2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一在线测评试题解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.（1）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小，则(A)11,6a b ==-. (B)11,6a b ==. (C)11,6a b =-=-. (D)11,6a b =-=.（2）如图，正方形(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4k D k =，cos kk D I y xdxdy =⎰⎰，则{}14max kk I ≤≤=(A)1I .(B)2I . (C)3I .(D)4I .（3）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为(A)(B)x(C)(D)（4）设有两个数列{}{},n n a b ，若lim 0n n a →∞=，则 （A ）当1nn b∞=∑收敛时，1n nn a b∞=∑收敛. （B ）当1nn b∞=∑发散时，1n nn a b∞=∑发散.(C)当1nn b∞=∑收敛时，221n nn a b∞=∑收敛. (D)当1nn b∞=∑发散时，221n nn a b∞=∑发散.（5）设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基，则由基12311,,23ααα到基122331,,αααααα+++的过渡矩阵为(A)101220033⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(B)120023103⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.(C)111246111246111246⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.(D)111222111444111666⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. （6）设,A B 均为2阶矩阵，**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若2,3A B ==，则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为()A **32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭.()B **23O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭. ()C **32O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭.()D **23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭.（7）设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ⎪⎝⎭，其中()x Φ为标准正态分布函数，则EX =(A)0.(B)0.3. (C)0.7.(D)1.（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布()0,1N ，Y 的概率分布为{}{}1012P Y P Y ====，记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()Z F z 的间断点个数为 (A)0.(B)1.(C)2.(D)3.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.（9）设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数，(),z f x xy =，则2zx y∂=∂∂ .（10）若二阶常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为()12xy C C x e =+，则非齐次方程y ay by x '''++=满足条件()()02,00y y '==的解为y = .（11）已知曲线(2:0L y x x =≤≤，则Lxds =⎰ .（12）设(){}222,,1x y z xy z Ω=++≤，则2z dxdydz Ω=⎰⎰⎰ .（13）若3维列向量,αβ满足2Tαβ=，其中T α为α的转置，则矩阵Tβα的非零特征值为 . (14)设12,,,m X X X 为来自二项分布总体(),B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差.若2X kS +为2np 的无偏估计量，则k = .三、解答题：15~23小题，共94分. （15）（本题满分9分）求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值.（16）（本题满分9分） 设n a 为曲线n y x =与()11,2,.....n y xn +==所围成区域的面积，记122111,n n n n S a S a ∞∞-====∑∑，求1S 与2S 的值.（17）（本题满分11分）椭球面1S 是椭圆22143x y +=绕x 轴旋转而成，圆锥面2S 是过点()4,0且与椭圆22143x y +=相切的直线绕x 轴旋转而成. （Ⅰ）求1S 及2S 的方程（Ⅱ）求1S 与2S 之间的立体体积. （18）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 可导，则存在(),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()()0,0δδ>内可导，且()0lim x f x A +→'=，则()0f +'存在，且()0f A +'=.（19）（本题满分10分）计算曲面积分()32222xdydz ydzdx zdxdyI xy z++=∑++⎰⎰，其中∑是曲面222224x y z ++=的外侧.（20）（本题满分11分）设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，1112ξ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. （Ⅰ）求满足21A ξξ=的2ξ. 231A ξξ=的所有向量2ξ,3ξ. （Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量2ξ,3ξ证明1ξ,2ξ,3ξ无关.（21）（本题满分11分）设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-（Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值. （22）（本题满分11分）袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以,,X Y Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.（Ⅰ）求{}10p X Z ==；（Ⅱ）求二维随机变量(),X Y 概率分布.（23）（本题满分11 分） 设总体X 的概率密度为2,0()0,x xe x f x λλ-⎧>=⎨⎩其他，其中参数(0)λλ>未知，1X ，2X ,…n X 是来自总体X 的简单随机样本.(Ⅰ)求参数λ的矩估计量； （Ⅱ）求参数λ的最大似然估计量.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.（1）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小，则(A)11,6a b ==-. (B)11,6a b ==. (C)11,6a b =-=-. (D)11,6a b =-=.【答案】 A.【解析】2()sin ,()ln(1)f x x ax g x x bx =-=-为等价无穷小，则222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a axg x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b axa→==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除(B)、(C). 另外201cos lim3x a axbx→--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排(D). 所以本题选（A ）. （2）如图，正方形(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4k D k =，cos kk D I y xdxdy =⎰⎰，则{}14max kk I ≤≤=(A)1I .(B)2I . (C)3I .(D)4I .【答案】 A.