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数列求和与求通项公式方法总结数列是数学中的一种重要概念，它是由一列按照一定规律排列的数字所组成的序列。
在数列中，求和与求通项公式是两个重要的问题，本文将对这两个问题的方法进行总结。
首先，我们来讨论数列的求和问题。
数列的求和是指对一个给定的数列中的所有元素进行求和的操作。
数列求和的方法主要有以下几种。
1.等差数列求和公式：对于一个等差数列，其通项公式为An=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
等差数列求和的公式为Sn=[(a1+an)n]/2，其中an为末项。
这个公式适用于等差数列的求和问题，可以更快地求得数列的和。
2.等差数列求和差法：对于一个等差数列，当项数为n时，可以通过求和的差法Sn=(a1+an)(n/2)来求得数列的和。
这个方法适用于项数较多且公差较小的等差数列。
3.等比数列求和公式：对于一个等比数列，其通项公式为An=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
等比数列求和的公式为Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)，其中r不等于1、这个公式适用于等比数列的求和问题，可以轻松地求得数列的和。
4.等比数列求和减法：对于一个等比数列，当公比r满足，r，<1时，可以通过求和的减法Sn=a1/(1-r)来求得数列的和。
这个方法适用于公比绝对值小于1的等比数列。
其次，我们来讨论数列的求通项公式问题。
数列的通项公式是指能够根据数列的位置n来快速计算出数列中相应位置上的数值的公式。
数列求通项公式的方法主要有以下几种。
1.等差数列通项公式：对于一个等差数列，其通项公式为An=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
通过这个公式，我们可以直接根据位置n来计算出数列中第n项的数值。
2.等比数列通项公式：对于一个等比数列，其通项公式为An=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
通过这个公式，我们可以直接根据位置n来计算出数列中第n项的数值。
2013年新课标数学40个考点总动员 考点20 数列的通项公式和数列求和（教师版）【高考再现】热点一、求数列的通项公式1．（2012年高考（大纲文））已知数列{}n a 中,11a =,前n 项和23n n n S a +=. (Ⅰ)求23,a a ;(Ⅱ)求{}n a 的通项公式.2．（2012年高考（上海春））本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.已知数列{}{}{}n n n a b c 、 、 满足*11()()().n n n n n a a b b c n N ++--=∈ (1)设36,{}n n c n a =+是公差为3的等差数列.当11b =时,求23b b 、的值;(2)设32,8.n n c n a n n ==-求正整数,k 使得一切*,n N ∈均有;n k b b ≥(3)设1(1)2,.2nnn n c n a +-=+=当11b =时,求数列{}n b 的通项公式.3．（2012年高考（广东理））设数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足11221n n n S a ++=-+,n ∈*N ,且1a 、25a +、3a 成等差数列.(Ⅰ)求1a 的值;(Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅲ)证明:对一切正整数n ,有1211132n a a a +++<L . 【方法总结】求数列的通项公式，常见的有六种类型： （1） 已知数列的前几项，求其通项公式.常用方法：观察分析法、逐差法、待定系数法、特殊数列法、转化法、归纳递推法等. 根据数列前几项，观察规律，归纳出数列通项公式是一项重要能力. （2） 已知数列前n 项和n S ，或前n 项和n S 与n a 的关系求通项.利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩虽然已知n a 求n S 时，方法千差万别，但已知n S 求n a 时，方法却相对固定.（3）已知递推公式求通项公式，对这类问题要求不高，主要掌握“先猜后证”“化归法”“累加法”等.（4）对于11n n a aa qab +=⎧⎨=+⎩(1,0)q b ≠≠型，求n a ，其关键是确定待定系数λ，使1()n n a q a λλ++=+1bq λ⇔=-（5）对于11()n n a aa a f n -=⎧⎨=+⎩型，求n a ，可用111221()()()n n n n n a a a a a a a a ---=+-+-++-L 的方法.（6）对于11()n n a a a f n a -=⎧⎨=⎩型，求n a ，可用321121n n n aa a a a a a a -=⨯⨯⨯⨯L 的方法.热点二、错位相减法求和、裂项相消法求和、并项法求和、分组求和法1．（2012年高考（浙江文））已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =22n n +,n ∈N ﹡,数列{b n }满足a n =4log 2b n +3,n ∈N ﹡.(1)求a n ,b n ;(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .2．（2012年高考（天津文））(本题满分13分)已知{}n a 是等差数列,其前n 项和为n S ,{}n b 是等比数列,且114444,27,=10a b a b S b =+=-. (I)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式;(II )记1122=+++n n n T a b a b a b L (*n N ∈)证明:*118(,2)n n n T a b n N n ---=∈>.3．（2012年高考（江西文））已知数列|a n |的前n 项和nn S kc k =-(其中c ,k 为常数),且a 2=4,a 6=8a 3(1)求a n ;(2)求数列{na n }的前n 项和T n .4．（2012年高考（天津理））已知{n a }是等差数列,其前n 项和为n S ,{n b }是等比数列,且1a =1=2b ,44+=27a b ,44=10S b -.(Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式;(Ⅱ)记1121=+++n n n n T a b a b a b -L ,+n N ∈,证明+12=2+10n n n T a b -+()n N ∈.5．（2012年高考（江西理））已知数列{a n }的前n 项和21()2n S n kn k N *=-+∈,且S n的最大值为8.(1)确定常数k,求a n ; (2)求数列92{}2nna -的前n 项和T n .6．（2012年高考（福建文））数列{}n a 的通项公式cos 2n n a n π=,其前n 项和为n S ,则2012S 等于（ ）A ．1006B ．2012C ．503D ．0【答案】A【解析】由cos2n n a n π=,可得20121021304120121S =⨯-⨯+⨯+⨯++⨯L 2462010201225031006=-+-+-+=⨯=L7．（2012年高考（福建理））数列{}n a 的通项公式cos 12n n a n π=+,前n 项和为n S ,则2012S =___________.8．（2012年高考（山东理））在等差数列{}n a 中,345984,73a a a a ++==.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)对任意*m N ∈,将数列{}n a 中落入区间2(9,9)mm内的项的个数记为m b ,求数列{}m b 的前m 项和m S .【方法总结】（1） 分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列（2） 裂（拆）项相消：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和。
数列通项与求和一、观察法（归纳猜想、根据周期规律） 二、根据递推关系求通项（一）累加法形如)2)((1≥=--n n f a a n n 或)(1n f a a n n +=-，且)(n f 不为常数，则求n a 可用累加法。
① 若)(n f 是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ② 若)(n f 是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③ 若)(n f 是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。
（二）累乘法 形如)2)((1≥=-n n f a a n n或1)(-=n n a n f a ，且)(n f 不为常数，求n a 用累乘法。
（三）待定系数法形如0(,1≠+=+k b ka a n n ,其中a a =1)型 （1）若1=k 时，数列{n a }为等差数列； （2） 若0=b 时，数列{n a }为等比数列；（3） 若1≠k 且0≠b 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求。
方法如下：设)(1λλ+=++n n a k a ，比较系数得λ。
（四）倒数法 形如1+=+n n n ca a a d 型，取倒数变成1111+=+n n d a c a c的形式的方法叫倒数变换.取倒数后有两种类型：一是直接转化为等差数列；二是再借助于待定系数法去求解.（五）对数变换法 形如rnn pa a =+1)0,0(>>n a p这种类型一般是等式两边取对数后转化为q pa a n n +=+1，再利用待定系数法求解。
三、和n S 有关的求通项的方法已知数列}{n a 前n 项和n S ，则用公式⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n n n （注意：不能忘记讨论1=n ）。
四、形如)(1n f a a n n =++型和)(1n f a a n n =⋅+型（一）形如)(1n f a a n n =++型 （1）若da a n n =++1（d 为常数），则数列{na }为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若f(n)为n 的函数（非常数）时，可通过构造转化为)(1n f a a n n =-+型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得)1()(11--=--+n f n f a a n n ，分奇偶项来分求通项.（二）形如)(1n f a a n n =⋅+型（1）若pa a n n =⋅+1(p 为常数)，则数列{na }为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若f(n)为n 的函数（非常数）时，可通过逐差法得)1(1-=⋅-n f a a n n ，两式相除后，分奇偶项来分求通项.一、公式法①等差数列前n 项和S n ＝____________＝________________，推导方法：____________；②等比数列前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧，q ＝1， ＝ ，q ≠1.推导方法：乘公比，错位相减法．③常见数列的前n 项和：a ．1＋2＋3＋…＋n ＝ ；b ．2＋4＋6＋…＋2n ＝ ；c ．1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝ ；)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n213)]1(21[+==∑=n n k S nk n二、倒序相加：如果一个数列{a n }，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如__________数列的前n 项和公式即是用此法推导的．三、错位相减：形如a n ＝b n ·c n ，其中一个是等差数列一个是等比数列四、分组求和：形如a n ＝b n ＋c n ，五、裂项(相消)法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，只剩有限项再求和．常见的裂项公式有：①1n (n ＋1)＝ ； ①1n (n ＋k )＝ ； ①1(2n －1)(2n ＋1)＝ ； ①1n ＋n ＋1＝ ； ①2211111()1211k k k k <=---+， 211111111(1)(1)1k k k k k k k k k-=<<=-++-- 一、求通项（一）、观察法（归纳猜想、根据周期规律）【例1】已知数列 0,71,0,51,0,31,0,1--试写出其一个通项公式：__________。
