图论的习题

图论习题课⼀、填空题1、对下列图，试填下表（是??类图的打〝√ 〞，否则打〝?〞）。

①②③2、若图G=中具有⼀条汉密尔顿回路，则对于结点集V 的每个⾮空⼦集S ，在 G 中删除S 中的所有结点得到的连通分⽀数为W ，则S 中结点数|S|与W 满⾜的关系式为。

3、设有向图D 为欧拉图，则图D 中每个结点的⼊度．4、数组{1，2，3，4，4}是⼀个能构成⽆向简单图的度数序列，此命题的真值是 .5、“3,3K 是欧拉图也是哈密顿图”这句话是_______。

(填对或错)6、极⼤可平⾯图的每⼀个⾯的次数都是_________．7、5阶完全图的边连通度是．8、图G是2-⾊的当且仅当G是．⼆、选择题1、下列⽆向图可能不是偶图的是( )(A) ⾮平凡的树(B)⽆奇圈的⾮平凡图(C) n(1)n ⽅体图(D) 平⾯图2、关于平⾯图，下列说法错误的是( )(A) 简单连通平⾯图中⾄少有⼀个度数不超过5的顶点；(B)极⼤外平⾯图的内部⾯是三⾓形，外部⾯也是三⾓形；(C) 存在⼀种⽅法，总可以把平⾯图的任意⼀个内部⾯转化为外部⾯；(D) 平⾯图的对偶图也是平⾯图。

3、已知图G的邻接矩阵为，则G有（）．A．5点，8边B．6点，7边C．6点，8边D．5点，7边4、设图G＝，则下列结论成⽴的是( )．A．deg(V)=2∣E∣B．deg(V)=∣E∣C．EvVv2)deg(=∑∈D．Vv=∑∈)deg(5、设完全图K n有n个结点(n≥2)，m条边，当（）时，K n中存在欧拉回路．A．m为奇数B．n为偶数C．n为奇数D．m为偶数6、设G是连通平⾯图，有v个结点，e条边，r个⾯，则r= ( )．A．e－v＋2 B．v＋e－2 C．e－v－2 D．e＋v＋27、下列定义正确的是( )．A含平⾏边或环的图称为多重B不含平⾏边或环的图称为简单图C含平⾏边和环的图称为多重D不含平⾏边和环的图称为简单图8、以下结论正确是( )．A仅有⼀个孤⽴结点构成的图是零图B⽆向完全图Kn每个结点的度数是nC有n(n>1)个孤⽴结点构成的图是平凡图D图中的基本回路都是简单回路9、下列数组能构成简单图的是( )．(A) (0,1,2,3) (B) (2,3,3,3) (C) (3,3,3,3) (D) (4,2,3,3)10、n阶⽆向完全图Kn中的边数为（）．(A) 2)1(+nn(B) 2)1(-nn(C) n (D)n(n+1)11、以下命题正确的是( )．(A) n(n≥1)阶完全图Kn都是欧拉图(B) n(n≥1)阶完全图Kn都是哈密顿图(C) 连通且满⾜m=n－1的图(∣V∣=n,∣E∣=m)是树(D) n(n≥5)阶完全图Kn都是平⾯图12、下列结论不正确是( )．(A) ⽆向连通图G是欧拉图的充分必要条件是G不含奇数度结点(B) ⽆向连通图G有欧拉路的充分必要条件是G最多有两个奇数度结点(C) 有向连通图D是欧拉图的充分必要条件是D的每个结点的⼊度等于出度(D) 有向连通图D有有向欧拉路的充分必要条件是除两个结点外，每个结点的⼊度等于出度13、⽆向完全图K4是（）．（A）欧拉图（B）哈密顿图（C）树（D）平⾯图14、在如下各图中（）欧拉图。

