数学检测1

第一章综合素质检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题是真命题的是( ) A ．若1x ＝1y，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝y D ．若x <y ，则x 2<y 2[答案] A[解析] 相应选项中的式子为等式或不等式，通过取特殊值判断命题是假命题．当x ＝－1时，B 是假命题；当x ＝y ＝－1时，C 是假命题；当x ＝－2，y ＝－1时，D 是假命题．易知A 是真命题．2．设a ∈R ，则“a >1”是“1a<1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析]a >1⇒1a <1，1a<1⇒/a >1，故选A.3．“若a ⊥α，则a 垂直于α内任一条直线”是( ) A ．全称命题 B ．特称命题 C ．不是命题 D ．假命题[答案] A[解析] 命题中含有全称量词，故为全称命题，且是真命题． 4．“B ＝60°”是“△ABC 三个内角A 、B 、C 成等差数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．充要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 在△ABC 中，若B ＝60°，则A ＋C ＝120°， ∴2B ＝A ＋C ，则A 、B 、C 成等差数列；若三个内角A、B、C成等差，则2B＝A＋C，又A＋B＋C＝180°，∴3B＝180°，B＝60°.5．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析]由“m＝2”可知A＝{1,4}，B＝{2,4}，所以可以推得A∩B＝{4}，反之，如果“A∩B＝{4}”可以推得m2＝4，解得m＝2或－2，不能推得m＝2，所以“m＝2”是“A∩B ＝{4}”的充分不必要条件．6．(2014·某某理，5)设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是( ) A．p或q B．p且qC．(¬p)且(¬q) D．p或(¬q)[答案] A[解析]取a＝c＝(1,0)，b＝(0,1)知，a·b＝0，b·c＝0，但a·c≠0，∴命题p为假命题；∵a∥b，b∥c，∴∃λ，μ∈R，使a＝λb，b＝μc，∴a＝λμc，∴a∥c，∴命题q是真命题．∴p或q为真命题．7．有下列四个命题①“若b＝3，则b2＝9”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若c≤1，则x2＋2x＋c＝0有实根”；④“若A∪B＝A，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4[答案] A[解析]“若b＝3，则b2＝9”的逆命题：“若b2＝9，则b＝3”，假；“全等三角形的面积相等”的否命题是：“不全等的三角形，面积不相等”，假；若c≤1，则方程x2＋2x＋c＝0中，Δ＝4－4c＝4(1－c)≥0，故方程有实根；“若A∪B＝A，则A⊆B”为假，故其逆否命题为假．8．已知实数a >1，命题p ：函数y ＝log 12(x 2＋2x ＋a )的定义域为R ，命题q ：x 2<1是x <a的充分不必要条件，则( )A ．p 或q 为真命题B ．p 且q 为假命题C ．¬p 且q 为真命题D ．¬p 或¬q 为真命题[答案] A[解析]∵a >1，∴Δ＝4－4a <0，∴x 2＋2x ＋a >0恒成立，∴p 为真命题；由x 2<1得－1<x <1，∴－1<x <1时，x <a 成立，但x <a 时，－1<x <1不一定成立，∴q 为真命题，从而A 正确．9．“a ＝－1”是方程“a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0”表示圆的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 [答案] C[解析] 当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2－2x －1＝0， 即(x －1)2＋y 2＝2表示圆，若a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a ＋2≠02a 2－4a 3>0，解得a ＝－1，故选C.10．已知命题p ：存在x 0∈R ，使mx 20＋1≤1；命题q ：对任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0.若p ∨(¬q )为假命题，则实数m 的取值X 围是( )A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)B ．(0,2]C ．[0,2]D ．R[答案] B[解析] 对于命题p ，由mx 2＋1≤1，得mx 2≤0，若p 为真命题，则m ≤0，若p 为假命题，则m >0；对于命题q ，对任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若命题q 为真命题，则m 2－4≤0，即－2≤m ≤2，若命题q 为假命题，则m <－2或m >2.因为p ∨(¬q )为假命题，所以命题p 为假命题且命题q 为真命题，则有⎩⎪⎨⎪⎧m >0－2≤m ≤2，得0<m ≤2.故选B.二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上) 11．命题：“在平面直角坐标系中，若直线l 1垂直于直线l 2，则它们的斜率之积为－1”的逆命题为________________________．[答案] 在平面直角坐标系中，若直线l 1与直线l 2的斜率之积为－1，则这两条直线互相垂直12．存在实数x 0，y 0，使得2x 20＋3y 20≤0，用符号“∀”或“∃”可表示为____________，其否定为________________．[答案]∃x 0，y 0∈R,2x 20＋3y 20≤0 ∀x ，y ∈R,2x 2＋3y 2>013．在平面直角坐标系中，点(2m ＋3－m 2，2m －32－m )在第四象限的充要条件是________．[答案] －1<m <32或2<m <3[解析] 点(2m ＋3－m 2，2m －32－m )在第四象限⇔⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋3－m 2>02m －32－m <0⇔－1<m <32或2<m <3.14．