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第一章 解三角形一、选择题1．已知A ，B 两地的距离为10 km,B ，C 两地的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ,C 两地的距离为（ )．A ．10 kmB ．103kmC ．105kmD ．107km2．在△ABC 中，若2cosA a ＝2cosBb ＝2cosC c，则△ABC 是（ ）．A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形3．三角形三边长为a ，b ,c ,且满足关系式(a ＋b ＋c )(a ＋b －c ）＝3ab ，则c 边的对角等于( )．A ．15°B ．45°C ．60°D ．120°4．在△ABC 中，三个内角∠A ，∠B ,∠C 所对的边分别为a ，b ,c ,且a ∶b ∶c ＝1∶3∶2,则sin A ∶sin B ∶sin C ＝（ )．A ．3∶2∶1B ．2∶3∶1C ．1∶2∶3D ．1∶3∶25．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则（ )． A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形,△A 2B 2C 2是钝角三角形6．在△ABC 中，a ＝23，b ＝22,∠B ＝45°，则∠A 为（ )． A ．30°或150°B ．60°C ．60°或120°D ．30°7．在△ABC 中,关于x 的方程（1＋x 2）sin A ＋2x sin B ＋(1－x 2）sin C ＝0有两个不等的实根，则A 为( ）．A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．不存在8．在△ABC 中,AB ＝3,BC ＝13,AC ＝4，则边AC 上的高为（ )． A ．223 B ．233 C ．23D ．339．在△ABC 中，c b a c b a －＋－＋333＝c 2,sin A ·sin B ＝43，则△ABC 一定是（ ）．A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形10．根据下列条件解三角形：①∠B ＝30°,a ＝14，b ＝7;②∠B ＝60°，a ＝10，b ＝9．那么，下面判断正确的是( )．A ．①只有一解，②也只有一解．B ．①有两解,②也有两解．C ．①有两解，②只有一解．D ．①只有一解，②有两解．二、填空题11．在△ABC 中，a ，b 分别是∠A 和∠B 所对的边，若a ＝3，b ＝1，∠B ＝30°，则∠A 的值是．12．在△ABC 中，已知sin B sin C ＝cos22A，则此三角形是__________三角形． 13．已知a ,b ，c 是△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 的对边，S 是△ABC 的面积．若a ＝4,b ＝5，S ＝53，求c 的长度 ．14．△ABC 中，a ＋b ＝10，而cos C 是方程2x 2－3x －2＝0的一个根，求△ABC 周长的最小值 ．15．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ,c ，且满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶5∶6．若△ABC 的面积为4393，则△ABC 的周长为________________． 16．在△ABC 中，∠A 最大，∠C 最小，且∠A ＝2∠C ，a ＋c ＝2b ,求此三角形三边之比为．三、解答题3b，解此三角17．在△ABC中,已知∠A＝30°，a，b分别为∠A,∠B的对边，且a＝4＝3形．18．如图所示,在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100米后到达点B，又从点B测得斜度为45°,建筑物的高CD为50米．求此山对于地平面的倾斜角．(第18题)19．在△ABC 中，∠A ,∠B ，∠C 的对边分别为a ,b ，c ，若b cos C ＝（2a －c ）cos B ， (Ⅰ）求∠B 的大小；(Ⅱ)若b ＝7,a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．20．在△ABC 中,角A ，B ,C 的对边分别为a ,b ，c ，求证：222c b a -＝C B A sin sin )(-．参考答案一、选择题 1．D解析:AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC＝102＋202－2×10×20cos 120° ＝700．