中考专题复习——几何题利用旋转构造“手拉手”模型.doc

中考专题复习——几何题用旋转构造“手拉手”模型一、教学目标：，归纳掌握其基本特征．1.了解并熟悉“手拉手模型”，利用旋转构造全等解决相关问题．2.借助“手拉手模型”举一反三，解决求定值，定角，最值等一类问题．3.二、教学重难点：，学会用旋转构造全等．1.挖掘和构造“手拉手模型”用旋转构造全等的解题方法最优化选择．2.三、教学过程：D 1.复习旧知EH为等边三角形，从中你能得出师：如图，△ABD，△BCE GF哪（1）△ABE CAB 4）△BFG为等边三角形CFB （3）些结论？DBFDBC≌△（2）△ABG≌△生：△≌△EGB （……）BH平分∠AHCB，F，四点共圆（8G7＝6DGH）（5△AGB∽△（）∠DHA60°（）H，，这两个全等的三角形除了对应边相等，对应角相等外，与△DBC师：我们再来重点研究△ABE 还有什么共同特征呢？．B，即同一个顶点B生：它们有同一个字母经过怎样的图形运动得到？看作由△ABE师：我们也可以把△DBC 60°得到．生：绕点B顺时针旋转2.引入新课，谁可以将这个模型的师：其实我们可以给这两个全等的三角形赋予一个模型，叫“手拉手模型”特征再做进一步的简化归纳呢？生：对应边相等．师：我们可以称之为“等线段”．生：有同一个顶点．．师：我们可以称之为“共顶点”师：等线段，共顶点的两个全等三角形，我们一般可以考虑哪一种图形运动？生：旋转．“手拉手模型”可以归纳为：等线段，共顶点，一般用旋转．师：3.小题热身3图1图2图．＝____BECAD于，则AF°，AB＝AD，AE⊥BD于E，BC⊥4511．如图，△BAD中，∠BAD＝．＝______AECE＝4，则ABC△和△BED均为等边三角形，ADE三点共线，若BE＝2，2．如图2，．＝_______＝5，则EFBEEAF＝45°，＝3，DF，正方形3．如图3ABCD中，∠题，这里面有“手拉手模型”吗？请你找出其中的“等线段，共顶点”．2师：我们来看第1，第BCD．C逆时针旋转90°得△AC，BC，共顶点是C，△ACF绕点生：题1中，等线段是．60°得△CBEB，△ABD绕点D顺时针旋转，共顶点是题2中，等线段是AB，BC 题，这里有“手拉手模型”吗？师：我们再来看第3 生：没有．师：那其中有没有“等线段，共顶点”呢？．，共顶点是A生：等线段是AD，AB 师：我们可否利用旋转来构造“手拉手模型”呢？90°．AE旋转，绕点A逆时针旋转生：将90°，你是如何思考的？师：为什么是逆时针旋转逆AE，那么将ADAB绕点A逆时针旋转90°即为全等的三角形，生：我准备构造一个和△ABE GD，证明全等．AG时针旋转90°可得，连接师：说的不错，谁能再来归纳一下，借助“手拉手模型”，用旋转构造全等的方法吗？“共顶点”的线段，将其旋转．生：先找有没有“等线段，共顶点”，再找其中一条师：旋转角度如何确定，方向怎么选择？生：选择其中一个三角形，将“共顶点”的线段旋转．旋转角为两条“等线段”间的夹角．方向应与所选择的起始“等线段”旋转到另一条“等线段”时的方向一致．师：非常棒，可以说，你已经掌握了这节课的精髓．但是，很多题目中只是隐含了“手拉手模型”的一些条件，剩余的需要我们自己去构造，可以如何构造呢？．步骤1：先找有没有“等线段，共顶点”“共顶点”的线段旋转．：选择其中一个三角形，将其中经过2步骤．：旋转方向与这个三角形的“等线段”旋转到另一条“等线段”的方向一致，旋转角为“等步骤3 线段”间的夹角．师：这道题还有一个要注意的地方，你发现了吗？F三点共线．G，D，生：连接GD后，要证明4.例题精讲A度数．，求∠ADC，DC＝3，BD＝5：等边△例1ABC中，AD ＝4 师：这里有没有隐含的“手拉手模型”？D要构造全等，该怎样旋转？CB生：将△ADC绕点A顺时针旋转60°．师：你是怎么想的，还有其他做法吗？A，A为“共顶点”，我选择的旋转线段生：我发现AB＝AC E也要绕，所以△ADC60是AD，因为AC绕点A顺时针旋转°到AB D°．点A顺时针旋转60°．也可将△ADB绕点A逆时针旋转60BC【解答】≌△也为等边三角形．易证△AEBBE，DE．则△ADE绕点将ADA顺时针旋转60°到AE，连接°AEB＝∠ADC＝150BE＝DC＝4，根据勾股定理逆定理，可证∠BED＝90°，则∠，∴ADCCOD＝?AOB?2：如图，△ABO和△CDO均为等腰直角三角形，例DA的长度为OD BC试求以AD、、OC＋BOC＝90?．