给出下列四个命题： ①∀x ∈R ，x 2＋2x >4x －3均成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，故x >1；③命题“若a >b >0，且c <0，则c a >c b”的逆否命题是真命题；④“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0互相垂直”的充分不必要条件． 其中正确的命题为________(只填正确命题的序号)． [答案]①②③[解析]①中，x 2＋2x >4x －3⇔x 2－2x ＋3>0⇔(x －1)2＋2>0，故①正确．②中，显然x ≠1且x >0，若0<x <1，则log 2x <0，log x 2<0，从而log 2x ＋log x 2<0，与已知矛盾，故x >1，故②正确③中，命题“若a >b >0，且c <0，则c a >c b”为真命题，故其逆否命题是真命题，∴③正确． ④“a ＝1”是直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0互相垂直的充要条件，故④不正确． 15．在下列所示电路图中，闭合开关A 是灯泡B 亮的什么条件：(1)如图①所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的______条件； (2)如图②所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的______条件； (3)如图③所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的______条件； (4)如图④所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的______条件． [答案] 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要[解析] (1)A 闭合，B 亮；而B 亮时，A 不一定闭合，故A 是B 的充分不必要条件．(2)A 闭合，B 不一定亮；而B 亮，A 必须闭合，故A 是B 的必要不充分条件．(3)A 闭合，B 亮；而B 亮，A 必闭合，所以A 是B 的充要条件．(4)A 闭合，B 不一定亮；而B 亮，A 不一定闭合，所以A 是B 的既不充分也不必要条件．三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16．写出命题“若x 2＋7x －8＝0，则x ＝－8或x ＝1的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．”[答案] 逆命题：若x ＝－8或x ＝1，则x 2＋7x －8＝0. 逆命题为真．否命题：若x 2＋7x －8≠0，则x ≠－8且x ≠1. 否命题为真．逆否命题：若x ≠－8且x ≠1，则x 2＋7x －8≠0. 逆否命题为真．17．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假． (1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除； (3)∀x ∈{x |x >0}，x ＋1x≥2；(4)∃x 0∈Z ，log 2x 0>2.[答案] (1)(3)是全称命题，(2)(4)是特称命题，都是真命题[解析] (1)本题隐含了全称量词“所有的”，其实命题应为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，真命题． (3)命题中含有全称量词“∀”，是全称命题，真命题． (4)命题中含有存在量词“∃”，是特称命题，真命题． 18．指出下列各题中，p 是q 的什么条件． (1)p ：(x －2)(x －3)＝0，q ：x －2＝0；(2)p ：四边形的对角线相等；q ：四边形是平行四边形．[答案] (1)p 是q 的必要不充分条件 (2)p 是q 的既不充分也不必要条件[解析] (1)p 是q 的必要不充分条件．这是因为：若(x －2)(x －3)＝0，则x －2＝0或x －3＝0，即(x －2)(x －3)＝0⇒/x －2＝0，而由x －2＝0可以推出(x －2)(x －3)＝0.(2)p 是q 的既不充分也不必要条件．这是因为：四边形的对角线相等⇒/四边形为平行四边形；反之，四边形是平行四边形⇒/四边形的对角线相等．19．对于下列命题p ，写出¬p 的命题形式，并判断¬p 命题的真假：(1)p ：91∈(A ∩B )(其中全集U ＝N *，A ＝{x |x 是质数}，B ＝{x |x 是正奇数})； (2)p ：有一个素数是偶数； (3)p ：任意正整数都是质数或合数； (4)p ：一个三角形有且仅有一个外接圆． [答案] (1)(2)(4)¬p 为假命题 (3)¬p 为真命题 [解析] (1)¬p ：91∉A 或91∉B ；假命题． (2)¬p ：所有素数都不是偶数；假命题．(3)¬p ：存在一个正整数不是质数且不是合数；真命题．(4)¬p ：存在一个三角形至少有两个外接圆或没有外接圆；假命题．20．已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若¬p 是¬q 的充分而不必要条件，某某数m 的取值X 围．[答案] [2,4][解析] 由题意p ：－2≤x －3≤2，∴1≤x ≤5. ∴¬p ：x <1或x >5.q ：m －1≤x ≤m ＋1，∴¬q ：x <m －1或x >m ＋1.又∵¬p 是¬q 的充分而不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥1m ＋1≤5，∴2≤m ≤4.经检验m ＝2，m ＝4适合条件，即实数m 的取值X 围为2≤m ≤4. ∴m 的取值X 围为[2,4]．21．(2014·马某某二中期中)设命题p ：f (x )＝2x －m在区间(1，＋∞)上是减函数；命题q ：x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个实根，且不等式m 2＋5m －3≥|x 1－x 2|对任意的实数a ∈[－1,1]恒成立，若(¬p )且q 为真，试某某数m 的取值X 围．[答案]m >1[解析] 对命题p ：x －m ≠0，又x ∈(1，＋∞)，故m ≤1， 对命题q ：|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝a 2＋8对a ∈[－1,1]有a 2＋8≤3，∴m 2＋5m －3≥3⇒m ≥1或m ≤－6. 若(¬p )且q 为真，则p 假q 真，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >1，m ≥1或m ≤－6，∴m >1.。

