排列组合中的一题多解和一题多变.

排列组合之插板法及变形主要⽤于“相同元素”分到“不同容器”的排列组合。

【例1】共有10本相同的书分到7个班⾥，每个班⾄少要分到⼀本书，问有⼏种不同分法？【解析】注意，这⾥⾯有个隐含的条件，根据常理，7个班肯定是不同的。

如果是书柜，可能是相同的。

因为书是相同的，可以排成⼀排，分给7个班，也就是在这⼀排书中间插⼊6个板，把书分成7份即可。

这排书共10本，中间有9个空，选6个空插板，所以有C(9,6)种分法。

【例2】共有10本相同的书分到7个班⾥，问有⼏种不同分法？【解析】注意这⾥没有要求每个班⾄少要分到⼀本，如果⽤插板法，两个板可以插到同⼀个空⾥。

显然⽤原来的⽅法不能解决。

但思路是⼀样的，把书分给7个班，我们还是插6块板，把书分成7份（如果板中间没有书，说明这⼀份是0）。

但这个时候空位的数量不⼀定了，把思路换⼀下，当插好板以后，书和板⼀共16个位⼦，其实就是16个位⼦选6个位⼦放板。

所以有C(16,6)种分法。

【例3】10个相同的球放⼊编号为1、2、3的盒⼦内，盒内球数不少于编号数，有⼏种不同的放法？【解析】球数不少于编号数，就是1号盒⼦最少放1个球，2号盒⼦最少放2个球...。

如果我们先把2号盒⼦放1个球，2号盒⼦放1个球，就变成每个盒⼦⾄少放⼀个球了，这时可以⽤最普通的插板法。

答案是C(7,2)。

【例4】有10颗相同的糖，每天⾄少吃1颗，共有⼏种吃法？【解析】注意，此题没有确定要⼏天吃完（例如如果要5天吃完，那么就是9个空插4个板，C(9,4)种），所以可以1天吃完，可以两天吃完。

也可以10天吃完。

那么就有C(9,0)+C(9,1)+C(9,2)+...+C(9,9)。

此题有⼀个更简单的思路，根据上⾯的分析，10颗糖排成⼀排，中间有9个空，每个空都可以插板，也可以不插板，插板或不插板各代表⼀种吃法，所以共有2*2*2...*2(9个2）=2^9种吃法。

由此也可以知道，C(9,0)+C(9,1)+C(9,2)+...+C(9,9)=2^9。

浅谈排列组合问题的几种主要解法作者：邱雪婉来源：《教师·下》2012年第06期摘要：排列组合由于内容独特，题目灵活多变，其解题方法也多种多样，学生在解题过程中极易出现“重复”或“遗漏”的错误，又无法对问题的结果进行检验，所以它是中学数学教学的一个难点。

排列组合也是学习概率与统计知识以及进一步学习高等数学有关知识的准备知识。

解决问题的关键在于对概念的深刻理解，正确区分分类和分步两个计数原理的差异，对每个过程作认真、全面的分析，做到不“重”、不“漏”。

笔者在多年的教学中总结出了排列组合问题的常见类型及其应对方法。

关键词：排列组合；分类计数原理；分步计数原理排列与组合是初等代数中比较独特的内容，也是中学数学教学的一个难点，它所研究的对象以及研究问题的方法都与学生已掌握的数学知识有较大的不同。

