解三角形中的最值(范围)问题

第14讲解三角形中周长最大值及取值范围问题【考点分析】考点一：解三角形中角的最值及范围问题①利用锐角三角形，⎪⎩⎪⎨⎧<<<<<<πππC B A 000，求出角的范围②利用余弦定理及基本不等式求角的最值：bca bc bc a cb A 222cos 2222-≥-+=考点一：解三角形中周长的最值及范围问题①利用基本不等式：()bca bc cb bc a c b A 222cos 22222--+=-+=，再利用bc c b 2≥+及a c b >+，求出c b +的取值范围②利用三角函数思想：()B A R B R C R B R c b ++=+=+sin 2sin 2sin 2sin 2，结合辅助角公式及三角函数求最值【题型目录】题型一：三角形角的最值及范围问题题型二：三角形边周长的最值问题题型三：三角形边周长的最值范围问题【典型例题】题型一：三角形角的最值及范围问题【例1】在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin 2sin B C A +=，则A 的最大值为（）A ．2π3B ．π6C ．π2D ．π3【例2】在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos 0a B c +=，则tan C 的最大值是（）A ．1BCD【例3】锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2cos b a a C -=，则（）A ．2C A =B ．A 的取值范围是(,)64ππC ．2A C=D ．2ca的取值范围是【例4】已知在锐角ABC 中，sin tan 1cos BA B=+.(1)证明：2B A =；(2)求tan tan 1tan tan B AA B-+⋅的取值范围.【题型专练】1．在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cos b b A a B +=，则（）A ．2AB =B ．64B ππ<<C ．(ab∈D ．22a b bc=+2．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，若222sin()SA C b a +=-，则1tan 3tan()A B A +-的取值范围为（）A ．,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．4,33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．433⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭题型二：三角形边周长的最值问题【例1】已知ABC 的内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，6c =，60B =︒，则b 的最小值为（）A ．3B ．C ．D ．6【例2】设ABC 边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，若ABC 的面积为212c ，则以下结论中正确的是（）A ．b aa b+取不到最小值2B ．b aa b+的最大值为4C ．角C 的最大值为2π3D ．23b a ca b ab+-的最小值为-【例3】已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且()()()2sin sin 2sin sin a A B c b B C -=-+，若2AD DB =，1CD = ，求：(1)求()cos A B +的值；(2)求2b a +的最大值.【例4】△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos2A +cos2B +2sin A sin B ＝1+cos2C ．(1)求角C ；(2)设D 为边AB 的中点，△ABC 的面积为CD 的最小值.【例5】ABC 三角形的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，(2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C -+-=(1)求C ∠；(2)已知6c =，求ABC 周长的最大值．【题型专练】1．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足sin 2sin sin A B C =，则c bb c+的最大值为______，此时内角A 的值为______2.在平面四边形ABCD 中，20AB AD ==，π3BAD ∠=，2π3BCD ∠=．(1)若5π12ABC ∠=，求BC 的长；(2)求四边形ABCD 周长的最大值．3．在条件：①2sin 30b A =，②3sin cos a b A a B =-，③22cos a b C c =+中任选一个，补充在下列问题中，然后解答补充完整的题目．已知a ，b ，c 分别为锐角ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，3b =，而且__________；(1)求角B 的大小；(2)求ABC 周长的最大值．4.ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.5.已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，(cos 3)a C C b c +=+．（1）求角A ；（2）若5a =，求ABC △的周长的最大值．题型三：三角形边周长的最值范围问题【例1】在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若1c =，π3B =，则a 的取值范围为_____________；sin sin AC 的最大值为__________．【例2】设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，.c 已知6a =，2b =，要使ABC 为钝角三角形，则c 的大小可取__________(取整数值，答案不唯一)．【例3】在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2cos 2a cC b-=.(1)求角B 的大小；(2)求ac的取值范围.【例4】平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠= ，AB =2，则AD 长度的取值范围________.【例5】某公园有一块等腰直角三角形的空地ABC ，其中斜边BC 的长度为400米，现欲在边界BC 上选择一点P ，修建观赏小径PM ，PN ，其中M ，N 分别在边界AB ，AC 上，小径PM ，PN 与边界BC 的夹角都是60︒，区域PMB 和区域PNC 内部种郁金香，区域AMPN 内种植月季花．(1)探究：观赏小径PM ，PN 的长度之和是否为定值？请说明理由；(2)为深度体验观赏，准备在月季花区城内修建小径MN ，当点P 在何处时，三条小径（PM ，PN ，MN ）的长度之和最少？【例6】请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．①()()()sin sin sin 0a c A C b a B +-+-=；②2cos 12cos C C C =+；③2sin sin 2sin cos B A C A -=．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若．(1)求角C ；(2)若4c =，求△ABC 周长的取值范围．【例7】在ABC 中,,a b c 为角,,A B C 所对的边，且cos cos 2B bC a c=-.(1)求角B 的值；(2)若b ，求2a c -的取值范围.【例8】在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()()sin sin 2sin sin sin a A c C B b C B =-++．(1)求角A ；(2)若ABC 为锐角三角形，求)2b c a-的取值范围．【题型专练】1．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2B bC a c=-，则下列说法正确的有（）A ．3B π=B ．若sin 2sinC A =，且ABC 的面积为ABC 的最小边长为2C ．若b =时，ABC 是唯一的，则a ≤D ．若b =ABC 周长的范围为2．锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2cos b a a C -=，则（）A ．2C A =B ．A 的取值范围是(,)64ππC ．2A C=D ．2ca的取值范围是3．已知三角形ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且(2)cos cos 0a c B b C --=．(1)求角B ；(2)若b ＝2，求a c +的取值范围．4．在锐角ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足()22sin sin sin sin A B B A B -=+.(1)证明：2A B =.(2)求bc 的取值范围.5．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()2sin 2sin 2sin a c A c a C b B -+-=.(1)求B ；(2)若ABC 为锐角三角形，且2b =，求ABC 周长的取值范围.6．如图：某公园改建一个三角形池塘，90C ∠=︒，2AB =（百米），1BC =（百米），现准备养一批观赏鱼供游客观赏．(1)若在ABC 内部取一点P ，建造APC 连廊供游客观赏，如图①，使得点P 是等腰三角形PBC 的顶点，且2π3CPB ∠=，求连廊AP PC PB ++的长（单位为百米）；(2)若分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，并建行连廊，使得DEF 变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏．如图②，当DEF 为正三角形时，求DEF 的面积的最小值．7.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若sin sin cos cos 3sin B C A CA a c=+，且222sin sin sin sin sin A B C A B +-=⋅，则ba c +2的取值范围是（）A ．B ．(6,C ．D ．2)。

专题03 解三角形中的最值、范围问题高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，选择题、填空题的形式往往独立考查正弦定理或余弦定理，解答题往往综合考查定理在确定三角形边角中的应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换、不等式、导数等结合考查，试题难度控制在中等以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等．本专题围绕解三角形中的最值、范围问题精选例题，并给出针对性练习，以期求得热点难点的突破.【热点难点突破】例1.【2018年江苏卷】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．【答案】9【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.例2.【2018年文北京卷】若的面积为,且∠C为钝角，则∠B=_________；的取值范围是_________.【答案】【解析】分析：根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得，可求得；再利用，将问题转化为求函数的取值范围问题.详解：，，即，，则，为钝角，，，故.例3.锐角的内角，，的对边分别为，，，已知的外接圆半径为，且满足.（1）求角的大小； （2）若，求周长的最大值.【答案】（1）；（2）当为正三角形时，周长的最大值为6.【解析】（1）由正弦定理，得，再结合，得，解得，由为锐角三角形，得.（2）由、及余弦定理，得，即，结合，得，解得（当且仅当时取等号），所以（当且仅当时取等号），故当为正三角形时，周长的最大值为6.例4. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2a =，242cos sin 25B C A ++=. （1）若满足条件的ABC ∆有且只有一个，求b 的取值范围； （2）当ABC ∆的周长取最大值时，求b 的值. 【答案】（1）10(0,2]{}3；（210【解析】 （1）2442cossin 1cos()sin 255B C A B C A ++=⇒+++=，即1sin cos 5A A -=-， 又∵0A π<<，且22sin cos 1A A +=，有3sin 54cos 5A A ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，若满足条件的ABC ∆有且只有一个，则有sin a b A =或a b ≥，则b 的取值范围为10(0,2]{}3；（2）设ABC ∆的周长为l ，由正弦定理得 10(sin sin )2[sin sin()]sin 3a l abc a B C B A B A =++=++=+++102(sin sin cos cos sin )22(3sin cos )2210)3B A B A B B B B θ=+++=++=++， 其中θ为锐角，且10sin 10310cos θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，max 2210l =+10cos B =，310sin B = 此时sin 10sin ab B A==例5. 【2016年北京卷】在∆ABC 中，2222+=a c b ac . （1）求B ∠ 的大小；（22cos cos A C + 的最大值. 【答案】（1）4π；（2）1. 【解析】（1）由余弦定理及题设得22222cos 222a cb ac B ac ac +-===，又∵0B π<∠<，∴4B π∠=；（2）由（1）知34A C π∠+∠=， 32cos 2cos()4A C A A π+=+-22222A A A =-+ 22cos()4A A A π==-，因为304A π<∠<，所以当4A π∠=2cos A C +取得最大值1.例6. 如图，有一码头P 和三个岛屿,,A B C ， 303,90mi ,30PC mile PB n le AB n mile ===，0120PCB ∠=， 090ABC ∠=.（1）求,B C 两个岛屿间的距离；（2）某游船拟载游客从码头P 前往这三个岛屿游玩，然后返回码头P .问该游船应按何路线航行，才能使得总航程最短？求出最短航程.【答案】（1）3mile （2）(30603307n mile +【解析】（1）在PBC ∆中， 090,3,120PB PC PCB ==∠=，由正弦定理得，sin sin PB PCPCB PBC=∠∠，即0903sin120sin PBC =∠， 解得1sin 2PBC ∠=， 又因为在PBC ∆中， 00060PBC <∠<，所以030PBC ∠=， 所以030BPC ∠=，从而303BC PC == 即,B C 两个岛屿间的距离为3mile ；（2）因为090,30ABC PBC ∠=∠=，所以000903060PBA ABC PBC ∠=∠-∠=-=， 在PAB ∆中， 90,30PB AB ==，由余弦定理得，2202212?cos609030290303072PA PB AB PB AB =+-=+-⨯⨯⨯= 根据“两点之间线段最短”可知，最短航线是“P A B C P →→→→”或“P C B A P →→→→”，其航程为3073030330330603307S PA AB BC CP =+++=+=+所以应按航线“P A B C P →→→→”或“P C B A P →→→→”航行， 其航程为(30603307n mile +. 【方法总结】1.已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．2.已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．3.已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式a ＜b sin Aa ＝b sin Ab sin A ＜a ＜ba ≥ba ＞ba ≤b解的个数无解一解两解一解一解无解4．在△ABC 中有如下结论sin A ＞sin B ⇔a ＞b .5.已知三边(a b c 如、、），由余弦定理求A B 、，再由180A B C ++=求角C ，在有解时只有一解. 已知两边和夹角(a b C 如、、），余弦定理求出对对边.5．当b 2＋c 2－a 2＞0时，角A 为锐角，若可判定其他两角也为锐角，则三角形为锐角三角形； 当b 2＋c 2－a 2＝0时，角A 为直角，三角形为直角三角形； 当b 2＋c 2－a 2＜0时，角A 为钝角，三角形为钝角三角形．【精选精练】1. ABC ∆各角的对应边分别为c b a ,,，满足1≥+++ba cc a b ，则角A 的范围是（ ） A ．(0,]3πB ．(0,]6πC ．[,)3ππD ．[,)6ππ 【答案】A 【解析】由1≥+++ba cc a b ，得()()()()b a c a c a c b a b ++≥+++，整理得bc a c b ≥-+222，由余弦定理得2122cos 222≥≥-+=bc bc bc a c b A ，⎥⎦⎤⎝⎛∈∴3,0πA . 2.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求60ACB ∠=︒， BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC 越短越好，则AC 最短为（ ）A. 312⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭米 B. 2米 C. (13米 D. (23+米 【答案】D【解析】由题意设(1)BC x x =>米， (0)AC t t =>米，依题设0.50.5AB AC t =-=-米，在ABC 中，由余弦定理得： 22202cos60AB AC BC ACBC =+-，即()2220.5t t x tx -=+-，化简并整理得：20.25(1)1x t x x -=>-，即0.75121t x x =-++-，因1x >，故0.7512231t x x =-++≥+-312x =+时取等号），此时t 取最小值23，应选答案D 3.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 满足222b c a bc +-=，0AB BC >，3a = 则b+c 的取值范围是（ ） A. 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.3322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C.13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D.13,22⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】B【解析】由222b c a bc +-=得：2221cos 22b c a A bc +-==，则A=3π，由0AB BC >可知：B 为钝角， 21sin aR A==，则sin ,sin b B c C ==，sin sin sin b c B C B +=+=+2sin(3π)B -33=sin cos 3sin()226B B B π+=+，由于223B ππ<<，25366B πππ<+<，所以13sin()23B π<+<332b c <+<，选B 4.在ABC ∆中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且222a b c bc =++，3a S 为ABC ∆的面积，则3cos S B C 的最大值为（ ）（A ）1 （B 31+ （C 3 （D ）3 【答案】C【解析】∵222a b c bc =++，∴2221cos 22b c a A bc +-==-，∴23A π=，设ABC ∆外接圆的半径为R ，则3222sin sin 3a R A π===，∴1R =， ∴133cos sin 3cos 3cos 2S B C bc A B C B C ==+ 3sin 3cos 3)B C B C B C =+=-，故3cos S B C 3C ．5.已知,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，其面积满足214ABC S a ∆=，则cb的最大值为（ ） A.21 B. 2 C. 21 D. 22+【答案】C【解析】根据题意，有211sin 42ABC S a bc A ∆==，应用余弦定理，可得222cos 2sin b c bc A bc A +-=，于是212cos 2sin t t A t A +-=，其中c t b =．于是22sin 2cos 1t A t A t +=+，所以122sin 4A t t π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，从而122t t+≤，解得t 21．选C.6.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2c B a b =+，若ABC ∆的面积为32S =，则ab 的最小值为__________． 【答案】12【解析】由正弦定理可得()2sin cos 2sin sin 2sin sin C B A B B C B =+=++，即2sin cos 2sin cos 2sin cos sin C B B C C B B =++，∴2sin cos sin 0B C B +=，∴1cos 2C =-， 23C π=，由133sin 2S ab C =⋅==，∴12c ab =，再由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-⋅，整理可得2222134a b a b ab ab =++≥，当且仅当a b =时，取等号，∴12ab ≥故答案为12. 7.在平面四边形ABCD 中，∠A =∠B =∠C =75°，BC =2，则AB 的取值范围是 . 【答案】626+2）【解析】如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B =∠C =75°，∠E =30°，BC =2，由正弦定理可得sin sin BC BE E C =∠∠，即o o2sin 30sin 75BE=，解得BE =6+2，平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B =∠BFC =75°，∠FCB =30°，由正弦定理知，sin sin BF BC FCB BFC =∠∠，即o o2sin 30sin 75BF =，解得BF =62-，所以AB 的取值范围为（62-，6+2）.8. 在中，内角的对边分别为，且满足，为锐角，则的取值范围为__________． 【答案】【解析】分 由结合正弦定理可得：，且，为锐角，则：，即，据此有：，，，，即，，据此可得：，则的取值范围为.9.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量()B A m cos ,cos =，()b c a n -=2,，且n m //．（1）求角A 的大小；（2）若4=a ，求ABC ∆面积的最大值． 【答案】（1）3π；（2）34． 【解析】 n m //，所以()0cos 2cos =--A b c B a ，由正弦定理得-B A cos sin ()0cos sin sin 2=-A B C ，A C AB B A cos sin 2cos sin cos sin =+∴()A C B A cos sin 2sin =+∴，由π=++C B A ，A C C cos sin 2sin =∴由于π<<C 0，因此0sin >C ，所以21cos =A ，由于π<<A 0，3π=∴A （2）由余弦定理得A bc c b a cos 2222-+=bc bc bc bc c b =-≥-+=∴21622，因此16≤bc ，当且仅当4==c b 时，等号成立；因此ABC ∆面积34sin 21≤=A bc S ，因此ABC ∆面积的最大值34． 10. 已知3x π=是函数()sin2cos2f x m x x =-的图象的一条对称轴.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）设ABC ∆中角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()2f B =，且3b =2ca -的取值范围. 【答案】（1）(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）33⎛ ⎝ 【解析】试题分析： （1）3x π=是函数()f x 的一条对称轴213f m π⎛⎫⇒=+⎪⎝⎭21m -+3m ⇒=()2sin 26f x x π⎛⎫⇒=- ⎪⎝⎭，根据三角函数的性质，即可求出单调性；（2）()2f B = 可得3B π=，又3b =由正弦定理得： 2sin sin(+=3sin 236c a A A A ππ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，由230,3sin 3362A A ππ⎛⎛⎫⎛⎫∈⇒-∈- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，即可求出结果. 试题解析： （1）3x π=是函数()sin2cos2f x m x x =-的一条对称轴213f m π⎛⎫⇒=+ ⎪⎝⎭21m -+3m ⇒=()2sin 26f x x π⎛⎫⇒=- ⎪⎝⎭⇒增区间： (),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）()2f B = sin 2163B B ππ⎛⎫⇒-=⇒= ⎪⎝⎭ 又3b =2sin ,2sin 2sin 3a A c C A π⎛⎫===+ ⎪⎝⎭2sin sin(+=3sin 236c a A A A ππ⎛⎫⇒-=-- ⎪⎝⎭ 210,,sin ,1366262A A A πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈⇒-∈-⇒-∈- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭33sin 36A π⎛⎛⎫⇒-∈ ⎪ ⎝⎭⎝，即332c a ⎛⇒-∈ ⎝ 11. 在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，满足cos2cos22cos cos 066A B B B ππ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求角A 的值； （2）若3b =b a ≤，求a 的取值范围.【答案】(1) 3A π=；(2) )3,3a ∈.【解析】试题分析：（1）根据余弦的二倍角公式以及两角和与差的余弦公式化简cos2cos22cos cos 066A B B B ππ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得sin A 的值，从而求得A 的值；（2）3b a =≤，∴c a ≥，∴32C ππ≤<，63B ππ<≤，再由正弦定理可得结果.试题解析：（1）由已知cos2cos22cos cos 066A B B B ππ⎛⎫⎛⎫-+-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得2222312sin 2sin 2cos sin 044B A B B ⎛⎫-+-=⎪⎝⎭化简得3sin 2A =，又三角形ABC 为锐角三角形，故原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 3A π=. （2）∵3b a =≤，∴c a ≥，∴32C ππ≤<， 63B ππ<≤由正弦定理得： sin sin a b A B =即： 3sin 32a B =，即32sin a B =由13sin ,22B ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦知)3,3a ⎡∈⎣. 12. 如图，是两个小区所在地，到一条公路的垂直距离分别为，两端之间的距离为.（1）某移动公司将在之间找一点，在处建造一个信号塔，使得对的张角与对的张角相等，试确定点的位置；（2）环保部门将在之间找一点，在处建造一个垃圾处理厂，使得对所张角最大，试确定点的位置.【答案】（1）4；（2）. 【解析】试题分析：(1)利用张角相等的相似性即可确定点P 的位置；(2)由题意得到三角函数，换元之后结合对勾函数的性质可得当时满足题意. 试题解析：（1）张角相等，∴，∴ (2)设，∴， ∴，， ，设，，，， ∴，，当且仅当时，等号成立，此时，即。