））它们相差）。

）。

），最小的是11.一个四位数，它的最高位上的数是6，个位上是最大的一位数，其余各位都是0，这个数是（）。

12. 5050中，从左边数的第一个5表示（），第二个5表示（）。

13. 写出3998后面的第三个数是（）、14.算盘里一个上珠表示（）。

15.在算式30÷5=6中，被除数是（），商是（）。

16.有20朵鲜花，每5朵插入一个花瓶里，需要( )个花瓶。

17. 在（）×7＜36中，括号里最大可以填几。

18.按规律接着填数：980、985、990、（）、（）、10005. 三．判断题。

（对的打“√”，错的打“×”。

每题1分，共5分）1. 电风扇的转动是旋转现象。

（）2. 读8090时，要读出2个0. （）3. 计算4＋3×2时，先算加法再算乘法。

（）4. 四位数一定比三位数大。

（）5. 24÷8=3读作24除8等于3. （）四．选择题。

（把正确答案的序号填在括号里。

每题2分，共10分）1. 下面各数一个0都不需要读出来的数是（）A．5007 B. 6090 C.90002. 把20－15=5、 5×6=30这两个算式合并成一个综合算式正确的是（）A.20－15×6B. 5×6－20C.（20－15）×6按规律往后画，第24图形应画（）A. B. C.4.小红、小芳和小兰进行跳绳比赛，她们跳了100、112、135下，小红“我刚好跳到100下”。

