二次就能安装的概率：212·1011＝533； 最多取2次零件就能安装的概率为56＋533＝6566； (2)由于随机变量ξ表示取得合格品前已取出的次品数，所以ξ可能的取值为0、1、2；∵P (ξ＝0)＝56，P (ξ＝1)＝533， P (ξ＝2)＝212·111·1010＝166. ∴ξ的分布列为18.(本小题满分12分)12个，已知从袋中任取2个球，得到2个都是黑球的概率为122. (1)求这个口袋中原装有红球和黑球各几个；(2)从原袋中任取3个球，求取出的3个球中恰有1个黑球的概率及至少有1个黑球的概率．[解析] (1)设袋中装有x 个黑球，12－x 个红球，由C 2x C 212＝122得，x ＝3， ∴原袋中装有3个黑球，9个红球．(2)取出3个球中恰有一个黑球的概率 P 1＝C 29C 13C 312＝2755， 取出3个球都是红球的概率P 2＝C 39C 312＝2155， 所以至少有1个黑球的概率P ＝1－P 2＝3455. 19．(本小题满分12分)求证：32n ＋2－8n －9能被64整除(n ∈N *)[证明] 32n ＋2－8n －9＝9n ＋1－8n －9＝(8＋1)n ＋1－8n －9＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n －1n ＋182＋C n n ＋18＋C n ＋1n ＋1－8(n ＋1)－1＝64(C 0n ＋18n －1＋C 1n ＋18n －2＋…＋C n －1n ＋1)＋8(n＋1)＋1－8(n ＋1)－1＝64(C 0n ＋18n －1＋C 1n ＋18n －2＋…＋C n －1n ＋1)∵C 0n ＋18n －1＋C 1n ＋18n －2＋…＋C n －1n ＋1是整数，∴32n ＋2－8n －9能被64整除．[点评] 也可以用数学归纳法证明．20．(本小题满分12分)某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，再次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75.(1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；(2)经过前后两次烧制后，合格工艺品的件数为ξ，求随机变量ξ的期望．[解析] 分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件A 1，A 2，A 3，(1)设E 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则 P (E )＝P (A 1·A 2·A 3)＋P (A 1·A 2·A 3)＋P (A 1·A 2·A 3)＝0.5×0.4×0.6＋0.5×0.6×0.6＋0.5×0.4×0.4＝0.38.(2)解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为p ＝0.3；所以ξ～B (3,0.3)．故E (ξ)＝np ＝3×0.3＝0.9.21．(本小题满分12分)某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N (70,102)，如果规定低于60分为不及格，求：(1)成绩不及格的人数占多少？(2)成绩在80～90分内的学生占多少？[解析] (1)设学生的得分情况为随机变量X ，X ～N (70,102)，则μ＝70，σ＝10.在60～80分之间的学生的概率为：P (70－10<X ≤70＋10)＝0.6826，所以不及格的学生的概率为12(1－0.6826)＝0.1587， 即成绩不及格的学生占15.87%.(2)成绩在80～90分内的学生的概率为12[P (70－2×10<x ≤70＋2×10)－0.6826] ＝12(0.9544－0.6826)＝0.1359. 即成绩在80～90分间的学生占13.59%.22．(本小题满分14分)已知某车站每天8：00～9：00,9：00～10：00都恰有一辆从A 地到B 地的客车到站，8：00～9：00到站的客车可能在8：10,8：30和8：50到站，其概率依次为16，12，13；9：00～10：00到站的客车可能在9：10,9：30和9：50到站，其概率依次为16，12，13.今有甲、乙两位旅客要从A 地到B 地，他们到达车站的时间分别为8：00和8：20，假设只要有车到站就一定能坐上车，设甲与乙的候车时间分别为ξ分钟和η分钟．(1)分别求ξ和η的分布列；(2)判断甲、乙两人候车时间平均值哪个长，并说明理由．[解析] 解：(1)由于甲在8：00到达，所以必能坐上8：00～9：00的车，故ξ的取值为10,30,50，其概率依次为16，12，13， ξ的分布列为：由于乙在8：20到达，而8：00～8：00～9：00的车，只能坐9：00～10：00的车，故η的取值为10,30,50,70,90.所以乙坐上8：30的车的概率为P (η＝10)＝12， 乙坐上8：50的车的概率为P (η＝30)＝13.乙坐上9：00～10：00的车是与8：00～9：00的车8：10到站同时发生的，乙坐上9：10车的概率为P (η＝50)＝16×16＝136. 乙坐上9：30的车的概率为P (η＝70)＝16·12＝112， 乙坐上9：50的车的概率为P (η＝90)＝16·13＝118. 故η的分布列为(2)E (ξ)＝10×16＋30×12＋50×13＝1003， E (η)＝10×12＋30×13＋50×136＋70×112＋90×118＝2459. ∴旅客甲候车时间的平均值比乙长．。