若△的面积为1，三边长的三角形的面积．O师：由于线段分散，如何通过图形变换，使这些线段能构成一个三角CB形？即是以△BCE，即可使OC，OD共线，再通过证明确定O生：将OD绕点逆时针旋转90°至OE 的长度为三边长的三角形．、BCOC＋ODAD、【解答】D．易证OE，连接BE如图，将OD 绕点O逆时针旋转90°至A OD＋、OCBCBCEADOAD△≌△OBE，＝BE，∴△即是以AD、E．＝22＝SOEOC长度为三边长的三角形．又∵＝，∴S BOC△BCE△O CB5.自主练习DA ACBABC＝∠，CD＝3，∠1．如图，在四边形ABCD中，AD＝4 ．45°，则BD的长为_________＝∠ADC＝，并写出解决方法．师：请找出隐含的“手拉手模型”BC绕点ADA．方法是将CA生：“等线段”是和BA，“共顶点”是°．顺时针旋转90A E为边，向外做正方，以ABC2．如图，在△中，BC＝2，ABAC＝2 ．BE形ACDE，连接，则BE最大值为_________D师：请找出隐含的“手拉手模型”，并写出解决方法．A．EA，“共顶点”是A生：“等线段”是CA和C A逆时针旋转90°．方法是将AB绕点B师：你为何要逆时针旋转，你准备旋转哪个三角形？°．也绕点生：△ABC，因为AC是逆时针旋转90°到AE，所以ABA逆时针旋转90是等边三角形，BCB上，AB＝1，＝2，△ACDA3．如图，点在⊙D面积的最大值．求△BCD ，并写出解决方法．师：请找出隐含的“手拉手模型”A C．CA和CD，“共顶点”是“等线段”是生：BC°．C逆时针旋转60方法是将CA绕点附：自主练习解答E≌△EACAD1．如图，将绕点A顺时针旋转90°至AE，易证△°，DAB，可得CE＝BD，又∵∠＝90＝45°，∴∠CDEEDA DA2222＋3CDCDEDECD＝3，＝24，则Rt△中，CE＝＋DE＝241 ＝(42)CB41 DB，∴＝41∴CE＝，≌△EAFCAB，易证△°至绕点如图，将2.ABA逆时针旋转90AF E．由三，∴ABAFBAFRt2BCEF 可得＝＝．△中，＝＝2BF2＝D4. BEBF＋EFBE角形三边关系易知，≤，∴最小值为F ABC．CBDE，过点E作EF⊥C3.如图，将CB绕点逆时针旋转60°至CE，连接D，＝3，CBA≌CED 则DE＝1，EF△于作F于，过点DDG⊥CBG．易证E边上的高，可证作DGDG＜DE＋EF．过E A S，．＝，当D，EF三点共线时，DGDE＋EF即高的最大值为1＋3BCDmax△ GCBF13 3×（×＝21＋）＝＋12DEABFC．。

本文为word 版资料，可以任意编辑修 本文为word 版资料，可以任意编辑修手拉手模型模型手拉手如图，△ ABC 是等腰三角形、△ ADE 是等腰三角形，AB = AC, AD = AE ，/ BAC = Z DAE =:-. 结论：连接 BD 、CE ，则有△ BADCAE . 模型分析 如图①，/ BAD = Z BAC-Z DAC ，/ CAE =Z DAE-Z DAC . •••/ BAC =Z DAE =:-, •••Z BAD = Z CAE . 在厶BAD 和厶CAE 中， 【AB =AC , ■' /BAD - • CAE , AD =AE ,图②、图③同理可证. (1)这个图形是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成. 在相对位置变化的同时， 始终存在一对全等三角形.(2) 如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰 三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，所以把这个模型称为手拉手模型.(3) 手拉手模型常和旋转结合，在考试中作为几何综合题目出现.EDBC图①BC图②BC图③模型实例例1如图，△ ADC与厶EDG都为等腰直角三角形，连接AG、CE,相交于点H，问:(1)AG与CE是否相等？(2)AG与CE之间的夹角为多少度?解答:(1)AG = CE.理由如下:•••/ ADG = Z ADC + Z CDG , / CDE = Z GDE + Z CDG , / ADC = Z EDG = 90°,•••/ ADG = Z CDE .