群论 第3章 转动群

p144-173讲稿北师大的群论

第一篇：p144-173 讲稿北师大的群论

第三章 完全转动群

复习：

正当转动矩阵为

cos2(1cos)(1cos)sin2R(1cos)sincos(1cos)(1cos)sin(1cos)sin(1cos)sin(1cos)sin 2cos(1cos)可以验证满足detR=1，(R)12cos

用欧拉角表示的正当转动矩阵

cosR(,,)sin0sincos00cos00sin10sincos10sin00cossincos000

1coscoscossinsinsincoscoscossincossincoscossinsincoscoscossinsin

sinsincossincoscossincos可以验证 detR(,,)1

三维空间中全部的正当转动，构成三维空间中的正当转动群，或称为三维完全转动群。记作SO(3).三维空间中全部的正当转动与非正当转动，构成一个群，称为三维空间中的正交群，或称为三维转动反演群。

记作O(3).§3.2 完全转动群SO(3)的不可约表示 函数变换算符PR

Pz,eiˆLz

（3.2-5）

（3.2-18）

Pˆ,eiˆL下面构造SO(3)群的2l1维的表示：

l一定的2l1个球谐函数Ylm(,)，构成一个2l1维的完备的表示空间

Pˆ,Yl(,)mˆ,)m'mYl(,)D(m'm'l 表示的特征标：

Pz,Yl(,)Pl(cos)emmim()Yl(,)emim得到第m列的表示矩阵元 D(z,)m'melimm'm（3.2-28）

第4章 点群习题

1． 设O是三维实正交群O(3, R)的一个元素，Ck()和Sk()分别为空间转动和转动反射，＝detO，证明：OCk()O-1＝COk(), OSk()O-1＝SOk().

2． 设一点群有4阶轴C4，和过C4的反射面v，证明：必存在4个过C4的反射面。

3． 设g＝{Ta, O}（其中Ta为平移，O为实正交变换）是三维欧几里德群E(3)的一个元素，求g的逆元素g-1。(欧几里德群E(3)是由所有保持R3中任意两点距离不变的变换构成的群。)

4． 设点群有奇数阶转动轴S2n+1，证明：必存在独立的转动轴C2n+1和水平反射面h。

5． 证明：4n阶转动反射轴S4n不含反演元素I。

6． 求出二维实空间中所有点群。

7． 证明Sn群当n为奇数时等于Cnh群。

8． （1）在C3群中，增加空间反演元素，构成什么群？（2）在C5v群中，增加水平反射面h，构成什么群？（3）在C3h群中，增加转动反射轴S6，构成什么群？（4）在D3d群中，减去转动反射轴S6, 构成什么群？

