河南省林州市林虑中学2019-2020学年高一下学期开学检测数学试题(含答案)

河南省林州市林虑中学2019-2020学年高一下学期开学检测试题一、选择题.1.sin(600)-︒的值是（ ）A.12B. 12-C.2D. 2.若2sin 43πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2θ=（ ）A.B.59C.19D. 19±3.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ）A. 2B.2sin1C. 2sin1D. sin 24.已知向量()1,sin ,sin ,12a b αα⎛⎫== ⎪⎝⎭，若a b ，则锐角α为（ ）A. 30B. 60︒C. 45︒D. 75︒5.已知tan 3α=，则221cos sin cos sin αααα+=+（ ） A.38B.916C.79D.11126.对于非零向量,,a b c ，下列命题正确的是（ ）A. 若a b a c ⋅=⋅，则b c =B. 若a b c +=，则a b c +>C. 若()0a b c ⋅⋅=，则a b ⊥D. 若0a b ⋅>，则,a b 的夹角为锐角7.若A 为三角形ABC 的一个内角，且2sin cos 3A A +=，则这个三角形是（ ） A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 正三角形8.已知向量a ，b ，且2AB a b =+，56BC a b =-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（ ） A. A ，B ，DB. A ，B ，CC. B ，C ，DD. A ，C ，D9.若α、β是锐角ABC 的两个内角，则有（ ）A. sin sin αβ>B. cos cos αβ>C. sin cos αβ>D. sin cos αβ>10.同时具有性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线3x π=对称；③在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数．”的一个函数为（ ）A. sin 26x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭ B. cos 26x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭C. cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D. sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭11.已知函数sin()y A x B ωϕ=++的一部分图象如图所示，如果0A >，0>ω，2πϕ<，则（ ）A. 4A =B. 1ω=C. 6π=ϕ D.4B12.若()()13cos ,cos 55αβαβ+=-=，则tan tan αβ⋅= （ ）A. B. C. 12- D. 12二、填空题。

河南省林州市林虑中学2019-2020学年高一数学下学期开学检测试题一、选择题.1.sin(600)-︒的值是（ ）A.12 B. 12-D. 2.若2sin 43πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2θ=（ ）A.3B.59C.19D. 19±3.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ）A. 2B.2sin1C. 2sin1D. sin 24.已知向量()1,sin ,sin ,12a b αα⎛⎫== ⎪⎝⎭r v ，若a b v P r，则锐角α为（ ）A. 30°B. 60︒C. 45︒D. 75︒5.已知tan 3α=，则221cos sin cos sin αααα+=+（ ） A. 38B.916C.79D.11126.对于非零向量,,a b c v v v，下列命题正确的是（ ）A. 若a b a c ⋅=⋅v v v v ，则b c =v vB. 若a b c +=v v v ，则a b c +>v v vC. 若()0a b c ⋅⋅=v vv v ，则a b ⊥v v D. 若0a b ⋅>v v ，则,a b v v 的夹角为锐角7.若A 为三角形ABC 的一个内角，且2sin cos 3A A +=，则这个三角形是（ ） A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 正三角形8.已知向量a v ，b v ，且2AB a b =+u u u vv v，56BC a b =-+u u uv v v，72CD a b =-u u uv vv，则一定共线的三点是（ ）A. A ，B ，DB. A ，B ，CC. B ，C ，DD. A ，C ，D9.若α、β是锐角ABC V 的两个内角，则有（ ）A. sin sin αβ>B. cos cos αβ>C. sin cos αβ>D. sin cos αβ>10.同时具有性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线3x π=对称；③在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数．”的一个函数为（ ）A. sin 26x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. cos 26x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭C. cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D. sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭11.已知函数sin()y A x B ωϕ=++的一部分图象如图所示，如果0A >，0>ω，2πϕ<，则（ ）A. 4A =B. 1ω=C. 6π=ϕ D. 4B =12.若()()13cos ,cos 55αβαβ+=-=，则tan tan αβ⋅= （ ） A. 3B.32C. 12-D.12二、填空题。

某某省某某市林虑中学2020-2021学年高一数学下学期开学考试试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}*A 2,n n x x N ==∈，{}*2n,n B x x N ==∈，则（ ） A. A B ⊆ B. B A ⊆ C. A B ⋂=∅D. A B =2. 已知是R k ∈，直线3(2)y k x -=+总经过点（ ）A. (2,3)-B. (2,3)-C. (2,0)-D. (0,3)3. 已知2510a b ==，则11a b +的值为（ ） A. 1B. 2C. 7D. 104. 已知圆C 经过原点(0,0)O ，()4,3A ，(1,3)B -三点，则圆C 的方程为（ ）A. 22430x y x y +--=B. 2230x y x y +-+=C. 22550x y x +--=D. 2270x y x y +-+=5. 已知水平放置的平面四边形ABCD ，用斜二测画法得到的直观图是边长为1的正方形，如图所示，则ABCD 的周长为（ ）A. 2B. 6C. 422+D. 86. 已知,a b 为不同的直线，αβ，为不同的平面，有下列四个命题： ①////a b a b αα⎧⇒⎨⊂⎩②a b a b αα⊥⎧⇒⊥⎨⊂⎩③a b b a αβαββ⊥⎧⎪⋂=⇒⊥⎨⎪⊥⎩④//a a a αββαα⊥⎧⎪⊥⇒⎨⎪⊄⎩. 其中正确命题的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 47. 