2011走向高考-贾凤山-高中总复习-第8篇1-2DA．26 B．24C．19 D．20[答案] D4．已知定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x ＝1对称，并且当x∈(0,1]时，f(x)＝x2＋1，则f(2010)的值为() A．2 B．0C．1 D．－1[答案] B[解析]∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∵f(x)图象关于直线x＝1对称，∴f(2－x)＝f(x)，∴f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝f(2＋(2＋x))＝－f(2＋x)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数，∴f(2010)＝f(2)，∵f(2＋x)＝f(－x)成立，∴f(2)＝f(0)，又f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，∴f(2010)＝0.5．n个连续自然数按规律排成下表：根据规律，从2008到2010的箭头方向依次为()A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓[答案] A[解析] 观察图例可见，位序相同的数字都是以4为公差的等差数列，故从2008至2010，其位序应与相同，故选A.6．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是( )A ．假设三内角都不大于60°B ．假设三内角都大于60°C ．假设三内角至多有一个大于60°D ．假设三内角至多有两个大于60°[答案] B7．某种商品计划提价，现有四种方案，方案(Ⅰ)先提价m %，再提价n %；方案(Ⅱ)先提价n %，再提价m %；方案(Ⅲ)分两次提价，每次提价(m ＋n 2)%；方案(Ⅳ)一次性提价(m ＋n )%，已知m >n >0，那么四种提价方案中，哪一种提价最多？( )A ．ⅠB ．ⅡC ．ⅢD ．Ⅳ[答案] C[解析] 设商品原价为a ，方案(Ⅰ)：a (1＋m %)(1＋n %)＝a [1＋(m ＋n )%＋m %n %]方案(Ⅱ)：a (1＋n %)(1＋m %)＝a (1＋(m ＋n )%＋m %n %)方案(Ⅲ)：a (1＋m ＋n 2%)2＝a (1＋(m ＋n )%＋(m＋n2%)2)方案(Ⅳ)：a[1＋(m＋n)%]＝a(1＋(m＋n)%)又∵(m＋n2%)2≥(mn%)2＝m%n%故选C.8．已知平面α外不共线的三点A、B、C到α的距离都相等，则正确的结论是()A．平面ABC必平行于αB．平面ABC必与α相交C．平面ABC必不垂直于αD．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内[答案] D[解析]由三点A、B、C可以不在平面α的同一侧，知A错；由三点A、B、C可以在平面α的同一侧，知B错；可以找到平面ABC垂直于平面α，知C错．[点评]如何证明选项D，请读者给出自己的理由．9．设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R ＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P、Q、R同时大于零”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] C[解析]首先若P、Q、R同时大于零，则必有PQR>0成立．其次，若PQR>0，且P、Q、R不都大于0，则必有两个为负，不妨设P<0，Q<0，即a＋b－c<0，b＋c－a<0，∴b<0与b∈R＋矛盾，故P、Q、R都大于0.10．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题．．．是() A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上[答案] B[解析]如右图，由“等腰四棱锥”的定义知，PA＝PB＝PC＝PD.设P点在底面ABCD内的射影为O，则OA＝OB＝OC＝OD，从而∠PAO＝∠PBO＝∠PCO＝∠PDO，且四边形存在以O为圆心的外接圆，故A，C都对；在△PAO所在平面内作线段PA的中垂线交PO于M.则MP＝MA，从而MP＝MA＝MB＝MC＝MD.故四棱锥的顶点都在以M为球心的球面上．故D正确；显然当四棱锥为正四棱锥时，各侧面与底面成的角相等．当底面上四点任意排布在⊙O的圆周上时，B错．考查命题的判断与信息捕捉分析能力．二、填空题11．已知点A n(n，a n)为函数y＝x2＋1的图象上的点，B n(n，b n)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设c n＝a n－b n，则c n与c n＋1的大小关系为________．[答案]c n>c n＋1[解析]∵a n＝n2＋1，b n＝n，c n＝n2＋1－n＝1n2＋1＋n，随n的增大而减小，∴c n＋1<c n.12．(文)设f(x)定义如表，数列{x n}满足x1＝5，x n＋1＝f(x n)，则x2011x 12345 6f(x)45126 3[答案] 4[解析]由条件知x1＝5，x2＝f(x1)＝f(5)＝6，x3＝f(x2)＝f(6)＝3，x4＝f(x3)＝f(3)＝1，x5＝f(x4)＝f(1)＝4，x6＝f(x5)＝f(4)＝2，x7＝f(x6)＝f(2)＝5＝x1，可知{x n}是周期为6的周期数列，∴x2011＝x1＝4.据此可知，{x n}周期为4，∴x2011＝x3＝1.(理)(09·福建)五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为________．[答案] 5[解析] 根据规则可知报数为1,1,2,3,5,8,13,21，…，被3除的余数规律为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0，…，而是3的倍数的数出现在4的倍数位置．又甲在第1,6,11,16，…等次数上，则同时满足的有16,36,56,76,96共5个数．13．(文)(09·江苏)在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为1 4.类似地，在空间，若两个正四面体的棱长比为12，则它们的体积比为________． [答案] 18(理)E 、F 是△ABC 的边AB 、AC 上的点，△ABC被线段EF 分成两部分的面积之比，S △AEF S △ABC ＝AE ·AF AB ·AC ，类比此结论，则对于三棱锥P －ABC ，若E 、F 、G 分别为三条棱PA 、PB 、PC 上的点，则有________．[答案] V P －EFG V P －ABC ＝PE ·PF ·PG PA ·PB ·PC 14．(文)若a 、b 、c 为Rt △ABC 的三边，其中c 为斜边，那么a n ＋b n 与c n (其中n ∈N *且n >2)的大小关系是________．