当前位置：文档之家 › 高中数学抽象函数、复合函数综合练习

高中数学抽象函数、复合函数综合练习

  • 格式：doc
  • 大小：1.39 MB
  • 文档页数：16

抽象函数专题训练1 线性函数型抽象函数【例题1】已知函数()f x 对任意实数x y 、，均有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0,(1)2,f x f >-=-求()f x 在区间[-2,1]上的值域。

【例题2】已知函数()f x 对任意实数x y 、，均有()()=2+()f x f y f x y ++，且当0x >时，()2,(3)5,f x f >=求不等式2(23)3f a a --<的解。

2 指数函数型抽象函数【例题3】已知函数()f x 定义域为R ，满足条件：存在12x x ≠，使得12()(),f x f x ≠对任何x 和y ，()()()f x y f x f y +=⋅成立。

求： （1）(0);f(2) 对任意值x ,判断()f x 值的正负。

【例题4】是否存在函数()f x 满足下列三个条件： ①()0,.f x x N >∈②()()() ,.f a b f a f b a b N +=⋅∈，③(2)4f =同时成立？ 若存在，求出()f x 的解析式，若不存在，说明理由。

3 对数函数型抽象函数【例题5】设()f x 定义在+∞（0，）上的单调增函数，满足()()+()f xy f x f y =，(3)1f =。

求： （1）(1);f(2) 若()+(8)2,f x f x -≤求x 的取值范围。

4 三角函数型抽象函数【例题6】已知函数()f x 的定义域关于原点对称，且满足下列三个条件：①当12,x x 是其定义域中的数时，有121221()()1();()()f x f x f x x f x f x ⋅+-=-②()1,f a =-（0a >，a 是定义域中的一个数）③当02x a <<时，()0.f x <试问：（1） ()f x 的奇偶性如何？说明理由。

（2） 在0,4a （）上，()f x 的单调性如何？说明理由。

5 幂函数型抽象函数【例题7】已知函数()f x 对任意实数x y 、，均有()()()f xy f x f y =⋅，且(1)1,(27)9f f -==，当01x ≤<时，[)()0,1f x ∈.(1) 判断()f x 的奇偶性； (2) 判断()f x 在+∞[0，）的单调性，并给出证明； (3) 若0a ≥，且(1)f a +≤，求a 的取值范围。

练习：2010省市部分试题1.（上海十四校联考）已知R x f 是定义在)(上的函数，且R x f ∈=对任意的,1)1(都有下列两式成立：)6(,1)()(.1)()1(;5)()5(g x x f x g x f x f x f x f 则若-+=+≤++≥+的值为答案 12．已知)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意实数a 、R b ∈满足：)()()(a bf b af b a f +=⋅，2)2(=f ，n f a n n )2(=*)(N n ∈，n n n f b 2)2(=（*N n ∈），考察下列结论，①)1()0(f f =；②)(x f 为偶函数；③数列}{n b 为等差数列；④数列}{na 为等比数列，其中正确的是_______（填序号） 答案 ①③④3.（岳阳联考题）若()f x 是定义在R 上的函数，对任意的实数x ，都有 (4)()4f x f x +≤+和,2)()2(+≥+x f x f 且21=）（f ，则）（2009f 的值是（ ）A ．2008B ．2009C ．2010D ．2011答案 C4．(成都市石室中学高三三诊模拟)定义在[0，1]上的函数)(x f 满足)(21)5(,1)1()(,0)0(x f x f x f x f f ==-+=，且当1021≤<≤x x 时，)20101().()(21f x f x f 则≤等于（ C ） A ．21 B ．161 C ．321 D ．6415.（安徽两地三校联考）定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x 的取值范围。

