[历年真题]2015年湖南省高考数学试卷(理科)

2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(理科)一㊁选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出四个选项中,只有一项是符合题目是符合题目要求的.1.已知(1-i )2z=1+i (i 为虚数单位),则复数z =( )A.1+i B .1-i C .-1+iD.-1-i2.设A ,B 是两个集合,则 AɘB =A 是 A⊆B的( )A.充分不必要条件B .必要不充分条件B .充要条件 D.既不充分也不必要条件3.执行如图所示的程序框图,如果输入n =3,则输出的S =( )(第3题)A.67B .37C .89D.494.若变量x ,y 满足的束条件x +y ȡ-1,2x -y ɤ1,y ɤ1,{则z =3x -y 的最小值为( )A.-7B .-1C .1D.25.设函数f (x )=l n (1+x )-l n (1-x ),则f (x )是( )A.奇函数,且在(0,1)上是增函数B .奇函数,且在(0,1)上是减函数B .偶函数,且在(0,1)上是增函数D.偶函数,且在(0,1)上是减函数6.已知x -a x æèçöø÷5的展开式中含x 32的项的系数为30,则a =( )A.3B .-3C .6 D.-67.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )(第7题)附:若X ~N (μ,σ2),则P (μ-σ<X ɤμ+σ)=0.6826,P (μ-2σ<X ɤμ+2σ)=0.9544.A.2386B .2718B .3413D.47728.已知点A ,B ,C 在圆x 2+y 2=1上运动,且A B ʅB C ,若点P 的坐标为(2,0),则|P A ң+P B ң+P C ң|的最大值为( )A.6B .7C .8D.99.将函数f (x )=s i n 2x 的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位后得到函数g (x )的图象.若对满足|f (x 1)-g (x 2)|=2的x 1,x 2,有|x 1-x 2|m i n =π3,则φ=( )A.5π12B .π3C .-π4 D.π610.某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为( )(材料利用率=新工件的体积原工件的体积).(第10题)A.89πB .169πC .4(2-1)3πD.12(2-13)π二㊁填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.ʏ20(x -1)d x = .12.在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示. 1300345668891411122233445556678150122333(第12题)若将运动员按成绩由好到差编为1~35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是 .13.设F 是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1的一个焦点.若C 上存在点P ,使线段P F 的中点恰为其虚轴的一个端点,则C 的离心率为 .14.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1=1,且3S 1,2S 2,S 3成等差数列,则a n = .15.已知函数f (x )=x 3,x ɤa ,x 2,x >a .{若存在实数b ,使函数g (x )=f (x )-b 有两个零点,则a 的值范围是 .三㊁解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)本小题有Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ三个选做题,请考生任选两题作答,并将解答过程写在答题卡中相应题号的答题区域.如果全做,则按所做的前两题计分.Ⅰ.(本题满分6分)选修4-1:几何证明选讲如图,在☉O 中,相交于点E 的两弦A B ,C D 的中点分别是M ,N ,直线M O 与直线C D 相交于点F .证明:(i )øM E N +øN O M =180ʎ;(i i )F E ㊃F N =F M ㊃F O .(第16题)Ⅱ.(本题满分6分)选修4:坐标系与参数方程已知直线l :x =5+32t ,y =3+12t .ìîíïïïï(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=c o s θ.(ⅰ)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程;(ⅱ)设点M 的直角坐标为(5,3),直线l 与曲线C 的交点为A ,B ,求|M A |㊃|M B |的值.Ⅲ.(本题满分6分)选修4-5:不等式选讲设a <0,b >0,a +b =1a +1b.证明:(ⅰ)a +b >2;(ⅱ)a 2+a <2与b 2+b <2不可能同时成立.17.(本小题满分12分)设әA B C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=b t a n A,且B为钝角.(Ⅰ)证明:B-A=π2;(Ⅱ)求s i n A+s i n C的取值范围.18.(本小题满分12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从装有4个红球㊁6个白球的甲箱和装有5个红球㊁5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球.在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖. (Ⅰ)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(Ⅱ)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中一等的次数为X,求X的分布列和数学期望.19.(本小题满分13分)如图,已知四棱台A B C D-A1B1C1D1的上㊁下底面分别是边长为3和6的正方形,A1A=6,且A1Aʅ底面A B C D.点P,Q分别在棱D D1,B C上.(Ⅰ)若P是D D1的中点,证明:A B1ʅP Q;(Ⅱ)若P Qʊ平面A B B1A1,二面角P-Q D-A的余弦值为37,求四面体A D P Q的体积.(第19题)20.(本小题满分13分)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的一个焦点.C1与C2的公共弦的长为26.(Ⅰ)求C2的方程;(Ⅱ)过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且A Cң与B Dң同向.(i)若|A C|=|B D|,求直线l的斜率;(i i)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:直线l绕点F旋转时,әM F D总是钝角三角形.21.(本小题满分13分)已知a >0,函数f (x )=e a xs i n x x ɪ[0,+ɕ]().记x n 为f (x )的从小到大的第n (n ɪN *)个极值点.证明:(Ⅰ)数列{f (x n )}是等比数例;(Ⅱ)若a ȡ12-1,则对一切n ɪN *,x n <|f (x n )|恒成立.。

2015年湖南省高考数学试卷（理科）一、选择题，共10小题,每小题5分，共50分1．(5分)（2015•湖南）已知=1+i(i为虚数单位），则复数z=（)A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分）(2015•湖南）设A、B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B"的(）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（5分）（2015•湖南)执行如图所示的程序框图,如果输入n=3，则输出的S=(）A． B． C． D．4．(5分）(2015•湖南）若变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为(）A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．25．(5分）(2015•湖南）设函数f（x)=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x)是（)A．奇函数,且在（0,1)上是增函数B．奇函数,且在(0,1)上是减函数C．偶函数,且在(0，1）上是增函数D．偶函数,且在(0，1)上是减函数6．（5分）(2015•湖南）已知(﹣）5的展开式中含x的项的系数为30，则a=(）A． B．﹣C．6 D．﹣67．（5分)（2015•湖南）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（)附“若X﹣N=(μ，a2），则P(μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0。

6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ)=0。

9544．A．2386 B．2718 C．3413 D．47728．(5分）（2015•湖南）已知A,B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则|｜的最大值为()A．6 B．7 C．8 D．99．(5分)(2015•湖南)将函数f（x)=sin2x的图象向右平移φ(0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足｜f（x1）﹣g（x2）｜=2的x1、x2,有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A． B． C． D．10．(5分)（2015•湖南）某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=）（)A． B． C． D．二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）(2015•湖南）（x﹣1）dx=．12．（5分）（2015•湖南）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间［139,151］上的运动员人数是．13．(5分）（2015•湖南）设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为．14．（5分）(2015•湖南)设S n为等比数列{a n｝的前n项和，若a1=1,且3S1,2S2，S3成等差数列，则a n=．15．(5分)(2015•湖南）已知函数f(x）=若存在实数b，使函数g（x)=f（x)﹣b有两个零点，则a的取值范围是．三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4—1：几何证明选讲16．（6分）（2015•湖南）如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M,N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：（1）∠MEN+∠NOM=180°（2）FE•FN=FM•FO．选修4—4：坐标系与方程17．（6分）（2015•湖南）已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；(2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求｜MA｜•｜MB｜的值．选修4—5：不等式选讲18．(2015•湖南）设a＞0，b＞0,且a+b=+．证明:(ⅰ）a+b≥2；（ⅱ）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．19．(2015•湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；(Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．20．（2015•湖南)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球,在摸出的2个球中，若都是红球,则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．21．（2015•湖南）如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6,且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1、BC上．(1）若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；（2)若PQ∥平面ABB1A1,二面角P﹣QD﹣A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积．22．（13分)(2015•湖南）已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点．C1与C2的公共弦长为2．（Ⅰ）求C2的方程；(Ⅱ）过点F的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且与同向．（ⅰ）若｜AC｜=｜BD｜，求直线l的斜率;（ⅱ）设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形．23．(13分）（2015•湖南)已知a＞0，函数f（x）=e ax sinx(x∈[0,+∞])．记x n为f(x）的从小到大的第n(n∈N＊）个极值点．证明：(Ⅰ)数列｛f（x n）｝是等比数列;(Ⅱ）若a≥，则对一切n∈N*，x n＜｜f（x n）|恒成立．2015年湖南省高考数学试卷(理科）参考答案与试题解析一、选择题，共10小题，每小题5分,共50分1．（5分)（2015•湖南）已知=1+i（i为虚数单位）,则复数z=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值．【解答】解：∵已知=1+i（i为虚数单位），∴z===﹣1﹣i,故选：D．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．2．（5分）（2015•湖南）设A、B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】集合;简易逻辑．【分析】直接利用两个集合的交集，判断两个集合的关系,判断充要条件即可．【解答】解：A、B是两个集合,则“A∩B=A”可得“A⊆B”，“A⊆B"，可得“A∩B=A"．所以A、B是两个集合，则“A∩B=A"是“A⊆B"的充要条件．故选：C．【点评】本题考查充要条件的判断与应用,集合的交集的求法，基本知识的应用．3．（5分）（2015•湖南）执行如图所示的程序框图,如果输入n=3，则输出的S=() A． B． C． D．【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与i的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：判断前i=1，n=3，s=0，第1次循环,S=,i=2,第2次循环,S=,i=3，第3次循环，S=，i=4，此时,i＞n,满足判断框的条件，结束循环，输出结果:S===故选：B【点评】本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力4．(5分）（2015•湖南）若变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为（）A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．2【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标,数形结合得答案．【解答】解:由约束条件作出可行域如图，由图可知,最优解为A，联立，解得C（0，﹣1)．由解得A(﹣2,1），由，解得B（1,1）∴z=3x﹣y的最小值为3×（﹣2）﹣1=﹣7．故选：A．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法,是中档题．易错点是图形中的B点．5．（5分)（2015•湖南)设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln(1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0,1）上是增函数B．奇函数,且在(0，1)上是减函数C．偶函数,且在（0,1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．【解答】解：函数f(x）=ln(1+x）﹣ln(1﹣x），函数的定义域为(﹣1，1），函数f（﹣x）=ln(1﹣x）﹣ln（1+x)=﹣［ln（1+x）﹣ln(1﹣x）]=﹣f（x)，所以函数是奇函数．排除C，D，正确结果在A，B,只需判断特殊值的大小,即可推出选项,x=0时，f（0）=0;x=时，f（）=ln（1+）﹣ln(1﹣）=ln3＞1，显然f（0）＜f(），函数是增函数，所以B错误，A正确．故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用,考查计算能力．6．（5分)（2015•湖南）已知（﹣）5的展开式中含x的项的系数为30,则a=（）A． B．﹣C．6 D．﹣6【考点】二项式定理的应用．【专题】二项式定理．【分析】根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为求得r，再代入系数求出结果．【解答】解：根据所给的二项式写出展开式的通项，T r+1==;展开式中含x的项的系数为30，∴，∴r=1，并且，解得a=﹣6．故选：D．【点评】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．7．（5分）（2015•湖南)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为(）附“若X﹣N=(μ,a2)，则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ)=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A．2386 B．2718 C．3413 D．4772【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】计算题；概率与统计．【分析】求出P(0＜X≤1）=×0.6826=0。

2015年湖南省高考数学试卷（理科）一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分1．（5分）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分）设A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）A．B．C．D．4．（5分）若变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为（）A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．25．（5分）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数6．（5分）已知（﹣）5的展开式中含x的项的系数为30，则a=（）A．B．﹣C．6 D．﹣67．（5分）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附“若X﹣N=（μ，a2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A．2386 B．2718 C．3413 D．47728．（5分）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则||的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．99．（5分）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A． B．C．D．10．（5分）某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A． B． C．D．二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）（x﹣1）dx=．12．（5分）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是．13．（5分）设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为．14．（5分）设S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则a n=．15．（5分）已知函数f（x）=若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则a的取值范围是．三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲16．（6分）如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：（1）∠MEN+∠NOM=180°（2）FE•FN=FM•FO．选修4-4：坐标系与方程17．（6分）已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．选修4-5：不等式选讲18．设a＞0，b＞0，且a+b=+．证明：（ⅰ）a+b≥2；（ⅱ）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．19．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．20．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．21．如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1、BC上．（1）若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；（2）若PQ∥平面ABB1A1，二面角P﹣QD﹣A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积．22．（13分）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点．C1与C2的公共弦长为2．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）过点F的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且与同向．（ⅰ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率；（ⅱ）设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．23．（13分）已知a＞0，函数f（x）=e ax sinx（x∈[0，+∞]）．记x n为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点．证明：（Ⅰ）数列{f（x n）}是等比数列；（Ⅱ）若a≥，则对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．2015年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分1．（5分）（2015•湖南）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值．【解答】解：∵已知=1+i（i为虚数单位），∴z===﹣1﹣i，故选：D．2．（5分）（2015•湖南）设A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】直接利用两个集合的交集，判断两个集合的关系，判断充要条件即可．【解答】解：A、B是两个集合，则“A∩B=A”可得“A⊆B”，“A⊆B”，可得“A∩B=A”．所以A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件．故选：C．3．（5分）（2015•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）A．B．C．D．【分析】列出循环过程中S与i的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：判断前i=1，n=3，s=0，第1次循环，S=，i=2，第2次循环，S=，i=3，第3次循环，S=，i=4，此时，i＞n，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S===故选：B4．（5分）（2015•湖南）若变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为（）A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．2【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得C（0，﹣1）．由解得A（﹣2，1），由，解得B（1，1）∴z=3x﹣y的最小值为3×（﹣2）﹣1=﹣7．故选：A．5．（5分）（2015•湖南）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数【分析】求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．【解答】解：函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），函数的定义域为（﹣1，1），函数f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=﹣f（x），所以函数是奇函数．排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f（0）=0；x=时，f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln3＞1，显然f（0）＜f（），函数是增函数，所以B错误，A正确．故选：A．6．（5分）（2015•湖南）已知（﹣）5的展开式中含x的项的系数为30，则a=（）A．B．﹣C．6 D．﹣6【分析】根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为求得r，再代入系数求出结果．【解答】解：根据所给的二项式写出展开式的通项，T r+1==；展开式中含x的项的系数为30，∴，∴r=1，并且，解得a=﹣6．故选：D．7．（5分）（2015•湖南）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附“若X﹣N=（μ，a2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A．2386 B．2718 C．3413 D．4772【分析】求出P（0＜X≤1）=×0.6826=0.3413，即可得出结论．【解答】解：由题意P（0＜X≤1）=×0.6826=0.3413，∴落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.3413=3413，故选：C．8．（5分）（2015•湖南）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P 的坐标为（2，0），则||的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】由题意，AC为直径，所以||=|2+|．B为（﹣1，0）时，|2+|≤7，即可得出结论．【解答】解：由题意，AC为直径，所以||=|2+|所以B为（﹣1，0）时，|2+|≤7．所以||的最大值为7．故选：B．9．（5分）（2015•湖南）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A． B．C．D．【分析】利用三角函数的最值，求出自变量x1，x2的值，然后判断选项即可．【解答】解：因为将函数f（x）=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2|min=，不妨x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最小值，sin（2×﹣2φ）=﹣1，此时φ=，不合题意，x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最大值，sin（2×﹣2φ）=1，此时φ=，满足题意．故选：D．10．（5分）（2015•湖南）某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A． B． C．D．【分析】根据三视图可判断其为圆锥，底面半径为1，高为2，求解体积．利用几何体的性质得出此长方体底面边长为n的正方形，高为x，利用轴截面的图形可判断得出n=（1﹣），0＜x＜2，求解体积式子，利用导数求解即可，最后利用几何概率求解即．【解答】解：根据三视图可判断其为圆锥，∵底面半径为1，高为2，∴V=×2=∵加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，∴此长方体底面边长为n的正方形，高为x，∴根据轴截面图得出：=，解得；n=（1﹣），0＜x＜2，∴长方体的体积Ω=2（1﹣）2x，Ω′=x2﹣4x+2，∵，Ω′=x2﹣4x+2=0，x=，x=2，∴可判断（0，）单调递增，（，2）单调递减，Ω最大值=2（1﹣）2×=，∴原工件材料的利用率为=×=，故选：A二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）（2015•湖南）（x﹣1）dx=0．【分析】求出被积函数的原函数，代入上限和下限求值．【解答】解：（x﹣1）dx=（﹣x）|=0；故答案为：0．12．（5分）（2015•湖南）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是4．【分析】根据茎叶图中的数据，结合系统抽样方法的特征，即可求出正确的结论．【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；成绩在区间[139，151]上的运动员人数是20，用系统抽样方法从35人中抽取7人，成绩在区间[139，151]上的运动员应抽取7×=4（人）．故答案为：4．13．（5分）（2015•湖南）设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为．【分析】设F（c，0），P（m，n），（m＜0），设PF的中点为M（0，b），即有m=﹣c，n=2b，将中点M的坐标代入双曲线方程，结合离心率公式，计算即可得到．【解答】解：设F（c，0），P（m，n），（m＜0），设PF的中点为M（0，b），即有m=﹣c，n=2b，将点（﹣c，2b）代入双曲线方程可得，﹣=1，可得e2==5，解得e=．故答案为：．14．（5分）（2015•湖南）设S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则a n=3n﹣1．【分析】利用已知条件列出方程求出公比，然后求解等比数列的通项公式．【解答】解：设等比数列的公比为q，S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，可得4S2=S3+3S1，a1=1，即4（1+q）=1+q+q2+3，q=3．∴a n=3n﹣1．故答案为：3n﹣1．15．（5分）（2015•湖南）已知函数f（x）=若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则a的取值范围是{a|a＜0或a＞1} ．【分析】由g（x）=f（x）﹣b有两个零点可得f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a的范围【解答】解：∵g（x）=f（x）﹣b有两个零点，∴f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，由x3=x2可得，x=0或x=1①当a＞1时，函数f（x）的图象如图所示，此时存在b，满足题意，故a＞1满足题意②当a=1时，由于函数f（x）在定义域R上单调递增，故不符合题意③当0＜a＜1时，函数f（x）单调递增，故不符合题意④a=0时，f（x）单调递增，故不符合题意⑤当a＜0时，函数y=f（x）的图象如图所示，此时存在b使得，y=f（x）与y=b 有两个交点综上可得，a＜0或a＞1故答案为：{a|a＜0或a＞1}三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲16．（6分）（2015•湖南）如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：（1）∠MEN+∠NOM=180°（2）FE•FN=FM•FO．【分析】（1）证明O，M，E，N四点共圆，即可证明∠MEN+∠NOM=180°（2）证明△FEM∽△FON，即可证明FE•FN=FM•FO．【解答】证明：（1）∵N为CD的中点，∴ON⊥CD，∵M为AB的中点，∴OM⊥AB，在四边形OMEN中，∴∠OME+∠ONE=90°+90°=180°，∴O，M，E，N四点共圆，∴∠MEN+∠NOM=180°（2）在△FEM与△FON中，∠F=∠F，∠FME=∠FNO=90°，∴△FEM∽△FON，∴=∴FE•FN=FM•FO．选修4-4：坐标系与方程17．（6分）（2015•湖南）已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．【分析】（1）曲线的极坐标方程即ρ2=2ρcosθ，根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x，即得它的直角坐标方程；（2）直线l的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论．【解答】解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1；（2）直线l：（t为参数），普通方程为，（5，）在直线l上，过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2=（5﹣1）2+3﹣1=18，由切割线定理，可得|MT|2=|MA|•|MB|=18．选修4-5：不等式选讲18．（2015•湖南）设a＞0，b＞0，且a+b=+．证明：（ⅰ）a+b≥2；（ⅱ）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．【分析】（ⅰ）由a＞0，b＞0，结合条件可得ab=1，再由基本不等式，即可得证；（ⅱ）运用反证法证明．假设a2+a＜2与b2+b＜2可能同时成立．结合条件a＞0，b＞0，以及二次不等式的解法，可得0＜a＜1，且0＜b＜1，这与ab=1矛盾，即可得证．【解答】证明：（ⅰ）由a＞0，b＞0，则a+b=+=，由于a+b＞0，则ab=1，即有a+b≥2=2，当且仅当a=b取得等号．则a+b≥2；（ⅱ）假设a2+a＜2与b2+b＜2可能同时成立．由a2+a＜2及a＞0，可得0＜a＜1，由b2+b＜2及b＞0，可得0＜b＜1，这与ab=1矛盾．a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．19．（2015•湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．【分析】（Ⅰ）由题意和正弦定理可得sinB=cosA，由角的范围和诱导公式可得；（Ⅱ）由题意可得A∈（0，），可得0＜sinA＜，化简可得sinA+sinC=﹣2（sinA﹣）2+，由二次函数区间的最值可得．【解答】解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==，∴sinB=cosA，即sinB=sin（+A）又B为钝角，∴+A∈（，π），∴B=+A，∴B﹣A=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A++A）=﹣2A＞0，∴A∈（0，），∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A）=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A=﹣2（sinA﹣）2+，∵A∈（0，），∴0＜sinA＜，∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）2+≤∴sinA+sinC的取值范围为（，]20．（2015•湖南）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．【分析】（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件A2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，利用A1，A2相互独立，，互斥，B1，B2互斥，然后求出所求概率即可．（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，判断X～B．求出概率，得到X的分布列，然后求解期望．【解答】解：（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件B2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，由题意A1，A2相互独立，，互斥，B1，B2互斥，且B1=A1A2，B2=+，C=B1+B2，因为P（A1）=，P（A2）=，所以，P（B1）=P（A1）P（A2）==，P（B2）=P（）+P（）=+==，故所求概率为：P（C）=P（B1+B2）=P（B1）+P（B2）=．（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，由（1）可知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为：所以．X～B．于是，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．故X的分布列为：X0123PE（X）=3×=．21．（2015•湖南）如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1、BC上．（1）若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；（2）若PQ∥平面ABB1A1，二面角P﹣QD﹣A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积．【分析】（1）首先以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出一些点的坐标，Q在棱BC上，从而可设Q（6，y1，0），只需求即可；（2）设P（0，y2，z2），根据P在棱DD1上，从而由即可得到z2=12﹣2y2，从而表示点P坐标为P（0，y2，12﹣2y2）．由PQ∥平面ABB1A1便知道与平面ABB1A1的法向量垂直，从而得出y1=y2，从而Q点坐标变成Q（6，y2，0），设平面PQD的法向量为，根据即可表示，平面AQD的一个法向量为，从而由即可求出y2，从而得出P点坐标，从而求出三棱锥P﹣AQD的高，而四面体ADPQ 的体积等于三棱锥P﹣AQD的体积，从而求出四面体的体积．【解答】解：根据已知条件知AB，AD，AA1三直线两两垂直，所以分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：A（0，0，0），B（6，0，0），D（0，6，0），A1（0，0，6），B1（3，0，6），D1（0，3，6）；Q在棱BC上，设Q（6，y1，0），0≤y1≤6；∴（1）证明：若P是DD1的中点，则P；∴，；∴；∴；∴AB1⊥PQ；（2）设P（0，y2，z2），y2，z2∈[0，6]，P在棱DD1上；∴，0≤λ≤1；∴（0，y2﹣6，z2）=λ（0，﹣3，6）；∴；∴z2=12﹣2y2；∴P（0，y2，12﹣2y2）；∴；平面ABB1A1的一个法向量为；∵PQ∥平面ABB1A1；∴=6（y1﹣y2）=0；∴y1=y2；∴Q（6，y2，0）；设平面PQD的法向量为，则：；∴，取z=1，则；又平面AQD的一个法向量为；又二面角P﹣QD﹣A的余弦值为；∴；解得y2=4，或y2=8（舍去）；∴P（0，4，4）；∴三棱锥P﹣ADQ的高为4，且；∴V四面体ADPQ =V三棱锥P﹣ADQ=．22．（13分）（2015•湖南）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点．C1与C2的公共弦长为2．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）过点F的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且与同向．（ⅰ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率；（ⅱ）设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．【分析】（Ⅰ）根据两个曲线的焦点相同，得到a2﹣b2=1，再根据C1与C2的公共弦长为2，得到=1，解得即可求出；（Ⅱ）设出点的坐标，（ⅰ）根据向量的关系，得到（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，设直线l的方程，分别与C1，C2构成方程组，利用韦达定理，分别代入得到关于k的方程，解得即可；（ⅱ）根据导数的几何意义得到C1在点A处的切线方程，求出点M的坐标，利用向量的乘积∠AFM是锐角，问题得以证明．【解答】解：（Ⅰ）抛物线C1：x2=4y的焦点F的坐标为（0，1），因为F也是椭圆C2的一个焦点，∴a2﹣b2=1，①，又C1与C2的公共弦长为2，C1与C2的都关于y轴对称，且C1的方程为x2=4y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为（±，），所以=1，②，联立①②得a2=9，b2=8，故C2的方程为+=1．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），（ⅰ）因为与同向，且|AC|=|BD|，所以=，从而x3﹣x1=x4﹣x2，即x1﹣x2=x3﹣x4，于是（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，③设直线的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，由，得x2﹣4kx﹣4=0，而x1，x2是这个方程的两根，所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，④由，得（9+8k2）x2+16kx﹣64=0，而x3，x4是这个方程的两根，所以x3+x4=，x3x4=﹣，⑤将④⑤代入③，得16（k2+1）=+，即16（k2+1）=，所以（9+8k2）2=16×9，解得k=±．（ⅱ）由x2=4y得y′=x，所以C1在点A处的切线方程为y﹣y1=x1（x﹣x1），即y=x1x﹣x12，令y=0，得x=x1，M（x1，0），所以=（x1，﹣1），而=（x1，y1﹣1），于是•=x12﹣y1+1=x12+1＞0，因此∠AFM是锐角，从而∠MFD=180°﹣∠AFM是钝角，故直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．23．（13分）（2015•湖南）已知a＞0，函数f（x）=e ax sinx（x∈[0，+∞]）．记x n为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点．证明：（Ⅰ）数列{f（x n）}是等比数列；（Ⅱ）若a≥，则对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．【分析】（Ⅰ）求出导数，运用两角和的正弦公式化简，求出导数为0的根，讨论根附近的导数的符号相反，即可得到极值点，求得极值，运用等比数列的定义即可得证；（Ⅱ）由sinφ=，可得对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．即为nπ﹣φ＜e a（nπ﹣φ）恒成立⇔＜，①设g（t）=（t＞0），求出导数，求得最小值，由恒成立思想即可得证．【解答】证明：（Ⅰ）f′（x）=e ax（asinx+cosx）=•e ax sin（x+φ），tanφ=，0＜φ＜，令f′（x）=0，由x≥0，x+φ=mπ，即x=mπ﹣φ，m∈N*，对k∈N，若（2k+1）π＜x+φ＜（2k+2）π，即（2k+1）π﹣φ＜x＜（2k+2）π﹣φ，则f′（x）＜0，因此在（（m﹣1）π﹣φ，mπ﹣φ）和（mπ﹣φ，（m+1）π﹣φ）上f′（x）符号总相反．于是当x=nπ﹣φ，n∈N*，f（x）取得极值，所以x n=nπ﹣φ，n∈N*，此时f（x n）=e a（nπ﹣φ）sin（nπ﹣φ）=（﹣1）n+1e a（nπ﹣φ）sinφ，易知f（x n）≠0，而==﹣e aπ是常数，故数列{f（x n）}是首项为f（x1）=e a（π﹣φ）sinφ，公比为﹣e aπ的等比数列；（Ⅱ）由sinφ=，可得对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．即为nπ﹣φ＜e a（nπ﹣φ）恒成立⇔＜，①设g（t）=（t＞0），g′（t）=，当0＜t＜1时，g′（t）＜0，g（t）递减，当t＞1时，g′（t）＞0，g（t）递增．t=1时，g（t）取得最小值，且为e．因此要使①恒成立，只需＜g（1）=e，只需a＞，当a=，tanφ==，且0＜φ＜，可得＜φ＜，于是π﹣φ＜＜，且当n≥2时，nπ﹣φ≥2π﹣φ＞＞，因此对n∈N*，ax n=≠1，即有g（ax n）＞g（1）=e=，故①亦恒成立．综上可得，若a≥，则对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．。