[答案] a n ＋b n <c n[解析] ∵△ABC 为Rt △，且c 为斜边，∴c 2＝a 2＋b 2，∴c >a >0，c >b >0，∴0<a c <1,0<b c <1，当n >2时，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b c n <⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝1， 即a n ＋b n <c n .(理)设x>0，y>0，a＝x＋y，b＝x cos2θ·y sin2θ(θ∈R)，则a与b的大小关系为________．[答案]a>b[解析]∵x>0，y>0，∴x＋y>x，x＋y>y，∴(x＋y)cos2θ>x cos2θ，(x＋y)sin2θ>y sin2θ，∴b＝x cos2θ·y sin2θ<(x＋y)cos2θ·(x＋y)sin2θ＝(x＋y)sin2θ＋cos2θ＝x＋y＝a.三、解答题15．(文)先解答(1)，再根据结构类比解答(2)：(1)已知a，b为实数，且|a|<1，|b|<1，求证：ab＋1>a＋b.(2)已知a，b，c均为实数，且|a|<1，|b|<1，|c|<1，求证：abc＋2>a＋b＋c.[解析](1)ab＋1－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0.(2)∵|a|<1，|b|<1，|c|<1，据(1)得(ab)·c＋1>ab＋c，∴abc＋2＝[(ab)·c＋1]＋1>(ab＋c)＋1＝(ab＋1)＋c>a＋b＋c.你能再用归纳推理方法猜想出更一般地结论吗？即x i∈R，|x i|<1(i＝1,2，…，n)时，有________．(理)在Rt△ABC中，CA⊥CB，斜边上的高为h，则1h2＝1AC2＋1BC2，先证明此性质，再类比此性质，给出在四面体P－ABC中，若PA、PB、PC两两垂直，底面ABC上的高为h，写出得到的正确结论并证明之．[解析] (1)1h 2＝1PA 2＋1PB 2＋1PC2 (2)Rt △ABC 中，AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB ，∴1AC 2＋1BC 2＝1AD ·AB ＋1BD ·AB ＝1AB ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1AD ＋1BD ＝1AB ·AD ＋BD AD ·BD ＝1AD ·BD ＝1h 2. 四面体P －ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，设PD 、PE 、PF 分别垂直于BC 、AB 、AC ，PO ⊥平面ABC ，即PO ＝h .∴△APD 为直角三角形．∴1PA 2＋1PD 2＝1h2. 同理，1PB 2＋1PF 2＝1h2， 1PC 2＋1PE 2＝1h2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1PA 2＋1PB 2＋1PC 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1PD 2＋1PE 2＋1PF 2＝3h 2(*) 又△APB 为直角三角形，∴1PA 2＋1PB 2＝1PE2.同理，1PB 2＋1PC 2＝1PD 2，1PA 2＋1PC 2＝1PF 2. ∴(*)式变为1PA 2＋1PB 2＋1PC 2＋21PA 2＋1PB 2＋1PC 2＝3h 2.∴1PA 2＋1PB 2＋1PC 2＝1h 2. 16．观察①sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°＝34； ②sin 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34. 由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．[解析] 观察40°－10°＝30°，36°－30°＝6°，由此猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34. 证明：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α) ＝1－cos2α2＋1＋cos(60°＋2α)2＋12[sin(30°＋2α)－sin30°]＝1＋12[cos(60°＋2α)－cos2α]＋12sin(30°＋2α)－12＝1＋12[－2sin(30°＋2α)sin30°]＋12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤sin(30°＋2α)－12 ＝34－12sin(30°＋2α)＋12(sin30°＋2α)＝34. 17．(文)已知△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC 边上有2011个不同的点P 1、P 2、…、P 2011，记M i ＝AP 2i ＋BP i ·CP i (i ＝1、2、…、2011)，求M 1＋M 2＋…＋M 2011的值．[解析] 可取特殊点试验M i 的值，例如，取BC 的中点P ，则∵AB ＝AC ，∴AP ⊥BC ，∴M ＝AP 2＋BP ·PC ＝AP 2＋BP 2＝AB 2＝4，再猜想所有M i 的值可能均为4.验证：取BC 中点P ，又P i 为BC 上任一点，∴M i＝AP 2i ＋BP i ·P i C ＝AP 2i ＋(BP －PP i )(CP ＋PP i )＝AP 2i ＋(BP －PP i )(BP ＋PP i )＝AP 2i ＋BP 2－P i P 2＝(AP 2i －P i P 2)＋BP 2＝AP 2＋BP 2＝AB 2＝4，从而猜想正确，∴M 1＋M 2＋…＋M 2011＝4×2011＝8044.(理)设数列{a n }的首项a 1＝a ≠14，且a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧12a n ，n 为偶数a n ＋14，n 为奇数.记b n ＝a 2n －1－14，n ＝1,2,3，…. (1)求a 2，a 3；(2)判断{b n }是否为等比数列，并证明你的结论．[解析] (1)a 2＝a 1＋14＝a ＋14， a 3＝12a 2＝12a ＋18. (2)∵a 4＝a 3＋14＝12a ＋38. ∴a 5＝12a 4＝14a ＋316. ∴b 1＝a 1－14＝a －14≠0， b 2＝a 3－14＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －14， b 3＝a 5－14＝14⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －14.猜想{b n }是公比为12的等比数列． 证明如下：∵b n ＋1＝a 2n ＋1－14＝12a 2n －14＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2n －1＋14－14 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2n －1－14＝12b n (n ∈N *)． ∴{b n }是首项为a －14，公比为12的等比数列。

