向量运算法则

1/7

5)

cos0= x2+y2-x2 +y2

2

(7)平面两点间的距离公式: a=(x,y)，b=(x,y))。

22

11

A(x1,y1)，B(x2,y2))。 (1) 实数与向量的运算法则：设九、卩为实数，则有：

1)结合律:九(pa)=(川)a。

2)分配律：(九+p)=Xa+pa,九(a+b)=Xa+Xb。

(2) 向量的数量积运算法则：

1) a•b=b•a。

2) (Xa).b=X(a.b)=Xa.b=a(Xb)。

3) (a+b)ec=a.c+b.c。

(3) 平面向量的基本定理。

q,e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任何一向量a，有且仅有一

对实数X,X，满足a=Xe+Xe。

121122

(4) a与b的数量积的计算公式及几何意义：a.b=1aIIbIcos0，数量积a.b等于a的长度IaI与b在a的方向上的投影IbIcos0的乘积。

(5) 平面向量的运算法则。

1) 设a=(x,y),b=(x,y)，则a+b=(x+x,y+y)。

11221212

2) 设a=(x,y),b=(x,y)，则a-b=(x-x,y-y)。

11221212

3)设点A(x,y),B(x,y),则AB=OB—OA=(x—x,y—y)。

11222121

4)设a=(x,y),XER,则Xa=(Xx,Xy)。

设a=(x,y),b=(x,y),贝I」a.b=(xx+yy)。

1122•12126)两向量的夹角公式：

d=IABI=AB-AB^；(x—x)2+(y—y)2

A,BV2121

(8)向量的平行与垂直：设a=(x,y),b=(x,y),且b丰0,则有:

1122

1) aIIbOb=Xaoxy-xy=0。

1221

2) a丄b(a丰0)oa•b=0oxx+yy=0。

1212(9)线段的定比分公式： 2/7

设P(x,y),P(x,y),P(x,y)是线段PP的分点，X是实数，且PP=XPP，则

1112221212 3/7

1+J°

C(x,y)，则△ABC的重心的坐

33

标为G(二±4,□二)。

33

(11)平移公式：

x'=x+hIx=x'一h

o

12)关于向量平移的结论。

1) 点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P'(x+h,y+k)。

2) 函数y二f(x)的图像C按向量a=(h,k)平移后得到图像C'：y二f(x-h)+k。

3) 图像C按向量a=(h,k)平移后得到图像C:y二f(x)，则C为y二f(x+h)-k。

4) 曲线C:f(x,y)二0按向量a=(h,k)平移后得到图像C'：f(x-h,y-k)二0。 x+Xx

<一1+[oOP二曲十件oOP=tOP+(1-1)OP(t=1y+九y1+A1

y二2 V1+A

10)三角形的重心公式：

△ABC三个顶点的坐标分别为A(x,y)、B(x,y)、

1122 4/7

设a=(x,y),b=(x',y')1、向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

向量的加法

OB+OA=OC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+O=O+a二a。

向量加法的运算律

交换律：a+b=b+a；

结合律：(a+b)+c二a+(b+c)。⑴

2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0AB-AC=CB.即“共同起点，指向被

向量的减法

减”

a二(x,y)b=(x',y')贝卩a-b=(x-x',y-y').

如图：c=a-b以b的结束为起点，a的结束为终点。 5/7

3、向量的数乘实数入和向量a的乘积是一个向量，记作入a,且丨入a|=|入当入＞0时，入a与a同方向

当入＜0时，入a与a反方向；

向量的数乘当入=0时，入a=0,方向任意。

当a=0时，对于任意实数入，都有入a=0。

注：按定义知，如果入a=0，那么入=0或a=0。

实数入叫做向量a的系数,乘数向量入a的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当入＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（入＞0）或反方向（入＜0）上伸长为原来的丨入丨倍

当入＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（入＞0）或XX反方向（入＜0）上缩短为原来的丨入丨倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律

结合律：（入a）•b二入（a・b）=（a•入b）。

向量对于数的分配律（第一分配律）：（入+u）a=入a+^a.