【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性.24,D D 两区域关于x 轴对称，而(,)cos (,)f x y y x f x y -=-=-，即被积函数是关于y 的奇函数，所以240I I ==;13,D D 两区域关于y 轴对称，而(,)cos()cos (,)f x y y x y x f x y -=-==，即被积函数是关于x 的偶函数，所以{}1(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy ≥≤≤=>⎰⎰；x{}3(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy ≤-≤≤=<⎰⎰.所以正确答案为(A).（3）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为(A)(B)(C)(D)【答案】D.【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征： ①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减. ②[]1,2x ∈时，()F x 单调递增.③[]2,3x ∈时，()F x 为常函数.④[]1,0x ∈-时，()0F x ≤为线性函数，单调递增. ⑤由于F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为（D ）.（4）设有两个数列{}{},n n a b ，若lim 0n n a →∞=，则（A ）当1nn b∞=∑收敛时，1n nn a b∞=∑收敛. （B ）当1nn b∞=∑发散时，1n nn a b∞=∑发散.(C)当1nn b∞=∑收敛时，221n nn a b∞=∑收敛. (D)当1nn b∞=∑发散时，221n nn a b∞=∑发散.【答案】C. 【解析】方法一：举反例：（A）取(1)nn n a b ==- （B ）取1n n a b n ==（D ）取1n n a b n==故答案为（C ）.方法二：因为lim 0,n n a →∞=则由定义可知1,N ∃使得1n N >时，有1n a <又因为1nn b∞=∑收敛，可得lim 0,n n b →∞=则由定义可知2,N ∃使得2n N >时，有1n b <从而，当12n N N >+时，有22n nn a b b <，则由正项级数的比较判别法可知221n nn a b∞=∑收敛.（5）设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基，则由基12311,,23ααα到基122331,,αααααα+++的过渡矩阵为(A)101220033⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(B)120023103⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.(C)111246111246111246⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.(D)111222111444111666⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 【答案】A.【解析】因为()()1212,,,,,,n n A ηηηααα= ，则A 称为基12,,,n ααα 到12,,,n ηηη 的过渡矩阵. 则由基12311,,23ααα到122331,,αααααα+++的过渡矩阵M 满足()12233112311,,,,23M ααααααααα⎛⎫+++= ⎪⎝⎭12310111,,22023033ααα⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭所以此题选(A).（6）设,A B 均为2阶矩阵，**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若2,3A B ==，则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为()A **32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭.()B **23O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭. ()C **32O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭.()D **23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭. 【答案】B.【解析】根据CC C E *=，若111,C C C CC C*--*==分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的行列式221236O A A B B O ⨯=-=⨯=（），即分块矩阵可逆 11116601O B BO A O A O A O B B O B B O AO A O A **---*⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭1236132O B O B AO A O ****⎛⎫ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭故答案为（B ）.（7）设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ⎪⎝⎭，其中()x Φ为标准正态分布函数，则EX =(A)0.(B)0.3. (C)0.7.(D)1.【答案】C.【解析】因为()()10.30.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ⎪⎝⎭， 所以()()0.710.322x F x x -⎛⎫'''=Φ+Φ ⎪⎝⎭， 所以()()10.30.352x EX xF x dx x x dx +∞+∞-∞-∞⎡-⎤⎛⎫'''==Φ+Φ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰()10.30.352x x x dx x dx +∞+∞-∞-∞-⎛⎫''=Φ+Φ ⎪⎝⎭⎰⎰而()0x x dx +∞-∞'Φ=⎰，()()11221222x x x dx u u u du +∞+∞-∞-∞--⎛⎫''Φ=+Φ= ⎪⎝⎭⎰⎰ 所以00.3520.7EX =+⨯=.（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布()0,1N ，Y 的概率分布为{}{}1012P Y P Y ====，记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()Z F z 的间断点个数为 (A)0.(B)1.(C)2.(D)3.【答案】 B. 【解析】()()(0)(0)(1)(1)1[(0)(1)]21[(00)(1)]2Z F z P XY z P XY z Y P Y P XY z Y P Y P XY z Y P XY z Y P X z Y P X z Y =≤=≤==+≤===≤=+≤==⋅≤=+≤=,X Y 独立1()[(0)()]2Z F z P X z P X z ∴=⋅≤+≤（1）若0z <，则1()()2Z F z z =Φ（2）当0z ≥，则1()(1())2Z F z z =+Φ0z ∴=为间断点，故选（B ）.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数，(),z f x xy =，则2zx y∂=∂∂ .【答案】"'"12222xf f xyf ++. 【解析】''12z f f y x ∂=+⋅∂，2"'""'"1222212222z xf f yx f xf f xyf x y∂=++⋅=++∂∂. （10）若二阶常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为()12xy C C x e =+，则非齐次方程y ay by x '''++=满足条件()()02,00y y '==的解为y = .【答案】2xy xe x =-++.【解析】由12()x y c c x e =+，得121λλ==，故2,1a b =-= 微分方程为''2'y y y x -+=设特解*y Ax B =+代入，',1y A A ==220,2A AxB x B B -++=-+==∴ 特解 *2y x =+∴ 12()2xy c c x e x =+++把 (0)2y = ， '(0)0y =代入，得120,1c c ==- ∴ 所求2x y xe x =-++ （11）已知曲线(2:0L y x x =≤≤，则Lxds =⎰ .【答案】136【解析】由题意可知，2,,0x x y x x ==≤ds ==，所以()201148Lxds x ==+⎰11386==（12）设(){}222,,1x y z xy z Ω=++≤，则2z dxdydz Ω=⎰⎰⎰ .【答案】415π. 【解析】 方法一：2122220sin cos z dxdydz d d d ππθϕρϕρϕρ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰()21240cos cos d d d ππθϕϕρρ=-⎰⎰⎰30cos 1423515d πϕπϕπ=⋅-⋅=⎰方法二：由轮换对称性可知2z dxdydz Ω=⎰⎰⎰2x dxdydz Ω=⎰⎰⎰2y dxdydz Ω⎰⎰⎰所以，()212222400011sin 33z dxdydz x y z dxdydz d d r dr ππϕθϕΩΩ=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 14002214sin sin 33515d r dr d πππππϕϕϕϕ=⋅⋅=⎰⎰⎰（13）若3维列向量,αβ满足2Tαβ=，其中T α为α的转置，则矩阵Tβα的非零特征值为 . 