变截面梁的弯矩和位移计算法
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主题词 梁 力法 弯曲力矩 位移 中图分类号 0316; TB 124
1 引言
在土木和航空航天工程实际中, 变截面梁有着广泛的应用。但是变截面梁的控制方程为 变系数微分方程, 求解变系数微分方程一般用近似解法, 要得到好一些的解答, 无论从公式 推演, 或计算机求解都比较复杂。本文根据梁式构件的特点, 用经典的力法方程, 力法方程中 的主、副系数和自由项的莫尔积分用积分表进行求积。可以方便而且精确的得到变截面梁的 弯矩和位移。
强度与环境, 2000 (2)
Structure & Env ironm en t Eng ineer ing, 2000 (2)
变截面梁的弯矩和位移计算法
周必飞
(宁波大学土木建筑工程系, 浙江宁波, 315000)
文摘 变截面梁的控制方程为变线数微分方程, 一般只能用各种近似方法求解, 而且比较复 杂。 对于梁式构件, 本文不求解变系数方程, 而是用力法, 在力法方程中, 主、副系数和自由项的 莫尔积分使用积分表, 可以方便而且精确地求出变截面梁的弯矩和位移。
M{ 1 = L Ν,M p = - L Q Ν — 26 —
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
3 弯矩和位移
3. 1 莫尔积分的求积 把有关各式和参数代入式 (3)～ (7) 和 (10)、(11) , 得到的被积函数其分母均相同。在均
的弯矩式,
M = M p + M{ 1X
(13)
当 Ν= 1 时, 把有关数值代入式 (13) , 可以求出上梁的固端弯矩。
当 h0 h 1 = 0. 2 时,M = - 8. 920619kN m ; 当h0 h 1 = 0. 9 时,M = - 9. 529689 kN m。
下梁的弯矩为
M = M 1’X ’, M{ 1’= - L Ν,
X =-
∃ 1p
2∆11 +
1 k
(9)
其中
∫ ∃1p = L
1 M pM{ 1 dΝ
0 EI
(10)
∫ ∆11 = L
1 0
M{
E
2 1
I
dΝ
(11)
k = 1. 2kN m (为推算值, 且进位到 1. 2kN m , 文献[ 1 ] 未给出 k 值) , 式 (10) 和 (11) 中, 参数 E I 同两端固支变截面梁, 而
Mp=qL 2Fra bibliotek2Ν(1
-
Ν) ,
I=
bh
3 1
12
h0 + h1
1-
h0
3
Ν
h1
— 25 —
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算例中, b = 1m , h 1 = 0. 1m , L = 10m , E = 100Gp a, q = 1kN m , h0 h 1 = 0. 2 或 h0 h 1 = 0. 9。 2. 2 变截面梁组合结构
两个变截面梁通过弹性 (k) 连接成组合结构 (图 3)。
图 3 变截面梁组合结构
∫ ∆11 = L
1 0
M{
E
2 1
I
dΝ
(3)
∫ ∆22 = L
1 0
M{
E
2 2
I
dΝ
(4)
∫ ∆12 =
∆21 = L
1 M{ 1M{
0 EI
2dΝ
(5)
∫ ∃1p = L
1 M pM{
0 EI
1dΝ
(6)
∫ ∃2p = L
1 M pM{
0 EI
2dΝ
(7)
在上述 (3) ～ (7) 各式中, Ν= x L , M{ 1 = L (1 - Ν) ,M{ 2 = L Ν,
为了比较, 本文仍以此二具体例子进行计算。
2 力法方程
2. 1 两端固支变截面梁
周必飞, 男, 1961 年 11 月生, 浙江宁波, 硕士, 讲师, (315000) 宁波大学土木工程系。 收稿日期: 2000201213
— 24 —
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式中,M 即式 (13) 的弯矩式,M{ o = - L Ν, 把有关各式代入式 (15) 并求积, 可得上梁 0 点的 位移。
当 h0 h 1 = 0. 2 时, w = - 0. 102330m ; 当 h0 h 1 = 0. 9 时, w = - 0. 0412272m 。
4 结论
对变截面梁式构件 (包括组合构件) , 求它的弯矩和位移, 可以不解复杂的变系数微分方 程。而用经典的力法, 在力法方程中, 主、副系数和自由项的积分求积, 利用积分表进行, 计算 方便而且得出精确结果。本文的算例结果表明, 力法结合积分表求积是解决变截面梁式构件 的好方法。 此法用于求解超静定变截面曲线拱的内力 (轴力和弯矩) , 也十分有效。 参考文献
