江苏省高考数学总复习优编增分练：高考解答题分项练(三)应用题

高考小题分项练13推理与证明1．在一个俱乐部里,有老实人和骗子两类成员，老实人永远说真话，骗子永远说假话，一次我们和俱乐部的四个成员谈天，我们便问他们:“你们是什么人，是老实人？还是骗子？”这四个人的回答如下：第一个人说：“我们四个人全都是骗子"；第二个人说：“我们当中只有一个人是骗子”；第三个人说：“我们四个人中有两个人是骗子”；第四个人说：“我是老实人”．请判断一下，第四个人是老实人吗？________.（请用“是"或“否”作答)答案是解析依据题设条件可知前三个人的说法都是在撒谎,因说别人是骗子的都是不诚实的,所以依据题设中的规则第四个人说的是真话，即第四个人是老实人,所以应填是．2．用反证法证明命题“设a,b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是________．①方程x2＋ax＋b＝0没有实根；②方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根;③方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根；④方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根．答案①解析反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是方程x2＋ax＋b＝0没有实根．3．观察下列规律｜x｜＋｜y|＝1的不同整数解（x，y)的个数为4，|x｜＋｜y｜＝2的不同整数解（x,y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12,…。

则|x｜＋｜y｜＝20的不同整数解(x，y)的个数为________．答案80解析观察可得不同整数解的个数4,8,12，…可以构成一个首项为4,公差为4的等差数列，通项公式为a n＝4n，则所求为第20项,所以a20＝80.4．n＝错误!表示一个三位数,记f（n）＝(a＋b＋c)＋（a×b＋b×c＋a×c)＋a×b×c,如f(123)＝（1＋2＋3）＋(1×2＋2×3＋1×3）＋1×2×3＝23,则满足f（n)＝n的三位数共有______个．答案9解析因为a＋b＋c＋ab＋bc＋ac＋abc＝100a＋10b＋c，所以（ab＋a＋b)（c＋1）＝10（10a＋b)⇒c＋1＝10，ab＋a＋b＝10a＋b⇒b＝9，a取1到9，共9个．5．对于任意正整数n，定义“n！！”如下：当n是偶数时，n！！＝n·(n－2）·（n－4)·…·6·4·2，当n是奇数时，n！！＝n·（n －2)·(n－4）·…·5·3·1,且有n！＝n·（n－1)·（n－2）·…·3·2·1。

(八)数列(B)1．(2018·江苏金陵中学期末)设数列{a n }的前n 项的和为S n ，且满足a 1＝2，对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝(p －1)S n ＋2(其中常数p >1)，数列{b n }满足b n ＝1nlog 2(a 1a 2…a n )． (1)求证：数列{a n }是等比数列；(2)若p ＝222017，求b 2 018的值；(3)若∃k ∈N *，使得p ＝2221k +，记c n ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b n －32，求数列{c n }的前2(k ＋1)项的和． (1)证明 因为∀n ∈N *，都有a n ＋1＝(p －1)S n ＋2，a n ＋2＝(p －1)S n ＋1＋2，所以两式相减得a n ＋2－a n ＋1＝(p －1)a n ＋1，即a n ＋2＝pa n ＋1，当n ＝1时，a 2＝(p －1)a 1＋2＝pa 1，所以a n ＋1＝pa n (n ∈N *)，又a 1＝2，p >1，所以{a n }是以2为首项，p 为公比的等比数列．(2)解 由(1)得a n ＝2p n －1.b n ＝1n log 2(a 1a 2…a n )＝ 1n log 2(1)22n n n p -⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋n (n －1)2 017 所以b 2 018＝2.(3)解 由(1)得a n ＝2p n －1.b n ＝1n log 2(a 1a 2…a n )＝ 1n log 2(1)22n n n p -⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝ 1n log 2(1)2122n n n k -+⎡⎤⨯⎢⎥⎣⎦＝1＋n －12k ＋1. 因为b n －32＝2n －2k －32(2k ＋1)， 所以当1≤n ≤k ＋1时，c n ＝32－b n ， 当n ≥k ＋2时，c n ＝b n －32.因此数列{c n }的前2(k ＋1)项的和T 2k ＋2 ＝－(b 1＋b 2＋…＋b k ＋1)＋(b k ＋2＋b k ＋3＋…＋b 2k ＋2)＝－0＋1＋…＋k 2k ＋1＋ (k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋2k ＋12k ＋1＝－k (k ＋1)22k ＋1＋ (k ＋1)(k ＋2k ＋2)22k ＋1＝(k ＋1)22k ＋1. 2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a 2＝2，设b n ＝a n ＋a n ＋1，c n ＝a n ·a n ＋1(n ∈N *)．(1)若数列{b 2n －1}是公比为3的等比数列，求S 2n ；(2)若数列{b n }是公差为3的等差数列，求S n ；(3)是否存在这样的数列{a n }，使得{b n }成等差数列和{c n }成等比数列同时成立，若存在，求出{a n }的通项公式；若不存在，请说明理由． 解 (1)b 1＝a 1＋a 2＝1＋2＝3， S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝b 1＋b 3＋…＋b 2n －1＝3(1－3n )1－3＝3n ＋1－32. (2)∵b n ＋1－b n ＝a n ＋2－a n ＝3，∴{a 2k －1}，{a 2k }均是公差为3的等差数列， a 2k －1＝a 1＋(k －1)·3＝3k －2，a 2k ＝a 2＋(k －1)·3＝3k －1，当n ＝2k (k ∈N *)时， S n ＝S 2k ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2k －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2k ) ＝k (1＋3k －2)2＋k (2＋3k －1)2 ＝3k 2＝3n 24； 当n ＝2k －1(k ∈N *)时， S n ＝S 2k －1＝S 2k －a 2k ＝3k 2－3k ＋1＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122－3·n ＋12＋1＝3n 2＋14. 综上可知，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3n 24，n ＝2k ，k ∈N *，3n 2＋14，n ＝2k －1，k ∈N *.(3)∵{b n }成等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3， 即2(a 2＋a 3)＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)，。