1.(2011·江西文，6)观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72011的末两位数字为()A．01B．43C．07D．49[答案] B[解析]75＝16807,76＝117649，又71＝07，观察可见7n(n∈N*)的末二位数字呈周期出现，且周期为4，∵2011＝502×4＋3，∴72011与73末两位数字相同，故选B.2．设a、b、c↔R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P、Q、R同时大于零”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] C[解析]首先若P、Q、R同时大于零，则必有PQR>0成立．其次，若PQR>0，且P、Q、R不都大于0，则必有两个为负，不妨设P<0，Q<0，即a＋b－c<0，b＋c－a<0，∴b<0与b∈R＋矛盾，故P、Q、R都大于0.3．将正整数排成下表：12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16……则在表中数字2010出现在()A．第44行第75列B．第45行第75列C．第44行第74列D．第45行第74列[答案] D[解析]第n行有2n－1个数字，前n行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.∵442＝1936,452＝2025，且1936<2010,2025>2010，∴2010在第45行．又2025－2010＝15，且第45行有2×45－1＝89个数字，∴2010在第89－15＝74列，选D.4．(文)(2011·绍兴月考)古希腊人常用小石头在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是() A．289 B．1024 C．1225 D．1378[答案] C[解析]将三角形数记作a n，正方形数记作b n，则a n＝1＋2＋…＋n＝n(n＋1)2，b n＝n2，由于1225＝352＝49×(49＋1)2，故选C.(理)(2011·咸阳市高考模拟考试)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10…这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16…这样的数称为“正方形数”．如图，可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式是()①13＝3＋10；②25＝9＋16；③36＝15＋21；④49＝18＋31；⑤64＝28＋36.A．①④B．②⑤C．③⑤D．②③[答案] C[解析]这些“三角形数”依次是1,3,6,10,15,21,28,36,45，…且“正方形数”是“三角形数”中相邻两数之和，很容易得到：15＋21＝36,28＋36＝64，只有③⑤是对的．5．(文)(2010·曲师大附中)设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝2Sa＋b＋c；类比这个结论可知：四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体S－ABC的体积为V，则r＝()A.VS1＋S2＋S3＋S4B.2VS1＋S2＋S3＋S4C.3VS1＋S2＋S3＋S4D.4VS1＋S2＋S3＋S4[答案] C[解析]设三棱锥的内切球球心为O，那么由V S－ABC＝V O－ABC＋V O－SAB＋V O－SAC＋V O－SBC，即V＝13S1r＋13S2r＋13S3r＋13S4r，可得r＝3VS1＋S2＋S3＋S4.(理)(2010·辽宁锦州)类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，S(x)＝a x－a－x2，C(x)＝a x＋a－x2，其中a>0，且a≠1，下面正确的运算公式是()①S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；②S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)；③C(x＋y)＝C(x)C(y)－S(x)S(y)；④C(x－y)＝C(x)C(y)＋S(x)S(y)．A．①③B．②④C．①④D．①②③④[答案] D[解析]实际代入逐个验证即可．如S(x)C(y)＋C(x)S(y)＝a x －a －x 2·a y ＋a －y 2＋a x ＋a －x 2·a y －a －y 2＝14(a x ＋y －a y －x ＋a x －y －a －x －y ＋a x ＋y ＋a y －x －a x －y －a －x －y )＝14(2a x ＋y －2a －x －y )＝a x ＋y －a －(x ＋y )2＝S (x ＋y )， 故①成立．同理可验证②③④均成立．6．(文)定义某种新运算“⊗”：S ＝a ⊗b 的运算原理为如图的程序框图所示，则式子5⊗4－3⊗6＝( )A ．2B ．1C ．3D ．4[答案] B[解析] 由题意知5⊗4＝5×(4＋1)＝25,3⊗6＝6×(3＋1)＝24，所以5⊗4－3⊗6＝1.(理)(2010·寿光现代中学)若定义在区间D 上的函数f (x )，对于D 上的任意n 个值x 1，x 2，…，x n ，总满足f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )≥nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，则称f (x )为D 上的凹函数，现已知f (x )＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是凹函数，则在锐角三角形ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C 的最小值是( )A ．3 B.23C ．3 3 D. 3 [答案] C[解析] 根据f (x )＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是凹函数，再结合凹函数定义得，tan A ＋tan B ＋tan C ≥3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋B ＋C 3＝3tan π3＝3 3.故所求的最小值为3 3.7．设f (x )定义如表，数列{x n }满足x 1＝5，x n ＋1＝f (x n )，则x 2012的值为________.[答案] [解析] 由条件知x 1＝5，x 2＝f (x 1)＝f (5)＝6，x 3＝f (x 2)＝f (6)＝3，x 4＝f (x 3)＝f (3)＝1，x 5＝f (x 4)＝f (1)＝4，x 6＝f (x 5)＝f (4)＝2，x 7＝f (x 6)＝f (2)＝5＝x 1，可知{x n }是周期为6的周期数列，∴x 2012＝x 2＝6.8．(文)(2011·陕西文，13)观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第五个等式应为______________________．[答案] 5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81[解析] 第1个等式有1项，从1开始第2个等式有3项，从2开始第3个等式有5项，从3开始第4个等式有7项，从4开始每个等式左边都是相邻自然数的和，右边是项数的平方，故由已知4个等式的变化规律可知，第5个等式有9项，从5开始等式右边不92，故为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81.[点评]观察各等式特点可得出一般结论：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.(理)(2011·台州模拟)观察下列等式：(1＋x＋x2)1＝1＋x＋x2，(1＋x＋x2)2＝1＋2x＋3x2＋2x3＋x4，(1＋x＋x2)3＝1＋3x＋6x2＋7x3＋6x4＋3x5＋x6，(1＋x＋x2)4＝1＋4x＋10x2＋16x3＋19x4＋16x5＋10x6＋4x7＋x8，……由以上等式推测：对于n↔N*，若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2n x2n，则a2＝________.[答案]12n(n＋1)[解析]由给出等式观察可知，x2的系数依次为1,3,6,10,15，…，∴a2＝12n(n＋1).1.(文)(2010·山东文)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x) [答案] D[解析]观察所给例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，∵g(x)＝f′(x)，∴g(－x)＝－g(x)，选D.(理)(2011·清远模拟)定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应图中的(1)(2)(3)(4)，那么下图中(A)(B)所对应的运算结果可能是()A．