高数 A2

……………………………… 密 ……………………………… 封 ………………………………… 线 ………………………………安 徽 工 业 大 学 工 商 学 院 试 题 纸（一）2007 ~ 2008学年第二学期期末考试《 高等数学A2》试卷(A 卷)一、选择题(共4分×6)(将结果填入下表中: ) 1、函数),(y x f z =在),(y x 点有偏导数是它在该点连续的( ).(A)充分而非必要条件； （B ）必要而非充分条件；(C)充分必要条件； （D ）既非充分又非必要条件.2、设),2ln(),(xy x y x f += 则=)0,1(y f ( ）.(A) 21-； (B)21； (C) 0； (D) 1.3、函数3121x cx y -=(c 为任意常数)是微分方程222x dxy d -=的（ ).(A)解,但既非通解又非特解； (B)通解;(C)特解; (D)不是解.4、函数y x xy y x z 84222-+++-=的驻点是（ ）. （A ）(-1,3); （B ）(3,-1); （C ）(3, 1); （D ）(-1,-3).5、二阶线性非齐次方程xe x y y y )1(2-=+'-''的特解形式是（ ）.(A)x e b ax )(+; （B ）xe bx ax )(2+; (C)xe bx ax )(23+; （D ）xe bx ax )(3+.6、设级数∑∞=1)1(!3n nn nn 与级数∑∞=1)2(!2n nnnn , 则成立（ ）.(A)级数(1)、(2)均收敛; (B)级数(1)、(2)均发散.; (C)级数(1)收敛, 级数(2)发散; (D)级数(1)发散, 级数(2)收敛二、填空题(共4分×6)1、设),(v u f 有连续偏导数,且),(yxe ef z =, 则=dz __________________.2、级数∑∞=+1623n nnn 的和是__________.3、)(x f 在某区域内有连续导数, 若积分⎰+Ly dy x f xdx e ])([2与路径无关, 则.____________________)(=x f4、设一个二阶常系数线性齐次微分方程的特征方程有两个特征根,为-2和3,则此微分方程是________________________, 其通解为___________________________.5、设Ω是由光滑闭曲面∑围成的空间区域,其体积是V , 则沿∑内侧的曲面积分⎰⎰∑=-+-+-.______________)2()3()(dxdy y z dzdx x y dydz z x6、设平面上力j xy i y F 32+-=, 在力F 的作用下, 质点沿曲线L 运动, 则力F 所做的功用曲线积分表示为__________________________.三、解答题(共47分) 1、[5分]求曲面1232=+z xy 在点(1,-2,2)处的切平面与法线方程.2、[5分]计算积分: ⎰⎰ππydx xx dy sin 0.3、[5分]求微分方程满足初始条件的特解: ⎪⎩⎪⎨⎧==+1)0(y ey dx dy x .高数试卷A2(A 卷)（第1页）……………………………… 密……………………………… 封 ………………………………… 线 ………………………………安 徽 工 业 大 学 工 商 学 院 试 题 纸（二）4、[5分]用重积分算出半球体0,2222≥≤++z a z y x 的体积V .(用其它方法不给分)5、[5分]),(v u f 可微, 且32),(x x x f =, 422),(x x x x f u -=,求 ),(2x x f v .6、 [5分]设L 是圆周x y x 222=+的正向曲线,计算第二类曲线积分dy y xydx y x x I L⎰-+-=)()(3223. (注:163cossin204204πππ⎰⎰==xdx xdx )7、[6分]求幂级数∑∞=-1)3(n nnx 的收敛域(含端点讨论).8、[6分]求幂级数∑∞=-11n n nx 在(-1,1)上的和函数.9、[5分]设222),,(z y x z y x f ++= ，求函数在点M （1，1，0）沿方向)1,2,1(=l的方向导数lf ∂∂.四、[5分]计算二重积分：,)1ln(2dxdy y y x I D⎰⎰++=其中D 由x y 3-=，24x y -=，x = 1 所围成的闭区域.五、附加题 [6分]设微分分方程0)4(32='++''y ey y(1)若把x 看成未知函数，y 看成自变量，则方程化成什么形式； (2)求此方程的通解.高数试卷A2(A 卷)（第2页）。