(七)数列(A)1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋a n ＝4，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)已知c n ＝2n ＋3(n ∈N *)，记d n ＝c n ＋log C a n (C >0且C ≠1)，是否存在这样的常数C ，使得数列{d n }是常数列，若存在，求出C 的值；若不存在，请说明理由；(3)若对于数列{b n }及任意的正整数n ，均有b 1a n ＋b 2a n －1＋b 3a n －2＋…＋b n a 1＝n －成(12)n ＋22立，求证：数列{b n }是等差数列．(1)解　a 1＝4－a 1，所以a 1＝2，由S n ＋a n ＝4，得当n ≥2时，S n －1＋a n －1＝4，两式相减，得2a n ＝a n －1，所以＝，an an －112数列{a n }是以2为首项，为公比的等比数列，12所以a n ＝22－n (n ∈N *)．(2)解　由于数列{d n }是常数列，d n ＝c n ＋log C a n ＝2n ＋3＋(2－n )log C 2＝2n ＋3＋2log C 2－n log C 2＝(2－log C 2)n ＋3＋2log C 2为常数，则2－log C 2＝0，由C >0且C ≠1，解得C ＝，此时d n ＝7.2(3)证明　b 1a n ＋b 2a n －1＋b 3a n －2＋…＋b n a 1＝n －，①(12)n ＋22当n ＝1时，b 1a 1＝－＝－1，1232其中a 1＝2，所以b 1＝－.12当n ≥2时，b 1a n －1＋b 2a n －2＋b 3a n －3＋…＋b n －1a 1＝n －1－，②(12)n ＋12②式两边同时乘以，得12b 1a n ＋b 2a n －1＋b 3a n －2＋…＋b n －1a 2＝n －，③(12)n ＋14由①－③，得b n a 1＝，－n －34所以b n ＝－－(n ∈N *，n ≥2)，n 838且b n ＋1－b n ＝－，18又b 1＝－＝－－，121838所以数列{b n }是以－为首项，－为公差的等差数列．12182．在数列{a n }中，已知a 1＝，a n ＋1＝a n －，n ∈N *，设S n 为{a n }的前n 项和．131323n ＋1(1)求证：数列{3n a n }是等差数列；(2)求S n ；(3)是否存在正整数p ，q ，r (p <q <r )，使S p ，S q ，S r 成等差数列？若存在，求出p ，q ，r 的值；若不存在，说明理由．(1)证明　因为a n ＋1＝a n －，1323n ＋1所以3n ＋1a n ＋1－3n a n ＝－2.又因为a 1＝，所以31·a 1＝1，13所以{3n a n }是首项为1，公差为－2的等差数列．(2)解　由(1)知3n a n ＝1＋(n －1)·(－2)＝3－2n ，所以a n ＝(3－2n )n ，(13)所以S n ＝1·1＋(－1)·2＋(－3)·3＋…＋(3－2n )·n ，(13)(13)(13)(13)所以S n ＝1·2＋(－1)·3＋…＋(5－2n )·n ＋(3－2n )·n ＋1，13(13)(13)(13)(13)两式相减，得S n ＝－2－(3－2n )·n ＋1＝－2＋(2n －3)·n2313[(13)2＋(13)3＋…＋(13)n](13)13[19×1－(13)n －11－13](13)＋1＝2n ·n ＋1，(13)所以S n ＝.n3n (3)解　假设存在正整数p ，q ，r (p <q <r )，使S p ，S q ，S r 成等差数列，则2S q ＝S p ＋S r ，即＝＋.2q 3q p 3p r 3r 当n ≥2时，a n ＝(3－2n )n <0，所以数列{S n }单调递减．(13)又p <q ，所以p ≤q －1且q 至少为2，所以≥，－＝.p 3p q －13q －1q －13q －12q 3q q －33q ①当q ≥3时，≥≥，p 3p q －13q －12q3q 又>0，所以＋>，等式不成立．r 3r p 3p r 3r 2q3q ②当q ＝2时，p ＝1，所以＝＋，4913r3r 所以＝，r 3r 19所以r ＝3({S n }单调递减，解唯一确定)．综上可知，存在正整数p ＝1，q ＝2，r ＝3，使得S p ，S q ，S r 成等差数列．3．设S n 为数列{a n }的前n 项和，若(n ∈N *)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”．S 2nSn (1)若数列{2b n }是首项为2，公比为4的等比数列，试判断数列{b n }是否为“和等比数列”，并给出证明；(2)若数列{c n }是首项为c 1，公差为d (d ≠0)的等差数列，且数列{c n }是“和等比数列”，试探究d 与c 1之间的等量关系．解　(1)数列{b n }为“和等比数列”，证明如下：因为数列{2b n }是首项为2，公比为4的等比数列，所以2b n ＝2·4n －1＝22n －1，因此b n ＝2n －1.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝n 2，T 2n ＝4n 2，所以＝4，T 2nTn 因此数列{b n }为“和等比数列”．(2)设数列{c n }的前n 项和为R n ，且＝k (k ≠0)．R 2nRn 因为数列{c n }是等差数列，所以R n ＝nc 1＋d ，n (n －1)2R 2n ＝2nc 1＋d ，2n (2n －1)2所以＝＝k 对于n ∈N *都成立，R 2nRn 2nc 1＋2n (2n －1)2dnc 1＋n (n －1)2d 化简，得(k －4)dn ＋(k －2)(2c 1－d )＝0，则Error!因为d ≠0，所以k ＝4，d ＝2c 1，因此d 与c 1之间的等量关系为d ＝2c 1.。