小兰跳了（）说：“我跳的不是最高”。

小芳说：下。

A.100B.112C.1355.把3298、4326、2983从小到大排列正确的是（）。

A. 2983＜3298＜4326B.2983＜4326＜3298C. 3298＜2983＜4326五．计算题。

（共28分）1.直接写出得数。

（每题1分，共8分）68－32≈ 24÷6= 5×5= 8+53=372+29≈ 90＋70= 1600-700= 9000-8000=2.用竖式计算下列各题。

第一章章末检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4)关于x轴的对称点的坐标是( )A．(－2，－1，－4)B．(－2，1，－4)C．(2，－1，4)D．(2，1，－4)【答案】A　【解析】关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标和竖坐标相反．故选A．2．已知a＝(1，2，－y)，b＝(x，1，2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则( )A．x＝，y＝1B．x＝，y＝－4C．x＝2，y＝－D．x＝1，y＝－1【答案】B　【解析】由题意可得，a＋2b＝(1＋2x，4，4－y)，2a－b＝(2－x，3，－2y－2)．∵(a＋2b)∥(2a－b)，∴∃λ∈R，使a＋2b＝λ(2a－b)，得解得故选B．3．已知空间三点O(0，0，0)，A(－1，1，0)，B(0，1，1)，在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为( )A．(－2，2，0)B．(2，－2，0)C．D．【答案】C　【解析】由OA＝(－1，1，0)，且点H在直线OA上，可设H(－λ，λ，0)，则BH＝(－λ，λ－1，－1)．又因为BH⊥OA，所以BH·OA＝0，即(－λ，λ－1，－1)·(－1，1，0)＝0，即λ＋λ－1＝0，解得λ＝，所以H．4．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量AB1，AD1，BD是( )A．有相同起点的向量B．等长的向量C．不共面向量D．共面向量【答案】D　【解析】因为AD1－AB1＝B1D1＝BD，所以AB1，AD1，BD共面．5．已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是( )A．B．C．D．【答案】C　【解析】以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则A(1，0，0)，E，F，D1(0，0，1)，所以AD1＝(－1，0，1)，AE＝．设平面AEFD1的法向量n＝(x，y，z)，则即所以x＝2y＝z．取y＝1，则n＝(2，1，2)．而平面ABCD的一个法向量u＝(0，0，1)，因为cos〈n，u〉＝，所以sin〈n，u〉＝．6．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1．若EF＝xAB＋yAD＋zAA1，则x＋y＋z＝( )A．－1B．0C．D．1【答案】C　【解析】因为EF＝AF－AE＝AD＋DF－(AB＋BE)＝AD＋DD1－AB－BB1＝－AB＋AD＋AA1，所以x＝－1，y＝1，z＝，所以x＋y＋z＝．7．在以下命题中，不正确的个数为( )①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP＝2OA－2OB－OC，则P，A，B，C四点共面；④若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底；⑤|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|．A．5B．4C．3D．2【答案】B　【解析】①|a|－|b|＝|a＋b|⇒a与b的夹角为π，故是充分不必要条件，故不正确；②b需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由基底的定义知，正确；⑤由向量的数量积的性质知，不正确．8．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为( )A．B．C．D．【答案】C　【解析】如图，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，2)，D，E，F，所以PA＝(0，0，－2)，DE＝，DF＝．设n＝(x，y，z)是平面DEF的法向量，由得取x＝2，则z＝1，y＝0，所以n＝(2，0，1)是平面DEF的一个法向量．设直线PA与平面DEF所成的角为θ，所以sinθ＝|cos〈PA，n〉|＝＝．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列各选项中，不正确的是( )A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB＋BC＋CD＋DA＝0B．对于非零向量a，b，〈a，b〉与〈a，－b〉相等C．若AB，CD共线，则AB∥CDD．对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面【答案】BCD　【解析】显然A正确；若a，b为非零向量，则〈a，b〉与〈a，－b〉互补，故B错误；若AB，CD共线，则直线AB，CD可能重合，故C错误；只有当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点才共面，故D错误．10．若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式的结果为零向量的是( )A．AB＋2BC＋2CD＋DC B．2AB＋2BC＋3CD＋3DA＋ACC．AB＋CA＋BD D．AB－CB＋CD－AD【答案】BD　【解析】A中，原式＝AB＋2BD＋DC＝AB＋BD＋BD＋DC＝AD＋BC，不符合题意；B中，原式＝2(AB＋BC＋CD＋DA)＋(AC＋CD＋DA)＝0；C中，原式＝CD，不符合题意；D中，原式＝(AB－AD)＋(CD－CB)＝0．