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矩阵的分块和分块矩阵的定义

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引 言

为了研究行数、列数较高的矩阵,常常对矩阵采用分块的方法.类似于集合的划分，是把矩阵完全地分成一些互不相交的子矩阵，使得原矩阵的每一个元落到一个分快的子矩阵中。以这些子块为元素的矩阵就称为分块矩阵。线形代数以其独特的理论体系和解题技巧而引人入胜。在线性代数中，分块矩阵是一个十分重要的概念,它可以使矩阵的表示简单明了,使矩阵的运算得以简化.而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题.而事实上，利用分块矩阵方法计算行列式，时常会使行列式的计算变得简单，并能收到意想不到的效果。而且利用分快矩阵还可以求出某些矩阵的逆矩阵，证明矩阵的秩等。 个人收集整理 勿做商业用途

1 第一章 矩阵的分块和分块矩阵的定义

设A是数域K上的mn矩阵，B是K上nk矩阵,将A的行分割r段，每段分别包含12rmmm个行，又将A的列分割为s段，每段包含12snnn个列。A=111212122212ssrrrsAAAAAAAAA

于是A可用小块矩阵表示如下：，

其中ijA是ijmn矩阵.对B做类似的分割，只是要求它的行的分割法和A的列的分割法一样。于是B可以表示为

B= 111212122212ssrrrsBBBBBBBBB

其中ijB是ijnk的矩阵。这种分割法称为矩阵的分块。

二．分块矩阵加法和乘法运算

设()ijmnAa()ijmnBb为同型矩阵（行和列数分别相等）。

若采用相同的分块法.

A=111212122212ssrrrsAAAAAAAAA B= 111212122212ssrrrsBBBBBBBBB

则可以直接相加

乘法:设，则C有如下分块形式：

C=111212122212ssrrrsCCCCCCCCC， 个人收集整理 勿做商业用途

2 其中ijC是ijmk矩阵，且

1nijijijiCAB

定义 称数域K上的分块形式的n阶方阵A=12SAAA

为准对角矩阵,其中为阶方阵（）,其余位置全是小块零矩阵。

2、分块矩阵的一些简单基本性质

命题 阶准对角矩阵有如下性质:

（1)、对于两个同类型的n阶准对角矩阵（其中同为阶方阵)，

A=120SAAA B=120SBBB，有；

AB= 11220SSABABAB

（2）、；

（3)、A可逆等价于(1,2,)iAin可逆，且111121rAAAA。

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3 第二章 利用分块矩阵计算行列式

1 引理 设矩阵

H=120SAAA或H=120SAAA

其中A1，A2，…，As是实矩阵，且均为方阵，则｜H｜=|A1｜｜A2|…｜As｜

2 利用分块矩阵计算行列式设A、B分别为m与n阶方阵.计算行列式H=ADCB

2·1 矩阵A或B可逆时行列式|H|的计算

命题1 设A、B分别为m与n阶方阵.证明:

(1)当A可逆时，有ADCB=1ABCAD•

（2)当B可逆时，有ADCB=1ADBCB

证 （1）根据分块矩阵的乘法,有1100EADADCAECBBCAD

由引理知，两边取行列式即得（1).

(2)根据分块矩阵的乘法,有1100ADEDBADBCCBECB

两边取行列式即得(2）。

注意:利用命题1解题时,要注意条件：矩阵A或B可逆.

推论1 设A,B,C，D分别是m,n,n×m和m×n矩阵。证明

(1） mEDBCDCB （3） 个人收集整理 勿做商业用途

4 (2）

nADCE |A-DC｜。 (4)

证明 只需要在命题1的(1)中令A=Em,即得(3);在(2)中令B=En,即得(4）.

推论2 C,D分别是n×m和m×n矩阵。

证明:mnmnEDECDECDCE (5)

证明：证明 在推论1的(3)中，令B=En，在(4）中,令A=Em,即得(5）。

例1 计算下面2n阶行列式

｜2nH｜=adadcbcb (a≠0)

解 令A=aa，B=bb，C=cc，D=dd

且都为n阶方阵。由于a≠0，故A为可逆方阵.