第二节 数列的通项公式和求和【知识点精讲】基本概念（1）若已知数列的首项1a （或某一项），且从第2项（或某一项）开始的任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么该公式就叫做这个数列的递推公式。
递推公式也是给出数列的一种方法。
（2）数列的第n 项n a 与项数之间的函数关系，可以用一个公式()n a f n =来表示，那么n a 就是数列的通项公式。
注：①并非所有的数列都有通项公式。
②有的数列可能有不同形式的通项公式③数列的通项公式就是一种特殊的函数关系式 ④注意区别数列的通项公式和递推公式题型85 数列通项公式的求解思路提示常见的求解数列通项公式的方法有观察法、递推公式和利用n S 与n a 的关系求通项公式。
（1）观察法根据所给的一列数、式、图形等，通过观察归纳出其数列通项。
（2）利用递推公式求通项①叠加法:形如()1n n a a f n +=+的解析式，可用递推多式相加法求得n a ．②叠乘法：形如()()()102,n n n a f n a a n n N *-=⋅≠≥∈的解析式，且(){}f n 的前n 项可用递推多式相乘法求得n a ．③构造辅助数列法：通过变化递推公式，将非等差（等比）数列构造成等差数列或等比数列来求其通项公式。
常用的技巧有待定系数法、取倒数法、对数变换法和同除以指数法。
（3）利用n S 与n a 的关系求n a 。
形如()()1,n nn f S S g a -=的关系，求其通项公式，可依据()()1112,n n n S n a S S n n N *-=⎧⎪=⎨-≥∈⎪⎩，求出n a 一、观察法观察法即根据所给出的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项。
实验观察法是要注意：①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有()1n-或者()11n --的部分；②考虑各项的变化规律与序号的关系；③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方{}{}22n n 、与()1n-有关的数列、等差数列、等比数列以及由他们组成的数列。
数列的通项与求和例题和知识点总结一、数列的通项在数列中，通项公式是指第 n 项 an 与项数 n 之间的关系式。
（一）等差数列的通项公式若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。
其通项公式为：an ＝ a1 ＋（n 1)d ，其中a1 为首项，d 为公差。
例如：数列 2，5，8，11，14，是一个首项 a1 ＝ 2，公差 d ＝ 3 的等差数列，其通项公式为 an ＝ 2 ＋（n 1)×3 ＝ 3n 1 。
（二）等比数列的通项公式若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
其通项公式为：an ＝ a1×q^（n 1) ，其中 a1 为首项，q 为公比。
例如：数列 2，4，8，16，32，是一个首项 a1 ＝ 2，公比 q ＝ 2 的等比数列，其通项公式为 an ＝ 2×2^（n 1) ＝ 2^n 。
（三）常见的求通项公式的方法1、观察法通过对数列前几项的观察，找出规律，从而推测出通项公式。
例如：数列 1，3，5，7，9，很容易观察出其通项公式为 an ＝ 2n1 。
2、累加法当数列的递推关系为 an an 1 ＝ f(n) 时，可用累加法求通项公式。
例如：已知数列｛an} 满足 a1 ＝ 1，an an 1 ＝ n ，求 an 。
因为 an an 1 ＝ n ，所以a2 a1 ＝ 2a3 a2 ＝ 3an an 1 ＝ n将上述式子相加得：an a1 ＝ 2 ＋ 3 ＋＋ n所以 an ＝ a1 ＋ 2 ＋ 3 ＋＋ n ＝ 1 ＋（2 ＋ 3 ＋＋ n) ＝ 1 ＋ n(n＋ 1)／2 。
3、累乘法当数列的递推关系为 an ／ an 1 ＝ f(n) 时，可用累乘法求通项公式。
例如：已知数列｛an} 满足 a1 ＝ 1，an ／ an 1 ＝ n ，求 an 。
因为 an ／ an 1 ＝ n ，所以a2 ／ a1 ＝ 2a3 ／ a2 ＝ 3an ／ an 1 ＝ n将上述式子相乘得：an ／ a1 ＝ 2×3××n所以 an ＝ a1×2×3××n ＝ n! 。
⎩⎨⎧无穷数列有穷数列按项数 2221,21(1)2nn a a n a a n a n=⎧⎪=+=⎪⎨=-+⎪⎪=-⋅⎩n n n n n常数列:递增数列:按单调性递减数列:摆动数列:数 列数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、通项公式，递推公式、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等.1.数列的有关概念：（1） 数列：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. （2） 从函数的观点看，数列可以看做是一个定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数。
当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
由于自变量的值是离散的，所以数列的值是一群孤立的点。
（3） 通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =.如: 221n a n =-。
（4） 递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，121n n a a -=+，其中121n n a a -=+是数列{}n a 的递推公式.再如: 121,2,a a ==12(2)n n n a a a n --=+>。
2．数列的表示方法：（1） 列举法：如1，3，5，7，9，… （2）图象法：用（n, a n ）孤立点表示。
（3） 解析法：用通项公式表示。
（4）递推法：用递推公式表示。