三角函数ω的取值范围及解三角形中的范围与最值问题命题预测三角函数与解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，有时会出现在选择题、填空题的压轴小题位置，综合考查以解答题为主，中等难度．高频考法(1)ω取值与范围问题(2)面积与周长的最值与范围问题(3)长度的范围与最值问题01ω取值与范围问题1、f (x )=A sin (ωx +φ)在f (x )=A sin (ωx +φ)区间(a ，b )内没有零点⇒b -a ≤T2k π≤aω+ϕ<π+k πk π<bω+ϕ≤π+k π⇒b -a ≤T2a ≥k π-ϕωb ≤π+k π-ϕω同理，f (x )=A sin (ωx +φ)在区间[a ，b ]内没有零点⇒b -a ≤T2k π<aω+ϕ<π+k πk π<bω+ϕ<π+k π ⇒b -a <T2a >k π-ϕωb <π+k π-ϕω2、f (x )=A sin (ωx +φ)在区间(a ，b )内有3个零点⇒T <b -a ≤2T k π≤aω+ϕ<π+k π3π+k π<bω+ϕ≤4π+k π⇒T <b -a ≤2T k π-φω≤a <(k +1)π-φω(k +3)π-φω<b ≤(k +4)π-φω同理f (x )=A sin (ωx +φ)在区间[a ，b ]内有2个零点⇒T2≤b -a <3T2k π<aω+ϕ≤π+k π2π+k π≤bω+ϕ<3π+k π ⇒T 2≤b -a <3T2k π-φω<a ≤k π+π-φω(k +2)π-φω≤b <(k +3)π-φω 3、f (x )=A sin (ωx +φ)在区间(a ，b )内有n 个零点⇒(n-1)T2≤b-a<(n+1)T2kπ-φω≤a<kπ+π-φω(k+n)π-φω<b≤(k+n+1)π-φω同理f(x)=A sin(ωx+φ)在区间[a，b]内有n个零点⇒(n-1)T2≤b-a<(n+1)T2kπ-φω<a≤kπ+π-φω(k+n)π-φω≤b<(k+n+1)π-φω4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为2n+14T，则2n+14T=(2n+1)π2ω=b-a ．5、已知单调区间(a,b)，则a-b≤T 2.1(2024·江苏南通·二模)已知函数y=3sinωx+cosωx(ω>0)在区间-π4,2π3上单调递增，则ω的最大值为()A.14B.12C.1211D.83【答案】B【解析】因为y=3sinωx+cosωx=2sinωx+π6，又ω>0，由-π2+2kπ≤ωx+π6≤π2+2kπ,k∈Z，得到-2π3+2kπω≤x≤π3+2kπω,k∈Z，所以函数y=3sinωx+cosωx的单调增区间为-2π3+2kπω,π3+2kπω(k∈Z)，依题有-π4,2π3⊆-2π3+2kπω,π3+2kπω(k∈Z)，则2π3≤π3ω-2π3ω≤-π4，得到0<ω≤12，故选：B.2(2024·四川泸州·三模)已知函数f x =sinωx-2π3(ω>0)在0,π 有且仅有三个零点，则ω的取值范围是()A.83,11 3B.83,113C.53,83D.53,83【答案】B【解析】因为0≤x≤π，所以-2π3≤ωx-2π3≤ωπ-2π3，因为函数f x =sinωx-2π3(ω>0)在0,π 有且仅有三个零点，结合正弦函数的图象可知2π≤ωπ-2π3<3π，解得83≤ω<113，故选：B.3(2024·四川德阳·二模)已知函数f x =sinωx+φ(ω>0,φ∈R)在区间7π12,5π6上单调，且满足f7π12=-f3π4 ．给出下列结论，其中正确结论的个数是()①f2π3=0；②若f5π6-x=f x ，则函数f x 的最小正周期为π；③关于x的方程f x =1在区间0,2π上最多有3个不相等的实数解；④若函数f x 在区间2π3,13π6上恰有5个零点，则ω的取值范围为83,103．A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】①因为f7π12=-f3π4 且7π12+3π42=2π3，所以f2π3=0.①正确.②因为f5π6-x=f(x)所以f(x)的对称轴为x=5π62=5π12,2π3-5π12=π4=T4⇒T=π.②正确.③在一个周期内f x =1只有一个实数解，函数f x 在区间7π12,5π6上单调且f2π3 =0，T≥45π6-2π3=2π3.当T=2π3时，f x =sin3x，f x =1在区间0,2π上实数解最多为π6,5π6,3π2共3个.③正确.④函数f x 在区间2π3,13π6上恰有5个零点，2T<13π6-2π3≤5T2⇒2⋅2πω<13π6-2π3≤52⋅2πω，解得83<ω≤103；又因为函数f x 在区间7π12,5π6上单调且f2π3 =0，T≥45π6-2π3=2π3，即2πω≥2π3⇒ω≤3，所以ω∈83,3.④错误故选：C4(2024·江苏泰州·模拟预测)设函数f x =2sinωx-π6-1ω>0在π,2π上至少有两个不同零点，则实数ω的取值范围是()A.32,+∞ B.32,73 ∪52,+∞ C.136,3 ∪196,+∞ D.12,+∞ 【答案】A【解析】令2sin ωx -π6 -1=0得sin ωx -π6 =12，因为ω>0，所以ωx -π6>-π6，令sin z =12，解得z =π6+2k π,k ∈Z 或z =5π6+2k 1π,k 1∈Z ，从小到大将sin z =12的正根写出如下：π6，5π6，13π6，17π6，25π6，29π6⋯⋯，因为x ∈π,2π ，所以ωx -π6∈ωπ-π6,2ωπ-π6，当ωπ-π6∈0,π6 ，即ω∈16,13 时，2ωπ-π6≥5π6，解得ω≥12，此时无解，当ωπ-π6∈π6,5π6 ，即ω∈13,1 时，2ωπ-π6≥13π6，解得ω≥76，此时无解，当ωπ-π6∈5π6,13π6 ，即ω∈1,73 时，2ωπ-π6≥17π6，解得ω≥32，故ω∈32,73，当ωπ-π6∈13π6,17π6 ，即ω∈73,3 时，2ωπ-π6≥25π6，解得ω≥136，故ω∈73,3，当ω≥3时，2ωπ-π6-ωπ-π6=ωπ≥3π，此时f x 在π,2π 上至少有两个不同零点，综上，ω的取值范围是32,+∞ .故选：A02面积与周长的最值与范围问题正弦定理和余弦定理是求解三角形周长或面积最值问题的杀手锏，要牢牢掌握并灵活运用．利用三角公式化简三角恒等式，并结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等求其最值．1(2024·青海·模拟预测)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a cos 2B +2b cos A cos B =c ．(1)求B ；(2)若b =4，△ABC 的面积为S ．周长为L ，求SL的最大值．【解析】(1)由正弦定理可得，2sin A cos 2B +2sin B cos A cos B =sin C ，所以2sin A cos 2B +2sin B cos A cos B =sin A cos B +cos A sin B ,所以sin A cos B (2cos B -1)+cos A sin B (2cos B -1)=0，即(2cos B -1)sin (A +B )=0，由0<A +B <π，可知sin (A +B )≠0，所以2cos B -1=0，即cos B =12，由0<B <π，知B =π3.(2)由余弦定理，得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，即16=a 2+c 2-ac ，所以16=a +c 2-3ac ，即ac =13a +c 2-16 ，因为S =12ac sin B =34ac ，L =a +b +c ，所以S L =3ac 4a +c +4=3a +c 2-1612a +c +4，所以S L=312a +c -4 ，又ac ≤a +c 24(当且仅当a =c 时取等号)，所以16=a +c 2-3ac ≥a +c24(当且仅当a =c =4时取等号)，所以a +c ≤8(当且仅当a =c =4时取等号)，所以S L=312a +c -4 ≤312×8-4 =33(当且仅当a =c =4时取等号)，即S L的最大值为33.2(2024·陕西汉中·二模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，请从下列条件中选择一个条件作答：(注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．)①记△ABC 的面积为S ，且3AB ⋅AC =2S ；②已知a sin B =b cos A -π6 ．(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，且a =6，求△ABC 周长的取值范围．【解析】(1)选条件①，由3AB ⋅AC =2S ，得3bc cos A =2×12bc sin A ，整理得tan A =3，而0<A <π，所以A =π3.选条件②，由a sin B =b cos A -π6 及正弦定理，得sin A sin B =sin B cos A -π6，而sin B >0，则sin A =cos A -π6 =32cos A +12sin A ，整理得tan A =3，而0<A <π，所以A =π3.(2)由(1)知A =π3，由正弦定理得b sin B =c sin C =a sin A =6sin π3=22，因此b +c =22sin B +22sin C =22sin B +sin π3+B =2232sin B +32cos B=26sin B +π6由△ABC 为锐角三角形，得0<B <π20<2π3-B <π2 ，解得π6<B <π2，因此π3<B +π6<2π3，则32<sin B +π6≤1，于是32<b +c ≤26，32+6<a +b +c ≤36，所以△ABC 周长的取值范围是(32+6,36].3(2024·宁夏银川·二模)已知平面四边形ABCD 中，∠A +∠C =180°,BC =3.(1)若AB =6,AD =3,CD =4，求BD ；(2)若∠ABC =120°,△ABC 的面积为932，求四边形ABCD 周长的取值范围.【解析】(1)在△ABD 中，由余弦定理得cos ∠A =32+62-BD 22×3×6，在△BCD 中，由余弦定理得cos ∠C =32+42-BD 22×3×4，因为∠A +∠C =180°，所以cos ∠A +cos ∠C =0，即32+62-BD 22×3×6+32+42-BD 22×3×4=0，解得BD =33.(2)由已知S △ABC =12×3×AB ×32=932，得AB =6，在△ABC 中，∠ABC =120°，由余弦定理得AC 2=32+62-2×3×6×cos120°=63，则AC =37，设AD=x,CD=y,(x,>0,y>0)，在△ACD中，由余弦定理得372=x2+y2-2xy⋅cos60°=x+y2-3xy，则x+y2=63+3xy≤63+3×x+y22，得x+y24≤63，所以x+y≤67，当且仅当x=y=37时取等号，又x+y>AC=37，所以四边形ABCD周长的取值范围为37+9,67+9.4(2024·四川德阳·二模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sin B=23cos2A+C 2.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.【解析】(1)因为△ABC中，sin B=23cos2A+C2，即2sinB2cos B2=23cos2π-B2=23sin2B2，而0<B<π,∴sin B2>0，故cos B2=3sin B2，故tan B2=33，又0<B<π,∴0<B2<π2，则B2=π6,∴B=π3；(2)由(1)以及题设可得S△ABC=12ac sin B=34a；由正弦定理得a=c sin Asin C=c sin2π3-Csin C=c sin2π3cos C-cos2π3sin Csin C=32cos C+12sin Csin C=32tan C+12，因为△ABC为锐角三角形，0<A<π2，0<C<π2，则0<2π3-C<π2,∴π6<C<π2，则tan C>33,∴0<1tan C<3，则12<32tan C+12<2，即12<a<2，则38<S△ABC<32，即△ABC面积的取值范围为38,32 .03长度的范围与最值问题对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围．1(2024·贵州遵义·一模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3b-a sin C= 3a cos C．(1)求A；(2)若△ABC为锐角三角形，c=2，求b的取值范围．【解析】(1)在△ABC中，由3b-a sin C=3a cos C及正弦定理，得3sin B-sin A sin C=3sin A cos C，则3sin A cos C+sin A sin C=3sin(A+C)=3sin A cos C+3cos A sin C，即sin A sin C=3cos A sin C，而sin C>0，于是tan A=3，又0<A<π，所以A=π3.(2)由(1)知，A=π3，由正弦定理得b=c sin Bsin C=2sin2π3-Csin C=3cos C+sin Csin C=3tan C+1，由△ABC为锐角三角形，得0<C<π20<2π3-C<π2，解得π6<C<π2，则tan C>13，∴1tan C<3,则1<b<4，所以b的取值范围是1<b<4.2(2024·宁夏固原·一模)在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，且2sin B sin C+cos2C= 1+cos2A-cos2B．(1)求证：B+C=2A；(2)求c-ba的取值范围．【解析】(1)因为2sin B sin C+cos2C=1+cos2A-cos2B，所以2sin B sin C+1-2sin2C=1+1-2sin2A-1+2sin2B，则sin B sin C-sin2C=-sin2A+sin2B，由正弦定理可得bc-c2=-a2+b2，即bc=b2+c2-a2，所以cos A=b2+c2-a22bc=bc2bc=12，又A∈0,π2，故A=π3，由A+B+C=π，故B+C=π-A=2π3=2A；(2)由(1)得sin A=32,cos A=12，因为sin B=sin A+C=sin A cos C+cos A sin C=32cos C+12sin C，所以由正弦定理得c-ba=sin C-sin Bsin A=23sin C-32cos C-12sin C=2312sin C-32cos C=23sin C-π3，又锐角△ABC中，有0<C<π20<π-π3-B<π2，解得π6<C<π2，所以-π6<C-π3<π6，则-12<sin C-π3<12，所以-33<23sin C-π3<33，即-33<23sin C-π3<33，故c-ba的取值范围为-33,33.3(2024·河北衡水·一模)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，三角形面积为S，若D为AC边上一点，满足AB⊥BD,BD=2，且a2=-233S+ab cos C.(1)求角B；(2)求2AD +1CD的取值范围.【解析】(1)∵a2=-233S+ab cos C，∴a2=-33ab sin C+ab cos C，即a=-33b sin C+b cos C，由正弦定理得，sin A=-33sin B sin C+sin B cos C，∴sin B+C=-33sin B sin C+sin B cos C，∴cos B sin C=-33sin B sin C，∵sin C≠0，∴tan B=-3，由0<B<π，得B=2π3.(2)由(1)知，B=2π3，因为AB⊥BD，所以∠ABD=π2，∠DBC=π6，在△BCD中，由正弦定理得DCsin∠DBC=BDsin C，即DC=2sinπ6sin C=1sin C，在Rt△ABD中，AD=BDsin A=2sin A，∴2 AD +1CD=22sin A+11sin C=sin A+sin C，∵∠ABC=2π3，∴A+C=π3,∴2 AD +1CD=sin A+sin C=sinπ3-C+sin C=sinπ3cos C-cosπ3sin C+sin C=sin C+π3，∵0<C<π3，∴C+π3∈π3,2π3，∴sin C+π3∈32,1，所以2AD+1CD的取值范围为32,1.4(2024·陕西安康·模拟预测)已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a=8，ac=1+sin2A-sin2Csin2B，且a≠c．(1)求证：B=2C；(2)已知点M在线段AC上，且∠ABM=∠CBM，求BM的取值范围．【解析】(1)因为ac=1+sin2A-sin2Csin2B，即a-cc=sin2A-sin2Csin2B，由正弦定理可得a-cc=a2-c2b2=a+ca-cb2，又a≠c，即a-c≠0，所以1c=a+cb2，整理得b2=c2+ac，由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B，整理得c=a-2c cos B，由正弦定理得sin C=sin A-2sin C cos B，故sin C=sin B+C-2sin C cos B，即sin C=sin B cos C+sin C cos B-2sin C cos B，整理得sin C=sin B-C，又因为△ABC为锐角三角形，则C∈0,π2,B∈0,π2，可得B-C∈-π2,π2，所以C=B-C，即B=2C.(2)因为点M在线段AC上，且∠ABM=∠CBM，即BM平分∠ABC，又B=2C，所以∠C=∠CBM，则∠BMC=π-C-∠CBM=π-2C，在△MCB中，由正弦定理得BCsin∠BMC=BMsin C，所以BM=BC sin Csin∠BMC=8sin Csin2C=8sin C2sin C cos C=4cos C，因为△ABC为锐角三角形，且B=2C，所以0<C<π20<2C<π20<π-3C<π2，解得π6<C<π4.故22<cos C<32，所以833<BM<42.因此线段BM 长度的取值范围833,42.1在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =3，A =60°，则b 的取值范围是()A.0,6B.0,23C.3,23D.3,6【答案】C【解析】由正弦定理得a sin A =b sin B ，即b =a sin B sin A =3sin B sin60°=23sin B ，又△ABC 为锐角三角形，C =180°-A -B =120°-B ，又0°<B ,C <90°，则0°<120°-B <90°，解得30°<B <90°，而当30°<x <90°时，y =sin x 单调递增，故sin B ∈12,1，所以b =23sin B ∈3,23 .故选：C2已知函数f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0)，现有如下说法：①若φ=π3，函数f (x )在π6,π3 上有最小值，无最大值，且f π6 =f π3，则ω=5；②若直线x =π4为函数f (x )图象的一条对称轴，5π3,0 为函数f (x )图象的一个对称中心，且f (x )在π4,5π6 上单调递减，则ω的最大值为1817；③若f (x )=12在x ∈π4,3π4 上至少有2个解，至多有3个解，则ω∈4,163；则正确的个数为()A.0 B.1C.2D.3【答案】C【解析】对于①，因为x =π6+π32=π4时，f x 有最小值，所以sin ωπ4+π3=-1，所以ωπ4+π3=2kπ+3π2k∈Z，得到ω=8k+143k∈Z，因为f x 在区间π6,π3上有最小值，无最大值，所以π3-π4≤πω，即ω≤12，令k=0，得ω=143，故①错误；对于②，根据题意，有ωπ4+φ=2k1π+π2k1∈Z5ωπ3+φ=k2πk2∈ZT2=πω≥5π6-π4=7π12，得出ω=-12(2k1-k2)+617,k1,k2∈Z0<ω≤127，即ω=-12k+617,k∈Z0<ω≤127，得到ω=617或1817，故②正确；对于③，令ωx+φ=2kπ+π6k∈Z或ωx+φ=2kπ+5π6k∈Z，则x=-φ+2kπω+π6ωk∈Z或x=-φ+2kπω+5π6ωk∈Z，故需要上述相邻三个根的距离不超过π2，相邻四个根(距离较小的四个)的距离超过π2，即2πω≤π2,8π3ω>π2,，解得ω∈4,16 3，故③正确，故选：C．3设函数f x =sin2ωx-cos2ωx+23sinωx cosωxω>0，当x∈0,π2时，方程f x =2有且只有两个不相等的实数解，则ω的取值范围是()A.73,13 3B.73,133C.83,143D.83,143【答案】C【解析】由已知易知f x =3sin2ωx-cos2ωx=2sin2ωx-π6，当x∈0,π2时2ωx-π6∈-π6,πω-π6，所以要满足题意有5π2≤πω-π6<9π2⇒ω∈83,143.故选：C4将函数f x =sinωx-cosωx(ω>0)的图象向左平移π4个单位长度后，再把横坐标缩短为原来的一半，得到函数g x 的图象．若点π2,0是g x 图象的一个对称中心，则ω的最小值是()A.45B.12C.15D.56【答案】C【解析】由题意可得f x =222sinωx-22cosωx=2sinωx-π4，所以将f x 的图象向左平移π4个单位长度后，得到函数h x =2sin ωx +π4 -π4=2sin ωx +ωπ4-π4的图象，再把所得图象上点的横坐标缩短为原来的一半，得到函数g x =2sin 2ωx +ωπ4-π4的图象，因为点π2,0 是g x 图象的一个对称中心，所以πω+ωπ4-π4=k π,k ∈Z ，解得ω=45k +15,k ∈Z ，又ω>0，所以ω的最小值为15．故选：C5已知函数f (x )=sin ωx +π6 (ω>0)，若将f (x )的图象向左平移π3个单位后所得的函数图象与曲线y =f (x )关于x =π3对称，则ω的最小值为()A.23B.13C.1D.12【答案】A【解析】函数f (x )=sin ωx +π6 ，f (x )的图象向左平移π3个单位后所得函数g (x )=sin ωx +π3 +π6=sin ωx +πω3+π6，函数y =g (x )的图象与y =f (x )的图象关于直线x =π3对称，则f (x )=g 2π3-x ，于是sin ωx +π6=sin ω2π3-x +πω3+π6 对任意实数x 恒成立，即sin ωx +π6 =sin -ωx +πω+π6 =sin π-ωx -πω+5π6 =sin ωx -πω+5π6对任意实数x 恒成立，因此-πω+5π6=π6+2k π,k ∈Z ，解得ω=-2k +23,k ∈Z ，而ω>0，则k ∈Z ,k ≤0，所以当k =0时，ω取得最小值23.故选：A6(多选题)△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为△ABC 的面积，且a =2，AB ⋅AC=23S ，下列选项正确的是()A.A =π6B.若b =2，则△ABC 只有一解C.若△ABC 为锐角三角形，则b 取值范围是23,4D.若D 为BC 边上的中点，则AD 的最大值为2+3【答案】ABD【解析】对于A ，因为AB ⋅AC =23S ，所以bc cos A =23×12bc sin A ，则tan A =33，因为A ∈0,π ，所以A =π6，故A 正确；对于B ，因为b =2=a ，则B =A =π6，C =2π3，故△ABC 只有一解，故B 正确；对于C ，若△ABC 为锐角三角形，则B ∈0,π2 ，C ∈0,π2，则0<B <π20<π-π6-B <π2，则π3<B <π2，即sin B ∈32,1，由正弦定理可知：b =a sin Bsin A=4sin B ∈23,4 ，故C 错误；对于D ，若D 为BC 边上的中点，则AD =12AB +AC，所以AD 2=14AB 2+2AB ⋅AC +AC 2=14b 2+c 2+3bc由余弦定理知a 2=b 2+c 2-2bc cos A =b 2+c 2-3bc =4，得b 2+c 2=3bc +4，又b 2+c 2=3bc +4≥2bc ，所以bc ≤42-3=43+8，当且仅当b =c =2+6时取得等号，所以AD 2=14b 2+c 2+3bc =144+23bc ≤144+23×43+8 =7+43，即AD ≤7+43=2+3，故D 正确.故选：ABD .7已知函数f x =12+3sin ωx cos ωx -cos 2ωx ω>0 ，若f x 的图象在0,π 上有且仅有两条对称轴，则ω的取值范围是．【答案】56,43【解析】因为f x =12+3sin ωx cos ωx -cos 2ωx =32sin2ωx -12cos2ωx =sin 2ωx -π6，因为f x 的图象在0,π 上有且仅有两条对称轴，所以3π2≤2ωπ-π6<5π2，解得56≤ω<43，所以ω的取值范围是56,43 ．故答案为：56,43.8已知函数f x =sin ωx ω>0 ，若∃x 1,x 2∈π3,π，f x 1 =-1，f x 2 =1，则实数ω的取值范围是.【答案】ω=32或ω≥52【解析】设θ=ωx，x∈π3,π，则θ∈π3ω,πω，所以问题转化为y=sinθ在θ∈π3ω,πω上存在最大值和最小值，由正弦函数图象可得，π3ω≤kπ+π2kπ+π2+π≤πω，解得k+32≤ω≤3k+32，所以k≥0,k∈Z，当k=0时，32≤ω≤32，∴ω=32；当k=1时，52≤k≤92，当k=2时，72≤ω≤152，当k=3时，92≤ω≤212，当k=n，n∈N*时，n+32≤ω≤3n+32，当k=n+1时，n+52≤ω≤3n+92，而n+52-3n+32=-2n+1<0，即n+52<3n+32，所以k∈N*时，所有情况的ω范围的并集为ω≥52；综上，实数ω的取值范围是ω=32或ω≥52.故答案为：ω=32或ω≥52.9已知函数f x =sinωx+φω>0满足f x ≥fπ12，且f x 在区间-π3,π3上恰有两个最值，则实数ω的取值范围为．【答案】125,4【解析】因为f x ≥fπ12，所以fπ12 =sinπ12ω+φ=-1，所以π12ω+φ=2kπ+3π2，k∈Z，即φ=2kπ-π12ω+3π2，k∈Z，所以f x =sinωx+2kπ-π12ω+3π2 =-cosωx-π12．当-π3≤x≤π3时，-5πω12≤ωx-π12≤πω4ω>0．因为f x 在区间-π3,π3上恰有两个最值，且-5πω12>πω4 ，所以ω>0-2π<-5πω12≤-π0<πω4<π，解得125≤ω<4．故答案为：125,4．10已知函数f (x )=-sin ωx -π4 (ω>0)在区间π3,π 上单调递减，则ω的取值范围是.【答案】0,34【解析】当x ∈π3,π时， ωπ3-π4<ωx -π4<ωπ-π4，又y =-sin x 的单调递减区间为2k π-π2,2k π+π2(k ∈Z )，所以ωπ3-π4≥2k π-π2ωπ-π4≤2k π+π2(k ∈Z )，解得6k -34≤ω≤2k +34(k ∈Z )，且2k +34≥6k -34(k ∈Z )，解得k ≤38，又ω>0，所以k =0，所以ω的取值范围为0,34.故答案为：0,3411若函数f x =cos ωx -π6ω>0 在区间π3,2π3内单调递减，则ω的最大值为．【答案】74【解析】由题得：12T ≥2π3-π3⇒0<ω≤3，令t =ωx -π6⇒t ∈πω3-π6,2πω3-π6，则y =cos t 在t ∈πω3-π6,2πω3-π6单调递减，故πω3-π6≥2k π2πω3-π6≤2k π+π⇒6k +12≤ω≤3k +74，由0<ω≤3，故ω∈12,74，所以ω的最大值为74，故答案为：74.12已知函数f (x )=4sin ωx ,g (x )=4cos ωx -π3+b (ω>0)，且∀x 1,x 2∈R ,|f (x 1)-g (x 2)|≤8，将f (x )=4sin ωx 的图象向右平移π3ω个单位长度后，与函数g (x )的图象相邻的三个交点依次为A ，B ，C ，且BA ⋅BC<0，则ω的取值范围是．【答案】0,2π8【解析】依题意，函数f (x )的值域为[-4,4]，g (x )的值域为[b -4,b +4]，由∀x 1,x 2∈R ,f (x 1)-g (x 2) ≤8，得|(b -4)-4|≤8，且|(b +4)-(-4)|≤8，解得b =0，g (x )=4cos ωx -π3 =4sin ωx +π6 ，将f (x )=4sin ωx 的图象向右平移π3ω个单位长度后，得h (x )=4sin ωx -π3ω =4sin ωx -π3，在同一坐标系内作出函数y =g (x ),y =h (x )的图象，观察图象知，|AC |=2πω，取AC 中点D ，连接BD ，由对称性知|AB |=|BC |，BD ⊥AC ，由BA ⋅BC <0，得∠ABC >π2，即∠ABD >π4，|AD |>|BD |，由h (x )=g (x )，得sin ωx -π3 =sin ωx +π6 ，则ωx -π3+ωx+π6=π+2k π,k ∈Z ，解得ωx =712π+k π,k ∈Z ，于是y =4sin 712π+k π-π3=±22，则|BD |=42，因此πω>42，解得0<ω<2π8，所以ω的取值范围是0,2π8.故答案为：0,2π813在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∠ABC =2π3，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD =2，则a +4c 的最小值为．【答案】18【解析】如图所示，则△ABC 的面积为12ac sin 2π3=12a ⋅2sin π3+12c ⋅2sin π3，则ac =2a +2c ，所以1a +1c =12，显然a ,c >0，故a +4c =(a +4c )1a +1c ×2=2×5+4c a +a c ≥25+24c a ⋅a c=18，当且仅当4ca =a c 1a +1c =12，即a =6c =3时取等号.所以a +4c 的最小值为18.故答案为：18.14在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且2b sin A -3a =0.(1)求角B；(2)求sin A+sin C的取值范围.【解析】(1)∵2b sin A-3a=0，∴2sin A sin B-3sin A=0，又∵A∈0,π2,∴sin A≠0，∴sin B=32,B∈0,π2，∴B=π3.(2)由(1)可知，B=π3，且△ABC为锐角三角形，所以0<A<π20<C=2π3-A<π2，∴A∈π6,π2，则sin A+sin C=sin A+sin2π3-A=32sin A+32cos A=3sin A+π6，因为π3<A+π6<2π3，∴sin A+sin C∈32,3.15在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2b sin A-3a=0．(1)求角B的大小；(2)求cos A+cos C的取值范围．【解析】(1)因为2b sin A-3a=0，由正弦定理边化角得：2sin B sin A-3sin A=0，所以2sin B-3sin A=0，由于在△ABC中，sin A≠0，所以2sin B-3=0，即sin B=32，又0<B<π2，所以B=π3.(2)由(1)可知B=π3，所以A+C=2π3，所以cos A+cos C=cos A+cos2π3-A=cos A+cos2π3cos A+sin2π3sin A=cos A-12cos A+32sin A=12cos A+32sin A=sin A+π6由于在锐角△ABC中，0<2π3-A<π2 0<A<π2，所以π6<A<π2，所以π3<A+π6<2π3，所以sinπ3<sin A+π6≤sinπ2，所以32<sin A+π6≤1，所以cos A+cos C的取值范围为32,1.16已知锐角△ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b2+c2-(b⋅cos C+c⋅cos B)2=bc，(1)求角A的大小；(2)如果该三角形外接圆的半径为3，求bc的取值范围．【解析】(1)∵b2+c2-b cos C+c cos B2=bc，由余弦定理可得b2+c2-b⋅a2+b2-c22ab+c⋅a2+c2-b22ac2=bc，化简整理得b2+c2-a2=bc，又b2+c2-a2=2bc cos A，∴cos A=12，又0<A<π2，所以A=π3.(2)因为三角形外接圆半径为R=3，所以b=23sin B，c=23sin C，∴bc=12sin B sin C，由(1)得B+C=2π3，所以bc=12sin B sin C=12sin B sin2π3-B=12sin B32cos B+12sin B=63sin B cos B+6sin2B=33sin2B+31-cos2B=632sin2B-12cos2B+3 =6sin2B-π6+3，因为△ABC是锐角三角形，且B+C=2π3，所以π6<B<π2，∴π6<2B-π6<5π6，∴12<sin2B-π6≤1，∴6<6sin2B-π6+3≤9，即6<bc≤9.所以bc的取值范围为6,9.17在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，cos2B-sin2B=-1 2．(1)求角B，并计算sin B+π6的值；(2)若b=3，且△ABC是锐角三角形，求a+2c的最大值．【解析】(1)由cos2B+sin2B=1cos2B-sin2B=-12，得cos2B=14，则cos B=±12，又0<B<π，所以B=π3或2π3.当B=π3时，sin B+π6=sinπ2=1；当B=2π3时，sin B+π6=sin5π6=12.(2)若△ABC为锐角三角形，则B=π3，有0<C<π20<A=2π3-C<π2，解得π6<C<π2.由正弦定理，得asin A=csin C=bsin B=332=2，则a=2sin A,c=2sin C，所以a+2c=2sin A+4sin C=2sin2π3-C+4sin C=232cos C+12sin C+4sin C=5sin C+3cos C=27sin(C+φ)，其中tanφ=35，又tanφ=35<33=tanπ6，所以0<φ<π6，则π3<C+φ<2π3，故当C+φ=π2时，sin(C+φ)取到最大值1，所以a+2c的最大值为27.18在△ABC中，D为BC边上一点，DC=CA=1，且△ACD面积是△ABD面积的2倍．(1)若AB=2AD，求AB的长；(2)求sin∠ADBsin B的取值范围．【解析】(1)设BC边上的高为AE，垂足为E，因为△ACD面积是△ABD面积的2倍，所以有S△ACDS△ABD=12CD⋅AE12BD⋅AE=2⇒BD=12⇒BC=32，设AB=2AD=x⇒AD=22x，由余弦定理可知：cos C=AC2+BC2-AB22AC⋅BC =AC2+DC2-AD22AC⋅DC⇒1+94-x22×1×32=1+1-12x22×1×1，解得x=1或x=-1舍去，即AB=1；(2)由(1)可知BD=12,BC=32，设∠ADC=θ，由DC=CA⇒∠DAC=∠ADC=θ⇒C=π-2θ且θ∈0,π2，由余弦定理可得：AD=12+12-2×1×1⋅cosπ-2θ=2+2cos2θ=2+22cos2θ-1=2cosθ，AB=12+32 2-2×1×32⋅cosπ-2θ=134+3cos2θ=134+32cos2θ-1=6cos2θ+1 4，在△ABD中，因为θ∈0,π2，所以由正弦定理可知：ABsin∠ADB =ADsin B⇒sin∠ADBsin B=ABAD=6cos2θ+142cosθ=14×24cos2θ+1cos2θ=14×24+1cos2θ，因为θ∈0,π2，所以cos θ∈0,1 ⇒cos 2θ∈0,1 ⇒1cos 2θ>1⇒24+1cos 2θ>25⇒24+1cos 2θ>5，于是有sin ∠ADB sin B >54，因此sin ∠ADB sin B 的取值范围为54,+∞ ..19记锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin B sin C +cos2C =1+cos2A -cos2B .(1)证明：B +C =2A ；(2)求c b的取值范围.【解析】(1)证明：由2sin B sin C +cos2C =1+cos2A -cos2B ，得2sin B sin C +1-2sin 2C =1+1-2sin 2A -1+2sin 2B ，即sin B sin C -sin 2C =-sin 2A +sin 2B ，由正弦定理可得bc -c 2=-a 2+b 2，即a 2=b 2+c 2-bc ，由余弦定理可得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，故cos A =12，又A ∈0,π2 ，故A =π3，由A +B +C =π，故B +C =π-A =2π3=2A ；(2)由正弦定理可得：c b=sin C sin B =sin π-A -B sin B =sin π3+B sin B =12sin B +32cos B sin B =12+32tan B ，又锐角△ABC 中，有0<B <π2，0<π-π3-B <π2，解得π6<B <π2，即tan B ∈33,+∞，即1tan B ∈0,3 ，故c b=12+32tan B ∈12,2 .20记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，若a +b +c a +b -c =3，且△ABC 的面积为334.(1)求角C ；(2)若AD =2DB ，求CD 的最小值.【解析】(1)∵a +b +c a +b -c =3，∴3=(a +b )2-c 2=a 2+b 2-c 2+2ab 结合余弦定理得3=2ab cos C +2ab =2ab 1+cos C ，∴ab =321+cos C ，∵S △ABC =12ab sin C =334，∴sin C 1+cos C =3，即2sin C 2cos C 2cos 2C 2=tan C 2=3，又∵C 2∈0,π2 ，∴C 2=π3，故C =2π3；(2)由(1)知：C =2π3,ab =321+cos C=3，∵AD =2DB ，∴CD =13CA +23CB ，∴CD 2=13CA +23CB 2=19b 2+49a 2+49ab cos C =19b 2+49a 2-23，又19b 2+49a 2-23≥219b 2⋅49a 2-23=2×23-23=23，当且仅当b =2a =6时，CD 长取最小值，此时CD =23=63，∴CD 长的最小值为63.21已知函数f x =12-sin 2ωx +32sin2ωx ω>0 的最小正周期为4π.(1)求f x 在0,π 上的单调递增区间；(2)在锐角三角形ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且2a -c cos B =b ⋅cos C ,求f A 的取值范围.【解析】(1)f x =12-sin 2ωx +32sin2ωx =12-1-cos2ωx 2+32sin2ωx =32sin2ωx +12cos2ωx =sin 2ωx +π6.因为T =2π2ω=4π,所以ω=14,故f x =sin 12x +π6.由-π2+2k π≤12x +π6≤π2+2k π,k ∈Z ,解得4k π-4π3≤x ≤4k π+2π3,k ∈Z ,当k =0时,-4π3≤x ≤2π3,又x ∈0,π ,所以f x 在0,π 上的单调递增区间为0,2π3.(2)由2a -c cos B =b ⋅cos C ,得(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C ,所以2sin A cos B =sin B cos C +cos B sin C =sin B +C =sin A .因为sin A ≠0,所以cos B =12,又B ∈0,π ,所以B =π3,又三角形为锐角三角形，则0<A <π20<2π3-A <π2，则π6<A <π2，所以π4<A 2+π6<5π12，又f A =sin A 2+π6，sin 5π12=sin π4+π6 =sin π4cos π6+cos π4sin π6=2+64，则22<sin A 2+π6 <2+64，所以f A 的取值范围为22,2+64.22已知在△ABC 中，1-cos A 2-sin A =0，(1)求A ；(2)若点D 是边BC 上一点，BD =2DC ，△ABC 的面积为3，求AD 的最小值.【解析】(1)因为1-cos A 2-sin A =0，所以sin 2A 2=sin A ， 因为0<A 2<π2，sin A 2>0，则sin A 2=2sin A 2cos A 2，故cos A 2=12， 所以A 2=π3，A =2π3，(2)因为BD =2DC ，则BD =2DC ，所以AD -AB =2AC -AD ，故AD =13AB +23AC ， 因为△ABC 的面积为3，所以12bc sin A =3，所以bc =4|AD |2=13AB +23AC 2=19c 2+49b 2+49AB ⋅AC =19c 2+49b 2-29bc ≥49bc -29bc =89上式当且仅当c =2b ，即c =22，b =2时取得“=”号，所以AD 的最小值是223.23在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且满足2sin A +C cos A -sin C cos A =sin A cos C ．(1)求角A ；(2)若点D 在线段BC 上，且满足BD =3DC ,AD =3，求△ABC 面积的最大值．【解析】(1)由题意得2sin B cos A -sin C cos A =sin A cos C ，即2sin B cos A =sin A cos C +sin C cos A =sin B ，∵sin B ≠0，∴2cos A =1，∴cos A =12，又0<A <π,∴A =π3；(2)解法一：令DC =t ，则BD =3t ，∵cos ∠ADC =-cos ∠ADB ，∴AD 2+DC 2-AC 22AD ⋅DC =-AD 2+BD 2-AB 22AD ⋅BD ，即9+t 2-b 26t =-9+9t 2-c 218t ，∴12t 2=-36+3b 2+c 2①，又∵cos ∠BAC =12=b 2+c 2-16t 22bc ，∴16t 2=b 2+c 2-bc ②，∵联立①②，得144-3bc =9b 2+c 2≥6bc (当且仅当c =3b 时取等号)，即bc ≤16，∴S △ABC =12bc sin ∠BAC =34bc ≤43，∴△ABC 面积的最大值为43.解法二：依题意AD =14AB+34AC，∴AD 2=14AB+34AC 2=116AB 2+9AC 2+6AB ⋅AC，即9=116AB 2+9AC 2+6AB AC cos π3=116AB 2+9AC 2+3AB AC，∵AB 2+9AC 2≥6AB AC (当且仅当AB =3AC 时取等号)，∴AB AC ≤16，∴S △ABC =12AB ACsin ∠BAC ≤34×16=43，∴△ABC 面积的最大值为43．24已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，向量m =a +b ,c ,n =sin A -sin C ,sin A -sin B ，且m ⎳n ．(1)求B ；(2)求b 2a 2+c 2的最小值．【解析】(1)因为m ⎳n ，所以a +b sin A -sin B =c sin A -sin C ，由正弦定理可得a +b a -b =c a -c 即a 2-b 2=ac -c 2，故a 2+c 2-b 2=ac ，所以cos B =a 2+c 2-b 22ac =12，而B 为三角形内角，故B =π3.(2)结合(1)可得：b2a2+c2=a2+c2-aca2+c2=1-aca2+c2,1-aca2+c2≥1-ac2ac=1-12=12，当且仅当a=c时等号成立，故b2a2+c2的最小值为12.25已知△ABC为钝角三角形，它的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sin2C=sin2B+sinπ3+Bcosπ6+B，a<c，b<c．(1)求tan(A+B)的值；(2)若△ABC的面积为123，求c的最小值．【解析】(1)因为sin2C=sin2B+sinπ3+Bcosπ6+B=sin2B+12sinπ2+2B+sinπ6=sin2B+12cos2B+12=sin2B+121-2sin2B+14=34，因为sin C>0，所以sin C=3 2，由△ABC为钝角三角形且a<c，b<c知，C为钝角，所以cos C=-12，即tan C=-3，所以tan(A+B)=tanπ-C=-tan C=3.(2)因为S△ABC=12ab sin C=34ab=123，所以ab=48，由余弦定理，c2=a2+b2-2ab cos C=a2+b2+ab≥3ab=144，当且仅当a=b=43时，等号成立，此时c2的最小值为144，所以c的最小值为12.。