在厶ADG和厶CDE中,AD 二 CD ,■■: /ADG 二■ CDE ,DG 二DE ,• AG = CE .(2)v^ ADG 也厶 CDE ,•••/ DAG = Z DCE .•••/ COH = Z AOD ,•••/ CHA = Z ADC = 90°.• AG与CE之间的夹角是90°.例2如图，在直线AB的同一侧作△ 形，连接AE、CD，二者交点为 H .求证：(1 )△ ABE◎△ DBC ;(2)AE = DQ ;(3)/ DHA = 60°(4) A AGB ◎△ DFB ;(5) A EGB ◎△ CFB ;(6)连接 GF , GF // AC ; ABD和厶BCE,A ABD和厶BCE都是等边三角G(7)连接 HB, HB 平分/ AHC .证明：(1 )Z ABE = 120° / CBD = 120° 在厶ABE和厶DBC中，BA 二 BD ,/ABE ZDBC ,BE =BC ,•••△ ABE◎△ DBC .(2)T A ABE◎△ DBC ,•AE= DC.(3) A ABE◎△ DBC,•••/ 1 = Z 2.•••/ DGH =Z AGB .•••/ DHA =Z 4= 60°(4)vZ 5= 180° — / 4-Z CBE= 60°•4=/ 5.•/△ ABE也厶 DBC ,•/ 1 = / 2.又••• AB = DB,•△ AGB◎△ DFB (ASA).(5)同(4)可证△ EGB也厶 CFB ( ASA ).(6)如图①所示，连接 GF .由(4)得，△ AGB◎△ DFB .•BG= BF.又•••/ 5 = 60°•△ BGF是等边三角形.•/ 3= 60°••/ 3=/ 4 .• GF // AC .(7)如图②所示，过点 B作BM丄DC于M，过点B作BN丄AE于点N .•/△ ABE◎△ DBC ,•S^ABE = S A DBC .1 1•••丄X AE X BN=丄X CD X BM .2 2•/ AE= CD,•BM = BN .•••点B在/ AHC的平分线上. A B C图②••• HB 平分/ AHC . 练习： 1.在厶ABC 中，AB= CB,Z ABC = 90 ° F 为AB 延长线上一点，点 E 在BC 上，且 AE =CF .(1) 求证：BE= BF ;(2) 若/ CAE = 30° 求/ ACF 度数.答案：(1) 证明：/ ABC = 90° . 在 Rt △ ABE 和 Rt △ CBF 中， CF = AE , AB 二CB ,• Rt △ ABE 也 Rt △ CBF (HL ). • BE= BF.(2) v AB = CB,Z ABC = 90° • / BAC =Z BCA = 45° • / CAE = 30°• / BAE = 45° — 30° = 15° . •/ Rt △ ABE 也 Rt △ CBF , • / BCF = Z BAE = 15° .• / ACF = Z BCF + Z BCA = 15° + 45° = 60° .2. 如图，△ ABD 与厶BCE 都为等边三角形，连接 求证：(1) AE= DC ;(2) Z AHD = 60°(3) 连接 HB, HB 平分/ AHC .答案：(1)vZ ABE =Z ABD — Z EBD ，/ DBC =Z EBC —Z EBD ，/ ABD = Z EBC = 60° • / ABE =Z DBC . 在厶ABE 和厶DBC 中,AE 与CD ，延长AE 交CD 于点H .CAB 二 DB , M ABE Z DBC , BE =BC ,• AE= DC.(2)：公 ABE◎△ DBC ,•••/ EAB =Z CDB .又•••/ OAB + Z OBA = Z ODH +Z OHD ,•••/ AHD =Z ABD = 60°(3)过B作AH、DC的垂线，垂足分别为点 M、N .ABE也厶 DBC ,--S^ABE= S A DBC .1 1即—AE • BM = - CD • BN.2 2又••• AE = CD,•BM = BN .•HB 平分/ AHC .3.在线段AE同侧作等边△ ABC和等边△ CDE (/ ACEv 120 ° ,点P与点M分别是线段BE和AD的中点.