已知点(2,0)A 与()0,4B 关于直线0ax y b ++=对称，则,a b 的值分别为（ ）A. 1，3B. 12-，32-C. -2，0D. 12，52- 8. 已知函数2()2f x x x a =++在区间(0,2)内有零点，则实数a 的取值X 围是（ ）A. (,1)-∞B. (8,1]-C. (8,0)-D. [8,0]-9. 如图网格中是某几何体的三视图（网格中每个小正方形的边长为1），则该几何体的体积为（ ）A. 2B. 52510. 已知函数2()(2)f x x m x n =+-+为偶函数，那么函数()1log m g x x =- ）A. (,2]-∞B. (0,2]C. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 11. 已知圆221:64120C x y x y +-++=，圆222:142340C x y x y +--+=，两圆公切线的条数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 412. 已知ABCD 是边长为2的正方形，点E ，F 在平面ABCD 的同侧，AE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，且2AE DF ==.点Q 为DF 的中点，点P 是CE 上的动点，则PQ 长的最小值为（ ）A. 2523第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13. 已知三角形的三个顶点是(0,0)O ，(4,3)A ，(2,1)B -，则此三角形AB 边上的中线所在直线的方程为____________.14. 四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是正方形，各条棱长均为2.则异面直线VC 与AB 所成角的大小为____________.15. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x =--，当1≥x 时，2()log f x x =，则不等式()2f x ≤的解集为____________.16. 在棱长为9的正方体ABCD A B C D ''''-中，点E ，F 分别在棱AB ，DD '上，满足2AE D E DF B F '==，点P 是DD '上一点，且//PB 平面CEF ，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为____________.三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知点()1,0A -，(3,2)B 到直线:10l ax y ++=的距离相等.（1）某某数a 的值；（2）已知2a >-，试求l 上点C 的坐标，使得A ，B ，C 构成以C 为直角顶点的直角三角形.18. 在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，O 是底面ABCD 的中心.（1）求证:1BO//平面11DA C ; （2）求点O 到平面11DA C 的距离.19. 已知函数2320()10x x x x f x e x ⎧-+>=⎨+≤⎩. （1）若()1f a =，某某数a 的值；（2）若关于x 的方程()0f x m -=恰有三个解，某某数m 的取值X 围.20. 如图.在三棱锥P ABC -中,PA ⊥平面ABC ,90ACB ∠=︒,AE PB ⊥于E 点,AF PC ⊥于F点,2PA AB ==,30BPC ∠=︒.（1）求PB AF ⊥；（2）求直线AE 与平面PBC 所成角的正弦值.21. 已知奇函数()f x 与偶函数()g x 满足：1()()2x f x g x +-=.（1）求函数()f x 与()g x 解析式；（2）若对任意实数x ，都有()()0f x mg x +>恒成立，某某数m 的取值X 围.22. 点(4,0)A ，圆22:(4)16B x y ++=，动点P 在圆B 上，Q 为PA 中点，直线:2l y kx =+.（1）求点Q 的轨迹E 的方程；（2）若直线l 与曲线E 交于不同两点S ，T ，坐标原点为O ，当△OST∠SOT 为锐角时，求斜率k 的值；（3）若k =1，当过直线l 上的点C 能作曲线E 的两条切线时，设切点分别为M ，N ，直线MN 是否过定点？若过定点，请求出该点坐标；若不过定点，请说明理由.林虑2020级高一下学期开学检测数学答案1. 【答案】A【解析】【分析】可根据特殊元素与集合的关系作答.【详解】A. *n 2,n N ∀∈为偶数，故2n B ∈，故A B ⊆ B. 6,6B A ∈∉，故B 错C. 4,4B A ∈∈，故A B ⋂=∅错D. 6,6B A ∈∉,故D 错. 故选：A2.【答案】B【解析】【分析】把3(2)y k x -=+整理成()3(2)0y k x --+=，根据方程特点可得答案.【详解】由3(2)y k x -=+得()3(2)0y k x --+=，对于R k ∈总成立，3020y x -=⎧⎨+=⎩ ，所以32y x =⎧⎨=-⎩，即总经过点是()2,3-.故选：B. 3. 【答案】A【解析】【分析】由2510a b ==求出a 、b ，表示出11a b 、，进而求出11a b +的值. 【详解】252510log 10,log 10a b a b ==∴==，,11lg 2,lg 5a b ∴==11lg 2lg 5lg101a b∴+=+==. 故选：A4. 【答案】D【解析】【分析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=()2240D E F +->，解方程组16943019300D E F D E F F ++++=⎧⎪++-+=⎨⎪=⎩即得解. 【详解】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=()2240D E F +->，把点(0,0)O ，(4,3)A ，(1,3)B -代入得1694301930D E FD E FF++++=⎧⎪++-+=⎨⎪=⎩, 解得7D=-，1E=，0F=，所以圆的方程是2270x y x y+-+=．故选：D．5. 【答案】D【解析】【分析】根据斜二测画法可换元原图形，根据原图形计算周长即可.【详解】由直观图可得原图形如图，根据斜二测画法可知，1AB CD==,22AC=Rt ABC中,2222(22)13BC AC AB=+=+=,又AD BC=,所以四边形ABCD的周长为23218⨯+⨯=,故选：D6.【答案】A【解析】【分析】根据线面平行的判断定理判断①，根据线面垂直，面面垂直的性质定理判断②③④. 【详解】①不成立，缺少aα⊄这个条件；②不成立，不满足线面垂直的判断定理；③不成立，缺少条件bα⊂；④正确，根据面面垂直的性质定理判断.故选：A7. 【答案】B【解析】【分析】点,A B关于直线0ax y b++=对称，则利用垂直关系，以及线段AB的中点在直线0ax y b++=上，列式求解.【详解】40202ABk-==--，若点(2,0)A与()0,4B关于直线0ax y b++=对称，则直线AB与直线0ax y b++=垂直，直线0ax y b++=的斜率是a-，所以()()21a-⋅-=-，得12a=-.线段AB的中点()1,2在直线0ax y b ++=上，则20a b ++=，得32b =-, 故选:B 8. 【答案】C 【解析】【分析】由函数零点问题，转化为22a x x =--，()0,2x ∈成立，求函数的值域.【详解】220x x a ++=在区间(0,2)内有解，转化为22a x x =--，()0,2x ∈成立， ()22211a x x x =--=-++，()0,2x ∈时，()8,0a ∈-.故选：C 9. 【答案】A 【解析】【分析】根据三视图还原几何体，计算体积即可.