这部分内容虽少，与旧知识的联系也不多，但是由于题目灵活多样，其解题方法也多种多样，有利于对学生进行逻辑思维能力的训练。

解决排列组合的应用题主要依据的是计数的两个基本原理：分类计数原理和分步计数原理。

一、运用两个基本原理加法原理和乘法原理的区别就在于是否与顺序有关，这两种原理是解排列组合应用题的最基本的方法。

在解给定的具体问题时，弄清分类计数原理和分步计数原理的根本区别，确定是分类问题还是分步问题非常关键，要做到准确无误，需要对两个原理有全面而深刻的认识。

例1 n个人参加某项考试，能否通过，有多少种不同的可能结果？解法1：用分类计数的原理即加法原理。

没有人通过，有C0种结果；1个人通过，有C1种结果；……；n个人通过，有Cn种结果。

所以，一共有C0+C1+…+Cn=2n种可能的结果。

解法2：用分步计数原理即乘法原理。

第一个人有通过与不通过两种可能，第二个人也是这样，……，第n个人也是这样，所以一共有2×2×2×…×2=2n种可能的结果。

小结：①“做一件事，完成它有几类方法”，这是对能够完成这件事所有方法的分类。

1. 将圆周上5个点按如下规则染色:先任选一点染成红色,然后依逆时针方向,第1步转过1个间隔将到达的那个点染红,第2步转过2个间隔将到达的那个点染红,第k 步转过k 个间隔将到达的那个点染红.一直进行下去,可得到_________个红点.解:将5个点依次编号0—4,且不妨设开始染红的是0号点,则第1步染红的是1号点,第2步染红的是3号点,第3步染红的又是1号点.故共可得3个红点.2. 在一圆周上有k 个数，k ≥3.若其中任意三个相邻之数,依顺时针方向分别设为,,a b c ,恒有b a c αβ=+,这里1αβαβ+=≥0,≥0,.证明这k 个数必互相相等.任取其中一数,记为0a ,其余各数依顺时针方向分别记为121,,,k a a a -….对任意的正整数,n k n p k i =⋅+≥, p 是正整数, i 是整数,且01i k -≤≤,令n i a a =,按题意,对任意正整数n,有11n n n a a a αβ-+=+.若0αβ⋅=,结论显然成立.否则,有11()()n n n n a a a a βα+--=-.令1n n n b a a +=-,则1n n b b αβ-=.设100a a b a -==,则()n n b a αβ= 当n k =,有110()k k k k a b a a a a a αβ+==-=-=.由此可得0a =或1αβ=.若0a =,即0,0,1,2n b n ==…,结论显然成立.若有1,αβ=即,0,1,2,n b a n ==…,知数列{}n a 是以0a 为首项,a 为公差的等差数列,则有,00k a a a ka ==+ 即0a =.结论得证. 3. 在一个圆周上均匀分布10个点，以这些点为顶点，可以画出多少个不同的钝角三角形？（补充知识：由直径和圆周上的一点构成的三角形一定是直角三角形，其中直径的边所对的角是直角，所以如果圆周上三点在同一段半圆周上，则这三点构成钝角三角形）．【考点】组合图形的计数．【专题】操作、归纳计数问题．【分析】由直径和圆周上的一点构成的三角形一定是直角三角形，其中直径的边所对的角是直角，所以如果圆周上三点在同一段半圆周上，则这三点构成钝角三角形，依此按照顺序数出钝角三角形的个数即可求解．【解答】解：由图形可知：含A、B两点的钝角三角形有6个；含A、C两点的钝角三角形有5个；含A、D两点的钝角三角形有2个；含A、G两点的钝角三角形有3个；含A、H两点的钝角三角形有2个；含A、I两点的钝角三角形有1个；含B、C两点的钝角三角形有5个；含B、D两点的钝角三角形有3个；含B、E两点的钝角三角形有1个；含B、H两点的钝角三角形有2个；含B、I两点的钝角三角形有1个；含C、D两点的钝角三角形有4个；含C、E两点的钝角三角形有2个；含C、F两点的钝角三角形有1个；含D、E两点的钝角三角形有3个；含D、F两点的钝角三角形有2个；含D、G两点的钝角三角形有1个；含E、F两点的钝角三角形有3个；含E、G两点的钝角三角形有2个；含E、H两点的钝角三角形有1个；含F、G两点的钝角三角形有3个；含F、H两点的钝角三角形有2个；含F、I两点的钝角三角形有1个；含G、H两点的钝角三角形有2个；含G、I两点的钝角三角形有1个；含H、I两点的钝角三角形有1个；共有：（6+5+2+3+2+1）+（5+3+1+2+1）+（4+2+1）+（3+2+1）+（3+2+1）+（3+2+1）+（2+1）+1=19+12+7+6+6+6+3+1=60（个）．答：可以画出60个不同的钝角三角形．故答案为：60个．【点评】本题考查分步计数原理，考查圆的有关问题，是一个综合题，解题的关键是对于圆上的点，怎样能组成钝角三角形．在一个圆周上有7个点，正好将圆周七等分，以这些点为顶点作三角形，可以作4.（2001•上海校级自主招生）在一个圆周上有7个点，正好将圆周七等分，以这些点为顶点作三角形，可以作_____________个等腰三角形．【考点】排列组合．【分析】构成等腰三角形分上述三种情况，看每种情况能做几个，最后把所有的作法加起来就可解决．【解答】解：构成等腰三角形分上述三种情况，每个点都做一次顶点，每种情况能作7个三角形，共可以作21个等腰三角形．故答案为：21．【点评】解决本题的关键是分情况考虑，选定顶点，看能作几个等腰三角形，再看每种三角形能作几个，最后加起来即可．如图1，圆周上顺序排列着1，2，3，…，12十二个数，我们规定：相邻的四个数a1、a2、a3、a4顺序颠倒为a4、a3、a2、a1称为一次“变换”（如1、2、3、4变为4、3、2、1，又如11、12、1、2变为2、1、12、11）．能否经过有限次“变换”，将12个数的顺序变为9，1，2，3，…，8，10，11，12（如图2）？请说明理由．【考点】推理与论证．【分析】5个数经过4次“变换”可将一个数提前4位，其余不变，则经过四次变化，即可得到1，2，3，4，9，5，6，7，8，10，11，12，在1，2，3，4，9这5个数中进行4四变化就可得把9提前，从而得到．【解答】解：12345→15432→34512→32154→51234．这说明经过4次“变换”可将一个数提前4位，其余不变．于是，经过4次“变换”可得：1，2，3，4，9，5，6，7，8，10，11，12．同样，再经过4次“变换”可得：9，1，2，3，4，5，6，7，8，10，11，12．【点评】本题考查了数的变化规律，关键是理解个数经过4次“变换”可将一个数提前4位，其余不变．5. 将圆周上的任意点均染成黑色或白色，对任意一种染色方法．（1）是否一定存在一个直角三角形，其顶点同色，证明你的结论；（2）证明：存在一个等腰三角形，其顶点同色．【考点】进行简单的合情推理．【专题】推理和证明．【分析】（1）若直角三角形的三个顶点在圆周上，则斜边一定为直径，我们把圆分成两个半圆，一半涂黑，一半涂白，则不存在一条直径的两个端点同色，故这样的直角三角形不是一定存在的；（2）取圆的一个内接五边形，则五个顶点中，至少有三个顶点是同色的，进而可得答案．【解答】解：（1）这样的直角三角形不是一定存在的，理由如下：把圆分成两个半圆，一半涂黑，一半涂白，则不存在一条直径的两个端点同色，此时不存在一个直角三角形，其顶点同色．证明：（2）取圆的一个内接五边形，则五个顶点中，至少有三个顶点是同色的，连接这三个顶点，可得到一个等腰三角形，故存在等腰三角形，其顶点同色．【点评】本题考查的知识点是合情推理，本题逻辑性强，证明思路比较难理解，属于中档题．6. 某工厂生产一种圆盘形玩具．在圆盘正面的圆周上均匀分布安装10个小球，其中3个为红球，7个为白球，如图所示，若两个圆盘都正面朝上，可以圆心对圆心，红球对红球，白球对白球叠放在一起，就算同一种规格．问：这类玩具一共可以有多少种不同的规格？【考点】哈密尔顿圈与哈密尔顿链．【分析】当3个红球都不相邻时，7÷3=2…余1；所以最少间隔2+1=3个白球；因此按两个红球间隔白球的数量分：最多间隔3、4、5、6、7个；分类讨论即可得出答案．【解答】解：按两个红球间隔白球的数量分类用黑点代表红球，空心点代表白球，最多间隔3个白球的有2种不同规格：最多间隔4个白球的有4种不同规格：类似地，最多间隔5个白球的有3种不同的规格，最多间隔6个白球的有2种不同规格．最多间隔7个白球的有1种规格．所以，共有不同规格：2+4+3+2+1=12（种）；答：这类玩具一共可以有12种不同的规格．【点评】本题还可以这样理解：7分成3个数的和：007、016、025、034、115、124、133、223共8种，注意这是不加圆盘正面向上这个条件时的答案（即不可反扣），加上这个限制，可以认为016、025、034、124这4个都可以变化出第2种不同排列顺序来，所以是12种．。

排列组合问题解法综述作者：张年良来源：《读写算》2012年第95期排列组合问题是数学中比较抽象的问题，对学生的逻辑思维能力有较高要求。

由于其解法往往是构造性的，因此方法灵活多样，不同解法导致问题难易变化也较大，而且解题过程出现“重复”和“遗漏”的错误较难自检发现。

因而对这类问题归纳总结，并把握一些常见解题模型是必要的。

排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧，它要求我们要认真地审题，对题目中的信息进行科学地加工处理。

一、基础知识复习（1）两个原理的区别与联系定义做一件事，完成它可以有n类办法，第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法…，第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…mn 种不同的方法做一件事，完成它可以有n个步骤，做第一步中有m1种不同的方法，做第二步中有m2种不同的方法……，做第n步中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有定义从n个不同元素中取出m个元素，按一定的顺序排成一列从n个不同元素中取出m个元素，把它并成一组种数所有排列的的个数所有排列的的个数符号二、解题方法和思路（一）. 注意两个基本原理应用加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都要考虑在记数的时候进行分类或分步处理。

例1：n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？解法1：用分类记数的原理，没有人通过，有种结果；1个人通过，有种结果，……；n 个人通过，有种结果。

所以一共有种可能的结果。

解法2：用分步记数的原理。

第一个人有通过与不通过有两种可能，第二个人也是这样，……，第n个人也是这样。

所以一共有种可能的结果。

例2：同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（）（A）6种（B）9种（C）11种（D）23种解：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a、b、c、d。