3．数列的分类：按有界性M M M >Mn n n n +⎧≤∈⎪⎨⎪⎩有界数列:存在正数,总有项a 使得a ，n N 无界数列:对于任何正数，总有项a 使得a4．数列{a n }及前n 项和之间的关系:123n n S a a a a =++++ 11,(1),(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩等差数列1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差. 2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差.可变形为d m n a a m n )(-+= ⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=. 3.等差中项如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.即：A 是a 与b 的等差中项⇔b a A +=2⇔a ，A ，b 成等差数列.4.等差数列的判定方法⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列； ⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列. 5.常用性质：{}n a 是等差数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；（2）数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd 。
2013年新课标数学40个考点总动员 考点20 数列的通项公式和数列求和（学生版）【高考再现】热点一、求数列的通项公式1．（2012年高考（大纲文））已知数列{}n a 中, 11a =,前n 项和23n n n S a +=. (Ⅰ)求23,a a ;(Ⅱ)求{}n a 的通项公式.2．（2012年高考（上海春））本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.已知数列{}{}{}n n n a b c 、 、 满足*11()()().n n n n n a a b b c n N ++--=∈ (1)设36,{}n n c n a =+是公差为3的等差数列.当11b =时,求23b b 、的值; (2)设32,8.n n c n a n n ==-求正整数,k 使得一切*,n N ∈均有;n k b b ≥(3)设1(1)2,.2nnn n c n a +-=+=当11b =时,求数列{}n b 的通项公式.3．（2012年高考（广东理））设数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足11221n n n S a ++=-+,n ∈*N ,且1a 、25a +、3a 成等差数列.(Ⅰ)求1a 的值;(Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅲ)证明:对一切正整数n ,有1211132na a a +++<. 【方法总结】求数列的通项公式，常见的有六种类型： （1） 已知数列的前几项，求其通项公式.常用方法：观察分析法、逐差法、待定系数法、特殊数列法、转化法、归纳递推法等. 根据数列前几项，观察规律，归纳出数列通项公式是一项重要能力. （2） 已知数列前n 项和n S ，或前n 项和n S 与n a 的关系求通项.利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩虽然已知n a 求n S 时，方法千差万别，但已知n S 求n a 时，方法却相对固定.（3）已知递推公式求通项公式，对这类问题要求不高，主要掌握“先猜后证”“化归法”“累加法”等.（4）对于11n n a aa qab +=⎧⎨=+⎩(1,0)q b ≠≠型，求n a ，其关键是确定待定系数λ，使1()n n a q a λλ++=+1bq λ⇔=-（5）对于11()n n a aa a f n -=⎧⎨=+⎩型，求n a ，可用111221()()()n n n n n a a a a a a a a ---=+-+-++-的方法.（6）对于11()n n a a a f n a -=⎧⎨=⎩型，求n a ，可用321121nn n aa a a a a a a -=⨯⨯⨯⨯的方法. 热点二、错位相减法求和、裂项相消法求和、并项法求和、分组求和法1．（2012年高考（浙江文））已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =22n n +,n∈N﹡,数列{b n }满足a n =4log 2b n +3,n∈N﹡.(1)求an ,b n ;(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .2．（2012年高考（天津文））(本题满分13分)已知{}n a 是等差数列,其前n 项和为n S ,{}n b 是等比数列,且114444,27,=10a b a b S b =+=-. (I)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式; (II)记1122=+++n n n T a b a b a b (*n N ∈)证明:*118(,2)n n n T a b n N n ---=∈>.3．（2012年高考（江西文））已知数列|a n |的前n 项和n n S kc k =-(其中c,k 为常数),且a 2=4,a 6=8a 3(1)求a n ;(2)求数列{na n }的前n 项和T n .4．（2012年高考（天津理））已知{n a }是等差数列,其前n 项和为n S ,{n b }是等比数列,且1a =1=2b ,44+=27a b ,44=10S b -.(Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式; (Ⅱ)记1121=+++n n n n T a b a b a b -,+n N ∈,证明+12=2+10n n n T a b -+()n N ∈.5．（2012年高考（江西理））已知数列{a n }的前n 项和21()2n S n kn k N *=-+∈,且S n 的最大值为8.(1)确定常数k,求a n ; (2)求数列92{}2nna -的前n 项和T n .6．（2012年高考（福建文））数列{}n a 的通项公式cos 2n n a n π=,其前n 项和为n S ,则2012S 等于（ ）A ．1006B ．2012C ．503D ．0【答案】A【解析】由cos2n n a n π=,可得20121021304120121S =⨯-⨯+⨯+⨯++⨯ 2462010201225031006=-+-+-+=⨯=7．（2012年高考（福建理））数列{}n a 的通项公式cos 12n n a n π=+,前n 项和为n S ,则2012S =___________.8．（2012年高考（山东理））在等差数列{}n a 中, 345984,73a a a a ++==.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)对任意*m N ∈,将数列{}n a 中落入区间2(9,9)mm内的项的个数记为m b ,求数列{}m b 的前m 项和m S .【方法总结】（1） 分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列（2） 裂（拆）项相消：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和。
