第2章 激光器的工作原理

2010-12-14
首都师范大学物理系 王卫宁
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2.2 速率方程组Rate equations
2.2.1 三能级系统和四能级系统 2.2.2 速率方程组 2.2.3 稳态工作时的粒子数密度反转分布 2.2.4 小信号工作时的粒子数密度反转分布 2.2.5 均匀增宽型介质的粒子数密度反转分布 2.2.6 均匀增宽型介质粒子数密度反转分布的饱和效应
2. 球面反射镜的变换矩阵
r1=r2 θ2= －(θ1+2α） β= α +θ1
傍轴近似条件下： β = r1
R
则有：
θ2
=
−
2r1 R
+θ1
⎜⎜⎝⎛θr22 ⎟⎟⎠⎞ = ⎜⎜⎝⎛
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛θr11 ⎟⎟⎠⎞
T
=
⎜⎛ ⎜⎝
1 −2
R
0 ⎟⎞ 1 ⎟⎠
1. 自由空间传播 L 距离的变换
P1
P2:Is源自=πcΔν 2 μB21τ 2
称为饱和光强
¾如果介质中传播的光波频率 ν ≠ ν0 ，则有：
ρf (ν ) = μ If (ν ) = μ I 2 ⋅ f (ν ) = 2 μ I f (ν )
c
c πΔν 2 πΔν πcΔν f (ν0 )
⇒ τ 2 B21 ρ f
(ν)
=
I
⋅ 2 μτ 2 B21 πcΔν
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四能级系统
E3 无辐射跃迁S43
E2
自发辐射 吸收
hν = E2 – E1
R2
E1
无辐射跃迁S10 R1 自发辐射
E0
2.2.1 三能级系统和四能级系统
图(2-4) 三能级系统和四能级系统示意图
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2.2.2 速率方程
ν = ν0 ν ≠ ν0
当腔内光强一定时，Δn 随腔内光波的频率而变：
图(2-6)）Δn 的饱和效应曲线
强度为Is
，ν
=
ν0
±
Δν 2
− n1B12 )ρf
(ν) − n1A10
=
0
解以上方程组可得：
n1 = (R1 + R2 )τ1
n2
=
R2
+
(R1 + R2 )τ1B21ρf A2 + B21ρf (ν)
(ν)
=
R2τ 2
+
(R1 + R2 )τ1τ 2B21ρf 1+τ 2B21ρf (ν)
(ν)
则激光上-下能级粒子数密度反转分布的表达式为：
速率方程是讨论激光器的反转粒子数与增益的基 础；它是一个微分方程组，在稳态情况下，很容 易把这组方程简化成一组代数方程，从而得到稳 态解，由此，可以对激光与介质相互作用的各种 问题进行分析和解释，如： 各能级稳态时的粒子数差， 达到粒子数反转的条件即泵浦条件， 饱和效应以及激光器的其它一些工作特性
¾Δn0的含义：当ρ=0 （or ρ≈0)---小信号工作时粒子数密度反
转值，也是粒子数密度反转可能达到的最大值：
Δnmax = Δn0
代表谐振腔尚未发出激光时的小信号工作状态.
¾而当ρ≠0 时（ I > 0），有Δn < Δn0
ρ=μI
c
--粒子数反转饱和现象
Δn
=
1
+
τ
2
Δno
B21
μI c
f (ν )
Δn
=
n2
−
n1
=
R2τ 2
+
(R1 + R2 )τ1τ 2B21ρf 1+τ 2B21ρf (ν)
(ν)
− (R1
+
R2 )τ1
=
R2τ 2 − (R1 + R2 )τ1 1+τ 2B21ρf (ν)
2.2.5 均匀增宽介质的粒子数密度反转分布
对于均匀增宽的介质
可推出一般情况下（ρ≠0）的粒子数密度反转分布为：
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平行平面镜光束？
虚共心腔？
双凸腔（共轭像点）
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*光学变换矩阵 推导稳定性条件
用 (r,θ)表示光线传播的特性参数， r :光线离轴线的距离，θ: 光线与轴线间夹角
r 光线在某一截面处的坐标向量 θ
符号规则： 光线位置在轴线上方时r 取正，否则取负； 光线的出射方向在轴线上方时θ取正，否则取负