排列组合专题一定序法（二）元素相同 (1)二、基本变形 (3)（一）变形：空位问题................................................. .-3-（二）变形：插入问题.. (3)（三）变形：位置定序问题............................................. .-4-三、应用：路径问题....................................................... .- 5-（一）二维路径问题................................................... - 5-（二）三维路径问题................................................... .-6-（三）路径问题推广：步骤数固定，步骤不固定. (6)四、应用：条件触发终止型问题............................................. .-7-（一）连中射击问题 (7)（二）对局比赛问题................................................... .-8-五、疑惑诠释：同色摸球的思考............................................. .-8-一、基本模型（一）顺序确定【例1】5个不同的玩偶排成一列，要求A在B前面，有多少种排法？A 5【答案】A22【例2】5个不同的玩偶排成一列，要求A在C前面，C在B前面，有多少种排法?A5【答案】方3 （二）元素相同【例1】5个不同的玩偶排成一列，要求A在B前面，有多少种排法？A5 【答案】工2【练习1】3本相同的数学书与其余6本不同的书排成一排，有多少种排法?A 9 【答案】A ：3【练习2】5名男生，6名女生进行排列，男生顺序一定，女生顺序也一定，有多少种排法?A ii—1^-A 5 A 65 6【练习3】2个红球，3个黄球，4个白球排成一排，有多少种排法?A 99A 2 A 3 A 4 2 3 4【答案】 【答案】二、基本变形（一）变形：空位问题【例1】3个人去坐5个座位，有多少种坐法?（二）变形：插入问题【例1】4个人站成一排，找2个人插入队列中，要求原来4个人的相对位置不变，有多少种排法？A 6【答案】方4【例2】在4枚整齐排列的白球中插入一枚红球和一枚黄球，有多少种方法?A6 【答案】方4（三）变形：位置定序问题【例1】6个西瓜排成一列，前3个位置按照由重到轻的顺序排列，有多少种排法?A 6 【答案】k3【例2】7名同学站一排，个子最高的站中间，其余6个按照从高到底、从中间到左右两边进行排列，有多少种排法？A 66—【答案】A 3 A 333三、应用：路径问题（一）二维路径问题A 77 -A 4 A 34 3 【例2】小明哥小红去活动中心，现两人位置如下，小明先和小红回合然后俩人一到达活动 中心，问小明的最短路径有多少种？ I I 11 1 II ri I 11111 小电【答案】18【答案】 活动中心【例1】如图所示：求A 到B 的最短走法有多少种?（二）三维路径问题【例1】三维直角坐标系中，从点 （0,0,0 ）到点（3,3,3） 每次只能走一个单位，则最短路径有多少种? 【答案】3 3 3【例2】元宵节灯会中如图挂了9盏灯，每次取下一有多少种取法? 【答案】C 3C 39 6（三）路径问题推广：步骤数固定，步骤不固定【例1】已知2X + 3y = 15，%y 均为正整数，有多少种解？【例2】有15根火柴，若规定每次取2根或3根，取完这堆火柴有多少种取法?【答案】28【例3】10阶台阶，一次上一阶或两阶，有多少种走法?【答案】89四、应用：条件触发终止型问题（一）连中射击问题【例1】射击游戏中，击中3次则获胜，恰好射击5次获胜有多少种情况?（二）对局比赛问题【例1】两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则可能出现的情形（个人 输赢局次的不同视为不同情形）共有（）A .10 种B .15 种C .20 种D .30 种【答案】C【例2】口袋中有大小相同，颜色不同的小球各一个，每次从中取一个，记下颜色后放回， 当三种颜色的球全部取出时停止，则恰好取了5次停止的种数为（）【答案】42五、疑惑诠释：同色摸球的思考【例1】有一个箱子里有3个实心球，2个空心球，从中摸出一个球，有多少种摸法？【答案】C 12【例2】箱子里有2个黄球，2个白球，3个红球，4个绿球，从中摸出一个球，有多少种 结果？【答案】C 13。

组合变形习题答案组合变形习题答案是许多学生在数学学习中常常遇到的难题。

组合变形是数学中的一个重要概念，它涉及到排列组合、概率统计等多个数学分支。

在解决组合变形习题时，学生需要灵活运用数学知识和技巧，同时还需要一定的逻辑思维能力。

下面将通过几个典型的组合变形习题，来探讨其解题方法和答案。

第一个习题是关于排列组合的基本原理。

假设有5个不同的球，要从中选择3个球，问有多少种选择方法。

这个问题可以通过排列组合的思想来解决。

首先，我们可以计算出从5个球中选出3个球的排列数，即5P3。

根据排列数的计算公式，我们可以得到答案为5*4*3=60。

所以，这个习题的答案是60种选择方法。

第二个习题是关于二项式定理的应用。

假设有一个骰子，它有6个面，分别标有1、2、3、4、5、6。

现在我们要掷这个骰子4次，问掷出的4个数字之和为10的概率是多少。

这个问题可以通过二项式定理来解决。

首先，我们可以将这个问题转化为求解方程x1+x2+x3+x4=10的非负整数解的个数。

根据二项式定理的应用，我们可以将这个问题转化为求解(x+1)^4的展开式中x^10的系数。

通过计算，我们可以得到答案为20。

所以，这个习题的答案是20种选择方法。

第三个习题是关于概率统计的应用。

假设有一个班级，其中有10个男生和20个女生。

现在我们要从这个班级中随机选择3个学生，问选择的学生中至少有一个男生的概率是多少。

这个问题可以通过概率统计的方法来解决。

首先，我们可以计算出选择的学生中没有男生的概率，即选择的学生全为女生的概率。

根据概率统计的计算方法，我们可以得到答案为C(20,3)/C(30,3)=1140/4060≈0.281。

所以，这个习题的答案是约为0.281的概率。

通过以上几个习题的解答，我们可以看到，组合变形习题的解题方法和答案都需要通过灵活运用数学知识和技巧来得到。

在解决这类习题时，学生需要掌握排列组合、二项式定理、概率统计等多个数学概念和方法，并能够将它们灵活应用于实际问题中。

排列组合基础知识讲座首先看一道简单的例题例1：用1、2、3、4四个数字组成数字不重复的二位数，可以有多少种组法？ 解答：题目的意思是从4个数字中随意选出2个数字，然后组成一个2位数，问一共可以组成多少个这样的2位数。

假设我们随意选取1,2,可以组成12和21，虽然都是由1，2组成，但由于位置不同，仍然是两个不同的数字。

由于和位置有关，所以这是排列问题。

（注意：虽然题目问的是有多少种组法，但仍然属于排列问题）排列公式的定义如下!()!r nn P n r =- r n P 也可写成P （n,r ）其中n 表示总共的元素个数，r 表示进行排列的元素个数，！表示阶乘，例如6！=654321⨯⨯⨯⨯⨯，5!= 54321⨯⨯⨯⨯，但要特别注意1！=0！=1。

假设n=5，r=3，则P （5,3）=5!5432160(53)!21⨯⨯⨯⨯==-⨯在这个题目里，总共的元素个数是4 ，所以n=4，从所有元素中取出2个进行排列，所以r=2。

根据公式P （4,2）=4!432112(42)!21⨯⨯⨯==-⨯ 因此共有12种组法。

下面我们一起来看考试当中出现的一个题目：例2. 黄、白、蓝三个球，从左到右顺次排序，有几种排法?解答：假设我们已经找出了两种排列方法（黄、白 、蓝） 和 （蓝、白、黄），可以发现虽然都是用的一样的球，但因为和位置有关，所以还是两种不同的排法。