解 （1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1（2）令a=x ，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴)(1)(x f x f =-由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0∴0)(1)(>-=x f x f 又x=0时，f(0)=1>0∴对任意x ∈R ，f(x)>0(3)任取x2>x1，则f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0∴1)()()()()(121212>-=-⋅=x x f x f x f x f x f∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)在R 上是增函数（4）f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0)， f(x)在R 上递增∴由f(3x-x2)>f(0)得：3x-x2>0 ∴ 0<x<36. （四川省成都外国语学校）已知定义在R 上的函数()f x 对任意实数x 、y 恒有()()()f x f y f x y +=+，且当0x >时，()0f x <，又2(1)3f =-。

(1)求证：()f x 为奇函数；(2)求证：()f x 为R 上的减函数；(3)解关于x 的不等式：11(2)()()()22f bx f x f bx f b ->-. (2)b >其中 答案 (1)，（2）略 (3)22bx b -<-。

第一篇、复合函数问题一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、复合函数定义域问题： （一）例题剖析：(1)、已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域思路：设函数f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f 的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范围不变，所以D x g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]f g x ()的定义域。

例1. 设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为_____________。

解析：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1） 又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01<<ln x 解得x e ∈()1，，故函数f x (ln )的定义域为（1，e ）例2. 若函数f x x ()=+11，则函数[]f f x ()的定义域为______________。

解析：先求f 的作用范围，由f x x ()=+11，知x ≠-1即f 的作用范围为{}x R x ∈≠-|1，又f 对f(x)作用所以f x R f x ()()∈≠-且1，即[]f f x ()中x 应满足x f x ≠-≠-⎧⎨⎩11()即x x ≠-+≠-⎧⎨⎪⎩⎪1111，解得x x ≠-≠-12且故函数[]f f x ()的定义域为{}x R x x ∈≠-≠-|12且 （2）、已知[]f g x ()的定义域，求f x ()的定义域思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x E E ∈，为f x ()的定义域。

例3. 已知f x ()32-的定义域为[]x ∈-12，，则函数f x ()的定义域为_________。

解析：f x ()32-的定义域为[]-12，，即[]x ∈-12，，由此得[]3215-∈-x ， 所以f 的作用范围为[]-15，，又f 对x 作用，作用范围不变，所以[]x ∈-15， 即函数f x ()的定义域为[]-15，例4. 已知f x x x ()lg 22248-=-，则函数f x ()的定义域为______________。

解析：先求f 的作用范围，由f x x x ()lg 22248-=-，知x x 2280-> 解得x 244->，f 的作用范围为()4，+∞，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x ∈+∞()4，，即f x ()的定义域为()4，+∞（3）、已知[]f g x ()的定义域，求[]f h x ()的定义域思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，f 的作用范围为E ，又f 对h x ()作用，作用范围不变，所以h x E ()∈，解得x F ∈，F 为[]f h x ()的定义域。

例5. 若函数f x()2的定义域为[]-11，，则f x (log )2的定义域为____________。

解析：f x ()2的定义域为[]-11，，即[]x ∈-11，，由此得2122x∈⎡⎣⎢⎤⎦⎥，f 的作用范围为122，⎡⎣⎢⎤⎦⎥又f 对log 2x 作用，所以log 2122x ∈⎡⎣⎢⎤⎦⎥，，解得[]x ∈24，即f x (log )2的定义域为[]24，评注：函数定义域是自变量x 的取值范围（用集合或区间表示）f 对谁作用，则谁的范围是f 的作用范围，f 的作用对象可以变，但f 的作用范围不会变。

利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。

（二）同步练习：1、 已知函数)x (f 的定义域为]1,0[，求函数)x (f 2的定义域。

答案：]1,1[-2、 已知函数)x 23(f -的定义域为]3,3[-，求)x (f 的定义域。

答案：]9,3[-3、 已知函数)2x (f y +=的定义域为)0,1(-，求|)1x 2(|f -的定义域。

答案：)23,1()0,21(⋃- 4、设()x x x f -+=22lg，则⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为（ ）A. ()()4,00,4 -B. ()()4,11,4 --C. ()()2,11,2 --D. ()()4,22,4 --解：选C.由202x x +>-得，()f x 的定义域为{}|22x x -<<。