图论期末考试试题和答案****一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 图论中，图的基本元素不包括以下哪一项？A. 顶点B. 边C. 权重D. 节点答案：D2. 在图论中，一个图的路径是指什么？A. 一系列顶点B. 一系列边C. 一系列顶点和边的序列D. 一系列权重答案：C3. 有向图和无向图的主要区别是什么？A. 边的方向B. 顶点的数量C. 边的数量D. 图的颜色答案：A4. 在图论中，一个完全图是指什么？A. 所有顶点都相连的图B. 所有边都相连的图C. 所有顶点和边都相连的图D. 所有权重都相同的图答案：A5. 图论中的欧拉路径是指什么？A. 经过每条边恰好一次的路径B. 经过每个顶点恰好一次的路径C. 经过每条边恰好一次的回路D. 经过每个顶点恰好一次的回路答案：C6. 图论中的哈密顿路径是指什么？A. 经过每条边恰好一次的路径B. 经过每个顶点恰好一次的路径C. 经过每条边恰好一次的回路D. 经过每个顶点恰好一次的回路答案：B7. 在图论中，二分图是指什么？A. 图的顶点可以被分成两个不相交的集合B. 图的边可以被分成两个不相交的集合C. 图的顶点和边可以被分成两个不相交的集合D. 图的权重可以被分成两个不相交的集合答案：A8. 图论中的最短路径问题是指什么？A. 寻找从一个顶点到另一个顶点的最短路径B. 寻找从一个顶点到所有其他顶点的最短路径C. 寻找所有顶点之间的最短路径D. 寻找所有边之间的最短路径答案：A9. 图论中的最小生成树问题是指什么？A. 寻找一个图中所有顶点的最小生成树B. 寻找一个图中所有边的最小生成树C. 寻找一个连通图中所有顶点的最小生成树D. 寻找一个连通图中所有边的最小生成树答案：C10. 图论中的网络流问题是指什么？A. 在图中寻找最大流量B. 在图中寻找最小流量C. 在图中寻找最大流和最小割D. 在图中寻找最小流和最大割答案：C二、填空题（每题2分，共20分）1. 在图论中，如果一个图的任意两个顶点都由一条边连接，则称这个图为______图。

图论课后习题答案图论是数学中的一个分支，主要研究图的结构和性质。

图论的课后习题通常包括证明题、计算题和应用题。

下面给出一些典型的图论课后习题答案：1. 证明题：证明一个图是连通的当且仅当它的任意两个顶点都存在一条路径相连。

答案：首先定义连通图的概念：一个图是连通的，如果对于任意两个顶点，都存在一条路径将它们连接起来。

接下来，我们证明两个方向：- 如果一个图是连通的，那么对于任意两个顶点\( u \)和\( v \)，根据定义，必然存在一条路径\( P \)将它们连接起来。

- 反之，如果对于任意两个顶点\( u \)和\( v \)，都存在一条路径将它们连接起来，那么我们可以构造一个从任意顶点\( u \)出发，访问图中所有顶点的路径，这表明图是连通的。

2. 计算题：给定一个有\( n \)个顶点的完全图，计算它的边数。

答案：在完全图中，每个顶点都与其他所有顶点相连。

因此，对于一个顶点，它将与\( n-1 \)个其他顶点相连。

但是，每条边被计算了两次（因为它连接了两个顶点），所以边数应该是\( \frac{n(n-1)}{2} \)。

3. 应用题：在一个社交网络中，每个用户可以与其他人建立联系。

如果一个用户与至少一半的用户建立了联系，那么这个社交网络是连通的吗？答案：是的，这个社交网络是连通的。

假设社交网络中有\( n \)个用户，如果一个用户与至少\( \lceil \frac{n}{2} \rceil \)个用户建立了联系，那么我们可以构造一条从任意用户\( u \)到这个中心用户的路径。

