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分形和混沌的基本概念和应用在科学和数学领域中，分形和混沌是两个非常重要的概念。
它们不仅有着丰富的理论内涵，而且在实际应用中也有着广泛的用途。
本文旨在介绍分形和混沌的基本概念、性质以及其应用领域。
一、分形的基本概念和性质分形最初是由法国数学家Mandelbrot所提出的。
分形，定义简单点来说，就是在各种尺度下都表现出相似性的图形。
比如说，我们在放大树叶时，会发现树叶的分支和小结构上会有许多特征，在不断放大过程中，树叶上的分支和结构会产生类似于整个树叶的结构。
这个例子就是分形学的一个典型例子。
分形的最重要的特性是自相似性和不规则性。
自相似性是指，在分形中，任意一部分都与整个结构相似，这种相似性具有尺度不变性，即不会因为放大或缩小而改变。
不规则性是指，分形的形状十分奇特，与传统的几何图形相比，分形形状复杂多变，没有任何几何规律可循。
分形广泛用于科学研究、艺术美学、计算机图像处理等领域。
在生物学、地震学、天文学中也有广泛应用。
例如，在生物学中，许多生物组织和器官都具有分形结构，如肺组织、血管系统、神经元等。
利用分形理论可以更好地研究这些生物结构的形态和发展规律。
此外，在土地利用和城市规划领域，也可以应用分形理论来研究城市建筑的空间结构和空间分布规律。
二、混沌的基本概念和性质混沌又称为非线性动力学。
混沌指的是用微观因素推算出宏观效应的过程，该过程结果不可预测，但随着时间的推移，能够生成复杂、有规律的系统。
混沌体系可用方程式表示出来，但由于该方程式是个非线性方程式，所以其结果会随这方程式微小变化而产生巨大的差异。
混沌具有以下几个突出的性质：灵敏依赖于初始条件，长期不稳定，难以预测和控制。
混沌理论可以用于预测经济和金融领域中出现的一些紊乱现象，如股市波动。
混沌最初应用在天文学领域，例如研究太阳系中行星之间的轨道。
这些轨道不像我们所想的那样规律。
然而，混沌的发现不仅在天文学领域中应用，也在许多其它领域解决一些不规则的问题。
动力系统理论中的混沌与分形混沌与分形是动力系统理论中的两个重要概念，它们在探索非线性系统行为和描述自然界的复杂性方面发挥着关键作用。
本文将从混沌与分形的基本原理、实际应用以及研究方向等多个角度来探讨这两个重要的理论概念。
一、混沌混沌是指在动力系统中，即使系统的运动规律是确定的，但其行为却表现出极端敏感的特性，即微小的初始条件改变会导致系统演化出完全不同的轨迹。
混沌理论的起源可以追溯到20世纪60年代，当时Lorenz通过研究大气环流模型，意外地发现了这一现象，这也被称为“蝴蝶效应”。
混沌现象的数学描述是通过非线性动力学方程实现的，例如著名的洛伦兹方程和Logistic映射等。
混沌行为的特点是演化过程不断变化，但却不失稳定性。
这种看似矛盾的特性给动力系统理论的研究带来了很大的挑战和启示。
混沌理论的实际应用非常广泛。
在天气和气候预测、金融市场、生态系统、心脏疾病等领域，混沌理论都发挥着重要作用。
通过混沌理论，我们能够更好地理解和预测这些复杂系统中的行为，为实际问题的解决提供了新的思路和方法。
目前，混沌理论仍然是一个活跃的研究领域。
研究人员致力于发展更精确的混沌理论模型，深入探究混沌行为的内在规律，以及在实际应用中的更多可能性。
二、分形分形是指具有自相似性和尺度不变性的几何形状。
与传统几何学中定义的规则形状不同，分形具有复杂的结构和非整数维度。
分形理论最早由Mandelbrot提出，并得到了广泛的应用。
