反三角函数

6.4 反三角函数预备知识∙正弦函数、余弦函数、正切函数的定义、图象及性质∙已知三角函数值，求角∙诱导公式重点∙反正弦函数∙已知三角函数值，在指定范围内求角难点∙反正弦函数的概念∙已知三角函数值，在指定范围内求角学习要求∙了解反三角函数的概念和图象，掌握反三角函数的记号∙掌握已知三角函数值利用计算器求角的方法，并应用诱导公式将角转化为指定范围内的角∙会解任意三角形在第四章我们已经学习了任意角的三角函数，在第五章对三角函数的性质和图象作了进一步的探讨．在本节，我们来看一看三角函数的反函数是怎样的．1. 反正弦函数 (1)反正弦函数的定义 先来探讨正弦函数y =sin x , x ∈(-∞, +∞) (1) 的反函数问题．你已经在§6.1中学习了y =f (x ) 存在反函数的条件，是x , y 之间必须一一对应，反映在图象上，那就是任一平行于x 轴的直线与函数图象的交点不能多于一个．正弦函数在其定义域(-∞, +∞)中显然不满足这些条件．如 sin6π=21，sin(2k π+6π)=sin((2k -1)π-6π)=21, k ∈Z ，因此对应关系不是一一对应的；从图象上看就更明显了，如图6-19所示，直线y =21与正弦曲线有无限多个交点．因此正弦函数(1)的反函数是不存在的！但是若把x 限制在 sin x 的局部区间内，例 如在[-2π,2π]内，考虑函数 y =sin x , x ∈[-2π,2π] (2)因为它在定义域上单调增加，反函数是存在的(图6-19)．把值域是[-1, 1]的函数(2)(注意它不是正弦函数)的反函数称为反正弦函数．我们已经知道，“sin”本来就是一个函数记号，你一看见函数sin x ，尽管没有具体的x 的数学式，但立即能知道函数值是表示什么；函数(2)的反函数的含义也十分明确：与[-1,1]中的任一y 对应的是[-2π,2π]内唯一使sin x =y 成立的那个x ．但x 无法表示为一个y 的数学式．因此我们用一个特殊的函数记号 “arcsin” 来标记．即函数(2)的直接反函数是x =arcsin y , y ∈[-1, 1]， 而常规反函数则是y =arcsin x , x ∈[-1,1] (6-4-1) 按照通用函数记号表示，y =f (x )的常用反函数用y =f –1(x )表示，因此，在很多场合，我们又把函数(2)的反函数，即反正弦函数表示为y =sin –1x , x ∈[-1,1] (6-4-2) (注意不要把sin –1x 与正弦函数值sin x 的-1次幂混淆，后者表示为 (sin x )–1．)图6-19反正弦函数(6-4-1)的值域是[-2π,2π]，只要把函数(2)的图象，关于直线y =x 作对称，就是反正弦函数(6-4-1)的图象(见图6-20)．注意，根据弧长公式s = r ⋅x (r 为半径，x 为弧所对中心角的弧度)，在单位圆上(6-21)，x 既是角度，又反映对应弧AP 的长度，而sin x 是正弦线MP ．AP 的长度>MP 的长度，即 ⎜sin x ⎜<⎜x ⎜，表现在图象上，在x >0部分(即y 轴的右侧)，y =sin x 的图象总是在直线y =x 之下；在x <0部分(即y 轴的左侧)，y =sin x 的图象则总是在直线y =x 之上．而反函数y =arcsin x 的图象与直线y =x 的相对关系则相反．你在作图时务必注意这一特点．(2)求反正弦函数函数值既然 “arcsin”仅是一个函数记号，y =arcsin x 没有表示为一个x 的具体数学式，那么怎么求它的函数值呢？其实这个问题就是在第四章的 “已知三角函数函数值求角”问题，因此对[-1,1]中的任一x ，你可以用计算器求得在[-2π,2π]的y ．我们先复习一下．例1 求下列反三角函数的函数值(保留4个有效数字)： (1)arcsin(-0.866)； (2)arcsin23； (3)arcsin25； (4)arcsin53．解 用MODE 键，把角度调成R A D (弧度制)状态，然后用计算器求角． (1)按键顺序 0.866 +/- 2nd F sin –1 显示-1.047 146 746，所以 arcsin(-0.866)≈-1.047 ▍(2)按键顺序 3 √ ÷ 2 = 2ndF sin -1，显示1.047 197 551，所以 arcsin23=1.047 ▍ (事实上，因为sin3π=23, 所以 arcsin23=3π，这两种结果是一致图6-20-π图6-21的．) (3)因为25>1，所以25不在arcsin x 的定义域[-1,1]内，本题题目错误(你可以强行在计算器上操作一下，看看得到什么结果？) ▍(4)按键顺序 3 ÷ 5 = √ 2nd F sin –1，显示0.886 077 123，所以 arcsin 53≈0.8861 ▍课内练习11. 求下列反正弦函数的函数值(保留4个有效数字)：(1)arcsin0.766； (2)arcsin 322； (3)arcsin 22； (4)arcsin 863．