B*D，A*D B．B*D，A*CC．B*C，A*D D．C*D，A*D[答案] B[解析]观察图形及对应运算分析可知，基本元素为A→|，B→□，C→——，D→○，从而可知图(A)对应B*D，图B对应A*C.2．(文)(2011·皖南八校联考)为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i↔{0,1}(i＝0,1,2)，传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0＝a0⊕a1，h1＝h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.例如原信息为111，则传输信息为01111，信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是() A．11010 B．01100C．10111 D．00011[答案] C[解析]对于选项C，传输信息是10111，对应的原信息是011，由题目中运算规则知h0＝0⊕1＝1，而h1＝h0⊕a2＝1⊕1＝0，故传输信息应是10110.(理)甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a1乘以2后再加上12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a1除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数a2.对实数a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a3.当a3>a1时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为34，则a1的取值范围是()A．[－12,24]B．(－12,24)C．(－∞，－12)∪(24，＋∞)D．(－∞，－12]∪[24，＋∞)[答案] D[解析]因为甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，出现的可能情形有4种：(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)，所以每次操作后，得到两种新数的概率是一样的．故由题意得即4a 1＋36，a 1＋18，a 1＋36，14a 1＋18出现的机会是均等的，由于当a 3>a 1时甲胜，且甲胜的概率为34，故在上面四个表达式中，有3个大于a 1，∵a 1＋18>a 1，a 1＋36>a 1，故在其余二数中有且仅有一个大于a 1，由4a 1＋36>a 1得a 1>－12，由14a 1＋18>a 1得，a 1<24，故当－12<a 1<24时，四个数全大于a 1，当a 1≤－12或a 1≥24时，有且仅有3个大于a 1，故选D.3．(文)如图数表满足：(1)第n 行首尾两数均为n ；(2)表中递推关系类似杨辉三角下一行除首尾两数外，每一个数都是肩上两数之和．记第n (n >1)行第2个数为f (n )，根据数表中上下两行数据关系，可以得到递推关系：f (n )＝__________，并可解得通项f (n )＝________.[答案] f (n )＝f (n －1)＋n －1；f (n )＝n 2－n ＋22[解析] 观察图表知f (n )等于f (n －1)与其相邻数n －1的和． ∴递推关系为f (n )＝f (n －1)＋n －1，∴f (n )－f (n －1)＝n －1，即f (2)－f (1)＝1，f (3)－f (2)＝2，f (4)－f (3)＝3，…f (n )－f (n －1)＝n －1，相加得f (n )＝n 2－n ＋22. (理)(2010·福建文)观察下列等式：①cos2α＝2cos 2α－1；②cos4α＝8cos 4α－8cos 2α＋1；③cos6α＝32cos 6α－48cos 4α＋18cos 2α－1；④cos8α＝128cos 8α－256cos 6α＋160cos 4α－32cos 2α＋1；⑤cos10α＝m cos 10α－1280cos 8α＋1120cos 6α＋n cos 4α＋p cos 2α－1.可以推测，m －n ＋p ＝________.[答案] 962[解析] 由题易知：m ＝29＝512，p ＝5×10＝50m －1280＋1120＋n ＋p －1＝1，∴m ＋n ＋p ＝162.∴n ＝－400，∴m －n ＋p ＝962.4．(2011·蚌埠市质检)已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若7＋a t ＝7at ，(a ，t 均为正实数)，则类比以上等式，可推测a 、t 的值，a ＋t ＝________.[答案] 55[解析] 类比所给等式可知a ＝7，且7t ＋a ＝72·a ，即7t ＋7＝73，∴t ＝48.∴a ＋t ＝55.5．(2011·杭州市质检)设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．[答案] f (2n)≥n ＋22(n ↔N *) [解析] f (2)＝f (21)＝1＋22，f (4)＝f (22)>2＝2＋22，f (8)＝f (23)>52＝3＋22，f (16)＝f (24)>3＝4＋22，…，f (2n )≥n ＋22(n ∈N *)． 6．已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a .[证明] 要证b 2－ac <3a ，只需证b 2－ac <3a 2，因为a ＋b ＋c ＝0，只需证b 2＋a (a ＋b )<3a 2，只需证2a 2－ab －b 2>0，只需证(a －b )(2a ＋b )>0，只需证(a －b )(a －c )>0.因为a >b >c ，所以a －b >0，a －c >0，所以(a －b )(a －c )>0，显然成立，故原不等式成立．7．先解答(1)，再根据结构类比解答(2)：(1)已知a ，b 为实数，且|a |<1，|b |<1，求证：ab ＋1>a ＋b .(2)已知a ，b ，c 均为实数，且|a |<1，|b |<1，|c |<1，求证：abc ＋2>a ＋b ＋c .[解析] (1)ab ＋1－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0.(2)∵|a |<1，|b |<1，|c |<1，据(1)得(ab )·c ＋1>ab ＋c ，∴abc ＋2＝[(ab )·c ＋1]＋1>(ab ＋c )＋1＝(ab ＋1)＋c >a ＋b ＋c . 你能再用归纳推理方法猜想出更一般地结论吗？即x i ∈R ，|x i |<1(i ＝1,2，…，n )时，有________．8．(文)观察①sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34. 由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．[解析] 观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，由此猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34. 证明：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝1－cos2α2＋1＋cos (60°＋2α)2＋12[sin(30°＋2α)－sin30°]＝1＋12[cos(60°＋2α)－cos2α]＋12sin(30°＋2α)－12＝1＋12[－2sin(30°＋2α)sin30°]＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin (30°＋2α)－12 ＝34－12sin(30°＋2α)＋12(sin30°＋2α)＝34. (理)设数列{a n }的首项a 1＝a ≠14，且a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12a n ，n 为偶数a n ＋14，n 为奇数.记b n ＝a 2n －1－14，n ＝1,2,3，…. (1)求a 2，a 3；(2)判断{b n }是否为等比数列，并证明你的结论．[解析] (1)a 2＝a 1＋14＝a ＋14， a 3＝12a 2＝12a ＋18. (2)∵a 4＝a 3＋14＝12a ＋38.∴a 5＝12a 4＝14a ＋316.∴b 1＝a 1－14＝a －14≠0， b 2＝a 3－14＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14， b 3＝a 5－14＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14. 猜想{b n }是公比为12的等比数列． 证明如下：∵b n ＋1＝a 2n ＋1－14＝12a 2n －14＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2n －1＋14－14＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2n －1－14＝12b n (n ∈N *)． ∴{b n }是首项为a －14，公比为12的等比数列．