三角函数ω的取值范围及解三角形中的范围与最值问题命题预测三角函数与解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，有时会出现在选择题、填空题的压轴小题位置，综合考查以解答题为主，中等难度．高频考法(1)ω取值与范围问题(2)面积与周长的最值与范围问题(3)长度的范围与最值问题01ω取值与范围问题1、f (x )=A sin (ωx +φ)在f (x )=A sin (ωx +φ)区间(a ，b )内没有零点⇒b -a ≤T2k π≤aω+ϕ<π+k πk π<bω+ϕ≤π+k π⇒b -a ≤T2a ≥k π-ϕωb ≤π+k π-ϕω同理，f (x )=A sin (ωx +φ)在区间[a ，b ]内没有零点⇒b -a ≤T2k π<aω+ϕ<π+k πk π<bω+ϕ<π+k π ⇒b -a <T2a >k π-ϕωb <π+k π-ϕω2、f (x )=A sin (ωx +φ)在区间(a ，b )内有3个零点⇒T <b -a ≤2T k π≤aω+ϕ<π+k π3π+k π<bω+ϕ≤4π+k π⇒T <b -a ≤2T k π-φω≤a <(k +1)π-φω(k +3)π-φω<b ≤(k +4)π-φω同理f (x )=A sin (ωx +φ)在区间[a ，b ]内有2个零点⇒T2≤b -a <3T2k π<aω+ϕ≤π+k π2π+k π≤bω+ϕ<3π+k π ⇒T 2≤b -a <3T2k π-φω<a ≤k π+π-φω(k +2)π-φω≤b <(k +3)π-φω 3、f (x )=A sin (ωx +φ)在区间(a ，b )内有n 个零点⇒(n-1)T2≤b-a<(n+1)T2kπ-φω≤a<kπ+π-φω(k+n)π-φω<b≤(k+n+1)π-φω同理f(x)=A sin(ωx+φ)在区间[a，b]内有n个零点⇒(n-1)T2≤b-a<(n+1)T2kπ-φω<a≤kπ+π-φω(k+n)π-φω≤b<(k+n+1)π-φω4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为2n+14T，则2n+14T=(2n+1)π2ω=b-a ．5、已知单调区间(a,b)，则a-b≤T 2.1(2024·江苏南通·二模)已知函数y=3sinωx+cosωx(ω>0)在区间-π4,2π3上单调递增，则ω的最大值为()A.14B.12C.1211D.83【答案】B【解析】因为y=3sinωx+cosωx=2sinωx+π6，又ω>0，由-π2+2kπ≤ωx+π6≤π2+2kπ,k∈Z，得到-2π3+2kπω≤x≤π3+2kπω,k∈Z，所以函数y=3sinωx+cosωx的单调增区间为-2π3+2kπω,π3+2kπω(k∈Z)，依题有-π4,2π3⊆-2π3+2kπω,π3+2kπω(k∈Z)，则2π3≤π3ω-2π3ω≤-π4，得到0<ω≤12，故选：B.2(2024·四川泸州·三模)已知函数f x =sinωx-2π3(ω>0)在0,π 有且仅有三个零点，则ω的取值范围是()A.83,11 3B.83,113C.53,83D.53,83【答案】B【解析】因为0≤x≤π，所以-2π3≤ωx-2π3≤ωπ-2π3，因为函数f x =sinωx-2π3(ω>0)在0,π 有且仅有三个零点，结合正弦函数的图象可知2π≤ωπ-2π3<3π，解得83≤ω<113，故选：B.3(2024·四川德阳·二模)已知函数f x =sinωx+φ(ω>0,φ∈R)在区间7π12,5π6上单调，且满足f7π12=-f3π4 ．给出下列结论，其中正确结论的个数是()①f2π3=0；②若f5π6-x=f x ，则函数f x 的最小正周期为π；③关于x的方程f x =1在区间0,2π上最多有3个不相等的实数解；④若函数f x 在区间2π3,13π6上恰有5个零点，则ω的取值范围为83,103．A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】①因为f7π12=-f3π4 且7π12+3π42=2π3，所以f2π3=0.①正确.②因为f5π6-x=f(x)所以f(x)的对称轴为x=5π62=5π12,2π3-5π12=π4=T4⇒T=π.②正确.③在一个周期内f x =1只有一个实数解，函数f x 在区间7π12,5π6上单调且f2π3 =0，T≥45π6-2π3=2π3.当T=2π3时，f x =sin3x，f x =1在区间0,2π上实数解最多为π6,5π6,3π2共3个.③正确.④函数f x 在区间2π3,13π6上恰有5个零点，2T<13π6-2π3≤5T2⇒2⋅2πω<13π6-2π3≤52⋅2πω，解得83<ω≤103；又因为函数f x 在区间7π12,5π6上单调且f2π3 =0，T≥45π6-2π3=2π3，即2πω≥2π3⇒ω≤3，所以ω∈83,3.④错误故选：C4(2024·江苏泰州·模拟预测)设函数f x =2sinωx-π6-1ω>0在π,2π上至少有两个不同零点，则实数ω的取值范围是()A.32,+∞ B.32,73 ∪52,+∞ C.136,3 ∪196,+∞ D.12,+∞ 【答案】A【解析】令2sin ωx -π6 -1=0得sin ωx -π6 =12，因为ω>0，所以ωx -π6>-π6，令sin z =12，解得z =π6+2k π,k ∈Z 或z =5π6+2k 1π,k 1∈Z ，从小到大将sin z =12的正根写出如下：π6，5π6，13π6，17π6，25π6，29π6⋯⋯，因为x ∈π,2π ，所以ωx -π6∈ωπ-π6,2ωπ-π6，当ωπ-π6∈0,π6 ，即ω∈16,13 时，2ωπ-π6≥5π6，解得ω≥12，此时无解，当ωπ-π6∈π6,5π6 ，即ω∈13,1 时，2ωπ-π6≥13π6，解得ω≥76，此时无解，当ωπ-π6∈5π6,13π6 ，即ω∈1,73 时，2ωπ-π6≥17π6，解得ω≥32，故ω∈32,73，当ωπ-π6∈13π6,17π6 ，即ω∈73,3 时，2ωπ-π6≥25π6，解得ω≥136，故ω∈73,3，当ω≥3时，2ωπ-π6-ωπ-π6=ωπ≥3π，此时f x 在π,2π 上至少有两个不同零点，综上，ω的取值范围是32,+∞ .故选：A02面积与周长的最值与范围问题正弦定理和余弦定理是求解三角形周长或面积最值问题的杀手锏，要牢牢掌握并灵活运用．利用三角公式化简三角恒等式，并结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等求其最值．1(2024·青海·模拟预测)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a cos 2B +2b cos A cos B =c ．(1)求B ；(2)若b =4，△ABC 的面积为S ．周长为L ，求SL的最大值．【解析】(1)由正弦定理可得，2sin A cos 2B +2sin B cos A cos B =sin C ，所以2sin A cos 2B +2sin B cos A cos B =sin A cos B +cos A sin B ,所以sin A cos B (2cos B -1)+cos A sin B (2cos B -1)=0，即(2cos B -1)sin (A +B )=0，由0<A +B <π，可知sin (A +B )≠0，所以2cos B -1=0，即cos B =12，由0<B <π，知B =π3.(2)由余弦定理，得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，即16=a 2+c 2-ac ，所以16=a +c 2-3ac ，即ac =13a +c 2-16 ，因为S =12ac sin B =34ac ，L =a +b +c ，所以S L =3ac 4a +c +4=3a +c 2-1612a +c +4，所以S L=312a +c -4 ，又ac ≤a +c 24(当且仅当a =c 时取等号)，所以16=a +c 2-3ac ≥a +c24(当且仅当a =c =4时取等号)，所以a +c ≤8(当且仅当a =c =4时取等号)，所以S L=312a +c -4 ≤312×8-4 =33(当且仅当a =c =4时取等号)，即S L的最大值为33.2(2024·陕西汉中·二模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，请从下列条件中选择一个条件作答：(注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．)①记△ABC 的面积为S ，且3AB ⋅AC =2S ；②已知a sin B =b cos A -π6 ．(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，且a =6，求△ABC 周长的取值范围．【解析】(1)选条件①，由3AB ⋅AC =2S ，得3bc cos A =2×12bc sin A ，整理得tan A =3，而0<A <π，所以A =π3.选条件②，由a sin B =b cos A -π6 及正弦定理，得sin A sin B =sin B cos A -π6，而sin B >0，则sin A =cos A -π6 =32cos A +12sin A ，整理得tan A =3，而0<A <π，所以A =π3.(2)由(1)知A =π3，由正弦定理得b sin B =c sin C =a sin A =6sin π3=22，因此b +c =22sin B +22sin C =22sin B +sin π3+B =2232sin B +32cos B=26sin B +π6由△ABC 为锐角三角形，得0<B <π20<2π3-B <π2 ，解得π6<B <π2，因此π3<B +π6<2π3，则32<sin B +π6≤1，于是32<b +c ≤26，32+6<a +b +c ≤36，所以△ABC 周长的取值范围是(32+6,36].3(2024·宁夏银川·二模)已知平面四边形ABCD 中，∠A +∠C =180°,BC =3.(1)若AB =6,AD =3,CD =4，求BD ；(2)若∠ABC =120°,△ABC 的面积为932，求四边形ABCD 周长的取值范围.【解析】(1)在△ABD 中，由余弦定理得cos ∠A =32+62-BD 22×3×6，在△BCD 中，由余弦定理得cos ∠C =32+42-BD 22×3×4，因为∠A +∠C =180°，所以cos ∠A +cos ∠C =0，即32+62-BD 22×3×6+32+42-BD 22×3×4=0，解得BD =33.(2)由已知S △ABC =12×3×AB ×32=932，得AB =6，在△ABC 中，∠ABC =120°，由余弦定理得AC 2=32+62-2×3×6×cos120°=63，则AC =37，设AD=x,CD=y,(x,>0,y>0)，在△ACD中，由余弦定理得372=x2+y2-2xy⋅cos60°=x+y2-3xy，则x+y2=63+3xy≤63+3×x+y22，得x+y24≤63，所以x+y≤67，当且仅当x=y=37时取等号，又x+y>AC=37，所以四边形ABCD周长的取值范围为37+9,67+9.4(2024·四川德阳·二模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sin B=23cos2A+C 2.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.【解析】(1)因为△ABC中，sin B=23cos2A+C2，即2sinB2cos B2=23cos2π-B2=23sin2B2，而0<B<π,∴sin B2>0，故cos B2=3sin B2，故tan B2=33，又0<B<π,∴0<B2<π2，则B2=π6,∴B=π3；(2)由(1)以及题设可得S△ABC=12ac sin B=34a；由正弦定理得a=c sin Asin C=c sin2π3-Csin C=c sin2π3cos C-cos2π3sin Csin C=32cos C+12sin Csin C=32tan C+12，因为△ABC为锐角三角形，0<A<π2，0<C<π2，则0<2π3-C<π2,∴π6<C<π2，则tan C>33,∴0<1tan C<3，则12<32tan C+12<2，即12<a<2，则38<S△ABC<32，即△ABC面积的取值范围为38,32 .03长度的范围与最值问题对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围．1(2024·贵州遵义·一模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3b-a sin C= 3a cos C．(1)求A；(2)若△ABC为锐角三角形，c=2，求b的取值范围．【解析】(1)在△ABC中，由3b-a sin C=3a cos C及正弦定理，得3sin B-sin A sin C=3sin A cos C，则3sin A cos C+sin A sin C=3sin(A+C)=3sin A cos C+3cos A sin C，即sin A sin C=3cos A sin C，而sin C>0，于是tan A=3，又0<A<π，所以A=π3.(2)由(1)知，A=π3，由正弦定理得b=c sin Bsin C=2sin2π3-Csin C=3cos C+sin Csin C=3tan C+1，由△ABC为锐角三角形，得0<C<π20<2π3-C<π2，解得π6<C<π2，则tan C>13，∴1tan C<3,则1<b<4，所以b的取值范围是1<b<4.2(2024·宁夏固原·一模)在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，且2sin B sin C+cos2C= 1+cos2A-cos2B．(1)求证：B+C=2A；(2)求c-ba的取值范围．【解析】(1)因为2sin B sin C+cos2C=1+cos2A-cos2B，所以2sin B sin C+1-2sin2C=1+1-2sin2A-1+2sin2B，则sin B sin C-sin2C=-sin2A+sin2B，由正弦定理可得bc-c2=-a2+b2，即bc=b2+c2-a2，所以cos A=b2+c2-a22bc=bc2bc=12，又A∈0,π2，故A=π3，由A+B+C=π，故B+C=π-A=2π3=2A；(2)由(1)得sin A=32,cos A=12，因为sin B=sin A+C=sin A cos C+cos A sin C=32cos C+12sin C，所以由正弦定理得c-ba=sin C-sin Bsin A=23sin C-32cos C-12sin C=2312sin C-32cos C=23sin C-π3，又锐角△ABC中，有0<C<π20<π-π3-B<π2，解得π6<C<π2，所以-π6<C-π3<π6，则-12<sin C-π3<12，所以-33<23sin C-π3<33，即-33<23sin C-π3<33，故c-ba的取值范围为-33,33.3(2024·河北衡水·一模)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，三角形面积为S，若D为AC边上一点，满足AB⊥BD,BD=2，且a2=-233S+ab cos C.(1)求角B；(2)求2AD +1CD的取值范围.【解析】(1)∵a2=-233S+ab cos C，∴a2=-33ab sin C+ab cos C，即a=-33b sin C+b cos C，由正弦定理得，sin A=-33sin B sin C+sin B cos C，∴sin B+C=-33sin B sin C+sin B cos C，∴cos B sin C=-33sin B sin C，∵sin C≠0，∴tan B=-3，由0<B<π，得B=2π3.(2)由(1)知，B=2π3，因为AB⊥BD，所以∠ABD=π2，∠DBC=π6，在△BCD中，由正弦定理得DCsin∠DBC=BDsin C，即DC=2sinπ6sin C=1sin C，在Rt△ABD中，AD=BDsin A=2sin A，∴2 AD +1CD=22sin A+11sin C=sin A+sin C，∵∠ABC=2π3，∴A+C=π3,∴2 AD +1CD=sin A+sin C=sinπ3-C+sin C=sinπ3cos C-cosπ3sin C+sin C=sin C+π3，∵0<C<π3，∴C+π3∈π3,2π3，∴sin C+π3∈32,1，所以2AD+1CD的取值范围为32,1.4(2024·陕西安康·模拟预测)已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a=8，ac=1+sin2A-sin2Csin2B，且a≠c．(1)求证：B=2C；(2)已知点M在线段AC上，且∠ABM=∠CBM，求BM的取值范围．【解析】(1)因为ac=1+sin2A-sin2Csin2B，即a-cc=sin2A-sin2Csin2B，由正弦定理可得a-cc=a2-c2b2=a+ca-cb2，又a≠c，即a-c≠0，所以1c=a+cb2，整理得b2=c2+ac，由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B，整理得c=a-2c cos B，由正弦定理得sin C=sin A-2sin C cos B，故sin C=sin B+C-2sin C cos B，即sin C=sin B cos C+sin C cos B-2sin C cos B，整理得sin C=sin B-C，又因为△ABC为锐角三角形，则C∈0,π2,B∈0,π2，可得B-C∈-π2,π2，所以C=B-C，即B=2C.(2)因为点M在线段AC上，且∠ABM=∠CBM，即BM平分∠ABC，又B=2C，所以∠C=∠CBM，则∠BMC=π-C-∠CBM=π-2C，在△MCB中，由正弦定理得BCsin∠BMC=BMsin C，所以BM=BC sin Csin∠BMC=8sin Csin2C=8sin C2sin C cos C=4cos C，因为△ABC为锐角三角形，且B=2C，所以0<C<π20<2C<π20<π-3C<π2，解得π6<C<π4.故22<cos C<32，所以833<BM<42.因此线段BM 长度的取值范围833,42.1在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =3，A =60°，则b 的取值范围是()A.0,6B.0,23C.3,23D.3,6【答案】C【解析】由正弦定理得a sin A =b sin B ，即b =a sin B sin A =3sin B sin60°=23sin B ，又△ABC 为锐角三角形，C =180°-A -B =120°-B ，又0°<B ,C <90°，则0°<120°-B <90°，解得30°<B <90°，而当30°<x <90°时，y =sin x 单调递增，故sin B ∈12,1，所以b =23sin B ∈3,23 .故选：C2已知函数f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0)，现有如下说法：①若φ=π3，函数f (x )在π6,π3 上有最小值，无最大值，且f π6 =f π3，则ω=5；②若直线x =π4为函数f (x )图象的一条对称轴，5π3,0 为函数f (x )图象的一个对称中心，且f (x )在π4,5π6 上单调递减，则ω的最大值为1817；③若f (x )=12在x ∈π4,3π4 上至少有2个解，至多有3个解，则ω∈4,163；则正确的个数为()A.0 B.1C.2D.3【答案】C【解析】对于①，因为x =π6+π32=π4时，f x 有最小值，所以sin ωπ4+π3=-1，所以ωπ4+π3=2kπ+3π2k∈Z，得到ω=8k+143k∈Z，因为f x 在区间π6,π3上有最小值，无最大值，所以π3-π4≤πω，即ω≤12，令k=0，得ω=143，故①错误；对于②，根据题意，有ωπ4+φ=2k1π+π2k1∈Z5ωπ3+φ=k2πk2∈ZT2=πω≥5π6-π4=7π12，得出ω=-12(2k1-k2)+617,k1,k2∈Z0<ω≤127，即ω=-12k+617,k∈Z0<ω≤127，得到ω=617或1817，故②正确；对于③，令ωx+φ=2kπ+π6k∈Z或ωx+φ=2kπ+5π6k∈Z，则x=-φ+2kπω+π6ωk∈Z或x=-φ+2kπω+5π6ωk∈Z，故需要上述相邻三个根的距离不超过π2，相邻四个根(距离较小的四个)的距离超过π2，即2πω≤π2,8π3ω>π2,，解得ω∈4,16 3，故③正确，故选：C．3设函数f x =sin2ωx-cos2ωx+23sinωx cosωxω>0，当x∈0,π2时，方程f x =2有且只有两个不相等的实数解，则ω的取值范围是()A.73,13 3B.73,133C.83,143D.83,143【答案】C【解析】由已知易知f x =3sin2ωx-cos2ωx=2sin2ωx-π6，当x∈0,π2时2ωx-π6∈-π6,πω-π6，所以要满足题意有5π2≤πω-π6<9π2⇒ω∈83,143.故选：C4将函数f x =sinωx-cosωx(ω>0)的图象向左平移π4个单位长度后，再把横坐标缩短为原来的一半，得到函数g x 的图象．若点π2,0是g x 图象的一个对称中心，则ω的最小值是()A.45B.12C.15D.56【答案】C【解析】由题意可得f x =222sinωx-22cosωx=2sinωx-π4，所以将f x 的图象向左平移π4个单位长度后，得到函数h x =2sin ωx +π4 -π4=2sin ωx +ωπ4-π4的图象，再把所得图象上点的横坐标缩短为原来的一半，得到函数g x =2sin 2ωx +ωπ4-π4的图象，因为点π2,0 是g x 图象的一个对称中心，所以πω+ωπ4-π4=k π,k ∈Z ，解得ω=45k +15,k ∈Z ，又ω>0，所以ω的最小值为15．故选：C5已知函数f (x )=sin ωx +π6 (ω>0)，若将f (x )的图象向左平移π3个单位后所得的函数图象与曲线y =f (x )关于x =π3对称，则ω的最小值为()A.23B.13C.1D.12【答案】A【解析】函数f (x )=sin ωx +π6 ，f (x )的图象向左平移π3个单位后所得函数g (x )=sin ωx +π3 +π6=sin ωx +πω3+π6，函数y =g (x )的图象与y =f (x )的图象关于直线x =π3对称，则f (x )=g 2π3-x ，于是sin ωx +π6=sin ω2π3-x +πω3+π6 对任意实数x 恒成立，即sin ωx +π6 =sin -ωx +πω+π6 =sin π-ωx -πω+5π6 =sin ωx -πω+5π6对任意实数x 恒成立，因此-πω+5π6=π6+2k π,k ∈Z ，解得ω=-2k +23,k ∈Z ，而ω>0，则k ∈Z ,k ≤0，所以当k =0时，ω取得最小值23.故选：A6(多选题)△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为△ABC 的面积，且a =2，AB ⋅AC=23S ，下列选项正确的是()A.A =π6B.若b =2，则△ABC 只有一解C.若△ABC 为锐角三角形，则b 取值范围是23,4D.若D 为BC 边上的中点，则AD 的最大值为2+3【答案】ABD【解析】对于A ，因为AB ⋅AC =23S ，所以bc cos A =23×12bc sin A ，则tan A =33，因为A ∈0,π ，所以A =π6，故A 正确；对于B ，因为b =2=a ，则B =A =π6，C =2π3，故△ABC 只有一解，故B 正确；对于C ，若△ABC 为锐角三角形，则B ∈0,π2 ，C ∈0,π2，则0<B <π20<π-π6-B <π2，则π3<B <π2，即sin B ∈32,1，由正弦定理可知：b =a sin Bsin A=4sin B ∈23,4 ，故C 错误；对于D ，若D 为BC 边上的中点，则AD =12AB +AC，所以AD 2=14AB 2+2AB ⋅AC +AC 2=14b 2+c 2+3bc由余弦定理知a 2=b 2+c 2-2bc cos A =b 2+c 2-3bc =4，得b 2+c 2=3bc +4，又b 2+c 2=3bc +4≥2bc ，所以bc ≤42-3=43+8，当且仅当b =c =2+6时取得等号，所以AD 2=14b 2+c 2+3bc =144+23bc ≤144+23×43+8 =7+43，即AD ≤7+43=2+3，故D 正确.故选：ABD .7已知函数f x =12+3sin ωx cos ωx -cos 2ωx ω>0 ，若f x 的图象在0,π 上有且仅有两条对称轴，则ω的取值范围是．【答案】56,43【解析】因为f x =12+3sin ωx cos ωx -cos 2ωx =32sin2ωx -12cos2ωx =sin 2ωx -π6，因为f x 的图象在0,π 上有且仅有两条对称轴，所以3π2≤2ωπ-π6<5π2，解得56≤ω<43，所以ω的取值范围是56,43 ．故答案为：56,43.8已知函数f x =sin ωx ω>0 ，若∃x 1,x 2∈π3,π，f x 1 =-1，f x 2 =1，则实数ω的取值范围是.【答案】ω=32或ω≥52【解析】设θ=ωx，x∈π3,π，则θ∈π3ω,πω，所以问题转化为y=sinθ在θ∈π3ω,πω上存在最大值和最小值，由正弦函数图象可得，π3ω≤kπ+π2kπ+π2+π≤πω，解得k+32≤ω≤3k+32，所以k≥0,k∈Z，当k=0时，32≤ω≤32，∴ω=32；当k=1时，52≤k≤92，当k=2时，72≤ω≤152，当k=3时，92≤ω≤212，当k=n，n∈N*时，n+32≤ω≤3n+32，当k=n+1时，n+52≤ω≤3n+92，而n+52-3n+32=-2n+1<0，即n+52<3n+32，所以k∈N*时，所有情况的ω范围的并集为ω≥52；综上，实数ω的取值范围是ω=32或ω≥52.故答案为：ω=32或ω≥52.9已知函数f x =sinωx+φω>0满足f x ≥fπ12，且f x 在区间-π3,π3上恰有两个最值，则实数ω的取值范围为．【答案】125,4【解析】因为f x ≥fπ12，所以fπ12 =sinπ12ω+φ=-1，所以π12ω+φ=2kπ+3π2，k∈Z，即φ=2kπ-π12ω+3π2，k∈Z，所以f x =sinωx+2kπ-π12ω+3π2 =-cosωx-π12．当-π3≤x≤π3时，-5πω12≤ωx-π12≤πω4ω>0．因为f x 在区间-π3,π3上恰有两个最值，且-5πω12>πω4 ，所以ω>0-2π<-5πω12≤-π0<πω4<π，解得125≤ω<4．故答案为：125,4．10已知函数f (x )=-sin ωx -π4 (ω>0)在区间π3,π 上单调递减，则ω的取值范围是.【答案】0,34【解析】当x ∈π3,π时， ωπ3-π4<ωx -π4<ωπ-π4，又y =-sin x 的单调递减区间为2k π-π2,2k π+π2(k ∈Z )，所以ωπ3-π4≥2k π-π2ωπ-π4≤2k π+π2(k ∈Z )，解得6k -34≤ω≤2k +34(k ∈Z )，且2k +34≥6k -34(k ∈Z )，解得k ≤38，又ω>0，所以k =0，所以ω的取值范围为0,34.故答案为：0,3411若函数f x =cos ωx -π6ω>0 在区间π3,2π3内单调递减，则ω的最大值为．【答案】74【解析】由题得：12T ≥2π3-π3⇒0<ω≤3，令t =ωx -π6⇒t ∈πω3-π6,2πω3-π6，则y =cos t 在t ∈πω3-π6,2πω3-π6单调递减，故πω3-π6≥2k π2πω3-π6≤2k π+π⇒6k +12≤ω≤3k +74，由0<ω≤3，故ω∈12,74，所以ω的最大值为74，故答案为：74.12已知函数f (x )=4sin ωx ,g (x )=4cos ωx -π3+b (ω>0)，且∀x 1,x 2∈R ,|f (x 1)-g (x 2)|≤8，将f (x )=4sin ωx 的图象向右平移π3ω个单位长度后，与函数g (x )的图象相邻的三个交点依次为A ，B ，C ，且BA ⋅BC<0，则ω的取值范围是．【答案】0,2π8【解析】依题意，函数f (x )的值域为[-4,4]，g (x )的值域为[b -4,b +4]，由∀x 1,x 2∈R ,f (x 1)-g (x 2) ≤8，得|(b -4)-4|≤8，且|(b +4)-(-4)|≤8，解得b =0，g (x )=4cos ωx -π3 =4sin ωx +π6 ，将f (x )=4sin ωx 的图象向右平移π3ω个单位长度后，得h (x )=4sin ωx -π3ω =4sin ωx -π3，在同一坐标系内作出函数y =g (x ),y =h (x )的图象，观察图象知，|AC |=2πω，取AC 中点D ，连接BD ，由对称性知|AB |=|BC |，BD ⊥AC ，由BA ⋅BC <0，得∠ABC >π2，即∠ABD >π4，|AD |>|BD |，由h (x )=g (x )，得sin ωx -π3 =sin ωx +π6 ，则ωx -π3+ωx+π6=π+2k π,k ∈Z ，解得ωx =712π+k π,k ∈Z ，于是y =4sin 712π+k π-π3=±22，则|BD |=42，因此πω>42，解得0<ω<2π8，所以ω的取值范围是0,2π8.故答案为：0,2π813在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∠ABC =2π3，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD =2，则a +4c 的最小值为．【答案】18【解析】如图所示，则△ABC 的面积为12ac sin 2π3=12a ⋅2sin π3+12c ⋅2sin π3，则ac =2a +2c ，所以1a +1c =12，显然a ,c >0，故a +4c =(a +4c )1a +1c ×2=2×5+4c a +a c ≥25+24c a ⋅a c=18，当且仅当4ca =a c 1a +1c =12，即a =6c =3时取等号.所以a +4c 的最小值为18.故答案为：18.14在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且2b sin A -3a =0.(1)求角B；(2)求sin A+sin C的取值范围.【解析】(1)∵2b sin A-3a=0，∴2sin A sin B-3sin A=0，又∵A∈0,π2,∴sin A≠0，∴sin B=32,B∈0,π2，∴B=π3.(2)由(1)可知，B=π3，且△ABC为锐角三角形，所以0<A<π20<C=2π3-A<π2，∴A∈π6,π2，则sin A+sin C=sin A+sin2π3-A=32sin A+32cos A=3sin A+π6，因为π3<A+π6<2π3，∴sin A+sin C∈32,3.15在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2b sin A-3a=0．(1)求角B的大小；(2)求cos A+cos C的取值范围．【解析】(1)因为2b sin A-3a=0，由正弦定理边化角得：2sin B sin A-3sin A=0，所以2sin B-3sin A=0，由于在△ABC中，sin A≠0，所以2sin B-3=0，即sin B=32，又0<B<π2，所以B=π3.(2)由(1)可知B=π3，所以A+C=2π3，所以cos A+cos C=cos A+cos2π3-A=cos A+cos2π3cos A+sin2π3sin A=cos A-12cos A+32sin A=12cos A+32sin A=sin A+π6由于在锐角△ABC中，0<2π3-A<π2 0<A<π2，所以π6<A<π2，所以π3<A+π6<2π3，所以sinπ3<sin A+π6≤sinπ2，所以32<sin A+π6≤1，所以cos A+cos C的取值范围为32,1.16已知锐角△ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b2+c2-(b⋅cos C+c⋅cos B)2=bc，(1)求角A的大小；(2)如果该三角形外接圆的半径为3，求bc的取值范围．【解析】(1)∵b2+c2-b cos C+c cos B2=bc，由余弦定理可得b2+c2-b⋅a2+b2-c22ab+c⋅a2+c2-b22ac2=bc，化简整理得b2+c2-a2=bc，又b2+c2-a2=2bc cos A，∴cos A=12，又0<A<π2，所以A=π3.(2)因为三角形外接圆半径为R=3，所以b=23sin B，c=23sin C，∴bc=12sin B sin C，由(1)得B+C=2π3，所以bc=12sin B sin C=12sin B sin2π3-B=12sin B32cos B+12sin B=63sin B cos B+6sin2B=33sin2B+31-cos2B=632sin2B-12cos2B+3 =6sin2B-π6+3，因为△ABC是锐角三角形，且B+C=2π3，所以π6<B<π2，∴π6<2B-π6<5π6，∴12<sin2B-π6≤1，∴6<6sin2B-π6+3≤9，即6<bc≤9.所以bc的取值范围为6,9.17在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，cos2B-sin2B=-1 2．(1)求角B，并计算sin B+π6的值；(2)若b=3，且△ABC是锐角三角形，求a+2c的最大值．【解析】(1)由cos2B+sin2B=1cos2B-sin2B=-12，得cos2B=14，则cos B=±12，又0<B<π，所以B=π3或2π3.当B=π3时，sin B+π6=sinπ2=1；当B=2π3时，sin B+π6=sin5π6=12.(2)若△ABC为锐角三角形，则B=π3，有0<C<π20<A=2π3-C<π2，解得π6<C<π2.由正弦定理，得asin A=csin C=bsin B=332=2，则a=2sin A,c=2sin C，所以a+2c=2sin A+4sin C=2sin2π3-C+4sin C=232cos C+12sin C+4sin C=5sin C+3cos C=27sin(C+φ)，其中tanφ=35，又tanφ=35<33=tanπ6，所以0<φ<π6，则π3<C+φ<2π3，故当C+φ=π2时，sin(C+φ)取到最大值1，所以a+2c的最大值为27.18在△ABC中，D为BC边上一点，DC=CA=1，且△ACD面积是△ABD面积的2倍．(1)若AB=2AD，求AB的长；(2)求sin∠ADBsin B的取值范围．【解析】(1)设BC边上的高为AE，垂足为E，因为△ACD面积是△ABD面积的2倍，所以有S△ACDS△ABD=12CD⋅AE12BD⋅AE=2⇒BD=12⇒BC=32，设AB=2AD=x⇒AD=22x，由余弦定理可知：cos C=AC2+BC2-AB22AC⋅BC =AC2+DC2-AD22AC⋅DC⇒1+94-x22×1×32=1+1-12x22×1×1，解得x=1或x=-1舍去，即AB=1；(2)由(1)可知BD=12,BC=32，设∠ADC=θ，由DC=CA⇒∠DAC=∠ADC=θ⇒C=π-2θ且θ∈0,π2，由余弦定理可得：AD=12+12-2×1×1⋅cosπ-2θ=2+2cos2θ=2+22cos2θ-1=2cosθ，AB=12+32 2-2×1×32⋅cosπ-2θ=134+3cos2θ=134+32cos2θ-1=6cos2θ+1 4，在△ABD中，因为θ∈0,π2，所以由正弦定理可知：ABsin∠ADB =ADsin B⇒sin∠ADBsin B=ABAD=6cos2θ+142cosθ=14×24cos2θ+1cos2θ=14×24+1cos2θ，因为θ∈0,π2，所以cos θ∈0,1 ⇒cos 2θ∈0,1 ⇒1cos 2θ>1⇒24+1cos 2θ>25⇒24+1cos 2θ>5，于是有sin ∠ADB sin B >54，因此sin ∠ADB sin B 的取值范围为54,+∞ ..19记锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin B sin C +cos2C =1+cos2A -cos2B .(1)证明：B +C =2A ；(2)求c b的取值范围.【解析】(1)证明：由2sin B sin C +cos2C =1+cos2A -cos2B ，得2sin B sin C +1-2sin 2C =1+1-2sin 2A -1+2sin 2B ，即sin B sin C -sin 2C =-sin 2A +sin 2B ，由正弦定理可得bc -c 2=-a 2+b 2，即a 2=b 2+c 2-bc ，由余弦定理可得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，故cos A =12，又A ∈0,π2 ，故A =π3，由A +B +C =π，故B +C =π-A =2π3=2A ；(2)由正弦定理可得：c b=sin C sin B =sin π-A -B sin B =sin π3+B sin B =12sin B +32cos B sin B =12+32tan B ，又锐角△ABC 中，有0<B <π2，0<π-π3-B <π2，解得π6<B <π2，即tan B ∈33,+∞，即1tan B ∈0,3 ，故c b=12+32tan B ∈12,2 .20记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，若a +b +c a +b -c =3，且△ABC 的面积为334.(1)求角C ；(2)若AD =2DB ，求CD 的最小值.【解析】(1)∵a +b +c a +b -c =3，∴3=(a +b )2-c 2=a 2+b 2-c 2+2ab 结合余弦定理得3=2ab cos C +2ab =2ab 1+cos C ，∴ab =321+cos C ，∵S △ABC =12ab sin C =334，∴sin C 1+cos C =3，即2sin C 2cos C 2cos 2C 2=tan C 2=3，又∵C 2∈0,π2 ，∴C 2=π3，故C =2π3；(2)由(1)知：C =2π3,ab =321+cos C=3，∵AD =2DB ，∴CD =13CA +23CB ，∴CD 2=13CA +23CB 2=19b 2+49a 2+49ab cos C =19b 2+49a 2-23，又19b 2+49a 2-23≥219b 2⋅49a 2-23=2×23-23=23，当且仅当b =2a =6时，CD 长取最小值，此时CD =23=63，∴CD 长的最小值为63.21已知函数f x =12-sin 2ωx +32sin2ωx ω>0 的最小正周期为4π.(1)求f x 在0,π 上的单调递增区间；(2)在锐角三角形ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且2a -c cos B =b ⋅cos C ,求f A 的取值范围.【解析】(1)f x =12-sin 2ωx +32sin2ωx =12-1-cos2ωx 2+32sin2ωx =32sin2ωx +12cos2ωx =sin 2ωx +π6.因为T =2π2ω=4π,所以ω=14,故f x =sin 12x +π6.由-π2+2k π≤12x +π6≤π2+2k π,k ∈Z ,解得4k π-4π3≤x ≤4k π+2π3,k ∈Z ,当k =0时,-4π3≤x ≤2π3,又x ∈0,π ,所以f x 在0,π 上的单调递增区间为0,2π3.(2)由2a -c cos B =b ⋅cos C ,得(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C ,所以2sin A cos B =sin B cos C +cos B sin C =sin B +C =sin A .因为sin A ≠0,所以cos B =12,又B ∈0,π ,所以B =π3,又三角形为锐角三角形，则0<A <π20<2π3-A <π2，则π6<A <π2，所以π4<A 2+π6<5π12，又f A =sin A 2+π6，sin 5π12=sin π4+π6 =sin π4cos π6+cos π4sin π6=2+64，则22<sin A 2+π6 <2+64，所以f A 的取值范围为22,2+64.22已知在△ABC 中，1-cos A 2-sin A =0，(1)求A ；(2)若点D 是边BC 上一点，BD =2DC ，△ABC 的面积为3，求AD 的最小值.【解析】(1)因为1-cos A 2-sin A =0，所以sin 2A 2=sin A ， 因为0<A 2<π2，sin A 2>0，则sin A 2=2sin A 2cos A 2，故cos A 2=12， 所以A 2=π3，A =2π3，(2)因为BD =2DC ，则BD =2DC ，所以AD -AB =2AC -AD ，故AD =13AB +23AC ， 因为△ABC 的面积为3，所以12bc sin A =3，所以bc =4|AD |2=13AB +23AC 2=19c 2+49b 2+49AB ⋅AC =19c 2+49b 2-29bc ≥49bc -29bc =89上式当且仅当c =2b ，即c =22，b =2时取得“=”号，所以AD 的最小值是223.23在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且满足2sin A +C cos A -sin C cos A =sin A cos C ．(1)求角A ；(2)若点D 在线段BC 上，且满足BD =3DC ,AD =3，求△ABC 面积的最大值．【解析】(1)由题意得2sin B cos A -sin C cos A =sin A cos C ，即2sin B cos A =sin A cos C +sin C cos A =sin B ，∵sin B ≠0，∴2cos A =1，∴cos A =12，又0<A <π,∴A =π3；(2)解法一：令DC =t ，则BD =3t ，∵cos ∠ADC =-cos ∠ADB ，∴AD 2+DC 2-AC 22AD ⋅DC =-AD 2+BD 2-AB 22AD ⋅BD ，即9+t 2-b 26t =-9+9t 2-c 218t ，∴12t 2=-36+3b 2+c 2①，又∵cos ∠BAC =12=b 2+c 2-16t 22bc ，∴16t 2=b 2+c 2-bc ②，∵联立①②，得144-3bc =9b 2+c 2≥6bc (当且仅当c =3b 时取等号)，即bc ≤16，∴S △ABC =12bc sin ∠BAC =34bc ≤43，∴△ABC 面积的最大值为43.解法二：依题意AD =14AB+34AC，∴AD 2=14AB+34AC 2=116AB 2+9AC 2+6AB ⋅AC，即9=116AB 2+9AC 2+6AB AC cos π3=116AB 2+9AC 2+3AB AC，∵AB 2+9AC 2≥6AB AC (当且仅当AB =3AC 时取等号)，∴AB AC ≤16，∴S △ABC =12AB ACsin ∠BAC ≤34×16=43，∴△ABC 面积的最大值为43．24已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，向量m =a +b ,c ,n =sin A -sin C ,sin A -sin B ，且m ⎳n ．(1)求B ；(2)求b 2a 2+c 2的最小值．【解析】(1)因为m ⎳n ，所以a +b sin A -sin B =c sin A -sin C ，由正弦定理可得a +b a -b =c a -c 即a 2-b 2=ac -c 2，故a 2+c 2-b 2=ac ，所以cos B =a 2+c 2-b 22ac =12，而B 为三角形内角，故B =π3.(2)结合(1)可得：b2a2+c2=a2+c2-aca2+c2=1-aca2+c2,1-aca2+c2≥1-ac2ac=1-12=12，当且仅当a=c时等号成立，故b2a2+c2的最小值为12.25已知△ABC为钝角三角形，它的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sin2C=sin2B+sinπ3+Bcosπ6+B，a<c，b<c．(1)求tan(A+B)的值；(2)若△ABC的面积为123，求c的最小值．【解析】(1)因为sin2C=sin2B+sinπ3+Bcosπ6+B=sin2B+12sinπ2+2B+sinπ6=sin2B+12cos2B+12=sin2B+121-2sin2B+14=34，因为sin C>0，所以sin C=3 2，由△ABC为钝角三角形且a<c，b<c知，C为钝角，所以cos C=-12，即tan C=-3，所以tan(A+B)=tanπ-C=-tan C=3.(2)因为S△ABC=12ab sin C=34ab=123，所以ab=48，由余弦定理，c2=a2+b2-2ab cos C=a2+b2+ab≥3ab=144，当且仅当a=b=43时，等号成立，此时c2的最小值为144，所以c的最小值为12.。