数对于向量的分配律（第二分配律）：入（a+b）=入a+入b.

数乘向量的消去律：①如果实数入H0且入a=入b,那么a二b。②如果aH0且入a二口a，那么入二口。⑵

4、向量的数量积定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0W〈a,b〉＜n

定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量（没有方向）,记作a・b。若a、b不共线，则a•b=|a|・|b|•cos〈a,b〉（依定义有：cos〈a,b〉=a•b/|a|・|b|）；若a、b共线，则a・b二土|a||b|。

向量的数量积的坐标表示：a•b=x・x'+y・y'。

向量的数量积的运算律

a•b=b•a（交换律

（入a）•b=入（a・b）（关于数乘法的结合律） 6/7

（a+b）•c=a•c+b•c（分配律）

向量的数量积的性质

a・a=|a|的平方

a丄b〈二〉a•b=0。

|a・b|W|a|・|b|。（该公式证明如下：|a・b|=|a|・|b|・|cosa|因为0W|cosa|Wl,所以|a・b|W|a|・|b|）

向量的数量积与实数运算的主要不同点

1. 向量的数量积不满足结合律，即：（a・b）・cHa・（b・c）；例如：

（a•b）"2Ha"2・b"2。

2. 向量的数量积不满足消去律，即：由a•b=a•c（aHO）,推不出b二c。

3. |a・b|与|a|・|b|不等价

4. 由|a|=|b|,推不出a=b或a二-b。

5、向量的向量积定义：两个向量a和b的向量积

向量的几何表示

（外积、叉积）是一个向量，记作aXb（这里“X”并不是乘号，只是一种表示方法，与“•”不同，也可记做“人”）。若a、b不共线，则aXb的模是：丨aXb丨=|a|・|b|•sin〈a,b〉；aXb的方向是：垂直于a和b,且a、b和aXb按这个次序构成右手系。若a、b垂直，则aXb=0。

向量的向量积性质：

丨aXb丨是以a和b为边的平行四边形面积

aXa=0o

a垂直b〈二〉aXb=0

向量的向量积运算律

aXb=-bXa

(入a)Xb二入(aXb)=aX(入b)

aX(b+c)二aXb+aXc.

注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。 7/7

6、三向量的混合积

定义：给定空间三向量a、b、c,向量a、b的向量积aXb,再和向量c作数量积(aXb)•c,

向量的混合积

所得的数叫做三向量a、b、c的混合积，记作(a,b,c)或(abc),即

混合积具有下列性质：

1. 三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V,并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数；当a、b、c构成左手系时，混合积是负数，即(abc)=£V(当a、b、c构成右手系时e=1；当a、b、c构成左手系时e=—1)

2. 上性质的推论：三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=O

3. (abc)=(bca)=(cab)=—(bac)=—(cba)=—(acb)

4. (aXb)•c=a•(bXc)

7•例题

正方形ABCD,EFGA,CHIK首尾相连，L是EH中点，求证LB丄GK?

设AE=a(向量)，AG=a',AD=c,AB=c',CH二b,CK二t有aa'=bb'=cc'=0,a2=a'2,b2=b'2,c2=c'2,a'b=ab',a'c'=-ac,a'c=ac'be二b'c'.b'c二-be'

(*)FH二-a+c+c'+bLB二FH/2-b-c=-a-c+c'-b)/2,GK=-a'+c'+c+b从

(*)：(-a-c+c'-b)•(-a'+c'+c+b')=0.・°・LB丄GK

8、三向量二重向量积由于二重向量叉乘的计算较为复杂，于是直接给出了下列化简公式以及证明过程：

=一吨帀齐-时?旳-74hVa-■卢刀 8/7

-冲鸟门7竟肌■>!哄-FEW；-話耳心・片那?!3

-畑黒「力-厂时山旳也叫-片"-耐眄k罚匡峙-用出-工问川

"岸朮•:h必l；*：店话■初■矗■齐■諒命〕

調Bit"卩!-■?QF二歼卫■叫*O

二重向量叉乘化简公式及证明