第28卷第1期 上海师范大学学报(自然科学版)Vol.28,No.1 1999年3月 J.of Shanghai Teacher s Univ.(Natu ral S cien ces)M ar.1999斐波那契法和证券市场的波浪理论朱德通提 要 试图从运筹学的斐波那契法来论述波浪理论,并从斐波那契法的最优分划点来掌握波浪理论中的最佳投资.关键词 波浪理论;斐波那契方法;证券市场中图法分类号 O221.2;F224.310 引 言证券市场中波浪理论是所有股票市场技术分析方法中最为神奇的,用波浪理论得出的一些结论和预测,在开始时总是被认为很荒唐,但过后都不可思议地被事实所证实.从技术的角度来说,波浪理论不容易掌握,由于波浪理论的神奇性以及重要性.许多证券投资人士都希望自己来掌握和运用波浪理论.波浪理论的全称应该是艾略特波浪,是以美国的Elliott R N的名字命名的一种技术分析理论.波浪理论的形成经历了一个较为复杂的过程.最初是艾略特首先发现并应用于证券市场,但他的这些研究成果没有形成完整的体系,直至70年代,柯林斯的专著《波浪理论》出版后,才使波浪理论正式以技术分析的面貌登上证券市场的技术分析舞台.波浪理论考虑的因素主要是3个方面:(1)股价走势所形成的形态;(2)股价走势图中各个高点和低点所处的相对位置;(3)完成某个形态所经历的时间长短,即波浪理论具有3个重要方面形态、比例和时间,其重要性依上述次序逐而下降.使用直观图解说明,所谓形态,指波浪的形态构造,这是最重要的部分;而比例分析是指测定各个波浪之间的相互关系,来确定回撤点和价格目标;时间指各波浪之间在时间上相互关联,可以利用这种关系来验证波浪形态和比例.在波浪理论中除了密切相关的经济周期之外,还涉及斐波那契数列,此数列在数学上是很著名的数列,它有很多特殊的性质.而在波浪理论中,此数列只是使用于浪的数目的数法,并没有将波浪理论中形态、比例和时间有机地和斐波那契数列相联系.这是由于仅从数列来研究无法表述形态、比例和时间之间的联系.然而,形态、比例和时间在波浪理论中起着关键的作用.在一维优化方法中,斐波那契数列也有着应用,其方法称为斐波那契法.斐波那契法是 收稿日期:1998-09-20作者朱德通,男,副教授,上海师范大学数学科学学院,上海,200234种常用的区间搜索法,此方法是通过缩短包含极值点区间,并计算及比较函数在区间内某些点的值得到较小的包含极值点的区间,为使斐波那契法启迪我们来研究证券市场中波浪理论,并通过此研究更有效地掌握和发展波浪理论,我们使用优化中搜索法则来研究波浪理论以及为证券市场中技术分析提供有效优化预测方法.1 波浪理论的基本结构波浪理论认为证券市场应该遵循一定的周期周而复始地向前发展.股价的上下波动也是按照某种规律进行的.这种理论最基本的形式认为每个完整的周期包含8浪其中5浪上升,3浪下降.在周期的上升阶段,每1浪均以数字编号.1浪、3浪和5浪是上升浪,称为主浪,点1,3,5为顶点,而2浪和4浪的方向与上升趋势的方向相反,因为2浪和4浪分别是对1浪和3浪的调整,故称为调整浪,点2,4为底点,上述5浪完成后,出现了一个浪形式的调整,这3个波浪分别用字母a,b,c 来表示.其中b 为顶点,a,c 为底点(图1).图1 基本的波浪形态考虑波浪理论必须弄清一个完整周期的规模大小,因为趋势是有层次的,每个层次的不同取法,可能会导致在使用波浪理论时发生混淆.然而,无论所研究的趋势是何种规模,是原始的主要趋势还是日常小趋势,8浪的基本形态结构不会变化.波浪理论考虑股价走势形态的跨度是可以随意而不受限制的,大到可以覆盖从有股票以来的全部时间跨度,小到可以只涉及数小时、数分钟的股价走势.由于时间跨度的不同,在8浪基本结构中,必然会涉及到将一个大浪分成很多小浪和将很多小浪合并成一个大浪的问题.这就是每一个浪所处层次的问题.处于层次较低的几个浪可以合并成一个层次较高的大浪,而处于层次较高的一个浪又可以细分成几个层次较低的小浪.图2显示了上述关系,最大规模的2浪浪1和浪2可以划分成8个小浪.