AC ＝107．2．B 解析：由2cosA a ＝2cosB b ＝2cosC c 及正弦定理，得2cossin A A ＝2cossin B B ＝2cossin C C ，由2倍角的正弦公式得2sin A ＝2sin B ＝2sin C ，∠A ＝∠B ＝∠C ．3．C解析：由(a ＋b ＋c ）（a ＋b －c ）＝3ab ， 得 a 2＋b 2－c 2＝ab ．∴ cos C ＝ab c b a 2222-+＝21．故C ＝60°． 4．D解析：由正弦定理可得a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶3∶2． 5．D解析：△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形．若△A 2B 2C 2不是钝角三角形，由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧)－(＝＝)－(＝＝)－(＝＝1121121122πsin cos sin 2πsin cos sin 2πsin cos sin C C C B B B A A A ,得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧1212122π2π2πC C B B A A －＝－＝－＝，那么,A 2＋B 2＋C 2＝23π－(A 1＋B 1＋C 1）＝2π，与A 2＋B 2＋C 2＝π矛盾．所以△A 2B 2C 2是钝角三角形． 6．C解析：由A a sin ＝B b sin ，得sin A ＝bB a sin ＝222232⨯＝23，而b ＜a ，∴ 有两解，即∠A ＝60°或∠A ＝120°． 7．A解析：由方程可得（sin A －sin C )x 2＋2x sin B ＋sin A ＋sin C ＝0． ∵ 方程有两个不等的实根,∴ 4sin 2B －4(sin 2A －sin 2C )＞0． 由正弦定理A a sin ＝B b sin ＝Ccsin ,代入不等式中得 b 2－a 2＋c 2＞0， 再由余弦定理，有2ac cos A ＝b 2＋c 2－a 2＞0． ∴ 0＜∠A ＜90°． 8．B解析：由余弦定理得cos A ＝21,从而sin A ＝23，则AC 边上的高BD ＝233． 9．A解析:由cb ac b a －＋－＋333＝c 2⇒a 3＋b 3－c 3＝(a ＋b －c ）c 2⇒a 3＋b 3－c 2（a ＋b )＝0⇒(a ＋b )（a 2＋b 2－ab －c 2）＝0．∵ a ＋b ＞0，∴ a 2＋b 2－c 2－ab ＝0． (1) 由余弦定理（1）式可化为a 2＋b 2－(a 2＋b 2－2ab cos C ）－ab ＝0,得cos C ＝21，∠C ＝60°．由正弦定理A asin ＝B b sin ＝︒60sin c ,得sin A ＝c a ︒60sin ，sin B ＝c b ︒60sin , ∴ sin A ·sin B ＝2260sin cab )(︒＝43， ∴ 2cab＝1，ab ＝c 2．将ab ＝c 2代入(1）式得,a 2＋b 2－2ab ＝0，即(a －b ）2＝0，a ＝b ．△ABC 是等边三角形．10．D解析：由正弦定理得sin A ＝bB a sin ，①中sin A ＝1,②中sin A ＝935．分析后可知①有一解，∠A ＝90°；②有两解，∠A 可为锐角或钝角．二、填空题11．60°或120°． 解析:由正弦定理A a sin ＝B bsin 计算可得sin A ＝23，∠A ＝60°或120°． 12．等腰．解析:由已知得2sin B sin C ＝1＋cos A ＝1－cos(B ＋C )， 即2sin B sin C ＝1－(cos B cos C －sin B sin C )， ∴ cos （B －C ）＝1，得∠B ＝∠C ， ∴ 此三角形是等腰三角形． 13．21或61．解：∵ S ＝21ab sin C ，∴ sin C ＝23,于是∠C ＝60°或∠C ＝120°． 又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ,当∠C ＝60°时，c 2＝a 2＋b 2－ab ,c ＝21； 当∠C ＝120°时，c 2＝a 2＋b 2＋ab ,c ＝61． ∴ c 的长度为21或61． 14．10＋53．解析：由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，然后运用函数思想加以处理． ∵ 2x 2－3x －2＝0， ∴ x 1＝2，x 2＝－21．又cos C 是方程2x 2－3x －2＝0的一个根，∴ cos C ＝－21．