【详解】 还原几何体如图，为四棱柱，底面积为11⨯，高为2故体积为：2故选：A10. 【答案】B【解析】【分析】根据是偶函数求出m ，代入()1log m g x x =-【详解】2()(2)f x x m x n =+-+为偶函数，故对称轴为202m x -==，故2m = 2()1log g x x =-0x >且2log 1x ≤解之得02x <≤故选：B11. 【答案】C【解析】【分析】首先判断两圆的位置关系，再判断公切线条数.【详解】圆()()221:321C x y -++=，圆心()13,2C -，半径11r =，圆()()222:7116C x y -+-=，圆心()27,1C ，半径24r =，圆心距()()2237215d =-+--=，12d r r =+，所以两圆相外切，公切线条数是3条.故选：C12. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，以A 为原点，AD 为x 轴正方向，AB 为y 轴正方向，AE 为z 轴正方向，建立空间直角坐标系，把PQ 转化为2||365(02)PQ x x x =-+≤≤，利用二次函数求最小值.【详解】如图示，以A 为原点，AD 为x 轴正方向，AB 为y 轴正方向，AE 为z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则A （0,0,0）、D （2,0,0）、C （2,2,0）、E （0,0,2）、F （2,0,2）、Q （2,0,1）、设P （x,y,z ）,由点P 是CE 上的动点，知(01)CP CE λλ=≤≤,即(2,2,)(2,2,2)x y z λ--=--，故P (x ,x ,2-x ), 所以2222||(2)(0)(1)365(02)PQ x x x x x x =-+-+-=-+≤≤当1x =时min ||3652PQ =-+=故PQ 长的最小值为2.故选：A 13.【答案】30x y -=【解析】【分析】先求线段AB 的中点D 的坐标，再求直线OD 的方程. 【详解】()4,3A ，()2,1B -，线段AB 的中点是()3142,22D +-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即()3,1D ，13OD k =，所以三角形AB 边上的中线所在直线的方程为13y x =，即30x y -=.故答案为：30x y -=14.【答案】60°【解析】【分析】根据AB ∥CD ,得到异面直线VC 与AB 所成角即为∠VCD ,由△ VCD 为等边三角形，即可求解.【详解】如图示，因为ABCD 是正方形，所以AB ∥CD ,所以异面直线VC与AB 所成角即为∠VCD.又各条棱长均2，所以△ VCD 为等边三角形，所以∠VCD =60°，异面直线VC 与AB 所成角的大小为60°.故答案为：60° 15.【答案】(,4]-∞【解析】【分析】可求出分段函数在1x <时的解析式，分两种情况解不等式，求并集. 【详解】当1≥x 时，2()log f x x =，2log 2x ≤，则14x ≤≤当1x <时，21x ->，故()2()(2)log 2f x f x x =--=--，()2log 22x --≤，则()2log 22x -≥-，则124x -≥，则74x ≤，则此时1x < 综上有4x ≤故答案为：(,4]-∞ 16. 【答案】178π【解析】【分析】以D 为原点，DA ，DC ，DD '分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设(0,0,)P t ，由//PB 平面CEF 可得P 点的坐标，根据四棱锥P ABCD -的特点可得外接球的直径可得答案. 【详解】以D 为原点，DA ，DC ，DD '分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，(0,0,0)D ，由2AE D E DFB F '==，则(9,6,0),(0,9,0)EC ，(0,0,3)F ，(9,9,0)B ，设(0,0,)P t ， ∴()9,3,0EC =-， ()0,9,3CF =-，()9,9,PB t =-设平面FEC 的法向量为(),,n x y z =，则·0·0n EC n CF ⎧=⎨=⎩，即930930x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，不妨令3z =，则11,3y x ==，得1,1,33n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为//PB 平面CEF ，所以0PB n ⋅=，即1919303t ⨯+⨯-=，解得4t =，所以(0,0,4)P ，由PD ⊥平面ABCD ，且底面是正方形，所以四棱锥P ABCD -外接球的直径就是PB ，由()9,9,4PB =-，得29PB ==所以外接球的表面积241782PB S ππ⎛⎫⎪== ⎪⎝⎭. 故答案为：178π.【点睛】本题考查了四棱锥外接球的表面积的求法，关键点是建立空间直角坐标系，确定球的半径，考查了学生的空间想象力和计算能力. 17. 【答案】（1）12a =-或2a =-；（2）C 点的坐标为(0,1)-或163,55⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）由点到直线的距离公式建立等式求解a 的值；（2）可求出以AB 为直径的圆的方程，与直线的方程联立即得C 点的坐标. 【详解】（12211a a =++，即133a a -=+，133a a ∴-=+或1(33)a a -=-+， 12a ∴=-或2a =-. （2）()1,0A -，(3,2)B 的中点为(1,1)M()221115MA =++=，以AB 为直径的圆的方程为22(1)(1)5x y -+-=，直角三角形ABC 的直角顶点C 是以AB 为直径的圆与直线l 的交点. 设(),C x y ，故满足22(1)(1)5x y -+-=由2a >-知，12a =-，直线:220l x y --=， 又(),C x y 在:220l x y --=上 联立方程22220,(1)(1) 5.x y x y --=⎧⎨-+-=⎩消去x 得：25230y y +-=，1y或35y =. 0,1.x y =⎧∴⎨=-⎩或16,53.5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩C 点的坐标为(0,1)-或163,55⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】①A ，B ，C 构成以C 为直角顶点的直角三角形，等价于以AB 为直径的圆过点C ，且A ，B ，C 三点不共线.②处理圆与直线交点问题时，可由圆心到直线的距离与半径作比较，得出位置关系.联立两者方程，可求出交点坐标.18.【答案】（1）证明见解析；（2）233. 【解析】【分析】（1）连接11B D ，设11111B D AC O ⋂=，连接1DO ，证明11B O DO 是平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明.（2）由题意可得平面11DAC ⊥平面11B D DB ，过点O 作1OH DO ⊥于H ，在矩形11B D DB 中，连接1OO ，可得1OOD OHD ∽△△，由三角形相似，对应边成比例即可求解. 【详解】（1）证明：连接11B D ，设11111B D AC O ⋂=，连接1DO .11//O B DO 且11O B DO =，11B O DO ∴是平行四边形.11//BO DO ∴.又1DO ⊂平面11DA C ，1B O ⊂/平面11DA C ，1//B O ∴平面11DA C .（2）1111AC B D ⊥，111AC BB ⊥，且1111BBB D B ⋂=， 11AC ∴⊥平面11BD DB . ∴平面11DAC ⊥平面11B D DB ，且交线为1DO .