高考解答题仿真练31．(2018·全国大联考江苏卷)设f (α)＝m ·n ，其中向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α4，12，n ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin α4，cos α2－1. (1)若f (α)＝－1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α2的值； (2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a cos B ＋b cos A ＋2c ·cos C ＝0，求函数f (A )的取值范围．解 (1)∵f (α)＝m ·n ＝－1，∴32cos α4·2sin α4＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－1＝－1， ∴32sin α2＋12·cos α2＝－12， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π6＝－12， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α2 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α2＝－12. (2)由题意，得f (A )＝32cos A 4·2sin A 4＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A 2－1 ＝32sin A 2＋12cos A 2－12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6－12， 在△ABC 中，由a cos B ＋b cos A ＋2c ·cos C ＝0及正弦定理知，sin A cos B ＋sin B cos A ＋2sin C ·cos C ＝0，∴sin(A ＋B )＋2sin(A ＋B )·cos C ＝0，又∵sin(A ＋B )≠0，∴cos C ＝－12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝2π3，∴0<A <π3，0<A2<π6，π6<A2＋π6<π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A2＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.∴函数f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6－12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3－12.即函数f (A )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3－12.2.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱DD 1的中点，求证：(1)BD 1∥平面EAC ；(2)平面EAC ⊥平面AB 1C .证明 (1)连结BD 交AC 于O ，连结EO .因为O 为BD 的中点，E 为DD 1的中点，所以EO ∥BD 1.又BD 1⊄平面EAC ，EO ⊂平面EAC ，所以BD 1∥平面EAC .(2)因为DD 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以DD 1⊥AC ，又AC ⊥BD ，BD ∩DD 1＝D ，BD ，DD 1⊂平面BDD 1，所以AC ⊥平面BDD 1，所以AC ⊥BD 1，同理可证AB 1⊥BD 1.又AC ∩AB 1＝A ，AC ，AB 1⊂平面AB 1C ，所以BD 1⊥平面AB 1C ，所以BD 1垂直于平面AB 1C 内的任意一条直线．因为EO ∥BD 1，所以EO 垂直于平面AB 1C 内的任意一条直线，所以EO ⊥平面AB 1C .又EO ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面AB 1C .3.在一水域上建一个演艺广场．演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC 及矩形表演台BCDE 四个部分构成(如图)．看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB ，AC 为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍；矩形表演台BCDE 中，CD ＝10米；三角形水域ABC 的面积为4003平方米．设∠BAC ＝θ.(1)求BC 的长(用含θ的式子表示)；(2)若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价．解 (1)因为看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，所以AB ＝3AC .在△ABC 中，S △ABC ＝12AB ·AC ·sin θ＝4003， 所以AC 2＝800sin θ. 由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos θ ＝4AC 2－23AC 2·cos θ＝(4－23cos θ)·800sin θ， 即BC ＝(4－23cos θ)·800sin θ＝40 2－3cos θsin θ， 所以BC ＝40 2－3cos θsin θ，θ∈(0，π)． (2)设表演台的总造价为W 万元．因为CD ＝10 m ，表演台每平方米的造价为0.3万元，所以W ＝3BC ＝1202－3cos θsin θ，θ∈(0，π)． 记f (θ)＝2－3cos θsin θ，θ∈(0，π)，则f ′(θ)＝3－2cos θsin 2θ. 由f ′(θ)＝0，解得θ＝π6. 当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6时，f ′(θ)<0；当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π时，f ′(θ)>0. 故f (θ)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π上单调递增， 从而当θ＝π6时，f (θ)取得最小值，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝1. 所以W min ＝120(万元)．答 表演台的最低造价为120万元．4．已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，且过点P (2,1)和A (5,0)，过点P 且垂直于直线OP 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝25交于R (x 1，y 1)，S (x 2，y 2)两点(其中y 1>0，y 2<0)，T 为圆C 上异于R ，S 的任意一点，射线RT ，ST 分别交直线OP 于M ，N 两点．(1)求椭圆E 的方程；(2)若T 点的坐标为(3,4)，求点N 的坐标；(3)设M ，N 的横坐标分别为s ，t ，试探究s ·t 是否为定值？若为定值，求出这个值；若不为定值，请说明理由．解 (1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，4a 2＋1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝25，b 2＝2521， 所以椭圆E 的方程为x 225＋21y 225＝1. (2)易知直线l 的方程为y ＝－2x ＋5，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－2x ＋5，x 2＋y 2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝－3，即R (0,5)，S (4，－3)，则直线ST 的方程为y ＝－7x ＋25，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－7x ＋25，y ＝12x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝103，y ＝53，即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫103，53.(3)①当T (0，－5)时，k TS ＝k OP ，不符合题意；当T (4,3)时，直线RT 的方程为y ＝－12x ＋5，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x＋5，y ＝12x ，得s ＝5，直线ST 的方程为x ＝4，则t ＝4，此时，s ·t ＝20.②设T (x 0，y 0)(x 0≠0，且x 0≠4)，则直线RT 的方程为y ＝y 0－5x 0x ＋5，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝y 0－5x 0x ＋5，y ＝12x ，解得s ＝512－y 0－5x 0，直线ST 的方程为y ＝y 0＋3x 0－4(x －4)－3，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝y 0＋3x 0－4(x －4)－3，y ＝12x ，解得t ＝－3－4(y 0＋3)x 0－412－y 0＋3x 0－4，所以s ·t ＝512－y 0－5x 0·－3－4(y 0＋3)x 0－412－y 0＋3x 0－4＝－5·2x 0x 0－2y 0＋10·6x 0＋8y0x 0－2y 0－10＝－20·3x 20＋4x 0y 0x 20＋4y 20－4x 0y 0－100＝－20·3x 20＋4x 0y 0－3x 20－4x 0y 0＝20.综上，s ·t 为定值20.5．(2018·启东期末)已知函数f (x )＝e x ＋a e －x －1，集合A ＝{x |x 2－x ≤0}．(1)当a ＝－3时，解不等式f (x )>1；(2)若B ＝{x |log 2f (x )≥1}，且A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围；(3)当a >1时，若函数f (x )的定义域为A ，求函数f (x )的值域． 解 (1)当a ＝－3时，由f (x )>1得e x －3e －x －1>1， 所以e 2x －2e x －3>0，即(e x －3)(e x ＋1)>0，所以e x >3，故x >ln 3，所以不等式的解集为(ln 3，＋∞)．(2)由x 2－x ≤0，得0≤x ≤1，所以A ＝{x |0≤x ≤1}． 因为A ∩B ≠∅，所以log 2f (x )≥1在[0,1]上有解，即 f (x )≥2在[0,1]上有解，即e x ＋a e －x －3≥0在[0,1]上有解，所以a ≥3e x －e 2x 在[0,1]上有解，即a ≥(3e x －e 2x )min .由0≤x ≤1得1≤e x ≤e，所以3e x －e 2x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －322＋94∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3e －e 2，94，所以a ≥3e－e 2.(3)设t ＝e x ，由(2)知1≤t ≤e，记g (t )＝t ＋a t －1(t >1，a >1)，则g ′(t )＝1－a t 2＝(t ＋a )(t －a )t 2，当t 变化时，g ′(t )，g (t )的变化情况如下表所示.①当a ≥e，即a ≥e 2时，g (t )在[1，e]上单调递减， 所以g (e)≤g (t )≤g (1)，即e ＋ae －1≤g (t )≤a .所以f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤e ＋ae －1，a .②当1<a <e ，即1<a <e 2时，g (t )min ＝ g (a )＝2a －1，g (t )max ＝max{g (1)，g (e)} ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，e ＋a e －1. 1°当a >e ＋a e －1，即e<a <e 2时，g (t )max ＝g (1)＝a ，所以f (x )的值域为[2a －1，a ]； 2°当a ≤e＋a e －1，即1<a ≤e 时，g (t )max ＝ g (e)＝e ＋a e －1，所以f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a －1，e ＋a e －1.综上所述，当1<a ≤e 时，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a －1，e ＋a e －1；当e<a <e 2时，f (x )的值域为[2a －1，a ]； 当a ≥e 2时，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤e ＋a e －1，a .6．(2018·盐城期末)设数列{a n }，{b n }满足b n ＋1＝a 1＋a 1b n －a 2.(1)若b 1＝2，数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，求数列{b n }的通项公式；(2)若a n ＝a n1(a 1<0)，且b 1＝3a 1，①试用a 1和n 表示b n ；②若b 2<0，对任意的i ，j ∈N *，试用a 1表示b i －b j 的最大值． 解 (1)由题意得{a n }的前n 项和S n ＝n 2，令n ＝1，得a 1＝1，令n ＝2，得S 2＝a 1＋a 2＝4， 所以a 2＝3，所以b n ＋1＝b n －2，所以{b n }是首项为2，公差为－2的等差数列， 所以b n ＝－2n ＋4(n ∈N *)．(2)①由a n ＝a n 1(a 1<0)得a 2＝a 21，所以b n ＋1＝a 1＋a 1b n －a 21，即b n ＋1－a 1＝a 1(b n －a 1)，又因为b 1－a 1＝2a 1≠0，所以{b n －a 1}构成等比数列，从而b n －a 1＝2a 1·a n －11＝2a n1，所以b n ＝2a n1＋a 1(n ∈N *)．②由题意得b 2<0，则2a 21＋a 1<0得－12<a 1<0， 从而b 2n －1＝－2|a 1|2n －1＋a 1<a 1且{b 2n －1}单调递增； b 2n ＝2|a 1|2n ＋a 1>a 1且{b 2n }单调递减， 从而b 1<b 3<b 5<…<b 2n －1<…<a 1<…<b 2n <…<b 6<b 4<b 2， 所以对任意i ，j ∈N * ，b i －b j 的最大值为b 2－b 1＝2a 21－2a 1.。