又易知 1111bcadbcadBCADbcad

从而由命题1中(1)得

｜2nH|=11()()nnnADABCADabcadabcdCB

例2 计算行列式

(1) 012111101001naaaa，（ai≠0，i=1,2,…,n); 个人收集整理 勿做商业用途

5 （2）1231231000010000100001nnaaaabbbbc

解 (1）设Q=ADCB，其中A=(0a）,

B=1naa，

C= 1,1,,1T,

D= 1,1,,1T因为ai≠0,i=1，2，…，n,所以B是可逆矩阵。

又易知11111niiiADBCaADBCADBCBa

从而由命题1中的(2)得

ADCB= 1ADBCB1211nniiiaaaaa。=1211nniiiaaaaa

(2）设 Q= nEDCB其中B=(c）,Ｃ=12Tnbbb，Ｄ＝12Tnaaa

由于

CD=12nbbb12Tnaaa=1niiiab

从而由推论1知, Q=1nniiiEDBCDCabCB

2。2 矩阵A=B,C=D时行列式｜H｜的计算

命题2 设A,C是两个n阶方阵.则

ACACACCA

证 根据行列式的性质和引理，有 个人收集整理 勿做商业用途

6 ACCA==0ACCACCACACCAAAC

例3 计算行列式。

D=0000XYZXZYYZXZYX

解 这道题看似简单，但如果方法选择不佳,做起来并不轻松.这里设

0,0XYZACXZY由命题2知

D=ACCA=ACAC=YXZXZYYXZXZY

=22()YXZ22()YXZ= （X+Y+Z）（—X+Y-Z) (X+Y-Z)（—X+Y+Z）

2。3 当A与C或者B与C可交换时行列式｜H｜的计算

命题3 设A，B，C，D都是n阶方阵.

(1)如果AC=CA,则=ADCB=ABCD

(2）如果BC=CB,则ADCB=ABDC

例4 计算例2所给的2n阶行列式.

解 设A，C如例2，则|2nH

=ADCB

而AC=CA，由命题3知：

2nH=ABCDADCB=()nabcdabcdabcdabcdabcd

注意:①这里并不需要a≠0的条件。

②在利用命题3计算高阶行列式时，如果A和C(或B和C)有一个是n阶单位矩阵或者是n阶数量矩阵时，那么计算方法会更简便. 个人收集整理 勿做商业用途

7 3 矩阵H被分成两个特殊矩阵的和时计算行列式|H|

命题4 设A为n阶可逆方阵，α与β均为n维列向量.则TA=1(1)TAA

证 因为

00111TTTEAA （7）

110110TTTEAAAA （8)

由引理,（7）和（8)两边各取行列式,并由于

111001011110TTTTEEEAAAAA

故由(7)和(8)得1TA=TA=1(1)TAA

即 TA=1(1)TAA

注意:在利用这个命题计算n阶行列式时，需要根据具体情况,把原行列式的元素组成的矩阵分成两项,其中一项是n阶可逆矩阵A,该矩阵一般选为对角矩阵，则其行列式和逆矩阵比较容易求出；另一项是n维列向量α与β组成的乘积T这种分法是利用命题4计算n阶行列式的难点，它需要具有较强的观察能力.

例5 计算下列n阶行列式：

①D=023103120123nnnn

②D=123123123123nnnnabaaaaabaaaaabaaaaab 个人收集整理 勿做商业用途

8 解 ①令 A=12n α=1,2,,(1,1,,1)TTn

则有

1121121,2,,112Tnnnn

显然有D=|A+T｜。 再由于|A｜=(—1）·n！,且1TA=（1,2，…,n)

11111121n-n

从而由命题4知:

D=｜A+T｜=｜A｜（1+1TA）

=(1)!(1)nnn

②令A=bbb

12,(a,,)Tnaa

(1,1,,1)T则有 T=11112,(a,,)naa=123123123123nnnnaaaaaaaaaaaaaaaa

且D=|A+T| 再由于｜A|=1TA,且

1TA=12,(a,,)naa

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分块和可逆矩阵及其应用

分块和可逆矩阵及其应用

第３Ｏ卷第１期　２００８年２月　湖州师范学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｕｚｈｏｕ　Ｔｅａｃｈｅｒｓ　Ｃｏｌｌｅｇｅ　Ｖｏ１．３０　ＮＯ．１　Ｆｅｂ．，２００８　