然后,这8个小浪再细分,共得到34个更小的浪.而最大的浪浪1和浪2只是更高一层次的5浪上升结构中上升2浪而已.在图中最右侧,高一层次的3浪呼之欲出,把图225 第1期 朱德通:斐波那契法和证券市场的波浪理论中的34个小浪再细分到下一层次,就得到图3所示的144个小浪.上面提到的数目1,2,3,5,8,21,34,55,89,144并不是偶然出现的,它们是斐波那契数列的一部分,构成了波浪理论的数学基础.斐波那契数列{F k }使和递推公式构成F 0=0, F 1=1,F k =F k -1+F k -2(k ≥2).图2 基本的波浪形态图3 完整的市场周期 利用递推公式,可依次得到F k 的值,当k ≤12.26 上海师范大学学报(自然科学版) 1999年表1k0123456789101112F k 1123581321345589144233若将图形中的相对高点使用连线将它们联结起来(图4),可以看到这图形构成函数图象是相对区间上的单峰函数.对于单峰函数从优化问题中可以看到它在此区间有唯一的极值点.从上述综合和分析,使用波浪理论并在相对顶点使用图形拟合可以看到,这样的图形近似地拟合成上单峰函数,而所分成的波浪层次将和斐波那契数列有密切的关系.从而激发我们用优化中区间搜索的方法之一斐波那契法来搜索波浪理论中的相对极值点(相对区间内),并从优化观点出发进一步掌握和理解波浪理论的意义.在实践中,试图在证券市场投资中获得较丰厚的收益.图4 顶点构造单峰函数图2 斐波那契法斐波那契法是一种区间分割法,即一种缩短包含极值点区间的方法,它通过计算及比较函数在区间内某些点的值得到较小的包含极值点的区间.这类方法主要是从对单峰函数的提出得来.因为波浪理论中,每一个周期顶点连线构成了上单峰函数.若进一步研究,将发现从波浪理论中从下降的浪出发加上上升浪,也使用连线将底点连接,那么连线所构成的图形形成周期内下单峰函数.下面给出单峰函数的定义:定义1 设实值函数f (x )在[a ,b ]上有定义,如果存在x *∈[a ,b ],使得f (x )在[a ,x *]上严格单调上升(下降)和在[x *,b ]上严格单调下降(上升),则称f (x )是区间[a ,b ]上的上(下)单峰函数.由单峰函数的定义,引出以下引理:引理1 设f (x )是区间[a ,b ]上的单峰函数,x *是f (x )在[a ,b ]上唯一极值点,则对任27 第1期 朱德通:斐波那契法和证券市场的波浪理论何a′∈[a,x*],b′∈[x*,b],f(x)也是区间[a′,b′]上的单峰函数.引理2 设f(x)是区间[a,b]上的单峰函数,x*是f(x)在[a,b]上唯一极大点,对任何x1,x2∈[a,b]满足x1<x2,如果f(x1)>f(x2),则x*∈[a,x2];如果f(x1)<f(x2),则x*∈[a,b];如果f(x1)=f(x2),则x*∈[x1,x2].斐波那契法就是利用引理1和引理2使包含极值点上升区间通过分割不断缩小,直至达到所需精度为止.假设f(x)是[a,b]区间上的单峰函数,任取x1,x2∈[a,b],x1<x2,令[a′,b′]=[a,x2],[x1,b],[x1,x2],如果f(x1)>f(x2)如果f(x1)<f(x2)如果f(x1)=f(x2)(2.1)则知f(x)是[a′,b′]上的单峰函数,且f(x)在[a,b]上的唯一极小点必属于[a′,b′],新区间的长度b′-a′满足b′-a′≤m ax{x2-a,b-x1},(2.2)对任何给定的x1,x2存在单峰函数f(x)使得不等式(2.2)的两端相等.显然,不等式(2.2)的右端项的下确界为b-a2,从上述可知,只要缩小后的区间包含极值点x*,则区间缩小得越小,就越接近于函数的极值点,但计算函数值的次数也就越多,这就说明区间的缩短率和函数值的计算次数有关,即在要求计算函数值n次,能把区间缩小到什么程度.下面考虑一般情形下斐波那契法的最优分割方案.不妨设原始区间是[0,1],称k级为最优缩小率,r*k是通过k次缩小区间后在最坏情形下区间长度最短可能的极值.