高考解答题仿真练21．已知函数f (x )＝(1＋3tan x )cos 2x . (1)求函数f (x )的定义域和最小正周期；(2)当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，求函数f (x )的值域．解 (1)函数f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z ，因为f (x )＝(1＋3tan x )cos 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3sin x cos x cos 2x＝cos 2x ＋3sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋32sin 2x＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得π6<2x ＋π6<7π6，所以－12<sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1，所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f (x )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32，即函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32.2．(2018·泰州期末)如图，在三棱锥A －BCD 中，E 是底面正△BCD 边CD 的中点，M ，N 分别为AB ，AE 的中点．(1)求证：MN ∥平面BCD ；(2)若AE ⊥平面BCD ，求证：BE ⊥平面ACD .证明 (1)在△ABE 中，M ，N 分别为AB ，AE 的中点， 所以MN ∥BE ，又BE ⊂平面BCD ，MN ⊄平面BCD ， 所以MN ∥平面BCD .(2)因为AE ⊥平面BCD ，BE ⊂平面BCD ， 所以AE ⊥BE .又E 是底面正△BCD 的边CD 的中点， 所以BE ⊥CD .又AE ∩CD ＝E ，AE ，CD ⊂平面ACD ， 所以BE ⊥平面ACD .3.一缉私艇巡航至距领海边界线l (一条南北方向的直线)3.8海里的A 处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍，假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．(1)若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得其用最短时间在领海内拦截成功；⎝ ⎛⎭⎪⎫参考数据：sin 17°≈36，33≈5.744 6(2)问：无论走私船沿任何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由． 解 (1)设缉私艇在C 处与走私船相遇，如图所示，依题意，AC ＝3BC .在△ABC 中，由正弦定理，得sin∠BAC ＝BC AC ·sin∠ABC ＝sin 120°3＝36.因为sin 17°≈36，所以∠BAC ＝17°. 从而缉私艇应向北偏东47°方向追击．在△ABC 中，由余弦定理，得cos 120°＝42＋BC 2－AC28BC ，解得BC ＝1＋334≈1.686 15.又B 到边界线l 的距离为3.8－4sin 30°＝1.8. 因为1.686 15<1.8，所以能在领海上成功拦截走私船.(2)如图所示，以A 为原点，正北方向所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系xAy ，则B (2,23)．设缉私艇在P (x ，y )处(缉私艇恰好截住走私船的位置)与走私船相遇，则PA PB＝3，即x 2＋y 2(x －2)2＋(y －23)2＝3.整理，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －9432＝94，所以点P (x ，y )的轨迹是以点⎝ ⎛⎭⎪⎫94，943为圆心，32为半径的圆. 因为圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫94，943到领海边界线l ：x ＝3.8的距离为1.55，大于圆的半径32，所以无论走私船沿任何方向逃跑，缉私艇总能在领海内截住走私船．4.如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右顶点、上顶点分别为A ，B ，坐标原点到直线AB的距离为433，且a ＝2b .(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的左焦点F 1的直线l 交椭圆于M ，N 两点，且该椭圆上存在点P ，使得四边形MONP (图形上的字母按此顺序排列)恰好为平行四边形，求直线l 的方程．解 (1)直线AB 的方程为bx ＋ay －ab ＝0，坐标原点到直线AB 的距离为433＝ab a 2＋b2，所以a 2b 2a 2＋b 2＝163，又a ＝2b ，解得a ＝4，b ＝22， 故椭圆的方程为x 216＋y 28＝1.(2)由(1)可求得椭圆的左焦点为F 1(－22，0)， 易知直线l 的斜率不为0， 故可设直线l ：x ＝my －22，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，因为四边形MONP 为平行四边形，所以 OP →＝OM →＋ON →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， 所以P (x 1＋x 2，y 1＋y 2)， 联立⎩⎨⎧x ＝my －22，x 2＋2y 2－16＝0，得(m 2＋2)y 2－42my －8＝0，因为Δ＝64(m 2＋1)>0， 且y 1,2＝42m ±64(m 2＋1)2(m 2＋2)， 所以y 1＋y 2＝42mm 2＋2，所以x 1＋x 2＝－82m 2＋2， 因为点P (x 1＋x 2，y 1＋y 2)在椭圆上， 所以(x 1＋x 2)2＋2(y 1＋y 2)2＝16， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫－82m 2＋22＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫42m m 2＋22＝16，解得m ＝±2， 所以直线l 的方程为x ±2y ＋22＝0.5．已知函数f (x )＝a x－x ln a ＋32x 2－5(a >0，且a ≠1)的导函数为f ′(x )．(1)当a ＝1e (e 为自然对数的底数)时，求与曲线f (x )相切且与x 轴平行的直线l 的方程；(2)当a ＝e 时，若不等式f (x )<0的解集为(m ，n )(m <n )，证明：2<n －m <4；(3)若存在x 1，x 2∈[－1,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥e－12成立，求实数a 的取值范围．(1)解 当a ＝1e 时，f (x )＝1e x ＋x ＋32x 2－5，f ′(x )＝－1e x ＋1＋3x ＝1＋3x －1ex ，令F (x )＝1＋3x －1e x ，F ′(x )＝3＋1e x >0，则F (x )单调递增，且F (0)＝0， 故由f ′(x )＝0，得x ＝0.又f (0)＝－4，则直线l 的方程为y ＋4＝0. (2)证明 当a ＝e 时，f (x )＝e x－x ＋32x 2－5，f ′(x )＝e x －1＋3x ，令G (x )＝e x－1＋3x ，则G ′(x )＝e x＋3>0， 则G (x )单调递增，且G (0)＝0， 故由f ′(x )＝0得x ＝0，且当x >0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x <0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． 且f (1)＝e －92<0，f (2)＝e 2－1>0，f (－2)＝e －2＋3>0，f (－1)＝e －1－52<0，则－2<m <－1,1<n <2，∴2<n －m <4.(3)解 ∵存在x 1，x 2∈[－1,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥e－12成立，∴f (x )max －f (x )min ≥e－12，x ∈[－1,1]．∵f ′(x )＝a xln a －ln a ＋3x ＝3x ＋(a x－1)ln a ，①若a >1，当x <0时，3x <0，a x－1<0，ln a >0，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x >0时，3x >0，a x－1>0，ln a >0，f ′(x )>0，f (x )单调递增， ∴f ′(x )在[－1,0]上单调递减，在(0,1]上单调递增，∴f (x )min ＝f (0)＝－4，f (x )max ＝max{f (－1)，f (1)}．f (1)－f (－1)＝a －ln a ＋32－5－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＋ln a ＋32－5＝a －1a －2ln a .令g (a )＝a －1a－2ln a ，则g ′(a )＝1＋1a 2－2a ＝(a －1)2a2>0，g (a )单调递增， ∴g (a )>g (1)＝0，即f (1)>f (－1)，∴f (x )max ＝f (1)＝a －ln a －72，∴a －ln a －72＋4＝a －ln a ＋12≥e－12，a －ln a ≥e－1，令h (a )＝a －ln a ，a >1，则h ′(a )＝1－1a>0，则h (a )在(1，＋∞)上单调递增，∵h (a )≥h (e)，∴a ≥e.②若0<a <1，当x <0时，3x <0，a x－1>0，ln a <0，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x >0时，3x >0，a x－1<0，ln a <0，f ′(x )>0，f (x )单调递增， ∴f (x )在[－1,0]上单调递减，在(0,1]上单调递增， ∴f (x )min ＝f (0)＝－4，f (x )max ＝max{f (－1)，f (1)}， 由①知g (a )单调递增， 又0<a <1，∴g (a )<g (1)＝0，即f (1)<f (－1)，f (x )max ＝f (－1)＝1a ＋ln a －72，∴1a ＋ln a －72＋4＝1a ＋ln a ＋12≥e－12，1a ＋ln a ≥e－1. 令m (a )＝1a＋ln a,0<a <1，则m ′(a )＝－1a 2＋1a ＝a －1a2<0，则m (a )在(0,1)上单调递减， ∵m (a )≥m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，∴0<a ≤1e . 综上，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1e ∪[e，＋∞)．6．已知数列{a n }是公差为正数的等差数列，其前n 项和为S n ，且a 2·a 3＝15，S 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＋1－b n ＝1a n a n ＋1.①求数列{b n }的通项公式；②是否存在正整数m ，n (m ≠n )，使得b 2，b m ，b n 成等差数列？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)设数列{a n }的公差为d ，则d >0.由a 2a 3＝15，S 4＝16，得⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋d )(a 1＋2d )＝15，4a 1＋6d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝－2(舍去)，所以a n ＝2n －1.(2)①因为b 1＝a 1，b n ＋1－b n ＝1a n a n ＋1，所以b 1＝a 1＝1，b n ＋1－b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以b 1＝a 1＝1，b 2－b 1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－13，b 3－b 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15，…，b n －b n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n －1(n ≥2)，累加得b n －b 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1＝n －12n －1，所以b n ＝3n －22n －1，n ≥2.b 1＝1也符合上式．故b n ＝3n －22n －1，n ∈N *. ②假设存在正整数m ，n (m ≠n )，使得b 2，b m ，b n 成等差数列，则b 2＋b n ＝2b m . 又b 2＝43，b n ＝3n －22n －1＝32－14n －2，b m ＝32－14m －2，所以43＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－14n －2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32－14m －2，化简得2m ＝7n －2n ＋1＝7－9n ＋1.当n ＋1＝3，即n ＝2时，m ＝2(舍去)； 当n ＋1＝9，即n ＝8时，m ＝3，符合题意．所以存在正整数m ＝3，n ＝8，使得b 2，b m ，b n 成等差数列．。

