【步步高】2017版高考数学(文,江苏专用)大二轮总复习练习：专题二第1讲函数的图象与性质.doc

第1讲 求通项公式公式法公式法:若判定出数列是等差数列或者等比数列,就直接带人等差数列或等比数列的通项公式()11n a a n d =+-或11n n a a q -=进行求解.【例1】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足3578,2a S a ==,求数列{}n a 的通项公式.【解析】设数列{}n a 的公差为d ,依题意得()11154526,228a d a d a d ⨯⎧+=+⎪⎨⎪+=⎩ 解得123a d =⎧⎨=⎩.()()11231n a a n d n ∴=+-=+-=31n -.【例2】已知公比大于0的等比数列{}n a 的前n 项和为21,4,5n S a a =+是2S 和3a 的等差中项,求数列{}n a 的通项公式. 【解析】设数列{}n a 的公比为(0)q q >. 由题意知()12325a S a +=+,即442544q q q⎛⎫⨯+=++ ⎪⎝⎭,2 2320q q --=化简得,0,2q q >∴=,222 422n n n n a a q --∴==⨯=累加法累加法:如果递推公式的形式为1n a +-()n a f n =,则可利用累加法求通项公式. 使用时要满足:(1)等号右边为关于n 的表达式,且能够进行求和. (2)1,n n a a +的系数同构(结构相同),且为作差的形式.【例1】数列{}n a 满足:11a =,且1n a +-21nn a =+,求n a .【解析】1 21,n n n a a +-=+解 1121,n n n a a ---=+1212 1.a a -=+累加可得211222n n a a --=++++()()1221112 3.21n nn n n ---=+-=+--2 2.n n a n ∴=+-【例2】在数列{}n a 中,已知111,n n a a a +==21n -+,求数列{}n a 的通项公式. 【解析】1 21,n n a a n +=++12 1.n n a a n +∴-=+21323,5,,a a a a ∴-=-=()1212.n n a a n n --=-以上各式相加可得135n a a -=+++2(1)(321)2112n n n n -+--==-.又∵211,(2)n a a n n =∴=,显然11a =符合上式,()2*. n a n n ∴=∈N【例3】已知数列{}n a 满足:111,n a a +=-=*11,1n a n n n +-∈+N ,求数列的通项公式n a .【解析】∵1111n n a a n n +-=-+, 213241111,,1223a a a a a ∴-=--=--311111,,(2). 341n n a a a n n n-=--=-- 将以上(1)n -个式子相加得()()()213243a a a a a a -+-+-+()1n n a a -+- 11111122334⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111n n ⎛⎫- ⎪-⎝⎭, 即()*1112,n a a n n n-=-∈N . ∴1111111n a a n n n=+-=-+-=-()*2,n n ∈N . 当1n =时,11a =-也符合上式,∴()*1n a n n=-∈N . 累乘法累乘法:如果递推公式的形式为:()1n na f n a +=,则可利用累乘法求通项公式. 【例1】已知数列{}n a 满足:11a =,且()11n n na n a +=+,求n a . 【解析】()1111.n n n n a n na n a a n+++=+⇒=解 12121111122....1.n n n n n n a a a n n a a a n n a n a a na n ----∴⋅⋅=⋅⋅--⇒=∴==【例2】已知数列满足:12,(a n =+1)()122n n a n a +=+,求数列{}n a 的通项公式. 【解析】()()()()()()()()111324112311111*122,22,12.34511.23422.1,2,12.n n n n n nn n n n n n a n a n aa n a a a a a a a a a a n a n n n n a a n n ++----+=++∴=+=⋅⋅⋅⋅=+⎛⎫⋅⨯⨯⨯⨯=+ ⎪⎝⎭==∴=+⋅∈N 解则当时满足上式 【例3】数列{}n a 满足:()()()21*112,21223n n n n a a a n +++=-=-∈N ,求{}n a 的通项公式.【解析】由()()2112122n n n n a a +++-=-得1122222122121n n n n n n a a ++++--==⋅--. 12212312n n n n n n a a a a a a a a -----⋅⋅⋅⋅=⋅1231121212122212121n n n n nn ---+----⋅⋅⋅⋅---()()113121322212121n n n-+-⋅⋅=⋅---, ()()111322121n n n n a a -+⋅=⇒--即()()()*12.2121n n n n a n +=∈--N 构造法构造法的核心步骤：第一步:恒等变形.对递推公式(相邻几项的式子)进行恒等式变形,所谓恒等变形就是对等式两边的项进行同加、同减、同乘、同除或者拆分合并.第二步:同构式.恒等变形的目的是变形出同构式,所谓同构式就是结构相同的式子,如:2n n a 和112n n a --是同构式. 第三步:整体代换.将同构式视为一个整体,整体代换后构造出新的等差数列或者等比数列,该数列作为辅助数列.通过求出辅助数列的通项公式,便可算出原数列的通项公式,以下是我们需要重点掌握的几种常见的构造法的结构. 结构一：一次函数结构型递推公式的结构如同一次函数结构型:n a =1(,n qa p q p -+均为常数,且1,0)q p ≠≠. 一般方法:设()1n n a q a λλ-+=+,得到()1,1p p q q λλ=-=-,可得出数列1n p a q ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以q 为公比的等比数列,从而可求出n a .【例1】在数列{}n a 中,111,3n n a a a -==+2,求数列{}n a 的通项公式. 【解析】设()13n n a a λλ-+=+即132n n a a λ-=+. 对比132n n a a -=+,可得1λ=.()1131n n a a -∴+=+.{}13n a ∴+是公比为.