(3)已知正弦函数值，求指定范围内的角 你可以用计算器算一下，sin65π=0.5．现在提一个相反的问题：求x 使sin x =0.5．你至少立即会用两种不同办法得到x ．能记住一批特殊角三角函数值的，可以不假思索地回答x =6π；记不住的，也会用计算器得到相同的结果．但是你的答案并不是我所希望的，我现在要你得到的答案就是x =65π，而不是其它任何值．对这种解答要求，你的计算器就无用武之地了，因为计算器总是求反正弦函数的函数值，因此所得到的x 总是在反正弦函数的值域[-2π,2π]里面．这种解答要求是不是有点过分？一点也不，实际问题中有时就会有这种要求．例如在⊿ABC 中，已知AB =4, A C=3, sin α=83，且AB 是最大边，求β(见图6-22)． 应用正弦定理，得到8134==αβs i n s i n ⇒ sin β = 0.5．图6-22中可见β 显然是钝角，β∈(2π, π)，所以不应该是β=6π，而是β=65π！把上面的问题一般化：已知sin x =a (a 是已知值且a ∈[-1,1])，在指定区间内求x ．如果指定区间恰好是反正弦函数的值域，也就是在[-2π,2π]范围内，那就是求反正弦函数的函数值问题，用计算器完全可以解决问题；如果指定区间不是反正弦函数的值域，那有没有办法求呢？图6-22ABCαβ43回到最初提出的问题上来．其实使sin x =0.5的x 是有规律的：我们画出y =sin x 的图象，作直线y =0.5．由图6-23可见直线与正弦曲线有无限个交点，使sin x =0.5的x 值，就是这些交点的横坐标．你可以找到一个靠近圆点处交点的横坐标是x =6π，这是由计算器直接求得的aercsin0.5的值；有了这个 值，只要根据正弦曲线的 对称性，你不难在(0, π)内写出另一个交点的x 值是π-6π=65π．在指定区间[α,β]内求x ，使sin x =a ，也可以类似地分两步： 第一步 求出arcsin a ；第二步 作出正弦曲线和直线y =a ，观察在区间[α,β]内的交点，写出这些交点的横坐标，便是所求全部x 了． 例2 求下列各题中指定区间范围的x ： (1)sin x =21, 求x ∈[2π,23π]； (2)sin x =0.9511, 求x ∈[-2π,2π]； (3)sin x =-0.788, 求x ∈[π,23π]；(4) sin x =-0.788, 求x ∈[2π,4π]．解 (1) 第一步 arcsin 21=6π；第二步 作出正弦曲线及y =21的图象(见图6-23)，在[2π,23π]内只有一个交点，它对应的x =π-6π=65π．所以x =65π ▍(2)第一步 arcsin(-0.9511)=-1.2566576≈-0.4π= -52π；第二步 作出正弦曲线及y = -0.9511的图象(见图6-24)，在[-2π,2π]内另外还有三个交点，依次写出它们的横坐标为-π-(-52π)= -53π，π - (-52π)=57π，2π+( -52π)=58π．所以所求的解集为图6-23图6-24{-53π, -52π,57π,58π} ▍(3)第一步 arcsin(-0.788)= -0.9076；第二步 作出正弦曲线及y =-0.788的图象(见图6-25)，在[π,23π]内只有一个交点，对应的横坐标x =π+0.9076．所以所求解为x =π+0.9076 ▍(4)第一步及作图同(3)；第二步，从图6-26中可见，在区间[2π,4π]内有两个交点，这两点的横坐标为3π+0.9076和4π-0.90763．所以所求解集为{3π+0.9076, 4π-0.9076} ▍课内练习21. 求下列各题中指定范围内的x ： (1)sin x =23, x ∈[2π,23π]； (2)sin x =0.5878, x ∈[2π,4π]；(3)sin x = -21, x ∈[-2π,2π]； (4)sin x = -0.9877, x ∈[25π,27π]．2. 反余弦函数比照反正弦函数来讨论反余弦函数． (1)反余弦函数定义余弦函数 y不存在反函数(见 图6-27，想一想， 为什么？)．考虑值域为[-1,1]的函数y =cos x , x ∈[0, π](3) 它在定义域内单调减小，因此反函数存在．函数(3)的反函数称为反余弦函数，图6-27-3图6-26图6-25用记号 “arccos ”表示，y =arccos x , x ∈[- 1,1] (6-4-4)或 y =cos –1x , x ∈[-1,1]它的值域是[0, π]，它的图象是函数 (3)的图象关于直线y =x 的对称(见 图6-28)．(2)求反余弦函数的函数值 求反余弦函数的函数值，也是 第四章中已知三角函数值求角问题， 因此也可用计算器来求． 例3 求下列反余弦函数的函 数值：(1)arccos(-0.5376)；(2)arccos0.8090．解用MODE 键，把角度调到DEG 状态．解答过程列于下表． 课内练习31. 