(六)函数与导数(B)1．(2018·江苏省兴化一中模拟)已知函数f (x )＝x e x －ax ，a ∈R .(1)当a ＝0时，求f (x )的最小值；(2)若x ≥0时，f (x )≥ax 2恒成立，求实数a 的取值范围；(3)若函数f (x )存在极小值，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝0时，f (x )＝x e x ，f ′(x )＝(x ＋1)e x ，当x <－1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x >－1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以当x ＝－1时，f (x )取最小值为f (－1)＝－1e. (2)当x ≥0时，f (x )≥ax 2⇔x e x －ax ≥ax 2⇔e x－a ≥ax ⇔a ≤e x x ＋1， 令h (x )＝e x x ＋1(x ≥0)， 则h ′(x )＝x e x(x ＋1)2≥0， 所以h (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以h (x )min ＝h (0)＝1，所以a ≤1.(3)设g (x )＝f ′(x )＝(x ＋1)e x －a ，则g ′(x )＝(x ＋2)e x ，令g ′(x )＝0，得x ＝－2，所以g (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，所以g (x )≥g (－2)＝－1e 2－a ， 当a ≤－1e 2时，g (x )≥－1e 2－a ≥0，即f ′(x )≥0， 所以f (x )在R 上单调递增，无极值；当a >－1e 2时， 因为g (－2)＝－1e 2－a <0， g (a )＝(a ＋1)e a －a ≥(a ＋1)2－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34>0(易证e a ≥a ＋1)，所以g (－2)g (a )<0，所以g (x )在(－2，a )上有一个零点，记为x 1，则当x ∈(－2，x 1)时，f ′(x )＝g (x )<0，则f (x )单调递减；当x ∈(x 1，a )时，f ′(x )＝g (x )>0，则f (x )单调递增，所以f (x )在x ＝x 1处取得极小值．综上，若函数f (x )存在极小值，则实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e 2，＋∞. 2．设函数f (x )＝2(a ＋1)x (a ∈R )，g (x )＝ln x ＋bx (b ∈R )，直线y ＝x ＋1是曲线y ＝f (x )的一条切线．(1)求a 的值；(2)若函数y ＝f (x )－g (x )有两个极值点x 1，x 2.①试求b 的取值范围；②证明：g (x 1)＋g (x 2)f (x 1)＋f (x 2)≤1e 2＋12. (1)解 设直线y ＝x ＋1与函数y ＝f (x )的图象相切于点(x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1，y 0＝2(a ＋1)x 0，a ＋1x 0＝1，解得a ＝0. (2)①解 记h (x )＝f (x )－g (x )，则h (x )＝2x －ln x －bx .函数y ＝f (x )－g (x )有两个极值点的必要条件是h ′(x )有两个正零点．h ′(x )＝1x －1x －b ＝－bx ＋x －1x， 令h ′(x )＝0，得bx －x ＋1＝0(x >0)．令x ＝t ，则t >0.问题转化为bt 2－t ＋1＝0有两个不等的正实根t 1，t 2， 等价于⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝1－4b >0，t 1t 2＝1b >0，t 1＋t 2＝1b >0，解得0<b <14. 当0<b <14时，设h ′(x )＝0的两正根为x 1，x 2，且x 1<x 2， 则h ′(x )＝－bx ＋x －1x ＝－b (x －x 1)(x －x 2)x ＝－b (x －x 1)(x －x 2)x (x ＋x 1)(x ＋x 2).当x ∈(0，x 1)时，h ′(x )<0；当x ∈(x 1，x 2)时，h ′(x )>0；当x ∈(x 2，＋∞)时，h ′(x )<0.所以x 1，x 2是h (x )＝f (x )－g (x )的极值点，所以b 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14. ②证明 由①知x 1x 2＝x 1＋x 2＝1b. 可得g (x 1)＋g (x 2)＝－2ln b ＋1b －2，f (x 1)＋f (x 2)＝2b， 所以g (x 1)＋g (x 2)f (x 1)＋f (x 2)＝12－b ln b －b . 记k (b )＝12－b ln b －b ⎝⎛⎭⎪⎫0<b <14， 则k ′(b )＝－ln b －2⎝⎛⎭⎪⎫0<b <14， 令k ′(b )＝0，得b ＝1e 2∈⎝⎛⎭⎪⎫0，14， 所以当b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 2时，k ′(b )>0，k (b )单调递增； 当b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2，14时，k ′(b )<0，k (b )单调递减， 所以当b ＝1e 2时，k (b )取最大值1e 2＋12， 所以g (x 1)＋g (x 2)f (x 1)＋f (x 2)≤1e 2＋12. 3．设函数f (x )＝2ax ＋bx ＋c ln x .(1)当b ＝0，c ＝1时，讨论函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在x ＝1处的切线为y ＝3x ＋3a －6且函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，x 1<x 2. ①求a 的取值范围；②求f (x 2)的取值范围．解 f (x )＝2ax ＋bx＋c ln x ，x >0， f ′(x )＝2a －b x 2＋c x ＝2ax 2＋cx －b x 2. (1)当b ＝0，c ＝1时，f ′(x )＝2ax ＋1x. 当a ≥0时，由x >0，得f ′(x )＝2ax ＋1x>0恒成立，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a <0时，令f ′(x )＝2ax ＋1x >0，解得0<x <－12a； 令f ′(x )＝2ax ＋1x <0，解得x >－12a， 所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞上单调递减． 综上所述，①当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a <0时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，－12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞上单调递减． (2)①函数f (x )在x ＝1处的切线为y ＝3x ＋3a －6，所以f (1)＝2a ＋b ＝3a －3，f ′(1)＝2a ＋c －b ＝3，所以b ＝a －3，c ＝－a ，f ′(x )＝2a －b x 2＋c x ＝2ax 2－ax ＋3－a x 2， 函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，x 1<x 2，则方程2ax 2－ax ＋3－a ＝0有两个大于0的解， ⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝(－a )2－8a (3－a )>0，a 2a >0，3－a 2a >0，解得83<a <3. 所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫83，3. ②2ax 22－ax 2＋3－a ＝0，x 2＝a ＋9a 2－24a 4a ＝14⎝⎛⎭⎪⎫1＋ 9－24a ， 由83<a <3，得x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12， 由2ax 22－ax 2＋3－a ＝0，得a ＝－32x 22－x 2－1. f (x 2)＝2ax 2＋a －3x 2－a ln x 2 ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2＋1x 2－ln x 2－3x 2＝－32x 2＋1x 2－ln x 22x 22－x 2－1－3x 2. 设φ(t )＝－32t ＋1t －ln t 2t 2－t －1－3t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12， φ′(t )＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1t 2－1t (2t 2－t －1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋1t －ln t (4t －1)(2t 2－t －1)2＋3t 2 ＝－31t 2(2t 2－t －1)2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋1t －ln t (4t －1)(2t 2－t －1)2＋3t 2 ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋1t －ln t (4t －1)(2t 2－t －1)2. 当t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12时，2t ＋1t －ln t >0,4t －1>0，φ′(t )>0， 所以φ(t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12上单调递增， φ(t )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫163ln 2，3＋3ln 2， 所以f (x 2)的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫163ln 2，3＋3ln 2.。

(一)三角函数与解三角形1．(2018·南京模拟）在平面直角坐标系xOy 中,锐角α，β的顶点为坐标原点O ，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 的交点分别为P ，Q 。

已知点P 的横坐标为错误!，点Q 的纵坐标为错误!.(1）求cos 2α的值；(2）求2α－β的值．解 (1)因为点P 的横坐标为错误!,P 在单位圆上,α为锐角，所以cos α＝错误!，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝错误!。

（2）因为点Q 的纵坐标为错误!，所以sin β＝错误!。

又因为β为锐角，所以cos β＝错误!。

因为cos α＝错误!，且α为锐角,所以sin α＝错误!，因此sin 2α＝2sin αcos α＝错误!，所以sin （2α－β）＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝ 错误!×错误!－错误!×错误!＝错误!。

因为α为锐角,所以0〈2α〈π.又cos 2α>0，所以0〈2α<π2，又β为锐角，所以－错误!<2α－β<错误!,所以2α－β＝错误!.2．已知函数f （x ）＝sin 2x ＋2错误!sin x cos x ＋sin 错误!·sin 错误!，x ∈R .（1）求f （x )的最小正周期和值域；（2）若x ＝x 0错误!为f （x )的一个零点，求sin 2x 0的值．解 (1)易得f (x )＝sin 2x ＋错误!sin 2x ＋错误!(sin 2x －cos 2x ）＝错误!＋错误!sin 2x －错误!＝错误!sin 2x －cos 2x ＋错误!＝2sin 错误!＋错误!,所以f (x )的最小正周期为π,值域为错误!。