一、数列通项公式的求法（1）已知数列的前n 项和n S ,求通项n a ； （2）数学归纳法：先猜后证;（3）叠加法(迭加法)：112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+L ；叠乘法(迭乘法)：1223322111a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ⋅⋅⋅=-----ΛΛ. 【叠加法主要应用于数列{}n a 满足1()n n a a f n +=+，其中()f n 是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成1()n n a a f n +-=，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出n a ，从而求出n s 】（4）构造法(待定系数法):形如1n n a ka b -=+、1nn n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列；【用构造法求数列的通项或前n 项和：所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的通项或前n 项和.】 （5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决.【根据递推公式求通项公式的常见类型】 ①1+1=,()n n a a a a f n =+型，其中()f n 是可以和数列，用累加法求通项公式，即1思路（叠加法）1(1)n n a a f n --=-，依次类推有：12(2)n n a a f n ---=-、23(3)n n a a f n ---=-、…、21(1)a a f -=，将各式叠加并整理得111()n n i a a f n -=-=∑，即111()n n i a a f n -==+∑例题1：已知11a =，1n n a a n -=+，求n a解：∵1n n a a n -=+ ∴1n n a a n --=，依次类推有：122321122n n n n a a n a a n a a -----=--=--=、、…∴将各式叠加并整理得12n n i a a n =-=∑，121(1)2n nn i i n n a a n n ==+=+==∑∑ 思路（转化法）1(1)n n a pa f n -=+-，递推式两边同时除以np 得11(1)n n n n na a f n p p p ---=+，我们令n n n a b p =，那么问题就可以转化为类型一进行求解了.例题： 已知12a =，1142n n n a a ++=+，求n a解：∵1142n n n a a ++=+ ∴142nn n a a -=+，则111442nn n nn a a --⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∵令4n n na b =，则112nn n b b -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，依此类推有11212n n n b b ---⎛⎫-= ⎪⎝⎭、22312n n n b b ---⎛⎫-= ⎪⎝⎭、…、22112b b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴各式叠加得1212nnn i b b =⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑，即122111*********n n n n n n n n i i i b b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑ ∴1441422n nnn n n n a b ⎡⎤⎛⎫=⋅=⋅-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦②1+1=,()n n a a a a f n =⋅型，其中()f n 是可以求积数列，用累乘法求通项公式，即1(2)(1)f f a思路（叠乘法）：1(1)n n a f n a -=-，依次类推有：12(2)n n a f n a --=-、23(3)n n a f n a --=-、…、21(1)af a =， 将各式叠乘并整理得1(1)(2)(3)na f f f a =⋅⋅⋅…(2)(1)f n f n ⋅-⋅-，即(1)(2)(3)n a f f f =⋅⋅⋅…1(2)(1)f n f n a ⋅-⋅-⋅例题：已知11a =，111n n n a a n --=+，求n a . 解：∵111n n n a a n --=+ ∴111n n a n a n --=+，依次类推有：122n n a n a n ---=、2331n n a n a n ---=-、…、3224a a =、2113a a = ∵11a =∴将各式叠乘并整理得112311n a n n n a n n n ---=⋅⋅⋅+-…2143⋅⋅，即12311n n n n a n n n ---=⋅⋅⋅+- (212)43(1)n n ⋅⋅=+ ③1+1=,n n a a a pa q =+型（其中p q 、是常数），可以采用待定系数法、换元法求通项公式，即1()11n n q q a p a p p +-=---，设1n n qba p=--，则1n n b pb +=.利用②的方法求出n b 进而求出n a 当1p =时，数列{}n a 是等差数列；当0,0p q ≠=时，数列{}n a 是等比数列； 当0p ≠且1,0p q ≠≠时，可以将递推关系转化为111n n q q a p a p p +⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭,则数列1nq a p ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以11qa p +-为首项，p 为公比的等比数列.