很明显这属于排列问题。

在这里，总共的元素个数是3 ，所以n=3，从所有元素中取出3个进行排列，所以r=3。

根据公式P （3,3）=3!3216(33)!1⨯⨯==- （ 计算的时候注意0！=1） 因此共有6种排法。

如果我们把这个题目改一改，变成例3 黄、白、蓝三个球，任意取出两个，对这两个球从左到右顺次排序，有几种排法? 解答这仍然属于排列问题，只不过r 变成了2。

在这里，总共的元素个数是3 ，所以n=3，从所有元素中取出2个进行排列，所以r=2。

根据公式P （3,2）=3!3216(32)!1⨯⨯==- （ 计算的时候注意1！=1） 因此还是有6种排法。

摘要本文意在明确一题多解和多题一解与学生思维能力开展之间的关系，从而使教师在数学解题教学过程中更加重视解题方法对学生思维能力的培养。

本文通过两种典型例题即一题多解型和多题一解型的讲解，阐述了通过不同的例题可以到达对学生思维能力的训练培养的目的。

通过一题多解，可以开阔学生思路、发散学生思维，让学生学会多角度分析和解决问题；通过多题一解，能够加深学生的思维深度，分析事物时学会由表及里，抓住事物的本质，找出事物间在的联系。

与此同时，对一题多解和多题一解的运用，要注意相互结合，灵活运用，不可只求一技，失之偏颇。

关键词：一题多解多题一解思维能力数学解题过程中一题多解与多题一解对学生思维能力的培养引言现代心理学认为，数学是人类思维的体操，在培养人的聪明才智方面起着巨大的作用。

所以，数学教学实质上是数学思维活动的教学。

也就是说，在数学教学中，除了要使学生掌握根底知识、根本技能外，还要注意培养学生的思维能力。

培养学生的思维能力是新课程改革的根本理念，也是数学教育的根本目标之一。

“学生在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概况、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。

这些过程是数学思维能力的具体表达，有助于学生对客观事物中蕴含的数学模式进展思考和做出判断。

〞数学思维能力对形成理性思维有着独特的作用。

因此，作为一名数学教师，应把培养学生的思维能力贯穿在教学的全过程。

市区播送电视大学舒芳教授在《在数学解题教学中培养学生的思维能力》中认为，不同的解题方法，可以培养学生不同的思维方式。

如，一题多解可以培养思维的广阔性；数形结合，可以培养思维的灵活性；巧妙构造，可以培养思维的独创性；逆向探求，可以培养思维的敏捷性；动静变换，可以培养思维的变通性等。