为均匀增宽介质的饱和光强，介质 特征物理量
ΔνH 为介质的线宽 （线型函数半高宽）
2.2.4 小信号工作时的粒子数密度反转分布
Δn
=
n2
−
n1
=
R2τ 2 − (R1 + R2 )τ1 1+τ 2B21ρf (ν)
写为 =
Δn0
1+τ 2B21ρf (ν)
Δn0 = R2τ 2 − (R1 + R2 )τ1
平凹稳定腔
共心腔， 满足R1＋R2＝L
平凹非稳腔
稳定腔
凹凸稳定腔
临界腔
半共心腔，由一个平面镜 和一个凹面镜组成
非稳腔
凹凸腔
共焦腔，R1＝R2=L
半共焦腔，由一个平面镜 和一个R=2L的凹面镜组成
双凸腔
稳定球面腔: 任意傍轴光线在腔内能往返无限 多次而不溢出腔外
闭合光束
对称共焦腔光束
对称共焦腔（ R1=R2=L) 是最重要、最具有代表性的一种稳定腔
⋅
f (ν) f (ν0 )
=
I Is
f (ν) f (ν0 )
7
2.2.6 均匀增宽介质粒子数密度反转分布的饱和效应
⎧ Δn0
Δn = 1+
Δn0 I f (ν)
=
⎪⎪1 + I ⎨ ⎪ [(ν
Is − ν0 )2
+
(Δν
2)2 ]Δn0
I s f (ν0 ) ⎪⎩ (ν − ν0 )2 + (1 + I I s )(Δν 2)2
T
=
⎜⎜⎝⎛
A C
B D
⎟⎟⎠⎞
T中各元素为：
光线在球面腔内往返 n次的变换矩阵为:
Tn = ⎜⎜⎝⎛CA
DB ⎟⎟⎠⎞n
=
⎜⎜⎝⎛
An Cn
Bn Dn
⎟⎟⎠⎞
光线坐标为：
根据 cosϕ = 1 (A+ D) ⇒ 2
满足条件 -1 < (A+D)/2 < 1 时， 满足条件 (A+D)/2 >1 或 (A+D)/2<-1 时， 满足条件 (A+D)/2=-1 或 (A+D)/2= -1 时，
ϕ 值为实数且不等于0或π 时，谐振腔为稳定腔， ϕ 等于0或π 时，谐振腔是临界腔。 ϕ 值不为实数时，谐振腔为非稳腔，
2.1.2 稳定性图及应用
1. 稳定性图
¾稳定工作区：没有斜线的部 分，其中包括坐标原点；
¾不稳定区：画有斜线的阴影 区；
¾临界区：稳定和非稳区边界 上，对工作在临界区的腔，只有 某些特定的光线才能在腔内往返 而不逸出腔外。
Bn Dn
⎟⎟⎠⎞
=
1 sinϕ
⎜⎜⎝⎛
Asinϕ −sin(n Csinnϕ
−1)ϕ
Bsinnϕ Dsinϕ −sin(n
−1)ϕ ⎟⎟⎠⎞
式中： cosϕ = 1 (A+ D) ϕ = arccos1 (A+ D)
2
2
光腔稳定，则矩阵不可发散 -- Tn 矩阵中各元素An、Bn、Cn、Dn
对于任意大的n值都能保持有限大小， ϕ值必须为实数
r2 =
r1
θ2=
θ1
矩阵表达形式为：
⎜⎜⎝⎛θr22 ⎟⎟⎠⎞
=
⎜⎜⎝⎛
1 0
L 1
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛θr11
⎟⎟⎠⎞
= T ⎜⎜⎝⎛θr11 ⎟⎟⎠⎞
称T 为变换矩阵
3. 共轴球面谐振腔
⎜⎜⎝⎛θr55 ⎟⎟⎠⎞ = ⎜⎜⎝⎛
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛θr11 ⎟⎟⎠⎞
光线在腔内往返一周总的变换矩阵是：
3
设
稳定腔 临界腔 非稳腔
定义:
g1
=
1−
L R1
,
g2
=1−
L R2
则稳定性条件的“g”表达:
0<g1 · g2<1 g1 · g2 < 0 或 g1 · g2 >1 g1 · g2 =0 或 g1 · g2 =1
稳定腔 非稳腔 临界腔
1
稳定腔
双凹稳定腔
4. 腔型及光束
临界腔
平行平面腔
非稳腔
双凹非稳腔
¾平行平面腔，图中的A点。只有与腔轴平行的光线才能在腔内往返。
¾共心腔， 满足条件R2＋R2＝L，图中第一象限 g1g2＝1 的双曲线。 ¾半共焦腔，由一个平面镜和一个凹面镜组成，图中C点和D点。
(3) 非稳腔
¾对应图中阴影部分的光学谐振腔都是非稳腔。
习题:
1. 作图并判稳 (a) R1 = R2 = 2L (b) R1 = R2 = (2/3)L
谐振腔的构成和分类
光
闭腔
半导体激光器 固体激光器
学
非稳定腔
谐 振 腔
开腔
侧面没有光学
边界, 只有端面
稳定腔 临界腔
保证旁轴光线在腔内多 次往返而不溢出腔外， 具有较低几何损耗
气体波导腔 不能忽略侧面边界影响