分块和可逆矩阵及其应用　

张锦来　

（朝阳师范专科学校数学系，辽宁朝阳１２２０００）　

摘　要：为使ｎ阶行列式的求值更加简便，给出了一种运用分块矩阵的乘法和可逆矩阵计算ｎ阶行列式的实用方法・　

关键词：分块矩阵；可逆矩阵；ｎ阶行列式　中图分类号：Ｏ１５１．２１　文献标识码：Ａ　文章编号：１００９—１７３４（２００８）０１一Ｏ１１６—０３　

ＭＳＣ　２０００：１５Ａ０９　

各高等代数教材主要介绍了用定义、性质及展开定理计算　阶行列式，常用的技巧有递推法、加边法、　拆项法等，但有些行列式计算起来仍很麻烦．本文给出运用分块矩阵的乘法Ⅲ和可逆矩阵　计算　阶行列　

式的一种方法，该方法能使　阶行列式的求值更加简便易行．　命题１　若Ａ，Ｂ，Ｄ都是　阶矩阵，则　ｊ　Ａ　Ｂ　ｊ—Ｉ　Ａ　Ｉ　Ｉ　Ｄ　Ｉ．　

１　ｏ　Ｄ　１　

证明　利用ｌａｐｌａｃｅ定理　，只要将行列式Ｉ　Ａ。　Ｉ按前　列展开即＿可．　

命题２　若Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ都是　阶矩阵，则　

当Ａ可逆时，　

当Ｄ可逆时，　Ａｃ　ｌ。一　Ｂｌ；　

Ａｃ　ｌ　Ａ－－ＢＤ－１Ｃ　１．　

证明当Ａ可黼由（舍　）（　－－ＥＡ　Ｂ）一（舍。一０　Ｂ）．　

由命题１，　ｌｌＤ　

当。可　（会　ｃ　）一Ａ－。ＢＥ）　ｃ三）　｛　一肋　ｃ－．　

目　一竺ｌＤ—ＣＡ　Ｂ　Ｉ—Ｉ　ＡＤ—ＣＢ　Ｉ．当Ｄ可逆，且ＣＤＡＣ　ＣＡ　Ｉ　Ｉ　特别地，当Ａ可逆，且　一　时，ｌ　ｃ　Ｄ　Ｉ—Ａ　Ｉ　Ｄ一　Ｂ一　一　Ｉ・当Ｄ刚逆’且　

一　时，　Ｄ１１　Ａ－－ＢＤ－￣Ｃ　—ＢＣ　１．　

将命题２的结论加以推广，得到更一般的结论：　命题３　若Ａ为　阶矩阵，Ｄ为ｍ阶矩阵，则　

当Ａ可逆时，Ｉ　Ａｃ　ｆ—ｌ　Ａ　ｌ　ｌ。一ｃＡ１Ｂ　ｌ；　

收稿日期：２００７—１２—２０；修回日期：２００８—０１—０５　作者简介：张锦来，副教授，从事数学教学与研究．

矩阵分块知识点总结

矩阵分块知识点总结

矩阵分块知识点总结

一、 矩阵分块的基本概念

1.1 矩阵分块的定义

矩阵分块是一种对矩阵进行分割的方法，将一个大的矩阵分割成若干个较小的子矩阵，这些子矩阵可以是行向量、列向量或者更小的矩阵。矩阵分块的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。

1.2 矩阵分块的表示形式

矩阵分块可以采用不同的表示形式，其中包括方括号表示、圆括号表示和其他符号表示。以方括号表示为例，一个矩阵可以分割成四个子矩阵，如下所示：

A = [ A11, A12

A21, A22 ]

其中A11、A12、A21、A22为子矩阵，分别表示矩阵A的四个子块。

1.3 矩阵分块的基本性质

矩阵分块具有很多基本的性质，其中包括可交换性、可加性、可乘性等。具体而言，如果矩阵A和B可以进行相应的分块操作，则有以下性质：

可交换性：A和B的分块顺序可以交换，即A*B = B*A。

可加性：矩阵A和B的分块和形式，若A和B可以相应分块，则有(A + B) = A + B。

可乘性：矩阵A和B的分块和形式，若A和B可以相应分块，则有(A * B) = A * B。

1.4 矩阵分块的应用

矩阵分块在实际中有着广泛的应用，其中包括矩阵的运算、方程组的求解、特征值与特征向量的计算等方面。矩阵分块能够简化问题的处理过程，提高计算的效率，使得矩阵的性质更加清晰和易于理解，因此在很多领域中得到了广泛的应用。

二、 矩阵分块的基本类型

2.1 行分块矩阵

行分块矩阵是将一个大的矩阵按照行进行分块，将每一行的元素划分成若干个较小的行向量，从而形成一个行分块矩阵。行分块矩阵的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。

2.2 列分块矩阵 列分块矩阵是将一个大的矩阵按照列进行分块，将每一列的元素划分成若干个较小的列向量，从而形成一个列分块矩阵。列分块矩阵的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。