求证：△ CPM是等边三角形.答案：证明：•••△ ABC和厶CDE都是等边三角形, • AC = BC, CD = CE . •••/ ACB =Z ECD = 60°.• / BCE =Z ACD .•△ BCE◎△ ACD .•/ CBE =Z CAD , BE = AD .又•••点P与点M分别是线段 BE和AD的中点, • BP= AM .在厶BCP和厶ACM中,BC =AC ,CBE = CAD ,BP = AM ,• △ BCP◎△ ACM .CPD•PC = MC,Z BCP =Z ACM .•/ PCM =Z ACB = 60°.•△ CPM是等边三角形.4.将等腰Rt△ ABC和等腰Rt△ ADE按图①方式放置，/ A= 90° AD边与AB边重合,AB= 2AD = 4.将△ ADE 绕A 点逆时针方向旋转一个角度 a (0 °< a < 180 °, BD 的 延长线交CE 于P.(1) 如图②，求明： BD = CE, BD 丄CE; (2)如图③，在旋转的过程中，当 AD 丄BD 时，求CP 长.答案：(1) v 等腰 Rt △ ABC 和等腰 Rt △ ADE ,••• AB= AC, AD = AE,Z BAC =Z DAE = 90° •••/ DAB = 90° — / CAD ，/ CAE= 90° — / CAD , •••/ DAB = / CAE . • △ ABD ◎△ ACE . • BD = CE. • / DBA = / ECA.• / CPB =/ CAB . ( 8 字模型) • BD 丄CE. (2)由(1)得 BP 丄 CE .又••• AD 丄 BD ，/ DAE = 90° AD = AE, •四边形ADPE 为正方形. AD = PE= 2.• / ADB = 90° AD = 2, AB= 4, BD = CE= 2 .3 .• CP= CE —PE= 2 3-2 .图①E图②。

中考专题复习——几何题用旋转构造“手拉手”模型一、教学目标：1.了解并熟悉“手拉手模型”，归纳掌握其基本特征．2.借助“手拉手模型”，利用旋转构造全等解决相关问题．3.举一反三，解决求定值，定角，最值等一类问题．二、教学重难点：1.挖掘和构造“手拉手模型”，学会用旋转构造全等．2.用旋转构造全等的解题方法最优化选择．三、教学过程：1.复习旧知师：如图，△ABD ，△BCE 为等边三角形，从中你能得出哪些结论？生：（1）△ABE ≌△DBC （2）△ABG ≌△DBF （3）△CFB ≌△EGB （4）△BFG 为等边三角形（5）△AGB ∽△DGH （6）∠DHA ＝60°（7）H ，G ，F ，B 四点共圆 （8）BH 平分∠AHC …… 师：我们再来重点研究△ABE 与△DBC ，这两个全等的三角形除了对应边相等，对应角相等外，还有什么共同特征呢？生：它们有同一个字母B ，即同一个顶点B ．师：我们也可以把△DBC 看作由△ABE 经过怎样的图形运动得到？ 生：绕点B 顺时针旋转60°得到．2.引入新课师：其实我们可以给这两个全等的三角形赋予一个模型，叫“手拉手模型”，谁可以将这个模型的特征再做进一步的简化归纳呢？ 生：对应边相等．师：我们可以称之为“等线段”． 生：有同一个顶点．师：我们可以称之为“共顶点”．师：等线段，共顶点的两个全等三角形，我们一般可以考虑哪一种图形运动？ 生：旋转．师： “手拉手模型”可以归纳为：等线段，共顶点，一般用旋转．H GF E DCBA3.小题热身图1 图2 图31．如图1，△BAD中，∠BAD＝45°，AB＝AD，AE⊥BD于E，BC⊥AD于C，则AF＝____BE．2．如图2，△ABC和△BED均为等边三角形，ADE三点共线，若BE＝2，CE＝4，则AE＝______．3．如图3，正方形ABCD中，∠EAF＝45°，BE＝3，DF＝5，则EF＝_______．师：我们来看第1，第2题，这里面有“手拉手模型”吗？请你找出其中的“等线段，共顶点”．生：题1中，等线段是AC，BC，共顶点是C，△ACF绕点C逆时针旋转90°得△BCD．题2中，等线段是AB，BC，共顶点是B，△ABD绕点D顺时针旋转60°得△CBE．师：我们再来看第3题，这里有“手拉手模型”吗？生：没有．师：那其中有没有“等线段，共顶点”呢？生：等线段是AD，AB，共顶点是A．