在平面11B D DB 内，过点O 作1OH DO ⊥于H ，则OH ⊥平面11DA C ， 即OH 的长就是点O 到平面11DA C 的距离.在矩形11B D DB 中，连接1OO ，1OOD OHD ∽△△，则11O D ODO O OH=，3OH ∴==即点O 到平面11DA C的【点睛】关键点点睛：本题考查了线面平行的判定定理，点到面的距离，解题的关键是过点O 作1OH DO ⊥于H ，得出OH 的长就是点O 到平面11DA C 的距离，考查了计算能力.19. 【答案】（1）32a =；（2）()1,2. 【解析】【分析】（1）令()1f a =，分0a >和0a ≤两种情况解方程，求出a 的值； （2）在同一坐标系内分别作出1()=y f x 和2y m =的图像，观察交点的个数求出m 的取值X 围.【详解】（1）当0a >，()1f a =即2321a a -+=，解得a =，均满足条件. 当0a ≤时，0a e >，11a e +>，()1f a ∴=无解.故a =. （2）如图示，在同一坐标系内分别作出1()=y f x 和2y m =的图像，当0x ≤时，()f x 单调递增，()12f x <≤；当0x >时，()f x 在30,2⎛⎤⎥⎝⎦上递减，在3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增，3124f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故当12m <<时，方程()0f x m -=恰有三个解，即实数的取值X 围是()1,2.【点睛】分离参数法求参数的X 围：数形结合求零点个数的问题是转化为()f x k =，分别做出1()=y f x 和2y k =的图像，观察交点的个数即为零点的个数，根据交点个数求出m 的取值X 围.20. 【答案】(1)证明见解析；6【解析】【分析】(1)利用线面垂直的判定可证得BC ⊥平面PAC ,则平面PBC ⊥平面PAC ,由AF PC ⊥,进而可得AF ⊥平面PBC ,即可证得结论.(2)由AF ⊥平面PBC ,则EF 就是AE 在平面PBC 内的射影,AEF ∠即为AE 与平面PBC 所成的角,计算即可求得结果. 【详解】(1)证明：PA ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC .BC PA ∴⊥.又BC AC ⊥,PA AC A =,BC ∴⊥平面PAC .考试∴平面PBC ⊥平面PAC .又平面PBC平面PAC PC =,AF ⊂平面PAC ,AF PC ⊥,AF ∴⊥平面PBC .又PB ⊂平面PBC ,AF PB ∴⊥.(2)由(1)知AF ⊥平面PBC ,连结EF ,则EF 就是AE 在平面PBC 内的射影.AEF ∴∠就是AE 与平面PBC 所成的角.22PB =2BC =2AC =,222336AF ==. 2AE =.在Rt AFE 中,6sin AF AEF AE ∠==. AE ∴与平面PBC 6. 21. 【答案】（1）()22x xf x -=-，()()22x x g x -=-+；（2）(,1]∞-.【解析】【分析】（1）用x -代替x 代入1()()2x f x g x +-=中，得到另外一个式子，用方程思想求解()f x 与()g x 的解析式即可.（2）化简不等式，分离参数，转化为22()121x h x =-+求值域的问题.【详解】（1）用x -代替x 代入1()()2x f x g x +-=中，得1()()2xf xg x ----=，()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，1()()2x f x g x -∴--=，上式与1()()2x f x g x +-=联立，可得()22x xf x -=-，()()22x x g x -=-+.（2）()()0f x mg x ->即()2222x xxxm --->+，222121xx m -<+. 令2221()21x x h x -=+，则22()121x h x =-+.x ∈R ，2211x ∴+>，210121x <<+，222021--<<+x ，2211121x -<-<+. 1m ∴≤-，即实数m 的取值X 围是(,1]∞-.【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论： (1)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ； (2)a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .22.【答案】（1）224x y +=；（2）3k =±；（3）直线MN 过定点(2,2)-. 【解析】【分析】（1）由Q 为PA 的中点，得122OQ PB ==，点Q 的轨迹是以O 为圆心，2为半径的圆，直接写出圆的方程；（2）利用垂径定理，把△OST 的面积表示出来，求出斜率k ； （3）先表示出MN 的方程，在整理成点斜式002(2)2x y x x --=++，证明过定点（-2,2）. 【详解】（1）由题意知122OQ PB ==，则点Q 的轨迹E 是以O 为圆心，2为半径的圆，其方程为224x y +=.（2）设O 到直线l 的距离为d ，则ST =由△OST 12d ⋅⋅d = 1.当1d =时，SOT ∠为钝角，舍去，故d ==k =. （3）当1k =时，:2l y x =+.CM OM ⊥，CN ON ⊥，C ∴，M ，O ，N 四点在以OC 为直径的圆上.设()00,2C x x +，则以OC 为直径的圆的方程为()2220002022224x x x x x y +++⎫⎫⎛⎛-+-=⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭ 即()220020x y x x x y +--+=.()()2200002220,2404.x y x x x y x x x y x y ⎧+--+=⇒++-=⎨+=⎩. 设()11,M x y ，()22,N x y ，则()0101240x x x y ++-=，()0202240x x x y ++-=.M ，N 的坐标都适合方程()00240x x x y ++-=，即直线MN 的方程为()00240x x x y ++-=，可整理为002(2)2x y x x --=++， ∴直线MN 过定点(2,2)-.【点睛】（1）待定系数法、定义法是求二次曲线标准方程的常用方法；（2）解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算（3）证明直线过定点，通常有两类：①直线方程整理为斜截式y=kx+b ，过定点(0,b )；②直线方程整理为点斜式y - y o =k (x- x 0)，过定点(x 0,y 0) ．。