1. 已知(3)(75),(4)(72)a b a b a b a b a b +⊥--⊥- ，求向量与的夹角。

(3π)2在直线4226x y z m n p--==+方程中，m,n,p 取怎样的值，直线与坐标面xoy,yoz 都平行。

（0,0,6m n p =≠=-）3. 直线321021030x y z x y z +++=⎧⎨--+=⎩与平面 4220x y z -+-=的位置关系是（ ）. A.直线在平面内； B.平行但不在平面内； C.垂直； D.相交但不垂直.4.求曲线21,1t t x y z t t t+===+，在2t =处的切线方程。

5.求曲线22221010x z y z ⎧+=⎨+=⎩在(1,1,3)处的切线方程。

（113331x y z ---==-） 6. 求曲面2222321x y z ++=平行于平面460x y z ++=切平面方程。

7.设函数222222221()sin ,0()(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩，在点(0,0)处的连续性与可导性。

8.求旋转抛物面22z x y =+与平面22x y z +-=之间的最短距离。

)()22(61),,(222y x z z y x z y x F --+--+=λ构造拉格朗日函数： 8．设22(,)()x z f xy g x y y =+-，其中函数,f g 具有二阶连续偏导数，求2z x y∂∂∂. 9.设,z x y z e dz ++=求。

10.对20020(,)(,)x dx f x y dy f x y dy +⎰⎰交换积分次序后是（ ）.A220(,)dy f x y dx ⎰；B 200(,)dy f x y dx ⎰；C 2220(,)y dy f x y dx ⎰⎰；D 20(,)y dy f x y dx ⎰.11. 计算二重积分（1）2y D xedxdy -⎰⎰，其中D 是以(0,0)(1,1)(0,1)，，为顶点的三角形区域。