解三角形中的最值(范围)问题解三角形中的最值问题1.锐角三角形ABC满足$2B=A+C$，设最大边与最小边之比为$m$，求$m$的取值范围。

分析：由题意可知$\angle B=60^\circ$，且$A\leq B\leqC<90^\circ$。

不妨令$m=\dfrac{c}{a}$，则有：m=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sin C}{\sin A}\leq\dfrac{\sinC}{\sin B}\leq\dfrac{\sin C}{\sin(\pi/3)}=2\sin C$$又因为$\sin A\geq\dfrac{1}{2}$，$\tanA\geq\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，所以：dfrac{1}{2}\leq\sin A\leq 1,\quad \dfrac{\sqrt{3}}{3}\leq\tan A\leq\sqrt{3}$$从而有：1\leq m=\dfrac{c}{a}\leq 2$$2.锐角三角形ABC的面积为$S$，角C既不是最大角，也不是最小角。

若$k=\dfrac{a+b}{c}$，求$k$的取值范围。

分析：由正弦定理得：dfrac{c^2-a^2-b^2+2ab\cos C}{2ab}= \dfrac{\sin C}{\sinA\sin B}=\dfrac{2S}{ab\sin C}$$又因为$\cos C<1$，所以：dfrac{2S}{ab\sin C}<\dfrac{c^2-a^2-b^2+2ab}{2ab}=\dfrac{(c-a+b)(c+a-b)}{2ab}=\dfrac{(c-a+b)}{2}\cdot\dfrac{(c+a-b)}{2ab}\leq\dfrac{1}{4}$$又因为$\sin C\geq\dfrac{1}{2}$，所以：k=\dfrac{a+b}{c}\geq\dfrac{2\sqrt{ab}}{c}\geq 2\sqrt{\sinA\sin B}\geq\sqrt{2\sin A}\geq\sqrt{2}\sin\dfrac{A}{2}$$ 又因为$A0$，所以$k>0$。