分形的自相似性意味着它的一部分与整体具有相似的结构，这种特性使得分形能够用于描述自然界中许多复杂的形状，如云朵、树枝、河流等。
分形的尺度不变性意味着它在不同的比例下具有相似的结构，这也是分形与传统几何形状的显著区别。
分形理论在各个领域有着广泛的应用。
在计算机图形学中，分形可以用于生成自然风景和仿真自然材料的纹理。
在金融市场中，分形理论可以用于预测和分析股票价格的波动。
在生物学中，分形可以用于描述复杂的生物结构，如血管网络和肺泡等。
混沌理论与形态设计实践董轩【摘要】混沌科学是研究混沌运动、致力于发现这些背后隐藏的模式和细微差别的一门新学科,它揭示了世界的有序性、自相似性和普适性等特征.混沌理论在艺术形态设计领域具有广泛的应用性.将混沌理论引入形态设计,通过对自然混沌形态内在构型规律的探索,可以使设计师认识自然形态的发展规律;通过将自然形态内在构型规律应用于抽象形态的构型中,进而创造更多新的美的形态,最终为形态设计提供系统、科学的形态设计思维方法.【期刊名称】《浙江科技学院学报》【年(卷),期】2011(023)003【总页数】4页(P207-209,243)【关键词】混沌理论;形态设计;设计实践【作者】董轩【作者单位】浙江科技学院建筑工程学院,杭州310023【正文语种】中文【中图分类】TU-80;J0-03混沌原意指混乱、没有规律性的事物或现象,科学家将混沌定义为貌似随机的事件背后却存在着内在的联系,是蕴含着有序运动的无序运动状态。
混沌科学就是研究混沌运动并致力于发现这些背后隐藏的模式和细微差别的一门新学科。
混沌学概念是1975年由中国学者李天岩和美国数学家约克在《美国数学月刊》上发表的题为《周期3蕴含混沌》的著名论文中正式提出的[1]。
随着对混沌理论的认识,混沌理论在艺术形态设计如建筑设计、城市规划设计、景观设计、室内设计、图形图案设计、家具设计等领域中的应用也初露端倪。
混沌学研究的目的是对物质世界运动规律的认识,这对艺术学学科规律研究具有极大的促进作用。
混沌理论在艺术形态设计中的应用研究始于20世纪80年代,1980年曼德尔布诺特(Mandlbrot)用计算机绘出了第一张曼氏集的图像,混沌图像也因此成为极精致的艺术品,并一度风靡世界。
在国内,对混沌理论在设计中的研究更多集中于分形艺术,研究领域多见于建筑学及平面图案设计研究。
相关方面的研究论文在建筑学方面如黄献明的《复杂性科学与建筑的复杂性研究》[2]、冒亚龙的《一种理性的建筑设计与评价视角——应用分形的建筑设计尝试》[3],均从分形艺术角度论述了建筑设计实践的应用;在图形与图案方面的代表论文如王小铭的《分形图案的构图艺术及其计算机实现》[4],陈有卿的《分形艺术与服装面料图案设计》[5],李海林、柳炳祥等的《分形图案及其在陶瓷中的应用》,分别论述了分形艺术图案的创作及其在服装、陶瓷图案设计上的应用[6]。
非线性动力学混沌和分形非线性动力学是研究非线性系统行为的学科，其中混沌和分形是两个重要的概念。
本文将从混沌和分形的定义、产生原因以及在自然界和科学领域的应用等方面，探讨非线性动力学中的混沌和分形现象。
一、混沌的定义和产生原因混沌是指在非线性系统中表现出的随机、不可预测的行为。
它与线性系统中稳定、可预测的行为形成对比。
混沌的产生是由于非线性系统的敏感依赖性和非周期性。
非线性系统中存在着参数的微小变化对系统行为的剧烈改变的敏感依赖性。
也就是说，微小的输入扰动会在系统中产生指数级的放大效应，导致系统行为出现不可预测的、随机的演化轨迹。
非周期性是混沌的另一个重要特征。
与周期行为不同，混沌系统的演化轨迹不会重复，而是具有无限多的轨迹。