大一高数a2知识点总结大一的高等数学A2课程是大家所共有的一门基础课程，是建立在A1课程的基础之上。

本文将对大一高数A2课程的一些重要知识点进行总结，希望对大家的学习有所帮助。

函数及其图像在A2课程中，我们首先学习了函数的概念及其图像。

函数是一种特殊的关系，它将一个自变量的集合映射到一个因变量的集合。

函数的图像是函数在坐标系中的表示，通过描绘函数的图像，我们可以更直观地理解函数的性质。

常见的函数类型包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

我们需要了解它们的定义、性质以及它们的图像特征。

通过观察和分析函数的图像，我们可以获得函数的增减性、极值点、曲线的对称性等重要信息。

导数与微分在函数的研究中，导数是一个非常重要的概念。

导数描述了函数在某一点的变化率，是函数曲线切线的斜率。

导数的概念可以帮助我们研究函数的变化趋势、求解极值问题等。

通过定义和性质的学习，我们学会了求取函数的导数。

常见函数的导数公式及其推导也是我们学习的重点。

在应用导数的过程中，我们可以通过导数求解函数的增减区间、求取函数的最值、研究曲线的弧微分等问题。

微分是导数的一个应用，它描述了函数在某一点附近的变化情况。

微分的概念和计算上往往与导数密切相关，因此我们需要学会将导数与微分相互转化，并掌握微分的一些基本计算方法。

不定积分与定积分在函数的积分研究中，我们学习了不定积分和定积分。

不定积分是指对函数进行积分操作，得到的结果是一个不确定的函数（即原函数）。

定积分则是对函数在一定区间上的积分操作，得到的结果是一个确定的数值。

通过学习不定积分的计算方法，我们可以对常见函数进行求积表达。

需要掌握的内容包括基本积分公式、换元积分法、分部积分法等。

在求解定积分的过程中，我们需要了解积分的几何意义，研究函数在一定区间上的面积、弧长以及平均值等问题。

微分方程微分方程是大一A2课程的另一个重要内容。

它描述的是一个函数与它自身的导数之间的关系。

微分方程在自然科学和工程技术领域中有着广泛的应用。

2017－2018 学年第二学期阶段考试试题考试科目： 高等数学A2 （2） 试卷总分：100分一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总计20分）1、已知()()3,1,2,1,2,1a b =-=-，则32a b -+= ，(2)3a b -⋅= ，a b ⨯= ，b 在a 上的投影 .2、设sin 2(,)cos ln(1)x yf x y x y ex y +=++，则(0,0)(0,0)x y f f ''+= .3、曲线2,2,s i n x t y t t z t ==+=在00=t 处的切线方程为.4、曲面arctan14y xz π=+在点(2,1,0)-处的切平面方程为 . 5、函数23u xy z xyz =+-在点(1,1,2)M 处沿方向角为3πα=，4πβ=，3πγ=的方向的方向导数为 . 1、(7,1,4)-，42-，()3,1,52 2、1 3、121x y z== 4、210y z +-= 5、5 二、单选题（本大题共5小题，每小题4分，总计20分）1、直线1121x y z +==--和平面1x y z --=之间的位置关系为（ ）。

A 、平行； B 、垂直； C 、斜交； D 、直线在平面内。

2、空间直角坐标系中222254x y z x ⎧++=⎨=⎩表示的几何图形是（ ）.A 、圆;B 、球面;C 、柱面;D 、椭圆. 3、已知(,)f x y =，则（ ）.A 、()0,0x f '，()0,0y f '都存在；B 、()0,0x f '存在，()0,0y f '不存在；C 、()0,0x f '不存在，()0,0y f '存在；D 、()0,0x f '，()0,0y f '都不存在.4、二元函数220(,)00xy xy x yf x y xy ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点(0,0)处（ ）.A 、连续，偏导数存在；B 、连续，偏导数不存在；C 、不连续，偏导数存在；D 、不连续，偏导数不存在.5、设函数(,)u x y 在有界闭区域上连续，在D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足20u x y ∂≠∂∂及22220u ux y∂∂+=∂∂，则（ ）. A 、(),u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得； B 、(),u x y 的最大值和最小值都在D 的内部取得；C 、(),u x y 的最大值在D 的内部取得，(),u x y 的最小值在D 的边界上取得； D 、(),u x y 的最小值在D 的内部取得，(),u x y 的最大值在D 的边界上取得. 1、 D 2、 A 3、C 4、 C 5、A三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，总计60分） 1、求点(4,1,2)M 在平面1x y z ++=上的投影.()2,1,0-2、求极限()00x y xy →→. 12=-2017－2018 学年第二学期阶段考试试题3、设,x x z f xy g y y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数， 求zx ∂∂和2z x y∂∂∂.1211z f y f g x y y∂'=++∂ 2111222232311z x xf xy f f fg g x y y y y y∂'''=+⋅----∂∂4、设(,)z z x y =由方程3yz zx xy ++=确定，求z x ∂∂和z y∂∂.z z y x x y ∂+=-∂+ z z x y x y∂+=-∂+5、已知连续函数(,)z f x y =满足01,220x y f x y x y →→-+-=，证明(,)z f x y =在()0,1处可微，并计算()0,1dz .(0,1)2dz dx dy =-6、某工厂生产两种商品的日产量分别为x 和y （件），总成本函数()22,812C x y x xy y =-+（元）， 商品的限额为42x y +=，求最小成本.(25,17)8043C =。