从心理学角度讲，发散性思维和集中性思维的有机结合，正是培养创造性思维的有效途径。

本文着重阐述一题多解与多题一解的灵活运用对培养学生思维能力的重要性。

㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１１０㊀基于元认知理论提升高职生数学解题能力的研究基于元认知理论提升高职生数学解题能力的研究Һ刘甲玉㊀（河南交通职业技术学院，河南㊀郑州㊀４５００００）㊀㊀ʌ摘要ɔ数学是高职教学阶段的重要学科之一．一些学生学习主动性较差，解题能力相对弱一些，这归根到底是受到了元认知水平的局限，导致其在审题时思路不够清晰，未掌握解题方法．所以，在高职数学教学中，要想达到提质增效的目的，教师就要重视学生数学解题能力的提升，将元认知理论渗透到教学的各个环节，有效培养学生的数学思维，提高其核心素养．文章以元认知理论为切入点，在分析高职生数学解题能力提升价值的同时，重点探讨基于元认知理论提升高职生数学解题能力的策略，并结合具体的教学案例明晰各个案例解题的思路，帮助学生掌握解题的方法．ʌ关键词ɔ元认知理论；高职生；数学；解题能力元认知理论在高职数学中的渗透不仅可以弥补学生解决问题能力低的缺陷，还能进一步提高其学习主动性．在数学学科视角下，元认知理论的渗透是非常好的实践性活动，可以使学生掌握数学解题方法，形成对知识的自我认知，由此，使发现㊁分析以及解决问题能力得到较好的培养．本文基于元认知理论，重点针对高职生数学解题能力的提升进行了分析，并给出几点针对性建议，旨在为高职数学教学质量及效率的提高提供有价值的方法．一㊁基于元认知理论提升高职生数学解题能力的价值（一）有利于强化学生认知意识元认知理论强调的是学生对自我认知行为的了解，重点在于培养学生的认知能力，做到动态化调整，使其以最佳状态进行知识探索，在认真分析当前自我学习情况的同时，寻找适合自己的学习目标㊁方法，促进学生学习效果的提升．元认知理论下的高职生会对自我认知意识更加关注，会在客观视角下分析自我学习中的问题，强化自我认知，纠正错误的学习目标及方法，会从数学学科的实践应用性着手，有效掌握抽象知识，并借助大脑中形成的系统化知识体系解决数学问题．因此，元认知理论背景下，学生可在参与学习活动中调整学习目标，挖掘自我学习潜能，明确规划认知过程，端正学习态度，采用适合的方法完成学习任务．（二）有利于提升教学效果高职教育中，学生既需要掌握基础知识，也要有较强的学习意识和解题能力．而元认知理论最为显著的特点便是在课堂教学中高度重视对学生学习习惯和数学思维的培养，将教学活动与学习情况紧密相连，结合学生学情设计更加清晰的教学内容，激发学生学习主观能动性，突出个体差异性特点，使学生可以更好地了解自我学习过程，在不断探究中提高学习能力，教学效果也随之提升．二㊁基于元认知理论提升高职生数学解题能力的策略（一）一题多解，丰富学生元认知知识基于元认知理念，在高职数学解题教学过程中，学生要能够站在不同的视角分析㊁思考㊁探索数学难题，进而找到多种解题的思路及方法．对于一道数学题可以寻求不同的方法解答，这是高职生自我认知形成的过程．在这个过程中，学生思维得到拓展，更加活跃，不仅做到了举一反三，而且能通过多种方法的运用㊁对比找到最佳解题思路，从而使元认知知识更加丰富，解题灵活性也提高了．例如，在 函数与导数 这一课的解题教学过程中，教师便可以引导学生应用一题多解的方法．例１㊀如果函数ｆ（ｘ）＝ｅｘ－ａｘ在ｘɪ（０，＋ɕ）上仅有一个零点，求实数ａ的值．这道数学题在解答的过程中会涉及５个思路．思路１：（单一函数）ｆ（ｘ）＝ｅｘ－ａｘ的图像在ｘɪ（０，＋ɕ）中只有一个零点．思路２：（分离函数）将原来的问题进行转化，ｙ＝ｅｘｘ和ｙ＝ａ在ｘɪ（０，＋ɕ）中只有一个公共点．思路３：（曲线和曲线）将原来的问题进行转化，ｙ＝ｅｘ和ｙ＝ａｘ的图像在ｘɪ（０，＋ɕ）中只有一个公共点．思路４：（指数化对数＋分离参数）由ｅｘ－ａｘ＝０，进㊀㊀㊀解题技巧与方法１１１㊀㊀而得出ｅｘ＝ａｘ，两边同时取对数得出ｘ＝ｌｎａ＋ｌｎｘ，分离参数得出ｘ－ｌｎｘ＝ｌｎａ，所以将原来的问题转化成ｙ＝ｘ－ｌｎｘ和ｙ＝ｌｎａ的图像在ｘɪ（０，＋ɕ）中只有一个公共点．思路５：（换元＋分离参数）由ｅｘ－ａｘ＝０，令ｔ＝ｅｘ（ｔ＞１），所以ｔ－ａｌｎｔ＝０，分离参数得出ａ＝ｔｌｎｔ，所以将原来的问题转化为ｙ＝ｔｌｎｔ和ｙ＝ａ在ｔɪ（１，＋ɕ）中只有一个公共点．此次选择的例题是高职生比较熟悉的函数，目的就是使学生能够将思路 说 出来，进而完成函数问题解决及知识点巩固．此例题常采用单一函数㊁分离参数以及曲线和曲线交点三种方法．思路４和５中呈现的是两种比较新颖的解题方法，运用的是转化法，可引导学生在所学知识基础之上通过一个知识点联想到另一个知识点，相互串联与转化，进而更好地解决函数问题．这也充分体现了换元思想，能使学生掌握转化法，无形之中增加元认知知识．（二）一题多变，提升学生的元认知体验一题多变强调的是题目条件㊁结论的改变，或借助条件的减少与增加等方法找到求解新方法．此方法不仅可以实现学生思维敏锐性㊁应变性㊁创造性等能力的提升，而且能使学生从中获取的元认知体验更加丰富，解题速度更快．依然以 函数与导数 这一课为例，教师可以这样运用一题多变的方法．变式１：如果函数ｆ（ｘ）＝ｅａｘ－ｘ在ｘɪ（０，＋ɕ）中只有一个零点，求实数ａ的取值范围．变式１与例１相比，参数ａ由一次项系数调整为指数一次项系数，目的就是使学生对例１解题中的换元思想进行巩固．此时重点在于对学生选择最佳方法解题意识的培养，让学生增加对问题转化方式的体验．变式２：如果函数ｆ（ｘ）＝ｘｅｘ－ａ（ｘ＋１）２在ｘɪ（－ɕ，０）中有两个零点，请对实数ａ的取值范围进行求解．由例１指数函数㊁一次函数运算进而获取相应函数，至变式２中类二次曲线ｙ＝ｘｅｘ和二次函数经过计算以后获得函数，其中隐含了题目构造形式，其重点在于鼓励学生站在函数模型视角对题目进行更好的理解，引导学生思考函数模型构造，使解题思维能力得到优化的同时元认知体验得到提升．变式３：如果方程ｌｎｘｘ＝ａｘ＋ａ－２在ｘɪ（０，＋ɕ）中有两个根，请对实数ａ的取值范围进行求解．变式４：如果函数ｆ（ｘ）＝ａｘ２＋（ａ－２）ｘ－ｌｎｘ在ｘɪ（０，＋ɕ）中有两个零点，请对实数ａ的取值范围进行求解．变式５：如果函数ｆ（ｘ）＝ａｅ２ｘ＋（ａ－２）ｅｘ－ｘ在ｘɪＲ中有两个零点，请对实数ａ的取值范围进行求解．变式３重点强调的是类二次曲线ｙ＝ｌｎｘｘ和一次函数构成的方程，目的是进一步强化对学生函数模型构造思考能力的培养；变式４是将变式３的分式方程转化成整式方程，目的是对学生方程等价转化意识的培养；变式５和变式４关系密切，是借助换元的形式将变式５转化为变式４；变式３㊁变式４㊁变式５构成一个整体，将复杂解题过程一一展示，由易到难，推进学生函数模型构成思维的形成，再一次深化元认知体验，培养解题素养．（三）多题归一，加强学生的元认知监控多题归一主要运用于习题训练，教师通过此方法的应用可以给予学生正确引导，使学生归纳总结做过的所有习题，通过划分类型㊁再对比找到题目互通点，整理问题解决的相同方法．所以，教师需要在日常教学过程中有针对性地引导学生，逐渐培养其归纳总结的良好习惯．在数学课堂教学环节应用多题归一的方法，一方面，可以使学生学会自主总结㊁归纳解题方法，逐渐形成灵活的解题思路；另一方面，更有利于学生数学元认知监控习惯的养成．㊀图１例２㊀已知Ａ，Ｂ分别是椭圆Ｅ：ｘ２ａ２＋ｙ２＝１（ａ＞１）左㊁右顶点，Ｇ是Ｅ上顶点，ＡＧ㊃ＧＢ＝８，Ｐ是直线ｘ＝６上动点，ＰＡ和Ｅ另一交点是Ｃ，ＰＢ和Ｅ另一交点是Ｄ，椭圆右焦点为Ｆ，Ｒ，Ｑ为椭圆上两点，且满足ｋＡＲ＝７ｋＱＢ，如图１所示．根据图１对以下两个问题进行求解：（１）求解椭圆Ｅ方程；（２）证明：直线ＣＤ过定点．此题目第（２）问的解答方法有很多，教师若仅重视对解法的讲解，学生很难进行知识迁移，即便这一次能够解答出来，下一次遇到同样问题依然会出现设参选择困扰，或者进入大量计算过程中．这时候，教师可给予学生引导，鼓励他们对题目条件进行深入分析，找到Ａ点㊁Ｂ点与原点是对称关系这一重要条件，㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１１２㊀求解时试着运用转化的方法，将３ｋＡＰ＝ｋＰＢ转化成ｋＡＰ㊃ｋＡＤ＝－１２７，接着可以设直线ＣＤ的方程，进而转变成学生常见的题型．为了不断强化学生对此类型问题的元认知监控，教师可在讲解时提出相关题组．题１：已知椭圆Ｃ：ｘ２４＋ｙ２＝１和点Ｇ（０，１），设直线ｌ未经过点Ｇ，且和椭圆Ｃ交于Ａ，Ｂ不同两点，如果直线ＧＡ和直线ＧＢ的斜率和为－１，对直线ｌ过定点进行求证．题２：已知Ａ，Ｂ分别是椭圆Ｃ：ｘ２４＋ｙ２３＝１的左㊁右顶点，过右焦点Ｆ的直线ｌ和椭圆Ｃ交于不同两点Ｃ，Ｄ（Ｃ在Ｄ上方），设直线ＣＡ，ＢＤ的斜率分别是ｋ１，ｋ２，求ｋ１ｋ２的值．题３：已知Ａ，Ｂ分别是椭圆ｘ２４＋ｙ２＝１的左㊁右顶点，Ｒ，Ｑ是椭圆中两点，且满足ｋＡＲ＝７ｋＱＢ，对әＲＱＢ和әＲＱＡ面积差最大值进行求解．题１的设计重点在于学生对直线过点设参方法的巩固，同时强化计算训练；题２则强调如何将所求斜率进行转化；题３的侧重点在于对直线ＲＱ过定点的深层次挖掘．教师通过设计这三个题组，呈现解题思路，来引导学生掌握解题方法，站在多个层面找到最佳解题途径，在题组练习中感受多题归一的思想，使求解速度逐渐加快，解题信心增强，解题兴趣被激发．高职数学解题中会涉及很多重难点知识，教师通过题组形式构建多题归一解题模式，可让学生通过解题训练监控元认知，反问解题关键节点，对相似问题的统一解题方法进行归纳总结，这样不仅可以提高习题训练的效率，而且学生学习的效果也会非常不错．（四）即时提问，培养学生解题反思㊁调节意识在高职数学解题教学环节设疑非常关键．教师通过适时提出合理的问题，可激发学生思维活力，更有利于学生对自我解题思维活动的反思，在自我意识形成中发现㊁分析㊁解决问题，找不足，找方法，找思路，进而提升其解题准确性．例３㊀将２本语文书㊁２本数学书㊁１本英语书随机放于同一层书架中，相同科目均不会相邻的概率为多少？此题目主要是对群体间不相邻问题的求解，解题过程难度较大．有些学生会在求解时运用以下方法：将语文书排列好，确保其不相邻，中间位置穿插１本书，划分成两种类别：（１）中间为英语书，其他４个位置放置数学书，进而形成Ａ２２ˑ１ˑＡ２４＝２４（种）摆放的方法；（２）中间为１本数学书，另一本数学书放于２本语文书中间或者放２本语文书外面，进而形成Ａ２２ˑＡ１２ˑ（Ａ１２＋Ａ１２Ａ１５）＝４８（种）摆放的方法．所以求解概率是Ｐ＝２４＋４８Ａ５５＝３５．教师此时可以提出问题： 刚刚解题中的错误根源在哪里？ 学生回答： 二级分类标准不明晰． 如何修正思路呢？ 在教师的追问下，学生提出具体的方法：先将语文书进行排列，基于特殊元素物理分类标准：（１）英语书放在语文书中间位置，得出Ａ２２ˑＡ２４＝２４（种）方法；（２）２本语文书外面放英语书，得出Ａ２２ˑＡ１２ˑＡ２３＝２４（种）方法．求解得出概率Ｐ＝２４＋２４Ａ５５＝２５．最后教师进行总结：解决排列组合问题的重点在于分类㊁分步方法的运用，同时关注分类标准的选择，要将复杂问题简单化，并提醒学生在解题时出现错漏是常见的，关键在于对思路进行反思，并及时修正与调节．结㊀语社会的快速发展对于人才的要求越来越高，高职生不仅要具备专业技术技能，思维能力㊁学习能力㊁创新意识也要增强．所以，教师在教学中应该积极转变理念㊁方法，重视对学生综合素养的培养，激发学生的知识探索欲．将元认知理论融入高职数学解题教学全过程，既有利于强化学生认知意识，又能实现教育效果的大幅度提高．在数学学科中，学生对解题思路㊁方法的运用是关键，这能够在很大程度上体现其解题能力．为此，教师要重视一题多解㊁一题多变㊁多题归一㊁即时提问等多样化方法的运用，不断丰富学生元认知知识，提升其解题灵活性㊁创造性以及准确性，进一步提高其解题能力．ʌ参考文献ɔ［１］李晖．元认知策略在高中数学教学中的有效运用［Ｊ］．学周刊，２０２２（３０）：５２－５４．［２］徐杰霞．分析利用元认知理论来提高高中生数学解题能力的路径［Ｊ］．数理化解题研究，２０２２（２１）：８－１０．［３］马吉杉．高等数学学习困难及其化解的元认知视角［Ｊ］．科教导刊，２０２１（２６）：４６－４８．。

