第一章随机事件及其概率
概率论与数理统计是从数量化的角度来研究现实世界中一类不确定现象（随机现象）规律性的一门应用数学学科，20世纪以来，广泛应用于工业、国防、国民经济及工程技术等各个领域. 本章介绍的随机事件与概率是概率论中最基本、最重要的概念之一.
【教学目的与要求】
通过学习，使学生理解随机事件和样本空间的概念；熟练掌握事件间的关系与基本运算。理解事件频率的概念；了解随机现象的统计规律性。知道概率的公理化定义；理解古典概型的概念；了解几何概率；掌握概率的基本性质（特别是加法定理），会应用这些性质进行概率计算。理解条件概率的概念；掌握乘法定理、全概率公式和贝叶斯公式，并会应用这些公式进行概率计算。理解事件独立性的概念，会应用事件的独立性进行概率计算。掌握贝努里概型及有关事件概率的计算。
【教学重点】
事件的关系与运算；概率的公理化体系；古典概型的计算；概率的加法公式、乘法公式与全概率公式；条件概率与事件的独立性。贝努里概型。
【教学难点】
古典概率的计算；全概公式与贝叶斯公式的应用；
【计划课时】8
【教学内容】
第一节随机事件
一. 随机现象
从亚里士多德时代开始,哲学家们就已经认识到随机性在生活中的作用, 但直到20世纪初, 人们才认识到随机现象亦可以通过数量化方法来进行研究. 概率论就是以数量化方法来研究随机现象及其规律性的一门数学学科.而我们已学过的微积分等课程则是研究确定性现象的数学学科.
二. 随机现象的统计规律性
由于随机现象的结果事先不能预知, 初看似乎毫无规律. 然而人们发现同一随机现象大量重复出现时, 其每种可能的结果出现的频率具有稳定性, 从而表明随机现象也有其固有的规律性. 人们把随机现象在大量重复出现时所表现出的量的规律性称为随机现象的统计规律性. 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门学科.
为了对随机现象的统计规律性进行研究,就需要对随机现象进行重复观察, 我们把对随机现象的观察称为随机试验, 并简称为试验，记为E. 例如, 观察某射手对固定目标进行射击; 抛一枚硬币三次,观察出现正面的次数; 记录某市120急救电话一昼夜接到的呼叫次数等均为随机试验.
随机试验具有下列特点:
1. 可重复性: 试验可以在相同的条件下重复进行;
2. 可观察性: 试验结果可观察,所有可能的结果是明确的;
3. 不确定性: 每次试验出现的结果事先不能准确预知.
三. 样本空间
尽管一个随机试验将要出现的结果是不确定的, 但其所有可能结果是明确的, 我们把随机试验的每一种可能的结果称为一个样本点, 记为e （或ω）；它们的全体称为样本空间, 记为S (或Ω).
基本事件的称谓是相对观察目的而言它们是不可再分解的、最基本的事件，其它事件均可由它们复合而成，一般地，我们称由基本事件复合而成的事件为复合事件.
四. 事件的集合表示
按定义, 样本空间S 是随机试验的所有可能结果(样本点)的全体, 故样本空间就是所有样本点构成的集合, 每一个样本点是该集合的元素. 一个事件是由具有该事件所要求的特征的那些可能结果所构成的, 所以一个事件对应于S 中具有相应特征的样本点(元素)构成的集合, 它是S 的一个子集. 于是, 任何一个事件都可以用S 的某一子集来表示,常用字母 ,,B A 等表示.
五. 事件的关系与运算
因为事件是样本空间的一个集合, 故事件之间的关系与运算可按集合之间的关系和运算来处理.
六. 事件的运算规律
事件间的关系及运算与集合的关系及运算是一致的，为了方便，给出下列对照表：
表1.1
没有相同的元素与互不相容和事件事件的差集与不发生
发生而事件事件的交集与同时发生
与事件事件的和集与至少有一个发生
与事件事件的相等与相等
与事件事件的子集是发生
发生导致事件的余集的对立事件
子集事件
元素基本事件
空集不可能事件
全集必然事件样本空间集合论概率论记号
B A B A AB B A B A B A B A B A AB B A B A B A B A B A B A B A B A B A A A A A ∅=-=⊂∅Ω
ω,
例题选讲：
例1 在管理系学生中任选一名学生, 令事件A 表示选出的是男生, 事件B 表示选出的是三年级学生, 事件C 表示该生是运动员.