高等数学作业AⅡ答案吉林大学公共数学教学与研究中心2018年3月第一次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．下列反常积分收敛的是( C )． （A ）⎰∞+2d ln x xx； （B ）⎰∞+2d ln 1x xx ； （C ）⎰∞+22d )(ln 1x x x ；（D ）⎰∞+2d ln 1x xx ．2．下列反常积分收敛的是（ D ） A ．0cos d x x +∞⎰B ．221d (1)x x -⎰C ．01d 1x x +∞+⎰D ．321d (21)x x +∞-∞+⎰3．设)(x f 、()g x 在],[b a 上连续，则由曲线)(x f y =，()y g x =，直线b x a x ==,所围成平面图形的面积为( C )．（A ）[()()]d ba f x g x x -⎰；（B ）[|()||()|]d baf xg x x -⎰；（C ）|()()|d b af xg x x -⎰； （D ）[()()]d b af xg x x -⎰．4．设曲线2y x =与直线4y =所围图形面积为S ，则下列各式中，错误的是 ( C )．（A ）2202(4)d S x x =-⎰；（B ）402d S y y =⎰； （C ）2202(4)d S x y =-⎰；（D ）402d S x x =⎰．5．设点(,sin )A x x 是曲线sin (0)y x x π=≤≤上一点，记()S x 是直线OA （O 为原点）与曲线sin y x =所围成图形的面积，则当0x +→时，()S x 与( D )．（A ）x 为同阶无穷小； （B ）2x 为同阶无穷小； （C ）3x 为同阶无穷小； （D ）4x 为同阶无穷小．6．设0()()g x f x m <<<（常数），则由(),(),,y f x y g x x a x b ====所围图形绕直线y m =旋转所形成的立体的体积等于( B )．（A ）π(2()())(()())d ba m f x g x f x g x x -+-⎰；（B ）π(2()())(()())d bam f x g x f x g x x ---⎰；（C ）π(()())(()())d bam f x g x f x g x x -+-⎰；（D ）π(()())(()())d bam f x g x f x g x x ---⎰．二、填空题 1．已知反常积分⎰∞+0d e 2x x ax 收敛，且值为1，则=a 12-．2．摆线1cos sin x ty t t =-⎧⎨=-⎩一拱(02π)t ≤≤的弧长 8 ．3．2d 25x x +∞-∞=+⎰π5． 4．反常积分0d (0,0)1mnx x m n x+∞>>+⎰，当,m n 满足条件1n m ->时收敛． 5．由曲线22,y x x y ==围成图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体体积为 3π10． 三、计算题1．用定义判断无穷积分0e d 1e xxx -∞+⎰的收敛性，如果收敛则计算积分值．解： 000e d(1e )d 1e 1e [ln(1e )]ln 2xxx x x x -∞-∞-∞+=++=+=⎰⎰ 则该无穷积分收敛． 2．判断反常积分的收敛性：13sin d x x x+∞⎰解：33sin 1x xx≤Q而131x +∞⎰收敛． 13sin d xx x+∞∴⎰收敛．3．已知22lim 4e d xx a x x a x x x a +∞-→∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭⎰，求a 的值． 解：()21e lim lim e e1xa ax a a x a x x a a a x a x x a a x ----→∞→∞⋅⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭=== ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 222222222222222222224e d 2de 2e 4e d 2e 2de 2e 2e 2e d 2e 2e e (221)e .x xaaxx aaa xaa xx aaa a x aa x x x x x xa x a x xa a a a +∞+∞--+∞+∞--+∞--+∞+∞---+∞----=-=-+=-=-+=+-=++⎰⎰⎰⎰⎰由已知222e (221)e a a a a --=++，即(1)0a a +=．所以0a =或1a =-．4．求连续曲线π2cos d x y t t -=⎰的弧长.解：由cos 0x ≥可知ππ22x -≤≤. 因此所求弧长为 π22π21d s y x -'=+⎰()π22021cos d x x =+⎰π2022cos d 42xx ==⎰.5．计算由x 轴，曲线1-=x y 及其经过原点的切线围成的平面图形绕x 轴旋转所生成立体体积．解：设切点为00(,)x y ，则过切点的切线方程为0001()21Y y X x x -=--令0,0X Y ==，得002,1x y ==．2212211π12π(1)d 32πππ.362x V x xx x =⨯⨯--⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎰6．在第一象限内求曲线21y x =-+上的一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围成的图形面积为最小，并求此最小面积．解：设所求点为(,)x y ，则过此点的切线方程为2()Y y x X x -=-．由此得切线的x 轴截距为212x a x+=，y 轴截距为21b x =+．于是，所求面积为12031()(1)d 21112.4243S x ab x xx x x =--+=++-⎰令2211()32411130,4S x x x x x x x ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭解得驻点13x =．又因为3131126043x S x x =⎛⎫⎛⎫''=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以13x =为极小值点，也是最小值点．故所求点为12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，而所求面积为12(233)93S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．