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院系：_____________ 专业：_______________ 班级：_________ 学号：___________ 姓名：_____________
山 西 师 范 大 学 2007——2008 学 年 第 二 学 期 期 末 考 试 试 题 （卷）
密 封 线 密 封 线 以 内 不 准 作 任 何 标 记 密 封 线
三、（15分）计算题： 用分离变量法求解
定解问题20
(,0)0,(,0)()
(0,)0,(,)0
tt xx t x u a u u x u x x u t u l t ψ⎧-=⎪
==⎨⎪==⎩
（0x l ≤≤，0t ≥）
其中()x ψ是已知函数。
四、（15分）一半径为1的空心球，以球心为坐标原点，若表面充电至电势为:
20(12cos 3cos )U θθ++时，试计算球内各点的电势分布（写出定解问题，并求解）。
五、（15分）证明题：利用勒让德多项式{()}l p x 在11x -≤≤上的生成函数公式，
证明递推公式：111
()[()(1)()]21l l l xP x lP x l P x l -+=
+++ （注：在球坐标系中22
222222
111()(sin )0sin sin u u u u r r r r r r θθθθθφ
∂∂∂∂∂∇=++=∂∂∂∂∂）
山 西 师 范 大 学 2007——2008 学 年 第 二 学 期 期 末 考 试 试 题 （卷）
密 封 线 密 封 线 以 内 不 准 作 任 何 标 记 密 封 线
8．1
()211()2x m m l e
J x d i ξξ
ξπξ
-+=
⎰ （l 为含0ξ=的任一围线）。
（5分） 二、（15分）计算题：略
三、（15分）计算题：
定解问题20
(,0)0,(,0)()
(0,)0,(,)0
tt xx t x u a u u x u x x u t u l t ψ⎧-=⎪
==⎨⎪==⎩
（0x l ≤≤，0t ≥）
（3分）
用分离变量法求解，令(,)()()u x t X x T t =，代入，得到两个常微分方程：
''''2()()0()()0X x X x T t a T t λλ⎧+=⎪⎨
⎪+=⎩
， （2分）
将边界条件分离变量，
构成本征值问题'''()()0(0)0,()0X x X x X X l λ⎧+=⎪
⎨
⎪==⎩
， （1分）
解本征值问题，求得本征值21()2[]n l
π
λ+=， （2分） 本征函数1()2()sin n x
X x l
π+=。
（1分） 解关于()T t 的常微分方程，得方程的解
1
111()()()222(,)[cos sin ]sin n n n n at n at n x u x t A B l l l πππ∞
=+++=+∑ （3分） 代入初始条件，确定系数，
0n A =，02(21)()sin (21)2l n l n x B x dx n a l
πψπ+=
+⎰ （3分）
四、（15分）计算题：
定解问题为：20201u 0 (r<1)
u u (12cos 3cos )
r r U θθ==∇===++有限 （3分）
由球坐标系中分离变量法，问题关于z 轴对称，知通解为：
令1
1(,)()(cos )l l l
l l l u r A r B p r
θθ∞
+==
+∑， （3分）
要满足0r =的自然边界条件，必须取0l B =. （3分） 再由1r =的边界条件：
2
00
(1,)(12cos 3cos )(cos )l l l u U A p θθθθ∞
==++=∑ （3分）
或：20001122(123)()()()U x x A p x A p x A p x ++=++ 可得：20012(,)2[(cos )(cos )]u r V p rp r p θθθ=++ （3分） 五、（15分）证明题：
()l l l P x r ∞
==∑两边对r 求导， （4分）
120
1(22()(12)2l l l x r P x lr rx r ∞
-=---=-+∑ （4分） 1
20
()
()()(12)l
l l
l
l l x r P x r P x lr
rx r ∞∞
-==-=-+∑∑ （3分）
比较l
r 的系数，得111
()[()(1)()]21
l l l xP x lP x l P x l -+=+++。
（4分）。