隔板法题型解析想必众多公考小伙伴在做行测数量排列组合的时候遇到过一种经典的题型，叫做隔板法。

但我们都知道，排列组合在数量中乃是难题一类，如果不掌握一定的技巧和方法，真的很难解对题，要不就是少考虑几种情况，要不就是多考虑了几种情况。

那么今天图图老师就给大家详细的讲解排列组合中的一种经典解法-隔板法，帮助大家拓宽思维，提高正确率，成功备考！首先大家应该明确隔板法适用的题型为相同物体平均分配的问题，其次隔板法之所以不好掌握，就是因为这类题型有三种不同的变形，每一种变形都有其快速的解法，大家一定要好好理解，并熟练的应用到解题中去。

1.“至少分配一个”型【例1】（2014年河南）将7个大小相同的桔子分给4个小朋友，要求每个小朋友至少得到1个桔子，一共有几种分配方法？A．14 B．18C．20 D．22【答案】C【解析】7个物品分给四个小朋友，有6个空，每人至少得到一个，○1要隔入3个板○2一个空不能同时隔入多个板子○3两边不能隔入板子，即有36C=20种。

因此选择C选项。

【结论】m个相同的物品分给n个人，每人至少分得一个，m≥n时，m个物品有m-1个空，分给n个人要隔入n-1个板子，因此每人至少分一个有1-nC种分m1-法。

2.“每人分配多于一个”型【例2】某高校25个三好学生名额分配到高三年级6个班，每班至少3个名额，问共有多少种不同的分配方案？【答案】792【解析】创设隔板情景，每班至少3个名额，我们先给6个班每班分配两个名额，本题即转换为“13个三好学生名额分配到高三年级6个班，每班至少1个名额，问共有多少种不同的分配方案？”这样就可以应用我们经典的隔板法解题思路，13个三好学生名额有12个空，6个班需要隔入5个板子，即有512=792C种不同的分配方案。