7．在曲线2(0)y x x =≥上某点A 处作一切线，使之与曲线以x 轴所围图形的面积为112，试求： （1）切点A 的坐标；（2）过切点A 的切线方程；（3）由上述所围平面图形绕x 轴旋转一周所围成旋转体体积． 解：设切点00(,)A x y ，则切线方程为：20002()y x x x x -=-，得切线与x 轴交点为0,02x ⎛⎫⎪⎝⎭．由02200011d 2212x x x x x -⋅⋅=⎰，得01x =．∴切点为(1,1)A ，切线方程：21y x =-1222011()d 13230V x x πππ=⋅-⋅⋅⋅=⎰．8．半径为r 的球沉入水中，球的顶部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中提出，问需作多少功？解：取球浮出水面后球心为原点建立坐标系，则22d ()d ()r y y g r y ωπρ=-⋅⋅+224()()d 43rr g r y r y ygr ωπρπρ-=⋅-+=⎰第二次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1. 平面10x y z +--=与22230x y z +-+=的关系（ A ）． （A ）平行，但不重合； （B ）重合；（C ）垂直；（D ）斜交．2．平面1=z 与曲面14222=++z y x （ B ）． （A ）不相交；（B ）交于一点； （C ）交线为一个椭圆；（D ）交线为一个圆．3．方程z y x =-4222所表示的曲面为（ C ）． （A ）椭球面； （B ）柱面； （C ）双曲抛物面； （D ）旋转抛物面．4．曲面2222x y z a ++=与22(0)x y zax a +=>的交线在xoy 平面上的投影曲线是（ D ）．（A ）抛物线；（B ）双曲线；（C ）椭圆；（D ）圆．5．设有直线182511:1+=--=-z y x L 与⎩⎨⎧=+=-326:2z y y x L ，则L 1与L 2的夹角为（ C ）．（A ）π6； （B ）π4； （C ）π3； （D ）π2． 6．设有直线⎩⎨⎧=+--=+++031020123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L （ C ）．（A ）平行于π； （B ）在π上； （C ）垂直于π； （D ）与π斜交．二、填空题1．设,a b 均为非零向量，且||||+=-a b a b ，则a 与b 的夹角为π2． 2．设向量x 与向量2=-+a i j k 共线，且满足18⋅=-a x ，则=x (6,3,3)-- ．3．过点(1,2,1)M -且与直线2,34,1x t y t z t =-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩垂直的平面是 340x y z --+= ．4．若||3=a ，||2=b ，且a ，b 间夹角为34θπ=，则||+=a b 5，||⨯=a b 3 ．5．xoz 平面上的曲线1x =绕z 轴旋转一周所形成的旋转曲面方程为221x y +=． 6．曲线⎩⎨⎧=-+--=032622z y y x z 在xoy 面上的投影曲线方程为222300x y y z ⎧+--=⎨=⎩．7．若直线L 平行于平面π：3260x y z +-+=，且与已知直线132:241x y zL -+==垂直，则L 的方向余弦(cos ,cos ,cos )αβγ为 65585,,25525⎛⎫- ⎪⎝⎭ ．三、计算题 1．求过直线1212:102x y z L --+==-，且平行于直线221:212x y zL +-==--的平面π的方程．解：过L 的平面束为：22(1)0x z y λ+-+-=即(2,,1)λ=n ，由n 与(2,1,2)=--S 垂直，有420,2λλ--== ∴ 所求平面为2240x y z ++-=．2．求点(2,1,3)到直线11321x y z+-==-的距离． 解：(3,2,1)=-s 设0(2,1,3),(1,1,0)M M - 则00(3,0,3)6126i =⨯=--MM S MM j k ∴ 0||621||7d ⨯==S MM S3．求曲面220x y z +-=与平面10x z -+=的交线在Oxy 平面上的投影曲线． 解：因为曲线220,10x y z x z ⎧+-=⎨-+=⎩ 在Oxy 平面上投影就是通过曲线且垂直于Oxy 平面的柱面与Oxy 平面的交线，所以，只要从曲线的两个曲面方程中消去含有z 的项，则可得到垂直于Oxy 平面的柱面方程．由220,10x y z x z ⎧+-=⎨-+=⎩消去z ，得到关于Oxy 平面的投影柱面2210x y x +--=，于是得到在Oxy 平面上的投影曲线为2210,0.x y x z ⎧+--=⎨=⎩4．求过平面02=+y x 和平面6324=++z y x 的交线，并切于球面4222=++z y x 的平面方程．解：过L 平面束为4236(2)0x y z x y λ++-++=． 即(42)(2)360x y z λλ++++-=． 由222|6|2(42)(2)3λλ-=++++得2λ=-则所求平面为2z =．5．设有直线210:210x y z L x y z ++-=⎧⎨-++=⎩，平面π:0x y +=，求直线L 与平面π的夹角；如果L 与π相交，求交点．解：L 的方向向量(1,2,1)(1,2,1)(4,0,4)=⨯-=-S而(1,1,0)=n ∴ ||41sin ||||2422θ⋅===⋅S n S n ，∴ 6πθ=将y x =-代入L 方程．解得111,,222x y z =-==∴ 交点111,,222⎛⎫- ⎪⎝⎭．6．向量a 与x 轴的负向及y 轴、z 轴的正向构成相等的锐角，求向量a 的方向余弦． 解：依题意知ππ,,02αθβθγθθ⎛⎫=-==<< ⎪⎝⎭， 因为222cos cos cos 1αβγ++=，即222cos ()cos cos 1πθθθ-++=， 所以23cos 1θ= 或 3cos 3θ=． 故333cos ,cos ,cos 333αβγ=-==.第三次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．()220lim ln x y xy x y →→+=（ B ）．（A ）1； （B ）0； （C ）12； （D ）不存在．2．