这种非周期性导致了混沌系统的随机性和不可预测性。
二、分形的定义和产生原因分形是指具有自相似性质的几何结构。
这种自相似性是指无论在何种尺度上观察，都能看到相似的图形形态。
分形在数学上可以通过重复迭代、自身放缩等方式来构造。
分形的产生原因与非线性动力学中的迭代过程密切相关。
在迭代过程中，每一次迭代都会根据某种规则对前一次结果进行变换或修改。
这种迭代的特性导致了分形的自相似性质。
三、混沌和分形在自然界中的应用混沌和分形不仅存在于数学和物理领域，也广泛存在于自然界中的各种系统中。
1. 混沌天气模型气象系统是典型的非线性系统，其中存在着许多复杂的变量相互作用。
应用混沌理论来模拟天气系统，可以更好地理解和预测天气变化。
例如，洛伦茨模型是一个典型的混沌系统，通过该模型可以模拟大气环流的混沌行为。
2. 分形地貌自然界中的许多地貌形状具有分形的特征。
例如，河流的分岔结构、山脉的起伏形态都展现了自相似的分形结构。
分形地貌的研究有助于了解地壳运动和地表形态的演化机制。
3. 植物生长模型植物生长是一个既复杂又多变的过程，涉及到生理、环境和遗传等多个因素的交互作用。
应用非线性动力学的方法，可以通过建立植物生长模型，研究植物生长的混沌行为以及其对环境的响应。
第九章混沌与分形混沌学习了牛顿力学后，往往会得到这样一种印象，或产生这样一种信念:物体受力已知的情况下，给定了初始条件，物体以后的运动情况（包括各时刻的位置和速度）。
就完全定了，并且可预测了。
这种认识被称作决定论的可预测性。
验证这种认识的最简单例子是抛体运动。
物体受的重力是已知的，一旦初始条件（抛出点的位置和抛出时速度）给定了，物体此后任何时刻的位置和速度也就决定了。
物体在弹力作用下的运动也是这样，已知的力和初始条件决定了物体的运动。
这两个例子中都可以写出严格的数学运动学方程，即解析解，从而使运动完全可以预测。
牛顿力学的这种决定论的可预测性，其威力曾扩及宇宙天体。
1757年。
哈雷慧星在预定的时间回归，1846年海王星在预言的方位上被发现，都惊人的证明了这种认识。
这样的威力曾使伟大的法国数学家拉普拉斯夸下海口：给定宇宙的初始条件，我们就能预言它的未来。
当今日蚀和月蚀的准确预测，宙宙探测器的成功发射与轨道设计，可以说是在较小范围内实现了拉普拉斯的壮语。
牛顿力学在技术中得到了广泛的成功的应用。
物理教科书中利用典型的例子对牛顿力学进行了定量的严格的讲解。
这些都使得人们对自然现象的决定论的可预测性深信不疑。
但是，这种传统的思想信念在20世纪60年代遇到了严重的挑战。
人门发现由牛顿力学支配的系统，虽然其运动是由外力决定的，但是在一定条件下，却是完全不能预测的。
原来，牛顿力学显示出的决定论的可预测性，只是那些受力和位置或速度有线性关系的系统才具有的。
这样的系统叫线性系统。
牛顿力学严格地成功处理过的系统都是这种线性系统。
对于受力复杂的非线性系统，情况就不同了。
下面通过一个实际例子说明这一点。
决定论的不可预测性。
用畅销名著《混沌——开创一门新科学》的作者格莱克的说法，蝴蝶效应指的是“今天在北京一只蝴蝶拍动一下翅膀，可能下月在纽约引起一场暴风雨。
”下面是几个混沌实例。
1．天体运动的混沌现象前已述及，三体问题，更不要说更多体的问题，不可能有解析解。
分形数学和混沌动力学的应用分形数学和混沌动力学是当代科学中的两个重要分支，这两个科学领域一直在推动人类的科技和社会发展。
其中分形数学是指一种研究自相似和自校正的图形和模式的数学学科，而混沌动力学是研究复杂动态系统的定性和量化性质的数学分支。