河南省林州市第一中学分校（林虑中学）2019-2020学年高二下学期开学检测数学（文）试题一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.某商场为了了解不同厂家生产的散装面包的月销售量与售价之间的关系，随机统计了某几个月的月销售量与当月各散装面包的售价，相关数据如下表：售价（元/千克）0月销售量（千克）136A. B. C. D.2.下列说法错误的是A. 在回归模型中，预报变量的值不能由解释变量唯一确定B. 若变量满足关系，且变量与正相关，则与也正相关C. 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，3.有一散点图如图所示，在个数据中去掉后，下列说法正确的是A. 残差平方和变小B. 相关系数变小C. 相关指数变小D. 解释变量与预报变量的相关性变弱4.把正整数按如图所示的规律排序，则从到的箭头方向依次为A. B. C. D.5.已知复数在复平面内对应点的坐标为，则复数的虚部为A. B. C. D.6.甲、乙、丙、丁四人参加某超市抽奖活动，甲说：我没中奖；乙说：甲中奖了；丙说：我也没中奖；丁说：乙中奖了．已知四人中只有一人说的是真话，由此可见A. 甲中奖B. 乙中奖C. 丙中奖D. 丁中奖7.直线（为参数）被曲线所截的弦长是A. B. C. D.8.已知为虚数单位，复数满足，则为A. B. C. D.9.执行如图所示的程序框图，若输入的值为，则输出的值为A. B. C. D.10.为了调查患胃病是否与生活不规律有关，在患胃病与生活不规律这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是A. 越大，“患胃病与生活不规律没有关系”的可信程度越大B. 越大，“患胃病与生活不规律有关系”的可信程度越小C. 若计算得，经查临界值表知，则在个生活不规律的人中必有人患胃病D. 从统计量中得知有的把握认为患胃病与生活不规律有关，是指有的可能性使得推断出现错误11.不等式无实数解，则的取值范围是A. B. C. D.12.已知，且，则的最大值为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.双曲线：经过：变换后所得曲线的焦点坐标为 .14.在极坐标系中，曲线上任意两点间的距离的最大值为 .15.已知为虚数单位，复数的共轭复数为，则.16.观察下列等式，，，，照此规律， .三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（1）设都是正数，求证：；（2）证明：求证.18.已知复数满足（是虚数单位）．求：（1）；（2）.19.设函数.（1）解不等式：；（2）若对一切实数均成立，求的取值范围.20.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），直线的参数方程为（为参数）.（1）若与相交，求实数的取值范围；（2）若，设点在曲线上，求点到的距离的最大值，并求此时点的坐标.21.在新型冠状病毒流行期间，郑州一中进行线上期中考试，对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于分为优秀，分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部中随机抽取人为优秀的概率为优秀非优秀的概率为.优秀非优秀总计甲班乙班总计（1）请完成上面的列联表；（2）根据列联表的数据，若按的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；（3）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的名学生从到进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到号或号的概率.参考公式与临界值表：；.22.某企业积极响应国家“科技创新”的号召，大力研发人工智能产品，为了对一批新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据如下表所示：试销单价（百元）产品销量（件）附：参考公式：，，参考数据：，，.（1）求的值；（2）已知变量具有线性相关关系，求产品销量（件）关于试销单价（百元）的线性回归方程（计算结果精确到整数位）；（3）用表示用正确的线性回归方程得到的与对应的产品销量的估计值，当销售数据的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“有效数据”，现从这组销售数据中任取组，求抽取的组销售数据都是“有效数据”的概率.林虑中学2018级高二下学期开学检测数学（文）答案1.【答案】B【解析】由表格得为，又在回归方程上，所以，解得，所以，当时，，故在样本处的残差为 . 2.【答案】B【解析】对于A，除了受自变量影响之外还受其他因素的影响，故A正确；对于B，变量，满足关系，则变量与负相关，又变量与正相关，则与负相关，故B错误；对于C，由残差图的意义可知正确；对于D，∵，∴两边取对数，可得，令，可得，∵，∴，，∴，即D正确.3.【答案】A【解析】∵从散点图可分析得出：只有点偏离直线远，去掉点，变量与变量的线性相关性变强，∴相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小.4.【答案】B【解析】由图形的变化趋势可知，箭头的变化方向以为周期，，，，故的箭头方向同的箭头方向.5.【答案】B【解析】由题意知：，∴，∴复数的虚部为.6.【答案】C【解析】若甲中奖，则乙和丙说的是真话，不符合题意；若乙中奖，则甲、丙和丁说的是真话，不符合题意；若丙中奖，则只有甲说的是真话，符合题意；若丁中奖，则甲和丙说的是真话，不符合题意．所以是丙中奖.7.【答案】A【解析】将方程，分别化为普通方程，，所以圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为，所以弦长 .8.【答案】A【解析】∵，∴，∴ .9.【答案】C【解析】执行程序框图，，；，，；，，；，，；，，；，，，结束循环，输出 .10.【答案】D【解析】越大，“患胃病与生活不规律没有关系”的可信程度越小，则“患胃病与生活不规律有关系”的可信程度越大；A，B不正确；是检验患胃病与生活不规律相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，C不正确.11.【答案】C【解析】由绝对值不等式的性质可得：，即 .因为无实数解，所以 .12.【答案】B【解析】由柯西不等式得：，∴，当且仅当时，等号成立.13.【答案】，【解析】根据变换可得曲线：，该双曲线的，，解得，，故其焦点坐标为， .14.【答案】【解析】曲线，化简，，，化简得，，表示半径为的圆，所以任意两点间的距离的最大值为直径 .15.【答案】【解析】复数的共轭复数为，， .16.【答案】【解析】因为，，，，所以由此可猜想 .17.【答案】（1）由题意，因为，所以，当且仅当时，等号成立.（2）证明：要证，只需证明，即证明，也就是证明，上式显然成立，故原不等式成立.18.【答案】（1） .（2），，∴ .19.【答案】（1）因为，所以，①当时，，解得，所以；②当时，，解得，所以；③当时，，解得，所以；综上所述，的解为 .（2）若，对一切实数均成立，则，解得，故所求的取值范围为 .（1）由题意可知的普通方程为，直线的普通方程为，将与的方程联立，得，因为与相交，所以，整理得，解得，所以实数的取值范围是 .（2）当时，的普通方程为，设点，则点到的距离：，其中，，又因为，所以当，即时，，所以，，所以 .21.【答案】（1）优秀非优秀总计甲班乙班总计（2）假设成绩与班级无关，则，故按的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”.（3）设“抽到号或号”为事件，先后两次抛掷一枚均匀的正方体骰子，出现的点数为 .所有的基本事件有，，，，，共个.事件包含的基本事件有，，，，，，共个. ∴，即抽到号或号的概率为 .（1）由，得，解得 .（2）∵，而，，，∴，（或同样得分），所求的线性回归方程为：（或同样得分）.（3）当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，满足条件的“有效数据”有：，，，共个，记，，，，，，从组销售数据中任取组，基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共种，抽取的组销售数据都是“有效数据”的事件有：，，，，，，共种，所以抽取的组销售数据都是“有效数据”的概率为 .。