由于中心用户与至少一半的用户建立了联系，我们可以继续通过这些联系到达其他用户，从而证明社交网络是连通的。

4. 证明题：证明在任何图中，边数至少是顶点数减一。

答案：考虑一个图的生成树，它是一个最小的连通子图，包含图中的所有顶点，并且没有环。

在生成树中，边数等于顶点数减一。

由于任何图都至少包含一个生成树，因此原图的边数至少与生成树的边数相同，即至少是顶点数减一。

《图论及其应用》习题课教材目录第一章图的基本概念1.1 图和简单图1.2 子图与图的运算1.3 路与图的连通性1.4 最短路及其算法1.5 图的代数表示及其特征1.6 极图1.7 交图与团图习题1第二章树2.1 树的概念与性质2.2 树的中心与形心2.3 生成树2.4 最小生成树习题2第三章图的连通度3.1 割边、割点和块3.2 连通度3.3 应用3.4 图的宽距离和宽直径习题3第四章欧拉图与哈密尔顿图4.1 欧拉图4.2 高效率计算机鼓轮的设计4.3 中国邮路问题4.4 哈密尔顿图4.5 度极大非哈密尔顿图4.6 旅行售货员问题4.7 超哈密尔顿图4.8 E图和H图的联系4.9 无限图中的欧拉,哈密尔顿问题习题4第五章匹配与因子分解5.1 匹配5.2 偶图的匹配与覆盖5.3 Tutte定理与完美匹配5.4 因子分解5.5 最优匹配与匈牙利算法5.6 匹配在矩阵理论中的应用习题5第六章平面图6.1 平面图6.2 一些特殊平面图及平面图的对偶图6.3 平面图的判定及涉及平面性的不变量6.4 平面性算法习题6第七章图的着色7.1 图的边着色7.2 顶点着色7.3 与色数有关的几类图7.4 完美图7.5 着色的计数，色多项式习题27.6 List着色7.7 全着色7.8 着色的应用习题7第八章Ramsey定理8.1 独立集和覆盖8.2 Ramsey定理8.3 广义Ramsey数8.4 应用习题8习题 11. 证明在n阶连通图中（1）至少有n-1条边。

（2）如果边数大于n-1，则至少有一条闭通道。

（3）如恰有n-1条边，则至少有一个奇度点。

证明(1) 若对∀v∈V(G),有d(v)≥2,则：2m=∑d(v)≥2n ⇒ m≥n>n-1,矛盾！若G中有1度顶点，对顶点数n作数学归纳。

当n=2时，G显然至少有一条边，结论成立。

设当n=k时，结论成立，当n=k+1时，设d(v)=1，则G-v是k阶连通图，因此至少有k-1条边，所以G 至少有k条边。

图论习题答案
《图论习题答案》
图论作为数学中的一个重要分支，研究的是图的性质和图之间的关系。

在学习
图论的过程中，我们常常会遇到各种各样的习题，通过解答这些习题可以帮助
我们更好地理解图论的知识。

下面就让我们来看一些图论习题的答案吧。

1. 问：一个图中有多少条边？
答：一个图中的边数可以通过计算每个顶点的度数之和再除以2来得到。

2. 问：一个图中有多少个连通分量？
答：一个图中的连通分量可以通过使用深度优先搜索或广度优先搜索来求得。

3. 问：一个图中是否存在欧拉回路？
答：一个图中存在欧拉回路的充分必要条件是每个顶点的度数都是偶数。

4. 问：一个图中是否存在哈密顿回路？
答：一个图中存在哈密顿回路的判定是一个NP难题，目前还没有有效的多项式时间算法。

5. 问：一个图中的最小生成树有多少条边？
答：一个图中的最小生成树的边数恰好等于顶点数减一。

通过解答这些图论习题，我们可以更好地掌握图论的基本概念和算法。

图论不
仅在数学领域有着重要的应用，而且在计算机科学、电信网络等领域也有着广
泛的应用。

因此，熟练掌握图论知识对我们的学习和工作都有着重要的意义。

希望通过本文的分享，能够帮助大家更好地理解图论知识，提高解决问题的能力。

同时也希望大家在学习图论的过程中能够多多练习，勇于挑战各种各样的
图论习题，不断提升自己的图论水平。

祝大家在图论的学习道路上取得更大的
进步！。

图论习题二答案图论习题二答案图论是数学中的一个分支，研究的是图的性质和图之间的关系。

在图论中，有很多经典的习题可以帮助我们更好地理解和应用图的概念。

本文将探讨一些图论习题二的答案，帮助读者更好地理解和掌握图论的知识。

1. 习题：给定一个无向图G=(V,E)，其中V={1,2,3,4,5,6}，E={(1,2),(1,3),(2,3),(2,4),(3,4),(4,5),(4,6)}，求图G的邻接矩阵和关联矩阵。