【答案】2. 【解析】2Tαβ=()2T T βαββαββ∴==⋅, T βα∴的非零特征值为2.(14)设12,,,m X X X 为来自二项分布总体(),B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差.若2X kS +为2np 的无偏估计量，则k = .【答案】1-.【解析】2X kS -+ 为2np 的无偏估计 22()E X kX np -∴+=2(1)1(1)(1)11np knp p np k p p k p p k ∴+-=∴+-=∴-=-∴=-三、解答题：15~23小题，共94分. （15）（本题满分9分）求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值.【解析】2(,)2(2)0x f x y x y '=+=2(,)2ln 10y f x y x y y '=++=故10,x y e= =2212(2),2,4xxyy xyf y f x f xy y''''''=+ =+ = 则12(0,)12(2)xxef e ''=+，1(0,)0xyef ''=，1(0,)yy ef e ''=.0xxf ''> 而2()0xy xx yy f f f ''''''-< ∴二元函数存在极小值11(0,)f e e=-.（16）（本题满分9分） 设n a 为曲线ny x =与()11,2,.....n y xn +==所围成区域的面积，记122111,n n n n S a S a ∞∞-====∑∑，求1S 与2S 的值.【解析】由题意，n y x =与n+1y=x 在点0x =和1x =处相交，所以112111111a ()()001212n n n n n x x dx x x n n n n +++=-=-=-++++⎰， 从而1111111111S lim lim(-lim()23122+22Nn nN N N n n a a N N N ∞→∞→∞→∞=====-++=-=++∑∑ 2211111111111111=)22+1232N 2N+123456n n n S a n n ∞∞-====--++-=-+-+∑∑ （）（ 由2(1)1(1)2n n x x n-++-+ ln(1+x)=x- 取1x =得 22111ln(2)1()11ln 2234S S =--+=-⇒=-.（17）（本题满分11分）椭球面1S 是椭圆22143x y +=绕x 轴旋转而成，圆锥面2S 是过点()4,0且与椭圆22143x y +=相切的直线绕x 轴旋转而成. （Ⅰ）求1S 及2S 的方程（Ⅱ）求1S 与2S 之间的立体体积.【解析】（I ）1S 的方程为222143x y z ++=， 过点()4,0与22143x y +=的切线为122y x ⎛⎫=±- ⎪⎝⎭， 所以2S 的方程为222122y z x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.（II ）1S 与2S 之间的体积等于一个底面半径为32、高为3的锥体体积94π与部分椭球体体积V 之差，其中22135(4)44V x dx ππ=-=⎰.故所求体积为9544πππ-=. （18）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 可导，则存在(),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()()0,0δδ>内可导，且()0lim x f x A +→'=，则()0f +'存在，且()0f A +'=.【解析】（Ⅰ）作辅助函数()()()()()()f b f a x f x f a x a b aϕ-=----，易验证()x ϕ满足：()()a b ϕϕ=；()x ϕ在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，且''()()()()f b f a x f x b aϕ-=--.根据罗尔定理，可得在(),a b 内至少有一点ξ，使'()0ϕξ=，即'()f ξ'()()0,()()()()f b f a f b f a f b a b aξ--=∴-=--（Ⅱ）任取0(0,)x δ∈，则函数()f x 满足：在闭区间[]00,x 上连续，开区间()00,x 内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在()()000,0,x x ξδ∈⊂，使得()0'00()(0)x f x f f x ξ-=-……()*又由于()'lim x f x A +→=，对上式（*式）两边取00x +→时的极限可得：()()000000'''0000()00lim lim ()lim ()0x x x x x f x f f f f A x ξξξ++++→→→-====-故'(0)f +存在，且'(0)f A +=.（19）（本题满分10分）计算曲面积分()32222xdydz ydzdx zdxdyI xy z++=∑++⎰⎰，其中∑是曲面222224x y z ++=的外侧.【解析】2223/2()xdydz ydxdz zdxdy I x y z ∑++=++⎰⎰，其中222224x y z ++= 2222223/22225/22(,()()x y z x x x y z x y z ∂+-=∂++++ ① 2222223/22225/22(),()()y x z y y x y z x y z ∂+-=∂++++②2222223/22225/22(),()()z x y z z x y z x y z ∂+-=∂++++③ ∴①+②+③=2223/22223/22223/2(()()0()()()x y zx x y z y x y z z x y z ∂∂∂++=∂++∂++∂++ 由于被积函数及其偏导数在点（0，0，0）处不连续，作封闭曲面（外侧）222211:.016x y z R R ∑++=<<有 1132223/233313434()3xdydz ydxdz zdxdy xdydz ydxdz zdxdy R dV x y z R R R ππ∑∑∑Ω++++====⋅=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （20）（本题满分11分）设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭ 1112ξ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭（Ⅰ）求满足21A ξξ=的2ξ. 231A ξξ=的所有向量2ξ,3ξ. （Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量2ξ,3ξ证明1ξ,2ξ,3ξ无关. 【解析】（Ⅰ）解方程21A ξξ=()1111111111111,111100000211042202110000A ξ---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2r A =故有一个自由变量，令32x =，由0Ax =解得，211,1x x =-= 求特解，令120x x ==，得31x =故21101021k ξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中1k 为任意常数.解方程231A ξξ=2220220440A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭()21111022012,2201000044020000A ξ-⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪=--→⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭故有两个自由变量，令21x =-，由20A x =得131,0x x ==求特解21200η⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭故 321121000k ξ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪=-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭ ，其中2k 为任意常数.（Ⅱ）证明：由于12121212122111121112(21)()2()(21)222210k k k k k k k k k k k k k -+--=+++-+-+-+102=≠ 故123,,ξξξ 线性无关. （21）（本题满分11分）设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+- （Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值. 