思路（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1qp μ=-，数列{}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1111n n q q a a p p p -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，即1111n nq qa a p p p -⎛⎫=++ ⎪--⎝⎭ 例题：已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式 解：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=∵11a =∴数列{}3n a +是以134a +=为首项、2为公比的等比数列∴113422n n n a -++=⋅=，即123n n a +=-④1+1=,n n n a a a pa q =+型,其中p q 、是常数且0,1q q ≠≠，111n n n n a a p q q q q ++=⋅+,设n n n a b q =，则11n np b b q q+=⋅+思路（构造法）：11n n n a pa rq --=+，设11n n n n a a q q μλμ--⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()11n n q p q rq λμλ-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，从而解得p q r p q λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪-⎩那么n na r qp q ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以1a r q p q +-为首项，p q 为公比的等比数列 例题：已知11a =，112n n n a a --=-+，求n a 。
数列通项与求和一、观察法（归纳猜想、根据周期规律） 二、根据递推关系求通项（一）累加法形如)2)((1≥=--n n f a a n n 或)(1n f a a n n +=-，且)(n f 不为常数，则求n a 可用累加法。
① 若)(n f 是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ② 若)(n f 是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③ 若)(n f 是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。
（二）累乘法 形如)2)((1≥=-n n f a a n n或1)(-=n n a n f a ，且)(n f 不为常数，求n a 用累乘法。
（三）待定系数法形如0(,1≠+=+k b ka a n n ,其中a a =1)型 （1）若1=k 时，数列{n a }为等差数列； （2） 若0=b 时，数列{n a }为等比数列；（3） 若1≠k 且0≠b 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求。
方法如下：设)(1λλ+=++n n a k a ，比较系数得λ。
（四）倒数法 形如1+=+n n n ca a a d 型，取倒数变成1111+=+n n d a c a c的形式的方法叫倒数变换.取倒数后有两种类型：一是直接转化为等差数列；二是再借助于待定系数法去求解.（五）对数变换法 形如rnn pa a =+1)0,0(>>n a p这种类型一般是等式两边取对数后转化为q pa a n n +=+1，再利用待定系数法求解。
三、和n S 有关的求通项的方法已知数列}{n a 前n 项和n S ，则用公式⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n n n （注意：不能忘记讨论1=n ）。
四、形如)(1n f a a n n =++型和)(1n f a a n n =⋅+型（一）形如)(1n f a a n n =++型 （1）若da a n n =++1（d 为常数），则数列{na }为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若f(n)为n 的函数（非常数）时，可通过构造转化为)(1n f a a n n =-+型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得)1()(11--=--+n f n f a a n n ，分奇偶项来分求通项.（二）形如)(1n f a a n n =⋅+型（1）若pa a n n =⋅+1(p 为常数)，则数列{na }为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若f(n)为n 的函数（非常数）时，可通过逐差法得)1(1-=⋅-n f a a n n ，两式相除后，分奇偶项来分求通项.一、公式法①等差数列前n 项和S n ＝____________＝________________，推导方法：____________；②等比数列前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧，q ＝1， ＝ ，q ≠1.推导方法：乘公比，错位相减法．③常见数列的前n 项和：a ．1＋2＋3＋…＋n ＝ ；b ．2＋4＋6＋…＋2n ＝ ；c ．1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝ ；)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n213)]1(21[+==∑=n n k S nk n二、倒序相加：如果一个数列{a n }，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如__________数列的前n 项和公式即是用此法推导的．三、错位相减：形如a n ＝b n ·c n ，其中一个是等差数列一个是等比数列四、分组求和：形如a n ＝b n ＋c n ，五、裂项(相消)法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，只剩有限项再求和．常见的裂项公式有：①1n (n ＋1)＝ ； ①1n (n ＋k )＝ ； ①1(2n －1)(2n ＋1)＝ ； ①1n ＋n ＋1＝ ； ①2211111()1211k k k k <=---+， 211111111(1)(1)1k k k k k k k k k-=<<=-++-- 一、求通项（一）、观察法（归纳猜想、根据周期规律）【例1】已知数列 0,71,0,51,0,31,0,1--试写出其一个通项公式：__________。
