人教全国中考数学二次函数的综合中考真题汇总含答案
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一、二次函数 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,关于x 的二次函数y=x 2+bx+c 的图象与x 轴交于点A (1,0)和点B 与y 轴交于点C (0,3),抛物线的对称轴与x 轴交于点D .
(1)求二次函数的表达式;
(2)在y 轴上是否存在一点P ,使△PBC 为等腰三角形?若存在.请求出点P 的坐标; (3)有一个点M 从点A 出发,以每秒1个单位的速度在AB 上向点B 运动,另一个点N 从点D 与点M 同时出发,以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动,当点M 到达点B 时,点M 、N 同时停止运动,问点M 、N 运动到何处时,△MNB 面积最大,试求出最大面积.
【答案】(1)二次函数的表达式为:y=x 2﹣4x+3;(2)点P 的坐标为:(0,2(0,3﹣2)或(0,-3)或(0,0);(3)当点M 出发1秒到达D 点时,△MNB 面积最大,最大面积是1.此时点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处.
【解析】
【分析】
(1)把A (1,0)和C (0,3)代入y=x 2+bx+c 得方程组,解方程组即可得二次函数的表达式;
(2)先求出点B 的坐标,再根据勾股定理求得BC 的长,当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论:①CP=CB ;②BP=BC ;③PB=PC ;分别根据这三种情况求出点P 的坐标; (3)设AM=t 则DN=2t ,由AB=2,得BM=2﹣t ,S △MNB=12
×(2﹣t )×2t=﹣t 2+2t ,把解析式化为顶点式,根据二次函数的性质即可得△MNB 最大面积;此时点M 在D 点,点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处.
【详解】
解:(1)把A (1,0)和C (0,3)代入y=x 2+bx+c ,
103b c c ++=⎧⎨=⎩
解得:b=﹣4,c=3,
∴二次函数的表达式为:y=x 2﹣4x+3;
(2)令y=0,则x 2﹣4x+3=0,
解得:x=1或x=3,
∴B(3,0),
∴BC=32,
点P在y轴上,当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论:如图1,
①当CP=CB时,PC=32,∴OP=OC+PC=3+32或OP=PC﹣OC=32﹣3
∴P1(0,3+32),P2(0,3﹣32);
②当PB=PC时,OP=OB=3,
∴P3(0,-3);
③当BP=BC时,
∵OC=OB=3
∴此时P与O重合,
∴P4(0,0);
综上所述,点P的坐标为:(0,3+32)或(0,3﹣32)或(﹣3,0)或(0,0);
(3)如图2,设AM=t,由AB=2,得BM=2﹣t,则DN=2t,
∴S△MNB=1
×(2﹣t)×2t=﹣t2+2t=﹣(t﹣1)2+1,
2
当点M出发1秒到达D点时,△MNB面积最大,最大面积是1.此时点N在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处.
2.如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3,
4).以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C.动点P从点A出发,以每秒1
2
个单位的
速度沿线段AD向点D运动,运动时间为t秒.过点P作PE⊥x轴交抛物线于点M,交AC 于点N.
(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;
(2)当t为何值时,△ACM的面积最大?最大值为多少?
(3)点Q从点C出发,以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D运动,当t为何值时,在线段PE上存在点H,使以C、Q、N、H为顶点的四边形为菱形?
【答案】(1)A(1,4);y=-x2+2x+3;(2)当t=2时,△AMC面积的最大值为
1;(3)2085
或20 13
.
【解析】
(1)由矩形的性质得到点A的坐标,由抛物线的顶点为A,设抛物线的解析式为y=a(x -1)2+4,把点C的坐标代入即可求得a的值;
(2)由点P的坐标以及抛物线解析式得到点M的坐标,由A、C的坐标得到直线AC的解析式,进而得到点N的坐标,即可用关于t的式子表示MN,然后根据△ACM的面积是
△AMN和△CMN的面积和列出用t表示的△ACM的面积,利用二次函数的性质即可得到当t=2时,△AMC面积的最大值为1;
(3)①当点H在N点上方时,由PN=CQ,PN∥CQ,得到四边形PNCQ为平行四边形,所以当PQ=CQ时,四边形FECQ为菱形,据此得到,解得t值;
②当点H在N点下方时,NH=CQ=,NQ=CQ时,四边形NHCQ为菱形,NQ2=CQ2,得:
,解得t值.
解:(1)由矩形的性质可得点A(1,4),
∵抛物线的顶点为A,
设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+4,
代入点C(3, 0),可得a=-1.
∴y =-(x -1)2+4=-x 2+2x +3.
(2)∵P (112t +,4), 将112x t =+
代入抛物线的解析式,y =-(x -1)2+4=2144t -, ∴M (112t +,2144
t -), 设直线AC 的解析式为,
将A (1,4),C (3,0)代入
,得:, 将112x t =+
代入得, ∴N (112t +
,), ∴MN
, ∴, ∴当t =2时,△A MC 面积的最大值为1.
(3)①如图1,当点H在N点上方时,
∵N(112t +,),P (112
t +,4), ∴P N=4—(
)==CQ ,
又∵PN ∥CQ , ∴四边形PNCQ 为平行四边形,
∴当PQ =CQ 时,四边形FECQ 为菱形,
PQ 2=PD 2+DQ 2 =
,
∴, 整理,得240800t t -+=.解得12085t =-,22085t =+(舍去);
②如图2当点H在N点下方时,