《导数在研究函数中的应用-单调性》课件4(人教A版选修1-1)

函数与导函数的图象
[例 1] 已知函数 y＝xf′(x)的图象如图所示(其中 f′(x)是函数 f(x)
的导函数)，下列四个图象中为 y＝f(x)的大致图象的是
()
[活学活用] 函数 f(x)的图象如图所示，则导函数 y＝f′(x)的图象可能是( )
判断(或证明)函数的单调性
[例 2] 证明函数 f(x)＝sinx x在π2，π上单调递减．
3．3
导数在研究函数中的应用
3．3.1 函数的单调性与导数
[提出问题] 已知函数 y1＝x，y2＝x2，y3＝1x的图象如图所示．
[导入新知] 一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与其导函数有如 下关系：
导函数 f′(x)>0 f′(x)<0
函数的单调性 单调_递__增___ 单调_递__减___
[解] (1)∵f′(x)＝12＋cos x， ∴令 f′(x)>0，得12＋cos x>0， 即 cos x>－12. 又∵x∈(0,2π)，∴0<x<23π 或43π<x<2π.
5.与参数有关的函数单调性问题 [典例] 已知函数 f(x)＝x3－ax－1.讨论 f(x)的单调性．
[随堂即时演练]
1．已知函数 f(x)＝x3－3x2－9x，则函数 f(x)的单调递增间是( )A．(3,9)
B．(－∞，－1)，(3，＋∞)
C．(－1,3)
D．(－∞，3)，(9，＋∞)
解析：∵f(x)＝x3－3x2－9x， ∴f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x2－2x－3)． 令 f′(x)＞0，得 x＞3 或 x＜－1. 答案：B
证明：∵f(x)＝sinx x，
∴f′(x)＝sin

(1) 求出函数 f(x)的定义域A；
(2) 求出函f(x)数的导数 f (x) ；
(3)不等式组
x f
A ( x )
0
的解集为f(x)的单调增区间；
(4)不等式组 x A
f
( x )
0
的解集为f(x)的单调减区间；
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20
例3、如图，水以常速(即单位时间内注入 水的体积相同)注入下面四种底面积相同 的容器中，请分别找出与各容器对应的水 的高度h与时间t的函数关系图象。
y2x0
4
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图象是单调上升的.
y3x20(当 x0时 )
5
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在x∈(-∞,0)内
图象是单调下降的.
y
1 x2
0
在x∈( 0,+∞)内
图象是单调下降的.
y
1 x2
0
6
函数的单调性与其导函数正负的关系: 当函数y=f (x)在某个区间内可导时，
如果 f(x)0 , 则f (x)为增函数；
第三章 导数及其应用 y
3.3.1 函数的单调性与导数
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o
x
1
观察下列图象的单调区间, 并求单调区间相应的导数.
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2
图象是单调上升的. y10
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3
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在x∈(-∞,0)内 图象是单调下降的.
y2x0
在x∈( 0,+∞)内 图象是单调上升的.
如果 f(x)0 , 则f (x)为减函数。
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f (x)
例1、 f(x)0 f (x) 0 f (x) 0

上面是否可得下面一般性的结论:
1.回顾一下函数单调性的定义，利用导数的几何 意义，研究单调性的定义与其导数正负的关 系？ 在某个区间（a,b）内， ①如果f’(x)>0， 那么函数y=f(x)在这个区间内单调 递增. ②如果f’(x)<0， 那么函数y=f(x)在这个区间内单调 递减.
1.如果在某个区间内恒有f’(x)＝0，那么函数f(x) 有什么特性？
本题用到一个重要的转化：
m≥f(x)恒成立 m f (x)max m f (x)恒成立 m f (x )min
练习2 若f (x)在（0， 1]上是增函数，求a的取值范围。
已知函数f (x)= 2ax - x 3，x (0, 1],a 0,
解：f (x)=2ax - x3在（ 0， 1]上是增函数， f '(x)=2a - 3x 0在（ 0， 1]上恒成立， 3 2 即：a x 在（0， 1]上恒成立， 2 3 2 3 而g( x ) x 在（0， 1]上的最大值为 ， 2 2 3 a 。 3 2 [ , )
练习: 已知 x 1 ，求证： x ln( x 1)
提示:运用导数判断单调性,
根据函数的单调性比较函数值大小
单调性的定义
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对 于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1 ， x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x) 在区间D上是增函数．
对于函数y＝f(x)在某个区间上单调递增或 单调递减的性质，叫做f(x)在这个区间上的 单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间。
解: (3) 因为
, 所以
因此, 函数
在

当 x = 4 , 或 x = 1时, f '(x) =0。
试画出函数 f (x) 的图象的大致形状.
解:
当1 < x < 4 时, f '(x) >0,可知 f (x) 在此区间内单调递增;
当 x > 4 , 或 x < 1时, f '(x) <0 ,可知 f (x) 在此区间内单调递减;
当 x = 4 , 或 x = 1时, f '(x) =0 .
y
(这两点比较特殊，我们称他们为
“临界点”) 综上, 函数 f (x) 图象的大
致形状如右图所示.
O1
4
x
二、讲授新课-----牛刀小试
练习. 设导函数y=f '(x)的图象如图，则其原函
数可能为( C )
(A) y y=f(x) (B) y y=f(x) o 1 2x o 1 2x
y y f '(x)
1.3.1 函数的单调性与 导数
主讲人：陈桂凤
一、新课导入------复旧知新
1.函数的单调性是怎样定义的？
一般地，设函数f(x)的定义域为I： 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2， 当x1<x2时，都有f(x1)<f (x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数; 当x1<x2时，都有f(x1)>f (x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数;
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有单调性。区间D叫做函数的单调区间。
2.怎样用定义判断函数的单调性？
（1）取值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论
3.怎样用图形判断函数的单调y性？