（2）由f （x 0)＝2sin 错误!＋错误!＝0,得sin 错误!＝－错误!〈0，又由0≤x 0≤错误!，得－错误!≤2x 0－错误!≤错误!,所以－错误!≤2x 0－错误!<0,故cos 错误!＝错误!，此时sin 2x 0＝sin 错误!＝sin错误!cos 错误!＋cos错误!sin 错误!＝－错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!。

“•■^1 专题三工三角函数、解三角形与平面向量第1讲三角函数的图象与性质高考真题体验_______ 平移 ________ 个单位•2. （2015-课标全国I 改编）函数./（x ）=cos （ex+y ）的部分图象如图所示,则./⑴的单调递减区间为 ______________ ・ 3. （2015-安徽改编）己知函数./{x ）=/sin （亦+%, co,。

均为正的常数） 2兀的最小正周期为兀，当x=y 时，函数./（x ）取得最小值，则./（一2）, ./（0）, ./（2）的大小关系为(2015-湖北)函数f(x)=4cos 2|cos(y —xj —2sin x —| ln(x+1 )|的零点个数为 _________ 考情考向分析1. 以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性2考查三角函数式的化 简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点.热点分类突破热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式 1.三角函数：设a 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点卩（兀，7），则sin a=y f cos a= x, tan 各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正眩，三正切，四余弦.1. （2015 L1I 东改编）要得到函数y =只需将函数y = sin 4x 的图象向瞄准高考4. 解析高考的图象,2. 同角关系：sin 2a+cos 2a=L 月严=tan a.COS CX3. 诱导公式：在号+a, ^ez 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限” •例1 (1)点P 从(1,0)出发，沿单位圆?+/= 1逆时针方向运动晋弧长到达Q 点，则0点的坐 标为 _______ .(2)己知角。

的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点"(一4,3),则 兀 cosQ+a)sin( — Ji —a)--- -------- 亦 --- 的值为 ________ •cosC -^-—a)sin(~2-+(z)思维升华(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角 函数的定义求解.应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无 关.(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简 过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.跟踪演练1⑴已知点/(sin 普，cos 乎)落在角0的终边上，且&引0,2兀)，则6的值为⑵如图，以Ox 为始边作角a(0<a<7r),终边与单位圆相交于点尸，己知点小3 4、 rlil sin 2a+cos 2a+1P 的坐标为(飞，汰则— - ------- •热点二三角函数的图象及应用函数y=Asm(a)x+(p)的图象(1) “五点法”作图: 设z=cox+(p,令z=0,号，兀，乎，2兀，求出x 的值与相应的尹的值，描点、连线可得.(2)图象变换:. 向左(0>0)或向右(仟0). / I 、^=sin X 平移创个单位J=sm(x+°) 横坐标变为原来的—(o>0)倍纵坐标不变y=sin(cox+(p) 例2 (1)(2015-河南省实验中学期中)己知函数p=3sin ex(e>0)的周期是兀，将函数y=3cos(cox纵坐标变为原來的/(力>0)件 横坐标不变 Ay=Asm{cox+（p ）.—号）9>0）的图象沿X轴向右平移寻个单位，得到函数y=/w的图象，则函数・心）= ______ （2）函数/［x）=/sin（69x+°）⑷co, 0 为常数，A>0, co>Ofi<（p<n）的图象如图所示，则•/（》的值为・思维升华（1）已知函数y=sin（cz?x +（p）（A>0,（z>>0）的图象求解析式时，常釆用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求由函数的周期确定co;确定（p常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.（2）在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.跟踪演练2 （1）已知函数/（兀）=/lan（ftzr+e）（e>0, |如<号），尹=/（x）的部分图象如图，则/（令）=（2）（2015-陕西改编）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin（?x+0）+£,据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为_____ ・热点三三角函数的性质1.三角函数的单调区间:y = sin x的单调递增区间是［2£兀一号，2加+ #］（«WZ）,单调递减区间是［2hc +申，2£兀+ 3兀勺（圧^=cosx的单调递增区间是［2/ni—TI, 2/rn］伙WZ）,单调递减区间是［2/m, 2kn+n］伙EZ）；71 7Ty=tan x 的递增区间是（kn—y hc+^）（£GZ）.2. y=As\n（cox+（p）,当卩=刼伙GZ）时为奇函数；7T对称轴方程可由亦+卩=刼+号伙WZ）求得.当卩斗兀+0MZ）吋为偶函数;7T y=Acos(a)x+(p)y当(/)=賦+尹已®时为奇函数；当(p=Jai伙EZ)时为偶函数；对称轴方程可由a)x+(p = gkw®求得.7=力伽(亦+0),当q)=kn(k^7j)时为奇函数.例3 (2015-镇江模拟)已知函数/(x) = sin(ex+(p) +诵cos(ex+°)(0>0,0<|0|<彳)为奇函数，且函数y=flx)的图象的两相邻对称轴Z间的距离为乡⑴求代)的值；⑵将函数y=f(x)的图象向右平移?个单位后，得到函数y=g(x)的图象，求两数g(x)的单调递增区间.思维升华函数y=Asm(cox+(p)的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y=As\n(cox+(p)+B的形式；第二步：扌巴"(ox+(p”视为一个整体，借助复合函数性质求y=/sin(ex+°)+B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.跟踪演练3 设函数/(x) = 2cos2x+sin 2x+a(a^R).(1)求函数人羽的最小正周期和单调递增区间：(2)当诈［0,為时，/(X)的最大值为2,求Q的值，并求出y=/(x)(xWR)的对称轴方程.1.已知函数/(x) = sin cox+cos cox(co>0)在(号，兀)上单调递减，则co的取值范围是______2.如图，函数fix)=Asin((ox+(p)(其中QO, e>0, 00号)与坐标轴的三个交点P、Q、人满足P(2,0), ZPQR=d，M为QR的中点，PM=2巫, 则A的值为__________________ .3.设函数/(X)= sin(2x+j) +^sin2x—^cos2x.(1)求/(兀)的最小止周期及其图象的对称轴方程；(2)将函数/⑴的图象向右平移扌个单位长度，得到函数g(x)的图象，求g⑴在区间［—号刽上的值域.提醒：完成作业专题三第1讲二轮专题强化练专题三三角函数、解三角形与平面向量第1讲三角函数的图象与性质A组专题通关1.__________________________________________________ 若0且炸［—2TT, 0］,则G 的取值范围是 _______________________________________________ .7T2.为了得到函数^=cos(2x+f)的图象，可将函数_y=sin 2x的图象向 ____________ 平移________ 个单位.3.已知函数/(x) = cos2^x + sin^xcos^x — 2,则函数./(x)在［— 1,1］上的单调递增区间为4.(2015-湖南改编)将函数沧)= sin2x的图象向右平移卩(0<0<号)个单位后得到函数g(x)的图JT象,若对满足—g(X2)|=2 的X］,兀2,有—X2|min=亍'则0= ____________ •5.已知函数./(x)=/sin(cav+0)(/>0,血>0, |奶<号)在一个周期内的图象如图所示.若方程./(x)=〃2在区间［0, Tl］上有两个不同的实数解X1，乃，则X\+x2的值为______ ・6.函数y=2sin(^—^)(09)的最大值与最小值Z差为_______________ ・TT7.已知函数Xx) = 3sin(亦一&)@>0)和g(x) = 3cos(2x + ^)的图象的对称屮心完全相同，若xe［0, |］,则.心)的取值范围是 _______ ・8.给出命题：①函数y=2sin(j—x) — cos(^+x)(xR)的最小值等于一1；②函数_y=sin 7LVCOS TLV是最小正周期为2的奇函数；③函数y=sin(x+l)在区间［0,刽上是单调递增的；④若sin 2a<0, cos a—sin a<0,则a—定为第二象限角.则真命题的序号是9.(2015-重庆)已知函数/(x) = sin(号一x)sin x—y/^cosh.⑴求/(x)的最小止周期和最大值；⑵讨论几丫)在务y上的单调性.-5W/(x)Wl. (1)求常数a, b的值；⑵设g(x)=右+期且lg g(x)>0,求g(x)的单调区间.B组能力提咼11.己知/(x)=2sin cox(cos cox+sin亦)的图象在［0,1］上恰有一个对称轴和一个对称中心,则实数co的取值范围为________ ・12.己知函数心)=/sin(ex+。