答案：邻接矩阵是一个n×n的矩阵，其中n是图的顶点数。

对于无向图G，邻接矩阵的元素a[i][j]表示顶点i和顶点j之间是否存在边。

如果存在边，则a[i][j]=1，否则a[i][j]=0。

对于给定的图G，邻接矩阵为：0 1 1 0 0 01 0 1 1 0 01 1 0 1 0 00 1 1 0 1 10 0 0 1 0 00 0 0 1 0 0关联矩阵是一个n×m的矩阵，其中n是图的顶点数，m是图的边数。

对于无向图G，关联矩阵的元素b[i][j]表示顶点i和边j之间的关系。

如果顶点i是边j 的起点，则b[i][j]=-1；如果顶点i是边j的终点，则b[i][j]=1；否则b[i][j]=0。

对于给定的图G，关联矩阵为：-1 -1 0 0 0 01 0 -1 -1 0 00 1 1 0 0 00 0 0 1 -1 -10 0 0 0 1 00 0 0 0 0 12. 习题：给定一个有向图G=(V,E)，其中V={1,2,3,4,5}，E={(1,2),(1,3),(2,3),(2,4),(3,4),(4,1),(5,4)}，求图G的邻接表和深度优先搜索遍历结果。

答案：邻接表是一种图的表示方法，用于存储图中每个顶点的邻接顶点。

对于有向图G，邻接表中的每个元素表示该顶点的出边。

对于给定的图G，邻接表为：1: 2, 32: 3, 43: 44: 15: 4深度优先搜索（DFS）是一种图的遍历算法，用于遍历图中的所有顶点。

图论练习题一、基本题1、设G 是由5个顶点构成的完全图，则从G 中删去（A ）边可以得到树。

A ．6 B ．5 C ．8 D ．4 2、下面哪几种图不一定是树（A ）。

A ．无回路的连通图B ．有n 个结点，n-1条边的连通图C ．对每对结点间都有通路的图D ．连通但删去任意一条边则不连通的图3、5阶无向完全图的边数为（B ）。

A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 4、设图G 有n 个结点，m 条边，且G 中每个结点的度数不是k ，就是k+1，则G 中度数为k 的节点数是（）A ．n/2 B ．n(n+1) C ．nk-2m D ．n(k+1)-2m 5、设G=<V ，E>为有向图，V={a,b,c,d,e,f}，E={<a,b>,<b,c>,<a,d>,<d,e>,<f,e>}是（B ）。

A ．强连通图B ．单向连通图C ．弱连通图D ．不连通图6、在有n 个结点的连通图中，其边数（B ）A ．最多有n-1条B ．至少有n-1条C ．最多有n 条D ．至少有n 条7、设无向简单图的顶点个数为n ，则该图最多有（，则该图最多有（C C ）条边。

A ．n-1 B n-1 B．．n(n-1)/2 C n(n-1)/2 C．． n(n+1)/2 D n(n+1)/2 D．．n28、要连通具有n 个顶点的有向图，至少需要（个顶点的有向图，至少需要（A A ）条边。

A ．n-lB n-l B．．nC n C．．n+lD n+l D．．2n9、n 个结点的完全有向图含有边的数目（个结点的完全有向图含有边的数目（B B ）。

A ．n*n n*n Ｂ．Ｂ．Ｂ．n n （n ＋１）＋１） C C C．．n ／2 D 2 D．．n*n*（（n －l ）1010、在一个无向图中，所有顶点的度数之和等于所有边数（、在一个无向图中，所有顶点的度数之和等于所有边数（、在一个无向图中，所有顶点的度数之和等于所有边数（B B ）倍。