2015年湖南省高考数学试卷（理科）一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分1．（5分）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分）设A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）A．B．C．D．4．（5分）若变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为（）A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．25．（5分）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数6．（5分）已知（﹣）5的展开式中含x的项的系数为30，则a=（）A．B．﹣C．6 D．﹣67．（5分）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附“若X﹣N=（μ，a2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A．2386 B．2718 C．3413 D．47728．（5分）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则||的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．99．（5分）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A． B．C．D．10．（5分）某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A． B． C．D．二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）（x﹣1）dx=．12．（5分）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是．13．（5分）设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为．14．（5分）设S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则a n=．15．（5分）已知函数f（x）=若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则a的取值范围是．三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲16．（6分）如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：（1）∠MEN+∠NOM=180°（2）FE•FN=FM•FO．选修4-4：坐标系与方程17．（6分）已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．选修4-5：不等式选讲18．设a＞0，b＞0，且a+b=+．证明：（ⅰ）a+b≥2；（ⅱ）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．七、标题19．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．20．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．21．如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1、BC上．（1）若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；（2）若PQ∥平面ABB1A1，二面角P﹣QD﹣A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积．22．（13分）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点．C1与C2的公共弦长为2．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）过点F的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且与同向．（1）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率；（2）设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．23．（13分）已知a＞0，函数f（x）=e ax sinx（x∈[0，+∞]）．记x n为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点．证明：（Ⅰ）数列{f（x n）}是等比数列；（Ⅱ）若a≥，则对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．2015年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分1．（5分）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值．【解答】解：∵已知=1+i（i为虚数单位），∴z===﹣1﹣i，故选：D．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．2．（5分）设A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】直接利用两个集合的交集，判断两个集合的关系，判断充要条件即可．【解答】解：A、B是两个集合，则“A∩B=A”可得“A⊆B”，“A⊆B”，可得“A∩B=A”．所以A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件．故选：C．【点评】本题考查充要条件的判断与应用，集合的交集的求法，基本知识的应用．3．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）A．B．C．D．【分析】列出循环过程中S与i的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：判断前i=1，n=3，s=0，第1次循环，S=，i=2，第2次循环，S=，i=3，第3次循环，S=，i=4，此时，i＞n，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S===故选：B．【点评】本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力4．（5分）若变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为（）A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．2【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得C（0，﹣1）．由解得A（﹣2，1），由，解得B（1，1）∴z=3x﹣y的最小值为3×（﹣2）﹣1=﹣7．故选：A．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．易错点是图形中的B点．5．（5分）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数【分析】求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．【解答】解：函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），函数的定义域为（﹣1，1），函数f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=﹣f（x），所以函数是奇函数．排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f（0）=0；x=时，f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln3＞1，显然f（0）＜f（），函数是增函数，所以B错误，A正确．故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力．6．（5分）已知（﹣）5的展开式中含x的项的系数为30，则a=（）A．B．﹣C．6 D．﹣6【分析】根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为求得r，再代入系数求出结果．【解答】解：根据所给的二项式写出展开式的通项，T r+1==；展开式中含x的项的系数为30，∴，∴r=1，并且，解得a=﹣6．故选：D．【点评】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．7．（5分）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附“若X﹣N=（μ，a2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A．2386 B．2718 C．3413 D．4772【分析】求出P（0＜X≤1）=×0.6826=0.3413，即可得出结论．【解答】解：由题意P（0＜X≤1）=×0.6826=0.3413，∴落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.3413=3413，故选：C．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．8．（5分）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则||的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】由题意，AC为直径，所以||=|2+|．B为（﹣1，0）时，|2+|≤7，即可得出结论．【解答】解：由题意，AC为直径，所以||=|2+|所以B为（﹣1，0）时，|2+|≤7．所以||的最大值为7．另解：设B（cosα，sinα），|2+|=|2（﹣2，0）+（cosα﹣2，sinα）|=|（cosα﹣6，sinα）|==，当cosα=﹣1时，B为（﹣1，0），取得最大值7．故选：B．【点评】本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．9．（5分）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A． B．C．D．【分析】利用三角函数的最值，求出自变量x1，x2的值，然后判断选项即可．【解答】解：因为将函数f（x）=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2|min=，不妨x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最小值，sin（2×﹣2φ）=﹣1，此时φ=，不合题意，x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最大值，sin（2×﹣2φ）=1，此时φ=，满足题意．另解：f（x）=sin2x，g（x）=sin（2x﹣2φ），设2x1=2kπ+，k∈Z，2x2﹣2φ=﹣+2mπ，m∈Z，x1﹣x2=﹣φ+（k﹣m）π，由|x1﹣x2|min=，可得﹣φ=，解得φ=，故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象平移，函数的最值以及函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力，是好题，题目新颖．有一定难度，选择题，可以回代验证的方法快速解答．10．（5分）某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A． B． C．D．【分析】根据三视图可判断其为圆锥，底面半径为1，高为2，求解体积．利用几何体的性质得出此长方体底面边长为n的正方形，高为x，利用轴截面的图形可判断得出n=（1﹣），0＜x＜2，求解体积式子，利用导数求解即可，最后利用几何概率求解即．【解答】解：根据三视图可判断其为圆锥，∵底面半径为1，高为2，∴V=×2=∵加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，∴此长方体底面边长为n的正方形，高为x，∴根据轴截面图得出：=，解得；n=（1﹣），0＜x＜2，∴长方体的体积Ω=2（1﹣）2x，Ω′=x2﹣4x+2，∵，Ω′=x2﹣4x+2=0，x=，x=2，∴可判断（0，）单调递增，（，2）单调递减，Ω最大值=2（1﹣）2×=，∴原工件材料的利用率为=×=，故选：A．【点评】本题很是新颖，知识点融合的很好，把立体几何，导数，概率都相应的考查了，综合性强，属于难题．二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）（x﹣1）dx=0．【分析】求出被积函数的原函数，代入上限和下限求值．【解答】解：（x﹣1）dx=（﹣x）|=0；故答案为：0．【点评】本题考查了定积分的计算；关键是求出被积函数的原函数．12．（5分）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是4．【分析】根据茎叶图中的数据，结合系统抽样方法的特征，即可求出正确的结论．【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；成绩在区间[139，151]上的运动员人数是20，用系统抽样方法从35人中抽取7人，成绩在区间[139，151]上的运动员应抽取7×=4（人）．故答案为：4．【点评】本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了系统抽样方法的应用问题，是基础题目．13．（5分）设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为．【分析】设F（c，0），P（m，n），（m＜0），设PF的中点为M（0，b），即有m=﹣c，n=2b，将中点M的坐标代入双曲线方程，结合离心率公式，计算即可得到．【解答】解：设F（c，0），P（m，n），（m＜0），设PF的中点为M（0，b），即有m=﹣c，n=2b，将点（﹣c，2b）代入双曲线方程可得，﹣=1，可得e2==5，解得e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，同时考查中点坐标公式的运用，属于中档题．14．（5分）设S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则a n=3n﹣1．【分析】利用已知条件列出方程求出公比，然后求解等比数列的通项公式．【解答】解：设等比数列的公比为q，S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，可得4S2=S3+3S1，a1=1，即4（1+q）=1+q+q2+3，q=3．∴a n=3n﹣1．故答案为：3n﹣1．【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，基本知识的考查．15．（5分）已知函数f（x）=若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则a的取值范围是{a|a＜0或a＞1} ．【分析】由g（x）=f（x）﹣b有两个零点可得f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a的范围【解答】解：∵g（x）=f（x）﹣b有两个零点，∴f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，由x3=x2可得，x=0或x=1①当a＞1时，函数f（x）的图象如图所示，此时存在b，满足题意，故a＞1满足题意②当a=1时，由于函数f（x）在定义域R上单调递增，故不符合题意③当0＜a＜1时，函数f（x）单调递增，故不符合题意④a=0时，f（x）单调递增，故不符合题意⑤当a＜0时，函数y=f（x）的图象如图所示，此时存在b使得，y=f（x）与y=b 有两个交点综上可得，a＜0或a＞1故答案为：{a|a＜0或a＞1}【点评】本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲16．（6分）如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：（1）∠MEN+∠NOM=180°（2）FE•FN=FM•FO．【分析】（1）证明O，M，E，N四点共圆，即可证明∠MEN+∠NOM=180°（2）证明△FEM∽△FON，即可证明FE•FN=FM•FO．【解答】证明：（1）∵N为CD的中点，∴ON⊥CD，∵M为AB的中点，∴OM⊥AB，在四边形OMEN中，∴∠OME+∠ONE=90°+90°=180°，∴O，M，E，N四点共圆，∴∠MEN+∠NOM=180°（2）在△FEM与△FON中，∠F=∠F，∠FME=∠FNO=90°，∴△FEM∽△FON，∴=∴FE•FN=FM•FO．【点评】本题考查垂径定理，考查三角形相似的判定与应用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．选修4-4：坐标系与方程17．（6分）已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．【分析】（1）曲线的极坐标方程即ρ2=2ρcosθ，根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x，即得它的直角坐标方程；（2）直线l的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论．【解答】解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1；（2）直线l：（t为参数），普通方程为，（5，）在直线l上，过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2=（5﹣1）2+3﹣1=18，由切割线定理，可得|MT|2=|MA|•|MB|=18．【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题．选修4-5：不等式选讲18．设a＞0，b＞0，且a+b=+．证明：（ⅰ）a+b≥2；（ⅱ）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．【分析】（ⅰ）由a＞0，b＞0，结合条件可得ab=1，再由基本不等式，即可得证；（ⅱ）运用反证法证明．假设a2+a＜2与b2+b＜2可能同时成立．结合条件a＞0，b＞0，以及二次不等式的解法，可得0＜a＜1，且0＜b＜1，这与ab=1矛盾，即可得证．【解答】证明：（ⅰ）由a＞0，b＞0，则a+b=+=，由于a+b＞0，则ab=1，即有a+b≥2=2，当且仅当a=b取得等号．则a+b≥2；（ⅱ）假设a2+a＜2与b2+b＜2可能同时成立．由a2+a＜2及a＞0，可得0＜a＜1，由b2+b＜2及b＞0，可得0＜b＜1，这与ab=1矛盾．a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．【点评】本题考查不等式的证明，主要考查基本不等式的运用和反证法证明不等式的方法，属于中档题．七、标题19．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．【分析】（Ⅰ）由题意和正弦定理可得sinB=cosA，由角的范围和诱导公式可得；（Ⅱ）由题意可得A∈（0，），可得0＜sinA＜，化简可得sinA+sinC=﹣2（sinA﹣）2+，由二次函数区间的最值可得．【解答】解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==，∴sinB=cosA，即sinB=sin（+A）又B为钝角，∴+A∈（，π），∴B=+A，∴B﹣A=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A++A）=﹣2A＞0，∴A∈（0，），∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A）=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A=﹣2（sinA﹣）2+，∵A∈（0，），∴0＜sinA＜，∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）2+≤∴sinA+sinC的取值范围为（，]【点评】本题考查正弦定理和三角函数公式的应用，涉及二次函数区间的最值，属基础题．20．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．【分析】（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件A2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，利用A 1，A2相互独立，，互斥，B1，B2互斥，然后求出所求概率即可．（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，判断X～B．求出概率，得到X的分布列，然后求解期望．【解答】解：（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件B2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，由题意A 1，A2相互独立，，互斥，B 1，B2互斥，且B1=A1A2，B2=+，C=B1+B2，因为P（A1）=，P（A2）=，所以，P（B1）=P（A1）P（A2）==，P（B2）=P（）+P（）=+==，故所求概率为：P（C）=P（B1+B2）=P（B1）+P（B2）=．（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，由（1）可知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为：所以．X～B．于是，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．故X的分布列为：X0123PE（X）=3×=．【点评】期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用，为今后学习数学及相关学科产生深远的影响．21．如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1、BC上．（1）若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；（2）若PQ∥平面ABB1A1，二面角P﹣QD﹣A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积．【分析】（1）首先以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出一些点的坐标，Q在棱BC上，从而可设Q（6，y1，0），只需求即可；（2）设P（0，y2，z2），根据P在棱DD1上，从而由即可得到z2=12﹣2y2，从而表示点P坐标为P（0，y2，12﹣2y2）．由PQ∥平面ABB1A1便知道与平面ABB1A1的法向量垂直，从而得出y1=y2，从而Q点坐标变成Q（6，y2，0），设平面PQD的法向量为，根据即可表示，平面AQD的一个法向量为，从而由即可求出y2，从而得出P点坐标，从而求出三棱锥P﹣AQD的高，而四面体ADPQ 的体积等于三棱锥P﹣AQD的体积，从而求出四面体的体积．【解答】解：根据已知条件知AB，AD，AA1三直线两两垂直，所以分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：A（0，0，0），B（6，0，0），D（0，6，0），A1（0，0，6），B1（3，0，6），D1（0，3，6）；Q在棱BC上，设Q（6，y1，0），0≤y1≤6；∴（1）证明：若P是DD1的中点，则P；∴，；∴；∴；∴AB1⊥PQ；（2）设P（0，y2，z2），y2，z2∈[0，6]，P在棱DD1上；∴，0≤λ≤1；∴（0，y2﹣6，z2）=λ（0，﹣3，6）；∴；∴z2=12﹣2y2；∴P（0，y2，12﹣2y2）；∴；平面ABB1A1的一个法向量为；∵PQ∥平面ABB1A1；∴=6（y1﹣y2）=0；∴y1=y2；∴Q（6，y2，0）；设平面PQD的法向量为，则：；∴，取z=1，则；又平面AQD的一个法向量为；又二面角P﹣QD﹣A的余弦值为；∴；解得y2=4，或y2=8（舍去）；∴P（0，4，4）；∴三棱锥P﹣ADQ的高为4，且；∴V四面体ADPQ =V三棱锥P﹣ADQ=．【点评】考查建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线垂直及线面角问题的方法，共线向量基本定理，直线和平面平行时，直线和平面法向量的关系，平面法向量的概念，以及两平面法向量的夹角和平面二面角大小的关系，三棱锥的体积公式．22．（13分）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点．C1与C2的公共弦长为2．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）过点F的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且与同向．（1）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率；（2）设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．【分析】（Ⅰ）根据两个曲线的焦点相同，得到a2﹣b2=1，再根据C1与C2的公共弦长为2，得到=1，解得即可求出；（Ⅱ）设出点的坐标，（1）根据向量的关系，得到（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，设直线l的方程，分别与C1，C2构成方程组，利用韦达定理，分别代入得到关于k的方程，解得即可；（2）根据导数的几何意义得到C1在点A处的切线方程，求出点M的坐标，利用向量的乘积∠AFM是锐角，问题得以证明．【解答】解：（Ⅰ）抛物线C1：x2=4y的焦点F的坐标为（0，1），因为F也是椭圆C2的一个焦点，∴a2﹣b2=1，①，又C1与C2的公共弦长为2，C1与C2的都关于y轴对称，且C1的方程为x2=4y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为（±，），所以=1，②，联立①②得a2=9，b2=8，故C2的方程为+=1．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），（1）因为与同向，且|AC|=|BD|，所以=，从而x3﹣x1=x4﹣x2，即x1﹣x2=x3﹣x4，于是（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，③设直线的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，由，得x2﹣4kx﹣4=0，而x1，x2是这个方程的两根，所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，④由，得（9+8k2）x2+16kx﹣64=0，而x3，x4是这个方程的两根，所以x3+x4=，x3x4=﹣，⑤将④⑤代入③，得16（k2+1）=+，即16（k2+1）=，所以（9+8k2）2=16×9，解得k=±．（2）由x2=4y得y′=x，所以C1在点A处的切线方程为y﹣y1=x1（x﹣x1），即y=x1x﹣x12，令y=0，得x=x1，M（x1，0），所以=（x1，﹣1），而=（x1，y1﹣1），于是•=x12﹣y1+1=x12+1＞0，因此∠AFM是锐角，从而∠MFD=180°﹣∠AFM是钝角，故直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．【点评】本题考查了圆锥曲线的和直线的位置与关系，关键是联立方程，构造方程，利用韦达定理，以及向量的关系，得到关于k的方程，计算量大，属于难题．23．（13分）已知a＞0，函数f（x）=e ax sinx（x∈[0，+∞]）．记x n为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点．证明：（Ⅰ）数列{f（x n）}是等比数列；（Ⅱ）若a≥，则对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．【分析】（Ⅰ）求出导数，运用两角和的正弦公式化简，求出导数为0的根，讨论根附近的导数的符号相反，即可得到极值点，求得极值，运用等比数列的定义即可得证；（Ⅱ）由sinφ=，可得对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．即为nπ﹣φ＜e a（nπ﹣φ）恒成立⇔＜，①设g（t）=（t＞0），求出导数，求得最小值，由恒成立思想即可得证．【解答】证明：（Ⅰ）f′（x）=e ax（asinx+cosx）=•e ax sin（x+φ），tanφ=，0＜φ＜，令f′（x）=0，由x≥0，x+φ=mπ，即x=mπ﹣φ，m∈N*，对k∈N，若（2k+1）π＜x+φ＜（2k+2）π，即（2k+1）π﹣φ＜x＜（2k+2）π﹣φ，则f′（x）＜0，因此在（（m﹣1）π﹣φ，mπ﹣φ）和（mπ﹣φ，（m+1）π﹣φ）上f′（x）符号总相反．于是当x=nπ﹣φ，n∈N*，f（x）取得极值，所以x n=nπ﹣φ，n∈N*，此时f（x n）=e a（nπ﹣φ）sin（nπ﹣φ）=（﹣1）n+1e a（nπ﹣φ）sinφ，易知f（x n）≠0，而==﹣e aπ是常数，故数列{f（x n）}是首项为f（x1）=e a（π﹣φ）sinφ，公比为﹣e aπ的等比数列；（Ⅱ）由sinφ=，可得对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．即为nπ﹣φ＜e a（nπ﹣φ）恒成立⇔＜，①设g（t）=（t＞0），g′（t）=，当0＜t＜1时，g′（t）＜0，g（t）递减，当t＞1时，g′（t）＞0，g（t）递增．t=1时，g（t）取得最小值，且为e．因此要使①恒成立，只需＜g（1）=e，只需a＞，当a=，tanφ==，且0＜φ＜，可得＜φ＜，于是π﹣φ＜＜，且当n≥2时，nπ﹣φ≥2π﹣φ＞＞，因此对n∈N*，ax n=≠1，即有g（ax n）＞g（1）=e=，故①亦恒成立．综上可得，若a≥，则对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．【点评】本题考查导数的运用：求极值和单调区间，主要考查三角函数的导数和求值，同时考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查不等式恒成立问题的证明，属于难题．。