在不同领域的应用中，这两个数学工具都有着非常广泛的应用。
一、分形数学的应用1. 绘图艺术分形可以作为一种绘图工具来创造出独特的图案和艺术作品。
利用计算机程序，可以轻松地绘制出各种奇妙的分形图形。
例如，曼德博集合是一种特殊的分形，可以用复数平面上的点作为初始值进行计算，最终得到一个有规律且具有吸引力的图案。
2. 经济学分形在经济学中有着广泛的应用。
某些市场中的价格变化和市场的行为可以通过分形来解释。
例如，股票价格和汇率的变化就具有分形特性。
研究这些分形模型可以帮助分析市场的变化和模式。
3. 生物学在生物学领域，分形被用于研究复杂的生物结构和系统，如血管分布、肺泡结构、心电图和DNA等。
通过分形分析，可以更深入地理解这些复杂系统的特性，并提供新的数据分析工具。
4. 地理学分形学可以用于研究地形地貌。
例如，分形分析可以帮助理解海岸线的弯曲程度和地质的形态，同时还可以用于海浪的形态和多汁沟谷的分形分析。
二、混沌动力学的应用1. 通讯加密混沌现象在通讯加密中被广泛应用。
通过使用混沌序列或流加密算法，可以有效地保护敏感数据的安全。
混沌动力学的特性，如无法预测、高度敏感性和随机性，可以用于建立高强度的加密算法。
2. 生物学混沌动力学的理论应用于生物学领域。
例如，生物钟的行动可以用混沌模型来模拟。
根据生物钟模型的预测，轻微的环境变化可以导致严重的失调。
此外，混沌动力学也用于研究心脏节律和癫痫发作。
3. 经济学混沌理论在经济学研究中也有着重要的应用。
例如，通过混沌模型可以研究金融市场的波动性和变化。
此外，混沌现象在个人财务规划和投资决策中也有广泛的应用。
4. 控制工程混沌现象可以用于设计混沌控制器，这种控制器可以将混沌动力学的随机性转换为稳定奇数。
混沌实验报告混沌实验报告引言：混沌，这个词充满了神秘和魅力，它是一种看似无序却又包含着某种规律的现象。
混沌理论的提出，为我们解开了一些自然界中看似混乱的现象背后隐藏的规律。
为了更好地了解混沌现象，我们进行了一系列混沌实验。
实验一：双摆实验我们首先进行了双摆实验，这是一种经典的混沌系统。
通过调整摆的初始条件，我们观察到了摆的运动呈现出了混沌现象。
在初始条件微小变化的情况下，摆的运动轨迹产生了巨大的差异。
这说明了混沌系统对初始条件的极端敏感性。
实验二：洛伦兹系统实验接下来，我们进行了洛伦兹系统实验。
洛伦兹系统是混沌理论的经典案例之一。
通过调整系统的参数，我们观察到了系统状态的变化。
当参数处于某个特定范围时，系统呈现出混沌状态。
这种混沌状态的特点是系统状态在相空间中呈现出复杂的轨迹，即“蝴蝶效应”。
实验三：分形实验分形是混沌理论的重要组成部分。
我们进行了一系列分形实验，包括分形图形的绘制和分形维度的计算。
通过这些实验，我们发现分形具有自相似性和无穷细节的特点。
无论是在自然界中的山脉、云朵，还是在人造的分形图形中，我们都能够看到这种无穷细节的美妙。
实验四：混沌与控制混沌现象的存在给控制系统设计带来了挑战，但同时也为我们提供了新的思路。
我们进行了一系列混沌与控制相关的实验，探索如何利用混沌现象来设计更有效的控制系统。
通过混沌系统的反馈和调节，我们成功地实现了对系统状态的控制。
结论：通过一系列混沌实验，我们深入了解了混沌现象的特点和规律。
混沌系统对初始条件的敏感性、复杂的轨迹和无穷细节的特点给我们带来了许多启示。
混沌现象不仅存在于自然界中，也可以在人工系统中得到应用。
混沌理论的研究对于我们认识世界的深入，以及在控制系统设计中的创新具有重要意义。