【解析】（Ⅰ） 0101111a A aa ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭0110||01()1111111aaaE A aa a a λλλλλλλλ-----=-=---+---+222()[()(1)1][0()]()[()(1)2]()[22]19(){[(12)]}24()(2)(1)a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλ=---+--+-=---+-=--++--=-+--=--+--123,2,1a a a λλλ∴==-=+（Ⅱ） 若规范形为2212y y +，说明有两个特征值为正，一个为0.则 1) 若10a λ==，则 220λ=-< ，31λ= ，不符题意2) 若20λ= ，即2a =，则120λ=>，330λ=>，符合3) 若30λ= ，即1a =-，则110λ=-< ，230λ=-<，不符题意 综上所述，故2a =.（22）（本题满分11分）袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以,,X Y Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数. （Ⅰ）求{}10p X Z ==；（Ⅱ）求二维随机变量(),X Y 概率分布.【解析】（Ⅰ）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有1个红球，2个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球12113324(10)9C P X Z C C ⨯∴====⋅.（Ⅱ）X ，Y 取值范围为0，1，2，故()()()()()()()()()1111332311116666111223111166661122116611221166110,0,1,0461112,0,0,136311,1,2,10910,291,20,2,20C C C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C C C P X Y P X Y C C C C P X Y C C P X Y P X Y ⋅⋅========⋅⋅⋅⋅========⋅⋅⋅=======⋅⋅====⋅======（23）（本题满分11 分） 设总体X 的概率密度为2,0()0,x xe x f x λλ-⎧>=⎨⎩其他，其中参数(0)λλ>未知，1X ,2X ,…,n X 是来自总体X 的简单随机样本.(Ⅰ)求参数λ的矩估计量； （Ⅱ）求参数λ的最大似然估计量【解析】 （1）由EX X =而22022ˆx EX x e dx X Xλλλλ+∞-===⇒=⎰为总体的矩估计量 （2）构造似然函数()()12111L ,.....,;;nii nnx nn i i i i x x f x x eλλλλ=-==∑==⋅⋅∏∏取对数11ln 2ln ln n ni i i i L n x x λλ===+-∑∑令111ln 222001n i n ni i i i i d L n n x d x x n λλλ====⇒-=⇒==∑∑∑ 故其最大似然估计量为2Xλ''=.。

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）1. 当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小，则（ ）()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=.2. 如图，正方形(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4k D k =，cos kk D I y xdxdy =⎰⎰，则{}14max k k I ≤≤=（ ）()A 1I .()B 2I . ()C 3I .()DI 3. 设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0x F x f t dt =⎰的图形为（ ）()A .()B .x()C .()D .4. 设有两个数列{}{},n n a b ，若lim 0n n a →∞=，则（ ）()A 当1n n b ∞=∑收敛时，1n n n a b ∞=∑收敛.()B 当1n n b ∞=∑发散时，1n n n a b ∞=∑发散.()C 当1nn b∞=∑收敛时，221n nn a b∞=∑收敛.()D 当1nn b ∞=∑发散时，221n nn a b∞=∑发散.5. 设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基，则由基12311,,23ααα到基 122331,,αααααα+++的过渡矩阵为（ ）()A 101220033⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭. ()B 120023103⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.()C 111246111246111246⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.()D 111222111444111666⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 6. 设,A B 均为2阶矩阵，**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若2,3A B ==，则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为（ ）()A **32O B A O ⎛⎫ ⎪⎝⎭.()B **23OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭. ()C **32O A BO ⎛⎫ ⎪⎝⎭.()D **23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭.7. 设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ⎪⎝⎭，其中()x Φ为标准正态分布函数，则EX =（ ）()A 0.()B 0.3. ()C 0.7.()D 1.8. 设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布()0,1N ，Y 的概率分布为{}{}1012P Y P Y ====，记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()Z F z 的间断点个数为（ ）()A 0.()B 1. ()C 2.()D 3.二、填空题（9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.）9. 设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数，(),z f x xy =，则2zx y∂=∂∂ 。

一、选择题：（1）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小，则()A 11,6a b ==-.()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=.【解析】2()sin ,()ln(1)f x x ax g x x bx =-=-为等价无穷小，则2222()sin sin 1cos sin limlimlimlimlim()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a ax g x x bx x bx bxbx→→→→→---==-⋅---洛洛23sin lim166x a ax ab baxa →==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除,B C 。

另外21cos lim3x a ax bx→--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排D 。

所以本题选A 。

（2）如图，正方形(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为 四个区域()1,2,3,4k D k =，cos kk D I y xdxdy =⎰⎰，则{}14m ax kk I ≤≤=()A 1I .()B 2I .()C 3I .()D 4I .【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。

24,D D 两区域关于x 轴对称，而(,)cos (,)f x y y x f x y -=-=-，即被积函数是关于y 的奇函数，所以240I I ==;13,D D 两区域关于y 轴对称，而(,)cos()cos (,)f x y y x y x f x y -=-==，即被积函数是关于x 的偶函数，所以{}1(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy ≥≤≤=>⎰⎰；{}3(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy ≤-≤≤=<⎰⎰.所以正确答案为A.（3）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为： 则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为x()A ()B()C ()D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征： ①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减。