11．已知正方体ABCD－A′B′C′D′的中心为O，则在下列各结论中正确的有( )A．OA＋OD与OB′＋OC′是一对相反向量B．OB－OC与OA′－OD′是一对相反向量C．OA＋OB＋OC＋OD与OA′＋OB′＋OC′＋OD′是一对相反向量D．OA′－OA与OC－OC′是一对相反向量【答案】ACD　【解析】如图，A中，OA＝－OC′，OD＝－OB′，所以OA＋OD＝－(OB′＋OC′)，是一对相反向量；B中，OB－OC＝CB，OA′－OD′＝D′A′，而CB＝D′A′，故不是相反向量；C中，同A也是正确的；D中，OA′－OA＝AA′，OC－OC′＝C′C＝－AA′，是一对相反向量．12．如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD为矩形，CD＝2，点Q是PD的中点，则下列结论正确的是( )A．CQ⊥平面PADB．PC与平面AQC所成角的余弦值为C．三棱锥B－ACQ的体积为6D．四棱锥Q－ABCD外接球的内接正四面体的表面积为24【解析】取AD的中点O，BC的中点E，连接OE，OP，因为三角形PAD为等边三角形，所以OP⊥AD．因为平面PAD⊥平面ABCD，所以OP⊥平面ABCD．因为AD⊥OE，所以OD，OE，OP两两垂直，如图，以O为坐标原点，OD，OE，OP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则O(0，0，0)，D(，0，0)，A(－，0，0)，P(0，0，3)，C(，2，0)，B(－，2，0)．因为点Q是PD的中点，所以Q，平面PAD的一个法向量m＝(0，1，0)，QC＝，显然m 与QC不共线，所以CQ与平面PAD不垂直，所以A不正确；PC＝(，2，－3)，AQ ＝，AC＝(2，2，0)，设平面AQC的法向量n＝(x，y，z)，则令x＝1，则y＝－，z＝－，所以n＝(1，－，－)，设PC与平面AQC所成角为θ，则sinθ＝＝＝，所以cosθ＝，所以B正确；三棱锥B－ACQ的体积为V B－ACQ＝V Q－ABC＝S△ABC·OP＝××2×2××3＝6，所以C不正确；设四棱锥Q－ABCD外接球的球心为M(0，，a)，则MQ＝MD，故＋()2＋＝＋＋a2，解得a＝0，即M(0，，0)为矩形ABCD对角线的交点，所以四棱锥Q－ABCD外接球的半径为3，设四棱锥Q－ABCD外接球的内接正四面体的棱长为x，将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，故正方体的棱长为x，所以3＝62，得x2＝24，所以正四面体的表面积为4×x2＝24，所以D正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2021年潮州模拟)由空间向量a＝(1，2，3)，b＝(1，－1，1)构成向量集合A＝{x|x＝a＋k b，k∈Z}，则向量x的模|x|的最小值为________．【答案】　【解析】因为a＝(1，2，3)，b＝(1，－1，1)，所以x＝a＋k b＝(1＋k，2－k，3＋k)，所以|x|＝＝＝．因为k∈Z，所以k＝－1时，|x|的值最小，最小值为．14．下列命题：①已知λ∈R，则|λa|＝λ|a|；②在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BC＝B1C1；③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．其中正确的命题的序号是________．【解析】①|λa|＝|λ||a|，故①错误；②正确；③若两个平面垂直，则它们的法向量一定垂直，若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直，故③正确．15．如图，设O为▱ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若AE＝OD＋xOB＋yOA，则x＋y＝________．【答案】－1　【解析】AE＝OE－OA＝OC－OA＝(OB＋BC)－OA＝(OB＋AD)－OA＝(OB＋OD －OA)－OA＝－OA＋OB＋OD，所以x＝，y＝－．所以x＋y＝－1．16．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动，则直线D1E与A1D所成角的大小是________；若D1E⊥EC，则AE＝________．【答案】90°　1　【解析】在长方体ABCD－A1B1C1D1中，如图，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，又因为AD＝AA1＝1，AB＝2，则D(0，0，0)，D1(0，0，1), A(1，0，0)，A1(1，0，1)，C(0，2，0)，设E(1，m，0)，0≤m≤2，则D1E＝(1，m，－1)，A1D＝(－1，0，－1)，所以D1E·A1D＝－1＋0＋1＝0，所以直线D1E与A1D所成角的大小是90°．因为D1E＝(1，m，－1)，EC＝(－1，2－m，0)，D1E⊥EC, 所以D1E·EC＝－1＋m(2－m)＋0＝0，解得m＝1，所以AE＝1．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知向量a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2)．(1)求|2a＋b|；(2)在直线AB上是否存在一点E，使得OE⊥b(O为原点)?解：(1)因为a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，所以2a＋b＝(0，－5，5)．所以|2a＋b|＝＝5．(2)假设存在点E，其坐标为E(x，y，z)，则AE＝λAB，即(x＋3，y＋1，z－4)＝λ(1，－1，－2)，所以所以E(λ－3，－λ－1，－2λ＋4)，所以OE＝(λ－3，－λ－1，－2λ＋4)．又因为b＝(－2，1，1)，OE⊥b，所以OE·b＝－2(λ－3)＋(－λ－1)＋(－2λ＋4)＝－5λ＋9＝0，所以λ＝，所以E．所以在直线AB上存在点E，使OE⊥b．18．(12分)已知空间三点A(1，2，3)，B(2，－1，5)，C(3，2，－5)，试求：(1)△ABC的面积；(2)△ABC的AB边上的高．