【结论】创设隔板情境，我们先把多于一个的名额分配出去，相应的总物品也会减少，同时题目就会比变成第一种“至少分配一个”的题型，再应用经典隔板法，问题便迎刃而解。

第一课时 排列组合问题的解题方法（一）教学目标：掌握几类特殊的排列问题的解决技巧.教学重点：掌握“条件排列”、“集团排列”、“间隔排列”、“部分顺序排列”问题的解题技巧.教学难点：如何应用“技巧”解题．教学过程：【例析技巧】一.集团排列问题：部分元素必须安排在一起（相邻）的排列问题，称之为“集团排列”问题.解决这类问题，常用“捆绑法”，其方法是先排“集团”内部的元素，再把这个大“元素”与其它元素一起排列即可.例1 若7位同学站成一排（1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？（2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？（3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？（4）甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起的排法有多少种？ 解：（1）先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有66A 种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A 种方法．所以这样的排法一共有62621440A A ⋅=种. （2）方法同上，一共有55A 33A =720种. （3）解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有25A 种方法；将剩下的4个元素进行全排列有44A 种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A 种方法．所以这样的排法一共有25A 44A 22A =960种方法. 解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，若丙站在排头或排尾有255A 种方法，所以，丙不能站在排头和排尾的排法有960)2(225566=⋅-A A A 种方法.解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有14A 种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有55A 种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以，这样的排法一共有14A 55A 22A =960种方法． （4）将甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑”在一起看成一个元素，时一共有2个元素，∴一共有排法种数：342342288A A A =（种）说明：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）．二. 间隔排列问题：部分元素不能安排在一起（间隔）的排列问题，称之为“间隔排列”问题.解决这类问题，常用“插空法”，其方法是先排不需要间隔的元素，再将需要间隔的元素通过插空的方式插进来即可.例2 在一条南北方向的步行街同侧有8块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色.若只要求相邻两块牌的底色不都为红色，则不同的配色方案共有（ ）A .55. B.56. C.46. D.45.解：没有红牌，一种方法；有一块红牌，让其插空，有18C 种方法；有二块红牌，让其插空，有27C 种方法；有三块红牌，让其插空，有36C 种方法；有四块红牌，让其插空，有45C 种方法；共有方法12348765155C C C C ++++=种.说明：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）．例3 某仪表显示屏上一排有7个小孔，每个小孔可显示出0或1，若每次显示其中三个孔，但相邻的两孔不能同时显示，则这显示屏可以显示的不同信号的种数有 种.解：四个孔不亮，三个孔亮，相当于三个亮着的孔在四个不亮的孔之间插空，故有35222C ⨯⨯⨯=80种方法.三. 部分不同元素定序与部分相同元素排列问题：部分不同元素在排列前后的顺序固定不变（不一定相邻）的排列问题，称之为“定序排列”问题.解决这类问题的基本方法有三种.（1）“消序法”（有些地方叫“整体法”），即若有m n +个元素排成一列，其中有m 个元素之间的排列顺序不变，将这m n +个元素任意排成一列，共有m n m n A ++种不同的排法，其中未定序的n 个元素排在某一特定位置的排列的个数有m m A 种排法，但只有一个排列是我们所需要的排列，因而共有m n m n m mA A ++种不同的排法.类似地还可推广到一般情形，如有有m n k ++个元素排成一列，其中有m 个元素之间的排列顺序不变，且另外k 个元素之间的排列顺序也不变，则共有m n k m n k m k m kA A A ++++中不同的算法. （2）逐一插空法：先将定序的元素进行排列，再将其它元素逐一插入这组元素两端及中间.（3）优序法：先将所有位置中按“特殊元素”个数选出若干位置，并把这些特殊元素按规定顺序排上去，再将普通元素在其余位置上全排列.例4 若5男5女排成一排，按下列要求各有多少种排法（1）男女相间；（2）女生按指定顺序排列.解：（1）先将男生排好，有55A 种排法；再将5名女生插在男生之间的6个“空挡”（包括两端）中，有552A 种排法.故本题的排法有5555228800N A A =⋅=（种）； （2）方法1（消序法）：10510105530240A N A A ===； 方法2（逐一插空法）：5个女生按序排列，有1中方法，5个男生逐个插空，有6,7,8,9,10种方法，共有67891030240⨯⨯⨯⨯=种方法.方法3（优序法）：设想有10个位置，先将男生排在其中的任意5个位置上，有510A 种排法；余下的5个位置排女生，因为女生的顺序已经指定，所以她们只有一种排法.故本题的结论为510130240N A =⨯=（种）.例5 今有2本相同的语文书，3本相同的数学书，4本相同的英语书排成一排，有多少种不同的排法？解：（消序法）有992342341260A A A A =种. 例6 一个楼梯共18个台阶，12步登完，可一步登一个台阶，也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法？解：根据题意，要想12步登完，只能6个一步登一个台阶，6个一步登二个台阶.因此，把问题转化为“相同元素”的排列问题.因此有12126666924A A A =（种）. 点评：对于部分不同元素定序排列以及相同元素的排列问题，可用优序法.【随堂练习】1．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ B ）A ．40种B ．60种C ．100种D ．120种2.安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有210种.（用数字作答）3．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字，且比20000大的五位偶数有（ ）A.288个B.240个C.144个D.126个4．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 390 种（用数字作答）．5．某校开设9门课程供学生选修，其中,,A B C 三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有 75 种不同选修方案.（用数值作答）6．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 36 种．（用数字作答）【课后作业】1．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有240种．（用数字作答）2．将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i 个数为i a （i =1，2，…，6），若11a ≠，33a ≠，55a ≠，135a a a <<，则不同的排列方法有 30 种（用数字作答）． 解：分两步：（1）先排1a ，3a ，5a ，当1a =2时，有2种；当1a =3时，有2种；当1a =4时，有1种，共有5种；（2）再排2a ，4a ，6a ，共有633=A 种，故不同的排列方法种数为5×6=30，填30．3.中韩两支围棋队各由8人组成，按事先排好的次序出场进行围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，……，直到有一方全部被淘汰为止，另一方获胜，形成一个比赛过程．（1）已知中方动用了5名队员，取得了胜利，问这样的比赛过程有多少种？（2）求由中方第8位选手获得最后胜利的概率.解：（1）中方胜利时，双方共有8+5=13名队员参加了比赛，将他们按淘汰的顺序从左向右排列，则最右为中方5号，右第二个为韩方8号，从右第三个至最左，共11个位置上，有4个位置排中方队员，其余排韩方队员，每一种排法，对应一种比赛结果，故共有411330C =种．（2）714816415C p C ==. 4. 若7位同学站成一排（1）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？（2）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解：（1）解法一：（排除法）3600226677=⋅-A A A ；解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有55A 种方法，此时他们留下六个位置（就称为“空”吧），再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有26A 种方法，所以一共有36002655=A A 种方法．（2）先将其余四个同学排好有44A 种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有35A 种方法，所以一共有44A 35A ＝1440种． 【课后记】第二课时排列组合问题的解题方法（二）教学目标：掌握几类特殊的排列问题的解决技巧.教学重点：掌握“错位排列”、“圆桌排列”、“转化命题”等问题的解题技巧.教学难点：如何应用“技巧”解题．教学过程：【例析技巧】四.错位排列问题n 个不同元素排成一排，有m 个元素（m n ≤）不排在相应位置的排列种数共有： 112233123(1)n n n n m m n m n m n m n m n m n m A C A C A C A C A ---------+-+⋅⋅⋅+-.当n m =时，规定000!1A ==，这个公式亦成立.例7 五封标号为1～5的信放进5个编号为1～5的信笺里面，若信的编号与信笺的编号都不相同，一共有多少种不同放法.解：这是著名的信封问题，很多著名数学家都研究过.瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式：用A 、B 、C ……表示写着n 位友人名字的信封，a 、b 、c ……表示n 份相应的写好的信.把错装的总数记为()f n .假设把a 错装进B 里了，包含着这个错误的一切错装法分两类：（1）b 错装进A 里，这时每种错装的其余部分都与a 、b 、A 、B 无关，应有(2)f n -种错装法.（2）b 错装进A 、B 之外的信封，这时的装信工作实际是把（除a 之外的）信纸b 、c ……装入（除B 之外的）1n -个信封A 、C ……，显然这种错装方法有(1)f n -种.错装的其余部分都与a 、b 、A 、B 无关，应有(2)f n -种错装法.总之在a 错装入B 的错误之下，共有错装法(1)(2)f n f n -+-种.装入D ……的2n -种错误之下，同样都有(1)(2)f n f n -+-种错装法.因此()(1)[(1)(2)]f n n f n f n =--+-，显然(1)0f =，(2)1f =.由此可得(5)44f =.注意：用容斥原理亦可解决此题.普遍结论为错排公式1：1111()![1(1)]1!2!3!!n f n n n =-+-+⋅⋅⋅+-. 错排递推公式2： ()(1)[(1)(2)]f n n f n f n =--+-错排公式3：112233123(1)n n n n m m n mn m n m n m n m n m A C A C A C A C A ---------+-+⋅⋅⋅+-例8 有5个人站成一排，其中A 不站第一位，B 不站第二位，C 不站第三位，D 不站第四位，E 不站第五位，共有多少种不同的站法.解析：上面两例实际上可以看成n 个不同元素中有m （m ≤n ）错位排列的问题. 而这个问题是其特殊情况，即全错位排列问题.共有514233241505545352515044A C A C A C A C A C A -+-+-=种（注意000!1A ==）例9 同室四人各写一张贺年卡，先集中起来.然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡.则四张贺年卡不同的分配方式有A.6种B.9种C.11种D.23种解析：由上面公式得：4132231404434241409A C A C A C A C A -+-+=种，∴选择B 答案.因此可得到全错位排列的公式：n 个不同元素排成一排，第一个元素不在第一位，第二个元素不在第二位，……，第n 个元素不在第n 位的排列数为：11223301230(1)n n n n n n n n n n n n n n A C A C A C A C A -------+-+⋅⋅⋅+-这实际上是公式112233123(1)n n n n m m n m n m n m n m n m n m A C A C A C A C A ---------+-+⋅⋅⋅+-的特殊情况.这个公式很有用，只要有特殊元素不站特殊位置的问题，都可以用这个公式很快得到解决，希望这个公式对大家有所帮助.五. 圆桌排列从n 个不同元素中不重复的取出m （1m n ≤≤）个元素排在一个圆周上，叫做这n 个不同元素的圆排列.如果一个m -圆排列旋转可以得到另一个m -圆排列，则认为这两个圆排列是相同的.特别的，当m n =时，n 个不同元素作成的圆排列总数为(1)!n -.证明：在圆周上任选一个位置排1a 有n 种排法，再选一个位置排2a 有1n -种排法，…，最后一个位置排n a 有1种排法.而这n 个人顺时针（或逆时针）挪动n 次位置都是同一种排列.所以共有!(1)!n n n=-种排法. 例10 有5对夫妇参加一场婚宴，他们被安排在一张10个座位的圆桌就餐，但是婚礼操办者并不知道他们彼此之间的关系，只是随机安排座位。

