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第七章 数值积分
问题：求()b
a I f x dx =⎰
－公式，原函数不易求得， 特别当()f x 列表函数时更是如此。
1
()lim
()i n b
i
i
a
x i f x dx f x
ξ-∆→==∆∑⎰
分划
，其中1i i i x x x +∆=-
注意，这是一个构造性定义。寻求更有效的求（或其近似值）的方法 用近似函数()p x 代()f x 积分
()()b
b
a
a
f x dx p x dx ≈⎰
⎰
多方面的原因一般 ()p x ：()f x 的插值多项式
等距节点求积公式
将区间[] 等分，分点为k x ，k x a kh =+ b a
h n
-=
, 0,1,.....,k n =
设 n (),()()n n k k k p x p x f x y ∈==P 利用 插值公式
--
000
0()()()n n j
n k
k j k j
j k n
n
k
k j j k
x x p x y x x t j
y k j
==≠==≠-=--=-∑∏∑∏
x a
x a th t h
-←=+=
做代换, 以()n p x 代()f x 得
0000
()()()b
b
n a
a
n n
n k k j j k
n
k k
k f x dx p x dx
b a t j y dt n k j
A y ==≠=≈---⎰
⎰∑∏⎰∑ = =
其中 ()
00()n n n k k s s n
b a t j A dt b a
c n k j
=≠--==--∏⎰ ()00
(1)()0,1,,!()!n k
n n n k
j k
j c
t j dt k n k n k n -≠=-=-=-∏⎰
注意()n k c 与,,a b f 无关，具有一般性，()
n k c 称为系数
()
()()n
b
n k k
a
k f x dx b a c y =≈-∑⎰
——公式。 特别的：
1n =梯形公式：
--
--
(1)(1)0
1
1
()[()()]:2
2
b a b a
c
c
f x dx f a f b T -==≈+=⎰
2n = (抛物形)公式：
()[()4()()]:62
b
a
b a a b
f x dx f a f f b S -+≈
++=⎰
4n = 公式：
1234()[7(0)32()12()32()7()]:90
b
a
b a
f x dx f f x f x f x f x C -≈
++++=⎰
由于对()1,()()n f x p x f x n ≡=∀
()
()()n
b
n k a
k dx b a c b a ==-=-∑⎰
()
()()n
b
n k k k a
k f x dx b a c y y =≈-∑⎰
, 是()k f x 的计算值，()k f x 用计算
机算得，可以认为()k k y f x ε-< 从而公式的理论值和实际计算值之差：
()()()
()n n n k
k k k k c
y c f x c ε-≤∑∑∑
若()
0n k
c >，则有
()
()()
()n n n k
k k k k c y c f x c εε-≤=∑∑∑，
方法是稳定的。如果假设不成立，则函数值的计算误差可能积累，方法不稳定。因为这个原因公式只能用于<的场合。
--
一般求积公式：（机械求积公式）
()()n
b
k k a
k f x dx A f x =≈∑⎰
（）
系数k A 不依赖于被积函数. [] k x a,b ∈
若（）式对n f ∀∈P 精确成立，对1
n x +不能精确成立，称公式（）有
次代数精确度。（一般认为越高越好）
由多项式插值理论知阶公式的代数精确度至少是次的，可证当时，其代数精确度至少为次。 如果（）式中的()b
k k
a A l x dx =
⎰
，()k l x 为插值基，则称（）为插值型的。
定理：（）至少有次代数精度 ⇔（）是插值型的。 例：公式的代数精度为次。
因为已知公式的代数精度至少为次，而
45544
41()(4())562
b
a
b a a b x dx b a b a -+=-≠++⎰
梯形公式的误差
设：2
()[,]f x C a b ∈ 误差