当 h0 h 1 = 0. 2 时, w = - 0. 017968m ; 当 h0 h 1 = 0. 9 时, w = - 0. 0036489m 。
(2) 变截面梁组合结构的位移
载荷引起上梁 0 点的位移为
∫ w = L
1 0
M M{
EI
odΝ
(15)
— 27 —
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文献[ 1 ]把有限元法与传递函数法相结合, 发展了一种便于处理变系数微分方程的传递 函数法。 作为应用实例, 利用该法对二个变截面梁进行了具体的分析, 并作了数值模拟。 但 是, 此二个数值算例不能说明提高了该法的单元精度和方法的优越性。该法的总体弯曲刚度 矩阵不对称, 经处理变为对称刚度矩阵。由于算例中梁的长细比大于 100, 载荷又不大, 梁的 宽度 b= 1m。按 E= 100Gp a 推算, 材料的屈服极限大于等于 330M p a, 固支梁中点的弯曲应 力小于 1 83 屈服极限, 组合梁固支端的弯曲应力小于 1 57 屈服极限。 由此可见, 弯曲变形 不是主要的, 不能说明该处理方法的正确性。 另外, 组合结构当 h0 h1= 0. 2 时, 梁的最大位 移已超过梁的最大厚度, 且梁的宽度 b = 1m , 自重载荷比外载荷大, 二种载荷共同作用下, 梁的最大位移更大, 需要考虑非线性的影响, 算例选取不够好。
1 M M{
0 EI
cdΝ
(14)
式中,M 即式 (12) 的弯矩式,M{ c 为沿拟求梁中点 C 的位移方向加单位力而引起的弯矩, 当 Ν
= 0～ 0. 5 时,M c = 0. 5L Ν; 当 Ν= 0. 5～ 1 时,M = 0. 5L (1 - Ν)。把有关各式代入式 (14)
并求积, 可得两端固支变截面梁中点的位移,
当 Ν= 1 时, 把有关数值代入上式, 可以求出下梁的固端弯矩。
当 h0 h 1 = 0. 2 时,M = - 1. 079381kN m ; 当h0 h1 = 0. 9 时,M = - 0. 470311kN m 。
3. 3 位移
(1) 两端固支变截面梁的位移
载荷 q 引起的位移公式为
∫ w = L
布载荷和集中载荷作用下, 二个算例中一共只有四个积分及其组合, 很方便地可以从积分表 中求出精确值。 3. 2 弯矩
(1) 两端固支变截面梁的弯矩 把式 (3) ～ (7) 求积后的数值, 代入式 (1) 和 (2) , 可以求出多余力X 1 和X 2。按叠加原理 可以写出,
M = M p + M{ 1X 1 + M{ 2X 2
1 李海阳, 周建平, 冯志刚。 变截面梁的传递函数近似解法。 强度与环境, 1999 (4) 17～ 23
Ca lcula tion of the Bend ing M om en t and the D isplacem en t for the W edge Beam
Zhou B ifei
(D ep t. of C ivil and A rch itectu re Engr. , N ingbo U n iversity , 315000) ABSTRACT To avo id to so lve differen tia l equa tion w ith va riab le coefficien t , a sim p le fo rce m ethod com b in ing in tegra tion tab le is p resen ted in the p ap er fo r the w edge beam. In the equa tion s of the fo rce m ethod, the quadra tu res of disp lacem en ts due to un ite va lues of the redundan ts and the disp lacem en ts a t the coo rdina te due to the actua l loading on the relea sed structu re a re u sed by in tegra tion tab le. T he conven ien t com p u ta tion and the exact resu lt a re ob ta ined. SUBJECT TERM S B eam , Fo rce m ethod, B ending m om en t, D isp lacem en t1