解三角形中的范围与最值问题目录01方法技巧与总结02题型归纳与总结题型一：周长问题题型二：面积问题题型三：长度和差比问题题型四：转化为角范围问题题型五：倍角问题题型六：角平分线问题与斯库顿定理题型七：中线问题题型八：四心问题题型九：坐标法题型十：隐圆(阿波罗尼斯圆)问题题型十一：两边逼近思想题型十二：转化为正切有关的最值问题题型十三：最大角(米勒问题)问题题型十四：费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题题型十五：托勒密定理及旋转相似题型十六：三角形中的平方问题题型十七：等面积法、张角定理03过关测试1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧：(1)利用基本不等式求范围或最值；(2)利用三角函数求范围或最值；(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值；(4)根据三角形解的个数求范围或最值；(5)利用二次函数求范围或最值．要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．2、解三角形中的范围与最值问题常见题型：(1)求角的最值；(2)求边和周长的最值及范围；(3)求面积的最值和范围．题型一：周长问题1(2024·全国·二模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2a cos A=b cos C+c cos B，且a=4sin A，则△ABC周长的最大值为()A.42B.62C.43D.63【答案】D【解析】因为2a cos A=b cos C+c cos B，由正弦定理得2sin A cos A=sin B cos C+sin C cos B=sin B+C=sin A，因为sin A≠0，所以cos A=12，由于A∈0,π，故A=π3，则a=4sinπ3=23，由正弦定理得asin A=bsin B=csin C=4，故b +c =4sin B +4sin C =4sin B +4sin B +π3 =4sin B +2sin B +23cos B =43sin B +π6 ，又B ∈0,2π3 ，则B +π6∈π6,5π6，所以sin B +π6 ∈12,1 ，则b +c ∈23,43 ，故△ABC 周长a +b +c 的最大值为63.故选：D .2(2024·广西河池·模拟预测)已知△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c cos A =a cos B +b cos A .(1)求角A ；(2)若a =3，求△ABC 的周长的最大值，并求出此时角B ，角C 的大小.【解析】(1)由2c cos A =a cos B +b cos A ，则有2sin C cos A =sin A cos B +sin B cos A ，即2sin C cos A =sin A cos B +sin B cos A =sin A +B =sin C ，由C ∈0,π ，故sin C >0，则有2cos A =1，即cos A =12，即A =π3；(2)由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，可得3=b 2+c 2-bc ，则3=b +c 2-3bc ，故b +c 2-3=3bc ≤3⋅b +c 2 2，当且仅当b =c 时，等号成立，即b +c 2≤12，即b +c ≤23，即△ABC 的周长的最大值为33，此时a =b =c =3，即B =C =π3.3(2024·江西南昌·三模)在锐角△ABC 中，a =23，(2b -c )cos A =a cos C ，(1)求角A ；(2)求△ABC 的周长l 的范围.【解析】(1)∵(2b -c )cos A =a cos C ，∴2b cos A =a cos C +c cos A ，所以2sin B cos A =sin A cos C +sin C cos A ，所以2sin B cos A =sin (A +C )=sin B ，因为sin B ≠0，所以cos A =12，∵A ∈0,π2 ，所以A =π3.(2)∵a sin A =2332=4，所以b sin B =c sin C =4,所以b =4sin B ，c =4sin C =4sin 2π3-B ，所以l=a+b+c=23+4sin B+4sin2π3-B=23+43sin B+π6,因为△ABC是锐角三角形，且A=π3，所以0<B<π20<2π3-B<π2，解得π6<B<π2，所以B+π6∈π3,2π3，所以sin B+π6∈32,1，所以l∈(6+23,63].4(2024·广东广州·一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足a=2，a cos B= 2c-bcos A．(1)求角A的大小；(2)求△ABC周长的范围．【解析】(1)由余弦定理，a⋅a2+c2-b22ac=(2c-b)⋅c2+b2-a22bc，化简得b2+c2-a2=bc，所以cos A=c2+b2-a22bc=12，因为0<A<π，所以A=π3.(2)由正弦定理：bsin B =csin C=asin A=232=433，则b=433sin B，c=433sin C，由(1)B+C=2π3，故a+b+c=2+433sin B+sin C=2+433sin B+sin2π3-B=2+433sin B+32cos B+12sin B=2+43332cos B+32sin B=2+4sin B+π6因为0<B<2π3⇒π6<B+π6<5π6，则12<sin B+π6≤1，所以4<a+b+c≤6，即周长范围是4,6．5(2024·贵州贵阳·模拟预测)记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2-c2a cos B+b cos A=abc．(1)求C；(2)若△ABC为锐角三角形，c=2，求△ABC周长范围．【解析】(1)在△ABC中，由射影定理得a cos B+b cos A=c，则题述条件化简为a2+b2-c2=ab，由余弦定理得a2+b2-c2=2ab cos C．可得cos C=12,C∈0,π,所以C=π3.(2)在△ABC中，由正弦定理得asin A=bsin B=csin C=2sinπ3=433，则△ABC周长C△ABC=a+b+2=2+433(sin A+sin B)=2+433sin A+sin2π3-A，因为sin A+sin2π3-A=3sin A+π6，则C△ABC=2+4sin A+π6，因为△ABC为锐角三角形，A+B=2π3，则得A∈π6,π2,A+π6∈π3,2π3，故sin A+π6∈32,1,C△ABC∈(2+23,6]．题型二：面积问题1(2024·四川德阳·模拟预测)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sin C=c3cos B2，b=3.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC的面积范围.【解析】(1)因为sin C=c3cos B2，b=3，所以sin B sin C=sin C cos B 2，因为sin C≠0，所以sin B=cos B2，则2sinB2cos B2=cos B2，因为cos B2≠0，所以sin B2=12，又B2∈0,π2，则B2=π6，所以B=π3.公众号：慧博高中数学最新试题(2)设△ABC的外接圆半径为R，则2R=bsin B=23，所以S△ABC=12ac sin B=122R sin A2R sin C sin B=33sin A sin2π3-A，=33sin A 32cos A +12sin A，=92sin A cos A +332sin 2A =94sin2A +332⋅1-cos2A 2，=94sin2A -334cos2A +334，=332sin 2A -π6 +334，因为△ABC 为锐角三角形，所以0<A <π20<2π3-A <π2 ，解得π6<A <π2，则π6<2A -π6<5π6，则12<sin 2A -π6≤1，所以332<S △ABC ≤934，所以△ABC 的面积范围332,934.2(2024·全国·模拟预测)已知在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且m =2sin x ,3 ，n =cos x ,cos2x ，f x =m ⋅n，f B +C =0．(1)求角A 的值；(2)若b =1，求△ABC 面积的范围．【解析】(1)∵m =2sin x ,3 ，n =cos x ,cos2x ，f x =m ⋅n ，∴f x =2sin x cos x +3cos2x=sin2x +3cos2x =2sin 2x +π3 ．又f B +C =0，∴sin 2B +C+π3=0．又△ABC 为锐角三角形，∴2B +C +π3=2π或π∴B +C =5π6或π3(舍去)，∴A =π6．(2)由正弦定理知a sin A=b sin B =c sin C ，又∵b =1，A =π6，∴a =12sin B ，∴S =12ab sin C =sin π6+B 4sin B=38+18⋅cos B sin B =38+18⋅1tan B ．B ∈0,π2 56π-B ∈0,π2故得到：π3<B <π2，∴38<S <36，∴△ABC 面积的范围为38,363(2024·四川攀枝花·三模)已知ΔABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c其面积为S,且(b+c2-a2=43S.(Ⅰ)求角A；(II)若a=3,b=m(m>0),当ΔABC有且只有一解时,求实数m的范围及S的最大值.【解析】分析：(Ⅰ)利用余弦定理和三角形的面积公式化简(b+c)2-a2=43S得到sin A - π6=12,再解这个三角方程即得A的值.(II)先根据ΔABC有且只有一解利用正弦定理和三角函数的图像得到m的取值范围m∈0,3∪2 ，再写出S的函数表达式求其最大值.(Ⅰ)由已知b2+c2-a2+2bc=23bc sin A由余弦定理得2bc cos A+2bc=23bc sin A，所以cos A+1=3sin A，即sin A-π6=12,∵A∈0，π，∴A-π6∈-π6，5π6，A-π6=π6，所以A=π3.(Ⅱ)由已知，当ΔABC有且只有一解时，m sinπ3=3或0<m≤3,所以m∈0,3∪2 ；(i)当m=2时，ΔABC为直角三角形，S=12•1•3=32(ii)当0<m≤3时，由正弦定理msin B=3sinπ3⇒m=2sin B，S=12•3sin B•sin C=3sin B•sin2π3-B=32sin B cos B+32sin2B=32sin B cos B+32sin2B+32•1-cos2B2=32sin2B-π6+34∵0<B≤π3,∴π6<2B-π6≤π2，所以，当B=π3时，S max=334>32综上所述，S max=33 4.4(2024·陕西安康·模拟预测)如图，在平面四边形ABCD中，AB=AC=BD=10，当四边形ABCD的面积最大时，BC2+CD2+DA2的最小值为.【答案】700-4002【解析】如图，设AC∩BD=O,∠AOD=θ,则四边形ABCD的面积为S=S△ABD+S△BCD=12BD×AO sinθ+12BD×CO sinθ=12BD×AC sinθ=50sinθ，因0<θ<π，故当且仅当sinθ=1，即θ=π2时，S max=50.当θ=π2时，设AO=x,OB=y，则CO=10-x,OD=10-y,于是BC2+CD2+DA2=y2+(10-x)2+(10-y)2+(10-x)2+x2+(10-y)2=3(x2+y2)-40(x+y)+ 400，因AO2+BO2=100,即x2+y2=100,由(x+y)2=x2+y2+2xy≤2(x2+y2)=200，则有x+y≤102，当且仅当x=y=52时取等号，即当x=y=52时，BC2+CD2+DA2的最小值为300-40×102+400=700-4002.故答案为：700-4002.5(2024·陕西西安·模拟预测)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=6，6cos B=3c -b cos A ，则△ABC 面积的最大值为.【答案】322/322【解析】因为a =6，6cos B =3c -b cos A ，所以6cos B =a cos B =3c -b cos A ，由正弦定理可得sin A cos B =3sin C cos A -sin B cos A ，即sin A +B =3sin C cos A ，sin C =3sin C cos A ，因为C ∈0,π ，所以sin C ≠0，故cos A =13，由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A 得6 2=b 2+c 2-23bc ，所以6=b 2+c 2-23bc ≥2bc -23bc ，即bc ≤92，当且仅当b =c =322时取等号，由cos A =13，A ∈0,π ，得sin A =223，所以S △ABC =12bc sin A =12×223bc ≤23×92=322.故答案为：322.题型三：长度和差比问题1(2024·广东深圳·模拟预测)已知△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足3c +b sin A =3a cos B ．(1)求角A 的大小；(2)若D 是边BC 上一点，且AD 是角A 的角平分线，求BC AD的最小值．【解析】(1)由题意知△ABC 中，3c +b sin A =3a cos B ，故3sin C +sin B sin A =3sin A cos B即3sin (A +B )+sin B sin A =3sin A cos B ，即3(sin A cos B +cos A sin B )+sin B sin A =3sin A cos B ，所以3cos A sin B +sin B sin A =0，而B ∈0,π ，故sin B ≠0，故3cos A +sin A =0，即tan A =-3，又A ∈0,π ，故A =2π3；(2)由余弦定理：BC =b 2+c 2-2bc cos A =b 2+c 2+bc ，又S △ABD +S △ACD =S △ABC ，公众号：慧博高中数学最新试题所以12c ⋅AD sin60°+12 b ⋅AD sin60°=12bc sin120°，所以AD =bc b +c，所以BC AD =b 2+c 2+bcbcb +c ≥2bc +bcbc b +c =3⋅b +c bc ≥3⋅2bc bc=23，当且仅当b=c时，取等号，则BCAD的最小值为23.2(2024·山西运城·模拟预测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)求证：sin(A-B)sin A+sin B =a-bc；(2)若△ABC是锐角三角形，A-B=π3,a-b=2，求c的范围.【解析】(1)由两角差的正弦公式，可得sin(A-B)sin A+sin B=sin A cos B-cos A sin Bsin A+sin B，又由正弦定理和余弦定理，可得sin A cos B-cos A sin B sin A+sin B =a⋅a2+c2-b22ac-b⋅b2+c2-a22bca+b=2a2-2b2 2c(a+b)=(a+b)(a-b)c(a+b)=a-bc，所以sin(A-B)sin A+sin B=a-bc(2)由(1)知c=(a-b)(sin A+sin B)sin(A-B)=43(sin A+sin B)=43sin B+π3+sin B=4332sin B+32cos B=432sin B+12cos B=4sin B+π6因为△ABC是锐角三角形，所以A=B+π3<π2，可得0<B<π6，又由A+B>π2，可得B+π3+B>π2，所以B>π12，所以π4<B+π6<π3，所以22<sin B+π6<32，可得22<c<23，符合c>a-b=2.所以实数c的取值范围是(22,23).3(2024·山东潍坊·一模)在①tan A tan C-3tan A=1+3tan C；②2c-3acos B= 3b cos A；③a-3csin A+c sin C=b sin B这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.问题：在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且.(1)求角B的大小；(2)已知c=b+1，且角A有两解，求b的范围.【解析】(1)若选①：整理得1-tan A tan C=-3tan A+tan C，因为A+B+C=π，所以tan B=-tan A+C=-tan A+tan C1-tan A tan C=33，因为B∈0,π，所以B=π6；若选②：因为2c-3acos B=3b cos A，由正弦定理得2sin C-3sin Acos B=3sin B cos A，所以2sin C cos B =3sin A +B =3sin C ,sin C >0，所以cos B =32，因为B ∈0,π ，所以B =π6；若选③：由正弦定理整理得a 2+c 2-b 2=3ac ，所以a 2+c 2-b 22ac =32，即cos B =32，因为B ∈0,π ，所以B =π6；(2)将c =b +1代入正弦定理b sin B =c sin C ，得b sin B =b +1sin C，所以sin C =b +12b ，因为B =π6，角A 的解有两个，所以角C 的解也有两个，所以12<sin C <1，即12<b +12b <1，又b >0，所以b <b +1<2b ，解得b >1.4在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，b =23，2c -a sin C =b 2+c 2-a 2sin Bb(1)求角B ﹔(2)求2a -c 的范围．【解析】(1)2c -a sin C =b 2+c 2-a 2sin Bb⇒2c -a c =b 2+c 2-a 2⇒c 2+a 2-b 2=ac ，又cos B =a 2+c 2-b 22ac ，所以cos B =12，因为B ∈0,π ，所以B =π3.(2)在△ABC 中，由(1)及b =23，得b sin B =a sin A=c sin C =2332=4，故a =4sin A ,c =4sin C ，2a -c =8sin A -4sin C =8sin A -4sin 2π3-A =8sin A -23cos A -2sin A=6sin A -23cos A =43sin A -π6，因为0<A <2π3，则-π6<A -π6<π2，-12<sin A -π6 <1,-23<43sin A -π6<43﹒所以2a -c 的范围为-23,43 .5(2024·重庆·模拟预测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b =2b cos 2π12-A 2 -a sin B 2cos B2．(1)求角A 的大小；(2)若BP =PC ，且b +c =2，求AP 的最小值．【解析】(1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A=bsin B ，可得a sin B =b sin A 又由b =2b cos 2π12-A 2 -a sin B 2cos B 2知2a sin B 2cos B 2=b ⋅2cos 2π12-A 2-1 ，即a sin B =b cos π6-A，得b sin A =b cos π6-A ，得sin A =cos π6-A =32cos A +12sin A ，得12sin A =32cos A ，所以tan A =3；又因为A ∈0,π ，所以A =π3．(2)由BP =PC ，得AP =12AB +12AC ，所以AP 2=12AB +12AC 2=14AB 2+14AC 2+12AB ⋅AC=14c 2+14b 2+12bc cos A =14c 2+14b 2+14bc =14b +c 2-bc ≥14b +c 2-b +c 2 2 =316b +c 2=34，当且仅当b =c b +c =2，即b =c =1时等号成立，故AP 的最小值为32．6(2024·安徽亳州·高三统考期末)在锐角ΔABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin C=c cos A -π6.(1)求角A 的大小；(2)设H 为ΔABC 的垂心，且AH =1，求BH +CH 的范围.【解析】(1)由a sin C =c cos A -π6，结合正弦定理得sin A =cos A -π6，整理得sin A -π3 =0，又A 为锐角，故A =π3.(2)由ΔABC 是锐角三角形，则垂心H 必在ΔABC 内部，不妨设∠BAH =α，则α∈0,π3.公众号：慧博高中数学最新试题由H 为ΔABC 的垂心，则∠ABH =∠ACH =π6.在ΔABH 中使用正弦定理得，AH sin ∠ABH =BHsin ∠BAH ，整理得：BH =2sin α.同理在ΔACH 中使用正弦定理得，CH =2sin π3-α .BH +CH =2sin α+2sin π3-α =2sin π3+α ，结合α∈0,π3可得BH +CH ∈3,2 .题型四：转化为角范围问题1在锐角ΔABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C.(1)求A；(2)求cos B-cos C的取值范围.【解析】(1)因为a+bsin A-sin B=c-bsin C，所以a+ba-b=c-bc，即a2=b2+c2-bc.因为a2=b2+c2-2b cos A，所以cos A=1 2.因为A∈0,π2，所以A=π3.(2)由(1)知cos B-cos C=cos B-cos2π3-B=cos B+12cos B-32sin B=32cos B-32sin B=3cos B+π6.因为0<2π3-B<π20<B<π2，所以π6<B<π2，因为π3<B+π6<2π3，所以cos B+π6∈-12,12，所以cos B-cos C∈-32,32，即cos B-cos C的取值范围是-32,32.2已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a-b=c cos B-cos A．(1)判断△ABC的形状并给出证明；(2)若a≠b，求sin A+sin B+sin C的取值范围．【解析】(1)△ABC为等腰三角形或直角三角形，证明如下：由a-b=c cos B-cos A及正弦定理得，sin A-sin B=sin C cos B-cos A，即sin B+C-sin A+C=sin C cos B-cos A，即sin B cos C+cos B sin C-sin A cos C-cos A sin C=sin C cos B-sin C cos A，整理得sin B cos C-sin A cos C=0，所以cos C sin B-sin A=0，故sin A=sin B或cos C=0，公众号：慧博高中数学最新试题又A、B、C为△ABC的内角，所以a=b或C=π2，因此△ABC为等腰三角形或直角三角形．(2)由(1)及a≠b知△ABC为直角三角形且不是等腰三角形，且A+B=π2，C=π2故B=π2-A，且A≠π4，所以sin A+sin B+sin C=sin A+sin B+1=sin A+cos A+1=2sin A+π4+1，因为A ∈0,π4 ∪π4,π2 ，故A +π4∈π4,π2 ∪π2,3π4，得sin A +π4 ∈22,1，所以2sin A +π4 +1∈2,2+1 ，因此sin A +sin B +sin C 的取值范围为2,2+1 ．3(2024·山西·模拟预测)钝角△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos B =c sin A ，则sin A +2sin B 的最大值是.【答案】54【解析】因为a cos B =c sin A ，由正弦定理得sin A cos B =sin C sin A ，又因为A ∈(0,π)，可得sin A ≠0，所以sin C =cos B ，则C =π2-B 或C =π2+B .当C =π2-B 时，可得A =π2，与△ABC 是钝角三角形矛盾，所以C =π2+B ，由0<A <π20<B <π2A +B +C =π，则A =π2-2B >0，可得0<B <π4，所以sin A +2sin B =sin B +C +2sin B =cos2B +2sin B =-2sin 2B +2sin B +1=-2sin B -242+54，所以当sin B =24时，sin A +2sin B 的最大值为54.故答案为：54.4在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知a =1,b =2.(1)若∠B =π4，求角A 的大小；(2)求cos A cos A +π6的取值范围.【解析】(1)由正弦定理得：sin A =a sin B b=12，∵0<A <π，∴A =π6或5π6，当A =5π6时，此时A +B >π，所以A =5π6舍去，所以A =π6.(2)cos A cos A +π6 =cos A 32cos A -12sin A =341+cos2A -14sin2A =34+1232cos2A -12sin2A=-12sin 2A -π3 +34(或者用积化和差公式一步得到12cos 2A +π6 +34)∵a <b ，∴A <B ，所以A 为锐角，又sin A =a sin B b≤22，所以A ∈0,π4 ，所以2A -π3∈-π3,π6，所以sin 2A -π3 ∈-32,12，所以cos A cos A +π6 ∈3-14,32.题型五：倍角问题1(多选题)在锐角△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且c =b +2b cos A ，则下列结论正确的有()A.A =2BB.B 的取值范围为π6,π3C.ab的取值范围为(2,3)D.1tan B -1tan A+2sin A 的取值范围为533,3 【答案】ACD【解析】因为c =b +2b cos A ，所以由正弦定理得sin C =sin B +2sin B cos A ，又因为sin C =sin (A +B )，所以sin A +B =sin B +2sin B cos A ，即sin A cos B +sin B cos A =sin B +2sin B cos A ，整理得sin A cos B -sin B cos A =sin B ，即sin (A -B )=sin B对于A 项，因为A 、B 、C 均为锐角，所以A -B =B ，即A =2B ，故A 项正确；对于B 项，因为A =2B ，A +B +C =π，所以C =π-3B ，因为A 、B 、C 均为锐角，所以0<A <π20<B <π20<C <π2 ，即0<2B <π20<B <π20<π-3B <π2，解得π6<B <π4，所以B 的取值范围为π6,π4，故B 项错误．对于C 项，由正弦定理得a b=sin A sin B =sin2B sin B =2cos B ，B ∈π6,π4 ，所以cos B ∈22,32，所以ab=2cos B ∈(2,3)．故C 项正确．对于D 项，由A 项知，A =2B ，由B 项知，π6<B <π4，所以π3<A <π2，所以1tan B -1tan A +2sin A =tan A -tan B tan B tan A +2sin A =sin A cos B -sin B cos Asin B sin A+2sin A =sin A -B sin B sin A +2sin A =sin B sin B sin A +2sin A =1sin A +2sin A ，A ∈π3,π2 ，令t =sin A ，则t ∈32,1，所以1tan B -1tan A+2sin A =1t +2t ，t ∈32,1 ，令h (t )=1t +2t ，t ∈32,1 ，则h(t )=-1t 2+2=2t 2-1t 2>0，所以h (t )在32,1 上单调递增，又h 32=533，h (1)=3，所以h (t )∈533,3 ，即1tan B -1tan A +2sin A 范围为533,3 ，故D 项正确.故选：ACD .2(多选题)(2024·河北·三模)已知△ABC 内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，A =2B ，则()A.a 2=c b +cB.b c +a 2b 2的最小值为3C.若△ABC 为锐角三角形，则cb∈1,2 D.若a =26，b =3，则c =5【答案】BCD【解析】由A =2B ，得sin A =sin2B =2sin B cos B ，由正弦定理得a =2b cos B ，由余弦定理得a =2b ⋅a 2+c 2-b 22ac，则c -b a 2-b 2-bc =0，当b ≠c 时，a 2-b 2-bc =0，即a 2=b b +c ，当b =c 时，B =C ，又A =2B ，所以A =90°,B =C =45°，所以a =2b ，所以a 2-b 2-bc =2b 2-b 2-b ⋅b =0，所以a 2=b b +c ，故选项A 错误；由a 2=b b +c ，则b c +a 2b 2=b c +b 2+bc b2=b c +c b +1≥3，当且仅当b =c 时，故选项B 正确；在△ABC 中，sin B ≠0，由正弦定理，c b =sin C sin B =sin 2B +B sin B =sin2B cos B +cos2B sin B sin B =2sin B cos 2B +2cos 2B -1 sin Bsin B =4cos 2B -1，若△ABC 为锐角三角形，又A =2B ，则B ∈0,π4 ,C =π-3B <π2，故B >π6，所以B ∈π6,π4，所以cos B ∈22,32，则cos 2B ∈12,34 ，所以4cos 2B -1∈1,2 ，故选项C 正确；公众号：慧博高中数学最新试题在△ABC 中，由正弦定理a sin A=b sin B =csin C ，又A =2B ，a =26，b =3，得3sin B =26sin2B =262sin B cos B，则cos B =63由余弦定理，b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，得9=24+c 2-2×26×63c ，整理得c2-8c+15=0，解得c=5，或c=3，当c=3时，有C=B，又A=2B，所以B=C=45°,A=90°，因为b2+c2≠a2，则c=3不成立，故选项D正确.故选：BCD .3(2024·江西九江·一模)锐角三角形ABC中，若∠C=2∠B，则ABAC的范围是()A.(0,2)B.(2,2)C.(2,3)D.(3,2)【答案】C【解析】由正弦定理得ABAC=cb=sin Csin B=sin2Bsin B=2sin B cos Bsin B=2cos B，由于三角形ABC为锐角三角形，故0<B<π20<C=2B<π2π2<B+C=3B<π，所以π6<B<π4，所以2cos B∈2,3.故选C.4在锐角△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a2=b2+bc，则cb+2cos2B的最小值为.【答案】42-1/-1+42【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A，又a2=b2+bc，所以b2+bc=b2+c2-2bc cos A，即bc=c2-2bc cos A，所以b=c-2b cos A，由正弦定理得sin B=sin C-2sin B cos A，即sin B=sin A+B-2sin B cos A=sin A cos B-cos A sin B=sin A-B，因为A,B∈0,π，所以A-B∈-π,π，所以B=A-B或B+A-B=π(舍去)，所以A=2B，c b +2cos2B=sin Csin B+2cos2B=sin A+Bsin B+2cos2B=sin3Bsin B +2cos2B=sin B cos2B+cos B sin2Bsin B+2cos2B=cos2B-sin2B+2cos2B sin Bsin B +2 cos2B=4cos2B+2cos2B -1≥24cos2B⋅2cos2B-1=42-1，当且仅当4cos2B=2cos2B，即cos2B=22时取等号，所以c b +2cos 2B的最小值为42-1.故答案为：42-1.题型六：角平分线问题与斯库顿定理1△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4a sin A =b sin C cos A +c sin A cos B .(1)求sin Asin C的值；(2)若BD 是∠ABC 的角平分线.(i )证明：BD 2=BA ·BC -DA ·DC ；(ii )若a =1，求BD ⋅AC 的最大值.【解析】(1)因为△ABC 中，4a sin A =b sin C cos A +c sin A cos B ，故4sin 2A =sin B sin C cos A +sin C sin A cos B =sin C (sin B cos A +sin A cos B )=sin C sin A +B =sin 2C ，因为A ,C ∈(0,π),∴sin A ,sin C >0，故sin A sin C =12；(2)(i )证明：△ABD 中，由正弦定理得AD sin ∠ABD =ABsin ∠ADB ①，又AB 2=AD 2+BD 2-2AD ⋅BD ⋅cos ∠ADB ②，同理在△BCD 中，CD sin ∠CBD =BCsin ∠CDB ③，BC 2=CD 2+BD 2-2CD ⋅BD ⋅cos ∠CDB ④，BD 是∠ABC 的角平分线，则∠ABD =∠CBD ，则sin ∠ABD =sin ∠CBD ，公众号：慧博高中数学最新试题又∠ADB +∠CDB =π，故sin ∠ADB =sin ∠CDB ,cos ∠ADB +cos ∠CDB =0，故①÷③得AD CD =AB BC ⑤，即AD AC =AB AB +BC ,∴CD AC =BC AB +BC，由CD ×②+AD ×④得，CD ⋅AB 2+AD ⋅BC 2=CD ⋅AD AD +CD +CD +AD ⋅BD 2=CD ⋅AD ⋅AC +AC ⋅BD 2，则BD 2=CD ⋅AB 2+AD ⋅BC 2AC-CD ⋅AD=BC ⋅AB 2+AB ⋅BC 2AB +BC -CD ⋅AD =BA ⋅BC -DA ⋅DC ，即BD 2=BA ·BC -DA ·DC ；(ii)因为sin Asin C =12，故c=2a，则由⑤得ADCD=ABBC=2，则AD=23AC,DC=13AC，由a=1以及(i)知BD2=2-29AC2，即BD2+29AC2=2，则BD2+29AC2≥223BD⋅AC，当且仅当BD2=29AC2，结合BD2+29AC2=2，即BD=1,AC=322时等号成立，故BD⋅AC≤322，即BD⋅AC的最大值为322.2在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，a=23，6cos C-a sin C=3b.(1)求角A的大小；(2)设∠ABC的平分线与AC交于点D，当△ABC的面积最大时，求BD的长.【解析】(1)6cos C-a sin C=3b,a=23，所以3a cos C-a sin C=3b，由正弦定理得3sin A cos C-sin A sin C=3sin B=3sin(A+C)，即3sin A cos C-sin A sin C=3sin A cos C+3sin C cos A，得-sin A sin C=3sin C cos A，又sin C>0，所以-sin A=3cos A，即tan A=-3，又0<A<π，所以A=2π3；公众号：慧博高中数学最新试题(2)由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A 即b2+c2+bc=12，而b≥0,c≥0，∴12=b2+c2+bc≥3bc，即bc≤4，∴S△ABC=12bc sin A=34bc≤ 3.当且仅当b=c=2取等号此时∠ABC=∠C=π6，则∠ABD=π12,∠ADB=π4，在△ABD中，由正弦定理得ABsin∠ADB=BDsin A，即2sinπ4=BDsin2π3，解得BD=6.3(2024·山西吕梁·一模)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b cos C+2a cos A=-c cos B．(1)求A；(2)设A的角平分线交BC于点M，AM=1，求b+4c的最小值．【解析】(1)∵b cos C+2a cos A=-c cos B.由正弦定理，得sin B cos C+sin C cos B=-2sin A cos A∴sin(B+C)=-2sin A cos A，即sin A=-2sin A cos A∵A∈0,π∴sin A>0∴cos A=-12，即A=2π3(2)由题意可得，S△ABM+S△AMC=S△ABC∴1 2c⋅AM⋅sin60°+12b⋅AM⋅sin60°=12bc sin120°∴b+c=bc即1b+1c=1∴b+4c=(b+4c)1b +1 c=5+b c+4c b≥5+2b c⋅4c b=9当且仅当bc=4cb，即b=3,c=32时，等号成立，所以b+4c的最小值为9.4(2024·广东佛山·模拟预测)记锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知sin2C+ sin2B-sin2A=sin B sin C．(1)求A；(2)已知A的角平分线交BC于点D，求BDCD的取值范围．【解析】(1)因为sin2C+sin2B-sin2A=sin B sin C，由正弦定理可得c2+b2-a2=bc，所以cos A=c2+b2-a22bc=12，又A∈0,π，所以A=π3.(2)因为BDCD =S△ABDS△ACD=12AB⋅AD sin∠BAD12AC⋅AD sin∠CAD=ABAC=cb=sin C sin B =sin2π3-Bsin B=sin2π3cos B-cos2π3sin Bsin B=32tan B+12，因为△ABC为锐角三角形，所以0<B<π20<2π3-B<π2，解得π6<B<π2，所以tan B>33，所以12<32tan B+12<2，即BDCD的取值范围为12,2.题型七：中线问题1在△ABC 中，∠B =π3，D 在边AC 上，∠A ，∠B ．∠C 对应的边为a ，b ，c ．(1)当BD 为∠B 的角平分线且BD =3时，求1a +1c的值；(2)当D 为AC 的中点且BD =23时，求2c +a 的取值范围．【解析】(1)由题意知，BD 为角平分线且长度已知，则利用面积相等可得12ac sin π3=12BD ⋅c ⋅sin π6+12BD ⋅a ⋅sin π6，整理可得32ac =32a +c ，所以1a +1c =c +aac=1.(2)以a ，c 为边做平行四边形，另一个端点设为M ，连接BM ，易知BM 交AC 于点D .设∠DBC =θ，则由正弦定理知：c sin θ=43sin 2π3=a sin π3-θ 化简可得c =8sin θ，a =8sin π3-θ ，．则2c +a =16sin θ+8sin π3-θ ，合并化简可2c +a =83sin θ+π6，易知θ∈0,π3 ，则θ+π6∈π6,π2，∴2c +a =83sin θ+π6∈43,83 ．∴2c +a 的取值范围为43,83 .2(2024·高三·黑龙江大庆·期末)在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且sin C =c 3cos B2,b =3.(1)求B ；(2)求△ABC 的AC 边中线BD 的最大值.【解析】(1)由题意sinB 2>0，结合已知有2sin B 2sinC =c 3×2⋅sin B 2cos B 2=c3sin B ，所以2c ⋅sin B 2=c3⋅b ，而b =3，所以sinB 2=12，而B 2∈0,π2 ，所以B 2=π6，解得B =π3.(2)由题意BD =12BA +BC ，所以BD =12BA +BC =12BA +BC 2=12BA 2+2BA ⋅BC +BC 2=12c 2+ac +a 2，而由余弦定理有9=b 2=a 2+c 2-2ac cos π3=a 2+c 2-ac ，所以BD =129+2ac ，由基本不等式可得9=a 2+c 2-ac ≥2ac -ac =ac ，当且仅当a =c =3时，等号成立，即ac max =9，所以BD max =129+2ac max =332，即△ABC 的AC 边中线BD 的最大值为332.3(2024·河北·模拟预测)在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且sin A -3sin B a =c -b sin C +sin B .(1)求角C 的大小；(2)若边c =2，边AB 的中点为D ，求中线CD 长的最大值.【解析】(1)因为sin A -3sin B a =c -b sin C +sin B ，由正弦定理可得：a -3b a =c -b c +b ，则a 2-3ab =c 2-b 2，即a 2+b 2-c 2=3ab ，由余弦定理可得：cos C =a 2+b 2-c 22ab =3ab 2ab=32，因为C ∈0,π ，所以C =π6.(2)因为D 为AB 的中点，所以CD =12CA +CB，则CD 2=14CA +CB 2=14CA 2+12CA ⋅CB +14CB 2=14a 2+3ab +b 2 ，又由余弦定理得，c 2=a 2+b 2-2ab cos B ，即4=a2+b2-3ab，所以CD2=144+23ab=1+32ab.由4=a2+b2-3ab得，4+3ab=a2+b2≥2ab，则ab≤42+3，当且仅当a=b=22+3取等号，即CD2≤1+32×42+3=1+232+3=7+43=3+22，所以CD≤3+2，即中线CD长的最大值为3+2.4(2024·高三·河北张家口·期末)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a cos C-2b cos B+c cos A=0．(1)若a=3，b=7c，求△ABC的面积；(2)已知AD为边BC的中线，且AD=3，求a+c的最大值．【解析】(1)由正弦定理，得sin A cos C-2sin B cos B+sin C cos A=0，所以sin A+C=2sin B cos B．又A+B+C=π，所以sin B=2sin B cos B，又sin B≠0，所以cos B=12，又B∈0,π，故B=π3．由余弦定理，得b2=a2+c2-2ac cos B⇒7c2=9+c2-3c，由c>0，解得c=1，所以△ABC的面积S=12ac sin B=12×3×1×32=334．(2)设∠BDA=θ，则∠BAD=2π3-θ．由B=π3及正弦定理可得，csin∠BDA=a2sin∠BAD=ADsin B=2，所以c=2sinθ，a=4sin2π3-θ ，故a+c=4sin2π3-θ+2sinθ=4sinθ+23cosθ=2727sinθ+37cosθ=27sinθ+φ，其中tanφ=32，φ∈0,π4，当sinθ+φ=1时，a+c的最大值为27．5(2024·浙江·模拟预测)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c且b cos C+c sin B=a, a+2bsin A+2sin B=62，(1)求b；(2)求AC边上中线长的取值范围．【解析】(1)因为b cos C+c sin B=a，由正弦定理可得sin B cos C +sin C sin B =sin A =sin B +C =sin B cos C +cos B sin C ，整理得sin C sin B =cos B sin C ，且C ∈0,π ，则sin C ≠0，可得sin B =cos B ，即tan B =1，且B ∈0,π ，则B =π4，由正弦定理a sin A =bsin B =2R ，其中R 为△ABC 的外接圆半径，可得a =2R sin A ,b =2R sin B ，又因为a +2b sin A +2sin B =2R sin A +4R sin B sin A +2sin B=2R =62，所以b =2R sin B =62×22=6.(2)在△ABC 中，由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，即36=a 2+c 2-2ac ，则a 2+c 2=36+2ac ≥2ac ，当且仅当a =c 时，等号成立，可得ac ≤362-2=182+2 ，即ac ∈0,182+2设AC 边上的中点为D ，因为BD =12BA +12BC ，则BD 2=12BA +12BC 2=14BA 2+12BA ⋅BC +14BC2=14a 2+c 2 +12ac cos B =1436+2ac +24ac =9+22ac ∈9,27+182 ，即BD ∈3,3+32 ，所以AC 边上中线长的取值范围为3,3+32 .题型八：四心问题1(2024·全国·模拟预测)已知锐角三角形ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且c -b sin C =a cos C -b sin B +a cos B sin C .(1)求角A ；(2)若H 为△ABC 的垂心，a =2，求△HBC 面积的最大值.【解析】(1)由题可得，c -b sin C =a cos C sin B -b sin B +a cos B sin C =a sin B +C -b sin B =a sin A -b sin B结合正弦定理可得c -b c =a 2-b 2，即bc =b 2+c 2-a 2，∴cos A =b 2+c 2-a 22bc=12，又A ∈0,π2 ，∴A =π3.(2)设边AC ，AB 上的高分别为BE ，CF 则H 为BE 与CF 的交点，则在四边形AFHE 中，∠FAE +∠FHE +π2+π2=2π，∵∠FAE =π3，∴∠FHE =2π3，故∠BHC =2π3，在△BHC 中，S △BHC =12BH ⋅HC sin 2π3=34BH ⋅HC ，BH 2+HC 2-2BH ⋅HC ⋅cos 2π3=4，则4=BH 2+HC 2+BH ⋅HC ≥2BH ⋅HC +BH ⋅HC ，即BH ⋅HC ≤43，当且仅当BH =HC 时取等号.∴S △BHC ≤33，故△HBC 面积的最大值为33.2在锐角△ABC 中，cos A =22，点O 为△ABC 的外心．(1)若AO =xAB +yAC，求x +y 的最大值；(2)若BC =2．①求证：OA +sin2B ⋅OB -cos2B ⋅OC =0；②求3OA +2OB +OC的取值范围．【解析】(1)取AB 的中点D ，连接OD ,则OD ⊥AB ,不妨设|AB |=m ,|AC |=n ，因AO ⋅AB =(AD +DO )⋅AB =AD ⋅AB =12m 2，同理可得AO ⋅AC =12n 2，则由AO =xAB +yAC 可得AO ⋅AB =x |AB |2+yAB ⋅AC=xm 2+ymn cos A =xm 2+22ymn =12m 2，即得：2mx +2ny =m ①又由AO =xAB +yAC 可得AO ⋅AC =xAB ⋅AC +y |AC |2=xmn cos A +yn 2=22xmn +yn 2=12n 2，即得：2mx +2ny =n ②联立①,②，解得：x =1-2n2m y =1-2m 2n,则x +y =1-2n 2m +1-2m 2n =2-22n m +m n，因n m +mn≥2，当且仅当m =n 时等号成立.即当m =n 时，x +y 取得最大值2-2.(2)①由cos A =22,0<A <π2，则A =π4，由图知∠BOC =2∠A =π2,则OB ⋅OC =0,设△ABC 的外接圆半径为R ，公众号：慧博高中数学最新试题则|sin2B ⋅OB -cos2B ⋅OC |2=sin 22B ⋅|OB |2+cos 22B ⋅|OC|2=R 2,即|sin2B ⋅OB -cos2B ⋅OC |=R ,又OA ⋅(sin2B ⋅OB -cos2B ⋅OC)=R 2(sin2B cos ∠AOB -cos2B cos ∠AOC )，而∠AOB =2π-∠BOC -∠AOC =3π2-∠AOC ,则cos ∠AOB =-sin ∠AOC =-sin2B ，而cos ∠AOC =cos2B ，故OA ⋅(sin2B ⋅OB -cos2B ⋅OC)=-R 2(sin 22B +cos 22B )=-R 2,不妨设OA 与sin2B ⋅OB -cos2B ⋅OC的夹角为θ，则cos θ=OA ⋅(sin2B ⋅OB -cos2B ⋅OC )|OA |⋅|sin2B ⋅OB -cos2B ⋅OC |=-R 2R 2=-1,因θ∈[0,π]，故θ=π，即OA =-sin2B ⋅OB +cos2B ⋅OC，故OA +sin2B ⋅OB -cos2B ⋅OC =0 ，得证.②因|BC |=2,∠BOC =π2,则|BC |=2R =2,即R =1，3OA +2OB +OC 2=9OA 2+4OB 2+OC 2+12OA ⋅OB +6OA ⋅OC +4OB ⋅OC =14+12cos2C +6cos2B +4cos2A =14+12cos2C -6sin2C =14+65cos (2C +θ)，其中，tan θ=12，且θ为锐角，故0<θ<π4，因0<C <π20<B =3π4<π2, 可得C ∈π4,π2 ,则2C ∈π2,π ，2C +θ∈π2+θ,π+θ .又由tan θ=sin θcos θ=12sin 2θ+cos 2θ=10<θ<π4 ,解得：sin θ=55cos θ=255, 因π2<π2+θ<3π4，而函数y =cos x 在π2+θ,π 上单调递减，在(π,π+θ)上单调递增，又由cos π2+θ=-sin θ=-55,cos (π+θ)=-cos θ=-255,故-1≤cos (2C +θ)<-55，则14-65≤14+65cos (2C +θ)<8，于是3-5=14-65≤3OA +2OB +OC<8，即3OA +2OB +OC的范围为[3-5,22).3已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点O 是△ABC 所在平面内的一点．(1)若点O 是△ABC 的重心，且OA ⋅OB=0，求cos C 的最小值；(2)若点O 是△ABC 的外心，BO =λBA +μBC (λ，μ∈R )，且a =4，c =6，mλ+μ-12sin 2B (m ∈R )有最小值，求m 的取值范围．【解析】(1)延长AO ，BO ，CO 分别交边BC ，AC ，AB 于点D ，E ，F ，依题意有FO =12AB =12c ，CF =32c ．在△CAF和△CAB中，由余弦定理有cos∠CAF=cos∠CAB，即b2+c22-3c2 22b⋅c2=b2+c2-a22bc，化简有a2+b2=5c2，cos C=a2+b2-c22ab=a2+b2-a2+b252ab=45⋅a2+b2 2ab ≥45⋅2ab2ab=45．当且仅当a=b时，等号成立，所以cos C的最小值为4 5．(2)由题意可知：BO⋅BA=18=36λ+24μcos B BO⋅BC=8=24λcos B+16μ，解得λ=3-2cos B6sin2Bμ=2-3cos B4sin2B，则mλ+μ-1 2sin2B=m(3-2cos B)6+2-3cos B4-sin2B2=6cos2B-(4m+9)cos B+6m12．今t=cos B,t∈(-1,1)，原式=6t2-(4m+9)t+6m有最小值，所以t-4m+912∈(-1,1)．解得m∈-214,34．4从①(a+b+c)⋅(sin A+sin B-sin C)=a sin B+2b sin A；②2a sin A cos B+b sin2A= 23a cos C这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足：．(1)求角C的大小；(2)若c=3，△ABC的内心为I，求△ABI周长的取值范围．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．【解析】(1)选择条件①，(a+b+c)(sin A+sin B-sin C)=a sin B+2b sin A，在△ABC中，由正弦定理得(a+b+c)(a+b-c)=ab+2ba，整理得a2+b2-c2=ab，则由余弦定理，cos C=a2+b2-c22ab=12，又C∈(0,π)，所以C=π3．选择条件②，2a sin A cos B+b sin2A=23a cos C，于是a sin A cos B+b sin A cos A=3a cos C，在△ABC中，由正弦定理得，sin2A cos B+sin A sin B cos A=3sin A cos C，。