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)当时,与等价无穷小,则(A) (B)(C)(D) 【考点分析】：等价无穷小，洛必达法则，泰勒公式 【求解过程】：⏹ 方法一：利用洛必达法则和等价无穷小0x →时，ln(1)~bx bx --2320000()sin sin 1cos limlim lim lim 1()ln(1)3x x x x f x x ax x ax a axJ g x x bx bx bx→→→→---=====--- 1a ⇒=否则，J =∞⇒2220011cos 12lim lim 1336x x x x J bx bx b→→-====---16b ⇒=-。

选A ⏹ 方法二：利用泰勒公式或者三角函数的幂级数展开式 由三角函数的幂级数展开式：357111sin 3!5!7x x x x x =-+-+ 所以，3331sin ()(0)6ax ax a x o x x =-+→ 由泰勒公式：3331sin ()(0)6ax ax a x o x x =-+→332301(1)()sin 6lim 1ln(1)x a x x o x x ax J x bx bx →-++-⇒===-- 1a ⇒=，否则J =∞⇒116J b ==-16b ⇒=-。

选A(2)如图，正方形{(,)|1,1}x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域(1,2,3,4)k D k =，cos kk D I y xdxdy =⎰⎰，则{}14max k k I ≤≤=(A)(B)(C)(D)0x →()sin f x x ax =-()()2ln 1g x x bx =-11,6a b ==-11,6a b ==11,6a b =-=-11,6a b =-=1I 2I 3I 4I【考点分析】：利用对称性化简二重积分，二重积分的估值 【求解过程】：1234111222331444(,)cos ,cos ,(,)0,0cos ,(,)0,cos ,(,)0,0cos ,(,)0,A D D D D f x y y x I y xdxdy D f x y I I y xdxdy D x f x y y I I y xdxdy D f x y I I y xdxdy D x f x y y I ==≥≥===≤≤==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰记在上则，关于轴对称，且关于为奇函数，则在上则，关于轴对称，且关于为奇函数，则所以选择。

1D 1D D 4-12D 31-1kk⎰⎰ k2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分.（1）当 x → 0 时， f ( x ) = x - sin ax 与 g ( x ) = x 2 ln (1- bx ) 等价无穷小，则11(A) a = 1, b = - .(B) a = 1, b = .6 611(C) a = -1, b =- .(D) a = -1, b = .66（2）如图，正方形{( x , y ) x ≤ 1, y ≤ 1} 被其对角线划分为y四个区域 D (k = 1, 2, 3, 4) ， I =y cos xdxdy ，则max {I } =1≤k ≤4D k(A) I 1 .(B) I 2 . (C) I 3 .(D) I 4 .x（3）设函数 y = f ( x ) 在区间[-1, 3] 上的图形为则函数 F ( x ) =⎰0f (t ) dt 的图形为f (x )1O -2-1(A)(B)23xf (x )1 -2O -112 3xf (x )1-2O 1 2 3-1x1n →∞1 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭B O ⎪(C)(D)（4）设有两个数列{a n },{b n }，若lim a n = 0 ，则∞∞∞∞（A ）当∑bn 收敛时， ∑a n bn 收敛.（B ）当∑bn 发散时， ∑a n bn 发散.n =1 n =1n =1 n =1∞∞∞∞(C)当∑ b 收敛时， ∑a 2b2收敛.(D)当∑ b 发散时， ∑ a 2b2发散.nn =1n nn =1nn =1n nn =1（5）设α ,α ,α 是 3 维向量空间 R 3的一组基，则由基α , 1 α, α 到 基1 2 3α1 + α2 ,α2 + α3 ,α3 + α1 的过渡矩阵为⎛ 1 0 1 ⎫ 1 2⎛ 1 2 0 ⎫ 2 33 (A) 2 2 0 ⎪ .(B) 0 2 3 ⎪. ⎪ 0 3 3 ⎪ ⎪ 1 0 3 ⎪⎛ 11 - 1 ⎫⎛ 1 - 1 1 ⎫2 4 6 ⎪2 2 2 ⎪ ⎪ ⎪ (C) -1 1 1 ⎪ . (D) 1 1 - 1 ⎪ .2 4 6 ⎪ 1 1 1 ⎪ 4 4 4 ⎪1 1 1 ⎪ -2 4 6 - 6 6 6 ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭**⎛ O A ⎫（6）设 A , B 均为 2 阶矩阵， A , B 分别为 A , B 的伴随矩阵，若 A = 2, B = 3 ，则分块矩阵 ⎪ 的⎝ ⎭伴随矩阵为⎛ O 3B * ⎫⎛ O 2B * ⎫( A ) ⎪ .( B ) ⎪ .⎝ 2 A*O ⎭ ⎝ 3A*O ⎭⎛ O 3A * ⎫ ⎛ O 2 A * ⎫ (C ) ⎪ .( D ) ⎪ .⎝ 2B *O ⎭ ⎝ 3B*O ⎭1 ∂ z1 2 m n ∞ ∞⎛ x -1 ⎫（7）设随机变量 X 的分布函数为 F ( x ) = 0.3Φ ( x ) + 0.7Φ 2 ⎪ ，其中Φ ( x ) 为标准正态分布函数，则⎝ ⎭ EX =(A) 0 .(B) 0.3 .(C) 0.7 .(D)1.（ 8 ）设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从标准正态分布 N (0,1) ， Y 的概率分布为P {Y = 0} = P {Y = 1} = ，记 F Z ( z ) 为随机变量 Z = XY 的分布函数，则函数 F Z ( z ) 的间断点个数2为(A)0.(B)1. (C)2.(D)3.二、填空题：9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分.（9）设函数 f (u , v ) 具有二阶连续偏导数， z =2f ( x , xy ) ，则∂x ∂y= .（10）） 若二阶常系数线性齐次微分方程 y ' + ay ' + by = 0 的通解为 y = (C + C x ) e x ，则非齐次方程12y '' + ay ' + by = x 满足条件 y (0) = 2, y '(0) = 0 的解为 y = .（1） 已知曲线 L : y = x 2(0 ≤ x ≤ 2 )，则⎰Lxds = .（12）设Ω={( x , y , z ) x2+ y 2 + z 2 ≤ 1}，则 ⎰⎰⎰ z 2dxdydz = .Ω（13）若 3 维列向量α , β 满足α Tβ = 2 ，其中α T为α 的转置，则矩阵 βα T的非零特征值为.(14)设 X , X ,, X 为来自二项分布总体 B (n , p ) 的简单随机样本，X 和 S 2 分别为样本均值和样本方差. 若 X + kS 2为 np 2的无偏估计量，则 k = . 三、解答题：15~23 小题，共 94 分.（15）（本题满分 9 分） 求二元函数 f (x , y ) = x2(2 + y 2) + y ln y 的极值.（16）（本题满分 9 分）设 a 为曲线 y = x n 与 y = xn +1(n = 1, 2, ) 所围成区域的面积，记S 1 = ∑a n , S 2 = ∑a 2n -1 ，求 S 1 与 S 2 的值.n =1n =1□ 31 2 x 2（17）（本题满分 11 分）椭球面 S 1 是椭圆 +y 2 = 1绕 x 轴旋转而成，圆锥面 S 是过点(4, 0) 且与椭圆x 2 + y 2 =4 3431相切的直线绕 x 轴旋转而成.（Ⅰ）求 S 1 及 S 2 的方程（Ⅱ）求 S 1 与 S 2 之间的立体体积. （18）（本题满分 11 分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数 f ( x ) 在[a , b ] 上连续，在(a , b ) 可导，则存在ξ ∈(a , b ) ，使得f (b ) - f (a ) = f '(ξ )(b - a )（Ⅱ）证明：若函数 f ( x ) 在 x = 0 处连续，在(0,δ )(δ > 0) 内可导，且 lim x →0+f '( x ) = A ，则 f +' (0) 存在，且 f +' (0) = A .（19）（本题满分 10 分）计算曲面积分 I =⎰⎰∑xdydz + ydzdx + zdxdy(x2+ y 2 + z2 )2，其中∑ 是曲面2x 2 + 2 y 2 + z 2 = 4 的外侧.（20）（本题满分 11 分）⎛ 1 -1 -1⎫ ⎛ -1⎫ 设 A = -1 1 1 ⎪ ， ξ = 1 ⎪ .