师：我们可否利用旋转来构造“手拉手模型”呢？生：将AE旋转，绕点A逆时针旋转90°．师：为什么是逆时针旋转90°，你是如何思考的？生：我准备构造一个和△ABE全等的三角形，AB绕点A逆时针旋转90°即为AD，那么将AE逆时针旋转90°可得AG，连接GD，证明全等．师：说的不错，谁能再来归纳一下，借助“手拉手模型”，用旋转构造全等的方法吗？生：先找有没有“等线段，共顶点”，再找其中一条“共顶点”的线段，将其旋转．师：旋转角度如何确定，方向怎么选择？生：选择其中一个三角形，将“共顶点”的线段旋转．旋转角为两条“等线段”间的夹角．方向应与所选择的起始“等线段”旋转到另一条“等线段”时的方向一致．师：非常棒，可以说，你已经掌握了这节课的精髓．但是，很多题目中只是隐含了“手拉手模型”的一些条件，剩余的需要我们自己去构造，可以如何构造呢？步骤1：先找有没有“等线段，共顶点”．步骤2：选择其中一个三角形，将其中经过“共顶点”的线段旋转．步骤3：旋转方向与这个三角形的“等线段”旋转到另一条“等线段”的方向一致，旋转角为“等线段”间的夹角．师：这道题还有一个要注意的地方，你发现了吗？生：连接GD后，要证明G，D，F三点共线．4.例题精讲例1：等边△ABC中，AD＝4，DC＝3，BD＝5，求∠ADC度数．师：这里有没有隐含的“手拉手模型”？要构造全等，该怎样旋转？生：将△ADC绕点A顺时针旋转60°．师：你是怎么想的，还有其他做法吗？生：我发现AB＝AC，A为“共顶点”，我选择的旋转线段是AD，因为AC绕点A顺时针旋转60°到AB，所以△ADC也要绕点A顺时针旋转60°．也可将△ADB绕点A逆时针旋转60°．【解答】将AD绕点A顺时针旋转60°到AE，连接BE，DE．则△ADE也为等边三角形．易证△AEB≌△ADC，∴BE＝DC＝4，根据勾股定理逆定理，可证∠BED＝90°，则∠AEB＝∠ADC＝150°例2：如图，△ABO和△CDO均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90︒．若△BOC的面积为1，试求以AD、BC、OC＋OD的长度为三边长的三角形的面积．师：由于线段分散，如何通过图形变换，使这些线段能构成一个三角形？生：将OD绕点O逆时针旋转90°至OE，即可使OC，OD共线，再通过证明确定△BCE即是以AD、BC、OC＋OD的长度为三边长的三角形．【解答】如图，将OD绕点O逆时针旋转90°至OE，连接BE．易证△OAD≌△OBE，AD＝BE，∴△BCE即是以AD、BC、OC＋OD 长度为三边长的三角形．又∵OC＝OE，∴S△BCE＝2S△BOC＝2．EAOBCDDC BOABBDCBA5.自主练习1．如图，在四边形ABCD 中，AD ＝4，CD ＝3，∠ABC ＝∠ACB ＝∠ADC ＝45°，则BD 的长为 _________． 师：请找出隐含的“手拉手模型”，并写出解决方法．生：“等线段”是CA 和BA ，“共顶点”是A ．方法是将AD 绕点A 顺时针旋转90°．2．如图，在△ABC 中，BC ＝2，AB ＝2，以AC 为边，向外做正方形ACDE ，连接BE ，则BE 最大值为_________． 师：请找出隐含的“手拉手模型”，并写出解决方法．生：“等线段”是CA 和EA ，“共顶点”是A ． 方法是将AB 绕点A 逆时针旋转90°．师：你为何要逆时针旋转，你准备旋转哪个三角形？生：△ABC ，因为AC 是逆时针旋转90°到AE ，所以AB 也绕点A 逆时针旋转90°． 3．如图，点A 在⊙B 上，AB ＝1，BC ＝2，△ACD 是等边三角形，求△BCD 面积的最大值．师：请找出隐含的“手拉手模型”，并写出解决方法． 生：“等线段”是CA 和CD ，“共顶点”是C ． 方法是将CA 绕点C 逆时针旋转60°．附：自主练习解答1． 如图，将AD 绕点A 顺时针旋转90°至AE ，易证△EAC ≌△DAB ，可得CE ＝BD ，又∵∠EDA ＝45°，∴∠CDE ＝90°，CD ＝3，DE ＝42，则Rt △CDE 中，CE 2＝CD 2＋DE 2＝32＋ (42)2＝41∴CE ＝41，∴DB ＝412.如图，将AB 绕点A 逆时针旋转90°至AF ，易证△EAF ≌△CAB ，可得EF ＝BC ＝2．Rt △BAF 中，AF ＝AB ＝2，∴BF ＝2．由三角形三边关系易知，BE ≤EF ＋BF ，∴BE 最小值为4.EDCBAADC BDFEBCDA3.如图，将CB绕点C逆时针旋转60°至CE，连接DE，过点E作EF⊥CB 于F，过点D作DG⊥CB于G．易证△CBA≌CED，则DE＝1，EF＝3，过E作DG边上的高，可证DG＜DE＋EF．当D，E，F三点共线时，DG＝DE＋EF．即高的最大值为1＋3，S△BCDmax＝12×2×（1＋3）＝1＋ 3FEDCBAGEFABCD。