2015湖南高考数学（理）试题及答案满分:班级：_________ 姓名：_________ 考号：_________一、单选题（共10小题）1.已知（为虚数单位），则复数=（）A．B．C ．D ．2.设A，B是两个集合，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3.执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的（）A．B．C．D．4.若变量满足约束条件，则的最小值为（）A．-7B．-1C．1D．25.设函数，则是（）A．奇函数，且在上是增函数B．奇函数，且在上是减函数C．偶函数，且在上是增函数D．偶函数，且在上是减函数6.已知的展开式中含的项的系数为30，则（）A．B．C．6D．-67.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附：若，则，.A．2386B．2718C．3413D．47728.已知点A，B，C在圆上运动，且．若点P的坐标为（2，0），则的最大值为（）A．6B．7C．8D．99.将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，有，则（）A．B．C．D．10.某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A．B．C．D．二、填空题（共5小题）11._________。

12.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示。

若将运动员按成绩由好到差编为号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是。

13.设F是双曲线C：的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为。

14.设为等比数列的前项和，若，且成等差数列，则。

15.已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是。

2015年湖南省高考数学试卷（理科）一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分1．（5分）（2015•湖南）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分）（2015•湖南）设A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（5分）（2015•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）A．B．C．D．4．（5分）（2015•湖南）若变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为（）A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．25．（5分）（2015•湖南）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数6．（5分）（2015•湖南）已知（﹣）5的展开式中含x的项的系数为30，则a=（）A．B．﹣C．6 D．﹣67．（5分）（2015•湖南）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附“若X﹣N=（μ，a2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A．2386 B．2718 C．3413 D．47728．（5分）（2015•湖南）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则||的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．99．（5分）（2015•湖南）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A．B．C．D．10．（5分）（2015•湖南）某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A．B．C．D．二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）（2015•湖南）（x﹣1）dx=．12．（5分）（2015•湖南）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是．13．（5分）（2015•湖南）设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为．14．（5分）（2015•湖南）设S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则a n=．15．（5分）（2015•湖南）已知函数f（x）=若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则a的取值范围是．三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲16．（6分）（2015•湖南）如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：（1）∠MEN+∠NOM=180°（2）FE•FN=FM•FO．选修4-4：坐标系与方程17．（6分）（2015•湖南）已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．选修4-5：不等式选讲18．（2015•湖南）设a＞0，b＞0，且a+b=+．证明：（ⅰ）a+b≥2；（ⅱ）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．19．（2015•湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．20．（2015•湖南）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．21．（2015•湖南）如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1、BC上．（1）若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；（2）若PQ∥平面ABB1A1，二面角P﹣QD﹣A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积．22．（13分）（2015•湖南）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点．C1与C2的公共弦长为2．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）过点F的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且与同向．（ⅰ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率；（ⅱ）设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．23．（13分）（2015•湖南）已知a＞0，函数f（x）=e ax sinx（x∈[0，+∞]）．记x n为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点．证明：（Ⅰ）数列{f（x n）}是等比数列；（Ⅱ）若a≥，则对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．2015年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分1．（5分）（2015•湖南）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值．【解答】解：∵已知=1+i（i为虚数单位），∴z===﹣1﹣i，故选：D．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．2．（5分）（2015•湖南）设A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】集合；简易逻辑．【分析】直接利用两个集合的交集，判断两个集合的关系，判断充要条件即可．【解答】解：A、B是两个集合，则“A∩B=A”可得“A⊆B”，“A⊆B”，可得“A∩B=A”．所以A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件．故选：C．【点评】本题考查充要条件的判断与应用，集合的交集的求法，基本知识的应用．3．（5分）（2015•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与i的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：判断前i=1，n=3，s=0，第1次循环，S=，i=2，第2次循环，S=，i=3，第3次循环，S=，i=4，此时，i＞n，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S===故选：B【点评】本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力4．（5分）（2015•湖南）若变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为（）A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．2【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得C（0，﹣1）．由解得A（﹣2，1），由，解得B（1，1）∴z=3x﹣y的最小值为3×（﹣2）﹣1=﹣7．故选：A．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．易错点是图形中的B点．5．（5分）（2015•湖南）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．【解答】解：函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），函数的定义域为（﹣1，1），函数f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=﹣f（x），所以函数是奇函数．排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f（0）=0；x=时，f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln3＞1，显然f（0）＜f（），函数是增函数，所以B错误，A正确．故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力．6．（5分）（2015•湖南）已知（﹣）5的展开式中含x的项的系数为30，则a=（）A．B．﹣C．6 D．﹣6【考点】二项式定理的应用．【专题】二项式定理．【分析】根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为求得r，再代入系数求出结果．【解答】解：根据所给的二项式写出展开式的通项，T r+1==；展开式中含x的项的系数为30，∴，∴r=1，并且，解得a=﹣6．故选：D．【点评】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．7．（5分）（2015•湖南）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附“若X﹣N=（μ，a2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A．2386 B．2718 C．3413 D．4772【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】计算题；概率与统计．【分析】求出P（0＜X≤1）=×0.6826=0.3413，即可得出结论．【解答】解：由题意P（0＜X≤1）=×0.6826=0.3413，∴落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.3413=3413，故选：C．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．8．（5分）（2015•湖南）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则||的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】由题意，AC为直径，所以||=|2+|．B为（﹣1，0）时，|2+|≤7，即可得出结论．【解答】解：由题意，AC为直径，所以||=|2+|所以B为（﹣1，0）时，|2+|≤7．所以||的最大值为7．故选：B．【点评】本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．9．（5分）（2015•湖南）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】利用三角函数的最值，求出自变量x1，x2的值，然后判断选项即可．【解答】解：因为将函数f（x）=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2|min=，不妨x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最小值，sin（2×﹣2φ）=﹣1，此时φ=，不合题意，x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最大值，sin（2×﹣2φ）=1，此时φ=，满足题意．故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象平移，函数的最值以及函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力，是好题，题目新颖．有一定难度，选择题，可以回代验证的方法快速解答．10．（5分）（2015•湖南）某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【专题】创新题型；空间位置关系与距离；概率与统计．【分析】根据三视图可判断其为圆锥，底面半径为1，高为2，求解体积．利用几何体的性质得出此长方体底面边长为n的正方形，高为x，利用轴截面的图形可判断得出n=（1﹣），0＜x＜2，求解体积式子，利用导数求解即可，最后利用几何概率求解即．【解答】解：根据三视图可判断其为圆锥，∵底面半径为1，高为2，∴V=×2=∵加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，∴此长方体底面边长为n的正方形，高为x，∴根据轴截面图得出：=，解得；n=（1﹣），0＜x＜2，∴长方体的体积Ω=2（1﹣）2x，Ω′=x2﹣4x+2，∵，Ω′=x2﹣4x+2=0，x=，x=2，∴可判断（0，）单调递增，（，2）单调递减，Ω最大值=2（1﹣）2×=，∴原工件材料的利用率为=×=，故选：A【点评】本题很是新颖，知识点融合的很好，把立体几何，导数，概率都相应的考查了，综合性强，属于难题．二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）（2015•湖南）（x﹣1）dx=0．【考点】定积分．【专题】导数的概念及应用．【分析】求出被积函数的原函数，代入上限和下限求值．【解答】解：（x﹣1）dx=（﹣x）|=0；故答案为：0．【点评】本题考查了定积分的计算；关键是求出被积函数的原函数．12．（5分）（2015•湖南）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是4．【考点】茎叶图．【专题】概率与统计．【分析】根据茎叶图中的数据，结合系统抽样方法的特征，即可求出正确的结论．【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；成绩在区间[139，151]上的运动员人数是20，用系统抽样方法从35人中抽取7人，成绩在区间[139，151]上的运动员应抽取7×=4（人）．故答案为：4．【点评】本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了系统抽样方法的应用问题，是基础题目．13．（5分）（2015•湖南）设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设F（c，0），P（m，n），（m＜0），设PF的中点为M（0，b），即有m=﹣c，n=2b，将中点M的坐标代入双曲线方程，结合离心率公式，计算即可得到．【解答】解：设F（c，0），P（m，n），（m＜0），设PF的中点为M（0，b），即有m=﹣c，n=2b，将点（﹣c，2b）代入双曲线方程可得，﹣=1，可得e2==5，解得e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，同时考查中点坐标公式的运用，属于中档题．14．（5分）（2015•湖南）设S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则a n=3n﹣1．【考点】等差数列与等比数列的综合．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用已知条件列出方程求出公比，然后求解等比数列的通项公式．【解答】解：设等比数列的公比为q，S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，可得4S2=S3+3S1，a1=1，即4（1+q）=1+q+q2+3，q=3．∴a n=3n﹣1．故答案为：3n﹣1．【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，基本知识的考查．15．（5分）（2015•湖南）已知函数f（x）=若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则a的取值范围是{a|a＜0或a＞1}．【考点】函数的零点．【专题】计算题；创新题型；函数的性质及应用．【分析】由g（x）=f（x）﹣b有两个零点可得f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b 的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a的范围【解答】解：∵g（x）=f（x）﹣b有两个零点，∴f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，由x3=x2可得，x=0或x=1①当a＞1时，函数f（x）的图象如图所示，此时存在b，满足题意，故a＞1满足题意②当a=1时，由于函数f（x）在定义域R上单调递增，故不符合题意③当0＜a＜1时，函数f（x）单调递增，故不符合题意④a=0时，f（x）单调递增，故不符合题意⑤当a＜0时，函数y=f（x）的图象如图所示，此时存在b使得，y=f（x）与y=b有两个交点综上可得，a＜0或a＞1故答案为：{a|a＜0或a＞1}【点评】本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲16．（6分）（2015•湖南）如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：（1）∠MEN+∠NOM=180°（2）FE•FN=FM•FO．【考点】相似三角形的判定．【专题】选作题；推理和证明．【分析】（1）证明O，M，E，N四点共圆，即可证明∠MEN+∠NOM=180°（2）证明△FEM∽△FON，即可证明FE•FN=FM•FO．【解答】证明：（1）∵N为CD的中点，∴ON⊥CD，∵M为AB的中点，∴OM⊥AB，在四边形OMEN中，∴∠OME+∠ONE=90°+90°=180°，∴O，M，E，N四点共圆，∴∠MEN+∠NOM=180°（2）在△FEM与△FON中，∠F=∠F，∠FME=∠FNO=90°，∴△FEM∽△FON，∴=∴FE•FN=FM•FO．【点评】本题考查垂径定理，考查三角形相似的判定与应用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．选修4-4：坐标系与方程17．（6分）（2015•湖南）已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】选作题；坐标系和参数方程．（1）曲线的极坐标方程即ρ2=2ρcosθ，根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x，【分析】即得它的直角坐标方程；（2）直线l的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论．【解答】解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1；（2）直线l：（t为参数），普通方程为，（5，）在直线l上，过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2=（5﹣1）2+3﹣1=18，由切割线定理，可得|MT|2=|MA|•|MB|=18．【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题．选修4-5：不等式选讲18．（2015•湖南）设a＞0，b＞0，且a+b=+．证明：（ⅰ）a+b≥2；（ⅱ）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．【考点】不等式的证明．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（ⅰ）由a＞0，b＞0，结合条件可得ab=1，再由基本不等式，即可得证；（ⅱ）运用反证法证明．假设a2+a＜2与b2+b＜2可能同时成立．结合条件a＞0，b＞0，以及二次不等式的解法，可得0＜a＜1，且0＜b＜1，这与ab=1矛盾，即可得证．【解答】证明：（ⅰ）由a＞0，b＞0，则a+b=+=，由于a+b＞0，则ab=1，即有a+b≥2=2，当且仅当a=b取得等号．则a+b≥2；（ⅱ）假设a2+a＜2与b2+b＜2可能同时成立．由a2+a＜2及a＞0，可得0＜a＜1，由b2+b＜2及b＞0，可得0＜b＜1，这与ab=1矛盾．a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．【点评】本题考查不等式的证明，主要考查基本不等式的运用和反证法证明不等式的方法，属于中档题．19．（2015•湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）由题意和正弦定理可得sinB=cosA，由角的范围和诱导公式可得；（Ⅱ）由题意可得A∈（0，），可得0＜sinA＜，化简可得sinA+sinC=﹣2（sinA﹣）2+，由二次函数区间的最值可得．【解答】解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==，∴sinB=cosA，即sinB=sin（+A）又B为钝角，∴+A∈（，π），∴B=+A，∴B﹣A=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A++A）=﹣2A＞0，∴A∈（0，），∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A）=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A=﹣2（sinA﹣）2+，∵A∈（0，），∴0＜sinA＜，∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）2+≤∴sinA+sinC的取值范围为（，]【点评】本题考查正弦定理和三角函数公式的应用，涉及二次函数区间的最值，属基础题．20．（2015•湖南）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件A2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，利用A1，A2相互独立，，互斥，B1，B2互斥，然后求出所求概率即可．（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，判断X～B．求出概率，得到X的分布列，然后求解期望．【解答】解：（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件B2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，由题意A1，A2相互独立，，互斥，B1，B2互斥，且B1=A1A2，B2=+，C=B1+B2，因为P（A1）=，P（A2）=，所以，P（B1）=P（A1）P（A2）==，P（B2）=P（）+P（）=+==，故所求概率为：P（C）=P（B1+B2）=P（B1）+P（B2）=．（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，由（1）可知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为：所以．X～B．于是，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．故X的分布列为：X 0 1 2 3PE（X）=3×=．【点评】期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用，为今后学习数学及相关学科产生深远的影响．21．（2015•湖南）如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1、BC上．（1）若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；（2）若PQ∥平面ABB1A1，二面角P﹣QD﹣A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【专题】空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．【分析】（1）首先以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出一些点的坐标，Q在棱BC上，从而可设Q（6，y1，0），只需求即可；（2）设P（0，y2，z2），根据P在棱DD1上，从而由即可得到z2=12﹣2y2，从而表示点P坐标为P（0，y2，12﹣2y2）．由PQ∥平面ABB1A1便知道与平面ABB1A1的法向量垂直，从而得出y1=y2，从而Q点坐标变成Q（6，y2，0），设平面PQD的法向量为，根据即可表示，平面AQD的一个法向量为，从而由即可求出y2，从而得出P点坐标，从而求出三棱锥P﹣AQD的高，而四面体ADPQ的体积等于三棱锥P﹣AQD的体积，从而求出四面体的体积．【解答】解：根据已知条件知AB，AD，AA1三直线两两垂直，所以分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：A（0，0，0），B（6，0，0），D（0，6，0），A1（0，0，6），B1（3，0，6），D1（0，3，6）；Q在棱BC上，设Q（6，y1，0），0≤y1≤6；∴（1）证明：若P是DD1的中点，则P；∴，；∴；∴；∴AB1⊥PQ；（2）设P（0，y2，z2），y2，z2∈[0，6]，P在棱DD1上；∴，0≤λ≤1；∴（0，y2﹣6，z2）=λ（0，﹣3，6）；∴；∴z2=12﹣2y2；∴P（0，y2，12﹣2y2）；∴；平面ABB1A1的一个法向量为；∵PQ∥平面ABB1A1；∴=6（y1﹣y2）=0；∴y1=y2；∴Q（6，y2，0）；设平面PQD的法向量为，则：；∴，取z=1，则；又平面AQD的一个法向量为；又二面角P﹣QD﹣A的余弦值为；∴；解得y2=4，或y2=8（舍去）；∴P（0，4，4）；∴三棱锥P﹣ADQ的高为4，且；∴V四面体ADPQ=V三棱锥P﹣ADQ=．【点评】考查建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线垂直及线面角问题的方法，共线向量基本定理，直线和平面平行时，直线和平面法向量的关系，平面法向量的概念，以及两平面法向量的夹角和平面二面角大小的关系，三棱锥的体积公式．22．（13分）（2015•湖南）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点．C1与C2的公共弦长为2．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）过点F的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且与同向．（ⅰ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率；（ⅱ）设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）根据两个曲线的焦点相同，得到a2﹣b2=1，再根据C1与C2的公共弦长为2，得到=1，解得即可求出；（Ⅱ）设出点的坐标，（ⅰ）根据向量的关系，得到（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，设直线l的方程，分别与C1，C2构成方程组，利用韦达定理，分别代入得到关于k的方程，解得即可；（ⅱ）根据导数的几何意义得到C1在点A处的切线方程，求出点M的坐标，利用向量的乘积∠AFM是锐角，问题得以证明．【解答】解：（Ⅰ）抛物线C1：x2=4y的焦点F的坐标为（0，1），因为F也是椭圆C2的一个焦点，∴a2﹣b2=1，①，又C1与C2的公共弦长为2，C1与C2的都关于y轴对称，且C1的方程为x2=4y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为（±，），所以=1，②，联立①②得a2=9，b2=8，故C2的方程为+=1．