二元函数()()()()()22,,0,0,,0,,0,0xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点)0,0(处（ D ）．（A ）不连续，偏导数不存在; （B ）连续，偏导数不存在； （C ）不连续，偏导数存在；（D ）连续，偏导数存在.3．设22(,)(1)(2)f x y y x x y =-+-，在下列求(1,2)x f 的方法中，不正确的一种是（ B ）．（A ）因2(,2)2(1),(,2)4(1)x f x x f x x =-=-，故1(1,2)4(1)|0x x f x ==-=； （B ）因(1,2)0f =，故(1,2)00x f '==；（C ）因2(,)2(1)(2)x f x y y x y =-+-，故12(1,2)(,)0x x x y f f x y ====；（D ）211(,2)(1,2)2(1)0(1,2)lim lim 011x x x f x f x f x x →→---===--．4．设函数(,)f x y 在点00(,)P x y 的两个偏导数x f '和y f '都存在，则（ B ）. (A)00(,)(,)lim(,)x y x y f x y →存在； (B) 00lim (,)x x f x y →和00lim (,)y y f x y →都存在；(C) (,)f x y 在P 点必连续； (D) (,)f x y 在P 点必可微.5．设22(,),2zz f x y y∂==∂，且(,0)1,(,0)y f x f x x ==，则(,)f x y 为（ B ）．（A ）21xy x -+； （B ）21xy y ++； （C ）221x y y -+； （D ）221x y y ++． 二、填空题1．0011limx y xyxy →→--= 1/2 ．2. 设函数44z x y =+，则(0,0)x z '= 0 .3．设22),(y x y x y x f +-+=，则=')4,3(x f 2/5，=')4,3(y f 1/5 ． 4．设xz xy y=+，则d z = 21d d x y x x y y y ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 5．设函数(,)()()()d x yx y u x y f x y f x y g t t +-=++-+⎰，其中f 具有二阶导数，g 具有一阶导数，则2222u ux y∂∂-=∂∂ 0 ．三、计算题1．设()0,1y z x x x =>≠，证明12ln x z zz y x x y∂∂+=∂∂． 证明：因为1,ln y y z zyx x x x y-∂∂==∂∂，所以 12ln y y x z zx x z y x x y∂∂+=+=∂∂. 2．讨论函数2222222,0,(,)0,0x xyx y f x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩的连续性．.解一：当(),p x y 沿y 轴(x=0)趋于0（0，0）时， 2222limlim0x y y x xyx y y →→→+==+ 当(),p x y 沿y x =，趋于0（0，0）时，222220002lim lim 12x x y x x xy x x y x→→=→+==+∴()00lim,x y f x y →→不存在 ∴不连续解二：当(),p x y 沿y kx =趋于0（0，0）时，()()222222200011lim lim11x x y kx k x x xyk x y k k x →→=→+++==+++ 与k 有关，∴不连续 3．设(1)y z xy =+，求d z ．()()11211y y z y xy y y xy x--∂=⋅+⋅=+∂ 解一：取对数()ln ln 1z y xy =+()1ln 11z x xy y z y xy ∂⋅=++⋅∂+，∴()()1ln 11y z xy xy xy y xy ⎡⎤∂=+++⎢⎥∂+⎣⎦ 解二：()()()()ln 1ln 1e,e ln 111yy xy y xy z x xy y xy y xy ++⎡⎤∂∂==⋅++⋅=+⎢⎥∂+⎣⎦ ∴()()()12d 1d 1ln 1+xy d 1y y x z y xy x xy y xy -⎡⎤=++++⎢⎥+⎣⎦ 4．求2e d yzt xz u t =⎰的偏导数．t220e d e d xz yzt u t t =-+⎰⎰22x z e uz x∂=-⋅∂ 22y e z uz y∂=⋅∂ 2222x y e e z z ux y z∂=-⋅+⋅∂ 5．设222r x y z =++，验证：当0r ≠时，有2222222r r r x y z r∂∂∂++=∂∂∂．证明：22222r x xx rx y z ∂==∂++ 222223xr x rr x r x r r -⋅∂-==∂，同理：2222222323,r r y r r z y r z r ∂-∂-==∂∂∴()2222222222233322r x y x r r r r x y z r r r-++∂∂∂++===∂∂∂ 6．设222222221()sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩，问在点(0,0)处，（1）偏导数是否存在？ （2）偏导数是否连续？ （3）是否可微？解:（1）2201()sin(0,0)(0,0)()(0,0)limlim 0x x x x f x f x f xx∆→∆→∆+∆-∆'===∆∆,2201()sin(0,0)(0,0)()(0,0)limlim 0y y y y f y f y f yy∆→∆→∆+∆-∆'===∆∆,故函数在点(0,0)处偏导数存在. （2）当 (,)(0,0)x y ≠时， 222222222112(,)2sin()cos ()x x f x y x x y x y x y x y -'=++⋅+++2222221212sincos x x x y x y x y=-+++, 又 22222200121lim (,)lim(2sincos )x x x y y x f x y x x y x y x y→→→→'=-+++， 当(,)x y 沿x 轴趋于(0,0)时，上式222121lim(2sincos )x y x x x x y →==-+ 不存在， 故偏导数(,)x f x y '在点(0,0)不连续.由函数关于变量,x y 的对称性可知，(,)y f x y '在点(0,0)不连续。