未来，我们将继续深入研究混沌现象，探索更多的应用领域，为科学和技术的发展做出贡献。
参考文献：1. Strogatz, S. H. (2014). Nonlinear dynamics and chaos: with applications to physics, biology, chemistry, and engineering. CRC press.2. Ott, E., Grebogi, C., & Yorke, J. A. (1990). Controlling chaos. Physical review letters, 64(11), 1196-1199.3. Mandelbrot, B. B. (1982). The fractal geometry of nature. WH freeman.。
Matlab中的分形几何和混沌理论技巧随着计算机科学和数学的不断发展，分形几何和混沌理论在许多领域中得到了广泛的应用。
作为一种强大的科学计算工具，Matlab提供了许多实用的技巧，使得分形几何和混沌理论的研究更加简单和高效。
本文将介绍一些在Matlab中使用分形几何和混沌理论的技巧，探索其在数学、物理和工程等领域的应用。
一、分形几何分形几何是一种研究自相似结构和复杂物体的数学理论。
Matlab提供了一系列强大的函数和工具，用于生成和分析分形几何图形。
1. 使用Fractal函数库Matlab中的Fractal函数库提供了许多用于生成各种分形图形的函数。
例如，使用Barnsley函数可以创建分形植物或分形地形图像，使用Mandelbrot函数可以绘制Mandelbrot集合的图像。
这些函数不仅提供了生成图形的算法，还可以通过调整参数来控制图形的细节。
2. 自定义分形函数除了使用现有的函数库，Matlab还允许用户定义自己的分形函数。
通过编写自定义函数，用户可以创建符合特定需求的分形图形。
例如，可以定义一个自相似函数来生成分形树状结构，或者定义一个混沌映射来生成分形图像。
3. 分形几何的应用分形几何在许多领域中具有广泛的应用。
在数学中，分形理论可以用于研究复杂系统和非线性动力学。
在物理学中，分形几何可以解释复杂的自然现象，例如分形天线的电磁波辐射特性。
在工程领域，分形几何可以用于设计具有特定性能的材料结构。
二、混沌理论混沌理论是研究非线性动力学系统中的无序行为的数学理论。
混沌现象具有极高的灵敏度和迅速的演变速度，可以用来描述一些看似随机但又遵循确定性规律的系统。
Matlab提供了一系列用于研究和模拟混沌系统的函数和工具。
1. 混沌映射Matlab中的Chaos函数库提供了许多常见的混沌映射函数，例如Logistic映射、Henon映射和Lorenz映射。
用户可以通过调整参数和初始条件来探索这些混沌映射的行为。
分形与混沌理论在金融市场中的应用一、引言分形与混沌理论源于数学领域，是一种研究自然、社会现象的新方法。
随着计算机技术的快速发展，分形与混沌理论得到了广泛的应用。
金融市场是一个充满着变化和不确定性的复杂系统，分形与混沌理论在其研究中得到了广泛的应用。
二、分形理论在金融市场中的应用分形理论是一种描述自然界中不规则、复杂结构的新方法，其应用在金融市场中主要有以下几个方面。
1、分形几何分形几何是分形理论的重要组成部分，它可以用来描述金融市场中的价格运动。
股票价格的变化不是线性的，而是充满着不规则的波动，这种波动可以用分形几何来描述。
利用分形几何可以分析出股票价格的分形特征，比如股票价格的分形维度，这个维度可以用来评估股票价格变动的趋势，判断股票价格的涨跌。