2019-2020年高一下学期开学考试数学试题 含答案(I)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{1,2}A =，则满足{1,2,3}AB =的集合B 的个数是（ ）A ．1B ．3C ．4D ．82.已知向量,a b 不共线，且AB a b λ=+，AC a b μ=+，则点,,A B C 三点共线应满足（ ）A ．2λμ+=B ．1λμ-=C ．1λμ=-D ．1λμ=4.若(1)f x +的定义域为[0,1]，则函数(22)x f -的定义域为（ ）A ．2[log 3,2]B ．[0,1]C ．5[,1]2-- D ．[0,2] 5.若,A B 是锐角ABC ∆的两个内角，则点(cos sin ,sin cos )P B A B A --在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6.函数212log (56)y x x =-+的单调递增区间为（ ）A ．5(,)2+∞ B ．(3,)+∞ C ．5(,)2-∞ D ．(,2)-∞ 7.已知函数122,0(),0x x f x x x -⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，0()1f x >，则0x 的取值范围为（ ）A ．(,1)(1,)-∞-+∞B ．(,2)(2,)-∞-+∞C ．(,0)(1,)-∞+∞D ．(,3)(2,)-∞-+∞8.已知1cos 3α=，1cos()3αβ+=-，且,(0,)2παβ∈，则cos()αβ-=（ ） A ．12- B ．12 C ．13- D ．23279.已知0x 是函数1()21x f x x =+-的一个零点，若10(1,)x x ∈，20(,)x x ∈+∞，则（ ） A ．12()0,()0f x f x << B ．12()0,()0f x f x <> C ．12()0,()0f x f x ><D ．12()0,()0f x f x >>10.定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(4)()f x f x -=且(1,0)x ∈-时，1()25x f x =+，则2(log 20)f =（ ） A ．1 B ．45 C ．-1 D ．45- 11.若,,a b c 均为单位向量，且0a b ∙=，()()0a c b c -∙-≤，则||a b c +-的最大值为（ ）A 1B ．1C ．212.设函数2()43f x x x =-+，20()1,0x g x x x ⎧>⎪=⎨-≤⎪⎩，则关于x 的方程[()]1g f x =的实数根个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.= . 14.若不等式2log 0m x x -<在1(0,)2内恒成立，则实数m 的取值范围为 .15.若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 . 16.已知ABC ∆满足||3AB =，||4AC =，O 是ABC ∆所在平面内一点，满足||||||OA OB OC ==，且1()2AO AB AC R λλλ-=+∈，则cos BAC ∠= . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知函数2(2)23x f x ax =-+（其中a 为常数）.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若函数()y f x =在1[,8]2上的最小值为-1，求a 的值.18. （本小题满分12分） 已知函数2()cos ()12f x x π=+，1()1sin 22g x x =+. （1）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值；（2）设函数()()()h x f x g x =+，若不等式|()|1h x m -≤在5[,]1212ππ-上恒成立，求实数m 的取值范围.19. （本小题满分12分）如图，现要在一块半径为1m ，圆心角为3π的扇形纸报AOB 上剪出一个平行四边形MNPQ ，使点P 在弧AB 上，点Q 在OA 上，点,M N 在OB 上，设BOP θ∠=，平行四边形MNPQ 的面积为S .（1）求S 关于θ的函数关系式；（2）求S 的最大值及相应的θ角.20. （本小题满分12分）设函数()f x 的定义域是(0,)+∞，对任意正实数,m n 恒有()()()f mn f m f n =+，且当1x >时，()0f x >，(2)1f =.（1）求1()2f 的值；（2）求证：()f x 在(0,)+∞上是增函数；（3）求方程4sin ()x f x =的根的个数.21. （本小题满分12分）如图，梯形ABCD 中，//AD BC ，AD AB ⊥，1AD =，2BC =，3AB =，P 是AB 上的一个动点，CPB α∠=，DPA β∠=.（1）当PD PC ∙最小时，求tan DPC ∠的值；（2）当DPC β∠=时，求PD PC ∙的值.22. （本小题满分12分）定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M >，都有|()|f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界. 已知函数11()1()()24x x f x a =++，221()1mx g x mx-=+. （1）当1a =时，求函数()f x 在(,0]-∞上的值域，并判断函数()f x 在(,0]-∞上是否为有界函数，说明理由；（2）若函数()f x 在[0,)+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围；（3）已知1m >-，函数()g x 在[0,1]上的上界是()T m ，求()T m 的取值范围.。

2019-2020学年高一下学期开学考试数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若sinα=﹣，且α为第四象限角，则tanα的值等于（）A．B．﹣C．﹣D．2．设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n3．经过点（﹣1，2）且与直线3x﹣5y+6=0垂直的直线的方程为（）A．3x﹣5y+13=0 B．5x+3y﹣1=0 C．5x+3y+1=0 D．5x﹣3y+11=04．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．15 B．20 C．30 D．605．要得到函数y=sin（2x﹣）的图象，应该把函数y=sin2x的图象（）A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移6．已知等差数列{an }中a3+a9+a15=9，则数列{an}的前17项和S17=（）A．102 B．36 C．48 D．517．已知双曲线的焦点分别为（0，﹣2）、（0，2），且经过点P（﹣3，2），则双曲线的标准方程是（）A． =1 B． =1 C．y2﹣=1 D． =18．设变量x，y满足约束条件目标函数z=x﹣2y的最大值是（）A．﹣4 B．2 C．D．9．阅读如图所示的程序框图，则输出的S的值是（）A．B．C．D．10．在区间[﹣1，1]上任取两个实数x，y，则满足不等式的概率为（）A．B．C．D．11．已知F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，|AB|=8，则|AF2|+|BF2|=（）A．2 B．10 C．12 D．1412．N为圆x2+y2=1上的一个动点，平面内动点M（x0，y）满足|y|≥1且∠OMN=30°（O为坐标原点），则动点M运动的区域面积为（）A．﹣2B．﹣C． +D． +二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上13．若||=2，||=4，且（+）⊥，则与的夹角是．14．设x＞0，y＞0且x+2y=1，求+的最小值．15．