当k=1时,因为可取x1=12-E,x2=12+E,其中E>0是一充分小的正数,极限值r*1=12.为分析r *k(k≥2),引入记号r*k(A)指在区间[0,1]上给定一个分划点A后,通过k次缩小区间在最坏情形下区间长度的最短可能的极限.由于对称性,不妨设A≥12,并设另一个分划点为B,显然B≤A.不难看出,在最坏情形下,通过两次缩短后的区间长度的最小可能(极限)为max{B,A-B,A},所以r*k(A)=minB m ax{B,A-B,1-A}=max{A2,1-A}.(2.3)现在用归纳法证明,对k≥2都有r*k(A)=max{AF k+1,1-AF k}.(2.4) 显然,(3.4)式在k=2时成立,设k=2,…,n时(3.4)式成立,对于k=n+1,给定一个初始分划点A≥12,设第一次缩短区间所需的另一分划为B,显然在最优分划时应有1-A≤B≤A,给定初始分划点A,那么区间成为[0,A],将[0,A]看作1A[0,1]区间,对于另一个划分点B<A,则对于1A[0,1]区间来说为A(BA),从而 r *n+1(A)=A28 上海师范大学学报(自然科学版) 1999年m in{min 1-A ≤B ≤AB ≥A 2A õr *n (B A ),m in 1-A ≤B ≤A B ≤A 2A õr *n (1-B A )=m in{min 1-A ≤B ≤A B ≥A 2max {B F n +1,A -B F n },min 1-A ≤B ≤A B ≤A 2max {A -B F n +1,B F n }}=m in {m ax {A F n +2,1-A F n +1},max {A F n +2,1-A F n +1}}=m ax{A F n +2,1-A F n +1},(2.5)最后第2个等式导出,是由于当A F n +1+F n ≥1-A F n +1,取B =F n +1F n +1+F n A 达到最小值.当A F n +1+F n<1-A F n +1时,取A 满足A -B =F n F n +1(1-A )时,达到最小值.由此可知(3.4)式对一切k ≥2都成立,且r *k =min A ≥12r *k (A )=r *k (A k )=r *k (F k +1F k +2)=1F k +2.对于需要缩小区间k 次的方法,最优分划点A =F k +1F k +2,从(2.5)式的推出过程可知另一分划点B k 应为1-A k =F k F k +2,即得到的是一个对称分划,所以可假定缩小依次后的区间是[0,A k ],区间中的另一点是B k ,而且B k A k=A k -1正好是需要缩小区间k -1次的方法的最优分划点.基于上述讨论,给出一个求单峰函数f (x )在区间[a ,b ]的极值的最优区间分割法,由于此区间分划比与斐波那契数列有关,故该方法也称为斐波那契法.由以上讨论可知,计算n 次函数所能获得的最大缩短率(缩短后的区间长度与区间长度之比)为1F n.现在,要想计算n 个函数值而把区间[a 0,b 0]的长度缩短为原来长度的D 倍,即缩短后的区间长度为b n -1-a n -1≤(b 0-a 0)D ,则只要n 足够大,能使下式成立即可:F n ≥1D .(2.7)式中D 为一个适当小的正数,称为区间缩短的相对精度,有时给出区间缩短的绝对精度G ,即要求b n -1-a n -1≤G .(2.8)显然,相对精度和绝对精度之间有如下关系:G =(b 0-a 0)D .(2.9) 用上述方法缩短区间的步骤如下:(1)确定试点的个数n ,即根据缩短率D ,使用(2.7)式计算F n ,使用表求得n .(2)选取前两个试点的位置:t 1=a 0+F n -2F n (b 0-a 0)=b 0+F n -1F n (a 0-b 0)(2.10)t ′1=a 0+F n -1F n(b 0-a 0) (3)计算函数值f (t 1)和f (t ′1)并比较它们的大小.