(四)解析几何1．(2018·苏州市高新区一中考试)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上、下顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，且OP ⊥AF.(1)若点P 的坐标为(3，1)，求椭圆C 的方程；(2)延长AF 交椭圆C 于点Q ，已知椭圆的离心率为22，若直线OP 的斜率是直线BQ 的斜率的m 倍，求实数m 的值．解 (1)因为点P (3，1)，所以k OP ＝13，又因为AF ⊥OP ，－b c ×13＝－1， 所以3c ＝b ，所以3a 2＝4b 2，又点P (3，1)在椭圆C 上，所以3a 2＋1b2＝1， 解得a 2＝133，b 2＝134. 故椭圆方程为x 2133＋y 2134＝1. (2)因为e ＝ca ＝22， 即a 2－b 2a 2＝12， 所以b 2a 2＝12. 又因为k AQ k BQ ＝y Q －b x Q ·y Q ＋b x Q ＝y 2Q －b 2x 2Q ＝－b 2a2， 所以m ＝k OP k BQ ＝－1k AQ k BQ ＝a 2b 2＝2.2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，直线l ：y ＝－12x 与椭圆E 相交于A ，B 两点，AB ＝210，C ，D 是椭圆E 上异于A ，B 的两点，且直线AC ，BD 相交于点P ，直线AD ，BC 相交于点Q .(1)求椭圆E 的标准方程；(2)求证：直线PQ 的斜率为定值．(1)解 因为e ＝ca ＝32， 所以c 2＝34a 2，即a 2－b 2＝34a 2， 所以a ＝2b .所以椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1. 由题意不妨设点A 在第二象限，点B 在第四象限，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－12x ，x 24b 2＋y 2b 2＝1，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b ，22b . 又AB ＝210，所以OA ＝10，则2b 2＋12b 2＝52b 2＝10， 得b ＝2，a ＝4.所以椭圆E 的标准方程为x 216＋y 24＝1. (2)证明 由(1)知，椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1， A (－22，2)，B (22，－2)．①当直线CA ，CB ，DA ，DB 的斜率都存在，且不为零时，设直线CA ，DA 的斜率分别为k 1，k 2，C (x 0，y 0)，显然k 1≠k 2.从而k 1·k CB ＝y 0－2x 0＋22·y 0＋2x 0－22＝y 20－2x 20－8＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2016－2x 20－8＝2－x 204x 20－8＝－14，所以k CB ＝－14k 1. 同理k DB ＝－14k 2. 所以直线AD 的方程为y －2＝k 2(x ＋22)，直线BC 的方程为y ＋2＝－14k 1(x －22)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋2＝－14k 1(x －22)，y －2＝k 2(x ＋22)，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝22(－4k 1k 2－4k 1＋1)4k 1k 2＋1，y ＝2(－4k 1k 2＋4k 2＋1)4k 1k 2＋1，从而点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22(－4k 1k 2－4k 1＋1)4k 1k 2＋1，2(－4k 1k 2＋4k 2＋1)4k 1k 2＋1. 用k 2代替k 1，k 1代替k 2得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22(－4k 1k 2－4k 2＋1)4k 1k 2＋1，2(－4k 1k 2＋4k 1＋1)4k 1k 2＋1. 所以k PQ ＝2(－4k 1k 2＋4k 2＋1)4k 1k 2＋1－2(－4k 1k 2＋4k 1＋1)4k 1k 2＋122(－4k 1k 2－4k 1＋1)4k 1k 2＋1－22(－4k 1k 2－4k 2＋1)4k 1k 2＋1＝42(k 2－k 1)82(k 2－k 1)＝12. 即直线PQ 的斜率为定值12. ②当直线CA ，CB ，DA ，DB 中，有直线的斜率不存在时，由题意得，至多有一条直线的斜率不存在，不妨设直线CA 的斜率不存在，从而C (－22，－2)．设DA 的斜率为k ，由①知，k DB ＝－14k. 因为直线CA ：x ＝－22，直线DB ：y ＋2＝－14k(x －22)， 得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－2＋2k .又直线BC ：y ＝－2，直线AD ：y －2＝k (x ＋22)，得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－22k ，－2，所以k PQ ＝12. 由①②可知，直线PQ 的斜率为定值12.3.平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是32，右准线的方程为x ＝433.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，过x 轴上的一个定点M 作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若三条直线PA ，PM ，PB 的斜率成等差数列，求点M 的坐标．解 (1)因为椭圆的离心率为32，右准线的方程为x ＝433， 所以e ＝c a ＝32，a 2c ＝433，则a ＝2，c ＝3，b ＝1， 椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)设M (m,0)，当直线l 为y ＝0时，A (－2,0)，B (2,0)， PA ，PM ，PB 的斜率分别为k PA ＝45，k PM ＝41－2m ，k PB ＝－43， 因为直线PA ，PM ，PB 的斜率成等差数列， 所以81－2m ＝45－43，m ＝8. 证明如下：当M (8,0)时，直线PA ，PM ，PB 的斜率构成等差数列，设AB ：y ＝k (x －8)，代入椭圆方程x 2＋4y 2－4＝0，得x 2＋4k 2(x －8)2－4＝0，即(1＋4k 2)x 2－64k 2x ＋256k 2－4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为x 1,2＝64k 2±(－64k 2)2－4(1＋4k 2)(256k 2－4)2(1＋4k 2)，所以x 1＋x 2＝64k 21＋4k 2，x 1x 2＝256k 2－41＋4k 2， 又k PM ＝0－28－12＝－415， 所以k PA ＋k PB ＝y 1－2x 1－12＋y 2－2x 2－12＝kx 1－8k －2x 1－12＋kx 2－8k －2x 2－12＝2k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－152k －2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x 1－12＋1x 2－12 ＝2k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－152k －2(x 1＋x 2)－1x 1x 2－12(x 1＋x 2)＋14＝2k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－152k －264k21＋4k 2－1256k 2－41＋4k 2－12×64k 21＋4k 2＋14＝2k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－152k －260k 2－1154(60k 2－1)＝－815＝2k PM ，即证． 4．(2018·江苏省前黄中学等五校联考)如图，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A (－2,0)，且点⎝⎛⎭⎪⎫－1，32在椭圆上，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点．过点A 作斜率为k (k >0)的直线交椭圆E 于另一点B ，直线BF 2交椭圆E 于点C.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若△CF 1F 2为等腰三角形，求点B 的坐标；(3)若F 1C ⊥AB ，求k 的值．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，a 2＝b 2＋c 2，14＋94b 2＝1，解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝3，c ＝1.∴椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)∵△CF 1F 2为等腰三角形，且k >0， ∴点C 在x 轴下方，①若F 1C ＝F 2C ，则C (0，－3)； ②若F 1F 2＝CF 2，则CF 2＝2，∴C (0，－3)； ③若F 1C ＝F 1F 2，则CF 1＝2，∴C (0，－3)， ∴C (0，－3)．∴直线BC 的方程为y ＝3(x －1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3(x －1)，x 24＋y 23＝1，得⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝85，y ＝335，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，335. (3)设直线AB 的方程l AB ：y ＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0， ∴x A x B ＝－2x B ＝16k 2－123＋4k2， ∴x B ＝－8k 2＋63＋4k 2，∴y B ＝k (x B ＋2)＝12k 3＋4k2， ∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 2＋63＋4k 2，12k 3＋4k 2， 若k ＝12，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，∴C ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32， ∵F 1(－1,0)，∴kCF 1＝－34， ∴F 1C 与AB 不垂直，∴k ≠12. ∵F 2(1,0)，kBF 2＝4k 1－4k 2，kCF 1＝－1k， ∴直线BF 2的方程lBF 2：y ＝4k1－4k 2(x －1)， 直线CF 1的方程lCF 1：y ＝－1k(x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4k 1－4k 2(x －1)，y ＝－1k (x ＋1)，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝8k 2－1，y ＝－8k ， ∴C (8k 2－1，－8k )． 又点C 在椭圆上，得(8k 2－1)24＋(－8k )23＝1， 即(24k 2－1)(8k 2＋9)＝0，即k 2＝124， ∵k >0，∴k ＝612.。