图论测试题及答案一、选择题1. 在图论中，如果一个图的每个顶点的度数都是偶数，那么这个图一定存在欧拉路径吗？A. 是的B. 不一定C. 没有欧拉路径D. 无法确定答案：B2. 图论中的哈密顿路径是指什么？A. 经过图中所有顶点的路径B. 经过图中所有顶点的回路C. 经过图中某些顶点的路径D. 经过图中某些顶点的回路答案：A3. 如果一个图是完全图，那么它的边数是多少？A. 顶点数的一半B. 顶点数的平方C. 顶点数的两倍D. 顶点数减一答案：B二、填空题4. 在无向图中，如果存在一条路径，使得每个顶点只被经过一次，并且起点和终点相同，这样的路径被称为________。

答案：欧拉回路5. 图论中的二分图是指图中的顶点可以被分成两个不相交的集合，使得同一个集合内的顶点之间没有边，而不同集合之间的顶点之间有边，这种图也被称为________。

答案：二部图三、简答题6. 请简述图论中的最短路径问题，并给出解决该问题的一种算法。

答案：最短路径问题是在图中找到两个顶点之间的最短路径的问题。

解决该问题的一种算法是迪杰斯特拉算法（Dijkstra's algorithm），该算法通过维护一个顶点集合来记录已经找到最短路径的顶点，并迭代更新距离，直到找到从起点到所有顶点的最短路径。

7. 描述图论中的图着色问题，并说明其在实际生活中的应用。

答案：图着色问题是将图的顶点着色，使得任何两个相邻的顶点颜色不同。

在实际生活中，图着色问题可以应用于时间表的安排、频率分配、电路设计等领域，其中每个顶点代表一个任务或频道，而颜色则代表不同的时间段或频率。

结束语：以上是图论测试题及答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握图论的基本概念和算法。

图论试题及答案解析图片一、选择题1. 图论中，图的基本元素是什么？A. 点和线B. 点和面C. 线和面D. 点和边答案：A2. 在无向图中，如果两个顶点之间存在一条边，则称这两个顶点是：A. 相邻的B. 相连的C. 相等的D. 相异的答案：A3. 在有向图中，如果从顶点A到顶点B有一条有向边，则称顶点A是顶点B的：A. 父顶点B. 子顶点C. 邻接顶点D. 非邻接顶点答案：B4. 一个图的度是指：A. 图中顶点的总数B. 图中边的总数C. 一个顶点的边数D. 图的连通性答案：C5. 一个图是连通的，当且仅当：A. 图中任意两个顶点都是相邻的B. 图中任意两个顶点都可以通过边相连C. 图中任意两个顶点都可以通过路径相连D. 图中任意两个顶点都可以通过子顶点相连答案：C二、填空题1. 在图论中，一个顶点的度数是该顶点的________。

答案：边数2. 如果一个图的任意两个顶点都可以通过边相连，则称该图为________。

答案：完全图3. 一个图中，如果存在一个顶点到其他所有顶点都有边相连，则称该顶点为________。

答案：中心顶点4. 图论中，最短路径问题是指在图中找到两个顶点之间的________。

答案：最短路径5. 如果一个图的任意两个顶点都可以通过有向路径相连，则称该图为________。

答案：强连通图三、简答题1. 请简述图论中的欧拉路径和哈密顿路径的定义。

答案：欧拉路径是指在图中经过每条边恰好一次的路径，而哈密顿路径是指在图中经过每个顶点恰好一次的路径。

2. 什么是图的着色问题？答案：图的着色问题是指将图中的顶点用不同的颜色进行标记，使得相邻的两个顶点颜色不同。

四、计算题1. 给定一个无向图G，顶点集为{A, B, C, D, E}，边集为{AB, BC, CD, DE, EA}，请画出该图，并计算其最小生成树的权重。

答案：首先画出图G的示意图，然后使用克鲁斯卡尔算法或普里姆算法计算最小生成树的权重。