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），（ⅰ）因为与同向，且|AC|=|BD|，所以=，从而x3﹣x1=x4﹣x2，即x1﹣x2=x3﹣x4，于是（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，③设直线的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，由，得x2﹣4kx﹣4=0，而x1，x2是这个方程的两根，所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，④由，得（9+8k2）x2+16kx﹣64=0，而x3，x4是这个方程的两根，所以x3+x4=，x3x4=﹣，⑤将④⑤代入③，得16（k2+1）=+，即16（k2+1）=，所以（9+8k2）2=16×9，解得k=±．（ⅱ）由x2=4y得y′=x，所以C1在点A处的切线方程为y﹣y1=x1（x﹣x1），即y=x1x﹣x12，令y=0，得x=x1，M（x1，0），所以=（x1，﹣1），而=（x1，y1﹣1），于是•=x12﹣y1+1=x12+1＞0，因此∠AFM是锐角，从而∠MFD=180°﹣∠AFM是钝角，故直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．【点评】本题考查了圆锥曲线的和直线的位置与关系，关键是联立方程，构造方程，利用韦达定理，以及向量的关系，得到关于k的方程，计算量大，属于难题．23．（13分）（2015•湖南）已知a＞0，函数f（x）=e ax sinx（x∈[0，+∞]）．记x n为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点．证明：（Ⅰ）数列{f（x n）}是等比数列；（Ⅱ）若a≥，则对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】创新题型；导数的综合应用；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）求出导数，运用两角和的正弦公式化简，求出导数为0的根，讨论根附近的导数的符号相反，即可得到极值点，求得极值，运用等比数列的定义即可得证；（Ⅱ）由sinφ=，可得对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．即为nπ﹣φ＜e a（nπ﹣φ）恒成立⇔＜，①设g（t）=（t＞0），求出导数，求得最小值，由恒成立思想即可得证．【解答】证明：（Ⅰ）f′（x）=e ax（asinx+cosx）=•e ax sin（x+φ），tanφ=，0＜φ＜，令f′（x）=0，由x≥0，x+φ=mπ，即x=mπ﹣φ，m∈N*，对k∈N，若（2k+1）π＜x+φ＜（2k+2）π，即（2k+1）π﹣φ＜x＜（2k+2）π﹣φ，则f′（x）＜0，因此在（（m﹣1）π﹣φ，mπ﹣φ）和（mπ﹣φ，（m+1）π﹣φ）上f′（x）符号总相反．于是当x=nπ﹣φ，n∈N*，f（x）取得极值，所以x n=nπ﹣φ，n∈N*，此时f（x n）=e a（nπ﹣φ）sin（nπ﹣φ）=（﹣1）n+1e a（nπ﹣φ）sinφ，易知f（x n）≠0，而==﹣e aπ是常数，故数列{f（x n）}是首项为f（x1）=e a（π﹣φ）sinφ，公比为﹣e aπ的等比数列；（Ⅱ）由sinφ=，可得对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．即为nπ﹣φ＜e a（nπ﹣φ）恒成立⇔＜，①设g（t）=（t＞0），g′（t）=，当0＜t＜1时，g′（t）＜0，g（t）递减，当t＞1时，g′（t）＞0，g（t）递增．t=1时，g（t）取得最小值，且为e．因此要使①恒成立，只需＜g（1）=e，只需a＞，当a=，tanφ==，且0＜φ＜，可得＜φ＜，于是π﹣φ＜＜，且当n≥2时，nπ﹣φ≥2π﹣φ＞＞，因此对n∈N*，ax n=≠1，即有g（ax n）＞g（1）=e=，故①亦恒成立．综上可得，若a≥，则对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．【点评】本题考查导数的运用：求极值和单调区间，主要考查三角函数的导数和求值，同时考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查不等式恒成立问题的证明，属于难题．参与本试卷答题和审题的老师有：caoqz；qiss；吕静；刘长柏；sdpyqzh；changq；742048；双曲线；lincy；wkl197822；whgcn（排名不分先后）菁优网2016年6月8日考点卡片1．必要条件、充分条件与充要条件的判断【知识点的认识】正确理解和判断充分条件、必要条件、充要条件和非充分非必要以及原命题、逆命题否命题、逆否命题的概念是本节的重点；掌握逻辑推理能力和语言互译能力，对充要条件概念本质的把握是本节的难点．1．充分条件：对于命题“若p则q”为真时，即如果p成立，那么q一定成立，记作“p⇒q”，称p为q的充分条件．意义是说条件p充分保证了结论q的成立，换句话说要使结论q成立，具备条件p就够了当然q成立还有其他充分条件．如p：x≥6，q：x＞2，p是q成立的充分条件，而r：x＞3，也是q成立的充分条件．必要条件：如果q成立，那么p成立，即“q⇒p”，或者如果p不成立，那么q一定不成立，也就是“若非p则非q”，记作“￢p⇒￢q”，这是就说条件p是q的必要条件，意思是说条件p 是q成立的必须具备的条件．充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．2．从集合角度看概念：如果条件p和结论q的结果分别可用集合P、Q 表示，那么①“p⇒q”，相当于“P⊆Q”．即：要使x∈Q成立，只要x∈P就足够了﹣﹣有它就行．②“q⇒p”，相当于“P⊇Q”，即：为使x∈Q成立，必须要使x∈P﹣﹣缺它不行．③“p⇔q”，相当于“P=Q”，即：互为充要的两个条件刻画的是同一事物．3．当命题“若p则q”为真时，可表示为，则我们称p为q的充分条件，q是p的必要条件．这里由，得出p为q的充分条件是容易理解的．但为什么说q是p的必要条件呢？事实上，与“”等价的逆否命题是“”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p 是必不可少的，所以说q是p的必要条件．4．“充要条件”的含义，实际上与初中所学的“等价于”的含义完全相同．也就是说，如果命题p等价于命题q，那么我们说命题p成立的充要条件是命题q成立；同时有命题q成立的充要条件是命题p成立．【解题方法点拨】1．借助于集合知识加以判断，若P⊆Q，则P是Q的充分条件，Q是的P的必要条件；若P=Q，则P与Q互为充要条件．2．等价法：“P⇒Q”⇔“￢Q⇒￢P”，即原命题和逆否命题是等价的；原命题的逆命题和原命题的否命题是等价的．3．对于充要条件的证明，一般有两种方法：其一，是用分类思想从充分性、必要性两种情况分别加以证明；其二，是逐步找出其成立的充要条件用“⇔”连接．【命题方向】充要条件主要是研究命题的条件与结论之间的逻辑关系，它是中学数学最重要的数学概念之一，它是今后的高中乃至大学数学推理学习的基础．在每年的高考中，都会考查此类问题．2．函数的零点。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）理科数学本试题包括选择题，填空题和解答题三部分，共6页，时间120分钟，满分150分．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的．1．已知2(1)1i i z-=+（i 为虚数单位），则复数z =( ) A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【解析】由题意得，得2(1)2111i iz i i i--===--++．故选D ． 考点：复数的运算．2．设A ，B 是两个集合，则“A B A = ”是“A B ⊆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】由题意得，A B A A B =⇒⊆ ，反之，A B A B A =⇒⊆ ，故为充要条件．故选C ． 考点：集合的关系．3．执行如图1所示的程序框图，如果输入3n =，则输出的S =( ) A ．76B ．73C ．98D ．94【解析】由题意得，输出的S 为数列1(21)(21)n n ⎧⎫⎨⎬-+⎩⎭的前三项和，而1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+，所以11(1)22121n nS n n =-=++，从而337S =．故选B ．考点：程序框图，裂项相消求数列的和．4．若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥+1121y y x y x ，则y x z -=3的最小值为( )A ．7-B ．1-C ．1D ．2【解析】如图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，从而可知当2x =-，1y =时，y x z -=3的最小值是7-．故选A ． 考点：线性规划．5． 设函数)1ln()1ln()(x x x f --+=，则)(x f 是( )A ． 奇函数，且在)1,0(是增函数B ． 奇函数，且在)1,0(是减函数C ． 偶函数，且在)1,0(是增函数D ． 偶函数，且在)1,0(是减函数【解析】试题分析：显然，()f x 定义域为(1,1)-，关于原点对称， 又∵()ln(1)ln(1)()f x x x f x -=--+=-，∴()f x 为奇函数，显然()f x 在(0,1)上单调递增．故选A ． 考点：函数的性质．6．已知5)(xa x -的展开式中含23x 的项的系数为30，则=a ( )A ．3B ．3-C ．6D ．6-【解析】5215(1)r r rrr T C a x -+=-，令1r =，可得530a -=，从而6a =-．故选D ．考点：二项式定理．7． 在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布)1,0(N 的密度曲线）的点的个数的估计值为( ) A ．2386B ．2718C ．3413D ．4772附：若),(~2σμN X ，则6826.0)(=+≤<-σμσμX P , 9544.0)22(=+≤<-σμσμX P ．【解析】根据正态分布的性质，1(01)(11)0.34132P x P x <<=-<<=．故选C ．考点：正态分布．8． 已知点A ，B ，C 在圆122=+y x 上运动，且BC AB ⊥ ． 若点P 的坐标为)0,2(, 则||++的最大值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【解析】由题意得AC 为圆的直径，故可设(,)A m n ，(,)B m n --，(,)C x y ， ∴(6,)PA PB PC x y ++=-，而22(6)371249x y x -+=-≤，∴||++的最大值为7．故选B ．考点：圆的性质，平面向量数量积．9． 将函数x x f 2sin )(=的图象向右平移ϕ)20(πϕ<<个单位后得到函数)(x g 的图象，若对满足2|)()(|21=-x g x f 的1x ，2x ，有3||m i n 21π=-x x ，则=ϕ( )A ．125πB ．3πC ．4πD ．6π【解析】向右平移ϕ个单位后，得到)22sin()(ϕ-=x x g ，又∵2|)()(|21=-x g x f ，∴不妨设ππk x 2221+=，ππϕm x 22222+-=-，∴πϕπ)(221m k x x -+-=-，又∵12min3x x π-=，∴632πϕπϕπ=⇒=-．故选D ．考点：三角函数的图象和性质．10． 某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料的利用率原工件的体积新工件的体积=）( )A ．π98B ．π916C ．π2124）－（D ．π21212）－（【解析】问题等价于圆锥的内接长方体的体积，如下图所示，则有212x h-=，∴22h x =-，∴长方体的体积为22(2)(22)x h x x =-4(22)x x x =- 3224()3x x x ++-≤3227=，当且仅当2223x x x =-=即时，等号成立，∴利用率为232162719123ππ= ．故选A ．考点：圆锥内接长方体，基本不等式求最值．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．俯视图侧视图正视图11．⎰=-2)1(dx x __________．【解析】⎰=-20)1(dx x 2201|02x x -=． 考点：定积分的计算．12．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1－35号，再用系统抽样的方法从中抽取7人，则其中成绩在区间]151,139[上的运动员的人数是_________．【解析】由茎叶图可知，在区间]151,139[的人数为20，再由系统抽样的性质可知人数为435720=⨯人． 考点：系统抽样，茎叶图．13．设F 是双曲线C 1:2222=-by a x 的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________．【解析】根据对称性，不妨设(,0)F c ，短轴端点为(0,)b ，从而可知点(,2)c b -在双曲线上，∴222241c b a b-=，从而c e a ==．考点：双曲线的标准方程及其性质．14．设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，若11=a ，且321,2,3S S S 成等差数列，则=n a ___________．【解析】等比数列}{n a 中2111S a a q q =+=+，231S q q =++，∴24(1)31q q q +=+++，解得3q =，∴13n n a -=．考点：等比、等比数列的通项公式及其前n 项和．15．已知函数32,,(),x x a f x x x a ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若存在实数b ，使函数b x f x g -=)()(有两个零点，则a 的取值范围是___________．【解析】分析题意可知问题等价于方程)(3a x b x ≤=与方程)(2a x b x >=的根的个数为2，若两个方程各有一个根：则可知关于b 的不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤->≤a b a b ab 31有解，从而1>a ；若方程)(3a x b x ≤=无解，方程)(2a x b x >=有2个根：则可知关于b 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>->ab a b 31有解，从而0<a ； 综上，实数a 的取值范围是),1()0,(+∞-∞ ． 考点：函数与方程，分类讨论的数学思想．三、解答题：本大题共6小题，共75分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16． (本小题满分12分)本小题有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个选做题，请考生任选两题．．．．作答，并将解答过程写在答题卡中相应题号的答题区域内，如果全做，则按所做的前两题计分． Ⅰ．（本小题满分6分）选修4－1 几何证明选讲 如图，在⊙O 中，相交于点E 的两弦AB ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MO 与直线CD 相交于点F ．证明： （i ） 180=∠+∠NOM MEN ； （ii ）FO FM FN FE ⋅=⋅．F【解析】(i )如图，因为M ，N 分别是两弦AB ，CD 的中点，所以AB OM ⊥, CD ON ⊥，即 90=∠=∠ONE OME ，因此 180=∠+∠ONE OME ，又四边形的内角和等于 360，故 180=∠+∠NOM MEN ．(ii ) 由（i ）知， O ，M ，E ，N 四点共圆，故由割线定理即得FO FM FN FE ⋅=⋅． Ⅱ．（本小题满分6分）选修4－4 坐标系与参数方程已知直线l ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.213,235:t y t x （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=．（i ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（ii ）设点M 的直角坐标为)3,5(，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求||||MB MA ⋅的值．【解析】 (i )θρcos 2=等价于 θρρcos 22=，将 222y x +=ρ，x =θρcos 代入上式即得曲线C 的直角坐标方程是0222=-+x y x ． (ii )将5,12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入0222=-+x y x 得018352=++t t ．设这个方程的两个实根分别为21,t t ，则由参数t 的几何意义知||||MB MA ⋅＝.18||21=t tⅢ．（本小题满分6分）选修4－5 不等式选讲 设0,0>>b a ，且bab a 11+=+，证明： （i ）2≥+b a ；（ii ）22<+a a 与22<+b b 不可能同时成立．【解析】 由abba b a b a +=+=+11，0,0>>b a 得 1=ab(i )由基本不等式及1=ab ，有22=≥+ab b a ，即2≥+b a ．(ii ) 设22<+a a 与22<+b b 同时成立，则由22<+a a 及0>a 可得10<<a ，同理 10<<b ，从而10<<ab 这与1=ab 相矛盾，故22<+a a 与22<+b b 不可能同时成立．17．(本小题满分12分)设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，A b a tan =，且B 为钝角．(Ⅰ)证明：2π=-A B ；(Ⅱ) 求C A sin sin +的取值范围．【解析】（Ⅰ）由A b a tan =及正弦定理，得BAb a A A sin sin cos sin ==，所以A B cos sin =，即)2sin(sin A B +=π． 又B 为钝角，),2(2πππ∈+A ，故A B +=2π，即2π=-A B ．(Ⅱ) 由（Ⅰ）知 022)(>-=+-=A B A C ππ, 所以)4,0(π∈A ． 于是)22sin(sin sin sin A A C A -+=+πA A 2cos sin +=.89)41(sin 2sin 21sin 22+--=-+=A A A因为40π<<A ，所以 22sin 0<<A ，因此8989)41(sin 2222≤+--<A ．由此可得C A sin sin +的取值范围是]89,22(．18．(本小题满分12分)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖． (Ⅰ)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(Ⅱ)若某顾客有3次抽奖的机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望． 【解析】（Ⅰ）记事件1A ={从甲箱中摸出的一个球是红球}，2A ={从乙箱中摸出的一个球是红球}，1B ＝{顾客抽奖一次获一等奖}，2B ＝{顾客抽奖一次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖一次能获奖}． 由题意1A 与2A 相互独立，21A A 与21A A 互斥，1B 与2B 互斥， 且211A A B =，2B =21A A +21A A ，21B B C +=．又因为52104)(1==A P ，21105)(2==A P ， 所以512152)()()()(21211=⨯===A P A P A A P B P ，)()()()(212121212A A P A A P A A A A P B P +=+=2121)521()211(52)()()()(2121=⨯-+-⨯=+=A P A P A P A P ,故所求概率为1072151)()()()(2121=+=+=+=B P B P B B P C P ． (Ⅱ) 顾客抽奖3次可视为3次独立重复实验．由（Ⅰ）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为51，所以)51,3(~B X ， 于是 )3,2,1,0()54()51()(33===-K C K X P K K K ．X 的数学期望为553)(=⨯=X E ．19． (本小题满分13分)如图，在四棱台1111D C B A ABCD -的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，61=AA ，且⊥1AA 底面ABCD ，点P ，Q 分别在棱1DD ，BC 上．(Ⅰ) 若点P 是1DD 的中点，证明：PQ AB ⊥1； (Ⅱ) 若//PQ 平面11A ABB ，二面角A QD P --的余弦值为73，求四面体ADPQ 的体积．【解析】 解法一：（Ⅰ）如图，取1AA 的中点R ，连结PR BR ,, 因为1AA ,1DD 是梯形D D AA 11的两腰，点P 是1DD 的中点，所以AD PR //， 于是由BC AD //知，BC PR //，所以C B R P ,,,四点共面．由题设知AB BC ⊥，1AA BC ⊥，A AA AB =1 ,所以 ⊥BC 平面11A ABB ,又⊂1AB 平面11A ABB ，因此 1AB BC ⊥． 因为11111tan 63tan AB A AA B A AB AR ABR ∠====∠,所以11AB A ABR ∠=∠，因此 901111=∠+∠=∠+∠BAB AB A BAB ABR ,于是 1AB BR ⊥, 又已证得1AB BC ⊥，所以⊥1AB 平面BRPC , 显然有⊂PQ 平面BRPC , 故PQ AB ⊥1．(Ⅱ) 如下图，过点P 作1//AA PM 交AD 于点M ，则//PM 平面11A ABB ， 因为⊥1AA 底面ABCD ，所以⊥PM 底面ABCD ，过点M 作QD MN ⊥于点N ，连结PN ，则QD PN ⊥，从而PNM ∠是二BD D面角A QD P --的平面角．所以73cos =∠PNM ，即73=PN MN ，从而340=MN PM ． 连结MQ ，由//PQ 平面11A ABB 及//PM 平面11A ABB 知，平面//PQM 平面11A ABB ，所以AB MQ //，又ABCD 是正方形，所以ABQM 是矩形，故MQ=AB=6． 设MD ＝t ，则.366222tt MDMQ MD MQ MN +=+⋅=过点1D 作A A E D 11//交AD 于点E ，则E D AA 11是矩形，所以 611==AA E D ，311==D A AE ，因此 3=-=AE AD DE ． 于是21==DEED MD PM , 所以t MD PM 22==， 从而tt t MN PM 63623402+⨯==，解得2=t ，所以4=PM ． 故四面体ADPQ 的体积 24466213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆PM S V ADQ ．解法二：由题设知AB AD AA ,,1G 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则相关各点的坐标为)0,0,0(A ，)6,0,3(1B ，)0,6,0(D ，)6,3,0(1D , )0,,6(m Q ，其中m BQ =，60≤≤m ． (Ⅰ) 若点P 是1DD 的中点，则)3,29,0(P ，)3,29,6(--=m PQ ，又)6,0,3(1=AB ，于是018181=-=⋅AB , 所以AB ⊥1，即PQ AB ⊥1．(Ⅱ) 由题设知，)0,6,6(-=m , )6,3,0(1-=DD 是平面PQD 内两个不共线的向量，设),,(1z y x n =是平面PQD 的一个法向量，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0,0111DD n 即⎩⎨⎧=+-=-+063,0)6(6z y y m x 取6=y ，得)3,6,6(1m n -=． 又平面AQD 的一个法向量是)1,0,0(2=n ， 所以 45)6(336)6(3||||,cos 2222212121+-=++-=⋅>=<m m n n n n ，BD而二面角A QD P --的余弦值为73，所以7345)6(32=+-m ，解得m=4或m=8(舍去)，此时)0,4,6(Q ．再设)10(1≤<=λλDD ，而)6,3,0(1-=DD ， 由此得到)6,36,0(λλ-P ，)6,23,6(λλ--=．因为//PQ 平面11A ABB ，且平面11A ABB 的一个法向量是)0,1,0(3=n ，所以 0233=-=⋅λn ，32=λ，从而)4,4,0(P ．于是，将四面体ADPQ 视为ADQ ∆为底面的三棱锥ADQ P -，其高4=h ，故四面体ADPQ 的体积 24466213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆PM S V ADQ ．20． (本小题满分13分)已知抛物线1C y x 4:2=的焦点F 也是椭圆2C )0(1:2222>>=+b a bx a y 的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为62．(Ⅰ) 求2C 的方程；(Ⅱ) 过点F 的直线l 与1C 相交于A ，B 两点，与2C 相交于C ，D 两点，且AC 与BD 同向．（i ） 若||||BD AC =，求直线l 的斜率；（ii ）设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形．【解析】(Ⅰ) 由1C y x 4:2=知其焦点F 的坐标为(0,1)，因为F 也是椭圆2C 的一个焦点，所以 122=-b a （1）又1C 与2C 的公共弦长为62，1C 与2C 都关于y 轴对称，且1C 的方程为y x 42=，由此易知1C 与2C 的公共点坐标为)23,6(±，所以164922=+ba（2）联立（1）、（2）得8,922==b a ，故2C 的方程为18922=+x y ．(Ⅱ) 如图，设),(11y x A ，),(22y x B ，),(33y x C ，),(44y x D ．(i )因与同向，且||||BD AC =，所以 =，从而 2413x x x x -=-， 即4321x x x x -=-，于是43243212214)(4)(x x x x x x x x -+=-+． （3） 设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为1+=kx y ．由⎩⎨⎧=+=yx kx y 4,12 得0442=--kx x ，而21,x x 是这个方程的两根，所以 4,42121-==+x x k x x （4） 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=189,122x y kx y 得06416)89(22=-++kx x k ，而43,x x 是这个方程的两根，所以 2212438964,8916k x x k k x x +-=+-=+ （5） 将(4)(5)代入(3)得 22222289644)89(16)1(16kk k k +⨯++=+，即22222)89()1(916)1(16k k k ++⨯=+， 所以 916)89(22⨯=+k ，解得 46±=k ，即直线l 的斜率为46±．(ii )由 y x 42=得 2'xy =，所以1C 在点A 处的切线方程为)(2111x x x y y -=-， 即42211x x x y -=，令0=y 得21x x =，即)0,2(1x M ， 所以)1,2(1-=x ，而)14,(211-=x x ，于是014)14(2212121>+=--=⋅x x x ，因此AFM ∠总是锐角，从而AFM MFD ∠-=∠ 180是钝角． 故直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形．21． (本小题满分13分)已知0>a ，函数)),0[(sin )(∞+∈=x x e x f ax ，记n x 为)(x f 的从小到大的第n *)(N n ∈个极值点． 证明: (Ⅰ) 数列)}({n x f 是等比数列； (Ⅱ) 若112-≥e a ，则对一切*N n ∈，|)(|n n xf x <恒成立．【解析】(Ⅰ) )cos sin (cos sin )('x x a e x e x ae x f ax ax ax +=+=)sin(12ϕ+⋅+=x e a ax ，其中a 1tan =ϕ，20πϕ<<．令 0)('=x f ，由0≥x 得 πϕm x =+，即*,N m m x ∈-=ϕπ．对N k ∈，若πϕπ)12(2+<+<k x k ，即ϕπϕπ-+<<-)12(2k x k ，则0)('>x f ;若πϕπ)22()12(+<+<+k x k ，即ϕπϕπ-+<<-+)22()12(k x k ，则0)('<x f ．因此，在区间),)1((ϕππ--m m 与),(πϕπm m -上，)('x f 的符号总相反， 于是，当*,N m m x ∈-=ϕπ时，)(x f 取得极值，所以*,N n n x n ∈-=ϕπ． 此时，()1()()sin()(1)sin a n n a n n f x e n e πφπφπφϕ-+-=-=-，易知0)(≠n x f ，且2[(1)]11()()(1)sin ()(1)sin n a n a n n a n n f x e e f x e πφππφϕϕ++-++--==--是常数， 故数列)}({n x f 是首项为ϕϕπsin )()(1-=a e x f ，公比为πa e -的等比数列． (Ⅱ) 由(Ⅰ)知，11sin 2+=a ϕ，于是对一切*N n ∈，|)(|n n x f x <恒成立，即)(211ϕπϕπ-+<-n a ea n 恒成立，等价于)(1)(2ϕπϕπ-<+-n a e a a n a （*）恒成立（因为a >0）．设)0()(>=t te t g t，则2(1)'()t e t g t t -=，由'()0g t =得1=t ，当10<<t 时，0)('<t g ，所以)(t g 在)1,0(上单调递减；当1>t 时，0)('>t g ，所以)(t g 在),1(∞+上单调递增． 从而当1=t 时，函数)(t g 取得最小值e g =)1(．因此，要使（*）式恒成立，只需e g a a =<+)1(12，即只需112->e a ． 而当112-=e a 时，由311tan 2>-==e a ϕ且20πϕ<<知，23πϕπ<<．于是1322-<<-e πϕπ，且当2≥n 时，12322->>-≥-e n πϕπϕπ， 因此，对一切*N n ∈，112≠--=e n ax n ϕπ，所以aa e g ax g n 1)1()(2+==>，故（*）式也恒成立． 综上所述，若112-≥e a ，则对一切*N n ∈，|)(|n n xf x <恒成立．。