几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎩等腰三角形手拉手模型等腰直角三角形（包含正方形）等边三角形（包含费马点）特殊角旋转变换对角互补模型一般角特殊角角含半角模型一般角等线段变换（与圆相关）【练1】在ABC△中,AB AC=,BACα∠=（060α︒<<︒）,将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1,直接写出ABD∠的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2,15060BCE ABE∠=︒∠=︒，,判断ABE△的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下,连结DE,若45DEC∠=︒,求α的值．专题3：手拉手模型：全等和相似包含：等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）、等边三角形伴随旋转出全等,处于各种位置的旋转模型,及残缺的旋转模型都要能很快看出来（1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等）（2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等）（3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等）例题精讲真题演练知识关联图（4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似）1．等边三角形共顶点等边△ABC 与等边△DCE ,B 、C 、E 三点共线．连结BD 、AE 交于点F ,BD 交AC 于点G ,AE 交DC 于点H ,连结CF 、GH ,则： （1）△BCD ≌△ACE ； （2）AE ＝BD ；（3）∠AFB ＝∠DFE ＝60°； （4）FC 平分∠BFE ；（5）BF ＝AF ＋FC ,EF ＝DF ＋FC ； （6）△CGH 为等边三角形 2．等腰直角三角形共顶点等腰Rt △ABC 与等腰Rt △DCE 中,∠ACB ＝∠DCE ＝90°．如图1,连结BD 、AE 交于点F ,连结FC 、AD 、BE ,则： （1）△BCD ≌△ACE ； （2）AE ＝BD ； （3）AE ⊥BD ； （4）FC 平分∠BFE ； （5）AB 2＋DE 2＝AD 2＋BE 2（6）BF ＝AF FC ,EF ＝DF FC ；（7）如图2,若G 、I 分别为BE 、AD 的中点,则GC ⊥AD 、IC ⊥BE （反之亦然）； （8）S △ACD ＝S △BCE3．等腰三角形共顶点等腰△ACB 与等腰△DCE 中,AC ＝BC ,DC ＝CE ,且∠ACB ＝∠DCE ．连结BD ,AE 交于点F ,则： （1）△BCD ≌△ACE ； （2）AE ＝BD ； （3）∠AFB ＝∠ACB ； （4）FC 平分∠BFE ． 4．相似三角形共顶点△ACB 与△ECD 中,AC BCECDC,∠ACB ＝∠EC D ．连结BD ,AE 交于点F ,则： （1）△BCD ∽△ACE ；H GF ED CBA图1ABCD EFJI图2ABCD EHFEDCBAGA BC DEF（2）∠AFB ＝∠AC B ．进阶训练1.已知四边形和四边形都是正方形 ,且．（1）如图,连接、．求证：； （2）如图,如果正方形,将正方形绕着点旋转到某一位置时恰好使得,．①求的度数；②请直接写出正方形的边长的值．2．四边形ABCD 是正方形,BEF ∆是等腰直角三角形,90BEF ∠=︒,BE EF =,连接DF ,G 为DF 的中点,连接EG ,CG ,EC 。