三角形中的最值或范围问题在解三角形时，往往会遇到求边、角、周长、面积等问题的最值或范围，我们只需综合运用正余弦定理、三角恒等变换、面积公式，结合基本不等式与三角函数等知识求解即可.一、角的范围或最值[解析]：因为2b ac =，又由余弦定理知2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=，所以03B π<≤，又7sin cos )44412B B B B ππππ+=+<+<且,)4B π+∈,即sin cos B B +的取值范围是.[解析]:由BA BC ⋅=,得1cos sin 2ca B ac B =,即cos B B =, 又22cos sin 1B B +=,所以3cos 4B =． 221cos 21cos 2sin sin 22A C A C --+=+＝1cos[()()]2A C A C -++-＋1cos[()()]2A C A C -+--＝cos()cos()1A C A C +-+＝cos cos()1B A C -+＝3cos()14A C -+．因为0A B π<<-,0C B π<<-,所以B A C B ππ-<-<-, 所以当A C =时,max cos()1A C -=,当A C B π-=-或A C B π-=-时,min 3cos()cos 4A CB -=-=-,所以737cos()11644A C <-+≤, 即22sin sin A C +的取值范围是77(,]164．点评：求角的范围问题一般是转化为利用三角函数的范围来求.二、边的范围或最值【例2】:在锐角△ABC 中，A=2B ，则cb的取值范围是 .[解析]：由0222A B C A B πππ<=<<=--<且0,得64B ππ<<，所以2sin sin 3sin 2cos cos 2sin 4cos 1sin sin sin c C B B B B B B b B B B+====-，又23cos (,)22B ∈所以24cos 1(1,2)cB b=-∈. 【变式】:在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,且BC 边上的高为a 63,则cb bc + 的最大值是( )A.8B. 6C.23D.4[解析]:由已知得，在△ABC 中,A bc a a sin 216321=⋅, 即A bc a sin 322=,又由余弦定理得A bc c b a cos 2222-+=，即222cos 2c b A bc a +=+，所以4)6sin(4cos 2sin 32cos 2sin 3222≤+=+=+=+=+πA A A bc A bc A bc bc c b c b b c . 故选D.点评：把边的问题转化为角的问题，化多元为一元，体现了解题的通性通法.下面这道高考题只需运用正弦定理即可，能想到方法就很简单，想不到就太难了，不愧是高考题！【好题欣赏】：（2015·新课标I ）在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=，2BC =，则AB 的取值范围是 .[解析]: 如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合于E 点时，AB 最长，在BCE ∆中，75B C ∠=∠=，30E ∠=，2BC =， 由正弦定理可得o osin 30sin 75BC BE=，解得BE =6+2； 平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时在BCF ∆中，75B BFC ∠=∠=，30FCB ∠=， 由正弦定理知o osin 30sin 75BF BC=，解得62BF =-， 所以AB 的取值范围为(62,6+2)-.三、周长的范围或最值【例3】: 已知a,b,c 分别为△ABC 三个内角A,B,C 的对边,cos 3sin 0a C a C b c +--=. (1)求A 的大小；(2)若a ＝7,求△ABC 的周长的取值范围．[解析]:(1)由已知及正弦定理得：C B C A C A sin sin sin sin 3cos sin +=+, 即C C A C A C A sin )sin(sin sin 3cos sin ++=-,化简得，1cos sin 3=-A A ，所以21)6sin(=-πA ，所以66ππ=-A ，解得3π=A ；(2)由已知：0b >,0c >,7b c a +>=,由余弦定理22222231492cos()3()()()344b c bc b c bc b c b c b c π=+-=+-≥+-+=+ 当且仅当b ＝c ＝7时等号成立,∴2()449b c +≤⨯,又∵b ＋c ＞7,∴7＜b ＋c ≤14, 从而△ABC 的周长的取值范围是(14,21]．【变式】: 在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且cos cos 2cos a C c A b B +=. （1）求B 的大小.（2）若b=5，求△ABC 周长的取值范围.[解析]：（1）因为cos cos 2cos a C c A b B +=，由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=,所以sin()2sin cos A C B B +=，于是1cos ,23B B π==.（2）由正弦定理10sin sin sin 3a b c A B C ===， 所以101010210sin 5sin 5sin()sin 510sin()363333a b c A C A A A ππ++=++=+-+=++又由02A π<<得2663A πππ<+<， 所以510sin()(10,15]6a b c A π++=++∈.点评：例4是运用余弦定理结合基本不等式求周长的范围，而变式是运用正弦定理结合三角函数求周长的范围，各有千秋，好好体会.四、面积的范围与最值【例4】:在△ABC 中，22223a b c ab +=+，若△ABC 的外接圆半径为322，则△ABC 的面积的最大值为 .[解析]：由22223a b c ab +=+及余弦定理得2221cos 23a b c C ab +-==，所以22sin 3C =，又由于2sin 4c R C ==，所以2222cos c a b ab C =+-，即2221623ab a b ab +=+≥，所以12ab ≤，又由于12sin 4223S ab C ab ==≤， 故当且仅当23a b ==时，ABC 的面积取最大值42.【变式】: 如图,在等腰直角三角形OPQ 中,∠POQ ＝90°,22=OP ,点M 在线段PQ 上． (1)若5OM =,求PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上,且∠MON ＝30°,问：当∠POM 取何值时, △OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．[分析]:第(2)题求△OMN 的面积最小值,前面的要求也很明确：以∠POM 为自变量,因此,本题主要是如何将△OMN 的面积表示为∠POM 的函数关系式,进而利用函数最值求解.其中,利用正弦定理将OM 和ON 的长表示为∠POM 的函数是关键.[解析]:(1)在OMP ∆中,45OPM ∠=︒,OM =OP =, 由余弦定理得,2222cos 45OM OP MP OP MP =+-⨯⨯⨯︒, 得2430MP MP -+=, 解得1MP =或3MP =． (2)设POM α∠=,060α︒≤≤︒, 在OMP ∆中,由正弦定理,得sin sin OM OPOPM OMP=∠∠,所以()sin 45sin 45OP OM α︒=︒+, 同理()sin 45sin 75OP ON α︒=︒+故1sin 2OMNS OM ON MON ∆=⨯⨯⨯∠()()221sin 454sin 45sin 75OP αα︒=⨯︒+︒+ ()()1sin 45sin 4530αα=︒+︒++︒=⎣⎦====因为060α︒≤≤︒,30230150α︒≤+︒≤︒,所以当30α=︒时,()sin 230α+︒的最大值为1,此时OMN ∆的面积取到最小值． 即30POM ∠=︒时,△OMN 的面积的最小值为8-点评：面积问题是边长与角问题的综合,在例5中，知道角的具体值，就考虑边的变化，利用余弦定理结合基本不等式来求,而在变式中，不知道角的具体值，就考虑角的变化,利用三角函数范围求解.巩固训练：[解析]:设,,AB c AC b BC a ===,由余弦定理的推论222cos 2a c b B ac+-=,所以2223a c ac b +-==, 因为由正弦定理得2233sin sin sin ====BbC c A a ,所以C c sin 2=，A a sin 2=, 所以)sin 2(sin 2sin 22sin 22A C A R C R a c +=⨯+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=)32sin(2sin 2C C π ()α+=+=C C C sin 72)cos 3sin 2(272≤,（其中23tan =α）， 另解：本题也可以用换元法设2c a m +=,代入上式得227530a am m -+-=,因为28430m =-≥,故m ≤当m =,此时a c ==符合题意,因此最大值为．[解析]:（1）由余弦定理知：2221cos 22b c a A bc +-==,∴3A π∠=； (2)由正弦定理得：2sin sin sin b c aB C A====,∴2sin b B =,2sin c C =, ∴22224(sin sin )b c B C +=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-+-=B B C B 322cos 22cos 24)2cos 12cos 1(2π⎪⎭⎫⎝⎛---=B B 234cos 22cos 24π)62sin(242sin 32cos 4π-+=+-=B B B ,又∵203B π<<0,∴72666B πππ-<-<,∴12sin(2)26B π-<-≤, ∴2236b c <+≤．3.己知在锐角三角形中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且222tan abC a b c =+-,(1)求角C 大小；(2)当c=1时,求ab 的取值范围.[解析]：(1)由已知及余弦定理,得sin 1,sin ,cos 2cos 2C ab C C ab C ==因为C 为锐角,所以 30=C , (2)由正弦定理,得121sin sin sin 2a b c A B C ====, 2sin ,2sin 2sin(30).a A b B A ∴===+︒4sin sin 4sin sin()6ab A B A A π==+2314sin (sin cos )23sin 2sin cos 22A A A A A A =+=+3sin 23cos2A A =+-32sin(2)3A π=+- 由090,015090A A ︒<<︒⎧⎨︒<︒-<︒⎩得6090.A ︒<<︒60260120,A ∴︒<-︒<︒3sin(2)123A π<-≤ 2332ab ∴<≤+.4.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++． （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若a=2,求△ABC 周长的取值范围．[解析]:（1）由正弦定理sin sin sin a b cA B C==可将2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++变形为22(2)(2)a b c b c b c =+++, 整理可得222a b c bc =++,222b c a bc ∴+-=-,2221cos 222b c a bc A bc bc +--∴===-,0180A <<,∴120A =;(2) 由正弦定理得334sin sin ==C c B b ， ∴[])60sin(sin 334)sin (sin 334B B C B c b -+=+=+ )sin 60cos cos 60sin (sin 334B B B -+= )60sin(334cos 23sin 21334+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=B B B ，∵ 120=A ，∴() 60,0∈B ，∴() 120,6060∈+B ,∴⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+1,23)60sin( B ,∴⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+334,2)60sin(334B ，即⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+334,2c b ， ∴周长⎥⎦⎤⎝⎛+∈++3342,4c b a[解析]：由2a =且 (2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-， 即()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，由及正弦定理得：()()()a b a b c b c +-=-，∴222b c a bc +-=，故2221cos 22b c a A bc +-==，∴060A ∠=， ∴224b c bc +-=，224b c bc bc =+-≥，∴1sin 2ABC S bc A ∆=≤故答案为3.6. 在一个六角形体育馆的一角MAN 内,用长为a 的围栏设置一个运动器材存储区域（如图所示）,已知0120A ∠=,B 是墙角线AM 上的一点,C 是墙角线AN 上的一点． （1）若BC=a=20,求存储区域面积的最大值；（2）若AB+AC=10,在折线MBCN 内选一点D,使BD+DC=20,求四边形存储区域DBAC 的最大面积．[解析]:（1）设AB x =,AC y =,0,0x y >>． 由22200202cos12022cos120x y xy xy xy =+-≥-,得22020202022cos1204sin 60xy ≤=-, ∴22020002000112020cos 60201003sin1202sin 60cos 60224sin 604sin 604tan 60S xy =≤⨯⨯===即四边形DBAC 面积的最大值为10033,当且仅当x y =时取到． （2）由20=+DC DB ,知点D 在以B,C 为焦点的椭圆上，∵32523101021=⨯⨯⨯=∆ABC S , ∴要使四边形DBAC 面积最大，只需△DBC 的面积最大，此时点D 到BC 的距离最大，即D 为椭圆短轴顶点，由310=BC ,得短半轴长5=b ，()325531021max =⨯⨯=∆BCD S ，因此，四边形ACDB 的面积的最大值为350.7.已知3()3f x x x m =-+,在区间[0,2]上任取三个数a,b,c,均存在以()()(),,f a f b f c 为边长的三角形,则m 的取值范围是（ ）出函数在区间[0,2]上的最小值与最大值，从而可得不等式，即可求解.[解析]：由0)1)(1(333)('2=-+=-=x x x x f 得到1,121-==x x （舍去）， ∵函数的定义域为[0,2]，∴函数在（0，1）上0)('<x f ，在（1，2）上0)('>x f ， ∴函数)(x f 在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增， 则,)0(,2)2()(,2)1()(max min m f m f x f m f x f =+==-== 由题意知，02)1(>-=m f ①；)2()1()1(f f f >+，即m m +>+-224②；由①②得6>m 为所求，故选B.。

微专题：解三角形中的范围(最值)问题教学设计一、教学内容分析在高中数学知识体系中，解三角形是一个基础知识点，也是高考的一个必考点。

在解三角形的题型中，考查正弦定理和余弦定理的应用，涉及最值和范围的问题相对较难，综合性也较强。

解三角形问题是高考高频考点，在解三角形中的求最值或范围问题是高三复习中的难点，这类问题常常在知识的交汇点处命题，其涵盖及关联三角函数、平面向量、平面几何、基本不等式、导数等多领域的知识。

近几年的高考突出以能力立意，加强对知识综合性的考查，故常常在知识的交汇处设计问题。

主要考查“三基”（基本知识、基本技能、基本思想和方法）以及综合能力，对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，以选择题、填空题、解答题体现。

试题难度多为容易题和中档题，主要考查灵活变式求解计算能力，推理论证能力，数学应用意识，数形结合思想等。

而在解三角形中求解某个量（式子）最值或范围是命题的热点，又是一个重点，本节课通过近几年高考试题及模拟试题进行分析，对解三角形的范围(最值)进行优化归纳，并给出针对性巩固练习，以期求得热点难点的突破。

二、学情诊断分析授课对象为高三平行班学生。

本节课之前，学生已经学习了正余弦定理、基本不等式、三角函数、导数等有关内容，但是对于知识前后间联系、理解、应用综合性强的题有一定难度，学习起来比较吃力。

题目稍作变形就不会，独立分析、解决问题的能力有限。

但对一些简单数学规律和基本数学方法的学习，具有一定的基础。

本节课是针对他们在做此类型题目中能做但不能得全对的情形下做的一个探究归纳，使学生对此类问题有一个更高更深刻的认识掌握，解题能力有一个提升。

三、教学目标分析1.巩固正弦、余弦定理的应用，学会利用均值不等式、三角函数有界性和导数在处理范围问题中的应用；2.强化转化与化归的数学思想以及数形结合的数学思想，提高学生研究问题，分析问题与解决问题的能力。

四．教学重难点分析重点：正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的运用，能运用正弦余弦和差角公式进行简单的三角函数的恒等变换，理解基本不等式、三角函数的图像与性质和导数简单应用。

专题5解三角形中的最值与范围问题一、三角形中的最值范围问题处理方法1、利用基本不等式或常用不等式求最值：化角为边余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。

2、转为三角函数求最值：化边为角如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。

要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。

二、边化角与角化边的变换原则在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； (2)若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； (3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； (4)代数式变形或者三角恒等变换前置；(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；(6)同时出现两个自由角(或三三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理．【分析】设220CDBD m ==>，利用余弦定理表示出22AC AB 后，结合基本不等式即可得解. 【详解】[方法一]：余弦定理 设220CDBD m ==>， 则在ABD △中，2222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+⋅∠=++，在ACD 中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+−⋅∠=+−， 所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m mm m ++−++−===−+++++++44≥=−当且仅当311m m +=+即1m =−时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，1m =−.1.[方法二]：建系法令 BD=t ，以D 为原点，OC 为x 轴，建立平面直角坐标系. 则C （2t,0），A （1，B （-t,0）()()()2222222134441244324131111t AC t t AB t t t t t t BD −+−+∴===−≥−++++++++==当且仅当即时等号成立。

三角形中的最值、范围问题一、知识与方法1、正弦定理可将边用角的正弦值表示：2sin sin sin a b cR A B C===， 2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =2、在三角形ABC ∆中，若 222c a b =+，则C 为直角；若 222c a b >+，则C 为钝角；若 222c a b <+， 则C 为锐角；3、在锐角三角形中，已知角C ，求B 的范围，可由下列限制条件求出：02022B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩ 4、三角形有关最值和范围求解（1）利用余弦定理和基本不等式进行解答； （2）利用正弦定理和三角函数值域进行解答； 例如：已知角C ，求解 sin sin m A n B +的范围 ：解题方法：()()sin sin =sin +sin sin +sin m A n B m A n A C m A n A C π+--=+，再利用三角函数和差角公式和辅助角公式进行化简，求出三角函数的值域；注意：若三角形为锐角三角形，已知角C ，则需满足02022B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，从而进一步限制B 的范围.（3）利用三角形三边关系进行解答； 若为锐角三角形，则222222222c a b b a c a b c ⎧<+⎪<+⎨⎪<+⎩，若为钝角三角形，如角C 为钝角，则222c a b a b c ⎧>+⎨+>⎩二、题型训练题型一 利用余弦定理和基本不等式求面积与周长最值问题例1．（2021•丙卷模拟）在ABC ∆中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()(sin sin )sin ()a b A B C b c -+=+，2b c +=，则ABC ∆的面积的最大值为( )A ．14B C ．12D 【解答】解：因为()(sin sin )sin ()a b A B C b c -+=+， 由正弦定理得()()()a b a b c b c -+=+， 所以222a b bc c -=+，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==-，由A 为三角形内角得23A π=， 因为2b c +=， 所以2()12b c bc +=，所以113sin 1222ABC S bc A ∆=⨯⨯=1b c ==时取等号， 故选：B ． 方法点拨：本题考查正弦定理的边角互化、余弦定理和基本不等式求最值，熟练利用正余弦定理和基本不等式是解题的关键. 巩固训练：1．（2021•河南模拟）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos cos cos a A b C c B =+，当ABC ∆的外接圆半径2R =时，ABC ∆面积的最大值为( )A B ．C ．D ．【解答】解：2cos cos cos a A b C c B =+，∴由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos A A B C C B =+，即2sin cos sin()sin A A B C A =+=，(0,)A π∈， 1cos 2A ∴=，即3A π=，由余弦定理，2221222b c bc bc bc =+-⨯⨯-， 则12bc ，（当且仅当b c =时等号成立），ABC ∴∆的面积11sin 1222S bc A=⨯=b c =时，等号成立， 故选：C ．2．在ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1(sin )cos sin cos 2b C A A C -=，且a =ABC ∆面积的最大值为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：已知等式整理得：1cos sin cos cos sin sin()sin 2b A A C A C A C B =+=+=，即2sin cos b B A=，由正弦定理sin sin a b A B =2cos A =，即sin tan cos AA A==60A ∴=︒，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即22122b c bc bc bc bc =+--=，则1sin 332ABC S bc A ∆=，即ABC ∆面积的最大值为故选：B ．3．（2021春•鼓楼区校级期末）在ABC ∆中，1cos 2a c Bb =+．（1）若7a b +=，ABC ∆的面积为c ； （2）若4c =，求ABC ∆周长的最大值． 【解答】解：（1）由正弦定理知，sin sin sin a b cA B C==， 1cos2a c Bb =+，∴1sin sin cos sin 2A C B B =+，即1sin()sin cos sin 2B C C B B +=+，1sin cos cos sin sin cos sin 2B C B C C B B ∴+=+，∴1sin cos sin 2B C B =，sin 0B ≠，∴1cos 2C =， (0,)C π∈，∴3C π=，11sin 22S ab C ab ===12ab ∴=，由余弦定理知，22222cos ()3493613c a b ab A a b ab =+-=+-=-=，∴c =（2）由余弦定理知，2222cos c a b ab A =+-，2222()()16()3()344a b a b a b ab a b ++∴=+-+-⋅=， 8a b ∴+，当且仅当4a b ==时，取等，ABC ∴∆周长的最大值为4812+=．4．（2021•一模拟）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()(sin sin )sin ()0a c A C B a b -+--=．（1）求C ；（2）若ABC S ∆=，2c =，求ABC ∆周长的最小值．【解答】解：（1）ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()(sin sin )()sin 0a c A C b a B -++-=．利用正弦定理得：()()()0a c a c b a b -++-=，整理得：2220a c b ab -+-=，即2221cos 22a b c C ab +-==，由于0C π<<， 所以：3C π=．（2）因为11sin sin 223ABC S ab C ab π∆====，所以解得8ab =，所以周长22a b c ab c +++=，当且仅当a b ==所以ABC ∆周长的最小值为2．5．（2021•永州模拟）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c (sin )b A A =． （1）求B ；（2）若3b =，求ABC ∆周长最大时，ABC ∆的面积．【解答】解：（1）(sin )b A A =，∴sin (sin )C B A A =，∴)sin sin cos A B B A B A +=+，∴cos cos sin sin cos A B B A B A B A =+，∴sin B B =，∴tan B ，0B π<<，∴3B π=．（2）222cos 2a c b B ac+-=， 据（1）可得3B π=，∴222122a c b ac +-=，222b ac ac ∴=+-，29()3a c ac ∴=+-，∴222()9()3()24a c a c a c +++-=， 当且仅当3a c ==时等号成立，即当3a c ==时，a c +取得最大值，即周长取得最大值，此时133sin 23ABC S π∆=⨯⨯⨯=6．（2021•巴中模拟）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．已知sin sin(),3b A a B b π=+=． （1）求ABC ∆的外接圆直径； （2）求ABC ∆周长的取值范围． 【解答】解：（1）sin sin()3b A a B π=+，∴由正弦定理，可得sin sin sin sin()3B A A B π=+，(0,)A π∈，sin 0A >，∴sin sin()3B B π=+，化简可得，1sin 2B B =，∴tan B =，(0,)B π∈，∴3B π=，由正弦定理可得，ABC ∆的外接圆直径21sin bR B ===． （2）由（1）可知，3B π=，由余弦定理可得，222b a c ac =+-， 222221()3()3()()24a cb ac ac a c a c +∴=+-+-=+， 当且仅当a c =时，等号成立，b ， 2()3ac ∴+，即3a c +，又a cb +>=，∴3a c <+，∴332a b c++，ABC ∴∆的取值范围为．题型二 利用正弦定理和三角函数值域求三角形角度有关的最值、范围问题 例2．在△ABC 中，a 2+c 2＝b 2+ac ．（Ⅰ）求∠B 的大小； （Ⅱ）求cos A +cos C 的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC 中，a 2+c 2＝b 2+ac ．∴a 2+c 2﹣b 2＝ac ．∴cos B ＝＝＝，∴B ＝（Ⅱ）由（I ）得：C ＝﹣A ，∴cos A +cos C ＝cos A +cos （﹣A ）＝cos A ﹣cos A +sin A＝cos A +sin A ＝sin （A +）． ∵A ∈（0，）， ∴A +∈（，π），故当A +＝时，sin （A +）取最大值1，即cos A +cos C 的最大值为1．方法点拨：本题考查了余弦定理、三角形内角和、三角函数和差角公式、辅助角公式以及三角函数值域，熟练掌握余弦定理、三角函数辅助角公式、三角函数值域求解的方法是解题的关键. 巩固训练：1．（2021•沈阳四模）在①2cos cos c b Ba A-=，②2cos 2a C c b +=，③1sin cos sin 2cos 2a A C c A A +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题．问题：锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且______． （1）求A ；（2）求cos cos B C +的取值范围． 【解答】解：（1）选① 因为2cos cos c b Ba A -=， 所以2sin sin cos sin cos C B BA A-=， 所以2sin cos sin cos sin cos C A B A A B -=，整理得2sin cos sin cos sin cos sin()sin C A B A A B A B C =+=+=． 因为sin 0C ≠，所以1cos 2A =． 因为(0,)2A π∈，所以3A π=．选②因为2cos 2a C c b +=，所以2sin cos sin 2sin 2sin()A C C B A C +==+， 所以2sin cos sin 2sin cos 2cos sin A C C A C A C +=+， 整理得sin 2cos sin C A C =． 因为sin 0C ≠，所以1cos 2A =． 因为(0,)2A π∈，所以3A π=．选③因为1sin cos sin 2cos 2a A C c A A +，所以sin sin cos sin sin cos cos A A C C A A B A +=，所以sin (sin cos sin cos )cos A A C C A B A +=，整理得sin sin cos A B B A =．因为sin 0B ≠，所以sin A A =．因为(0,)2A π∈，所以tan 3A A π=．（2）因为3A π=，所以1cos cos cos cos()cos sin()26B C B B A B B B π+=-+=+=+．因为2(0,),(0,)232B C B πππ∈=-∈，所以(,)62B ππ∈，所以2(,)633B πππ+∈，所以sin()6B π+∈，故cos cos B C +∈．2．（2021•下城区校级模拟）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin b B a A c A -=．（1）求证：2B A =；（2）若ABC ∆是锐角三角形，求sin sin AC的取值范围． 【解答】解：（1）由sin sin sin b B a A c A -=得22b a ac -=， 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， 代入22b a ac -=得22cos ac c ac B =-， 则2cos a c a B =-，由正弦定理得sin sin 2sin cos A C A B =-，所以sin sin()2sin cos A A B A B =+-，得sin sin()A B A =-， 由220b a ac -=>知b a >，故B A >， 所以A B A =-或()A B A π+-=（舍去） 所以2B A ⋯=，（2）3C A π=-，由0,02,03222A A A ππππ<<<<<-<得64A ππ<<，sin sin sin sin sin sin3sin(2)sin cos2cos sin 2A A A AC A A A A A A A===++，32sin 11(,1)3sin 4sin 34sin 2A A A A ==∈--．题型三 利用正弦定理和三角函数值域求三角形边长有关的最值、范围问题例3．（2021•汕头三模）在①22(sin sin )sin 3sin sin B C A B C +=+，②22cos c a B b =+，③cos cos 2cos 0b C c B a A +-=这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答问题．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，且____．（1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆是锐角三角形，且2b =，求边长c 的取值范围． 【解答】解：（1）选条件①．因为22(sin sin )sin 3sin sin B C A B C +=+， 所以222sin sin sin sin sin B C A B C +-=， 根据正弦定理得，222b c a bc +-=， 由余弦定理得，1cos 2A =， 因为A 是ABC ∆的内角， 所以3A π=选条件②，因为1cos 2c a B b =+，由余弦定理222122a c b c a b ac +-=⨯+，整理得222b c a bc +-=， 由余弦定理得，1cos 2A =， 因为A 是ABC ∆的内角， 所以3A π=．选条件③，因为cos cos 2cos 0b C c B a A +-=， sin cos sin cos 2sin cos 0B C C B A A ∴+-=．sin()2sin cos B C A A ∴+=，即sin 2sin cos A A A =因为0A π<<，sin 0A ≠．∴1cos 2A =， ∴3A π=；（2）因为3A π=，ABC ∆为锐角三角形，所以022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62B ππ<<在ABC ∆中，2sin sin c C B=，所以212sin()sin )322sin sin B B B c B B π-+===，即1c ． 由62B ππ<<可得，tan B >，所以10tan B<<，所以14c <<． 方法点拨：本题第一问考查正余弦定理的变形及应用，第二问边长范围问题考查正弦定理的边角互化，结合锐角三角形角度的范围和三角函数值域求解出角度的范围.巩固训练：1．在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且220c a ab --=． （1）求证：2C A =；（2）若2a =，求c 的取值范围．【解答】解：（1）证明：因为220c a ab --=， 结合余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-， 所以22cos ab b ab C =-，即2cos a b a C =-，由正弦定理，得sin sin 2sin cos sin()2sin cos A B A C A C A C =-=+- sin cos sin cos sin()C A A C C A =-=-，因为ABC ∆为锐角三角形， 所以A C A =-，即2C A =； （2）由（1）2C A =， 由正弦定理，得sin sin a cA C=，所以2cos 4cos c a A A ==，由题意，得02032022A A A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<-<⎨⎪⎪<<⎪⎩，解得64A ππ<<，所以4cos c A =∈．2．（2021春•慈溪市期末）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知向量m 、n 满足：(2,6)m a =，(,2sin )n b B =，且//m n ． （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若ABC ∆是锐角三角形，且2a =，求b c +的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）因为//mn ，所以2a Bb =，2sin a B=， 由正弦定理得：2sin sin A B B =， 因为sin 0B≠， 所以sin A ， 所以3A π=或23π． （Ⅱ）因为2a =，所以由正弦定理得sin sin sin a b c A B C ====，得：b B ，c C =，所以21sin )sin()]sin ]4sin()326b c B C B B B B B B ππ++=+-=++=+，因为ABC ∆是锐角三角形， 所以02B π<<，且2032B ππ<-<，可得62B ππ<<， 所以2363B πππ<+<sin()16B π<+，所以4b c <+．3．（2021春•青山湖区校级期中）在ABC ∆中，3B π=，AC ，则2AB BC +的最大值为( )A．B．C ．3 D ．4【解答】解：因为3B π=，AC由正弦定理得2sin sin sin a c bA C B===，所以2sin a A =，22sin 2sin()3c C A π==-，由则222sin()4sin 5sin )3AB BC A A A A A πϕ+=-++=+，其中ϕ为辅助角，根据正弦函数的性质得)A ϕ+的最大值 故选：B ．4．（2021•B 卷模拟）在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且有2b =． 在下列条件中选择一个条件完成该题目：①cos (cos )cos 0C B B A +-=；②2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =-+-． （1）求A 的大小； （2）求2a c +的取值范围．【解答】解：（1）若选择①，因为cos (cos )cos 0C B B A +-=， 所以cos()cos cos cos 0A B B A B A -++=，即cos cos sin sin cos cos cos 0A B A B B A B A -++=，所以sin sin cos A B B A =， 因为sin 0B ≠，可得sin A A =，所以tan A =，可得3A π=；若选择②，因为2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =-+-． 所以222222a b bc c bc =-+-，所以222bc b c a =+-，可得2221cos 22b c a A bc +-==，可得3A π=．（2）设ABC ∆外接圆半径为R ，则有22sin sin b R B B==， 可得222122(2sin sin )sin )sin())sin )1sin sin sin 2a c R A C C A B B B B B B +=+==+=+=，因为ABC ∆为锐角三角形，可得022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，可得62B ππ<<，所以sin B 在(6π，)2π单调递增，cos B 在(6π，)2π(6π，)2π单调递减，所以21a c +∈，4)．5．（2021•肥城市模拟）已知锐角ABC ∆的外接圆半径为1，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC ∆的面积为S2224)S c b =+-．（1）求C ； （2）求bca的取值范围． 【解答】解：（1）2224)S c b =+-，∴222)4a b c S +-=，∴1cos 4sin 2C ab C =⨯sin C C =，cos 0C ∴≠，tan C又(0,)C π∈∴3C π=，（2）ABC ∆的外接圆半径为1，∴2sin cC=， 又正弦定理sin sin sin a b cA B C==， 2sin a A ∴=，2sin b B =，∴21sin()sin)3322sin sin2tanA A Abca A A Aπ-+======+，又因为ABC∆是锐角三角形，∴22ABππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，即2232AAπππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，∴62Aππ<<，∴tan A>，1tan A<<，32tan A<<∴bca<<6．（2021春•庐阳区校级期末）在ABC∆中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(1cos)cosa b C c B++=．（1）求角C的大小；（2）若c=，求ABC∆周长的取值范围．【解答】解：（1）因为(1cos)cosa b C c B++=，所以由正弦定理得sin sin(1cos)sin cosA B C C B++=，又sin()sin()sinB C A Aπ+=-=，所以sin()sin sin cos sin cos0B C B B C C B+++-=，所以2sin cos sin0B C B+=，因为(0,)Bπ∈，所以sin0B≠，所以1cos2C=-，又(0,)Cπ∈，所以23Cπ=．（2）因为c=，23Cπ=，所以由正弦定理得2sin sin sin3b aB A===，则2sinb B=，2sina A=，故ABC∆的周长2sin2sin2sin2sin()3L B A B Bπ+=+-2sin2(sin cos cos sin)33B B Bππ=+-sin B B=+2sin()3B π=++，因为03B π<<，所以(33B ππ+∈，2)3π，sin()3B π+∈1]，2sin()3B π+∈2+，故ABC ∆周长的取值范围为2．7．（2021春•淮安期末）从①(2)cos cos 0b c A a B -+=；②222b c a +-=；③(tan tan )2tan b A B c B +=这三个条件中选一个，补充到下面问题中，并完成解答．已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且____． （1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆为锐角三角形，b =ABC ∆的周长的取值范围．【解答】解：（1）若选①，在ABC ∆中，由正弦定理得：sin cos 2sin cos sin cos 0B A C A A B -+=， 因为A B C π++=，A ，B ，(0,)C π∈， 所以sin 2sin cos 0C C A -=， 且sin 0C ≠， 因此1cos 2A =，(0,)A π∈， 可得3A π=；若选②，在ABC ∆中，由余弦定理得12cos sin 2bc A bc A ，所以sin A A ， 因为sin 0A ≠，因此tan A =，且(0,)A π∈， 故3A π=；若选③，在ABC ∆中，2tan sin cos cos sin sin 1tan cos sin cos sin c A A B A B Cb B A B A B+=+==，且sin 0C ≠， 由正弦定理得：22sin sin sin cos sin c C Cb B A B==， 故1cos 2A =，可得3A π=；（2）因为ABC ∆为锐角三角形， 所以(0,)2B π∈，(0,)2C π∈，因此(,)62B ππ∈，sin sin c a C ==，可得c =3sin a B=， 所以ABC∆的周长为)31cos 333sin sin tan 2B B a c b B B B π+++++=+++，由于(,)62B ππ∈，可得(212B π∈，)4π，可得tan (22B∈，所以ABC ∆的周长取值范围为(3++．8．（2021•烟台模拟）在条件①222sin sin sin sin A B C B C --=，②1cos 2b a Cc =+，③(cos )cos cos 0C C A B +=中，任选一个补充在下面问题中并求解． 问题：在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，1c =，____． （1）求A ；（2）求ABC ∆面积的取值范围．【解答】解：（1）若选①222sin sin sin sin A B C B C --=，由正弦定理得222a b c --=，由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-=， 由A 为三角形内角得6A π=；（2）14ABC S b ∆=，由正弦定理得51sin()cos sin 1622sin sin sin 2tan C C Cc Bb CC C C π-====，由题意得02506C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得32C ππ<<，所以tan Cb <ABC S ∆<<故ABC ∆面积的取值范围； （1）若选②1cos 2b a Cc =+，由正弦定理得1sin sin cos sin 2B AC C =+，所以1sin()sin cos sin 2A C A C C +=++，所以1sin cos sin cos sin cos sin 2A C C A A C C +=+，化简得1sin cos sin 2C A C =，因为sin 0C >， 所以1cos 2A =， 由A 为三角形内角得3A π=；（2）ABC S ∆，，由正弦定理得21sin()sin sin 1322sin sin sin 2C C Cc Bb CC C π-+====由题意得022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<，所以tan C ， 故122b <<，ABC S ∆<<故ABC ∆面积的取值范围； （1）若选③(cos )cos cos 0C C A B +=，所以(cos )cos cos()0C C A A C -+=，化简得sin sin cos A C C A =， 因为sin 0C >，所以tan A =， 由A 为三角形内角得3A π=；（2）ABC S ∆，由正弦定理得21sin()sin sin 1322sin sin sin 2C C Cc Bb CC C π-+====由题意得022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<，所以tan C ， 故122b <<，ABC S ∆<<故ABC ∆面积的取值范围．题型四 利用三角形三边关系求解范围问题例4．（2019•新课标Ⅲ）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sinsin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围． 【解答】解：（1）sin sin 2A C a b A +=，即为sin cos sin 22B Ba ab A π-==， 可得sin cossin sin 2sin cos sin 222B B BA B A A ==， sin 0A >， cos2sin cos 222B B B ∴=， 若cos 02B=，可得(21)B k π=+，k Z ∈不成立， 1sin22B ∴=， 由0B π<<，可得3B π=；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，由余弦定理可得1cos3b a π=，由三角形ABC 为锐角三角形，可得2211a a a +-+>且2211a a a +-+>， 解得122a <<，可得ABC ∆面积13sin 234S a π==∈．方法点拨：本题求解三角形面积的取值范围，由于一边和角度已知，可转化为求边长的范围，利用锐角三角形三边关系列出不等关系，从而求解出面积范围. 巩固训练：1．（2021•新高考Ⅱ）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边长为a ，b ，c ，1b a =+，2c a =+．（Ⅰ）若2sin 3sin C A =，求ABC ∆的面积；（Ⅱ）是否存在正整数a ，使得ABC ∆为钝角三角形？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 【解答】解：()2sin 3sin I C A =，∴根据正弦定理可得23c a =，1b a =+，2c a =+， 4a ∴=，5b =，6c =，在ABC ∆中，运用余弦定理可得2222224561cos 22458a b c C ab +-+-===⨯⨯，22sin cos 1C C +=，sin C ∴===∴11sin 4522ABC S ab C ∆==⨯⨯=()II c b a >>，ABC ∴∆为钝角三角形时，必角C 为钝角， 222222(1)(2)cos 022(1)a b c a a a C ab a a +-++-+==<+，2230a a ∴--<， 0a >， 03a ∴<<，三角形的任意两边之和大于第三边， a b c ∴+>，即12a a a ++>+，即1a >， 13a ∴<<，a 为正整数，2a ∴=．。