1 引言
在土木和航空航天工程实际中, 变截面梁有着广泛的应用。但是变截面梁的控制方程为 变系数微分方程, 求解变系数微分方程一般用近似解法, 要得到好一些的解答, 无论从公式 推演, 或计算机求解都比较复杂。本文根据梁式构件的特点, 用经典的力法方程, 力法方程中 的主、副系数和自由项的莫尔积分用积分表进行求积。可以方便而且精确的得到变截面梁的 弯矩和位移。
强度与环境, 2000 (2)
Structure & Env ironm en t Eng ineer ing, 2000 (2)
变截面梁的弯矩和位移计算法
周必飞
(宁波大学土木建筑工程系, 浙江宁波, 315000)
文摘 变截面梁的控制方程为变线数微分方程, 一般只能用各种近似方法求解, 而且比较复 杂。 对于梁式构件, 本文不求解变系数方程, 而是用力法, 在力法方程中, 主、副系数和自由项的 莫尔积分使用积分表, 可以方便而且精确地求出变截面梁的弯矩和位移。
M{ 1 = L Ν,M p = - L Q Ν — 26 —
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3 弯矩和位移
3. 1 莫尔积分的求积 把有关各式和参数代入式 (3)～ (7) 和 (10)、(11) , 得到的被积函数其分母均相同。在均
的弯矩式,
M = M p + M{ 1X
(13)
当 Ν= 1 时, 把有关数值代入式 (13) , 可以求出上梁的固端弯矩。
当 h0 h 1 = 0. 2 时,M = - 8. 920619kN m ; 当h0 h 1 = 0. 9 时,M = - 9. 529689 kN m。
下梁的弯矩为
M = M 1’X ’, M{ 1’= - L Ν,
X =-
∃ 1p
2∆11 +
1 k
(9)
其中
∫ ∃1p = L
1 M pM{ 1 dΝ
0 EI
(10)
∫ ∆11 = L
1 0
M{
E
2 1
I
dΝ
(11)
k = 1. 2kN m (为推算值, 且进位到 1. 2kN m , 文献[ 1 ] 未给出 k 值) , 式 (10) 和 (11) 中, 参数 E I 同两端固支变截面梁, 而
Mp=qL 2Fra bibliotek2Ν(1
-
Ν) ,
I=
bh
3 1
12
h0 + h1
1-
h0
3
Ν
h1
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© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
算例中, b = 1m , h 1 = 0. 1m , L = 10m , E = 100Gp a, q = 1kN m , h0 h 1 = 0. 2 或 h0 h 1 = 0. 9。 2. 2 变截面梁组合结构
两个变截面梁通过弹性 (k) 连接成组合结构 (图 3)。
图 3 变截面梁组合结构
∫ ∆11 = L
1 0
M{
E
2 1
I
dΝ
(3)
∫ ∆22 = L
1 0
M{
E
2 2
I
dΝ
(4)
∫ ∆12 =
∆21 = L
1 M{ 1M{
0 EI
2dΝ
(5)
∫ ∃1p = L
1 M pM{
0 EI
1dΝ
(6)
∫ ∃2p = L
1 M pM{
0 EI
2dΝ
(7)
在上述 (3) ～ (7) 各式中, Ν= x L , M{ 1 = L (1 - Ν) ,M{ 2 = L Ν,
为了比较, 本文仍以此二具体例子进行计算。
2 力法方程
2. 1 两端固支变截面梁
周必飞, 男, 1961 年 11 月生, 浙江宁波, 硕士, 讲师, (315000) 宁波大学土木工程系。 收稿日期: 2000201213
— 24 —
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
式中,M 即式 (13) 的弯矩式,M{ o = - L Ν, 把有关各式代入式 (15) 并求积, 可得上梁 0 点的 位移。
当 h0 h 1 = 0. 2 时, w = - 0. 102330m ; 当 h0 h 1 = 0. 9 时, w = - 0. 0412272m 。
4 结论
对变截面梁式构件 (包括组合构件) , 求它的弯矩和位移, 可以不解复杂的变系数微分方 程。而用经典的力法, 在力法方程中, 主、副系数和自由项的积分求积, 利用积分表进行, 计算 方便而且得出精确结果。本文的算例结果表明, 力法结合积分表求积是解决变截面梁式构件 的好方法。 此法用于求解超静定变截面曲线拱的内力 (轴力和弯矩) , 也十分有效。 参考文献