直线l：x﹣2y+2=0过椭圆的左焦点F和一个顶点B，该椭圆的离心率为．116．已知△ABC的周长为26且点A，B的坐标分别是（﹣6，0），（6，0），则点C的轨迹方程为．三、解答题：本大题共5小题，共52分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．已知，求实数m的取值范围．18．如图，矩形草坪AMPN中，点C在对角线MN上．CD垂直于AN于点D，CB垂直于AM于点B，|CD|=|AB|=3米，|AD|=|BC|=2米，设|DN|=x米，|BM|=y米．求这块矩形草坪AMPN面积的最小值．19．设a是实数，函数f（x）=a﹣（x∈R），（1）若已知（1，2）为该函数图象上一点，求a的值．（2）证明：对于任意a，f（x）在R上为增函数．20．已知函数f（x）=x2﹣2ax+a．（1）若对任意的实数x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，求实数a的值；（2）若f（x）在区间[1，+∞）上为单调增函数，求实数a的取值范围；（3）当x∈[﹣1，1]时，求函数f（x）的最大值．21．在区间D上，如果函数f（x）为减函数，而xf（x）为增函数，则称f（x）为D上的弱减函数．若f（x）=（1）判断f（x）在区间[0，+∞）上是否为弱减函数；（2）当x∈[1，3]时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；（3）若函数g（x）=f（x）+k|x|﹣1在[0，3]上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．2019-2020学年高一下学期开学考试数学试卷答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若sinα=﹣，且α为第四象限角，则tanα的值等于（）A．B．﹣C．﹣D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】根据同角三角函数的基本关系以及三角函数在各个象限中的符号，求得cosα的值，可得tanα的值．【解答】解：∵sinα=﹣，且α为第四象限角，∴cosα==，则tanα==﹣，故选：C．2．设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，故选：C．3．经过点（﹣1，2）且与直线3x﹣5y+6=0垂直的直线的方程为（）A．3x﹣5y+13=0 B．5x+3y﹣1=0 C．5x+3y+1=0 D．5x﹣3y+11=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】设与直线3x﹣5y+6=0垂直的直线的方程为5x+3y+m=0，把（﹣1，2）代入即可得出．【解答】解：设与直线3x﹣5y+6=0垂直的直线的方程为5x+3y+m=0，把（﹣1，2）代入可得：﹣5+6+m=0，解得m=﹣1．∴要求的直线方程为：5x+3y﹣1=0．故选：B．4．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．15 B．20 C．30 D．60【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图可知该几何体是一个直三棱柱：底面是一个直角边长分别为3，4的直角三角形，高为5．据此可计算出答案．【解答】解：由三视图可知该几何体是一个直三棱柱：底面是一个直角边长分别为3，4的直角三角形，高为5．∴==30．故选C．5．要得到函数y=sin（2x﹣）的图象，应该把函数y=sin2x的图象（）A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】化简函数表达式，由左加右减上加下减的原则判断函数的平移的方向．【解答】解：要得到函数y=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）]的图象，需要将函数y=sin2x 的图象，向右平移单位即可．故选：D．6．已知等差数列{an }中a3+a9+a15=9，则数列{an}的前17项和S17=（）A．102 B．36 C．48 D．51【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和求解．【解答】解：∵等差数列{an }中a3+a9+a15=9，∴3a9=9．解得a9=3，∴数列{an }的前17项和S17==17a9=51．故选：D．7．已知双曲线的焦点分别为（0，﹣2）、（0，2），且经过点P（﹣3，2），则双曲线的标准方程是（）A． =1 B． =1 C．y2﹣=1 D． =1【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，可以确定双曲线的焦点在y轴上，且c=2，进而可以设其标准方程为：﹣=1，分析可得a2+b2=4，①以及﹣=1②；联立解可得a2、b2的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，由于双曲线的焦点分别为（0，﹣2）、（0，2），则其焦点在y轴上，且c=2，可以设其标准方程为：﹣=1，且a2+b2=4，①又由其经过点P（﹣3，2），则有﹣=1，②联立①②解可得a2=1，b2=3，则其标准方程为：y2﹣=1．故选：C．8．设变量x，y满足约束条件目标函数z=x﹣2y的最大值是（）A．﹣4 B．2 C．D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z=x﹣2y中，z的几何意义，通过直线平移即可得到z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x﹣2y，得y=，平移直线y=，当直线y=经过点A时，直线的在y轴上的截距最小，此时z最大，由，解得，即A（2，0），此时z的最大值为z=2﹣2×0=2．故选：B．9．阅读如图所示的程序框图，则输出的S的值是（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：s=0，n=2，第一次循环，i=1≤8，s=，n=3，i=2；第二次循环，i=2≤8，s=，n=4，i=3；第三次循环，i=3≤8，s=，n=5，i=4；…，第八次循环，i=8≤8，s=，n=9，i=9＞8，输出s=，故选：A．10．在区间[﹣1，1]上任取两个实数x，y，则满足不等式的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意可知不等式的区域为边长为2的正方形，面积为4，的区域是圆的外面的区域，面积S=4﹣，代入概率公式即可求解【解答】解：由题意可得，的区域为边长为2的正方形，面积为4∵的区域是圆的外面的阴影区域，其面积S=4﹣P==1﹣故选D11．已知F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，|AB|=8，则|AF2|+|BF2|=（）A．2 B．10 C．12 D．14【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据已知条件，由椭圆定义知：|AB|+|AF2|+|BF2|=4a，由此能求出结果．【解答】解：椭圆中，a=5，∵F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，∴由椭圆定义知：|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=20，∵|AB|=8，∴|AF2|+|BF2|=20﹣8=12．故选：C．12．N为圆x2+y2=1上的一个动点，平面内动点M（x0，y）满足|y|≥1且∠OMN=30°（O为坐标原点），则动点M运动的区域面积为（）A．﹣2B．﹣C． +D． +【考点】轨迹方程．