⎪ 1 ⎪ 0 -4 -2 ⎪ -2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭（Ⅰ）求满足 A ξ = ξ 的ξ . A 2ξ = ξ 的所有向量ξ , ξ .2123123（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量ξ2 , ξ3 证明ξ1 , ξ2 , ξ3 无关.（21）（本题满分 11 分）设二次型 f ( x , x , x ) = ax 2 + ax 2 + (a -1) x 2 + 2x x - 2x x1231231 32 3（Ⅰ）求二次型 f 的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型 f 的规范形为 y 2+ y 2，求a 的值.（22）（本题满分 11 分）袋中有 1 个红色球，2 个黑色球与 3 个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以 X ,Y , Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.2（Ⅰ）求p{X = 1 Z = 0}；（Ⅱ）求二维随机变量(X,Y )概率分布.⎧λ2 xe-λ x , x > 0（23）（本题满分 11 分）设总体 X 的概率密度为 f(x)=⎨，其中参数λ(λ> 0) 未知，X1 ，⎩0,其他X,…X n 是来自总体X 的简单随机样本.2(Ⅰ)求参数λ的矩估计量；（Ⅱ）求参数λ的最大似然估计量.kk⎰⎰ k2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分.（1）当 x → 0 时， f ( x ) = x - sin ax 与 g ( x ) = x 2 ln (1- bx ) 等价无穷小，则11(A) a = 1, b = - .(B) a = 1, b = .6 6 11(C) a = -1, b =- .(D) a = -1, b = .66【答案】 A.【解析】 f (x ) = x - sin ax , g (x ) = x 2ln(1- bx ) 为等价无穷小，则lim f (x ) = lim x - sin ax = lim x - sin ax 洛lim 1- a cos ax a 2 sin ax 洛lim x →0 g (x ) x →0 x 2 ln(1- bx ) x →0 x 2⋅ (-bx ) x →0 -3bx 2 x →0 -6bx= lim a 2 sin ax = - a 3= ∴ a 3 = -6b故排除(B)、(C).x →0 - 6b ⋅ ax 6ba另外lim x →0 1- a cos ax-3bx 2存在，蕴含了1- a cos ax → 0 ( x → 0) 故 a = 1. 排除(D). 所以本题选（A ）.（2）如图，正方形{( x , y )x ≤ 1, y ≤ 1} 被其对角线划分为四个区域 D (k = 1, 2, 3, 4) ， I =y cos xdxdy ，则max {I } =1≤k ≤4D k(A) I 1 . (B) I 2 . (C) I 3 .(D) I 4 .【答案】 A.x【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性.D 2 , D 4 两区域关于 x 轴对称，而 f (x , - y ) = - y cos x = - f (x , y ) ，即被积函数是关于 y 的奇函数，所以I 2 = I 4 = 0 ;D 1, D 3 两区域关于 y 轴对称，而 f (-x , y ) = y cos(-x ) = y cos x = f (x , y ) ，即被积函数是关于 x 的偶函数，所以 I 1 = 2⎰⎰y cos xdxdy > 0 ；{( x , y ) y ≥x ,0≤x ≤1}1f (x )1-2 O 1 2 3xf (x )1 -2O 123xI 3 = 2⎰⎰y cos xdxdy < 0 .所以正确答案为(A).{( x , y ) y ≤- x ,0≤x ≤1}（3）设函数 y = f ( x ) 在区间[-1, 3] 上的图形为则函数 F ( x ) =⎰0f (t ) dt 的图形为f (x )-1(A)1O -2-1(B)23x-1(C)(D)【答案】D.【解析】此题为定积分的应用知识考核，由 y =f (x ) 的图形可见，其图像与 x 轴及 y 轴、 x = x 0 所围的图形的代数面积为所求函数 F (x ) ，从而可得出几个方面的特征：① x ∈[0,1] 时， F (x ) ≤ 0 ，且单调递减. ② x ∈[1, 2]时， F (x ) 单调递增.f (x )1 -2O -112 3xf (x )1 -1 O123x1→∞ 1→∞ ∞ 1 ⎝ ⎭⎝ ⎭③ x ∈[2, 3] 时， F (x ) 为常函数.④ x ∈[-1, 0] 时， F (x ) ≤ 0 为线性函数，单调递增. ⑤由于 F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为（D ）.（4）设有两个数列{a n },{b n }，若lim a n = 0 ，则n∞∞∞∞（A ）当∑bn 收敛时， ∑a n bn 收敛.（B ）当∑bn 发散时， ∑a n bn 发散.n =1 n =1n =1 n =1∞∞∞∞(C)当∑ b 收敛时， ∑a 2b2收敛. (D)当∑ b 发散时， ∑ a 2b2发散.nn =1n nn =1nn =1n nn =1【答案】C.【解析】方法一：举反例：（A ）取 a = b = (-1)n1nn1（B ）取a n = b n = n（D ）取 a n = b n = n故答案为（C ）.方法二：因为lim a n = 0, 则由定义可知∃N 1, 使得 n > N 1 时，有 a n < 1n又因为∑ bnn =1收敛，可得lim b n →∞= 0, 则由定义可知∃N 2 , 使得 n > N 2 时，有 b n < 1从而，当 n > N + N 时，有 a 2b 2< b ，则由正项级数的比较判别法可知∑ a 2b2 收敛.12n nnn nn =1（5）设α ,α ,α 是 3 维向量空间 R 3的一组基，则由基α ,1 α, α 到 基 123α1 + α2 ,α2 + α3 ,α3 + α1 的过渡矩阵为⎛ 1 0 1 ⎫ 1 2⎛ 1 2 0 ⎫ 2 33 (A) 2 2 0 ⎪.(B) 0 2 3 ⎪ . ⎪ 0 3 3 ⎪ ⎪ 1 0 3 ⎪ ∞ nnCB A1 1⎝ ⎭B O ⎝ ⎭ ⎪ ⎛ 11 - 1 ⎫⎛ 1 - 1 1 ⎫2 4 6 ⎪2 2 2 ⎪ ⎪ ⎪ (C) -1 1 1 ⎪ . (D) 1 1 - 1 ⎪ .2 4 6 ⎪ 1 1 1 ⎪ 4 4 4 ⎪1 1 1 ⎪ -2 4 6 - 6 6 6 ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭【答案】A. 【解析】因为(η1,η2 ,,ηn ) = (α1,α2 ,,αn ) A ，则 A 称为基α1,α2 ,,αn 到η1,η2 ,,ηn 的过渡矩阵.则由基α1,2 α2 , 3α3 到α1 + α2 ,α2 + α3 ,α3 + α1 的过渡矩阵 M 满足 (α + α ,α + α ,α + α ) = ⎛α , 1α , 1 α ⎫ M1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 ⎪⎝ ⎭⎛ 1 0 1 ⎫ = ⎛α , 1 α , 1 α ⎫ 2 2 0 ⎪ 1 2 2 3 3⎪ ⎪所以此题选(A).⎝ ⎭0 3 3 ⎪**⎛ O A ⎫（6）设 A , B 均为 2 阶矩阵， A , B 分别为 A , B 的伴随矩阵，若 A = 2, B = 3 ，则分块矩阵 ⎪ 的⎝ ⎭伴随矩阵为⎛ O 3B * ⎫⎛ O 2B * ⎫( A ) ⎪ .( B ) ⎪ .⎝ 2 A*O ⎭ ⎝ 3A*O ⎭⎛ O 3A * ⎫ ⎛ O 2 A * ⎫ (C ) ⎪ .( D ) ⎪ .⎝ 2B*O ⎭ 【答案】B.⎝ 3B*O ⎭【解析】根据CC * = C E ，若C * = C C -1,C -1=1 C *⎛ O A ⎫ O A 2⨯2分块矩阵 B O ⎪的行列式 B O =（-1） A B = 2 ⨯ 3 = 6 ，即分块矩阵可逆⎛ O 1B * ⎫ ⎛ O A ⎫*O A ⎛ O A ⎫-1⎛ O B-1 ⎫ ⎪ ⎪ = ⎪ = 6 -1 ⎪ = 6⎪⎝ B O ⎭ B 0 ⎝ B O ⎭ ⎝ AO ⎭ 1 A *O ⎪ ⎪⎝ ⎭1 ⎛ O 1 B * ⎫= 3 ⎪ ⎛ O 2B * ⎫61 ⎪ = 3A * O ⎪A *⎝ 2O ⎪ ⎝ ⎭ ⎭故答案为（B ）.⎛ x -1 ⎫（7）设随机变量 X 的分布函数为 F ( x ) = 0.3Φ ( x ) + 0.7Φ 2 ⎪ ，其中Φ ( x ) 为标准正态分布函数，则⎝ ⎭ EX =(A) 0 .(B) 0.3 .(C) 0.7 .(D)1.【答案】C.⎛ x -1 ⎫【解析】因为 F ( x ) = 0.3Φ ( x ) + 0.7Φ 2 ⎪ ，⎝ ⎭所以 F '( x ) = 0.3Φ'( x ) + 0.7 Φ'⎛ x -1 ⎫， 2 2 ⎪ ⎝ ⎭所以 EX = +∞ xF '( x )dx = +∞ ⎡ Φ'( x ) + 0.35Φ'⎛ x -1 ⎫⎤⎰-∞ ⎰-∞ x ⎢0.32 ⎪⎥dx= 0.3+∞ x Φ'( x ) d x + 0.35 ⎣+∞ x Φ'⎛ x -1 ⎫ dx ⎝ ⎭⎦ ⎰-∞ ⎰-∞ 2 ⎪而 +∞ x Φ'( x ) d x = 0 ， ⎝ ⎭+∞ x Φ'⎛ x -1 ⎫ dxx -1 = u 2+∞ (2u +1)Φ'(u ) du = 2⎰-∞ ⎰-∞ 2 ⎪ 2 ⎰-∞⎝ ⎭所以 EX = 0 + 0.35⨯ 2 = 0.7 .