若f (t 1)>f (t ′1),则取29 第1期 朱德通:斐波那契法和证券市场的波浪理论a1=a0,b1=t′1,t′2=t1,并令t2=b1+F n-2F n-1(a1-b1),否则a1=t1, b1=b0, t2=t′1,并令t′2=a1+F n-2F n-1(b1-a1).(2.11) (4)计算f(t2)或f(t′2)(其中的一个已经算出),如第(3)步那样一步步迭代,计算试点的一般公式为t k=b k-1+F n-kF n-k+1(a k-1-b k-1),(2.12)t′k=a k-1+F n-kF n-k+1(b k-1-a k-1).(2.13)其中k=1,2,…,n- 1.(5)当进行到k=n-1时,t n-1=t′n-1=(a n-2+b n-2).以上给出了缩短区间的方法和区间搜索点的位置,这些位置将对波浪理论有着重要的作用.利用区间搜索点的位置,可以解决波浪理论中最佳投资点的区间范围.3 斐波那契搜索和波浪理论之间的关系从波浪理论研究中,一个完整的周期包含8浪5浪上升,3浪下降.首先研究最基本的8浪周期,那么对应的区间搜索中,k次缩小区间为8.由此相应的最优分划点为A8=F9F10,从表1中可得A8=5589≈0.618.由于,这里的区间长度为8单位.那么最优划分点为A8×8≈4.944近似于5,恰好反映在8浪中最优点中5浪顶点.同样,如果从下降3浪出发的8浪基本周期,那么另一最优划分点B8=1-A8=F8F10≈0.382.区间长度仍为8,这样最优划分点为B8×8≈3.056近似于3.恰好反映在8浪中最低点中3浪底点.在证券投资中,投资者最关心的是何时和何点为买入的最佳点,以及何时和何点为卖出的最合适点位.只从波浪理论观点出发,从纯技术角度来分析,可以将斐波那契法使用于波浪理论,对于波浪理论来说投资者总是考虑某阶段的收益,无论从短线、中线还是长线角度出发,无论层次如何划分,对应于斐波那契法来说阶段对应于区间长度.层次对应于区间的k次缩小区间,这样最合适的卖点即为区间划分中最优分划点A k.反之,最合适的买点即为对称分划中另一最优分划点B k.同样,也可以看到缩短区间所取的值,有时恰好是波浪形态中的顶点和底点.反映了斐波那契搜索点位和波浪形态中的关键点位有着不可分割的联系.上述是斐波那契法反映于波浪理论中基本联系的设想.将进一步研究如何使用斐波那契法来预测区间内的高点和低点的函数值.对应于价位为最佳卖点和买点,这些研究将在另30 上海师范大学学报(自然科学版) 1999年文中论述.同时,我们也注意斐波那契法在波浪理论中的应用,首先要对波浪的周期进行预测,并且要对波浪形态、比例和时间进行预测.通过较为精确的预测才能得到合适的最佳投资点.如何使用斐波那契法利用已知的最佳投资点来预测波形态、周期、时间也是非常重要的,这有待于进一步的研究.上述使用运筹学中区间搜索方法将有助于证券市场中的技术分析,并为其他方法服务于证券市场的技术分析有所启迪.参 考 文 献1 陈芸,周开业,吴晓求.证券投资分析.中国证券业从业人员业务培训系列教材,19972 钱颂迪,等.运筹学.北京:清华大学出版社,1990Fibonacci Section Searching Appliedto Wave Theory for the Stock MarketZhu Detong(College of M ath ematical Sciences )Abstract Employs Fibonacci Sectio n Searching M ethod in Operations Research to analy ze the Wave T heory and thus ,proposes the optim al point of the section search to determ ine the optimal investm ent.Key words w ave T heory ;Fibo nacci sectio n search;stock market 31 第1期 朱德通:斐波那契法和证券市场的波浪理论。