掌握排列组合的几个常见方法：一、 信箱问题：例：四个人争夺3项冠军，有多少种不同的结果？冠军是信，人是箱：4*4*4=64强化：4本不同的书分给三个人，有多少种不同的分法？书是信，人是箱：3*3*3*3=81二、涂颜色问题：例：将3种作物种植在如图的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有 42 种（以数字作答）这里要求是三种都种若只用两种：如所以：C 32*2 答案：48-6=42强化：有四种不同的颜色涂在四棱锥A-BCDE 的五个定点 处，要求同一线段的两个端点颜色不同，那么不同的 染色方案有 72 种。

这里没有要求用几种A ：4B ：3C ：2 DC 同： 1 E ： 2A ：4B ：3C ：2 DC 不同： 1 E ： 1 4*3*2*1*2+4*3*2*1*1=72三、相邻问题：例、六名同学排成一列，要求甲、乙、丙三名同学必须相邻，有多少种排法？捆绑法：A 44A 33=144强化：有语、数、外、理、化、生六种书各一本，现要排成一列，要求语文和数学必须放在一起，则不同的排列方法有多少种？捆绑法：A 55A 22=240四、不相邻问题：例、现有男生4人，女生3人要排成一列，要求女生不能站在一起，有多少种站法？插空法：男生排队A 44 ，留有5个空挡，所以：A 44A 53=1440强化：1、现有一排椅子共9把，有四人要坐，要求每两人之间有空椅子，有多少种不同的坐法？ 九把椅子拿走四把，剩下五把有六个空挡，四人带椅子插空：A 64=3602、有路灯9盏，现为了省电，要关闭其中三盏，要求关闭的灯不相邻且两端不关闭，则有多少AE C D B种不同的关闭方法？九盏灯拿走三盏，剩下六盏灯不要两边，有五个空挡，四盏灯插空：C 53=10（无顺序）五、相对顺序不变问题：例、在一个已经排好的6个节目的节目单中临时插入4个新节目，那么新节目单有多少种排法？ A 1010/A 66=5040强化：有语、数、外、理、化、生六种书各一本，现要排成一列，要求语文必须在数学的左边，数学必须在外语的左边，则不同的排列方法有多少种？A 66/A 33=120六、不同元素平均分组问题：例、把6个人平均分成三组，有多少种不同的分法？把6个人平均分成甲、乙、丙三组呢？C 62 C 42 C 22/A 33=15 C 62 C 42 C 22=90强化：1. 12名同学到三个不同的路口进行调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ） A 、4441284C C C 种 B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种 D 、444128433C C C A 种 2.把5名新来的同学分到三个班级，每班至少一人，有多少种分配方式？3 1 1 分组：C 53 C 21 C 11/A 22 分配：再乘以A 33 结果：602 2 1 分组：C 52 C 32 C 11/A 22 分配：再乘以A 33 结果：90最终答案：150七、相同元素分配问题：例、现有5个三好学生名额分给三个班级，每班至少一个，有多少种分法？隔板法：五个相同元素排成一排，除去两边，中间有四个空，插入两个隔板，分成三份，对应位置分别为一班二班三班的名额，无顺序：C 42=6强化：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？C 96=C 93=84八、网格问题：B 例、如右图，从A 点到达B 点，按最短路线走， 共有多少种走法？C85=C83=56 A九、小球不在其位问题：例、我们有带有号码1,2,3....的小球和带有号码1,2,3...盒子若干，求把小球放入盒子时，小球号码与盒子的号码不同的放法有多少种？1.两个球，两个盒子，分别标有号码1,2，12.三个球，三个盒子，分别标有号码1,2，3 23.四个球，四个盒子，分别标有号码1,2，3,4 94.五个球，五个盒子，分别标有号码1,2，3,4,5 44习题：某班级有30人，班主任计划随机给班里三个人调位，所有的可能有多少种？C303*2十、成双成对问题例、有五双鞋子，随机取出四只，则恰有两只是一双的取法有120种取一双C51 ，剩下四双取两双各取一只：C42C21C21 C51C42C21C21习题：十对夫妻受邀参加学校组织的家长会，班主任随机找四人发表意见，则恰有两人是夫妻的可能有1440种。

利用一题多解培养学生的发散思维能力
崔军祥
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2015(000)016
【摘要】发散思维又称求异思维,它是从不同角度,用不同方法去观察、思考、想象,追求多样化的创造性思维形式,是指人的大脑在思维时呈现的一种扩散状态的思维模式,它表现为思维视野广阔,思维方式灵活.发散思维是创造性思维的最主要的特点,是测定一个人的创造力的重要指标之一.发散思维是理解教材、灵活运用知识所必须的,因此我们必须重视对学生发散思维能力的培养.一题多解就是用不同的方法解决同一道问题.
【总页数】1页(P140-140)
【作者】崔军祥
【作者单位】泾川县第三中学,甘肃泾川744300
【正文语种】中文
【中图分类】G420
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