合集下载

高二数学分段函数抽象函数与复合函数试题

高二数学分段函数抽象函数与复合函数试题

高二数学分段函数抽象函数与复合函数试题1.已知函数f（x）=，对任意的x∈[0，1]恒有f（x+a）≤f（x）成立，则实数a的取值范围是．【答案】【解析】数形结合法，由图象可知当，，时，对任意的，恒有f（x+a）≤f （x）成立；当，，时容易举出反例，答案为。

【考点】1.二次函数的图象与性质；2.分段函数的性质；3.恒成立问题2.已知函数，则函数的值为．【答案】【解析】,由分段函数则.【考点】分段函数求值，对数运算.3.已知定义在复数集C上的函数，则在复平面内对应的点位于第______象限．【答案】一【解析】由分段函数知，，对应的点为，位于第一象限．【考点】复数的运算，分段函数求值，复数的几何意义．4.已知分段函数，则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当，，从而根据定积分的可加性可知，故选C.【考点】定积分的计算.5.定义域为的函数满足当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，，；当时，，，当时，，，；当时，，，，综上所述，故，解得或，故选C.【考点】1.分段函数；2.二次函数的性质；3.指数函数的性质.6.已知函数．（1）求证：；（2）解不等式【答案】（1）利用分段函数的三段论来得到结论。

（2）【解析】（1），又当时，，∴（2）当时，；当时，；当时，综合上述，不等式的解集为：【考点】二次不等式点评：主要是考查了绝对值不等式以及二次不等式的求解，属于基础题。

7.设，若，则a＝ .【答案】3【解析】因为，，所以，，，由得，a=3.【考点】分段函数的概念，定积分计算，对数函数的性质。

点评：中档题，解答思路比较明确，注意先化简函数，在建立a的方程。

8.设函数则满足的的值为．【答案】3【解析】当时，由得，，解得，这与矛盾，舍去；当时，由得，，解得，符合，取。

【考点】分段函数点评：解决分段函数的问题，都需要分情况进行讨论。

9.已知定义在上的函数，满足对任意，都有成立，则= 。

高二数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析

高二数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析

高二数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析1.设函数，则使得成立的的取值范围是 .【答案】.【解析】，即.【考点】分段函数、解不等式.2.已知函数．（1）求证：；（2）解不等式【答案】（1）利用分段函数的三段论来得到结论。

（2）【解析】（1），又当时，，∴（2）当时，；当时，；当时，综合上述，不等式的解集为：【考点】二次不等式点评：主要是考查了绝对值不等式以及二次不等式的求解，属于基础题。

3.下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据奇偶函数的定义，为奇函数的有，，但在是增函数，故选B。

【考点】函数的奇偶性、单调性，复合函数的单调性。

点评：简单题，复合函数的单调性遵循“内外层函数，同增异减”。

4.函数f(x)= ，则+ f ( 1 )=【答案】4【解析】，，则+ f ( 1 )=4【考点】分段函数点评：在分段函数中，不管是求出函数值，还是求出自变量，需分清自变量的范围。

5.已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点个数为()A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】由于函数f(x)＝，那么当x<0时，则可知x(x+4)=0,x=-4,满足题意，因此可知成立。

同时当，=0，x=0,x=4,有两个零点，综上可知共有3个零点,故选C.【考点】函数的零点点评：解决的关键是对于分段函数的各段的零点分别讨论求解得到结论，属于基础题。

易错点就是忽略了定义域的范围，造成多解。

6.已知函数，，且，当时，是增函数，设，，，则、、的大小顺序是（）。

A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，由于函数，，且，可知x=2是函数的对称轴，同时当时，是增函数，当x<2是减函数，那么对于∴1＜＜2，＜1，,∴a=f（）＜f（1）=c=f（）＜b=f（），故选B【考点】抽象函数的性质点评：根据题意得到函数的对称轴方程，以及函数的单调性，是解决的关键，属于基础题。