2、分形时间序列分形时间序列是指具有分形性质的时间序列，它可以用来描述金融市场中的价格变化。
分形时间序列具有自相似性、长程相关性和滞后效应等特点。
通过分析分形时间序列，可以发现价格变化的模式，预测股票价格未来的走势。
此外，分形时间序列还可以用来建立金融市场的模型，帮助我们更好地理解金融市场中的价格运动。
三、混沌理论在金融市场中的应用混沌理论是指描述非线性动力学系统的新理论，其应用在金融市场中主要有以下几个方面。
1、混沌分析混沌分析是混沌理论的核心内容，它可以帮助我们发现金融市场中的混沌现象。
股票价格的变化不是线性的，而是充满着反复出现的不规则波动，这种波动与混沌现象密切相关。
混沌分析可以用来分析股票价格的不规则波动，找到价格变化的规律，预测股票价格未来的变化。
2、混沌控制混沌控制是利用控制理论来控制混沌系统的方法，其应用在金融市场中可以帮助我们控制风险、提高收益。
金融市场是一个充满着变化和不确定性的复杂系统，利用混沌控制可以找到一种合适的控制方法，降低风险，提高收益。
四、结论分形与混沌理论在金融市场中得到了广泛的应用，其结合金融学、计算机科学等学科，成为研究金融市场中的复杂系统的重要方法。
混沌理论在金融领域的应用分析混沌理论是近几十年来发展起来的一个新兴科学，它涉及到非线性系统和复杂系统等多个领域。
混沌意味着随机、不可预测和不可控，因此，混沌理论的提出和发展引起了物理学、化学、生物学以及金融学等领域的关注。
特别是在金融领域，混沌理论提供了新的思路，为金融风险管理和金融市场研究提供了新的工具和方法。
本文将从混沌的概念、混沌理论与金融市场的关系、混沌在金融市场中的应用等方面进行分析。
一、混沌的概念混沌一词最早出现在希腊神话中，意思是混合、无序、无法掌握。
在物理学上，混沌指非线性物理系统中出现似乎随机无序而又有规律的运动状态的现象。
混沌现象最早在20世纪60年代被研究出来，着名的洛伦兹吸引子是混沌现象的经典例子之一。
洛伦兹吸引子的出现让人们认识到了传统物理学中固有的逐渐趋于平稳的观点是有很大例外的。
在混沌状态下，事物的变化是实际上是由一系列远离平稳的运动组成的。
这使得混沌成为了研究非线性系统中的随机性、周期性、复杂性等现象的有效工具。
二、混沌理论与金融市场的关系混沌理论在金融市场的应用得到了广泛的探讨和应用。
金融市场就是由众多交易者在不断地交互中形成的一个复杂系统，其中包含了无数的变化和波动。
混沌理论的基本思想是混沌并不是无规律的，而是隐藏在看似无序的过程之中。
金融市场的波动和变化也是这样，看似混乱无序，但实际上内部产生了规律性的变化。
通过混沌理论来分析金融市场，可以揭示这些规律的内部机制，为未来的预测提供了理论支持。
三、混沌在金融市场中的应用1、混沌分形理论混沌分形理论是混沌理论的重要应用之一。
分形本意是指“分数维”或“碎片形态”。
分形理论尝试用数学语言将自然界中的复杂形态表达出来。
股票指数的走势曲线可以用分形理论中的一种分形图形——曼德布集来描述。
曼德布集具有吸引和排斥分岔的特点，具有复杂的内在结构。
通过分形理论，可以揭示股价走势曲线背后隐藏的规律性，使得投资者在分析股价走势时更加有效。
动力系统理论中的混沌与分形研究动力系统理论是研究描述物体运动规律的数学理论。
其中的混沌与分形研究是动力系统理论中的重要内容。
混沌理论描述了一种看似无序但却具有确定规律的运动状态，而分形理论则描述了不规则而又自相似的几何形态。
本文将从混沌和分形的基本概念入手，介绍动力系统理论中的混沌与分形研究的应用与意义。
一、混沌的基本概念混沌，顾名思义，是一种“无秩序”的状态。