由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab ·（－21）＝（a ＋b ）2－ab ，则c 2＝100－a (10－a )＝(a －5）2＋75，当a ＝5时，c 最小，且c ＝75＝53，此时a ＋b ＋c ＝5＋5＋53＝10＋53，∴ △ABC 周长的最小值为10＋53．15．13．解析：由正弦定理及sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶5∶6，可得a ∶b ∶c ＝2∶5∶6，于是可设a ＝2k ，b ＝5k ,c ＝6k （k ＞0)，由余弦定理可得cos B ＝ab c b a 2－＋222＝))((k k k k k 62225－36＋4222＝85， ∴ sin B ＝B 2cos －1＝839． 由面积公式S △ABC ＝21ac sin B ，得21·（2k ）·（6k ）·839＝4393, ∴ k ＝1，△ABC 的周长为2k ＋5k ＋6k ＝13k ＝13．本题也可由三角形面积（海伦公式)得)6213)(5213)(2213(213k k k k k k k －－－＝4393， 即4393k 2＝4393，∴ k ＝1． ∴ a ＋b ＋c ＝13k ＝13．16．6∶5∶4．解析：本例主要考查正、余弦定理的综合应用． 由正弦定理得c a ＝C A sin sin ＝CC sin 2sin ＝2cos C ，即cos C ＝c a 2， 由余弦定理cos C ＝ab c b a 2－＋222＝abb c a c a 2＋－＋2))((． ∵ a ＋c ＝2b ，∴ cos C ＝ab c a b c a b 22＋＋－2⋅)(＝a c a c a 22＋＋－2)(, ∴ c a 2＝a c a c a 22＋＋－2)(． 整理得2a 2－5ac ＋3c 2＝0．解得a ＝c 或a ＝23c ．∵∠A ＝2∠C ，∴ a ＝c 不成立,a ＝23c∴ b ＝2c a +＝223c c +＝c 45，∴ a ∶b ∶c ＝23c ∶c 45∶c ＝6∶5∶4．故此三角形三边之比为6∶5∶4．三、解答题17．b ＝43，c ＝8，∠C ＝90°,∠B ＝60°或b ＝43，c ＝4,∠C ＝30°，∠B ＝120°． 解:由正弦定理知A a sin ＝B b sin ⇒︒30sin 4＝B sin 34⇒sin B ＝23,b ＝43． ∠B ＝60°或∠B ＝120°⇒∠C ＝90°或∠C ＝30°⇒c ＝8或c ＝4．18．分析:设山对于地平面的倾斜角∠EAD ＝，这样可在△ABC 中利用正弦定理求出BC ；再在△BCD 中，利用正弦定理得到关于的三角函数等式，进而解出角． 解：在△ABC 中,∠BAC ＝15°,AB ＝100米，∠ACB ＝45°－15°＝30°．根据正弦定理有︒30sin 100＝︒15sin BC ， ∴ BC ＝︒︒30sin 15sin 100． 又在△BCD 中，∵ CD ＝50，BC ＝︒︒30sin 15sin 100，∠CBD ＝45°,∠CDB ＝90°＋，根据正弦定理有︒45sin 50＝)(θ＋90sin 30sin 15sin 100︒︒︒． 解得cos ＝3－1，∴ ≈42。
成都市小学数学四年级下册第五单元三角形检测（含答案解析）一、选择题1．一个三角形中的最大的一个内角是70°，那么最小的一个内角不可能是（）。
A. 50°B. 43°C. 30°D. 41°2．等腰三角形中，有一个内角是50°，另外两个内角（）．A. 一定是50°和80°B. 一定都是65°C. 可能是50°和80°，也可能都是65°3．下列不是利用三角形稳定性的是（）。
A. 自行车的三角形车架B. 三角形房架C. 照相机的三角架4．一个等腰三角形的顶角是一个底角的3倍。
这个三角形的顶角和一个底角分别是（）度和（）度。
（）A. 102° 35°B. 108° 36°C. 105° 35°5．把一个等边三角形沿其中一条高剪开，分成两个直角三角形，其中一个直角三角形的两个锐角分别是（）。
A. 45°和45°B. 30°和60°C. 30°和30°6．下列三根小棒不能围成三角形的是（）A. 6厘米、8厘米、9厘米B. 8厘米、8厘米、8厘米C. 4厘米、5厘米、9厘米7．下面三组小棒，不能围成三角形的是（）。
A. B. C.8．下面可以围成等腰三角形的一组线段是（）A. 1厘米、1厘米、3厘米B. 2厘米、2厘米、3厘米C. 5厘米、5厘米、10厘米9．下列各线段，不能围成三角形的是（）A. 6cm 6cm 6cmB. 7cm 4cm 4cmC. 2cm 4cm 6cm10．四根小棒都用上，能围成等腰三角形的是（）。
A. B. C.11．下面各说法正确的是（）。
A. 直角三角形只有1条高。
B. 把1.230末尾的0去掉后，所得的数缩小到原来的。
C. 按照“四舍五入”法，近似数为5.21的最大的一位小数是5.209。