分块矩阵初等行变换求秩的不等式

分块矩阵初等行变换求秩的不等式

在数学中，分块矩阵初等行变换求秩的不等式是一个重要的概念。通过对分块矩阵进行初等行变换，我们可以得到一个新的矩阵，并通过对这个新矩阵进行求秩，得到一些重要的不等式关系。接下来，我将会详细探讨这一主题，并按照从简到繁的方式进行解释。

一、分块矩阵的定义

让我们回顾一下分块矩阵的定义。一个分块矩阵是由若干个子矩阵组成的大矩阵。通常情况下，这些子矩阵可以是任意大小的矩阵，它们之间通过分块符号进行分割。一个分块矩阵可以表示为：

\[ A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}

\end{bmatrix} \]

其中 \(A_{11}\)、\(A_{12}\)、\(A_{21}\)、\(A_{22}\) 分别是子矩阵。这种表示方法在矩阵分析和线性代数中经常被使用，特别是在矩阵的运算和性质分析中。

二、分块矩阵初等行变换

接下来，让我们来探讨分块矩阵的初等行变换。我们知道，在矩阵的运算中，初等行变换是一种通过交换行、数乘行、行加减倍数行来改变矩阵的运算方法。对于分块矩阵，我们可以运用相似的方法进行初等行变换。对于一个分块矩阵：

\[ A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}

\end{bmatrix} \]

我们可以对其中的子矩阵 \(A_{11}\)、\(A_{12}\)、\(A_{21}\)、\(A_{22}\) 分别进行初等行变换，如交换行、数乘行、行加减倍数行等操作。通过这些初等行变换，我们可以得到一个经过变换的新矩阵。