2013年新课标数学40个考点总动员 考点20 数列的通项公式和数列求和（教师版）【高考再现】热点一、求数列的通项公式1．（2012年高考）已知数列{}n a 中,11a =,前n 项和23n n n S a +=.(Ⅰ)求23,a a ;(Ⅱ)求{}n a 的通项公式.2．（2012年高考（上海春））本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.已知数列{}{}{}n n n a b c 、 、 满足*11()()().n n n n n a a b b c n N ++--=∈ (1)设36,{}n n c n a =+是公差为3的等差数列.当11b =时,求23b b 、的值;(2)设32,8.n n c n a n n ==-求正整数,k 使得一切*,n N ∈均有;n k b b ≥(3)设1(1)2,.2nnn n c n a +-=+=当11b =时,求数列{}n b 的通项公式.3．（2012年高考（广东理））设数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足11221n n n S a ++=-+,n ∈*N ,且1a 、25a +、3a 成等差数列.(Ⅰ)求1a 的值;(Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅲ)证明:对一切正整数n ,有1211132na a a +++<.【方法总结】求数列的通项公式，常见的有六种类型： （1） 已知数列的前几项，求其通项公式.常用方法：观察分析法、逐差法、待定系数法、特殊数列法、转化法、归纳递推法等. 根据数列前几项，观察规律，归纳出数列通项公式是一项重要能力. （2） 已知数列前n 项和n S ，或前n 项和n S 与n a 的关系求通项.利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩虽然已知n a 求n S 时，方法千差万别，但已知n S 求n a 时，方法却相对固定.（3）已知递推公式求通项公式，对这类问题要求不高，主要掌握“先猜后证”“化归法”“累加法”等.（4）对于11n n a a a qa b+=⎧⎨=+⎩(1,0)q b ≠≠型，求n a ，其关键是确定待定系数λ，使1()n n a q a λλ++=+1b q λ⇔=-（5）对于11()nn a a a a f n -=⎧⎨=+⎩型，求n a ，可用111221()()()n n n n n a a a a a a a a ---=+-+-++- 的方法.（6）对于11()n n a a a f n a -=⎧⎨=⎩型，求n a ，可用321121n n n a a aa a a a a -=⨯⨯⨯⨯ 的方法.热点二、错位相减法求和、裂项相消法求和、并项法求和、分组求和法1．（2012年高考（浙江文））已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =22n n +,n∈N﹡,数列{b n }满足a n =4log 2b n +3,n∈N﹡.(1)求a n ,b n ;(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n.2．（2012年高考（天津文））(本题满分13分)已知{}n a 是等差数列,其前n 项和为n S ,{}n b是等比数列,且114444,27,=10a b a b S b =+=-. (I)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式;(II )记1122=+++n n n T a b a b a b (*n N ∈)证明:*118(,2)n n n T a b n N n ---=∈>.3．（2012年高考（江西文））已知数列|a n |的前n 项和nn S kc k =-(其中c ,k 为常数),且a 2=4,a 6=8a 3 (1)求a n ;(2)求数列{na n }的前n 项和T n .4．（2012年高考（天津理））已知{n a }是等差数列,其前n 项和为n S ,{n b }是等比数列,且1a =1=2b ,44+=27a b ,44=10S b -.(Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式;(Ⅱ)记1121=+++n n n n T a b a b a b - ,+n N ∈,证明+12=2+10n n n T a b -+()n N ∈.5．（2012年高考（江西理））已知数列{a n }的前n 项和21()2n S n kn k N *=-+∈,且S n的最大值为8. (1)确定常数k,求a n ; (2)求数列92{}2nna -的前n 项和T n .6．（2012年高考（福建文））数列{}n a 的通项公式cos 2n n a n π=,其前n 项和为n S ,则2012S 等于（ ）A ．1006B ．2012C ．503D ．0【答案】A【解析】由cos2n n a n π=,可得20121021304120121S =⨯-⨯+⨯+⨯++⨯2462010201225031006=-+-+-+=⨯=7．（2012年高考（福建理））数列{}n a 的通项公式cos12n n a n π=+,前n 项和为n S ,则2012S =___________.8．（2012年高考（山东理））在等差数列{}n a 中,345984,73a a a a ++==.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)对任意*m N ∈,将数列{}n a 中落入区间2(9,9)m m内的项的个数记为m b ,求数列{}m b 的前m 项和m S .【方法总结】（1） 分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列（2） 裂（拆）项相消：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和。
（3） 错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和。