当 h0 h 1 = 0. 2 时, w = - 0. 017968m ; 当 h0 h 1 = 0. 9 时, w = - 0. 0036489m 。
(2) 变截面梁组合结构的位移
载荷引起上梁 0 点的位移为
∫ w = L
1 0
M M{
EI
odΝ
(15)
— 27 —
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
文献[ 1 ]把有限元法与传递函数法相结合, 发展了一种便于处理变系数微分方程的传递 函数法。 作为应用实例, 利用该法对二个变截面梁进行了具体的分析, 并作了数值模拟。 但 是, 此二个数值算例不能说明提高了该法的单元精度和方法的优越性。该法的总体弯曲刚度 矩阵不对称, 经处理变为对称刚度矩阵。由于算例中梁的长细比大于 100, 载荷又不大, 梁的 宽度 b= 1m。按 E= 100Gp a 推算, 材料的屈服极限大于等于 330M p a, 固支梁中点的弯曲应 力小于 1 83 屈服极限, 组合梁固支端的弯曲应力小于 1 57 屈服极限。 由此可见, 弯曲变形 不是主要的, 不能说明该处理方法的正确性。 另外, 组合结构当 h0 h1= 0. 2 时, 梁的最大位 移已超过梁的最大厚度, 且梁的宽度 b = 1m , 自重载荷比外载荷大, 二种载荷共同作用下, 梁的最大位移更大, 需要考虑非线性的影响, 算例选取不够好。
1 M M{
0 EI
cdΝ
(14)
式中,M 即式 (12) 的弯矩式,M{ c 为沿拟求梁中点 C 的位移方向加单位力而引起的弯矩, 当 Ν
= 0～ 0. 5 时,M c = 0. 5L Ν; 当 Ν= 0. 5～ 1 时,M = 0. 5L (1 - Ν)。把有关各式代入式 (14)
并求积, 可得两端固支变截面梁中点的位移,
当 Ν= 1 时, 把有关数值代入上式, 可以求出下梁的固端弯矩。
当 h0 h 1 = 0. 2 时,M = - 1. 079381kN m ; 当h0 h1 = 0. 9 时,M = - 0. 470311kN m 。
3. 3 位移
(1) 两端固支变截面梁的位移
载荷 q 引起的位移公式为
∫ w = L
布载荷和集中载荷作用下, 二个算例中一共只有四个积分及其组合, 很方便地可以从积分表 中求出精确值。 3. 2 弯矩
(1) 两端固支变截面梁的弯矩 把式 (3) ～ (7) 求积后的数值, 代入式 (1) 和 (2) , 可以求出多余力X 1 和X 2。按叠加原理 可以写出,
M = M p + M{ 1X 1 + M{ 2X 2
1 李海阳, 周建平, 冯志刚。 变截面梁的传递函数近似解法。 强度与环境, 1999 (4) 17～ 23
Ca lcula tion of the Bend ing M om en t and the D isplacem en t for the W edge Beam
Zhou B ifei
(D ep t. of C ivil and A rch itectu re Engr. , N ingbo U n iversity , 315000) ABSTRACT To avo id to so lve differen tia l equa tion w ith va riab le coefficien t , a sim p le fo rce m ethod com b in ing in tegra tion tab le is p resen ted in the p ap er fo r the w edge beam. In the equa tion s of the fo rce m ethod, the quadra tu res of disp lacem en ts due to un ite va lues of the redundan ts and the disp lacem en ts a t the coo rdina te due to the actua l loading on the relea sed structu re a re u sed by in tegra tion tab le. T he conven ien t com p u ta tion and the exact resu lt a re ob ta ined. SUBJECT TERM S B eam , Fo rce m ethod, B ending m om en t, D isp lacem en t1