9． 求出D6群的全部不等价不可约表示，并给出其特征标表。

10. 求出C4h群的全部不等价不可约表示，并给出其特征标表。

11. 求出D4d群的全部不等价不可约表示，并给出其特征标表。

12. 确定下列分子所属点群：

(a)CHFClBr (b) H2O2 (c) H2O (d) NH3

(e) 无对称中心的线形分子 (f) 反式的CHCl=CHCl (g)反式CHClBr-CHClBr (h)部分交错式的CH3-CH3

(i)三氟化硼（BF3） (j)有对称中心的线形分子 (k)丙二烯（CH2=C=CH2） (l)交错式乙烷（CH3-CH3）

(m)CH4 （n）SF6

3.2 刚体定轴转动的动力学

第3章刚体的定轴转动大学物理第二版1主讲: 刘玉波3.2 刚体定轴转动的动力学

第3章刚体的定轴转动大学物理第二版2刚体：在力的作用下, 物体的大小和形状都保持不变，称为刚体.在讨论问题时可以忽略由于受力而引起的形状和体积的改变的理想模型。研究方法：运动学：用角量研究整体运动。动力学：整体运动的原因及规律(力矩)。力矩的时间、空间积累效应。研究思路：把刚体质点化，把质点运动规律应用于质点系，从而导出刚体整体运动规律。第3章刚体的定轴转动3.2 刚体定轴转动的动力学第3章刚体的定轴转动大学物理第二版33.1 刚体定轴转动的运动学一刚体的平动与转动刚体运动：平动转动定轴转动非定轴转动刚体平动质点运动平动：若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线.3.2 刚体定轴转动的动力学第3章刚体的定轴转动大学物理第二版4转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动. 转动又分定轴转动和非定轴转动.刚体的非定轴转动. 3.1 刚体定轴转动的运动学3.2 刚体定轴转动的动力学第3章刚体的定轴转动大学物理第二版5刚体的一般运动质心的平动绕质心的转动+3.1 刚体定轴转动的运动学3.2 刚体定轴转动的动力学

第3章刚体的定轴转动大学物理第二版6二刚体绕定轴转动的角速度和角加速度1 角速度和角加速度刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动，而刚体转动时，转轴固定不动—定轴转动.)θzxPPOθdtd参考平面上一点P：可用位矢、角坐标确定位置。r)(tθθ用的正、负表示其方位(约定：逆时针为正，顺时针为负）。θ角速度：描述转动快慢的物理量。tdd矢量方向：右手螺旋法则。单位：弧度/秒( rad/s )。3.1 刚体定轴转动的运动学3.2 刚体定轴转动的动力学

第3章刚体的定轴转动大学物理第二版7刚体定轴转动(一维转动)的转动方向可以用角速度的正负来表示。角加速度：描述角速度变化快慢的物理量。tdd瞬时角加速度，矢量。方向：用正、负号表示(如图)。单位：弧度/秒2 (rad/s2)。若已知求，或已知求，用积分。ωθωtddtdd00zz3.1 刚体定轴转动的运动学3.2 刚体定轴转动的动力学

正四面体：顶点4个，面4个，棱6条，均为等边三角形

转动群 顶点 面 棱 个数

不动 (1)4 (1)4 (1)6 1

顶点-面心 ±120度 (1)(3) (1)(3) (3)2 8

棱心-棱心 180度 (2)2 (2)2 (1)2(2)2 3

正六面体：顶点8个，面6个，棱12条，均为正方形

转动群 顶点 面 棱 个数

不动 (1)8 (1)6 (1)12 1

面心-面心, ±90度 (4)2 (1)2(4) (4)3 6

面心-面心，180度 (2)4 (1)2(2)2 (2)6 3

棱心-棱心，180度 (2)4 (2)3 (1)2(2)5 6

空间对角线±120度 (3)2(1)2 (3)2 (3)4 8

正八面体：顶点6个，面8个，棱12条，均为等边三角形

转动群 顶点 面 棱 个数

不动 (1)6 (1)8 (1)12 1

顶点-顶点 ±90度 (1)2(4) (4)2 (4)3 6

顶点-顶点 180度 (1)2(2)2 (2)4 (2)6 3

棱心-棱心 180度 (2)3 (2)4 (1)2(2)5 6

面心-面心 ±120度 (3)2 (3)2(1)2 (3)4

8

正十二面体：顶点20个，面12个，棱30条，均为正五边形

转动群 顶点 面 棱 个数

不动 (1)20 (1)12 (1)30 1

面心-面心±72,±144度 (5)4 (1)2(5)2 (5)6 24

棱心-棱心180度 (2)10 (2)6 (1)2(2)14 15

顶点-顶点±120度 (1)2(3)6 (3)4 (3)10 20

正二十面体：顶点12个，面20个，棱30条，均为等边三角形

转动群 顶点

面 棱 个数

不动 (1)12 (1)20 (1)30 1

顶点-顶点±72,±144度 (1)2(5)2 (5)4 (5)6 24

棱心-棱心180度 (2)6 (2)10 (1)2(2)14 15