解三角形中的范围（最值）问题的求解策略与解三角形相关的最值（范围）问题在高中数学中经常遇见.由于它涉及的知识面广,灵活性大,综合性强,因而利于培养学生的思维能力和创新意识.本文举例说明此类问题几种常见的解题策略,供大家参考.一．转化为三角函数的有界性求解例1：（2018•汉中二模）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若，A=3π，则b +c 的最大值为（ ） A ．4 B ．C ．D ．2【分析】利用正弦定理表示出b 与c ，问题转化为角的正弦函数，利用三角函数恒等变换化简为一角一函数的形式，再利用三角函数的单调性与值域即可得出．解：由正弦定理可得：2sin sin sin 3b c B C π===, ∴b +c=2sinB +2sinC=2sinB +2sin 2()3B π- =2sinB +21sin )2B B +=3sinBsin ()3B π+≤，当且仅当B=3π时取等号． ∴b +c 的最大值为C ．【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、三角函数的单调性与值域，解决这类问题的思路是利用正弦定理把边转化为角，再利用三角函数的性质求出范围或最值。

同步训练题：（2018•三明二模）在△ABC 中，∠BAC 的平分线交BC 边于D ，若AB=2，AC=1，则△ABD 面积的最大值为（ ）A ．12B ．23C ．34D ．1 解析：根据∠BAC 的平分线交BC 边于D ，可得△A BD 和△ACD 以D 为顶点的高相等．可得△ABD 面积与△ACD 面积之比为AB ：AC=2：1，则△ABD 面积为23S △ABC ．由题意，△ABD 面积为23S △ABC ，∵S △ABC =12bcsinA ，即12×2×1×sinA ，那么，△ABD 面积为23sinA ．∵0＜A ＜π，∴sinA ∈（0，1]，∴△ABD 面积的最大值为23，故选：B ． 二．利用基本不等式求解例2（2018•太原二模）已知点O 是△ABC 的内心，∠BAC=60°，BC=1，则△BOC 面积的最大值为 ．【分析】先根据O 是△ABC 的内心，求出∠BOC=120°，再根据余弦定理和基本不等式求出OC•OB ≤13，最后根据三角形的面积公式计算即可 解：∵是△ABC 的内心，∠BAC=60°，∴∠BOC=180°﹣000180601202-=， 由余弦定理可得BC 2=OC 2+OB 2﹣2OC•OB•cos120，即OC 2+OB 2=1﹣OC•OB ，又OC 2+OB 2≥2OC•OB ，∴OC•OB ≤13，∴S △BOC =12OC•OB•sin120°BOC ． 点评：本题考查了余弦定理和三角形的面积公式以及基本不等式，解决本题的关键是求得OC.OB 的最大值，再利用三角形的面积公式求得面积的最值。