1．如图所示的算法中，令a ＝tan θ，b ＝sin θ，c ＝cos θ，若在集合{θ|0<θ<3π2}中任取θ的一个值，输出的结果是sin θ的概率是( )A.13B.12C.23D.34[答案] A[解析] 该程序框图的功能是比较a ，b ，c 的大小并输出最大值，因此要使输出的结果是sin θ，需sin θ>tan θ，且sin θ>cos θ，∵当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，总有tan θ>sin θ，当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，sin θ>0，tan θ<0，cos θ<0，当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2时，tan θ>0，sin θ<0，故输出的结果是sin θ时，θ的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，结合几何概型公式得，输出sin θ的概率为π－π232π－0＝13，故选A.2．n 个连续自然数按规律排成下表：根据规律，从2008到2010的箭头方向依次为( )A ．↓→B ．→↑C ．↑→D ．→↓[答案] A[解析] 观察图例可见，位序相同的数字都是以4为公差的等差数列，故从2008至2010，其位序应与012相同，故选A.3.如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i ＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为h i (i ＝1,2,3,4)，若a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k ，则∑i ＝14 (ih i )＝2A k .类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i ＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为H i (i ＝1,2,3,4)，若S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝k ，则∑i =14 (iH i )的值为()A.4V kB.3V kC.2V kD.V k[答案] B[解析] 在平面四边形中，连接P 点与各个顶点，将其分成四个小三角形，根据三角形面积公式，得S ＝12(a 1h 1＋a 2h 2＋a 3h 3＋a 4h 4)＝12(kh 1＋2kh 2＋3kh 3＋4kh 4)＝k 2∑i =14 (ih i )． 所以∑i =14(ih i )＝2S k .类似地，连接Q 点与三棱锥的四个顶点，将其分成四个小三棱锥，则有V ＝13(S 1H 1＋S 2H 2＋S 3H 3＋S 4H 4) ＝13(kH 1＋2kH 2＋3kH 3＋4kH 4) ＝k 3(H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4)＝k 3∑i =14 (iH i )， ∴∑i =14(iH i )＝3V k .[点评] 类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类相类似的对象之间的推理，类比的关键是能把两个系统之间的某种一致性(相似性)确切地表达出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚．类比推理能够为我们提供发现的思路和方向，但类比推理的结论不一定正确．4．(2011·江苏苏州测试)已知结论：“在三边长都相等的△ABC中，若D 是BC 的中点，G 是△ABC 外接圆的圆心，则AG GD ＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD 中，若M 是△BCD 的三边中线的交点，O 为四面体ABCD 外接球的球心，则AO OM ＝________.”[答案] 3[解析]如图，易知球心O 在线段AM 上，不妨设四面体ABCD 的边长为1，外接球的半径为R ，则BM ＝32×23＝33， AM ＝12－(33)2＝63， R ＝(63－R )2＋(33)2，解得R ＝64. 于是，AO OM ＝6463－64＝3. 5．(2011·盐城市高三第一次调研)观察下列几个三角恒等式： ①tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝1；②tan5°tan100°＋tan100°tan(－15°)＋tan(－15°)tan5°＝1； ③tan13°tan35°＋tan35°tan42°＋tan42°tan13°＝1.一般地，若tan α，tan β，tan γ都有意义，你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为__________________________．[答案] 当α＋β＋γ＝90°时，tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1[解析] 所给三角恒等式都为tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1的结构形式，且α，β，γ之间满足α＋β＋γ＝90°.6．(2010·哈师大附中)(1)由“若a ，b ，c ↔R ，则(ab )c ＝a (bc )”类比得到“若a ，b ，c 为三个平面向量，则(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”(2)在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝2a n ＋2，通过归纳得到猜想a n ＝2n －2(3)在平面内“三角形的两边之和大于第三边”，类比得到在空间中的结论：“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”(4)若f (x )＝2cos 2x ＋2sin x cos x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2＋1 上述四个推理中，得出的结论正确的是________．[答案] (2)(3)[解析] (1)不正确，(a ·b )·c 与c 共线，a ·(b ·c )与a 共线，而a 与c 不一定共线；(2)正确，由a n ＋1＝2a n ＋2得a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，∴{a n ＋2}是首项为a 1＋2＝2，公比为2的等比数列，∴a n ＋2＝2n ，∴a n ＝2n －2；(3)正确，由四面体ABCD 的任意一个顶点如A ，向对面作垂线垂足为O ，则△BOC ，△COD ，△BOD 分别为△ABC ，△ACD ，△ABD 在平面BCD 内的射影，而S △ABC ＋S △ACD ＋S △ABD >S △BOC ＋S △COD ＋S △BOD ≥S △BCD ；(4)错误，f (x )＝cos2x ＋sin2x ＋1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos π2＋sin π2＋1＝2≠2＋1. 7.如图(1)，过四面体V －ABC 的底面内任一点O 分别作OA 1∥VA ，OB 1∥VB ，OC 1∥VC ，A 1，B 1，C 1分别是所作直线与侧面交点．求证：OA 1VA ＋OB 1VB ＋OC 1VC 为定值．分析：考虑平面上的类似命题：“过△ABC底边AB上任一点O分别作OA1∥AC，OB1∥BC，分别交BC，AC于A1，B1，求证OA1 AC＋OB1BC为定值”．这一命题利用相似三角形的性质很容易推出其为定值1.另外，过A，O分别作BC垂线，过B，O分别作AC垂线，则用面积法也不难证明定值为1.于是类比到空间图形，也可用两种方法证明其定值为1.[证明]如图(2)，设平面OA1VA∩BC＝M，平面OB1VB∩AC＝N，平面OC1VC∩AB＝L，则有△MOA1∽△MAV，△NOB1∽△NBV，△LOC1∽△LCN.得OA1 VA＋OB1VB＋OC1VC＝OMAM＋ONBN＋OLCL.在底面△ABC中，由于AM，BN，CL交于一点O，∴OMAM＋ONBN＋OLCL＝S△OBCS△ABC＋S△OACS△ABC＋S△OABS△ABC＝S△ABCS△ABC＝1.∴OA1VA＋OB1VB＋OC1VC为定值1.[点评](1)用现代的眼光看，类比就是两个同构关系的模型间的推理，模型间的同构关系，即它们结构或功能上存在的某种对应性(相似性)，它是进行类比推理的依据．(2)本例中的三角形与四面体就是平面与空间中的两个常见具有同构关系的模型，因而四面体中的很多性质及证明方法都可以通过三角形中的性质及证明方法类比得到．(3)数学中其它一些常见的具有同构关系的模型有：等式与不等式、分数与分式、椭圆与双曲线、等差数列与等比数列、长方形与长方体、圆与球等．。