2015年湖南省高考数学试卷（理科）一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分1．（5分）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分）设A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的（）A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）A．B．C．D．4．（5分）若变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为（）A．﹣7B．﹣1C．1D．25．（5分）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数第 1 页共 32 页 1D．偶函数，且在（0，1）上是减函数6．（5分）已知（﹣）5的展开式中含x的项的系数为30，则a=（）A．B．﹣C．6D．﹣67．（5分）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附“若X﹣N=（μ，a2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A．2386B．2718C．3413D．47728．（5分）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则||的最大值为（）A．6B．7C．8D．99．（5分）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x 1、x 2，有|x 1﹣x 2|min=，则φ=（）A．B．C．D．10．（5分）某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）2第 2 页共 32 页A．B．C．D．二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）（x﹣1）dx=．12．（5分）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是．13．（5分）设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为．14．（5分）设S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则a n=．15．（5分）已知函数f（x）=若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则a的取值范围是．第 3 页共 32 页 3三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲16．（6分）如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO 与直线CD相交于点F，证明：（1）∠MEN+∠NOM=180°（2）FE•FN=FM•FO．选修4-4：坐标系与方程17．（6分）已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．4第 4 页共 32 页选修4-5：不等式选讲18．设a＞0，b＞0，且a+b=+．证明：（ⅰ）a+b≥2；（ⅱ）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．七、标题19．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．第 5 页共 32 页 520．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出一个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获得一等奖；若只有1个红球，则获得二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望21．如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1、BC上．（1）若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；（2）若PQ∥平面ABB1A1，二面角P﹣QD﹣A的余弦值为，求四面体ADPQ 的体积．6第 6 页共 32 页22．（13分）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点．C1与C2的公共弦长为2．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）过点F的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且与同向．（1）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率；（2）设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．23．（13分）已知a＞0，函数f（x）=e ax sinx（x∈[0，+∞]）．记x n为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点．证明：（Ⅰ）数列{f（x n）}是等比数列；（Ⅱ）若a≥，则对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．第 7 页共 32 页72015年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分1．（5分）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）A．1+i B ．1﹣i C．﹣1+i D ．﹣1﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值．【解答】解：∵已知=1+i（i为虚数单位），∴z===﹣1﹣i，故选：D．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．2．（5分）设A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】5J：集合；5L：简易逻辑．【分析】直接利用两个集合的交集，判断两个集合的关系，判断充要条件即可．【解答】解：A、B是两个集合，则“A∩B=A”可得“A⊆B”，“A⊆B”，可得“A∩B=A”．所以A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件．故选：C．【点评】本题考查充要条件的判断与应用，集合的交集的求法，基本知识的应用．8第 8 页共 32 页3．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）A．B．C．D．【考点】EF：程序框图．【分析】列出循环过程中S与i的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：判断前i=1，n=3，s=0，第1次循环，S=，i=2，第2次循环，S=，i=3，第3次循环，S=，i=4，此时，i＞n，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S===故选：B．【点评】本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力第 9 页共 32 页94．（5分）若变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为（）A．﹣7B．﹣1C．1D．2【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得C（0，﹣1）．由解得A（﹣2，1），由，解得B（1，1）∴z=3x﹣y的最小值为3×（﹣2）﹣1=﹣7．故选：A．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．易错点是图形中的B点．5．（5分）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数10第 10 页共 32 页B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；3N：奇偶性与单调性的综合．【专题】53：导数的综合应用．【分析】求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．【解答】解：函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），函数的定义域为（﹣1，1），函数f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=﹣f（x），所以函数是奇函数．排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f（0）=0；x=时，f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln3＞1，显然f（0）＜f（），函数是增函数，所以B错误，A正确．故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力．6．（5分）已知（﹣）5的展开式中含x的项的系数为30，则a=（）A．B．﹣C．6D．﹣6【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为求得r，再代入系数求出结果．【解答】解：根据所给的二项式写出展开式的通项，T r+1==；第 11 页共 32 页11展开式中含x的项的系数为30，∴，∴r=1，并且，解得a=﹣6．故选：D．【点评】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．7．（5分）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附“若X﹣N=（μ，a2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A．2386B．2718C．3413D．4772【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】求出P（0＜X≤1）=×0.6826=0.3413，即可得出结论．【解答】解：由题意P（0＜X≤1）=×0.6826=0.3413，∴落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.3413=3413，故选：C．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．12第 12 页共 32 页8．（5分）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则||的最大值为（）A．6B．7C．8D．9【考点】9D：两向量的和或差的模的最值；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；5B：直线与圆．【分析】由题意，AC为直径，所以||=|2+|．B为（﹣1，0）时，|2+|≤7，即可得出结论．【解答】解：由题意，AC 为直径，所以||=|2+|所以B为（﹣1，0）时，|2+|≤7．所以||的最大值为7．另解：设B（cosα，sinα），|2+|=|2（﹣2，0）+（cosα﹣2，sinα）|=|（cosα﹣6，sinα）|==，当cosα=﹣1时，B为（﹣1，0），取得最大值7．故选：B．【点评】本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．9．（5分）将函数f（x）=sin2x 的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A．B．C．D．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．第 13 页共 32 页13【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】利用三角函数的最值，求出自变量x1，x2的值，然后判断选项即可．【解答】解：因为将函数f（x ）=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2|min =，不妨x1=，x2=，即g（x）在x 2=，取得最小值，sin（2×﹣2φ）=﹣1，此时φ=，不合题意，x1=，x2=，即g（x ）在x2=，取得最大值，sin（2×﹣2φ）=1，此时φ=，满足题意．另解：f（x）=sin2x ，g（x）=sin（2x﹣2φ），设2x1=2kπ+，k∈Z，2x2﹣2φ=﹣+2mπ，m∈Z，x1﹣x2=﹣φ+（k﹣m）π，由|x1﹣x2|min=，可得﹣φ=，解得φ=，故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象平移，函数的最值以及函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力，是好题，题目新颖．有一定难度，选择题，可以回代验证的方法快速解答．10．（5分）某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）14第 14 页共 32 页A ．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】2：创新题型；5F：空间位置关系与距离；5I：概率与统计．【分析】根据三视图可判断其为圆锥，底面半径为1，高为2，求解体积．利用几何体的性质得出此长方体底面边长为n的正方形，高为x，利用轴截面的图形可判断得出n=（1﹣），0＜x＜2，求解体积式子，利用导数求解即可，最后利用几何概率求解即．【解答】解：根据三视图可判断其为圆锥，∵底面半径为1，高为2，∴V=×2=第 15 页共 32 页15∵加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，∴此长方体底面边长为n的正方形，高为x，∴根据轴截面图得出：=，解得；n=（1﹣），0＜x＜2，∴长方体的体积Ω=2（1﹣）2x，Ω′=x2﹣4x+2，∵，Ω′=x2﹣4x+2=0，x=，x=2，∴可判断（0，）单调递增，（，2）单调递减，Ω最大值=2（1﹣）2×=，∴原工件材料的利用率为=×=，故选：A．【点评】本题很是新颖，知识点融合的很好，把立体几何，导数，概率都相应的考查了，综合性强，属于难题．二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）（x﹣1）dx=0．【考点】67：定积分、微积分基本定理．【专题】52：导数的概念及应用．【分析】求出被积函数的原函数，代入上限和下限求值．【解答】解：（x﹣1）dx=（﹣x）|=0；故答案为：0．【点评】本题考查了定积分的计算；关键是求出被积函数的原函数．12．（5分）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图16第 16 页共 32 页如图所示．若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是4．【考点】BA：茎叶图．【专题】5I：概率与统计．【分析】根据茎叶图中的数据，结合系统抽样方法的特征，即可求出正确的结论．【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；成绩在区间[139，151]上的运动员人数是20，用系统抽样方法从35人中抽取7人，成绩在区间[139，151]上的运动员应抽取7×=4（人）．故答案为：4．【点评】本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了系统抽样方法的应用问题，是基础题目．13．（5分）设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设F（c，0），P（m，n），（m＜0），设PF的中点为M（0，b），即有m=﹣c，n=2b，将中点M的坐标代入双曲线方程，结合离心率公式，计算即可得到．【解答】解：设F（c，0），P（m，n），（m＜0），第 17 页共 32 页17设PF的中点为M（0，b），即有m=﹣c，n=2b，将点（﹣c，2b）代入双曲线方程可得，﹣=1，可得e2==5，解得e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，同时考查中点坐标公式的运用，属于中档题．14．（5分）设S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则a n=3n﹣1．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】利用已知条件列出方程求出公比，然后求解等比数列的通项公式．【解答】解：设等比数列的公比为q，S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，可得4S2=S3+3S1，a1=1，即4（1+q）=1+q+q2+3，q=3．∴a n=3n﹣1．故答案为：3n﹣1．【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，基本知识的考查．15．（5分）已知函数f（x）=若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则a的取值范围是{a|a＜0或a＞1} ．18第 18 页共 32 页【考点】51：函数的零点．【专题】11：计算题；2：创新题型；51：函数的性质及应用．【分析】由g（x）=f（x）﹣b有两个零点可得f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a的范围【解答】解：∵g（x）=f（x）﹣b有两个零点，∴f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，由x3=x2可得，x=0或x=1①当a＞1时，函数f（x）的图象如图所示，此时存在b，满足题意，故a＞1满足题意②当a=1时，由于函数f（x）在定义域R上单调递增，故不符合题意③当0＜a＜1时，函数f（x）单调递增，故不符合题意第 19 页共 32 页19④a=0时，f（x）单调递增，故不符合题意⑤当a＜0时，函数y=f（x）的图象如图所示，此时存在b使得，y=f（x）与y=b有两个交点综上可得，a＜0或a＞1故答案为：{a|a＜0或a＞1}【点评】本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲16．（6分）如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：（1）∠MEN+∠NOM=180°（2）FE•FN=FM•FO．20第 20 页共 32 页【考点】N4：相似三角形的判定．【专题】17：选作题；5M：推理和证明．【分析】（1）证明O，M，E，N四点共圆，即可证明∠MEN+∠NOM=180°（2）证明△FEM∽△FON，即可证明FE•FN=FM•FO．【解答】证明：（1）∵N为CD的中点，∴ON⊥CD，∵M为AB的中点，∴OM⊥AB，在四边形OMEN中，∴∠OME+∠ONE=90°+90°=180°，∴O，M，E，N四点共圆，∴∠MEN+∠NOM=180°（2）在△FEM与△FON中，∠F=∠F，∠FME=∠FNO=90°，∴△FEM∽△FON，∴=∴FE•FN=FM•FO．【点评】本题考查垂径定理，考查三角形相似的判定与应用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．选修4-4：坐标系与方程17．（6分）已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】17：选作题；5S：坐标系和参数方程．第 21 页共 32 页21【分析】（1）曲线的极坐标方程即ρ2=2ρcosθ，根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x，即得它的直角坐标方程；（2）直线l的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论．【解答】解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1；（2）直线l：（t为参数），普通方程为，（5，）在直线l上，过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2=（5﹣1）2+3﹣1=18，由切割线定理，可得|MT|2=|MA|•|MB|=18．【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题．选修4-5：不等式选讲18．设a＞0，b＞0，且a+b=+．证明：（ⅰ）a+b≥2；（ⅱ）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．【考点】R6：不等式的证明．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】（ⅰ）由a ＞0，b＞0，结合条件可得ab=1，再由基本不等式，即可得证；（ⅱ）运用反证法证明．假设a2+a＜2与b2+b＜2可能同时成立．结合条件a＞0，b＞0，以及二次不等式的解法，可得0＜a＜1，且0＜b＜1，这与ab=1矛盾，即可得证．【解答】证明：（ⅰ）由a＞0，b＞0，则a+b=+=，由于a+b＞0，则ab=1，即有a+b≥2=2，22第 22 页共 32 页当且仅当a=b取得等号．则a+b≥2；（ⅱ）假设a2+a ＜2与b2+b＜2可能同时成立．由a2+a ＜2及a ＞0，可得0＜a＜1，由b 2+b＜2及b＞0，可得0＜b＜1，这与ab=1矛盾．a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．【点评】本题考查不等式的证明，主要考查基本不等式的运用和反证法证明不等式的方法，属于中档题．七、标题19．设△ABC的内角A 、B、C 的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．【考点】HP：正弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】（Ⅰ）由题意和正弦定理可得sinB=cosA，由角的范围和诱导公式可得；（Ⅱ）由题意可得A∈（0，），可得0＜sinA＜，化简可得sinA+sinC=﹣2（sinA﹣）2+，由二次函数区间的最值可得．【解答】解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==，∴sinB=cosA，即sinB=sin（+A）又B为钝角，∴+A∈（，π），∴B=+A，∴B﹣A=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A++A）=﹣2A＞0，∴A∈（0，），∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A）第 23 页共 32 页23=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A=﹣2（sinA ﹣）2+，∵A∈（0，），∴0＜sinA＜，∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）2+≤∴sinA+sinC的取值范围为（，]【点评】本题考查正弦定理和三角函数公式的应用，涉及二次函数区间的最值，属基础题．20．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出一个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获得一等奖；若只有1个红球，则获得二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】5I：概率与统计．【分析】（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件A2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，利用A1，A2相互独立，，互斥，B1，B2互斥，然后求出所求概率即可．（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，判断X～B．求出概率，得到X的分布列，然后求解期望．【解答】解：（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱24第 24 页共 32 页中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件B2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，由题意A1，A2相互独立，，互斥，B1，B2互斥，且B 1=A1A2，B2=+，C=B1+B 2，因为P（A1）=，P（A2）=，所以，P（B1）=P（A1）P（A2）==，P（B2）=P（）+P （）=+==，故所求概率为：P （C ）=P（B1+B2）=P（B1）+P （B 2）=．（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，由（1）可知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为：所以．X～B．于是，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．故X的分布列为：X0123PE（X）=3×=．【点评】期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用，为今后学习数学及相关学科产生深远的影响．21．如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1、BC上．（1）若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；（2）若PQ∥平面ABB1A1，二面角P﹣QD﹣A的余弦值为，求四面体ADPQ 的体积．第 25 页共 32 页25【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角；5H：空间向量及应用．【分析】（1）首先以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出一些点的坐标，Q 在棱BC上，从而可设Q（6，y1，0），只需求即可；（2）设P（0，y2，z2），根据P在棱DD1上，从而由即可得到z2=12﹣2y2，从而表示点P坐标为P（0，y2，12﹣2y2）．由PQ∥平面ABB1A1便知道与平面ABB1A1的法向量垂直，从而得出y1=y2，从而Q 点坐标变成Q （6，y2，0），设平面PQD的法向量为，根据即可表示，平面AQD的一个法向量为，从而由即可求出y2，从而得出P点坐标，从而求出三棱锥P﹣AQD 的高，而四面体ADPQ的体积等于三棱锥P﹣AQD的体积，从而求出四面体的体积．【解答】解：根据已知条件知AB，AD，AA1三直线两两垂直，所以分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：A（0，0，0），B（6，0，0），D（0，6，0），A1（0，0，6），B1（3，0，6），D1（0，3，6）；Q在棱BC上，设Q（6，y1，0），0≤y1≤6；26第 26 页共 32 页∴（1）证明：若P是DD1的中点，则P；∴，；∴；∴；∴AB1⊥PQ；（2）设P（0，y2，z2），y2，z2∈[0，6]，P在棱DD1上；∴，0≤λ≤1；∴（0，y2﹣6，z2）=λ（0，﹣3，6）；∴；∴z2=12﹣2y2；∴P（0，y2，12﹣2y2）；∴；平面ABB1A1的一个法向量为；∵PQ∥平面ABB1A1；∴=6（y1﹣y2）=0；∴y 1=y2；∴Q（6，y2，0）；设平面PQD的法向量为，则：；∴，取z=1，则；又平面AQD的一个法向量为；第 27 页共 32 页27又二面角P﹣QD﹣A的余弦值为；∴；解得y2=4，或y2=8（舍去）；∴P（0，4，4）；∴三棱锥P﹣ADQ的高为4，且；∴V四面体ADPQ =V三棱锥P﹣ADQ=．【点评】考查建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线垂直及线面角问题的方法，共线向量基本定理，直线和平面平行时，直线和平面法向量的关系，平面法向量的概念，以及两平面法向量的夹角和平面二面角大小的关系，三棱锥的体积公式．22．（13分）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点．C1与C2的公共弦长为2．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）过点F 的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且与同向．（1）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率；（2）设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，第 28 页共 32 页28△MFD总是钝角三角形．【考点】K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】2：创新题型；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）根据两个曲线的焦点相同，得到a2﹣b2=1，再根据C1与C2的公共弦长为2，得到=1，解得即可求出；（Ⅱ）设出点的坐标，（1）根据向量的关系，得到（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，设直线l的方程，分别与C1，C2构成方程组，利用韦达定理，分别代入得到关于k的方程，解得即可；（2）根据导数的几何意义得到C1在点A 处的切线方程，求出点M的坐标，利用向量的乘积∠AFM是锐角，问题得以证明．【解答】解：（Ⅰ）抛物线C1：x2=4y的焦点F的坐标为（0，1），因为F也是椭圆C 2的一个焦点，∴a 2﹣b2=1，①，又C1与C2的公共弦长为2，C 1与C2的都关于y轴对称，且C1的方程为x2=4y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为（±，），所以=1，②，联立①②得a2=9，b2=8，故C 2的方程为+=1．（Ⅱ）设A（x1，y 1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），（1）因为与同向，且|AC|=|BD|，所以=，从而x3﹣x1=x4﹣x2，即x1﹣x2=x3﹣x4，于是（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，③设直线的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，第 29 页共 32 页29由，得x2﹣4kx﹣4=0，而x1，x2是这个方程的两根，所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，④由，得（9+8k2）x2+16kx﹣64=0，而x3，x4是这个方程的两根，所以x3+x4=，x3x4=﹣，⑤将④⑤代入③，得16（k2+1）=+，即16（k2+1）=，所以（9+8k2）2=16×9，解得k=±．（2）由x2=4y得y′=x，所以C1在点A处的切线方程为y﹣y 1=x1（x﹣x1），即y=x1x﹣x12，令y=0，得x=x1，M（x1，0），所以=（x1，﹣1），而=（x1，y1﹣1），于是•=x12﹣y1+1=x12+1＞0，因此∠AFM是锐角，从而∠MFD=180°﹣∠AFM是钝角，故直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．【点评】本题考查了圆锥曲线的和直线的位置与关系，关键是联立方程，构造方程，利用韦达定理，以及向量的关系，得到关于k的方程，计算量大，属于难题．30第 30 页共 32 页23．（13分）已知a＞0，函数f（x）=e ax sinx（x∈[0，+∞]）．记x n为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点．证明：（Ⅰ）数列{f（x n）}是等比数列；（Ⅱ）若a≥，则对一切n∈N*，x n ＜|f（x n）|恒成立．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】2：创新题型；53：导数的综合应用；54：等差数列与等比数列；59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）求出导数，运用两角和的正弦公式化简，求出导数为0的根，讨论根附近的导数的符号相反，即可得到极值点，求得极值，运用等比数列的定义即可得证；（Ⅱ）由sinφ=，可得对一切n∈N *，x n＜|f（x n）|恒成立．即为nπ﹣φ＜e a（nπ﹣φ）恒成立⇔＜，①设g（t）=（t＞0），求出导数，求得最小值，由恒成立思想即可得证．【解答】证明：（Ⅰ）f′（x）=e ax（asinx+cosx）=•e ax sin（x+φ），tanφ=，0＜φ＜，令f′（x）=0，由x≥0，x+φ=mπ，即x=mπ﹣φ，m∈N*，对k∈N，若（2k+1）π＜x+φ＜（2k+2）π，即（2k+1）π﹣φ＜x＜（2k+2）π﹣φ，则f′（x）＜0，因此在（（m﹣1）π﹣φ，mπ﹣φ）和（mπ﹣φ，（m+1）π﹣φ）上f′（x ）符号总相反．于是当x=nπ﹣φ，n∈N*，f（x）取得极值，所以x n=nπ﹣φ，n∈N*，此时f（x n）=e a（nπ﹣φ）sin（nπ﹣φ）=（﹣1）n+1e a（nπ﹣φ）sinφ，易知f（x n）≠0，而==﹣e aπ是常数，第 31 页共 32 页31故数列{f（x n）}是首项为f（x1）=e a（π﹣φ）sinφ，公比为﹣e aπ的等比数列；（Ⅱ）由sinφ=，可得对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．即为nπ﹣φ＜e a（nπ﹣φ）恒成立⇔＜，①设g（t）=（t＞0），g′（t）=，当0＜t＜1时，g′（t）＜0，g （t）递减，当t ＞1时，g′（t）＞0，g（t ）递增．t=1时，g（t）取得最小值，且为e．因此要使①恒成立，只需＜g（1）=e，只需a＞，当a=，tanφ==，且0＜φ＜，可得＜φ＜，于是π﹣φ＜＜，且当n≥2时，nπ﹣φ≥2π﹣φ＞＞，因此对n∈N*，ax n=≠1，即有g（ax n）＞g（1）=e=，故①亦恒成立．综上可得，若a≥，则对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．【点评】本题考查导数的运用：求极值和单调区间，主要考查三角函数的导数和求值，同时考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查不等式恒成立问题的证明，属于难题．32第 32 页共 32 页。