解：(1)AB＝(2，－1，5)－(1，2，3)＝(1，－3，2)，AC＝(3，2，－5)－(1，2，3)＝(2，0，－8)，AB·AC＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，|AB|＝，|AC|＝2，cos〈AB，AC〉＝＝－，sin〈AB，AC〉＝，S△ABC＝|AB|·|AC|sin〈AB，AC〉＝×2×＝3．(2)|AB|＝，设AB边上的高为h，则|AB|·h＝S△ABC＝3，所以h＝3．19．(12分)如图，在三棱锥S－ABC中，侧面SAC与底面ABC垂直，E，O分别是SC，AC的中点，且SA＝SC＝，BC＝AC，∠ASC＝∠ACB＝90°．(1)求证：OE∥平面SAB；(2)若点F在线段BC上，问：无论点F在BC的何处，是否都有OE⊥SF？请证明你的结论．(1)证明：因为E，O分别是SC，AC的中点，所以OE∥SA．又因为OE⊄平面SAB，SA⊂平面SAB，所以OE∥平面SAB．(2)解：方法一，在△SAC中，因为OE∥AS，∠ASC＝90°，所以OE⊥SC．又因为平面SAC⊥平面ABC，∠BCA＝90°，BC⊂平面SAC，所以BC⊥平面SAC．又因为OE⊂平面SAC，所以BC⊥OE．因为SC∩BC＝C，所以OE⊥平面BSC．又因为SF⊂平面BSC，所以OE⊥SF．所以无论点F在BC的何处，都有OE⊥SF．方法二，连接SO．因为O是AC的中点，SA＝SC，所以SO⊥AC．又因为平面SAC⊥平面ABC，所以SO⊥平面ABC．同理可得BC⊥平面SAC．如图，在平面ABC内，过点O作OM⊥AC，以O为原点，OM，OC，OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则点O(0，0，0)，A(0，－1，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，S(0，0，1)，E，OE＝．由于点F∈BC，故可设点F(x，1，0)，则SF＝(x，1，－1)，SF·OE＝0恒成立，所以无论点F在BC的何处，都有OE⊥SF．20．(12分)在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，∠ABC＝90°，如图1把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD(如图2)．(1)求证：CD⊥AB．(2)若点M为线段BC的中点，求点M到平面ACD的距离．(3)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．(1)证明：由已知条件可得BD＝2，CD＝2，CD⊥BD．因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD．又因为AB⊂平面ABD，所以CD⊥AB．(2)解：如图，以点D为原点，DB所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，由已知可得A(1，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，M(1，1，0)，所以CD＝(0，－2，0)，AD＝(－1，0，－1)，MC＝(－1，1，0)．设平面ACD的法向量n＝(x，y，z)，则CD⊥n，AD⊥n，所以令x＝1，得平面ACD的一个法向量n＝(1，0，－1)，所以点M到平面ACD的距离d＝＝．(3)解：假设在线段BC上存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°，设BN＝λBC，0≤λ≤1，则N(2－2λ，2λ，0)，所以AN＝(1－2λ，2λ，－1)．又因为平面ACD 的一个法向量n＝(1，0，－1)，且直线AN与平面ACD所成角为60°，所以sin60°＝＝，可得8λ2＋2λ－1＝0，所以λ＝或λ＝－(舍去)．综上，在线段BC上存在点N，使AN与平面ACD所成角为60°，此时＝．21．(12分)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠A为直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝2．(1)求线段BC1的长度；(2)求异面直线BC1与DC所成角的余弦值．解：(1)以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，B(2，4，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，所以DC＝(0，2，0)，BC1＝(－2，－2，2)，|DC|＝2，|BC1|＝＝2．(2)由(1)可知，DC＝(0，2，0)，BC1＝(－2，－2，2)，所以cos〈DC，BC1〉＝＝＝＝－．所以异面直线BC1与DC所成的角的余弦值为．22．(12分)如图，在圆锥PO中，已知PO＝，⊙O的直径AB＝2，C是AB的中点，D为AC的中点．(1)求证：平面POD⊥平面PAC；(2)求二面角B－PA－C的余弦值．解：如图，以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则O(0，0，0)，A(－1，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，)，D．(1)证明：设n1＝(x1，y1，z1)是平面POD的一个法向量，则由n1·OD＝0，n1·OP＝0，得所以z1＝0，x1＝y1，取y1＝1，得n1＝(1，1，0)．设n2＝(x2，y2，z2)是平面PAC的一个法向量，则由n2·PA＝0，n2·PC＝0，得所以x2＝－z2，y2＝z2，取z2＝1，得n2＝(－，，1)．因为n1·n2＝(1，1，0)·(－，，1)＝0，所以n1⊥n2，从而平面POD⊥平面PAC．(2)因为y轴⊥平面PAB，所以平面PAB的一个法向量n3＝(0，1，0)．由(1)知，平面PAC的一个法向量n2＝(－，，1)．设向量n2和n3的夹角为θ，则cosθ＝＝＝．由图可知，二面角B－PA－C的平面角为锐角，所以二面角B－PA－C的余弦值为．11。