（ 8 ）设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从标准正态分布 N (0,1) ， Y 的概率分布为P {Y = 0} = P {Y = 1} = ，记 F Z ( z ) 为随机变量 Z = XY 的分布函数，则函数 F Z ( z ) 的间断点个数 2为(A)0.(B)1. (C)2. (D)3.【答案】 B.【解析】1112 2 22F Z (z ) = P ( XY ≤ z ) = P ( XY ≤ z Y = 0)P (Y = 0) + P ( XY ≤ z Y = 1)P (Y = 1) = 1[P ( XY ≤ z Y = 0) + P ( X Y ≤ z Y = 1)] 2 = 1[P ( X ⋅ 0 ≤ z Y = 0) + P ( X ≤ z Y = 1)] 2X ,Y 独立∴ F Z (z ) = 1[P ( X ⋅ 0 ≤ z ) + P ( X ≤ z )]2（1）若 z < 0 ，则 F Z (z ) = 2 Φ(z )（2）当 z ≥ 0 ，则 F Z (z ) = 2 (1+ Φ(z ))∴ z = 0 为间断点，故选（B ）.二、填空题：9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.∂2 z（9）设函数 f (u , v ) 具有二阶连续偏导数， z = f ( x , xy ) ，则∂x ∂y= .【答案】 xf "+ f '+ xyf ".∂z' '∂2 z " ' " " ' "【解析】∂x= f 1 + f 2 ⋅ y ， ∂x ∂y= xf 12 + f 2 + yx ⋅ f 22 = xf 12 + f 2 + xyf 22 .（10）） 若二阶常系数线性齐次微分方程 y ' + ay ' + by = 0 的通解为 y = (C + C x ) e x ，则非齐次方程12y '' + ay ' + by = x 满足条件 y (0) = 2, y '(0) = 0 的解为 y = .【答案】 y = -xe x+ x + 2 .【解析】由 y = (c + c x )e x，得λ = λ = 1，故 a = -2,b = 11212微分方程为 y ''- 2 y '+ y = x设特解 y *= Ax + B 代入， y ' = A , A = 1-2 A + Ax + B = x-2 + B = 0, B = 2∴ 特 解 y * = x + 2∴ y = (c + c x )e x + x + 2122 024 把 y (0) = 2， y '(0) = 0 代入，得c 1 = 0, c 2 = -1∴ 所求 y = -xe x + x + 2（1）已知曲线 L : y = x2(0 ≤ x ≤ 132 ) ，则⎰Lxds = .【答案】6【解析】由题意可知， x = x , y = x 2, 0 ≤ x ≤ ，则ds =(x ')2+ ( y ')2dx =1+ 4x 2 dx ，所以⎰ xds = ⎰x 1+ 4x 2 dx =1⎰21+ 4x 2 d (1+ 4x 2 )L= 1 ⋅ 2 8 3 0(1+ 4x 2 )3 08 0= 136 （12）设Ω= {( x , y , z ) x2+ y 2 + z 2 ≤ 1}，则 ⎰⎰⎰ z 2dxdydz = .Ω【答案】 π .15【解析】方法一：⎰⎰⎰ z 2 dxdydz = ⎰2π d θ ⎰π d ϕ ⎰1ρ 2 sin ϕρ 2 cos 2 ϕd ρ = ⎰2π d θ ⎰π cos 2ϕd (-cos ϕ )⎰1ρ 4 d ρ= 2π ⋅ - cos 3 ϕ ⎰π ⋅ 1d ϕ = 4π 3 05 15方法二：由轮换对称性可知 ⎰⎰⎰ z 2dxdydz = ⎰⎰⎰ x 2dxdydz = ⎰⎰⎰ y 2dxdydzΩΩΩ所以，⎰⎰⎰ z 2dxdydz = 1⎰⎰⎰(x2+ y 2 + z 2 )dxdydz =1⎰πd ϕ ⎰2π d θ ⎰1r 4 sin ϕdrΩ3 Ω3 02π ⎰πsin ϕd ϕ ⎰1r 4 dr =2π ⋅ 1 ⋅ ⎰π sin ϕd ϕ = 4π 33 5 0 15（13）若 3 维列向量α , β 满足α Tβ = 2 ，其中α T为α 的转置，则矩阵 βα T的非零特征值为 .【答案】2.【解析】α T β = 221 2mx y xx xy xx yy∴ βα T β = β (α T β ) = 2 ⋅ β ,∴ βα T 的非零特征值为 2.(14)设 X , X ,, X 为来自二项分布总体 B (n , p ) 的简单随机样本， X 和 S 2 分别为样本均值和样本方差. 若 X + kS 2为 np 2的无偏估计量，则 k = . 【答案】 -1.-【解析】X + kS 2 为 np 2 的无偏估计-∴ E ( X + kX 2 ) = np 2 ∴ np + knp (1- p ) = np 2∴1+ k (1- p ) = p ∴ k (1- p ) = p -1 ∴ k = -1三、解答题：15~23 小题，共 94 分.（15）（本题满分 9 分） 求二元函数 f (x , y ) = x 2(2 + y 2) + y ln y 的极值.【解析】f '(x , y ) = 2x (2 + y 2 ) = 0f '(x , y ) = 2x 2 y + ln y +1 = 01故 x = 0, y =ef '' = 2(2 + y 2 ), f ' = 2x 2 + 1, f '' = 4xy xx yyy xy则 f ''1= 2(2 +1) ， f '= 0 ， f '= e .xx (0, )ee 2xy 1 (0,) eyy (0, ) ef '' > 0 而( f '' )2 - f '' f '' < 0∴二元函数存在极小值 f (0, 1) =- 1 .e e（16）（本题满分 9 分）设 a n 为曲线 y = x n 与 y = x n +1 (n = 1, 2,..... ) 所围成区域的面积，记1∞∞2 2 22n -1（ ）（ x 2⎪S 1 = ∑ a n , S 2 = ∑ a 2n -1 ，求 S 1 与 S 2 的值.n =1n =1【解析】由题意， y = x n 与 y=xn+1在点 x = 0 和 x = 1处相交，1n n +11 n +1 1n +21 1 1 所以a n =⎰ 0 (x - x)dx = ( x n + 1 - xn + 2 ) = - 0 n + 1 ， n + 2∞N1 1111 1 1从而S 1 = ∑ a n = lim ∑ a n = lim ( - ++ - ) = lim ( - ) = n =1N →∞ n =1 N →∞ 2 3 N +1 N + 2 N →∞ 2 N +2 2S = ∑ a= ∑ 1 - 1 = 1 - 1 + + 1 - 1 ) = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 n =1n =1 2n2n +1 2 3 2N 2N+1 2 3 4 5 61 2(n -1)x n 由ln(1+x)=x- x 2++ (-1)n+取 x = 1 得ln(2) = 1- ( 1 - 1 +12 3 4) = 1- S 2 ⇒ S 2 = 1- ln 2 . x 2（17）（本题满分 11 分）椭球面 S 1 是椭圆 + y 2 = 1绕 x 轴旋转而成，圆锥面 S 是过点(4, 0) 且与椭圆x 2 + y 2 =4 34 31相切的直线绕 x 轴旋转而成.（Ⅰ）求 S 1 及 S 2 的方程（Ⅱ）求 S 1 与 S 2 之间的立体体积.2 【解析】（I ） S 1 的方程为 4 +y 2 + z 23= 1 ，x 2y 2⎛ 1 ⎫过点(4, 0) 与 + 4 3 = 1的切线为 y = ± x - 2 ⎪ ，⎝ ⎭所以 S 的方程为 y 2+ z 2= ⎛ 12 x - 2 ⎫ . ⎝ ⎭3 9（II ）S 1 与 S 2 之间的体积等于一个底面半径为 2 、高为 3 的锥体体积 4π 与部分椭球体体积V 之差，其中V =3π⎰2(4 - x 2 )dx =5π .故所求体积为9π - 5π = π .4 1444（18）（本题满分 11 分）∞ ∞ 20 □ 3□ ) = x+ y + z ) (x + y + z ) x 0（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数 f ( x ) 在[a , b ] 上连续，在(a , b ) 可导，则存在ξ ∈(a , b ) ，使得f (b ) - f (a ) = f '(ξ )(b - a )（Ⅱ）证明：若函数 f ( x ) 在 x = 0 处连续，在(0,δ )(δ > 0) 内可导，且 lim x →0+f '( x ) = A ，则 f +' (0) 存在，且 f +' (0) = A .