然而，在混沌现象背后却存在着确定的规律。
在动力系统理论中，混沌是指非线性系统在某一特定参数范围内产生的不可预测的运动状态。
混沌的特点表现在两个方面：灵敏依赖于初始条件和对微小扰动的放大。
这意味着微小的初始条件变化可以导致系统最终状态的巨大差异，即所谓的蝴蝶效应。
混沌在天气预报、金融市场和生物系统中的应用都存在广泛而重要的意义。
二、分形的基本概念分形，是指一种具有自相似性的几何形态。
分形意味着物体的每一部分都是整体的缩小或放大。
分形的特点是不规则性与自相似性。
在动力系统理论中，分形被广泛应用于描述复杂非线性系统的结构与形态。
分形理论的应用可见于自然界中的云朵形态、海岸线的曲折程度等。
三、混沌与分形的关系混沌与分形是动力系统理论中密切相关的两个概念。
虽然混沌和分形可以被看作是两个独立的概念，但在动力系统中它们往往相互关联。
事实上，混沌与分形更多是作为动力系统理论中的研究手段和表征方法，用于描述非线性系统的运动特征和结构特征。
混沌和分形不仅在自然科学中有重要应用，在社会科学和人文科学中也有广泛的研究价值。
四、混沌与分形的应用与意义混沌与分形在多个领域的应用与意义不可忽视。
在天气预报中，混沌理论的应用可以帮助提高预测准确度；在金融市场中，分形理论可以帮助分析市场波动性和趋势；在生物系统中，混沌理论与分形理论可以帮助理解生物系统的复杂性与变异性。
此外，在信息科学、图像处理、信号处理等领域，混沌与分形的研究也具有重要的应用意义。
总结起来，动力系统理论中的混沌与分形研究对于深入理解非线性系统的运动规律和结构特征具有重要意义。
分形理论是非线性科学的主要分支之一，它在计算机科学、化学、生物学、天文学、地理学等众多自然科学和经济学等社会科学中都有广泛的应用。
分形的基本特征是具有标度不变性。
其研究的图形是非常不规则和不光滑的已失去了通常的几何对称性；但是，在不同的尺度下进行观测时，分形几何学却具有尺度上的对称性，或称标度不变性。
研究图形在标度变换群作用下不变性质和不变量对计算机图形技术的发展有重大的意义。
说到分形（fractal），先来看看分形的定义。
分形这个词最早是分形的创始人曼德尔布诺特提来的，他给分形下的定义就是：一个集合形状，可以细分为若干部分，而每一部分都是整体的精确或不精确的相似形。
分形这个词也是他创造的，含有“不规则”和“支离破碎”的意思。
分形的概念出现很早，从十九世纪末维尔斯特拉斯构造的处处连续但处处不可微的函数，到上个世纪初的康托三分集，科赫曲线和谢尔宾斯基海绵。
但是分形作为一个独立的学科被人开始研究，是一直到七十年代曼德尔布诺特提出分形的概念开始。
而一直到八十年代，对于分形的研究才真正被大家所关注。
分形通常跟分数维，自相似，自组织，非线性系统，混沌等联系起来出现。
它是数学的一个分支。
我之前说过很多次，数学就是美。
而分形的美，更能够被大众所接受，因为它可以通过图形化的方式表达出来。
而更由于它美的直观性，被很多艺术家索青睐。
分形在自然界里面也经常可以看到，最多被举出来当作分形的例子，就是海岸线，源自于曼德尔布诺特的著名论文《英国的海岸线有多长》。
而在生物界，分形的例子也比比皆是。
近20年来，分形的研究受到非常广泛的重视，其原因在于分形既有深刻的理论意义，又有巨大的实用价值。
分形向人们展示了一类具有标度不变对称性的新世界，吸引着人们寻求其中可能存在着的新规律和新特征；分形提供了描述自然形态的几何学方法，使得在计算机上可以从少量数据出发，对复杂的自然景物进行逼真的模拟，并启发人们利用分形技术对信息作大幅度的数据压缩。