一年级数学检测卷一、数与代数。

1. 数字的认识。

- 0 - 10各数的读写：像1像铅笔细又长，2像小鸭水上漂等形象记忆法。

练习书写数字，注意书写的规范，如数字在田字格中的位置。

- 数的顺序：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10的顺序要牢记，可以通过数轴来直观理解数的大小顺序，前面的数比后面的数小。

- 数的大小比较：例如3和5比较，通过数小棒或者数手指头的方式，知道3小于5，5大于3。

2. 加减法。

- 加法的意义：把两个数合起来用加法，如2 + 3 = 5，表示2个物体和3个物体合起来是5个物体。

- 减法的意义：从一个数里去掉一部分求剩下的部分用减法，如5 - 2 = 3，表示5个物体去掉2个物体还剩下3个物体。

- 10以内加减法的计算：可以通过数的组成来计算，如3和2组成5，所以3+2 = 5；5可以分成3和2，所以5 - 3 = 2。

- 简单的加减法应用题：如树上有3只鸟，又飞来了2只鸟，树上一共有几只鸟？（用加法）；盘子里有5个苹果，吃了2个，还剩几个苹果？（用减法）二、图形与几何。

1. 认识图形。

- 立体图形：认识长方体、正方体、圆柱和球。

长方体有6个面，相对的面一样大；正方体6个面都一样大；圆柱上下两个底面是一样大的圆，侧面是曲面；球是圆圆的，可以滚动。

- 平面图形：认识长方形、正方形、三角形和圆。

长方形有4条边，对边相等；正方形4条边都相等；三角形有3条边；圆是弯弯的，没有角。

2. 图形的拼搭。

- 用立体图形进行拼搭，如用几个小正方体可以拼成一个大正方体或者长方体。

- 用平面图形进行拼搭，如用两个三角形可以拼成一个长方形（特殊情况）等。

三、分类与整理。

1. 分类的标准。

- 根据物体的形状、颜色、用途等不同标准进行分类。

例如把一堆玩具按照是毛绒玩具还是塑料玩具分类，或者按照颜色红、蓝、绿分类。

2. 简单的统计。

- 对分类后的物体进行简单的数量统计，如红色的玩具车有3辆，蓝色的玩具车有2辆等，可以用简单的表格或者画图（如画圆圈表示数量）的方式来记录。