【考点剖析】 一．明确要求1．熟练掌握和应用等差、等比数列的前n 项和公式．2．熟练掌握常考的错位相减法，裂项相消以及分组求和这些基本方法，注意计算的准确性和方法选择的灵活性．二．命题方向1.数列求和主要考查分组求和、错位相减和裂项相消求和，特别是错位相减出现的机率较高．2.题型上以解答题为主. 三．规律总结 基础梳理数列求和的常用方法 1．公式法直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和 (1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －12d ；(2)等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q＝a 11－q n 1－q ，q ≠1.2．倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的． 3．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的． 4．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 5．分组转化求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减． 6．并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 一种思路一般数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和． 两个提醒在利用裂项相消法求和时应注意：(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项． 三个公式 (1)1n n ＋1＝1n －1n ＋1； (2)12n －12n ＋1＝12⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；【基础练习】1．(人教A 版教材习题改编)等比数列{a n }的公比q ＝12，a 8＝1，则S 8＝( )．A ．254B ．255C ．256D ．2572．（经典习题）若S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，S 50＝________.3．(教材习题改编)数列{a n }的前n 项和为S n ，若1(1)n a n n =+，则5S 等于 ( )A ．1 B.56 C.16 D.130【解析】：因a n ＝1n －1n ＋1，∴S 5＝1－12＋12－13＋…－16＝56.4．(教材习题改编)数列a 1＋2，…，a k ＋2k ，…，a 10＋20共有十项，且其和为240，则a 1＋…＋a k ＋…＋a 10的值为( ) A ．31 B ．120 C ．130 D ．185【名校模拟】一．基础扎实1．(2012·包头模拟)已知数列{x n }的首项x 1＝3，通项x n ＝2n p ＋nq (n ∈N *，p ，q 为常数)，且x 1，x 4，x 5成等差数列．求：(1)p ，q 的值；(2)数列{x n }前n 项和S n 的公式．2．(浙江省宁波市鄞州区2012届高三高考适应性考试（3月）文)对于正项数列{}n a ，定义nn na a a a nH ++++=32132,若,22+=n H n 则数列n a 的通项公式为 .【答案】nn 212+【解析】本题主要考查数列通项公式的求法的问题。
由123223 (2)nna a a na n =+++++则()()123223 (2)n n n a a a na +++++=*()()()()12311123 (12)n n n a a a n a --+++++-=**由()()-***得212n n na +=，所以n a =nn 212+。
3．(襄阳五中高三年级第一次适应性考试) 已知函数2()c o s ()f n n n π=，且()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++++=A ．0B ．100-C ．100D ．102004．（海淀区高三年级第二学期期末练习）（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ¹，5346S a =+，且139,,a a a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列1{}nS的前n项和公式.5．(2012年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试) (本小题满分12分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn ，a1=2, S1 2S2 3S3成等差数列.(I )求数列{an}的通项公式;(II )数列是首项为-6，公差为2的等差数列，求数列{bn}的前n项和.6．(2012年石家庄市高中毕业班教学质量检测(二) 理) (本小题满分12分)已知数列{n a }为公差不为零的等差数列，1a =1，各项均为正数的等比数列{n b }的第1 项、第3项、第5项分别是1a 、3a 、21a ． (I )求数列{n a }与{n b }的通项公式； (Ⅱ)求数列{n a n b }的前n 项和．7．(浙江省温州中学2012届高三10月月考理）（15分）已知数列{}n a 中，112a =，()*12n n a a n n N+-=∈ （I ）计算234,,aa a 的值； （II ）令11n n nb a a +=--，求数列{}n b 的通项公式；（III ）求数列{}n a 的前n 项和n S8．(山西省2012年高考考前适应性训练理)（本小题满分12分）已知数列}{n a 是公差不为零的等差数列，21=a ，且2a ，4a ，8a 成等比数列． （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求数列}3{na n a ⋅的前n 项和．.9．(江西省2012届十所重点中学第二次联考文)已知等差数列{}n a 的前n 项和为nS ，公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T.10．(2012济南高考模拟理)11．（湖北黄冈2012高三五月模拟考试文）（本小题满分12分）数列{}n a 满足11a =，1122n nn nn a a a ++=+（n N +∈）.（Ⅰ）证明：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅲ）设112n n n b a n +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .12．(2012黄冈市模拟及答题适应性试理)已知等差数列{ a n }的前n 项的和为n S ，如果4,1284-=-=a a（1） 求数列{a n }的通项公式；（2） 求n S 的最小值及其相应的n 的值； 从数列{a n }中依次取出...,...,,,,128421-n a a a a a 构成一个新的数列{b n }，求{b n }的前n 项和。