(1)叙述事件C AB 的意义; (2)在什么条件下C ABC =成立?
(3)什么条件下B C ⊂? (4)什么条件下B A =成立?
例2 考察某一位同学在一次数学考试中的成绩, 分别用A , B , C , D , P , F 表示下列各事件(括号中表示成绩所处的范围):]),100,90([优秀--A )),90,80([良好--B
)),80,70([中等--C )),70,60([及格--D ]),100,60([通过--P )),60,0([未通过--F 则F D C B A ,,,,是两两不相容事件P 与F 是互为对立事件，即有;F P = D C B A ,,,均为P 的子事件，且有.D C B A P =
例 3 甲，乙，丙三人各射一次靶，记-A “甲中靶” -B “乙中靶” -C “丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件：
(1) “甲未中靶”： ;A (2) “甲中靶而乙未中靶”： ;B A
(3) “三人中只有丙未中靶”;C AB (4) “三人中恰好有一人中靶”：;C B A C B A C B A
(5)“三人中至少有一人中靶”;C B A (6)“三人中至少有一人未中靶”;C B A 或;ABC
(7)“三人中恰有兩人中靶”;BC A C B A C AB (8)“三人中至少兩人中靶”;BC AC AB
(9)“三人均未中靶” ;C B A (10)“三人中至多一人中靶;C B A C B A C B A C B A
(11)“三人中至多兩人中靶”;ABC 或;C B A
注：用其他事件的运算来表示一个事件, 方法往往不惟一，如上例中的(6)和(11)实际上是同一事件，读者应学会用不同方法表达同一事件, 特别在解决具体问题时,往往要根据需要选择一种恰当的表示方法.
例4 指出下列各等式命题是否成立, 并说明理由: (1) B B A B A )(=; (2) B A B A =; (3) C AB C B A = ; (4) ∅=))((B A AB ;
(5) 如果B A ⊂, 则;AB A = (6) 如果∅=AB , 且A C ⊂,则∅=BC ;
(7) 如果B A ⊂, 那么A B ⊂; (8) 如果A B ⊂, 那么.A B A = 例5 化簡下列事件：(1) );)((B A B A (2) .B A B A B A
思考题
1. 设当事件A 与B 同时发生时C 也发生, 则 ( ).
(A) B A 是C 的子事件; (B);ABC 或;C B A
(C) AB 是C 的子事件; (D) C 是AB 的子事件.
2. 设事件=A {甲种产品畅销, 乙种产品滞销}, 则A 的对立事件为 ( ).
(A) 甲种产品滞销,乙种产品畅销; (B) 甲种产品滞销;
(C) 甲、乙两种产品均畅销; (D) 甲种产品滞销或者乙种产品畅销.
第二节 随机事件的概率
对一个随机事件A ，在一次随机试验中，它是否会发生，事先不能确定. 但我们可以问，在一次试验中，事件A 发生的可能性有多大？并希望找到一个合适的数来表征事件A 在一次试验中发生的可能性大小. 为此，本节首先引入频率，它描述了事件发生的频繁程度，进而引出表征事件在一次试验中发生的可能性大小的数----概率.
一. 频率及其性质
定义1 若在相同条件下进行n 次试验, 其中事件A 发生的次数为)(A r n , 则称
n
A r A f n n )()(=为事件A 发生的频率.易见, 频率具有下述基本性质: 1. ;1)(0≤≤A f n 2. ;1)(=S f n 3. 设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件, 则
)()()()(2121n n n n n n A f A f A f A A A f +++= .
二. 概率的统计定义
定义2在相同条件下重复进行n 次试验，若事件A 发生的频率n
A r A f n n )()(=
随着试验次数n 的增大而稳定地在某个常数p ()10≤≤p 附近摆动，则称p 为事件的概率，记为)(A P . 频率的稳定值是概率的外在表现, 并非概率的本质. 据此确定某事件的概率是困难的，但当进行大量重复试验时,频率会接近稳定值, 因此，在实际应用时，往往是用试验次数足够