【分析】由题意，过M作⊙O切线交⊙O于T，可得∠OMT≥30°．由此可得|OM|≤2．得到动点M运动的区域满足（|y|≥1）．画出图形，利用扇形面积减去三角形面积求得动点M运动的区域面积．【解答】解：如图，过M作⊙O切线交⊙O于T，根据圆的切线性质，有∠OMT≥∠OMN=30°．反过来，如果∠OMT≥30°，则⊙O上存在一点N使得∠OMN=30°．∴若圆C上存在点N，使∠OMN=30°，则∠OMT≥30°．∵|OT|=1，∴|OM|≤2．即（|y|≥1）．把y=1代入，求得A（），B（），∴，∴动点M运动的区域面积为2×（）=．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上13．若||=2，||=4，且（+）⊥，则与的夹角是．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用两个向量垂直，它们的数量积等于0，即（+）•=+=0，求得 cos＜，＞=﹣，故＜，＞=．【解答】解：由题意得（+）•=+=4+2×4 cos＜，＞=0，∴cos＜，＞=﹣，∴＜，＞=，故答案为．14．设x＞0，y＞0且x+2y=1，求+的最小值3+2．【考点】基本不等式．【分析】根据题意，x+2y=1，对于可变形为（x+2y）•（），相乘计算可得，3+，由基本不等式的性质，可得答案．【解答】解：根据题意，x+2y=1，则=（x+2y）•（）=3+≥3+2=3+2，故答案为3+2．和一个顶点B，该椭圆的离心率为．15．直线l：x﹣2y+2=0过椭圆的左焦点F1【考点】椭圆的简单性质．的坐标【分析】根据题意，由直线的方程可得其与坐标轴交点的坐标，即可得椭圆中焦点F1和顶点B的坐标，即可得c、b的值，由椭圆的几何性质可得a的值，由离心率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，直线l的方程为x﹣2y+2=0，与x轴交点坐标为（﹣2，0），与y轴交点坐标为（0，1）；和一个顶点B，又有直线l：x﹣2y+2=0过椭圆的左焦点F1的坐标（﹣2，0），顶点B的坐标为（0，1），则有F1则有c=2，b=1，a==，故其离心率e==；故答案为：．16．已知△ABC的周长为26且点A，B的坐标分别是（﹣6，0），（6，0），则点C的轨迹方程为=1（x≠±7）．【考点】轨迹方程．【分析】由题意可得|BC|+|AC|=14＞AB，故顶点A的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，除去与x 轴的交点，利用椭圆的定义和简单性质求出a、b 的值，即得顶点C的轨迹方程．【解答】解：由题意可得|BC|+|AC|=14＞AB，故顶点A的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，除去与x轴的交点．∴2a=14，c=6，∴b=，故顶点C的轨迹方程为=1（x≠±7）．故答案为=1（x≠±7）．三、解答题：本大题共5小题，共52分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．已知，求实数m的取值范围．【考点】幂函数的性质．【分析】根据函数的单调性得到关于m的不等式，解出即可．【解答】解：（1）设函数，函数为R上的单调递增函数…得，m2+m≤﹣m+3…即，m2+2m﹣3≤0…得，（m﹣1）（m+3）≤0所以，m的取值范围为：m∈[﹣3，1]…18．如图，矩形草坪AMPN中，点C在对角线MN上．CD垂直于AN于点D，CB垂直于AM于点B，|CD|=|AB|=3米，|AD|=|BC|=2米，设|DN|=x米，|BM|=y米．求这块矩形草坪AMPN面积的最小值．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】由题意，表示出矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．【解答】解：由题意…．SAMPN=（x+2）（y+3）=xy+3x+2y+6=12+3x+2y…．…．当且仅当3x=2y，即x=2，y=3时取得等号．…．面积的最小值为24平方米．…．19．设a是实数，函数f（x）=a﹣（x∈R），（1）若已知（1，2）为该函数图象上一点，求a的值．（2）证明：对于任意a，f（x）在R上为增函数．【考点】函数的图象．【分析】（1）代值计算即可求出a（2）运用函数的定义判断证明函数的单调性，先在取两个值x1，x2后进行作差变形，确定符号，最后下结论即可．【解答】解：（1）．（2）证明：设任意x1，x2∈R，x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）===，由于指数函数y=2x在R上是增函数，且x1＜x2，所以即，又由2x＞0，得，，∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2），所以，对于任意a，f（x）在R上为增函数．20．已知函数f（x）=x2﹣2ax+a．（1）若对任意的实数x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，求实数a的值；（2）若f（x）在区间[1，+∞）上为单调增函数，求实数a的取值范围；（3）当x∈[﹣1，1]时，求函数f（x）的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）由对任意的实数x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，可知：函数f（x）的对称轴为x=1，即可得出a．（2）函数f（x）=x2﹣2ax+a的图象的对称轴为直线x=a．根据y=f（x）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，得a≤1．（3）函数图象开口向上，对称轴x=a，对a分类讨论即可得出．【解答】解：（1）由对任意的实数x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，可知：函数f（x）的对称轴为x=1，即a=1．（2）函数f（x）=x2﹣2ax+a的图象的对称轴为直线x=a．y=f（x）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，得，a≤1．（3）函数图象开口向上，对称轴x=a，当a＜0时，x=1时，函数取得最大值为：f（x）max=1﹣a．当a＞0时，x=﹣1时，函数取得最大值为：f（x）max=1+3a．当a=0时，x=±1时，函数取得最大值为：f（x）max=1．21．在区间D上，如果函数f（x）为减函数，而xf（x）为增函数，则称f（x）为D上的弱减函数．若f（x）=（1）判断f（x）在区间[0，+∞）上是否为弱减函数；（2）当x∈[1，3]时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；（3）若函数g（x）=f（x）+k|x|﹣1在[0，3]上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．【考点】函数单调性的性质．【分析】（1）利用初等函数的性质、弱减函数的定义，判断是[0，+∞）上的弱减函数．（2）根据题意可得，再利用函数的单调性求得函数的最值，可得a的范围．（3）根据题意，当x∈（0，3]时，方程只有一解，分离参数k，换元利用二次函数的性质，求得k的范围．【解答】解：（1）由初等函数性质知，在[0，+∞）上单调递减，而在[0，+∞）上单调递增，所以是[0，+∞）上的弱减函数．（2）不等式化为在x∈[1，3]上恒成立，则，而在[1，3]单调递增，∴的最小值为，的最大值为，∴，∴a∈[﹣1，]．（3）由题意知方程在[0，3]上有两个不同根，①当x=0时，上式恒成立；②当x∈（0，3]时，则由题意可得方程只有一解，根据，令，则t∈（1，2]，方程化为在t∈（1，2]上只有一解，所以．。