专题四 三角形中的最值(范围)问题三角形中最值(范围)问题的解题思路任何最值(范围)问题，其本质都是函数问题，三角形中的范围(最值)问题也不例外．三角形中的范围(最值)问题的解法主要有两种：一是用函数求解，二是利用基本不等式求解．一般求最值用基本不等式，求范围用函数．由于三角形中的最值(范围)问题一般是以角为自变量的三角函数问题，所以，除遵循函数问题的基本要求外，还有自己独特的解法．要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．考点一 三角形中与角或角的函数有关的最值(范围)【例题选讲】[例1](1)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a ＞b ＞c ，a 2＜b 2＋c 2，则角A 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫π2，πB ．⎝⎛⎭⎫π4，π2C ．⎝⎛⎭⎫π3，π2D ．⎝⎛⎭⎫0，π2 答案 C 解析 因为a 2＜b 2＋c 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＞0，所以A 为锐角．又因为a ＞b ＞c ，所以A 为最大角，所以角A 的取值范围是⎝⎛⎭⎫π3，π2．(2)在△ABC 中，若AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎦⎤0，π6B ．⎝⎛⎭⎫0，π2C ．⎝⎛⎭⎫π6，π2D ．⎝⎛⎦⎤π6，π2 答案 A 解析 因为c ＝AB ＝1，a ＝BC ＝2，b ＝AC ．根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可知1<b <3，根据余弦定理cos C ＝12ab (a 2＋b 2－c 2)＝14b (4＋b 2－1)＝14b (3＋b 2)＝34b ＋b 4＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫3b －b 2＋32≥32．所以0<C ≤π6．故选A ． (3)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，A ≠π2，sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，则角A 的取值范围为( )A ．⎝⎛⎦⎤0，π6B ．⎝⎛⎦⎤0，π4C ．⎣⎡⎦⎤π6，π4D ．⎣⎡⎦⎤π6，π3 答案 B 解析 法一：在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B )，所以sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin2A ，即2sin B cos A＝22sin A cos A ，因为A ≠π2，所以cos A ≠0，所以sin B ＝2sin A ，由正弦定理得，b ＝2a ，所以A 为锐角，又sin B ＝2sin A ∈(0,1]，所以sin A ∈⎝⎛⎦⎤0，22，所以A ∈⎝⎛⎦⎤0，π4． 法二：在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B )，所以sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin2A ，即2sin B cos A ＝22sin A cos A ，因为A ≠π2，所以cos A ≠0，所以sin B ＝2sin A ，由正弦定理，得b ＝2a ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝12b 2＋c 22bc ≥2 12b 2·c 22bc ＝22，当且仅当c ＝22b 时等号成立，所以A ∈⎝⎛⎦⎤0，π4． (4)(2014·江苏)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．答案 6－24解析 由sin A ＋2sin B ＝2sin C ，结合正弦定理得a ＋2b ＝2c ．由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－(a ＋2b )242ab ＝34a 2＋12b 2－2ab 22ab≥2 ⎝⎛⎭⎫34a 2⎝⎛⎭⎫12b 2－2ab 22ab ＝6－24，故6－24≤cos C <1，故cos C 的最小值为6－24． (5)设△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，已知a 2＋2b 2＝c 2，则tan C tan A ＝_____；tan B 的最大值为________．答案 －3 33 解析 由正弦定理可得tan C tan A ＝sin C sin A ·cos A cos C ＝c a ·cos A cos C ，再结合余弦定理可得tan C tan A ＝c a ·cos A cos C＝c a ·b 2＋c 2－a 22bc ·2ab a 2＋b 2－c 2＝b 2＋c 2－a 2a 2＋b 2－c 2．由a 2＋2b 2＝c 2，得tan C tan A ＝b 2＋a 2＋2b 2－a 2a 2＋b 2－a 2－2b 2＝－3．由已知条件及大边对大角可知0＜A ＜π2＜C ＜π，从而由A ＋B ＋C ＝π可知tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C 1－tan A tan C＝－1＋tan C tan A 1tan A －tan C ＝23－tan C＋(－tan C )，因为π2＜C ＜π，所以3－tan C ＋(－tan C )≥23－tan C×(－tan C )＝23(当且仅当tan C ＝－3时取等号)，从而tan B ≤223＝33，即tan B 的最大值为33． (6)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a ＝2b sin C ，则tan A ＋tan B ＋tan C 的最小值是( )A ．4B ．33C ．8D ．63解析：由a ＝2b sin C 得sin A ＝2sin B sin C ，∴sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，即tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ．又三角形中的三角恒等式tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ，∴tan B tan C ＝tan A tan A －2，∴tan A tan B tan C ＝tan A ·tan A tan A －2，令tan A －2＝t ，得tan A tan B tan C ＝(t ＋2)2t ＝t ＋4t ＋4≥8，当且仅当t ＝4t ， 即t ＝2，tan A ＝4 时，取等号．【对点训练】1．在不等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，如果sin 2(B ＋C )<sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为( )A ．⎝⎛⎭⎫0，π2B ．⎝⎛⎭⎫π4，π2C ．⎝⎛⎭⎫π6，π3D ．⎝⎛⎭⎫π3，π2 2．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则角A 的取值范 围是( )A ．⎝⎛⎦⎤π6，2π3B ．⎣⎡⎦⎤π6，π4C ．⎝⎛⎦⎤0，π6D ．⎣⎡⎭⎫π6，π3 3．已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，满足cos A sin B sin C ＋cos B sin A sin C ＝2cos C sin A sin B ，则C 的最大值为________．4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若b 2＋c 2＝2a 2，则cos A 的最小值为________．5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos2A ＋cos2B ＝2cos2C ，则cos C 的最小值为( )A ．32B ．22C ．12D ．－126．在钝角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B 为钝角，若a cos A ＝b sin A ，则sin A ＋sin C 的最大值为( ) A ．2 B ．98 C ．1 D ．787．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B －b cos A ＝12c ，当tan(A －B )取最大值时， 角B 的值为________．8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋b sin B ＝c sin C －2a sin B ，则sin2A tan 2B 的最大值是__________．9．在△ABC 中，若sin C ＝2cos A cos B ，则cos 2A ＋cos 2B 的最大值为________．10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a cos C ＋b ＝0，则tan B 的最大值是________．11．(2016江苏)在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是________．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 为锐角三角形，且满足b 2－a 2＝ac ，则1tan A－1tan B的取值范围是________． 13．在锐角三角形ABC 中，已知2sin 2A ＋sin 2B ＝2sin 2C ，则1tan A ＋1tan B ＋1tan C的最小值为________． 考点二 三角形中与边或周长有关的最值(范围)【例题选讲】[例2](1)已知△ABC 中，角A ，32B ，C 成等差数列，且△ABC 的面积为1＋2，则AC 边的长的最小值是________．答案 2 解析 ∵A ，32B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝3B ，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π4．设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由S △ABC ＝12ac sin B ＝1＋2得ac ＝2(2＋2)，由余弦定理及a 2＋c 2≥2ac ，得b 2≥(2－2)ac ，即b 2≥(2－2)×2(2＋2)，∴b ≥2(当且仅当a ＝c 时等号成立)，∴AC 边的长的最小值为2．(2)(2015·全国Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________． 答案 (6－2，6＋2) 解析 通法：依题意作出四边形ABCD ，连结BD ．令BD ＝x ，AB ＝y ，∠CDB ＝α，∠CBD ＝β．在△BCD 中，由正弦定理得2sin α＝x sin 75．由题意可知，∠ADC ＝135°，则∠ADB＝135°－α．在△ABD 中，由正弦定理得x sin 75°＝y sin(135°－α)．所以y sin(135°－α)＝2sin α，即y ＝2sin(135°－α)sin α＝2sin[90°－(α－45°)]sin α＝2cos(α－45°)sin α＝2(cos α＋sin α)sin α．因为0°<β<75°，α＋β＋75°＝180°，所以30°<α<105°，当α＝90°时，易得y ＝2；当α≠90°时，y ＝2(cos α＋sin α)sin α＝2⎝⎛⎭⎫1tan α＋1．又tan 30°＝33，tan 105°＝tan(60°＋45°)＝tan 60°＋tan 45°1－tan 60°tan 45°＝－2－3，结合正切函数的性质知，1tan α∈(3－2，3)，且1tan α≠0，所以y ＝2⎝⎛⎭⎫1tan α＋1∈(6－2，2)∪(2，6＋2)．综上所述：y ∈(6－2，6＋2)．提速方法：画出四边形ABCD ，延长CD ，BA ，探求出AB 的取值范围．如图所示，延长BA 与CD 相交于点E ，过点C 作CF ∥AD 交AB 于点F ，则BF <AB <BE ．在等腰三角形CFB 中，∠FCB ＝30°，CF ＝BC ＝2，∴BF ＝22＋22－2×2×2cos 30°＝6－2．在等腰三角形ECB 中，∠CEB ＝30°，∠ECB ＝75°，BE ＝CE ，BC ＝2，BE sin 75°＝2sin 30°，∴BE ＝212×6＋24＝6＋2．∴6－2<AB <6＋2．(3)在△ABC 中，若C ＝2B ，则c b的取值范围为________． 答案 (1，2) 解析 因为A ＋B ＋C ＝π，C ＝2B ，所以A ＝π－3B >0，所以0<B <π3，所以12<cos B <1．因为c b ＝sin C sin B ＝sin 2B sin B ＝2cos B ，所以1<2cos B <2，故1<c b<2． (4) (2018·北京)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，则∠B ＝__________；c a 的取值范围是__________．答案 60° (2，＋∞) 解析 由已知得34(a 2＋c 2－b 2)＝12ac sin B ，所以3(a 2＋c 2－b 2)2ac＝sin B ，由余弦定理得3cos B ＝sin B ，所以tan B ＝3，所以B ＝60°，又C ＞90°，B ＝60°，所以A <30°，且A ＋C ＝120°，所以c a ＝sin C sin A ＝sin (120°－A )sin A ＝12＋32tan A ．又A <30°，所以0＜tan A <33，即1tan A >3，所以c a >12＋32＝2． (5)在△ABC 中，角, , A B C 所对的边分别为, , a b c ，且满足sin sin()sin sin cos A B C B C A -=，则2ab c 的最大值为__________．答案 32解析 由sin sin()sin sin cos A B C B C A -=，得sin (sin cos cos sin )sin sin cos A B C B C B C A -=，由正弦定理可得cos cos cos ab C ac B bc A -=，由余弦定理可得22222222a b c a c b ab ac bc ab ac +-+--=2222b c a bc+-，化简得2223a b c +=，又因为22232c a b ab =+≥，当且仅当a b =时等号成立，可得232ab c ≤，所以2ab c 的最大值为32． (6)在△ABC 中，若C ＝60°，c ＝2，则a ＋b 的取值范围为________．答案 (2，4] 解析 由题意，得c ＝2．由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ≥14(a ＋b )2，得a ＋b ≤4．又由三角形的性质可得a ＋b >2，综上可得2<a ＋b ≤4． (7)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b 2＋c 2－a 2＝bc ，AB →·BC →＞0，a ＝32，则b ＋c 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫1，32B ．⎝⎛⎭⎫32，32C ．⎝⎛⎭⎫12，32D ．⎝⎛⎦⎤12，32 答案 B 解析 在△ABC 中，b 2＋c 2－a 2＝bc ，由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，因为A 是△ABC 的内角，所以A ＝60°．因为a ＝32，所以由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝c sin (120°－B )＝1，所以b ＋c ＝sin B ＋sin(120°－B )＝32sin B ＋32cos B ＝3sin(B ＋30°)．因为AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＞0，所以cos B ＜0，B 为钝角，所以90°＜B ＜120°，120°＜B ＋30°＜150°，故sin(B ＋30°)∈⎝⎛⎭⎫12，32，所以b ＋c ＝3sin(B ＋30°)∈⎝⎛⎭⎫32，32． (8) (2018·江苏)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________．答案 9 解析 因为∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，所以∠ABD ＝∠CBD ＝60°，由三角形的面积公式可得12ac sin 120°＝12a ×1×sin 60°＋12c ×1×sin 60°，化简得ac ＝a ＋c ，又a >0，c >0，所以1a ＋1c ＝1，则4a ＋c ＝(4a ＋c )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c≥5＋2c a ·4a c＝9，当且仅当c ＝2a 时取等号，故4a ＋c 的最小值为9．(9)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a sin B ＝3b cos A ．若a ＝4，则△ABC 周长的最大值为________． 答案 12 解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可将a sin B ＝3b cos A 转化为sin A sin B ＝3sin B cos A ．又在△ABC 中，sin B >0，∴sin A ＝3cos A ，即tan A ＝3．∵0<A <π，∴A ＝π3．由余弦定理得a 2＝16＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－3⎝⎛⎭⎫b ＋c 22，则(b ＋c )2≤64，即b ＋c ≤8(当且仅当b ＝c ＝4时等号成立)，∴△ABC 周长＝a ＋b ＋c ＝4＋b ＋c ≤12，即最大值为12．(10)在△ABC 中，∠ACB ＝60°，BC >1，AC ＝AB ＋12，当△ABC 的周长最短时，BC 的长是________． 答案 1＋22 解析 设AC ＝b ，AB ＝c ，BC ＝a ，△ABC 的周长为l ，由b ＝c ＋12，得l ＝a ＋b ＋c ＝a ＋2c ＋12．又cos 60°＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，即ab ＝a 2＋b 2－c 2，得a ⎝⎛⎭⎫c ＋12＝a 2＋⎝⎛⎭⎫c ＋122－c 2，即c ＝a 2－12a ＋14a －1．l ＝a ＋2c ＋12＝a ＋2a 2－a ＋12a －1＋12＝3⎣⎡⎦⎤(a －1)2＋43()a －1＋12a －1＋12＝3⎣⎡⎦⎤(a －1)＋12(a －1)＋43＋12≥3⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(a －1)×12(a －1)＋43＋12，当且仅当a －1＝12(a －1)时，△ABC 的周长最短，此时a ＝1＋22，即BC 的长是1＋22． 【对点训练】1．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a ＝b cos C ＋c sin B ，且△ABC 的面积为1＋2，则b 的最小值为( )A ．2B ．3C ．2D ．32．已知△ABC 中，AB ＋2AC ＝6，BC ＝4，D 为BC 的中点，则当AD 最小时，△ABC 的面积为________．3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝2B ，C 为钝角，则c b的取值范围是________． 4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ＝3B ，则a b的取值范围是( ) A ．(0，3) B ．(1，3) C ．(0，1] D ．(1，2]5．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，其面积满足S △ABC ＝14a 2，则c b的最大值为( ) A ．2－1 B ．2 C ．2＋1 D ．2＋26．在△ABC 中，已知c ＝2，若sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，则a ＋b 的取值范围为________．7．在外接圆半径为12的△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，则b ＋c 的最大值是( )A ．1B ．12C ．3D ．328．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则2a ＋c 的最大值为________．9．在△ABC 中，AB ＝2，C ＝π6，则3a ＋b 的最大值为( ) A ．7 B ．27 C ．37 D ．4710．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．若A ＝120°，a ＝1，则2b ＋3c 的最大值为( )A ．3B ．2213C ．32D ．35211．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，且BC 边上的高为36a ，则c b ＋b c取得最大值时，内角A 的值为( )A ．π2B ．π6C ．2π3D ．π312．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(a －b )(sin A ＋sin B )＝(c －b )·sin C ．若a ＝3，则b 2＋c 2的取值范围是( )A ．(5，6]B ．(3，5)C ．(3，6]D ．[5，6]13．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则△ABC 的周长的最大值为________．14．凸函数是一类重要的函数，其具有如下性质：若定义在(a ，b )上的函数f (x )是凸函数，则对任意的x i ∈(a ，b )(i ＝1，2，…，n )，必有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ≥f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n 成立．已知y ＝sin x 是(0，π)上的凸函数，利用凸函数的性质，当△ABC 的外接圆半径为R 时，其周长的最大值为________．考点三 三角形中与面积有关的最值(范围)【例题选讲】[例3](1)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan A ＝43，a ＝4，则△ABC 的面积的最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．12答案 C 解析 因为tan A ＝43，所以sin A cos A ＝43．又sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以cos 2A ＝925，解得cos A ＝35或cos A ＝－35(舍去)，故sin A ＝45．又16＝b 2＋c 2－2bc ×35≥2bc －65bc ，所以bc ≤20，当且仅当b ＝c ＝25时取等号，故△ABC 的面积的最大值为12×20×45＝8． (2)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若⎝⎛⎭⎫12b －sin C cos A ＝sin A cos C ，且a ＝23，则△ABC 面积的最大值为________．答案 33 解析 因为⎝⎛⎭⎫12b －sin C cos A ＝sin A cos C ，所以12b cos A －sin C cos A ＝sin A cos C ，所以12b cos A ＝sin(A ＋C )，所以12b cos A ＝sin B ，所以cos A 2＝sin B b ，又sin B b ＝sin A a ，a ＝23，所以cos A 2＝sin A 23，得tan A ＝3，又A ∈(0，π)，则A ＝π3，由余弦定理得(23)2＝b 2＋c 2－2bc ·12＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，即bc ≤12，当且仅当b ＝c ＝23时取等号，从而△ABC 面积的最大值为12×12×32＝33． (3)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且满足4S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，则S 的最大值为________．答案 8 解析 由题意得，4×12bc sin A ＝a 2－b 2－c 2＋2bc ，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入上式得，2bc sin A ＝－2bc cos A ＋2bc ，即sin A ＋cos A ＝1，2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝1，又0＜A ＜π，∴π4＜A ＋π4＜5π4，∴A ＋π4＝3π4，∴A ＝π2，S ＝12bc sin A ＝12bc ，又b ＋c ＝8≥2bc ，当且仅当b ＝c 时取“＝”，∴bc ≤16，∴S 的最大值为8．(4)若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，面积为S ，且S ＝c 2－(a －b )2，a ＋b ＝2，则△ABC 面积的最大值为________．答案 417解析 S ＝c 2－(a －b )2＝c 2－a 2－b 2＋2ab ＝2ab －(a 2＋b 2－c 2)，由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，∴c 2－(a －b )2＝2ab (1－cos C )，即S ＝2ab (1－cos C )．∵S ＝12ab sin C ，∴sin C ＝4(1－cos C )．又∵sin 2C ＋cos 2C ＝1，∴17cos 2C －32cos C ＋15＝0，解得cos C ＝1517或cos C ＝1(舍去)，∴sin C ＝817，∴S ＝12ab sin C ＝417a (2－a )＝－417(a －1)2＋417．∵a ＋b ＝2，∴0<a <2，∴当a ＝1，b ＝1时，S max ＝417． (5)已知△ABC 的外接圆半径为R ，且满足2R (sin 2A －sin 2C )＝(2a －b )·sin B ，则△ABC 面积的最大值为________．答案 2＋12R 2 解析 由正弦定理得a 2－c 2＝(2a －b )b ，即a 2＋b 2－c 2＝2ab ．由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝2ab 2ab ＝22，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π4．∴S ＝12ab sin C ＝12×2R sin A ·2R sin B ·22＝2R 2sin A sin B ＝2R 2sin A sin ⎝⎛⎭⎫3π4－A ＝2R 2sin A ⎝⎛⎭⎫22cos A ＋22sin A ＝R 2(sin A cos A ＋sin 2A )＝R 2⎝⎛⎭⎫12sin 2A ＋1－cos 2A 2＝R 2⎣⎡⎦⎤22sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4＋12，∵A ∈⎝⎛⎭⎫0，3π4，∴2A －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，5π4，∴sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4∈⎝⎛⎦⎤－22，1，∴S ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，2＋12R 2，∴面积S 的最大值为2＋12R 2． (6)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足b ＝c ，b a ＝1－cos B cos A．若点O 是△ABC 外一点，∠AOB ＝θ(0<θ<π)，OA ＝2，OB ＝1，如图所示，则四边形OACB 面积的最大值是( )A ．4＋534B ．8＋534C ．3D ．4＋52答案 B 解析 由b a ＝1－cos B cos A及正弦定理得sin B cos A ＝sin A －sin A cos B ，所以sin(A ＋B )＝sin A ，所以sin C ＝sin A ，因为A ，C ∈(0，π)，所以C ＝A ，又b ＝c ，所以A ＝B ＝C ，△ABC 为等边三角形．设△ABC的边长为k ，则k 2＝12＋22－2×1×2×cos θ＝5－4cos θ，则S 四边形OACB ＝12×1×2sin θ＋34k 2＝sin θ＋34(5－4cos θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＋534≤2＋534＝8＋534，所以当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，四边形OACB 的面积取得最大值，且最大值为8＋534． 【对点训练】1．(2014·全国Ⅰ)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．2．在△ABC 中，若AB ＝2，AC 2＋BC 2＝8，则△ABC 面积的最大值为( )A ．2B ．2C ．3D ．33．在△ABC 中，AC →·AB →＝|AC →－AB →|＝3，则△ABC 的面积的最大值为( )A ．21B ．3214C ．212D ．321 4．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积S ＝a 2－(b －c )2，且b ＋c ＝8，则 S 的最大值为________．5．若AB ＝2，AC ＝2BC ，则S △ABC 的最大值为( )A ．22B ．32C ．23D ．32 6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin A －sin B ＝13sin C ，3b ＝2a ，2≤a 2＋ac ≤18， 设△ABC 的面积为S ，p ＝2a －S ，则p 的最大值是( )A ．529B ．729C ． 2D ．9287．在△ABC 中，设角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，记△ABC 的面积为S ，且4a 2＝b 2＋2c 2，则S a2的 最大值为________．专题四 三角形中的最值(范围)问题三角形中最值(范围)问题的解题思路任何最值(范围)问题，其本质都是函数问题，三角形中的范围(最值)问题也不例外．三角形中的范围(最值)问题的解法主要有两种：一是用函数求解，二是利用基本不等式求解．一般求最值用基本不等式，求范围用函数．由于三角形中的最值(范围)问题一般是以角为自变量的三角函数问题，所以，除遵循函数问题的基本要求外，还有自己独特的解法．要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．考点一 三角形中与角或角的函数有关的最值(范围)【例题选讲】[例1](1)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a ＞b ＞c ，a 2＜b 2＋c 2，则角A 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫π2，πB ．⎝⎛⎭⎫π4，π2C ．⎝⎛⎭⎫π3，π2D ．⎝⎛⎭⎫0，π2 答案 C 解析 因为a 2＜b 2＋c 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＞0，所以A 为锐角．又因为a ＞b ＞c ，所以A 为最大角，所以角A 的取值范围是⎝⎛⎭⎫π3，π2．(2)在△ABC 中，若AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎦⎤0，π6B ．⎝⎛⎭⎫0，π2C ．⎝⎛⎭⎫π6，π2D ．⎝⎛⎦⎤π6，π2 答案 A 解析 因为c ＝AB ＝1，a ＝BC ＝2，b ＝AC ．根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可知1<b <3，根据余弦定理cos C ＝12ab (a 2＋b 2－c 2)＝14b (4＋b 2－1)＝14b (3＋b 2)＝34b ＋b 4＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫3b －b 2＋32≥32．所以0<C ≤π6．故选A ． (3)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，A ≠π2，sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，则角A 的取值范围为( )A ．⎝⎛⎦⎤0，π6B ．⎝⎛⎦⎤0，π4C ．⎣⎡⎦⎤π6，π4D ．⎣⎡⎦⎤π6，π3 答案 B 解析 法一：在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B )，所以sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin2A ，即2sin B cos A＝22sin A cos A ，因为A ≠π2，所以cos A ≠0，所以sin B ＝2sin A ，由正弦定理得，b ＝2a ，所以A 为锐角，又sin B ＝2sin A ∈(0,1]，所以sin A ∈⎝⎛⎦⎤0，22，所以A ∈⎝⎛⎦⎤0，π4． 法二：在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B )，所以sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin2A ，即2sin B cos A ＝22sin A cos A ，因为A ≠π2，所以cos A ≠0，所以sin B ＝2sin A ，由正弦定理，得b ＝2a ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝12b 2＋c 22bc ≥2 12b 2·c 22bc ＝22，当且仅当c ＝22b 时等号成立，所以A ∈⎝⎛⎦⎤0，π4． (4)(2014·江苏)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________． 答案6－24 解析 由sin A ＋2sin B ＝2sin C ，结合正弦定理得a ＋2b ＝2c ．由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－(a ＋2b )242ab ＝34a 2＋12b 2－2ab22ab≥2⎝⎛⎭⎫34a 2⎝⎛⎭⎫12b 2－2ab 22ab＝6－24，故6－24≤cos C <1，故cos C 的最小值为6－24． (5)设△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，已知a 2＋2b 2＝c 2，则tan Ctan A ＝_____；tan B 的最大值为________．答案 －333 解析 由正弦定理可得tan C tan A ＝sin C sin A ·cos A cos C ＝c a ·cos A cos C ，再结合余弦定理可得tan C tan A ＝c a ·cos A cos C＝c a ·b 2＋c 2－a 22bc ·2ab a 2＋b 2－c 2＝b 2＋c 2－a 2a 2＋b 2－c 2．由a 2＋2b 2＝c 2，得tan C tan A ＝b 2＋a 2＋2b 2－a 2a 2＋b 2－a 2－2b 2＝－3．由已知条件及大边对大角可知0＜A ＜π2＜C ＜π，从而由A ＋B ＋C ＝π可知tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C 1－tan A tan C ＝－1＋tan Ctan A 1tan A －tan C ＝23－tan C ＋(－tan C )，因为π2＜C ＜π，所以3－tan C ＋(－tan C )≥23－tan C×(－tan C )＝23(当且仅当tan C ＝－3时取等号)，从而tan B ≤223＝33，即tan B 的最大值为33．(6)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a ＝2b sin C ，则tan A ＋tan B ＋tan C 的最小值是( )A ．4B ．33C ．8D ．63解析：由a ＝2b sin C 得sin A ＝2sin B sin C ，∴sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，即tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ．又三角形中的三角恒等式tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ，∴tan B tan C ＝tan Atan A －2，∴tan A tan B tan C ＝tan A ·tan A tan A －2，令tan A －2＝t ，得tan A tan B tan C ＝(t ＋2)2t ＝t ＋4t ＋4≥8，当且仅当t ＝4t ， 即t ＝2，tan A ＝4 时，取等号．【对点训练】1．在不等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，如果sin 2(B ＋C )<sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为( )A ．⎝⎛⎭⎫0，π2B ．⎝⎛⎭⎫π4，π2C ．⎝⎛⎭⎫π6，π3D ．⎝⎛⎭⎫π3，π2 1．答案 D 解析 由题意得sin 2A <sin 2B ＋sin 2C ，再由正弦定理得a 2<b 2＋c 2，即b 2＋c 2－a 2>0．则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0，∵0<A <π，∴0<A <π2．又a 为最大边，∴A >π3．因此得角A 的取值范围是⎝⎛⎭⎫π3，π2．2．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则角A 的取值范 围是( )A ．⎝⎛⎦⎤π6，2π3B ．⎣⎡⎦⎤π6，π4C ．⎝⎛⎦⎤0，π6D ．⎣⎡⎭⎫π6，π3 2．答案 C 解析 在△ABC 中，由正弦定理化简已知的等式得sin A sin A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即 sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A ，所以sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4a 2＋c 2－a 24ac＝3a 2＋c 24ac ≥23ac 4ac ＝32(当且仅当c 2＝3a 2，即c ＝3a 时取等号)，因为A 为△ABC 的内角，且y ＝cos x在(0，π)上是减函数，所以0＜A ≤π6，故角A 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，π6． 3．已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，满足cos A sin B sin C ＋cos B sin A sin C ＝2cos C sin A sin B ，则C 的最大值为________．3．答案 π3 解析 由正弦定理，得bc cos A ＋ac cos B ＝2ab cos C ，由余弦定理，得bc ·b 2＋c 2－a 22bc ＋ac ·c 2＋a 2－b 22ac ＝2ab ·a 2＋b 2－c 22ab ，∴a 2＋b 2＝2c 2，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a2＋b 2－12(a 2＋b 2)2ab ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12，当且仅当a ＝b 时，取等号．∵0<C <π，∴0<C ≤π3，∴C 的最大值为π3． 4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若b 2＋c 2＝2a 2，则cos A 的最小值为________． 4．答案 12 解析 因为b 2＋c 2＝2a 2，则由余弦定理可知a 2＝2bc cos A ，所以cos A ＝a 22bc ＝12×b 2＋c 22bc ≥12×2bc 2bc＝12(当且仅当b ＝c 时等号成立)，即cos A 的最小值为12． 5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos2A ＋cos2B ＝2cos2C ，则cos C 的最小值为( )A ．32 B ．22 C ．12 D ．－125．答案 C 解析 因为cos2A ＋cos2B ＝2cos2C ，所以1－2sin 2A ＋1－2sin 2B ＝2－4sin 2C ，得a 2＋b 2＝2c 2，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ≥a 2＋b 22a 2＋b 2＝12，当且仅当a ＝b 时等号成立，故选C ．6．在钝角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B 为钝角，若a cos A ＝b sin A ，则sin A ＋sin C 的最大值为( )A ．2B ．98C ．1D ．786．答案 B 解析 ∵a cos A ＝b sin A ，由正弦定理可得，sin A cos A ＝sin B sin A ，∵sin A ≠0，∴cos A ＝sin B ，又B 为钝角，∴B ＝A ＋π2，sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin(A ＋B )＝sin A ＋cos2A ＝sin A ＋1－2sin 2A ＝－2⎝⎛⎭⎫sin A －142＋98，∴sin A ＋sin C 的最大值为98． 7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B －b cos A ＝12c ，当tan(A －B )取最大值时，角B 的值为________．7．答案 π6 解析 由a cos B －b cos A ＝12c 及正弦定理，得sin A cos B －sin B cos A ＝12sin C ＝12sin(A ＋B )＝12(sin A cos B ＋cos A sin B )，整理得sin A cos B ＝3cos A sin B ，即tan A ＝3tan B ，易得tan A >0，tan B >0．所以tan(A －B )＝tan A －tan B 1＋tan A tan B ＝2tan B 1＋3tan 2B ＝21tan B ＋3tan B ≤223＝33，当且仅当1tan B ＝3tan B ，即tan B ＝33时，tan(A －B )取得最大值，所以B ＝π6．8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋b sin B ＝c sin C －2a sin B ，则sin2A tan 2B 的最大值是__________．8．答案 3－22 解析 依题意得a 2＋b 2－c 2＝－2ab ，则2ab cos C ＝－2ab ，所以cos C ＝－22， 所以C ＝3π4，A ＝π4－B ，所以sin2A tan 2B ＝cos2B tan 2B ＝(1－tan 2B )tan 2B 1＋tan 2B ．令1＋tan 2B ＝t ，其中t ∈(1,2)，则有(1－tan 2B )tan 2B 1＋tan 2B ＝(2－t )(t －1)t ＝－⎝⎛⎭⎫t ＋2t ＋3≤3－22，当且仅当t ＝2时取等号．故sin 2A tan 2B 的最大值是3－22．9．在△ABC 中，若sin C ＝2cos A cos B ，则cos 2A ＋cos 2B 的最大值为________． 9．答案2＋12解析 解法1 因为sin C ＝2cos A cos B ，所以，sin(A ＋B )＝2cos A cos B ，化简得tan A ＋tan B ＝2，cos 2A ＋cos 2B ＝cos 2A sin 2A ＋cos 2A ＋cos 2B sin 2B ＋cos 2B ＝1tan 2A ＋1＋1tan 2B ＋1＝tan 2A ＋tan 2B ＋2(tan A tan B )2＋tan 2A ＋tan 2B ＋1＝(tan A ＋tan B )2－2tan A tan B ＋2(tan A tan B )2＋(tan A ＋tan B )2－2tan A tan B ＋1＝6－2tan A tan B(tan A tan B )2－2tan A tan B ＋5．因为分母(tan A tan B )2－2tan A tan B ＋5>0，所以令6－2tan A tan B ＝t (t >0)，则cos 2A ＋cos 2B ＝4t t 2－8t ＋32＝4t ＋32t－8≤4232－8＝2＋12(当且仅当t ＝42时取等号)． 解法2 由解法1得tan A ＋tan B ＝2，令tan A ＝1＋t ，tan B ＝1－t ，则cos 2A ＋cos 2B ＝1tan 2A ＋1＋1tan 2B ＋1＝1t 2＋2＋2t ＋1t 2＋2－2t ＝2（t 2＋2）（t 2＋2）2－4t 2，令d ＝t 2＋2≥2，则cos 2A ＋cos 2B ＝2d d 2－4d ＋8＝2d ＋8d－4≤228－4＝2＋12，当且仅当d ＝22时等号成立．解法3 因为sin C ＝2cos A cos B ，所以sin C ＝cos(A ＋B )＋cos(A －B )，即cos(A －B )＝sin C ＋cos C ，cos 2A ＋cos 2B ＝1＋cos2A 2＋1＋cos2B 2＝1＋cos(A ＋B )cos(A －B )＝1－cos C (sin C ＋cos C )＝12－12(sin2C ＋cos2C )＝12－22sin(2C ＋π4)≤12＋22＝2＋12，当且仅当2C ＋π4＝3π2，即C ＝5π8时取等号． 10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a cos C ＋b ＝0，则tan B 的最大值是________．10．答案 34解析 在△ABC 中，因为3a cos C ＋b ＝0，所以C 为钝角，由正弦定理得3sin A cos C ＋sin(A＋C )＝0，3sin A cos C ＋sin A cos C ＋cos A sin C ＝0，所以4sin A cos C ＝－cos A ·sin C ，即tan C ＝－4tan A ．因为tan A >0，所以tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C 1－tan A tan C ＝tan A ＋tan C tan A tan C －1＝－3tan A－4tan 2A －1＝34tan A ＋1tan A≤324＝34，当且仅当tan A ＝12时取等号，故tan B 的最大值是34． 11．(2016江苏)在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是________． 11．答案 8 解析 因为sin A ＝sin(B ＋C )＝2sin B sin C ，所以tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，因此tan A tan B tan C＝tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋2tan B tan C ≥2 2 tan A tan B tan C ，所以tan A tan B tan C ≥8．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 为锐角三角形，且满足b 2－a 2＝ac ，则1tan A－1tan B的取值范围是________． 12．答案 ⎝⎛⎭⎫1，233 解析 思路一，根据题意可知，本题可以从“解三角形和三角恒等变换”角度切入，又因已知锐角和边的关系，而所求为正切值，故把条件化为角的正弦和余弦来处理即可；思路二，本题所求为正切值，故可以构造直角三角形，用边的关系处理．解法1 原式可化为1tan A －1tan B ＝cos A sin A －cos B sin B ＝sin B cos A －cos B sin A sin A sin B ＝sin (B －A )sin A sin B ．由b 2－a 2＝ac 得，b 2＝a 2＋ac ＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即a ＝c －2a cos B ，也就是sin A ＝sin C －2sin A cos B ，即sin A ＝sin(A ＋B )－2sin A cos B ＝sin(B －A )，由于△ABC 为锐角三角形，所以有A ＝B －A ，即B ＝2A ，故1tan A －1tan B ＝1sin B ，在锐角三角形ABC 中易知，π3<B <π2，32<sin B <1，故1tan A －1tan B ∈⎝⎛⎭⎫1，233．解法2 根据题意，作CD ⊥AB ，垂足为点D ，画出示意图．因为b 2－a 2＝AD 2－BD 2＝(AD ＋BD )(AD －BD )＝c (AD －BD )＝ac ，所以AD －BD ＝a ，而AD ＋BD ＝c ，所以BD ＝c －a 2，则c >a ，即ca >1，在锐角三角形ABC 中有b 2＋a 2>c 2，则a 2＋a 2＋ac >c 2，即⎝⎛⎭⎫c a 2－c a －2<0，解得－1<c a <2，因此，1<c a <2．而1tan A －1tan B ＝AD －BD CD＝a a 2－⎝⎛⎭⎫c －a 22＝11－14⎝⎛⎭⎫c a －12∈⎝⎛⎭⎫1，233．13．在锐角三角形ABC 中，已知2sin 2A ＋sin 2B ＝2sin 2C ，则1tan A ＋1tan B ＋1tan C 的最小值为________．13．答案132解析 解法1 因为2sin 2A ＋sin 2B ＝2sin 2C ，所以由正弦定理可得2a 2＋b 2＝2c 2，由余弦 定理及正弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝b 24ab ＝b 4a ＝sin B4sin A ，又因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，所以cos C ＝sin A cos C ＋cos A sin C 4sin A ＝cos C 4＋sin C4tan C，可得tan C ＝3tan A ，代入tan A ＋tan B ＋tan C＝tan A tan B tan C 得tan B ＝4tan A 3tan 2A －1，所以1tan A ＋1tan B ＋1tan C ＝1tan A ＋3tan 2A －14tan A ＋13tan A ＝3tan A 4＋1312tan A ，因为A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以tan A >0，所以3tan A 4＋1312tan A ≥23tan A 4×1312tan A ＝132，当且仅当3tan A 4＝1312tan A，即tan A ＝133时取“＝”．所以1tan A ＋1tan B ＋1tan C 的最小值为132． 解法2 过点B 作BD ⊥AC 于D ，设AD ＝x ，DC ＝y ，BD ＝h ，则tan A ＝h x ，tan C ＝hy ．同解法1可得tan C ＝3tan A ，tan B ＝4tan A 3tan 2A －1 则h y ＝3h x ，即x ＝3y ，tan B ＝4hx 3⎝⎛⎭⎫h x 2－1＝4hx 3h 2－x 2，所以1tan A ＋1tan B ＋1tan C ＝x h ＋3h 2－x 24hx ＋y h ＝3y h ＋3h 2－9y 212hy ＋y h ＝13y 4h ＋h 4y ≥132．当且仅当13y 4h ＝h 4y ，即y ＝113h 时取“＝”．所以1tan A ＋1tan B ＋1tan C 的最小值为132． 考点二 三角形中与边或周长有关的最值(范围) 【例题选讲】[例2](1)已知△ABC 中，角A ，32B ，C 成等差数列，且△ABC 的面积为1＋2，则AC 边的长的最小值是________．答案 2 解析 ∵A ，32B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝3B ，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π4．设角A ，B ，C所对的边分别为a ，b ，c ，由S △ABC ＝12ac sin B ＝1＋2得ac ＝2(2＋2)，由余弦定理及a 2＋c 2≥2ac ，得b 2≥(2－2)ac ，即b 2≥(2－2)×2(2＋2)，∴b ≥2(当且仅当a ＝c 时等号成立)，∴AC 边的长的最小值为2．(2)(2015·全国Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________． 答案 (6－2，6＋2) 解析 通法：依题意作出四边形ABCD ，连结BD ．令BD ＝x ，AB ＝y ，∠CDB ＝α，∠CBD ＝β．在△BCD 中，由正弦定理得2sin α＝x sin 75．由题意可知，∠ADC ＝135°，则∠ADB＝135°－α．在△ABD 中，由正弦定理得x sin 75°＝y sin(135°－α)．所以y sin(135°－α)＝2sin α，即y ＝2sin(135°－α)sin α＝2sin[90°－(α－45°)]sin α＝2cos(α－45°)sin α＝2(cos α＋sin α)sin α．因为0°<β<75°，α＋β＋75°＝180°，所以30°<α<105°，当α＝90°时，易得y ＝2；当α≠90°时，y ＝2(cos α＋sin α)sin α＝2⎝⎛⎭⎫1tan α＋1．又tan 30°＝33，tan 105°＝tan(60°＋45°)＝tan 60°＋tan 45°1－tan 60°tan 45°＝－2－3，结合正切函数的性质知，1tan α∈(3－2，3)，且1tan α≠0，所以y ＝2⎝⎛⎭⎫1tan α＋1∈(6－2，2)∪(2，6＋2)．综上所述：y ∈(6－2，6＋2)．提速方法：画出四边形ABCD ，延长CD ，BA ，探求出AB 的取值范围．如图所示，延长BA 与CD 相交于点E ，过点C 作CF ∥AD 交AB 于点F ，则BF <AB <BE ．在等腰三角形CFB 中，∠FCB ＝30°，CF ＝BC ＝2，∴BF ＝22＋22－2×2×2cos 30°＝6－2．在等腰三角形ECB 中，∠CEB ＝30°，∠ECB ＝75°，BE ＝CE ，BC ＝2，BE sin 75°＝2sin 30°，∴BE ＝212×6＋24＝6＋2．∴6－2<AB <6＋2．(3)在△ABC 中，若C ＝2B ，则cb的取值范围为________．答案 (1，2) 解析 因为A ＋B ＋C ＝π，C ＝2B ，所以A ＝π－3B >0，所以0<B <π3，所以12<cos B <1．因为c b ＝sin C sin B ＝sin 2B sin B ＝2cos B ，所以1<2cos B <2，故1<cb<2． (4) (2018·北京)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，则∠B ＝__________；ca的取值范围是__________．答案 60° (2，＋∞) 解析 由已知得34(a 2＋c 2－b 2)＝12ac sin B ，所以3(a 2＋c 2－b 2)2ac ＝sin B ，由余弦定理得3cos B ＝sin B ，所以tan B ＝3，所以B ＝60°，又C ＞90°，B ＝60°，所以A <30°，且A ＋C ＝120°，所以c a ＝sin C sin A ＝sin (120°－A )sin A ＝12＋32tan A ．又A <30°，所以0＜tan A <33，即1tan A >3，所以c a >12＋32＝2．(5)在△ABC 中，角, , A B C 所对的边分别为, , a b c ，且满足sin sin()sin sin cos A B C B C A -=，则2abc 的最大值为__________． 答案32解析 由sin sin()sin sin cos A B C B C A -=，得sin (sin cos cos sin )sin sin cos A B C B C B C A -=，由正弦定理可得cos cos cos ab C ac B bc A -=，由余弦定理可得22222222a b c a c b ab ac bcab ac+-+--=2222b c a bc+-，化简得2223a b c +=，又因为22232c a b ab =+≥，当且仅当a b =时等号成立，可得232ab c ≤，所以2ab c的最大值为32．(6)在△ABC 中，若C ＝60°，c ＝2，则a ＋b 的取值范围为________．答案 (2，4] 解析 由题意，得c ＝2．由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ≥14(a ＋b )2，得a ＋b ≤4．又由三角形的性质可得a ＋b >2，综上可得2<a ＋b ≤4．(7)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b 2＋c 2－a 2＝bc ，AB →·BC →＞0，a ＝32，则b ＋c 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫1，32B ．⎝⎛⎭⎫32，32 C ．⎝⎛⎭⎫12，32 D ．⎝⎛⎦⎤12，32 答案 B 解析 在△ABC中，b 2＋c 2－a 2＝bc ，由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，因为A是△ABC 的内角，所以A ＝60°．因为a ＝32，所以由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝csin (120°－B )＝1，所以b ＋c ＝sin B ＋sin(120°－B )＝32sin B ＋32cos B ＝3sin(B ＋30°)．因为AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＞0，所以cos B ＜0，B 为钝角，所以90°＜B ＜120°，120°＜B ＋30°＜150°，故sin(B ＋30°)∈⎝⎛⎭⎫12，32，所以b ＋c＝3sin(B ＋30°)∈⎝⎛⎭⎫32，32．(8) (2018·江苏)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________．答案 9 解析 因为∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，所以∠ABD ＝∠CBD ＝60°，由三角形的面积公式可得12ac sin 120°＝12a ×1×sin 60°＋12c ×1×sin 60°，化简得ac ＝a ＋c ，又a >0，c >0，所以1a ＋1c ＝1，则4a ＋c ＝(4a ＋c )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4ac ≥5＋2c a ·4ac＝9，当且仅当c ＝2a 时取等号，故4a ＋c 的最小值为9．(9)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a sin B ＝3b cos A ．若a ＝4，则△ABC 周长的最大值为________．答案 12 解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B，可将a sin B ＝3b cos A 转化为sin A sin B ＝3sin B cos A ．又在△ABC 中，sin B >0，∴sin A ＝3cos A ，即tan A ＝3．∵0<A <π，∴A ＝π3．由余弦定理得a 2＝16＝b 2＋c 2－2bc cosA ＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－3⎝⎛⎭⎫b ＋c 22，则(b ＋c )2≤64，即b ＋c ≤8(当且仅当b ＝c ＝4时等号成立)，∴△ABC 周长＝a ＋b ＋c ＝4＋b ＋c ≤12，即最大值为12．(10)在△ABC 中，∠ACB ＝60°，BC >1，AC ＝AB ＋12，当△ABC 的周长最短时，BC 的长是________．答案 1＋22 解析 设AC ＝b ，AB ＝c ，BC ＝a ，△ABC 的周长为l ，由b ＝c ＋12，得l ＝a ＋b ＋c ＝a ＋2c ＋12．又cos 60°＝a 2＋b 2－c 22ab＝12，即ab ＝a 2＋b 2－c 2，得a ⎝⎛⎭⎫c ＋12＝a 2＋⎝⎛⎭⎫c ＋122－c 2，即c ＝a 2－12a ＋14a －1．l ＝a ＋2c ＋12＝a ＋2a 2－a ＋12a －1＋12＝3⎣⎡⎦⎤(a －1)2＋43()a －1＋12a －1＋12＝3⎣⎡⎦⎤(a －1)＋12(a －1)＋43＋12。