南华大学高数a2期末试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 函数f(x)=x^2-4x+4的最小值是（）A. 0B. 1C. 4D. -42. 设函数f(x)=x^3-3x，求f'(x)（）A. 3x^2-3B. x^2-3C. 3x^2+3D. x^2+33. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线方程是（）A. y=3x-2B. y=3xC. y=x-2D. y=x4. 已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n=3a_{n-1}(n≥2)，则a_5的值为（）A. 243B. 81C. 27D. 95. 计算定积分∫(0,1)x^2dx的值是（）A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 16. 设函数f(x)=x^2-6x+8，求f(2)的值（）A. 0B. 4C. 8D. 107. 已知函数f(x)=x^3+3x^2-9x+1，求f'(x)（）A. 3x^2+6x-9B. x^2+3x-9C. 3x^2+6x+9D. x^2+3x+98. 曲线y=x^3-6x^2+11x-6在点(1,4)处的切线斜率是（）A. -2B. 0C. 2D. 49. 已知数列{a_n}满足a_1=2，a_n=2a_{n-1}(n≥2)，则a_4的值为（）A. 16B. 32C. 64D. 12810. 计算定积分∫(-1,1)(x^2-1)dx的值是（）A. 0B. 2C. -2D. 4二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x^2+4的极值点是______。

2. 设函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求f''(x)=______。

3. 曲线y=x^3-6x^2+11x-6在点(2,0)处的切线方程是y=______。

4. 已知数列{a_n}满足a_1=3，a_n=2a_{n-1}+1(n≥2)，则a_3的值为______。

5. 计算定积分∫(0,2)(x^2-2x+1)dx的值是______。