2015年高考数学（理科）湖南卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1.已知（i为虚数单位），则复数z=（ ）A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i2.设A,B是两个集合，则“A∩B=A”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=( )A.<<\frac{6}{7}>>B.<<\frac{3}{7}>>C.<<\frac{8}{9}>>D.<<\frac{4}{9}>>4.若变量x,y满足约束条件$\equ3{x+y≥-1}{2x-y≤1}{y≤1}$，则z=3x-y的最小值为（ ）A.-7B.-1C.15.设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)，则f(x)是（ ）A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B.奇函数，且在(0,1)上是减函数C.偶函数，且在(0,1)上是增函数D.偶函数，且在(0,1)上是减函数6.已知的展开式中含的项的系数为30，则a=( ) A. B.C.6D.-67.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ） 附：若X～N(μ，σ 2)，则P(μ-σ＜X≤μ+σ)=0.6826，P(μ-2σ＜X≤μ+2σ)=0.9544A.2386B.2718C.3413D.47728.已知点A,B,C在圆x 2+y 2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为(2,0)，则$|\onu{`P`A}{→}+\onu{`P`B}{→}+\onu{`P`C}{→}|$的最大值为（ ）A.6B.7C.8D.99.将函数f(x)=sin2x的图像向右平移个单位后得到函数g(x)的图像，若对满足|f(x 1)-g(x 2)|=2的x 1,x 2，有$|\sub{`x}{1}-\sub{`x}{2}|`m`i`n=\frac{`π}{3}$，则φ=( )A.<<\frac{5`π}{12}>>B.<<\frac{`π}{3}>>C.<<\frac{`π}{4}>>D.<<\frac{`π}{6}>>10.某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（ ）A.<<\frac{8}{9π}>>B.<<\frac{16}{9π}>>C.<<\frac{4\sup{(\sqrt{2}-1)}{3}}{π}>>D.<<\frac{12\sup{(\sqrt{2}-1)}{3}}{π}>>二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.$\ud {2}{0}(`x-1)`d`x=_________$12.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示，若将运动员按成绩由好到差编为1～35 号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________.13.设F是双曲线C:的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为________.14.设Sn 为等比数列{an}的前n项和，若a1=1，且3S1,2S2,S3成等差数列，则an=________.15.已知$`f(`x)=\equ2{\sup{`x}{3},x≤`a}{\sup{`x}{2},`x＞`a}$，若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点，则a的取值范围是__________.三．解答题：本大题共6小题，共75分，16.（Ⅰ）如图，在圆O中，相交于点E 的两弦AB,CD的中点分别是M,N，直线MO与直线CD相交于点F，点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ. （1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设点M的直角坐标为，直线l与曲线C 的交点为A,B，求|MA|•|MB|的值. （Ⅲ）设a＞0,b＞0，且 （1）a+b≥2； （2）a 2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立.17.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btanA,且B为钝角. （1）证明：； （2）求sinA+sinC的取值范围.18.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖. （1）求顾客抽奖1次能获奖的概率； （2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望.19.如图，已知四棱台ABCD-A1B1C1D1上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，点P,Q分别在棱DD1，BC上. （1）若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ; （2）若PQ//平面ABB1A1，二面角P-QD-A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积.20.已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为. （1）求C2的方程； （2）过点F的直线l与C1相交于A,B两点，与C2相交于C,D两点，且$\onu{`A`C}{→}与\onu{`B`D}{→}$同向 （ⅰ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率 （ⅱ）设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形21.已知a＞0，函数f(x)=e axsinx(x∈[0,+∞])，记xn为f(x)的从小到大的第n(n∈N+)极值点，证明： （1）数列{f(xn )}是等比数列 （2）若< >，则对一切n∈N+,xn＜|f(xn)|恒成立.参考答案 1.D 解析：，故选D. 2.C 解析：由题意得，，反之，，故为充要条件，选C.3.B 解析：由题意得，输出的S为数列<<{\frac{1}{(2`n-1)(2`n+1)}}>>的前三项和，而 <<\frac{1}{(2`n-1)(2`n+1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2`n-1}-\frac{1}{2`n+1}),∴\sub{`S}{`n}=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2`n+1})=\frac{`n}{2`n+1}\sub{`S}{3}=\frac{3}{7}>>，故选B.4.A 解析：如下图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，作直线l:3x-y=0，平移l,，从而可知当x=-2,y=1时，z min =3×(-2)-1=-7的最小值是-7，故选A.5.A 解析：显然，f(x)定义域为(-1,1)，关于原点对称，又∵f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x)，∴f(x)为奇函数，显然，f(x)在(0,1)上单调递增，故选A.6.D 解析：<<\sub{`T}{`r+1}=\udC{r}{5}\sup{(-1)}{`r}\sup{`a}{`r}\sup{`x}{\frac{5}{2}`r}>>，令r=1，可得-5a=30 a=-6，故选D.7.C 解析：根据正态分布的性质，< >，故选C.8.B 解析：由题意得，AC为圆的直径，故可设A(m,n),C(-m,-n),B(x,y),<<∴\onu{`P`A}{→}+\onu{`P`B}{→}+\onu{`P`C}{→}=(`x-6,`y),∴|\onu{`P`A}{→}+\onu{`P`B}{→}+\onu{`P`C}{→}|=\sqrt{\sup{(`x-6)}{2}+\sup{`y}{2}}>>的最大值为圆x 2+y 2=1上的动点到点(6,0) 距离的最大值，从而易得当<<\equ2{`x=-1}{`y=0}>>时<<|\onu{`P`A}{→}+\onu{`P`B}{→}+\onu{`P`C}{→}|>>的最大值为7，故选B. 【考点定位】1.圆的性质；2.平面向量的坐标运算及其几何意义.9.D 解析：向右平移φ个单位后，得到g(x)=sin(2x-2φ)，又∵|f(x 1)-g(x 2)|=2，∴不妨<<2\sub{`x}{1}=\frac{π}{2}+2k`π>>,<<2\sub{`x}{2}-2`φ=-\frac{`π}{2}+2`m`π>>,<<∴\sub{x}{1}-\sub{x}{2}=\frac{`π}{2}-`φ+(`k-`m)`π,又∵\sub{|\sub{x}{1}-\sub{`x}{2}|}{`m`i`n}=\frac{`π}{3}>>, <<∴\frac{`π}{2}-`φ=\frac{`π}{3} `φ=\frac{`π}{6}>>故选D.，圆锥的轴截面如图所示，则可知<<\frac{`a">{1">=\frac{2-`h">{2"> `h=2-2`a>>，而长方体的体积<<`V=`x`y`h≤\frac{\sup{`x">{2">+\sup{`y">{2">">{2">`h=2\sup{`a">{2">`h=2\sup{`a">{2">(2-2`a)>> <<≤2×\sup{(\frac{`a+`a+2-2`a">{3">)">{3">=\frac{16">{27">>>，当且仅当<<`x=`y,`a=2-2a `a=\frac{2">{3">>>时，等号成立，此时利用率为<<\frac{\frac{16">{27">">{\frac{1">{3">`π×\sup{1">{2">×2">=\frac{8">{9`π">>>，故选A.11.0 解析：<<\ud {2}{0}(`x-1)`d`x=(\frac{1}{2}\sup{`x}{2}-`x\ud){2}{0}=0>>12.4 解析：由茎叶图可知，在区间[139,151]的人数为20,，再由系统抽样的性质可知人数为<<20×\frac{7}{35}=4>>人. 【考点定位】1.系统抽样；2.茎叶图.13.<<\sqrt{5}>> 解析：根据对称性，不妨设F(c,0)，短轴端点为(0,b)，从而可知点(-c,2b)在双曲线上， <<∴\frac{\sup{`c}{2}}{\sup{`a}{2}}-\frac{\sup{4`b}{2}}{\sup{`b}{2}}=1`e=\frac{`c}{`a}=\sqrt{5}>>14.3 n-1 解析：∵3S 1,2S 2,S 3成等差数列，∴ 2×2(a 1+a 2)=3a 1+a 1+a 2+a 3 a 3=3a 2 q=3. 又∵等比数列{a n },∴a n =a 1q n-1=3 n-1.15.(-∞,0)∪(1,+∞) 解析：分析题意可知，问题等价于方程x 3=b(x≤a)与方程x 2=b(x＞a)的根的个数和为2， 若两个方程各有一个根：则可知关于b的不等式组<<\equ3{\sup{`b}{\frac{1}{3}}≤`a}{\sqrt{`b}＞`a}{-\sqrt{`b}≤`a}>>有解，∴a 2＜b＜a 3，从而a＞1; 若方程x 3=b(x≤a)无解，方程x 2=b(x＞a)有2个根：则可知关于b的不等式组<<\equ2{\sup{`b}{\frac{1}{3}}＞`a}{-\sqrt{`b}＞`a}>>有解，从而a＜0，综上，实数a的取值范围是(-∞,0)∪(1,+∞).16.（Ⅰ）（1）详见解析；（2）详见解析. （Ⅱ）（1）x 2+y 2-2x=0；（2）18. （Ⅲ）（1）详见解析；（2）详见解析. 解析：（Ⅰ）（1）首先根据垂径定理可得∠OME=90º,∠ENO=90º，再由四边形的内角和即可得证； （2）由（1）中的结论可得O,M,E,N四点共圆，再由割线定理即得FE•FN=FM•FO. 试题解析：（1）如图a所示， ∵M,N分别是弦AB,CD的中点，∴OM⊥AB,ON⊥CD, 即∠OME=90º,∠ENO=90º,∠OME+∠ENO=180º，又四边形的内角和等于360º，故∠MEN+∠NOM=180º； （2）由（I）知，O,M,E,N四点共圆，故由割线定理即得FE•FN=FM•FO.（Ⅱ）（1）利用ρ 2=x 2+y 2,ρcosθ=x即可将已知条件中的极坐标方程转化直角坐标方程； （2）联立直线的参数方程与圆的直角方程，利用参数的几何意义结合韦达定理即可求解. 试题解析：（1）ρ=2cosθ等价于ρ 2=2ρcosθ①，将ρ 2=x 2+y 2,ρcos θ=x代入①，记得曲线C的直角坐标方程为x 2+y 2-2x=0②； （2）将<<\equ2{`x=5+\frac{\sqrt{3">">{2">`t">{`y=\sqrt{3">+\frac{1">{2">`t">>>代入②，得<<\意义即知,|MA|•|MB|=|t 1t 2|=18. （Ⅲ）（1）将已知条件中的式子可等价变形为ab=1，再由基本不等式即可得证； （2）利用反证法,假设假设a 2+a＜2与b 2+b＜2同时成立，可求得0＜a＜1,0＜b＜1，从而与ab=1矛盾，即可得证 试题解析：由<<`a+`b=\frac{1">{`a">+\frac{1">{`b">=\frac{`a+`b">{`a`b">,a＞0,b＞0,>>得ab=1， （1）由基本不等式及ab=1，有<<`a+`b≥2\sqrt{`a`b">=2>>，即a+b≥2; （2）假设a 2+a＜2与b 2+b＜2同时成立，则由a 2+a＜2及a＞0得0＜a＜1，同理0＜b＜1，从而ab＜1，这与ab=1矛盾，故a 2+a＜2与b 2+b＜2不可能成立.17.（1）详见解析；（2）<<(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{9}{8}]>> 解析：（1）利用正弦定理，将条件中的式子等价变形为<<`s`i`n`B=`s`i`n(\frac{`π}{2}+`A)>>，再结合条件从而得证；（2）利用（1）中的结论，以及三角恒等变形，将sinA+sinC转化为只与A有关的表达式，再利用三角函数的性质即可求解. 试题解析：（1）由a=btanA及正弦定理，得<<\frac{`s`i`n`A}{`c`o`s`A}=\frac{`a}{`b}=\frac{`s`i`n`A}{`s`i`n`B},∴`s`i`n`B=`c`o`s`A>>，即<<`s`i`n`B=`s`i`n(\frac{`π}{2}+`A)>>,又B为钝角，因此<<\frac{`π}{2}+`A∈(\frac{`π}{2},`π)>>，故<<`B=\frac{`π}{2}+`A>>,即<<`B-`A=\frac{`π}{2}>>；（2）由（1）知，<<`C=`π-(`A+`B)`π-(2`A+\frac{`π}{2})=\frac{`π}{2}-2`A＞0,∴`A∈(0,\frac{`π}{4})>>,于是<<`s`i`n`A+`s`i`n`C=`s`i`n`A+`s`i`n(\frac{`π}{2}-2`A)>> <<=`s`i`n`A+`c`o`s2`A=-2\sup{`s`i`n}{2}`A+`s`i`n`A+1=-2\sup{(`s`i`n`A-\frac{1}{4})}{2}+\frac{9}{8},∴0＜`A＜\frac{`π}{4},∴0＜`s`i`n`A＜\frac{\sqrt{2}}{2}>>，因此<<\frac{\sqrt{2}}{2}＜-2\sup{(`s`i`n`A-\frac{1}{4})}{2}+\frac{9}{8}≤\frac{9}{8}>>，由此可知sinA+sinC的取值范围是<<(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{9}{8}]>>.18.（1）<<\frac{7}{10}>>；（2）详见解析. 解析：（1）记事件A 1=｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，A 2=｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝ B 1=｛顾客抽奖1次获一等奖｝，B 2=｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C=｛顾客抽奖1次能获奖｝，则可知A 1与A 2相互独立，<<\sub{`A">{1">\onu{\sub{`A">{2">">{-">与\onu{\sub{`A">{1">">{-">\sub{`A">{2">>>互斥，B 1与B 2互斥，且B 1=A 1A 2,<<\sub{`B">{2">=\sub{`A">{1">\onu{\sub{`A">{2">">{-">+\onu{\sub{`A">{1">">{-">\sub{`A">{2">>>,C=B 1+B 2，再利用概率的加法公式即可求解；（2）分析题意可知<<`X～`B(3,\frac{1">{5">)>>，分别求得<{3">\sup{(\frac{1">{5">)">{0">\sup{(\frac{4">{5">)">{3">=\frac{64">{125">>>, <{3">\sup{(\frac{1">{5">)">{1">\sup{(\frac{4">{5">)">{2">=\frac{48">{125">>>, <{3">\sup{(\frac{1">{5">)">{2">\sup{(\frac{4">{5">)">{1">=\frac{12">{125">>>, <{3">\sup{(\frac{1">{5">)">{3">\sup{(\frac{4">{5">)">{0">=\frac{1">{125">>>,即可知X的概率分布及其期望. 试题解析：（1）记事件A 1=｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，A 2=｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝ B 1=｛顾客抽奖1次获一等奖｝，B 2=｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C=｛顾客抽奖1次能获奖｝，由题意， A 1与A 2相互独立，<<\sub{`A">{1">\onu{\sub{`A">{2">">{-">与\onu{\sub{`A">{1">">{-">\sub{`A">{2">>>互斥，B 1与B 2互斥，且B 1=A 1A 2,<<\sub{`B">{2">=\sub{`A">{1">\onu{\sub{`A">{2">">{-">+\onu{\sub{`A">{1">">{-">\sub{`A">{2">>>,C=B 1+B 2，<<∵`P(\sub{`A">{1">)=\frac{4">{10">=\frac{2">{5">,`P(\sub{`A">{2">)=\frac{5">{10">=\frac{1">{">+\onu{\sub{`A">{1">">{-">\sub{`A">{2">)=`P(\sub{`A">{1">\onu{\sub{`A">{2">">{-">)+`P(\onu{\sub{`A">{1">">{-">\sub{`A">{2">)=`P(\sub{`A">{1">)(1-`P(\sub{`A">{2">))+(1-`P(\sub{`A">{1">))P(\sub{`A">{2">)>> <<=\frac{2">{5">×(1-\frac{1">{2">)+(1-\frac{2">{5">)×\frac{1">{2">=\frac{1">{2">>>，故所求概率为<<`顾客抽奖3次独立重复试验，由（1）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为<<\frac{1">{5">>>,<<∴`X～`B(3,\frac{1">{5">)>>,于是 <{3">\sup{(\frac{1">{5">)">{0">\sup{(\frac{4">{5">)">{3">=\frac{64">{125">>>, <{3">\sup{(\frac{1">{5">)">{1">\sup{(\frac{4">{5">)">{2">=\frac{48">{125">>>, <{3">\sup{(\frac{1">{5">)">{2">\sup{(\frac{4">{5">)">{1">=\frac{12">{125">>>, <{3">\sup{(\frac{1">{5">)">{3">\sup{(\frac{4">{5">)">{0">=\frac{1">{125">>>,，故X的分布列为 X的数学期望为<<`E(`X)=3×\frac{1">{5">=\frac{3">{5">>>19.