三、求秩的不等式关系

有了经过初等行变换的新矩阵，我们可以通过对其进行求秩来得到一些不等式关系。根据矩阵求秩的性质，我们可以得到如下的不等式关系：

\[ rank(A) + rank(B) - n \leq rank \begin{pmatrix} A & B

有关分块正定矩阵和分块负定矩阵的一些结论

有关分块正定矩阵和分块负定矩阵的一些结论

科技论坛　・１０１・　有关分块正定矩阵和分块负定矩阵的一些结论　龙少华　（重庆理工大学数学与统计学院，重庆４０００００）　摘要：矩阵的正定性是矩阵理论中一个很重要的理论。矩阵的正定性在系统科学的研究中占有非常重要的地位。本文借助于线性　代数教材上的有关矩阵和二次型的知识，对分块正定矩阵和分块负定矩阵进行了一些探讨，得到了一些相关的结论。　关键词：分块矩阵；正定矩阵；负定矩阵　线性代数是高等学校电子、机械、化工、会计和经管等很多专业　的一门非常重要的基础课。在我们现实世界里，线性问题广泛存在　于科学技术的各个领域。对于某些非线性问题，我们常常通过一些　线性化的方法将非线性问题转化成线性问题进行研究。因此，线性　代数在数学、物理学、医学和工程技术等学科中有非常重要的应用。　线性代数课程的学习非常有助于以后专业课程的学习，也非常有助　于以后的一些相关研究工作。线性代数的研究对象包括矩阵、向量、　向量空间（或称线性空间）、线性变换、线性方程组和二次型等。线性　代数将几何观念和代数方法结合起来，对于强化人们严谨的逻辑推　理能力和归纳综合能力等有非常重要的作用。　二次型在线性代数中具有非常重要的地位。通过对二次型的学　习，除了能进一步加深对线性代数中的一些概念的理解外，还能为　学习空间解析几何，特别是空间解析几何的二次曲面等打下一定的　基础。另外，二次型中的正定矩阵、负定矩阵等理论也被广泛应用于　对系统科学的研究中。在研究一个系统时，我们常常需要研究这个　系统的稳定性。李亚普诺夫函数方法是研究系统的稳定性的一个重　要的方法。我们通常希望所构造的李亚普诺夫函数的导数是一个负　定的二次型。因此，正定矩阵和负定矩阵在对系统科学的研究中占　有非常重要的地位。但是，在线性代数教材中，一般都很少对分块正　定矩阵和分块负定矩阵进行进一步地分析和讨论。本文对分块正定　矩阵和分块负定矩阵进行了一些讨论，得到如下的一些结论。　ｆ　Ａ　１　性质１：设Ａ：　１。｝是正定矩阵，则Ａ。　和Ａ　都是正定　矩阵。　Ｉ　。Ｊ　ｆ厂１　证明：令　＝　Ｉ。通过计算，容易得到　Ｈ＝４　。对于任　～　意的具有适当维数的向量　≠０，式子胁≠０成立。不然，假设　＝０，那么　ＨＴＨｘ＝　＝０，这与　善０相矛盾，所以对　于任意的具有适当维数的向量　≠０，式子Ｈｘ≠０成立。注意到　Ａ是正定矩阵，我们可得　ＩＩ　Ｍｉｘ＞０，即　ＡＨｘ＝４，是正定　矩阵。利用类似的方法，我们同样可得如是正定矩阵。　推论１：设　都是正定矩阵。　性质２：设Ａ＝　则　４，４　…　…　。…　４　４　…４　…　。…　４　４　…４ｊ　…　ｊ　…　是正定矩阵，则　＝ｌ，２，…，刀）　是正定矩阵，　也是正定矩阵，其中ｋ　口。　证明：设　＝　），其中　＝ｄｉａｇ（Ｉ，Ｉ，…，）。通过计算容　易得到Ⅳ　：　＝　。和性质Ｉ的证明相类似，对于任意　的具有适当维数的向量　≠０，式子放≠０成立。不然，假设　＝０，那么可以推出　Ｈ　肋＝　Ｘ＝０，这与　≠０相　矛盾，所以对于任意的具有适当维数的向量　≠Ｏ，式子　≠０成　立。注意到Ａ是正定矩阵，我们可得ＪｒＨｒＡＨｘ＞０，即Ｈｒ￣Ｈｘ：　是正定矩阵。　推论２：设　：　则　＝　４１ｍ　ｎ　。　…　４　：　…　Ａｎ　Ａ　２…Ａ　ｎ　１瑚　。们　Ｌｈ　ｚ　ｍ　…　，　是正定矩阵，　也是正定矩阵，　其中ｋｌ＜ｋ２＜…　且ｋｌ，ｋ２，…，　取值于｛ｌ，ｚ，…，口｝。　性质ｓ：设　兰　】是正定矩阵且　测４　＜　。　证明：设　＝ｌ一　∥Ｊ。通过计算容易得到　４　ｚ～４　。　和性质Ｉ的证明相类似，我们容易得到ＨｒＡＩＩ＞０，即　一４　《＞０。　由４　《＞　（　）（４。　）和４　＜　（４　）　，可得　ｋ　（Ａ甚）（　２Ａ　）＜Ａｚ２Ａｉ　《２＜　ｉ‘Ａ　（　ｉ）Ｊ　鄙Ａ！：　２＜争　！　Ｉ。　由４・＜　，可得　（４。）＜　（　），进一步可得　。《＜，。　性质４：设　乏Ｊ是正定矩阵，其中４　＜　ｚ且Ａ　ｚ是方　阵，贝Ｕ　（　）・　（　。）＜１。　证明：由性质３，我们可得４　《＜　。设　是　任意的一个　特征值，存在一个具有适当维数的向量　≠０，满足　Ｊ。　由４。　＜　（通过性质３很容易看出），我们可得　４：《　＜　，即　Ａ　＜，　。注意到　是《任意的一个特征值且　和４　具　有相同的特征值，由Ａ　＜ｘＴｘ，可以得到Ａｍｏｘ（Ａｌ。）－－…（　）＜Ｉ。　注：由性质１至性质４，我们可以类似地得到分块负定矩阵的一　些相关结论。上述知识在线性代数中教材很少提及。根据矩阵的一　些性质和线性代数教材中有关正定矩阵和负定矩阵的知识，我们不　难得到上述关于分块正定矩阵和分块负定矩阵的结论，这些结论在　研究马尔科夫跳变系统、时滞系统、广义系统等系统的稳定性等问　题中有着非常广泛的应用。　参考文献　［１】同济大学数学系．工程数学：线性代数（第５版）［Ｍ］．北京：高等教育　出版社，２００７．　【２］吴传生，王卫华，曾祥金．经济数学：线性代数（第２版）［Ｍ】．北京：高　等教育出版社，２００９．　【３】王萼芳，石生明．高等代数（第３版）【Ｍ】．北京：高等教育出版社，　２ＯＯ３．　作者简介：龙少华（１９８１一），男，侗族，湖南怀化人，博士，讲师，主要从事数学类专业教学工作和广义系统的研究工作，就职于重庆理　工大学。