(三)应用题1．南半球某地区冰川的体积每年随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年的数据，冰川的体积(亿立方米)关于t 的近似函数的关系式为V (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 3＋11t 2－24t ＋100，0<t ≤10，4(t －10)(3t －41)＋100，10<t ≤12. (1)该冰川的体积小于100亿立方米的时期称为衰退期．以i －1<t <i 表示第i 月份(i ＝1,2，…，12)，问一年内哪几个月是衰退期？ (2)求一年内该地区冰川的最大体积． 解 (1)当0<t ≤10时，由V (t )＝－t 3＋11t 2－24t ＋100<100，化简得t 2－11t ＋24>0，解得t <3或t >8.又0<t ≤10，故0<t <3或8<t ≤10，当10<t ≤12时，由V (t )＝4(t －10)(3t －41)＋100<100，解得10<t <413，又10<t ≤12，故10<t ≤12. 综上得0<t <3或8<t ≤12.所以衰退期为1月，2月，3月，9月，10月，11月，12月，共7个月．(2)由(1)知，V (t )的最大值只能在(3,9)内取到．当t ∈(3,9)时，V ′(t )＝(－t 3＋11t 2－24t ＋100)′＝－3t 2＋22t －24，令V ′(t )＝0，解得t ＝6或t ＝43(舍去)． 当t 变化时，V ′(t )与V (t )的变化情况如下表：由上表知，V (t )在t ＝6时取得最大值V (6)＝136(亿立方米)．故该冰川的最大体积为136亿立方米．2．(2018·扬州期末)共享汽车的出现为我们的出行带来了极大的便利，当然也为投资商带来了丰厚的利润．现某公司瞄准这一市场，准备投放共享汽车．该公司取得了在10个省份投放共享汽车的经营权，计划前期一次性投入16×106元．设在每个省投放共享汽车的市的数量相同(假设每个省的市的数量足够多)，每个市都投放1 000辆共享汽车．由于各个市的多种因素的差异，在第n 个市的每辆共享汽车的管理成本为(kn ＋1 000)元(其中k 为常数)．经测算，若每个省在5个市投放共享汽车，则该公司每辆共享汽车的平均综合管理费用为1 920元．(本题中不考虑共享汽车本身的费用)注：综合管理费用＝前期一次性投入的费用＋所有共享汽车的管理费用，平均综合管理费用＝综合管理费用÷共享汽车总数．(1)求k 的值；(2)问要使该公司每辆共享汽车的平均综合管理费用最低，则每个省有几个市投放共享汽车？此时每辆共享汽车的平均综合管理费用为多少元？解 (1)每个省在5个市投放共享汽车，则所有共享汽车为10×1 000×5辆，所有共享汽车管理费用总和为[(k ＋1 000)＋(2k ＋1 000)＋(3k ＋1 000)＋(4k ＋1 000)＋(5k ＋1 000)]×1 000×10 ＝(15k ＋5 000)×10 000＝(3k ＋1 000)×50 000，所以16 000 000＋(3k ＋1 000)×50 00010×1 000×5＝1 920， 解得k ＝200.(2)设在每个省有n (n ∈N *)个市投放共享汽车，每辆共享汽车的平均综合管理费用为f (n )， 由题设可知 f (n )＝16 000 000＋[(200＋1 000)＋(400＋1 000)＋…＋(200n ＋1 000)]×1 000×1010×1 000×n所以f (n )＝ 100n ＋1 600n＋1 100 ≥2100n ·1 600n＋1 100＝1 900， 当且仅当100n ＝1 600n，即n ＝4时，等号成立． 答 每个省有4个市投放共享汽车时，每辆共享汽车的平均综合管理费用最低，此时每辆共享汽车的平均综合管理费用为1 900元．3．如图，某地区有一块长方形植物园ABCD ，AB ＝8(百米)，BC ＝4(百米)．植物园西侧有一块荒地，现计划利用该荒地扩大植物园面积，使得新的植物园为HBCEFG ，满足下列要求：E 在CD 的延长线上，H 在BA 的延长线上，DE ＝0.5(百米)，AH ＝4(百米)，N 为AH 的中点，FN ⊥AH ，EF 为曲线段，它上面的任意一点到AD 与AH 的距离的乘积为定值，FG ，GH 均为线段，GH ⊥HA ，GH ＝0.5(百米)．(1)求四边形FGHN 的面积；(2)已知音乐广场M 在AB 上，AM ＝2(百米)，若计划在EFG 的某一处P 开一个植物园大门，在原植物园ABCD 内选一点Q 为中心建一个休息区，使得QM ＝PM ，且∠QMP ＝90°，问点P 在何处时，AQ 最小．解 (1)以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示．则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，4，因为E 到AD 与AH 距离的乘积为2， 所以曲线EF 上的任意一点都在函数y ＝－2x的图象上． 由题意，N (－2,0)，所以F (－2,1)．四边形FGHN 的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1×2＝32(平方百米)． (2)设P (x ，y )，则MP →＝(x －2，y )，MQ →＝(y ，－x ＋2)，AQ →＝(y ＋2，－x ＋2)，因为点Q 在原植物园内，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤y ＋2≤8，0≤2－x ≤4，即－2≤x ≤2.又点P 在曲线EFG 上，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，－12， 所以－2≤x ≤－12，则点P 在曲线段EF 上， AQ ＝(y ＋2)2＋(2－x )2，因为y ＝－2x ，所以AQ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋22＋(2－x )2 ＝x 2＋4x 2－4x －8x ＋8 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x －22＝－x ＋2－x ＋2≥22＋2. 当且仅当－x ＝－2x ，即x ＝－2时等号成立．此时点P (－2，2)，即点P 在距离AD 与AH 均为2百米时，AQ 最小．4．(2018·江苏省金陵中学期末)如图，在一个水平面内，河流的两岸平行，河宽为1(单位：千米)，村庄A ，B 和供电站C 恰位于一个边长为2(单位：千米)的等边三角形的三个顶点处，且A ，C 位于河流的两岸，村庄A 侧的河岸所在直线恰经过BC 的中点D .现欲在河岸上A ，D 之间取一点E ，分别修建电缆CE 和EA ，EB .设∠DCE ＝θ，记电缆总长度为f (θ)(单位：千米)．(1)求f (θ)的解析式；(2)当∠DCE 为多大时，电缆的总长度f (θ)最小，并求出最小值．解 (1)易得AD 垂直平分BC ，CD ＝BD ＝1，则CE ＝EB ＝1cos θ，ED ＝tan θ，AE ＝3－tan θ， 于是f (θ)＝1cos θ＋1cos θ＋ 3－tan θ＝2－sin θcos θ＋3， 因为E 在A ，D 之间，所以0<θ<π3， 故f (θ)＝2－sin θcos θ＋3，0<θ<π3. (2)f ′(θ)＝－cos 2θ－(2－sin θ)(－sin θ)cos 2θ，0<θ<π3， 令f ′(θ)＝0，得sin θ＝12，θ＝π6， 故当0<θ<π6时，f ′(θ)<0，f (θ)单调递减， 当π6<θ<π3时，f ′(θ)>0，f (θ)单调递增， 所以当θ＝π6时，f (θ)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝ 2－1232＋3＝2 3. 答 当∠DCE ＝π6时，f (θ)取得最小值2 3 千米．。