（1）详见解析；（2）24. 解析：（1）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标可知问题等价于证明<<\onu{\sub{`A`B">{1">">{→">•\onu{`P`Q">{→">=0>>； （2）根据条件二面角P-QD-A 的余弦值为<<\frac{3">{7">>>，利用空间向量可将四面体ADPQ视为以△ADQ为底面的三棱锥P-ADQ，其高h=4，从而求解 试题解析：解法一 由题设知，AA1,AB,AD两两垂直，以A为坐标原点，AB,AD,AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图b所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为A(0,0,0),B1(3,0,6),D(0,6,0),D1(0,3,6),Q(6,m,0)，其中m=BQ,0≤m≤6, （1）若P是DD1的中点，则<<`P(0，\frac{9">{2">,3),\onu{\sub{`A`B">{1">">{→">=(3,0,6)>>，于是<<\onu{\sub{`A`B">{1">">{→">•\onu{`P`Q">{→">=18-18=0,∴\onu{\sub{`A`B">{1">">{→">⊥\onu{`P`Q">{→">,>>即AB1⊥PQ; （2）由题设知，<<\onu{`D`Q">{→">=(6,m-6,0),\onu{\sub{`D`D">{1">">{→">=(0,-3,6)>>是平面PQD内的两个不共线向量. 设<<\onu{\sub{`n">{1">">{→">=(`x,`y,`z)>>是平面PQD的一个法向量，则<<\equ2{\onu{\sub{`n">{1">">{→">•\onu{`D`Q">{→">=0">{\onu{\sub{`n">{1">">{→">•\onu{\sub{`D`D">即<<\equ2{6`x+(`m-6)`y=0">{-3`y+6`z=0">>>, 取y=6，得<<\onu{\sub{`n">{1">">{→">=(6-`m,6,3)>>，又平面AQD的一个法向量是<<\onu{\sub{`n">{2">">{→">=(0,0,1)>>,<<∴cos<\onu{\sub{`n">{1">">{→">,\onu{\sub{`n">{2">">{→">>=\frac{\onu{\sub{`n">{1">">{→">•\ `m)">{2">+\sup{6">{2">+\sup{3">{2">">">=\frac{3">{\sqrt{\sup{(6-`m)">{2">+45">">>>，而二面角P-QD-A的余弦值为<<\frac{3">{7">>>，因此<<\frac{3">{\sqrt{\sup{(6-`m)">{2">+45">">=\frac{3">{7">>>，解得m=4，或者m=8（舍去），此时Q(6,4,0). 设<<\onu{`D`P">{→">=`λ\onu{\sub{`D`D">{1">">{→">(0＜`λ≤1)>>，而<<\onu{\sub{`D`D">{1">">{→">=(0,-3,6)>>，由此得点P(0,6-3λ,6λ), <<\onu{`P`Q">{→">=(6,3`λ-2,-6`λ)>>,∵PQ//平面ABB1A1，且平面ABB1A1的一个法向量是<<\onu{\sub{`n">{3">">{→">=(0,1,0)，∴\onu{`P`Q">{→">•\onu{\sub{`n">{3">">{→">=0>>，即3λ-2=0，亦即<<`λ=\frac{2">{3">>>，从而P(0,4,4)，于是，将四面体ADPQ视为以△ADQ为底面的三棱锥P-ADQ，则其高h=4，故四面体ADPQ的体积<<`V=\frac{1">{3">\sub{`S">{△`A`D`Q">•`h=\frac{1">{3">×\frac{1">{2">×6×6×4=24>>.， 由题设知，BC⊥AB,BC⊥A 1A，∴BC⊥平面ABB 1A 1，因此BC⊥AB 1①,<<∵`t`a`n∠`A`B`R=\frac{`A`R">{`A`B">=\frac{3">{6">=\frac{\sub{`A`B">{1">">{\sub{`A">{1">`因此∠ABR+∠BAB 1=∠A 1AB 1+∠BAB 1=90º，于是AB 1⊥BR，再由①即知AB 1⊥平面PRBC，又PQ 平面PRBC，故AB 1⊥PQ; （2）如图d，过点P作PM//A 1A交AD于点M，则PM//平面ABB 1A 1, ∵A 1A⊥平面ABCD,∴OM⊥平面ABCD，过点M作MN⊥QD于点N，连结PN，则PN⊥QD,∠PNM为二面角P-QD-A的平面角，<<∴`c`o`s∠`P`M`N=\frac{3">{7">>>，即<<\frac{`M`N">{`P`N">=\frac{3">{7">>>，从而<<\frac{`P`M">{`M`N">=\frac{\sqrt{40">">{3">>>③ 连结MQ，由PQ//平面ABB 1A 1，∴MQ//AB,，又ABCD是正方形，所以ABQM为矩形，故MQ=AB=6，设MD=t，则<<`M`N=\frac{`M`Q•`M`D">{\sqrt{\sup{`M`Q">{2">+\sup{`M`D">{2">">">>>④，过点D 1作D 1E//A 1A交AD于点E，则AA 1D 1E为矩形，∴D 1E=A 1A=6,AE=A 1D 1=3，因此ED=AD-AE=3，于是<<\frac{`P`M">{`M`D">=\frac{\sub{`D">{1">`E">{`E`D">=\frac{6">{3">=2,∴`P`M=2`M`D=2`t>>,再由③④得<<\frac{\sqrt{36+\sup{`t">{2">">">{3">=\frac{\sqrt{40">">{3">>>，解得t=2，因此PM=4故四面体ADPQ的体积<<`V=\frac{1">{3">\sub{`S">{△`A`D`Q">•`h=\frac{1">{3">×\frac{1">{2">×6×6×4=24>>.20.（1）<<\frac{\sup{`y}{2}}{9}+\frac{\sup{`x}{2}}{8}=1>>；（2）（i），（ii）详见解析. 解析：（1）根据已知条件可求得C 2的焦点坐标为(0,1)，再利用公共弦长为<<2\sqrt{6">>>即可求解；（2）（i）设直线l斜率为k，则l的方程为y=kx+1，由<<\equ2{`y=`k`x+1">{\sup{`x">{2">=4`y">>>得x 2+16kx-64=0，根据条件可知<<\onu{`A`C">{→">=\onu{`B`D">{→">>>，从而可以建立关于k的方程，即可求解； （ii）根据条件可说明<<\onu{`F`A">{→">•\onu{`F`M">{→">=\frac{\udx{2">{1">">{2">-\sub{`y">{1">+1=\frac{\udx{2">{1">">{4">+1＞0>>，因此∠AFM是锐角，从而∠MFD=180º-∠AFM 是钝角，即可得证 试题解析：（1）由C 1:x 2=4y知其焦点F的坐标为(0,1)，∵F也是椭圆C 2的一焦点， ∴a 2-b 2=1①，又C 1与C 2的公共弦的长为<<2\sqrt{6">>>，C 1与C 2都关于y轴对称，且C 1的方程为x 2=4y, 由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为<<(±\sqrt{6">,\frac{2">{3">),∴\frac{9">{\sup{4a">{2">">+\frac{6">{\sup{b">{2">">=1>>②，联立①，②，得a 2=9,b 2=8，故C 2的方程为<<\frac{\sup{`x">{2">">{9">+\frac{\sup{`y">{2">">{8">=1>>； （2）如图f,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3),D(x 4,y 4) （i）∵<<\onu{`A`C">{→">与\onu{`B`D">{→">>>同向，且|AC|=|BD|,<<∴\onu{`A`C">{→">=\onu{`B`D">{→">,>>从而x 3-x 1=x 4-x 2，即x 1-x 2=x 3-x 4，于是(x 1+x 2) 2-4x 1x 2=(x 3+x 4) 2-4x 3x 4③，设直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，由<<\equ2{`y=`k`x+1">{\sup{`x">{2">=4`y">>>得x 2+16kx-64=0，而x 1,x 2是这个方程的两根，∴x 1+x 2=4k,x 1x 2=-4④，由<<\equ2{`y=`k`x+1">{\frac{\sup{`x">{2">">{8">+\frac{\sup{`y">{2">">{9">=1">>>得(9+8k 2)x 2+16kx-64=0，而x 3,x 4是这个方程的两根，<<∴\sub{`x">{3">+\sub{`x">{4">=-\frac{16`k">{9+8\sup{`k">{2">">,\sub{`x">{3">\sub{`x">{4">=-sup{`k">{2">+1)=\frac{\sup{16">{2">\sup{`k">{2">">{\sup{(9+8\sup{`k">{2">)">{2">">+\frac{4×64即<<16(\sup{`k">{2">+1)=\frac{\sup{16">{2">×9(\sup{`k">{2">+1)">{\sup{(9+8\sup{`k">{2">)">{2">">>>, ∴(9+8k 2) 2=16×9，解得<<`k=±\frac{\sqrt{6">">{4">>>，即直线l的斜率为<<±\frac{\sqrt{6">">{4">>>. （ii）由x 2=4y得<<`y'=\frac{`x">{2">>>，∴C 1在点A处的切线方程为<<`y-\sub{`y">{1">=\frac{\sub{`x">{1">">{2">(`x-\sub{`x">{1">)>>，即<<`y=\sub{`x">{1">`x-\frac{\udx{2">{1">">{4">>>，令y=0，得<<`x=\frac{\sub{`x">{1">">{2">>>，即<<`M(\frac{\sub{`x">{1">">{2">,0)>>，<<∴\onu{`F`M">{→">=(\frac{\sub{`x">{1">">{2">,-1)>>，而<<\onu{`F`A">{→">=(\sub{`x">{1">,\sub{`y">{1">-1)>>，于是<<\onu{`F`A">{→">•\onu{`F`M">{→">=\frac{\udx{2">{1">">{2">-\sub{`y">{1">+1=\frac{\udx{2">{1">">{4">+1＞0>>，因此∠AFM是锐角，从而∠MFD=180º-∠AFM 是钝角，故直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形.21.（1）详见解析；（2）详见解析. 解析：（1）求导，可知<<`f'(`x)=\sup{`e}{`a`x}(`a`s`i`n`x+`c`o`s`x)=\sup{`e}{`a`x}(`a`s`i`n`x+`c`o`s`x)=\sqrt{\sup{`a}{ρ)>>，利用三角函数的知识可求得f(x)的极值点为x n =nπ-ρ(n∈N +)，即可得证； （2）分析题意可知，问题等价于<<\frac{\sqrt{\sup{`a}{2}+1}}{`a}＜\frac{\sup{`e}{`a(`n`π-`ρ)}}{`a(`n`π-`ρ)}>>恒成立，构造函数<<`g(`t)=\frac{\sup{`e}{`t}}{`t}>>，利用导数判断其单调性即可得证. 试题解析：（1）<<`f'(`x)=\sup`{a`e}{`a`x}`s`i`n`x+\sup{`e}{`a`x}`c`o`s`x=\sup{`e}{`a`x}(`a`s`i`n`x+`c`o`s`x)=\sq ρ)>>. 其中<<`t`a`n`ρ=\frac{1}{`a},0＜`ρ＜\frac{`π}{2}>>,令f'(x)=0，由x≥0得x+ρ=m π，即x=mπ-ρ,m∈N +,对k∈N，若2kπ＜x+ρ＜(2k+1)π，即2kπ-ρ＜x＜(2k+1)π-ρ，则f'(x)＞0, 若(2k+1)π＜x+ρ＜(2k+2)π，即(2k+1)π-ρ＜x＜(2k+2)π-ρ，则f'(x)＜0, 因此，在区间((m-1)π,mπ-ρ)与(mπ-ρ,mπ)上，f'(x)的符号总相反，于是当x=mπ-ρ(m∈N +)时,f(x)取得极值，∴x n =nπ-ρ(n∈N +), 此时，<<`f(\sub{`x}{`n})=\sup{`e}{`a(`n`π-`ρ)}`s`i`n(`n`π-`ρ)=\sup{(-1)}{`n+1}\sup{`e}{`a(`n`π-`ρ)}`s`i`n`ρ>>，易知f(x n )≠0，而 <<\frac{`f(\sub{`x}{`n+1})}{`f(\sub{`x}{`n})}=\frac{\sup{(-1)}{`n+2}\sup{`e}{`a[(`n+1)`π-`ρ]}`s`i`n`ρ}{\sup{(-1)}{`n+1}\sup{`e}{`a(`n`π-`ρ)}`s`i`n`ρ}=-\sup{`e}{`a`x}>>是非零常数，故数列{f(x n )}是首项为f(x 1)=e a(nπ-ρ)sinρ,公比为-e ax 的等比数列； （2）由（1）知，<<`s`i`n`ρ=\frac{1}{\sqrt{\sup{`a}{2}+1}}>>，于是对一切n∈N +,x n ＜|f(x n )|恒成立，即<<`n`π-`ρ＜\frac{1}{\sqrt{\sup{`a}{2}+1}}\sup{`e}{`a(`n`π-`ρ)}>>恒成立，等价于<<\frac{\sqrt{\sup{`a}{2}+1}}{`a}＜\frac{\sup{`e}{`a(`n`π-`ρ)}}{`a(`n`π-`ρ)}>>（•）恒成立（∵a＞0）， 设<<`g(`t)=\frac{\sup{`e}{`t}}{`t}(`t＞0)>>，则< >，令g'(t)=0，得t=1, 当0＜t＜1时，g'(t)＜0，∴g(t)在区间(0,1)上单调递减； 当t＞1时，是（•）式恒成立，只需<<\frac{\sqrt{\sup{`a}{2}+1}}{`a}＜`g(1)=`e>>，即只需<<`a＞\frac{1}{\sqrt{\sup{`e}{2}-1}}>>，而当<<`a=\frac{1}{\sqrt{\sup{`e}{2}-1}}>>时，<<`t`a`n`ρ=\frac{1}{`a}=\sqrt{\sup{`e}{2}-1}＞\sqrt{3}>>，且<<0＜ρ＜\frac{π}{2}>>，于是<<`π-`ρ＜\frac{2`π}{3}＜\sqrt{\sup{`e}{2}-1}>>，且当n≥2时,<<`n`π-`ρ≥2`π-`ρ≥\frac{3`π}{2}＞\sqrt{\sup{`e}{2}-1}>>，因此对一切n∈N +, <<\sub{`a`x}{`n}=\frac{`n`π-`ρ}{\sqrt{\sup{`e}{2}-1}}≠1,∴g(\sub{`a`x}{`n})＞`g(1)=`e=\frac{\sqrt{\sup{`a}{2}+1}}{`a}>>，故（•）式亦恒成立.综上所述，若<<`a≥\frac{1}{\sqrt{\sup{`e}{2}-1}}>>，则对一切n∈N +,x n ＜|f(x n )|11/11。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）（理科）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的.1.(15湖南高考)已知2(1i)1i z-=+（i 为虚数单位），则复数z =（ ） A.1i + B.1i - C.1i -+ D.1i -- 【参考答案】D【测量目标】复数的计算.【试题分析】由题意得，2(1i)2i1i 1i 1iz --===--++，故选D. 2. (15湖南高考)设A ,B 是两个集合，则”AB A =”是“A B ⊆”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【参考答案】C【测量目标】集合的关系. 【试题分析】由题意得，AB A A B =⇒⊆，反之，A B A B A ⊆⇒=，故为充要条件，选C.3. (15湖南高考)执行如图所示的程序框图，如果输入3n =，则输出的S = ( ) A.67 B.37 C.89 D.49第3题图【测量目标】程序框图、裂项相消法求数列的和. 【参考答案】B【试题分析】由题意得，输出的S 为数列1(21)(21)n n ⎧⎫⎨⎬-+⎩⎭的前三项和，而1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+，3113(1)221217n n S S n n ∴=-=⇒=++，故选B.4. (15湖南高考)若变量,x y 满足约束条件1211x y x y y +-⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≤，则3z x y =-的最小值为（ ）A.-7B. -1C.1D.2 【参考答案】A 【测量目标】线性规划.【试题分析】如下图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，从而可知当2x =-，1y =时，3z x y =-的最小值是7-，故选A.第4题图5. (15湖南高考)设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是（ ） A.奇函数，且在(0,1)上是增函数 B. 奇函数，且在(0,1)上是减函数 C. 偶函数，且在(0,1)上是增函数 D. 偶函数，且在(0,1)上是减函数 【参考答案】A【测量目标】函数的性质.【试题分析】显然，()f x 定义域为(1,1)-，关于原点对称，又()ln(1)ln(1)()f x x x f x -=--+=-，()f x ∴为奇函数，显然，()f x 在(0,1)上单调递增，故选A.6. (15湖南高考)已知5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（ ）B. C.6 D.-6【参考答案】D【测量目标】二项式定理. 【试题分析】5215C (1)r rrrr T a x -+=-，令1r =，可得5306a a -=⇒=-，故选D.7. (15湖南高考)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N (0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ） A.2386 B.2718 C.3413 D.4772第7题图【参考答案】C【测量目标】正态分布.【试题分析】根据正态分布的性质，1(01=12P x P x ≈＜＜）（-1＜＜）0.34，故选C.8. (15湖南高考)已知点A ,B ,C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥.若点P 的坐标为（2,0），则PA PB PC ++的最大值为（ ）A.6B.7C.8D.9【测量目标】圆的性质、平面向量数量积. 【参考答案】B【试题分析】由题意得，AC 为圆的直径，故可设(,),(,),(,),(6,),A m n C m n B x y PA PB PC x y --∴++=- 而22(6)371249x y x PA PB PC -+=-∴++≤，的最大值为7，故选B.9. (15湖南高考)将函数()sin 2f x x =的图象向右平移π(0)2ϕϕ＜＜个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足12()()2f x g x -=的12,x x ，有12minπ3x x -=，则ϕ=（ ） A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6【参考答案】D【测量目标】三角函数的图象和性质.【试题分析】向右平移ϕ个单位后，得到()sin(22)g x x ϕ=-，又12()()2f x g x -=，∴不妨令1212πππ22π,222π,()π222x k x n x x k n ϕϕ=+-=-+∴-=-+-，又12min π3x x -=， πππ236ϕ∴-=⇒，故选D. 10. (15湖南高考)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积原工件的体积）（ ）A.89πB.169π【测量目标】圆锥的内接长方体和基本不等式求最值. 【参考答案】A【试题分析】分析题意可知，问题等价于圆锥的内接长方体的体积的最大值，设长方体的长，宽，高分别为x ，y ，h ，长方体上底面截圆锥的截面半径为a ，则2222(2)4x y a a +==，如下图所示，则可知22212a h h a -=⇒=-，而长方体的体积 22223221622(22)2()2327x y a a a V xyh h a h a a +++-===-⨯=≤≤，当且仅当x y =，2223a a a =-⇒=时，等号成立，此时利用率为21682719ππ123=⨯⨯，故选A.第10题图二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. (15湖南高考)2(1)d x x -=⎰.【参考答案】0【测量目标】定积分的计算. 【试题分析】222001(1)()02x dx x x -=-=⎰.12. (15湖南高考)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示. 若将运动员按成绩由好到差编为135号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是.【参考答案】4【测量目标】系统抽样；茎叶图.【试题分析】由茎叶图可知，在区间[]139,151的人数为20，再由系统抽样的性质可知人数为720435⨯=人. 13. (15湖南高考)设F 是双曲线C ：22221x y a b-=的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为 . 【测量目标】双曲线的标准方程及其性质.【试题分析】根据对称性，不妨设(,0)F c ，短轴端点为(0,)b ，从而可知点(,2)c b -在双曲线上，222241c b ce a b a∴-=⇒==. 14. (15湖南高考)设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，且1233,2,S S S 成等差数列，则n a = .【测量目标】等差数列与等比数列的性质. 【参考答案】13n -【试题分析】1233,2,S S S 成等差数列，1211233222()333a a a a a a a a q ∴⨯+=+++⇒=⇒=，又等比数列{},n a 1113n n n a a q --∴==.15. (15湖南高考)已知32,(),x x af x x x a⎧=⎨⎩≤＞，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是 . 【参考答案】(,0)(1,)-∞+∞【测量目标】函数与方程；分类讨论的数学思想.【试题分析】分析题意可知，问题等价于方程3()x b x a =≤与方程2()x b x a =＞的根的个数和为2，若两个方程各有一个根：则可知关于b的不等式组13b a a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤有解，从而1a ＞；若方程3()x b x a =≤无解，方程2()x b x a =＞有2个根：则可知关于b的不等式组13b a a⎧⎪⎨⎪⎩＞有解，从而0a ＜，综上，实数a 的取值范围是(,0)(1,)-∞+∞.三、解答题16. ( Ι) (15湖南高考)如图，在圆O 中，相交于点E 的两弦AB 、CD 的中点分别是M 、N ，直线MO 与直线CD 相交于点F ，证明： （1）°180MEN NOM +=∠∠； （2）FE FN FM FO ⋅=⋅.第16题图【测量目标】（1）垂径定理和四点共圆；（2）割线定理.【试题分析】（1）如图所示，因为分别M ，N 是弦AB ，CD 的中点，所以OM AB ⊥，ON CD ⊥，即°90OME =∠，°90ENO =∠，°180OME ENO -=∠∠又四边形的内角和等于°360，故°180MEN NOM -=∠∠；（2）由（1）知，O ，M ，E ，N 四点共圆，故由割线定理即得FE FN FM FO ⋅=⋅.第18题图（Ⅱ）(15湖南高考)已知直线5:12x l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （1） 将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2） 设点M的直角坐标为，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求MA MB 的值. 【测量目标】(1)极坐标与直角坐标的互相转化；(2)直线与圆的位置关系.【试题分析】（1）2cos ρθ=等价于22cos ρρθ=①，将222=x y ρ+， cos x ρθ=代入①，即得曲线C的直角坐标方程为2220x y x +-=②；（2）512x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩将代入②，得2180t ++=，设这个方程的两个实数根分别为1t ，2t ，则由参数t 的几何意义即知，1218MA MB t t ==.（Ⅲ）(15湖南高考)设0a ＞，0b ＞，且11a b a b+=+. （1）2a b +≥；（2）22a a +＜与22b b +＜不可能同时成立.【测量目标】(1)基本不等式；(2)一元二次不等式,反证法.【试题分析】（1）由基本不等式及1ab =，有2a b +=≥，即2a b +≥；（2）假设22a a +＜与22b b +＜同时成立，则由22a a +＜及0a ＞得01a ＜＜，同理01b ＜＜，从而1ab ＜，这与1ab =矛盾，故22a a +＜与22b b +＜不可能同时成立.17. (15湖南高考)设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角. （1）证明：π2B A -=； （2）求sin sin A C +的取值范围.【测量目标】(1)正弦定理；(2)三角恒等变形；三角函数的性质.【试题分析】（1）由t a n a b A =及正弦定理，得s i n s i n c o s c o sA b BA aB ==,所以s i n c o s B A =，即πs i n s i n ()2B A =+.又B 为钝角，因此ππ(,π)22A +∈，故π2B A =+，即π2B A -=；（2）由（I ）知，πππ(2)2022C A A =-+=-＞，所以π(0)4A ∈，，于是2219sin sin sin sin(2)sin cos 22sin sin 12(sin )248A C A A A A A A A π+=+-=+=-++=--+，因为π04A ＜＜，所以0sin 2A ＜，因此21992(sin )2488A --+≤由此可知sin sin A C +的取值范围是928⎛⎤⎥ ⎝⎦， 18. (15湖南高考)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖. （1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望. 【测量目标】(1)概率的加法公式；(2)离散型随机变量的概率分布与期望.【试题分析】（1）记事件1A =｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，2A =｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝1B = ｛顾客抽奖1次获一等奖｝2B =｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C =｛顾客抽奖1次能获奖｝.由题意，1A 与2A 相互独立，12A A 与12A A 互斥，1B 与2B 互斥，且1B =12A A ，2B =12A A +12A A ，C =1B +2B .因124251()()105102P A P A ====，，所以11212211()()()()525P B P A A P A P A ===⨯=， 2121212121212()()()()()(1())(1())()P B P A A A A P A A P A A P A P A P A P A =+=+=-+-21211(1)(1)52522=⨯-+-⨯=，故所求概率为1212117()()()()5210P C P B B P B P B =+=+=+=； （2）顾客抽奖3次独立重复试验，由（1）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以1~(3)5X B ，.于是00331464(0)C ()()55125P X ===，11231448(1)C ()()55125P X ===，22131412(2)C ()()55125P X ===，3303141(3)C ()()P X ===故X 的分布列为X 的数学期望为13()355E X =⨯=. 19. (15湖南高考)如图，已知四棱台1111ABCD A B C D -上、下底面分别是边长为3和6的正方形，16AA =， 且1AA ⊥底面ABCD ，点P 、Q 分别在棱1DD 、BC 上. （1）若P 是1DD 的中点，证明1AB PQ ⊥；（2）若PQ ∥平面11ABB A ，二面角P QD A --的余弦值为37，求四面体ADPQ 的体积.第19题图【测量目标】(1)空间向量的运用；线面垂直的性质；(2)空间几何体体积计算.【试题分析】解法一 由题设知1AA ，AB ，AD ，两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图b 所示的空间直角坐标系，则相关个点的坐标为(000)A ，，，1(306)B ，，，(060)D ，，，1(036)D ，，，(60)Q m ，，，其中m BQ =，（1）若P 是1DD 的中点，则9(03)2P ，，，1(306)AB =，，，于是118180AB PQ =-=，所以1AB PQ ⊥，即1AB PQ ⊥；（2）由题设知，(660)DQ m =-，，，1(036)DD =-，，是平面PQD 内的两个不共线向量.设1()x y z ，，n 是平面PQD 的一个法向量，则111DQ DD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00n n ，即6(6)0360x m y y z +-=⎧⎨-+=⎩，取6y =，得1(663)m =-，，n .又平面AQD 的一个法向量是1(001)=，，n ，所以 121212cos ⋅===，n n n n n n P QD A --的余弦值为37，37=，解得4m=，或者8m=（舍去），此时(640)Q，，.设1(01)DP DDλλ=＜≤,而1(036)DD=-，，，由此得点(0636)Pλλ-，，，因为PQ∥平面11ABB A,且平面11ABB A的一个法向量是3(010)=，，n，所以3PQ⋅=0n，即320λ-=，亦即23λ=，从而(044)P，，，于是，将四面体ADPQ视为以ADQ△为底面的三棱锥P ADQ-，则其高4h=，故四面体ADPQ的体积，11166424332ADQV S h=⋅=⨯⨯⨯⨯=△.B第19题图解法二（1）如图c，取1AA的中点R，连结PR，BR，因为1AA，1DD是梯形11A AD D的两腰，P是1DD的中点，所以PR AD∥，于是由AD BC∥知，PR BC∥，所以P，R，B，C四点共面.由题设知，BC AB⊥，1BC A A⊥，所以BC⊥平面1ABB A,因此1BC AB⊥①因为11113tan tan6ABARABR A ABAB A A====∠∠，所以11tan tanABR A AB=∠∠，因此°111190ABR BAB A AB BAB+=+=∠∠∠∠，于是1AB BR⊥，再由○1即知1AB⊥平面PRBC，又PQ⊂平面PRBC，故1AB PQ⊥.c d第19题图（2）如图d ，过点P 作PM //1A A 交AD 于点M ，则PM //平面11ABB A .因为1AA ⊥平面ABCD ，所以OM ⊥平面ABCD ,过点M 作MN ⊥QD 于点N ，连结PN ，则PN ⊥QD ，PNM∠为二面角P -QD -A 的平面角，所以3cos 7PNM =∠，即37MN PN =,从而3PM MN =. ○3 连结MQ ，由PQ //平面11ABB A ，所以MQ //AB ，又ABCD 是正方形，所以ABQM 为矩形，故MQ =AB =6. 设MD =t ，则 MN.○4过点1D 作11D E A A ∥交AD 于点E ，则11AA D E 为矩形，所以1D E =1A A =6，AE =11A D =3，因此ED =AD -AE =3，于是1623D E PM MD ED ===,所以PM =2MD =2t ，再由○3○4得3，解得t =2，因此PM =4.故四面体ADPQ 的体积11166424332ADQ V S h =⋅=⨯⨯⨯⨯=△.20. (15湖南高考)已知抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭圆22222:1(0)y x C a b a b+=＞＞的一个焦点，1C 与2C 的公共弦的长为.（1）求2C 的方程；（2）过点F 的直线l 与1C 相交于A 、B 两点，与2C 相交于C 、D 两点，且AC 与BD 同向 （ⅰ）若AC BD =，求直线l 的斜率（ⅱ）设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，MFD △总是钝角三角形. 【测量目标】(1)椭圆的标准方程及其性质；(2)直线与椭圆位置关系.【试题分析】（1）由21:4C x y =知其焦点F 的坐标为（0,1），因为F 也是椭圆2C 的一焦点，所以 221a b -=○1又1C 与2C 的公共弦的长为，1C 与2C 都关于y 轴对称，且1C 的方程为24x y =，由此易知1C 与2C 的公共点的坐标为（32，），所以229614a b+=○2，联立○1，○2得2a =9，2b =8，故2C 的方程为22198x y += ○3；（2）如图f ，设A （11x y ，）B （22x y ，）C （33x y ，）D （44x y ，）.（i ）因AC 与BD 同向，且|AC |=|BD |,所以AC =BD ，从而31x x -=42x x -，即12x x -=34x x -，于是2212123434()4()4x x x x x x x x +-=+-○3 设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y =kx +1.由214y kx x y=+⎧⎨=⎩得216640x kx +-=.而1x ，2x 是这个方程的两根.所以124x x k +=，124x x =- ○4 ，由221189y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(98)16640k x kx ++-=.而3x ，4x 是这个方程的两根.所以3421698k x x k +=-+， 3426498x x k=-+○5，将○4○5带入○3 ，得22221646416(1)(98)98k k k k ⨯+=+++,即22222169(1)16(1)(98)k k k ⨯++=+，所以22(98)169k +=⨯，解得k=±l的斜率为第20题图（ii ）由24x y =得2xy =，所以1C 在点A 处的切线方程为111()2x y y x x -=-，即 2114x y x x =-.令y =0得x =12x ，即M （12x ,0）,所以FM =(12x,-1).而FA =(11,1x y -).于是FA ⋅FM =221111024x x y -+=+＞，因此AFM ∠是锐角，从而°180MFD AFM =-∠∠是钝角.故直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形.21. (15湖南高考)已知0a ＞，函数[)()e sin (0,)axf x x x =∈+∞. 记n x 为()f x 的从小到大的第n *(N )n ∈个极值点,证明：（1）数列{}()n f x 是等比数列； （2）若a ，则对一切*N n ∈，()n n x f x ＜恒成立.【测量目标】(1)三角函数的性质,导数的运用；(2)恒成立问题.【试题分析】（1）()e sin e cos e (sin cos )sin()ax ax ax ax f x a x a x a x x x ρ'=+=+=+ 其中1tan a ρ=，π02ρ＜＜.令()0f x '=，由0x ≥得x mx ρ+= 即πx m ρ=-，*N m ∈ 对k ∈N ，若2π(21)πk x k ρ++＜＜,即2π(21)πk x k ρρ-+-＜＜,则()f x '>0； 若(21)π(22)πk x k ρ+++＜＜,即21)π(22)πk x k ρρ+-+-（＜＜，则()f x '<0. 因此，在区间((1)π,π)m m ρ--与(π,π)m m ρ-上，()f x '的符号总相反.于是当πx m ρ=- (*m ∈N )时，()f x 取得极值，所以πn x n ρ=-*()n ∈N . 此时，(π)1(π)()esin(π)(1)e sin a n n a n n f x n ρρρρ-+-=-=-.易知()0n f x ≠，而[](1)π211(π)()(1)e sin e ()(1)e sin a n n axn n a n n f x f x ρρρρ+-+++--==--是常数，故数列{}()n f x 是首项为(π)1()e sin a n f x ρρ-=，公比为e ax -的等比数列；（2）由（1）知，sin ρ=*n ∈N ,()n n x f x ＜恒成立，即(π)πa n n ρρ--(π)e (π)a n a n ρρ--＜（*）恒成立（因为a >0）， 设g （t ）=e t t （t ＞0），则2e (1)()t t g t t-'=.令()g t '=0得t =1， 当0<t <1时，()0g t '＜，所以g （t ）在区间（0,1）上单调递减； 当t >1时，()0g t '＞，所以g （t ）在区间（0,1）上单调递增. 从而当t =1时，函数g （t ）取得最小值g （1）=e因此，要是（*(1)e g =，即只需a .而当a =时，1tan a ρ==π02ρ＜＜.于是2ππ3ρ-＜n ≥2时，3ππ2π2n ρρ--≥≥.因此对一切*n ∈N ，1n ax =≠，所以g （n ax ）(1)e g ==.故（*）式亦恒成立. 综上所述，若a ，则对一切*n ∈N ，()n n x f x ＜恒成立.。