7.已知函数，则 .【答案】2【解析】8.（本题满分12分）已知函数是定义在的增函数，且满足（1）求（2）求满足的x的取值范围.【答案】（1）取得f(1)=0；(2) 且，解得【解析】本题主要考查抽象函数问题，赋值法是解决抽象函数问题的一种很重要的方法，利用函数的单调性去掉函数的对应法则解决函数不等式也是一种常用的方法。

高三数学分段函数抽象函数与复合函数试题

高三数学分段函数抽象函数与复合函数试题

高三数学分段函数抽象函数与复合函数试题1.已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是 ()．A．(－∞，0]B．(－∞，1]C．[－2,1]D．[－2,0]【答案】D【解析】当x≤0时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤0，所以|f(x)|≥ax，化简为x2－2x≥ax，即x2≥(a＋2)x，因为x≤0，所以a＋2≥x恒成立，所以a≥－2；当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)>0，所以|f(x)|≥ax化简为ln(x＋1)>ax恒成立，由函数图象可知a≤0，综上，当－2≤a≤0时，不等式|f(x)|≥ax恒成立，故选D.2.已知，则=__________.【答案】0.【解析】由题意.【考点】分段函数.3.对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)，x∈R，若函数y ＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是_________ .【答案】【解析】由已知得则的图象如图.∵的图象与轴恰有两个公共点，∴与的图象恰有两个公共点，由图象知，或.【考点】分段函数的解析式求法及其图像的作法，数形结合思想.4.已知函数，设，若，则的取值范围是 .【答案】【解析】画出函数图象如图所示，由图象可知要使，同时成立，，,∴.【考点】1.函数图像；2.配方法求最值.5.设函数，其中表示不超过的最大整数，如，.若直线与函数的图象恰好有3个不同的交点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】作出函数的图象如图所示.直线恒过点由图可知，当时，它们恰好有3个不同的交点.故选B【考点】1、分段函数；2、图象的作法；3、直线的斜率；4、直线的点斜式方程6.函数的零点的个数（）A．4B．3C．2D．1【答案】B【解析】,显然有一个极值点.又，所以时，有两个零点.显然时，有一个零点.所以共有3个零点.【考点】1、分段函数；2、函数的零点.7.定义在上的函数，当时，，且对任意的,有，（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：对任意的，恒有；（Ⅲ）若，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）令即可得证；（Ⅱ）令得，，由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0，故对任意x∈R，f(x)>0；（Ⅲ）先证明为增函数：任取x2>x1，则，，故，故其为增函数；然后利用单调性脱解一元二次不等式.试题解析：（Ⅰ）令，则f(0)=[f(0)]2∵ f(0)≠0 ∴ f(0)=1 2分（Ⅱ）令则 f(0)=f(x)f(-x)∴ 4分由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0∴，又x=0时，f(0)=1>0 6分∴对任意x∈R，f(x)>0 7分(Ⅲ)任取x2>x1，则f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0 8分∴∴f(x2)>f(x1) ∴ f(x)在R上是增函数 10分f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0)，f(x)在R上递增∴由f(3x-x2)>f(0)得：x-x2>0 ∴ 0<x<3 13分【考点】抽象函数、增函数的证明、一元二次不等式解法.8.已知：则f(f(5))等于( )A．－1B．1C．－2D．2【答案】B【解析】∵，，又，.【考点】求分段函数的函数值.9.已知以为首项的数列满足：(1)若，求证：;(2)若，求使对任意正整数n都成立的与.【答案】（1）证明过程详见解析；（2）当时，满足题意的N*；当时，满足题意的N*．【解析】本题考查数列与函数的综合知识.第一问，将从3断开，分成两部分，分别求出的范围；第二问，分别验证每一种情况.试题解析：（1）当时，则，当时，则,故，所以当时，总有． 8分（2）①当时，，故满足题意的．同理可得，当或4时，满足题意的N*．当或6时，满足题意的N*．②当时，，故满足题意的k不存在．③当时，由（1）知，满足题意的k不存在．综上得：当时，满足题意的N*；当时，满足题意的N*． 16分.【考点】1.求分段函数的值域；2.恒成立问题；3.分类讨论思想.10.已知，若,则 .【答案】或【解析】因为，，所以，由得，或，，即则或.【考点】分段函数的概念11.已知函数是R上的增函数，则的取值范围是（）A．≤＜0B．≤≤C．≤D．＜0【答案】B【解析】函数是R上的增函数，则单调递增，故它的对称轴，即，此时也单调递增，要保证在R上是增函数，只需在满足，即，综上所述的取值范围是．【考点】函数的单调性．12.已知函数，对于下列命题：①函数的最小值是0；②函数在上是单调递减函数；③若；④若函数有三个零点，则的取值范围是；⑤函数关于直线对称．其中正确命题的序号是____________________．（填上你认为所有正确命题的序号）．【答案】③④【解析】画出分段函数的图像，函数无最小值，在R上单调性不单一，故①②错误；③正确；有三个不同的交点，故，④正确；函数的图像是将的图像中轴下方的翻折上去，但在和的图像不对称，故⑤错误.【考点】分段函数、函数的单调性、函数的图像与性质、函数的对称性．13.已知函数(1)当时,求不等式的解集; (2)若的解集包含,求的取值范围.【答案】(1)或(2)【解析】(1)当时,或或或(2)原命题在上恒成立在上恒成立在上恒成立【考点】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式恒成立问题。