求下列反余弦函数的函数值： (1)arccos(-0.8090)；(2)arccos0.8480． (3)已知cos x 值，在指定范围内求x设cos x =a , a ∈[-1,1]，若x ∈[0, π]，则x =arccos a ；若在某指定区间[α,β]内求x ，使cos x =a ，与反正弦函数相仿，只要配辅助图，便可以准确地找到答案．例4 求下列各题中指定区间范围内的x ：(1)cos x =-0.5376，求x ∈[0, 2π]； (2)cos x =-0.8090，求x ∈[-2π, -π]．解 (1)在例3中已求得arccos(-0.5376)=3625π．作出余弦曲线y =cos x 和直 线y =-0.5376(见图6-29)，可见在[0, 2π]内有两个交点，其横坐标一个是3625π，另一个是2π-3625π=3647π．所以所求解集为{3625π,3647π} ▍(2)先使用计算器求arccos(-0.8090) ．按键顺序为图6-28-1图6-290.8090+/- 2nd F cos -1显示144，表示arccos(-0.8090)=144︒，即arccos(-0.8090)=144⨯180π=54π．作出余弦曲线y =cos x 和直线y =-0.8090(见图6-30)，可见在[-2π, -π]内仅因此，所求解为 x = -56π ▍课内练习41. 在指定区间内求x :(1)cos x =0.7431，求x ∈[2π, 4π]；(2)cos x =-0.8829，求x ∈[-3π, -π]．3. 反正切函数有了反正弦函数、反余弦函数的基础，对反正切函数的处理，你不应该有什么困难了． (1)反正切函数定义 正切函数 y =tan x , x ≠k π+2π, (k 在其定义域上，不存在反函数(见图 考虑值域为(-∞,+∞)的函数 y =tan x , x ∈(-2π,2π) (4)它在定义域内单调增加，因此存在反 函数．称(4)的反函数为反正切函数， 记作y =arctan x , x ∈(-∞,+∞) (6-4-7) 或 y =tan –1x , x ∈(-∞,+∞) (6-4-8)反正切函数的值域是(-2π,2π)；图象是函数(4)的图象关于直线y =x 的对称 (见图6-32)． 注意，当x ∈(-2π,2π)，tan x 表示单位圆上正切线AT ，而 |x | 表示圆弧段AP 长，从图6-33可以看出正切线AT 长>圆弧段AP 长，所以 |x |<|tan x |在图象上，在y 轴的右侧，y =tan x 的图象在直线y =x 之上；在y 轴的左侧，图6-31图6-30图6-32y =tan x 的图象在直线y =x 之下；反函数 y =arctan x 的图象与y =x 的相对关系与此 相反．在作图时务必注意这一特点． (2)求反正切函数的函数值求反正切函数的函数值，也是第四章 中已知三角函数值求角问题，因此也可用 计算器来求．例5 求下列各反正切函数的函数值： (1)arctan 3； (2)arctan(-0.2679)． 解 (1)因为tan3π=3，所以 arctan 3=3π ▍(2)计算器上用MODE 键，把角度制调到DEG ，然后按键 0.2679 +/- 2nd F tan –1 显示–15， 即 arctan(-0.2679)= –15︒= -15⨯180π= -12π▍课内练习51. 求下列反正切函数的函数值： (1)arctan (-33)； (2)arctan(-1.6)．(3)已知tan x 值，在指定区间范围内求x 已知tan x =a ，若x ∈(-2π,2π)，则x =arctan a ；若在某指定区间 [α,β]内求x ，使tan x =a ，画如同反正弦、反余弦时那样的辅助图，便可获得结果. 例6 求下列各题指定区间内的x ：(1)tan x =3，求x ∈[-π,π]； (2)tan x =-0.2679，求x ∈[π,3π]． 解 (1)在例5中已求得arctan 3=3π．画出y =tanx 和y =3的图象(见图6-34)，在[-π,π]内有两个交点，它们的横坐标是3π和-π+3π= -32π．所以所求解集为{-32π,3π} ▍(2)在例5中已求得arctan(-0.2679)= -12π．画出y =tanx 和y =-0.2679的图象(见图6-35)， 在[π,3π]内有两个交点，它们的横坐标是2π+(-12π)=1223π, 3π+(-12π)=1235π．图6-33图6-34所以所求解为{1223π,1235π} ▍课内练习61. 求下列各题中指定区间范围内 的x ： (1)arctan (-33)，求x ∈[-2π,0]；(2)arctan(-1.6)，求x ∈[-3π,-π]．4. 求三角形内角在第四章你已学习了正弦定理、余弦定理，并能利用它们解决解斜三角形问题――已知斜三角形的一些边、角，求其余的边、角．但那时有意识地避开了下面这类问题：已知两边及其中一边的对角(即两边一对角)，求解三角形。