第三篇第1章第一节1．阅读下面一首宋词，然后回答问题。

安公子袁去华弱柳丝千缕，嫩黄匀遍鸦啼处。

寒入罗衣春尚浅，过一番风雨。

问燕子来时，绿水桥边路。

曾画楼、见个人人否。

料静掩云窗，尘满哀弦危柱。

庾信愁如许。

为谁都著眉端聚。

独立东风弹泪眼，寄烟波东去。

念永昼春闲，人倦如何度。

闲傍枕、百啭黄鹂语。

唤觉来厌厌，残照依然花坞。

(1)简要解说“嫩黄匀遍鸦啼处”一句中“匀”的表达效果。

答：____________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________(2)“独立东风弹泪眼，寄烟波东去”两句营造了怎样的意境？答：____________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 【答案】(1)“匀”，均匀、抽出一部分给别人的意思。

第三篇 第2章 第三讲一、选择题1．(文)抛物线y ＝x 2的准线方程是 ( ) A ．4y ＋1＝0 B ．4x ＋1＝0 C ．2y ＋1＝0 D ．2x ＋1＝0 [答案] A[解析] x 2＝y 中2p ＝1，∴p 2＝14，∴准线y ＝－14，即4y ＋1＝0.(理)抛物线y ＝ax 2的准线方程为y ＋1＝0，则a ＝ ( ) A.14 B.12C ．－14D ．－12[答案] A[解析] ∵y ＝ax 2 ∴x 2＝1a y ，∴准线方程为y ＝－14a ∴－14a ＝－1，∴a ＝14，故选A.2．已知抛物线C 1：y ＝2x 2与抛物线C 2关于直线y ＝－x 对称，则C 2的准线方程是( )A ．x ＝－18B ．x ＝12C ．x ＝18D ．x ＝－12[答案] C[解析] 抛物线C 1：y ＝2x 2的准线方程为y ＝－18，其关于直线y ＝－x 对称的抛物线C 2：y 2＝－12x 的准线方程为x ＝18.故应选C.3．(文)抛物线x 2＝4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 [答案] D[解析] 由x 2＝4y 知其准线方程为y ＝－1，据抛物线的定义，点A 与焦点的距离等于点A 与准线的距离，显然A 的纵坐标为4.其距离为5.(理)抛物线y 2＝8x 上的点(x 0，y 0)到抛物线焦点的距离为3，则|y 0|＝( )A. 2 B ．2 2 C ．2 D ．4 [答案] B[解析] 设点A (x 0，y 0)，过点A 作AA 1⊥l (l 为准线)，则|AF |＝|AA 1|＝x 0＋2＝3即x 0＝1，代入抛物线方程得|y 0|＝8x 0＝22，故选B.4．(09·山东)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A .若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为 ( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x[答案] B[解析] 由抛物线方程知焦点F ⎝⎛⎭⎫a 4，0，∴直线l 方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4， 与y 轴交点A ⎝⎛⎭⎫0，－a 2.∴S △OAF ＝12·|OA |·|OF |＝12·⎪⎪⎪⎪－a 2·⎪⎪⎪⎪a 4＝a 216＝4. ∴a 2＝64，a ＝±8.故y 2＝±8x .故选B.5．(文)已知点P 为抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是A (72，4)，则|P A |＋|PM |的最小值是 ( ) A.112 B ．4 C.92 D ．5 [答案] C[解析] 如图，焦点F (12，0)，当P 、A 、F 三点共线时|P A |＋|PM |才有最小值，此时|P A |＋|PM |＝|P A |＋|PF |－12，即|P A |＋|PM |的最小值为|F A |－12＝(72－12)2＋42－12＝5－12＝92，故选C.(理)(08·辽宁)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( )A.172B ．3C. 5D.92[答案] A[解析] 记抛物线y 2＝2x 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫12，0，准线是l ，由抛物线的定义知点P 到焦点F 的距离等于它到准线l 的距离，因此要求点P 到点(0,2)的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P 到点(0,2)的距离与点P 到焦点F 的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F 与点(0,2)的距离，因此所求的最小值等于⎝⎛⎭⎫122＋22＝172，选A. 6．(文)对于任意n ∈N *，抛物线y ＝(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1与x 轴交于A n 、B n 两点，以|A n B n |表示该两点的距离，则|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2011B 2011|的值是 ( )A.20102011B.20112012C.20092010D.20092008 [答案] B[解析] 设A n (x n,0)，B n (x ′n,0)， 则x n ＋x ′n ＝2n ＋1n 2＋n ，x n x ′n ＝1n 2＋n ，|A n B n |＝|x n －x ′n |＝(x n ＋x ′n )2－4x n x ′n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1n 2＋n 2－4n 2＋n ＝1n 2＋n＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A n B n |＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1，∴当n ＝2011时，结果为20112012.[点评] 由条件知A n 、B n 的横坐标x 1、x 2是方程(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1＝0的两根，∴x 1＝1n ＋1，x 2＝1n ，∴|x 1－x 2|＝1n －1n ＋1.(理)已知点M 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点，F 为抛物线的焦点，若以|MF |为直径作圆，则这个圆与y 轴的关系是 ( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上三种情形都有可能 [答案] B[解析] 如图，由MF 的中点A 作准线l 的垂线AE ，交直线l 于点E ，交y 轴于点B ；由点M 作准线l 的垂线MD ，垂足为D ，交y 轴于点C ，则MD ＝MF ，ON ＝OF ， ∴AB ＝OF ＋CM 2＝ON ＋CM2＝DM 2＝MF 2，∴此圆与y 轴相切． 7．(文)设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线L 与抛物线有公共点，则直线L 的斜率的取值范围是 ( )A.⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1]D ．[－4,4][答案] C[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)y 2＝8x，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝4，由Δ＝0得，k ＝±1，结合图形知选C.(理)定点N (1,0)，动点A 、B 分别在图中抛物线y 2＝4x 及椭圆x 24＋y 23＝1的实线部分上运动，且AB ∥x 轴，则△NAB 的周长l 的取值范围是 ( )A.⎝⎛⎭⎫23，2B.⎝⎛⎭⎫103，4C.⎝⎛⎭⎫5116，4 D ．(2,4)[答案] B[解析] 易知N 为抛物线和椭圆的焦点，设A (x 1，y 1 )，B (x 2，y 2)，由抛物线及椭圆的定义知，焦半径|AN |＝x 1＋1，|BN |＝12(4－x 2)，又|AB |＝x 2－x 1，∴周长l ＝|AB |＋|AN |＋|BN |＝3＋12x 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x x 24＋y 23＝1得交点的横坐标为23，∴23<x 2<2.∴103<l <4. 8．(09·全国Ⅰ)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于 ( )A. 3 B ．2 C. 5 D. 6 [答案] C[解析] 双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，与抛物线方程联立得x 2±ba x ＋1＝0，Δ＝⎝⎛⎭⎫±b a 2－4＝0⇒b 2＝4a 2，∴c 2－a 2＝4a 2，∴c 2＝5a 2，e ＝5，故选C.9．(福建厦门)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且|NF |＝32|MN |，则∠NMF ＝ ( )A.π6B.π4C.π3D.5π12 [答案] A[解析] 如图，过点N 向准线引垂线，垂足为P ，由抛物线的定义知|NP |＝|NF |＝32·|MN |.在Rt △NMP 中，sin ∠NMP ＝|NP ||NM |＝32⇒∠NMP ＝π3⇒∠NMF ＝π6，故选A.10．(北京崇文)已知点M (1,0)，直线l ：x ＝－1，点B 是l 上的动点，过点B 垂直于y 轴的直线与线段BM 的垂直平分线交于点P ，则点P 的轨迹是 ( )A ．抛物线B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．直线 [答案] A[解析] P 在BM 的垂直平分线上，故|PB |＝|PM |.又PB ⊥l ，因而点P 到直线l 的距离等于P 到M 的距离，所以点P 的轨迹是抛物线． 二、填空题11．(文)设坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A ，B 两点，则OA →·OB →＝________.