【解析】（Ⅰ）作辅助函数ϕ(x ) =f (x ) - f (a ) -f (b ) - f (a )b - a(x - a ) ，易验证ϕ(x ) 满足：ϕ(a ) = ϕ(b ) ； ϕ(x ) 在闭区间[a , b ] 上连续，在开区间(a , b ) 内可导，且ϕ '(x ) = 根据罗尔定理，可得在(a , b ) 内至少有一点ξ ，使ϕ ' (ξ ) = 0 ，即f '(x ) -f (b ) - f (a ) .b - af '(ξ ) -f (b ) - f (a ) = 0,∴ f (b ) - f (a ) = b - af ' (ξ )(b - a )（Ⅱ）任取 x 0 ∈(0,δ ) ，则函数 f (x ) 满足：在闭区间[0, x 0 ] 上连续，开区间(0, x 0 ) 内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在ξx ∈(0, x 0 ) ⊂ (0,δ ) ，使得f ' (ξ) = f (x 0) - f (0) …… (*)x 0- 0又由于 lim x →0+f ' ( x ) = A ，对上式（*式）两边取 x → 0+时的极限可得： f ' (0) = lim f (x 0 ) - f (0) =lim f ' (ξ ) = lim f ' (ξ) = Ax 0 →0+ x 0 - 0x 0 →0+ x 0x 0 →0+x 0故 f +' (0) 存在，且 f +'(0) = A .（19）（本题满分 10 分）计算曲面积分 I =⎰⎰∑xdydz + ydzdx + zdxdy(x2+ y 2 + z2 )2，其中∑ 是曲面2x 2 + 2 y 2 + z 2= 4 的外侧.xdydz + ydxdz + z dxdy22 2【解析】 I =⎰⎰∑(x 2 + y 2 + z 2 )3/ 2，其中2x + 2 y + z = 4∂ x y 2 + z 2 - 2x 2∂ ( 2 2 2 3/ 2 2 2 2 5 / 2 , ①∂ yx 2 + z 2 - 2 y 2( ) = , ②∂y (x 2 + y 2 + z 2 )3/ 2 (x 2 + y 2 + z 2 )5 / 2(x + ξ1 ⎪ = 12 1 = k -1 + 0 ⎝ ⎭1∂ zx 2 + y 2 - 2z 2( ) = , ③∂z (x 2 + y 2 + z 2 )3/ 2 (x 2 + y 2 + z 2 )5 / 2∴①+②+③= ∂( x ) + ∂x (x 2 + y 2 + z 2 )3/ 2 ∂ ( y ) + ∂y (x 2 + y 2 + z 2 )3/ 2∂ ( z ∂z (x 2 + y 2 + z 2 )3/ 2 ) = 0由于被积函数及其偏导数在点（0，0，0）处不连续，作封闭曲面（外侧）∑ : x 2 + y 2 + z 2 = R 2 .0 < R < 1有 16□⎰= □⎰ xdydz + ydxdz + zdxdy = (x 2 + y 2 + z 2 )3/ 2 □⎰ xdydz + ydxdz + zdxdy = R 3 R 3 ⎰⎰⎰3dV = 3 ⋅ 4π R 3= 4π R 3 3 ∑∑1∑1Ω（20）（本题满分 11 分）⎛ 1 -1 -1⎫ ⎛ -1⎫设 A = -1 1 1 ⎪ ⎪ 1 ⎪ 0 -4 -2 ⎪-2 ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭（Ⅰ）求满足 A ξ = ξ 的ξ . A 2ξ = ξ 的所有向量ξ , ξ . 2123123（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量ξ2 , ξ3 证明ξ1 , ξ2 , ξ3 无关. 【解析】（Ⅰ）解方程 A ξ2 = ξ1⎛ 1 -1 -1 -1 ⎫ ⎛ 1 -1 -1 -1⎫ ⎛ 1 -1 -1 -1⎫ ( A ,ξ ) = -1 1 1 1 ⎪ →0 0 0 0 ⎪ → 0 2 1 1 ⎪ 1⎪ ⎪ ⎪ 0 -4 -2 - 2 ⎪ 0 2 1 1 ⎪ 0 0 0 0 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ r ( A ) = 2 故有一个自由变量，令 x 3 = 2 ，由 Ax = 0 解得， x 2 = -1, x 1 = 1求特解，令 x 1 = x 2 = 0 ，得 x 3 = 1⎛ 1 ⎫ ⎛ 0 ⎫ ⎪ ⎪2 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝ ⎭ ⎝⎭ ，其中 k 1 为任意常数.解方程 A 2ξ 3 = ξ1⎛ 2 2 0 ⎫ A 2=-2 -2 0 ⎪⎪ 4 4 0 ⎪ ξ故ξ⎝ ⎭ 2 2 ⎝ ⎭ 1 2 1⎛ 2 2 0-1⎫ ⎛1 1 0 -1 ⎫2 ⎪ ( A 2,ξ ) = -2 -2 0 1 ⎪ → 0 0 0 0 ⎪1 ⎪⎪ 4 4 0 2 ⎪ 0 0 0 0 ⎪ ⎪⎝ ⎭故有两个自由变量，令 x = -1 ，由 A 2x = 0 得 x= 1, x = 0⎛ 1 ⎫ ⎪ ⎪ 2⎛ 1 ⎫ ⎪ 13⎛ 1 ⎫ ⎪ ⎪求特解η2 = 0 ⎪ 0 ⎪⎪⎝ ⎭故 ξ3 = k 2 -1⎪ + 0 ⎪ 0 ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎝ ⎭ ，其中k 2 为任意常数.（Ⅱ）证明：-1k 1k 2 + 21 1由于 1 -k 1 -k 2 = 2k 1k 2 + (2k 1 +1)(k 2 + 2) - 2k 1(k 2 + 2) - k 2 (2k 1 +1)-2 2k 1 + 1 0= 1 ≠ 0 2故ξ1,ξ2 ,ξ3线性无关.（21）（本题满分 11 分）设二次型 f ( x , x , x ) = ax 2 + ax 2 + (a -1) x 2 + 2x x - 2x x1231231 32 3（Ⅰ）求二次型 f 的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型 f 的规范形为 y 2 + y 2，求a 的值.⎛ a 0 1 ⎫ 【解析】（Ⅰ） A = 0 a -1 ⎪⎪ 1 -1 a -1⎪ ⎝ ⎭| λE - A |= λ - a0 0λ - a -1 1= (λ - a ) λ - a 1 -λ - a -11λ - a +11 λ - a +1 -1 1= (λ - a )[(λ - a )(λ - a +1) -1] -[0 + (λ - a )] = (λ - a )[(λ - a )(λ - a +1) - 2] = (λ - a )[λ 2 - 2a λ + λ + a 2 - a - 2]= (λ - a ){[a λ + 1 (1- 2a )]2 - 9}2 4= (λ - a )(λ - a + 2)(λ - a -1)1 2 3 3 6 6 C ⋅ C 6 6C ⋅ C ∴λ1 = a , λ2 = a - 2, λ3 = a +1（Ⅱ） 若规范形为 y 2 + y 2，说明有两个特征值为正，一个为 0.则1) 若λ1 = a = 0 ，则λ2 = -2 < 0 ， λ3 = 1 ，不符题意2) 若λ2 = 0 ，即a = 2 ，则λ1 = 2 > 0 ， λ3 = 3 > 0 ，符合3) 若λ3 = 0 ，即a = -1 ，则λ1 = -1 < 0 ， λ2 = -3 < 0 ，不符题意综上所述，故 a = 2 .（22）（本题满分 11 分）袋中有 1 个红色球，2 个黑色球与 3 个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以 X ,Y , Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数. （Ⅰ）求 p {X = 1 Z = 0}；（Ⅱ）求二维随机变量( X ,Y ) 概率分布.【解析】（Ⅰ）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有 1 个红球，2 个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球C 1⨯ 2 4 ∴ P ( X = 1 Z = 0) = 2 = . C 1 ⋅ C 19（Ⅱ）X ，Y 取值范围为 0，1，2，故P ( X = 0,Y = 0) = 3 3 , P ( X = 2,Y = 0) = 6 6 6 6 6 6 6 6 1 1 P ( X = 1,Y = 1) = 2 2= C 1 ⋅ C 11 , P ( X = 2,Y = 1) = 09 1 1P ( X = 0,Y = 2) = 2 2 = C 1 ⋅ C 1 9 P ( X = 1,Y = 2) = 0, P ( X = 2,Y = 2) = 01 C 1 ⋅ C 1 = 1 C 1 ⋅ C 11 P ( X = 1,Y = 0) =23 = C 1 ⋅ C 14 C 1 ⋅ C 1 61 = 1 C 1 ⋅ C 1 ⋅ C 1, P ( X = 0,Y = 1) = 2 2 3 = 1C 1 ⋅ C 136 C 1 ⋅ C 13n1nii1 n n⎧λ 2 xe -λ x , x > 0（23）（本题满分 11 分） 设总体 X 的概率密度为 f (x ) = ⎨ ⎩0,其他 ，其中参数 λ(λ > 0) 未知，X 1 , X 2 ,…, X n 是来自总体 X 的简单随机样本. (Ⅰ)求参数λ 的矩估计量；（Ⅱ）求参数λ 的最大似然估计量【解析】（1） 由 EX = X 而 EX = ⎰+∞ λ 2 x 2e -λ x dx = 2 = X ⇒ λˆ = 2为总体的矩估计量λX（2） 构造似然函数L ( x ,....., x ; λ ) = ∏ f ( x ; λ ) = λ 2n⋅∏ x ⋅ e-λ∑ x ii =1i =1i =1取对数ln L = 2n ln λ + ∑ln x i - λ∑ x ii =1i =1令 d ln L d λ = 0 ⇒- ∑ x i = 0 ⇒ λ = i =1 2n ∑ x i i =1= 2 ∑ x ii =1 故其最大似然估计量为λ'' = 2.Xn n n n n 2n λ n。