高一数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析

高一数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析

高一数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析1.已知函数，则的值是（）A．4B．48C．240D．1440【答案】C【解析】因为，所以，故选C.【考点】分段函数求函数值的问题.2.设函数则的值为A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知函数可得，，故D为正确答案.【考点】分段函数求值.3.已知函数则______.【答案】【解析】由题可得．【考点】分段函数的求值．4.设，则（）A．B．0C．D．【答案】C【解析】，故选C【考点】分段函数5.已知函数，则的值是．【答案】【解析】因为，而，所以．【考点】本题考查的知识点是分段函数求函数值的方法，属基础题．6.已知函数，则( )A．0B．1C．-2D．-1【答案】B【解析】分段函数求函数时，要注意自变量的取值范围.。

【考点】分段函数.7.若函数，则=()A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】复合函数求值由内向外的求解是关键,代入计算时注意不同的自变量对应的表达式,先计算，再计算,最后计算故选B【考点】分段函数的值．8.设，则【答案】【解析】由分段函数有.【考点】分段函数的定义域不同解析式不同.9.在上是减函数，则的取值范围是（）A．[B．[ ]C．( D．( ]【答案】A【解析】由于两段函数都是一次的形式，依题意减函数可以得，斜率小于零，即，另外(3-1)x+4在x=1的值不小于-x在x=1的值，即(3-1)+4a≥-,所以，综上.故选A.【考点】 1.分段函数的单调性的问题.2.处理分界点的函数值的大小.10.如图（1）四边形ABCD为直角梯形，动点P从B点出发，由B→C→D→A沿边运动，设点P运动的路程为x，ΔABP面积为f(x).若函数y=f(x)的图象如图（2），则ΔABC的面积为A．10B．16C．18D．32【答案】B【解析】观察图（2），可知，，，由平面几何的知识易求得，∴，选B.【考点】分段函数.11.已知则的值等于()．A．－2B．4C．2D．－4【答案】B【解析】本题是分段函数，求值时，要注意考察自变量的范围，，，.【考点】分段函数.12.函数满足: ,且,则【答案】【解析】本题给出的函数是一个递归式，可以按照原来函数的样子递归到1，再回推出4。