[答案] －34[解析] 设直线AB ：x ＝my ＋12，代入y 2＝2x 中，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－34.(理)已知点A (2,0)、B (4,0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 上运动，则AP →·BP →取得最小值时的点P 的坐标是______．[答案] (0,0)[解析] 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 24，y ，则AP →＝⎝⎛⎭⎫－y 24－2，y ，BP →＝⎝⎛⎭⎫－y 24－4，y ，AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎫－y 24－2⎝⎛⎭⎫－y 24－4＋y 2＝y 416＋52y 2＋8≥8，当且仅当y ＝0时取等号，此时点P 的坐标为(0,0)． 12．圆心在第一象限，且半径为1的圆与抛物线y 2＝2x 的准线和双曲线x 216－y 29＝1的渐近线都相切，则圆心的坐标是________．[答案] ⎝⎛⎭⎫12，138或⎝⎛⎭⎫12，78 [解析] 设圆心为(a ，b )，则a >0，b >0.∵y 2＝2x 的准线方程为x ＝－12，x 216－y29＝1的渐近线方程为3x ±4y ＝0. 由题意知a ＋12＝1，则a ＝12，|3a ±4b |5＝1，解得b ＝138或b ＝78， ∴圆心坐标为⎝⎛⎭⎫12，138或⎝⎛⎫12，78.13．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过(2p,0)作直线交抛物线于A 、B 两点，给出下列结论：①OA ⊥OB ；②△ABO 重心必是抛物线焦点；③△ABO 面积最小值为4p 2.其中正确的结论是________． [答案] ①③[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2py 2＝2px得：y 2－2pmy －4p 2＝0，∴y 1y 2＝－4p 2，y 1＋y 2＝2pm ，x 1x 2＝4p 2， k OA ·k OB ＝－1，S ＝p |y 1－y 2|＝p ·(2pm )2－16p 2≥4p 2.14．已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米，当水面升高1米后，水面宽度是________米．[答案] 4 2[解析] 设抛物线拱桥的方程为x 2＝－2py ，当顶点距水面2米时，量得水面宽8米， 即抛物线过点(4，－2)代入方程得16＝4p ∴p ＝4，则抛物线方程是x 2＝－8y ， 水面升高1米时，即y ＝－1时，x ＝±2 2. 则水面宽为42米．三、解答题15．(文)已知P (x ，y )为平面上的动点且x ≥0，若P 到y 轴的距离比到点(1,0)的距离小1.(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点M (m,0)的直线交曲线C 于A 、B 两点，问是否存在这样的实数m ，使得以线段AB 为直径的圆恒过原点．[解析] (1)由题意得：(x －1)2＋y 2－x ＝1，化简得：y 2＝4x (x ≥0)．∴点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)．(2)设直线AB 为y ＝k (x －m )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －m )y 2＝4x，得ky 2－4y －4km ＝0，∴y 1＋y 2＝4k ，y 1·y 2＝－4m .∴x 1·x 2＝m 2，∵以线段AB 为直径的圆恒过原点， ∴OA ⊥OB ，∴x 1·x 2＋y 1·y 2＝0.即m 2－4m ＝0⇒m ＝0或4.当k 不存在时，m ＝0或4. ∴存在m ＝0或4，使得以线段AB 为直径的圆恒过原点． [点评] (1)点P 到定点F (1,0)的距离比到y 轴的距离大1，即点P 到定点F (1,0)的距离与到定直线l ：x ＝－1的距离相等．∴P 点轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，∴p ＝2，∴方程为y 2＝4x .(理)如图，O 为坐标原点，直线l 在x 轴和y 轴上的截距分别是a 和b (a >0，b ≠0)，且交抛物线y 2＝2px (p >0)于M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)两点．(1)写出直线l 的方程；(2)证明：1y 1＋1y 2＝1b；(3)当a ＝2p 时，求∠MON 的大小．[解析] (1)直线l 的截距式方程为x a ＋yb＝1.①(2)证明：由①及y 2＝2px 消去x 可得 by 2＋2pay －2pab ＝0②点M 、N 的纵坐标y 1、y 2为②的两个根，故 y 1＋y 2＝－2pab ，y 1y 2＝－2pa .所以1y 1＋1y 2＝y 1＋y 2y 1y 2＝－2pa b －2pa ＝1b.(3)设直线OM 、ON 的斜率分别为k 1、k 2，则k 1＝y 1x 1，k 2＝y 2x 2.当a ＝2p 时，由(2)知，y 1y 2＝－2pa ＝－4p 2，由y 21＝2px 1，y 22＝2px 2相乘得(y 1y 2)2＝4p 2x 1x 2，x 1x 2＝(y 1y 2)24p 2＝4p 2，因此k 1k 2＝y 1y 2x 1x 2＝－4p 24p 2＝－1， 所以OM ⊥ON ，即∠MON ＝90°.16．已知抛物线y 2＝4x ，过点(0，－2)的直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点．(1)若OA →·OB →＝4，求直线AB 的方程．(2)若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点(n,0)，求n 的取值范围．[解析] (1)设直线AB 的方程为y ＝kx －2 (k ≠0)，代入y 2＝4x 中得，k 2x 2－(4k ＋4)x ＋4＝0①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ＋4k 2，x 1x 2＝4k2.y 1y 2＝(kx 1－2)·(kx 2－2)＝k 2x 1x 2－2k (x 1＋x 2)＋4＝－8k.∵OA →·OB →＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2＝4k 2－8k＝4，∴k 2＋2k －1＝0，解得k ＝－1±2.又由方程①的判别式Δ＝(4k ＋4)2－16k 2＝32k ＋16>0得k >－12，∴k ＝－1＋2，∴直线AB 的方程为y ＝(2－1)x －2.(2)设线段AB 的中点的坐标为(x 0，y 0)，则由(1)知x 0＝x 1＋x 22＝2k ＋2k 2，y 0＝kx 0－2＝2k ，∴线段AB 的垂直平分线的方程是 y －2k ＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k ＋2k 2. 令y ＝0，得n ＝2＋2k ＋2k 2＝2k 2＋2k＋2＝2⎝⎛⎭⎫1k ＋122＋32.又由k >－12且k ≠0得1k <－2，或1k >0，∴n >2⎝⎛⎭⎫0＋122＋32＝2.∴n 的取值范围为(2，＋∞)． 17．(文)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点在抛物线y ＝2x 2上，l 是AB 的垂直平分线． (1)当且仅当x 1＋x 2取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F? (2)当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上的截距的取值范围．[解析] (1)∵抛物线的准线是x 轴的平行线，y 1≥0，y 2≥0，依题意y 1、y 2不同时为0，x 1≠x 2，∴F ∈l ⇔|F A |＝|FB |⇔A 、B 两点到抛物线的准线的距离相等．⇔y 1＝y 2⇔x 21＝x 22⇔x 1＋x 2＝0.即当且仅当x 1＋x 2＝0时，l 经过抛物线的焦点F . (2)设l 在y 轴上的截距为b ，∴l 的方程为y ＝2x ＋b ；过点A 、B 的直线方程可设为y ＝－12x ＋m ，所以x 1、x 2满足方程2x 2＋12x －m ＝0，∴x 1＋x 2＝－14；A 、B 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式Δ＝14＋8m >0，即m >－132.设AB 的中点N 的坐标为(x 0，y 0)，则 x 0＝12(x 1＋x 2)＝－18，y 0＝－12x 0＋m ＝116＋m .由N ∈l ，得116＋m ＝－14＋b ，于是b ＝516＋m >516－132＝932，即得l 在y 轴上截距的取值范围为⎝⎛⎭⎫932，＋∞.(理)如图，过点F (1,0)的直线l 与抛物线C ：y 2＝4x 交于A 、B 两点．(1)若|AB |＝8，求直线AB 的方程；(2)记抛物线C 的准线为l ′，设直线OA 、OB 分别交l ′于点M 、N ，求OM →·ON →的值． [解析] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，|AB |＝8，即x 1＋x 2＋p ＝8， ∴x 1＋x 2＝6.∵|AB |>2p ，∴直线l 的斜率存在， 设其方程为y ＝k (x －1)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4xy ＝k (x －1)消去y 得，k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，即2k 2＋4k 2＝6，得k ＝±1.∴直线AB 的方程是x －y －1＝0或x ＋y －1＝0. (2)①当直线l 的斜率不存在时，OM →·ON →＝OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝1－4＝－3. 当直线l 的斜率存在时，由(1)知， x 1x 2＝1，y 1y 2＝－16x 1x 2＝－4， 设M (－1，y 3)，N (－1，y 4)， B ，O ，M 三点共线， ∴y 3－1＝y 2x 2⇒y 3＝－y 2x 2，同理可得y 4＝－y 1x 1. ∴OM →·ON →＝(－1，y 3)·(－1，y 4)＝1＋y 3y 4＝1＋y 1y 2x 1x 2＝－3.。