的等比数列 ()11 113.n n a a -∴+=+⋅123 1.n n a -∴=⋅-注意:在这里,{}1n a +即为同构式,把这个式子作为整体,就能构造出一个新的等比数列,这一种结构()11,0n n a qa p q p -=+≠≠的处理方式也是固定的,就是直接设出()1n n a q a λλ-+=+,求解出λ即可.【例2】在数列{}n a 中,111,2n n a a a +==+1,试求其通项公式. 【解析】121n n a a +=+,两边同时加上1,得()1121n n a a ++=+,1111 2.11,1 2.n n a a a a ++=+=∴+=则因此,数列{}1n a +是以2为首项,以2为公比的等比数列.1122,2 1.n n n n a a -∴+=⨯=-结构二:一次函数结构变形递推公式的结构形如1n n a N a -=⋅+(,,nM p N p M ⋅为常数).一般方法:此类问题可先处理n p ,两边同时除以np ,得1n n n na a N M p p -=+,进而构造成11n n n n a a N M p p p--=⋅+,设n n n a b p =,从而变成1n n Nb b M p -=⋅+,从而将问题转化为一次函数结构型.【例1】在数列{}n a 中,111,3n n a a a -==+23n ⋅,求数列{}n a 的通项公式. 【解析】111 323, 2.?33n n n n n nn a a a a ---=+⋅∴=+解 23n n a ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是公差为的等差数列。

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.6 对数与对数函数 理1．对数的概念一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b＝N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，N 叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log m n a M ＝n mlog a M (m ，n ∈R ，且m ≠0)． (2)对数的性质 ①log a Na＝__N __；②log a a N＝__N __(a >0且a ≠1)．(3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .3．对数函数的图象与性质a >1 0<a <1图象性质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0(4)当x>1时，y>0当0<x<1时，y<0(5)当x>1时，y<0当0<x<1时，y>0(6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数4.指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对称．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若MN>0，则log a(MN)＝log a M＋log a N.( ×)(2)log a x·log a y＝log a(x＋y)．( ×)(3)函数y＝log2x及13log＝3y x都是对数函数．( ×)(4)对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ×)(5)函数y＝ln1＋x1－x与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( √)(6)对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎪⎫1a，－1，函数图象只在第一、四象限．( √)1．(2015·湖南改编)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则有关f(x)的性质判断正确的是________．(填序号)①奇函数，且在(0,1)上是增函数；②奇函数，且在(0,1)上是减函数；③偶函数，且在(0,1)上是增函数；④偶函数，且在(0,1)上是减函数．答案①解析易知函数定义域为(－1，1)，f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，又f(x)＝ln1＋x1－x＝ln⎝⎛⎭⎪⎫－1－2x－1，由复合函数单调性判断方法知，f(x)在(0,1)上是增函数．2．已知1213113log log232＝，＝，＝，a b c则a，b，c的大小关系为________．答案a>b>c解析131131,0log log2log log3023322＝＝＝1，＝＝－，a b c><<<故a>b>c.3．函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是________．(填图象序号)答案②解析由函数f(x)＝lg(|x|－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，值域为R.又当x>1时，函数单调递增，所以只有②正确．4．(2015·浙江)若a＝log43，则2a＋2－a＝________.答案4 33解析23loglog3log3log3222222244－－＋＝＋＝＋a a＝3＋33＝4 33.5．(教材改编)若log a34<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________________．答案⎝⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)解析当0<a<1时，log a34<log a a＝1，∴0<a<34；当a>1时，log a34<log a a＝1，∴a>1.∴实数a的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞).题型一对数式的运算例1 (1)设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝________.(2)lg 5＋lg 20的值是________． 答案 (1)10 (2)1解析 (1)∵2a ＝5b＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. ∴m ＝10.(2)原式＝lg 100＝lg 10＝1.思维升华 在对数运算中，要熟练掌握对数的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算．(1)计算：1－log 632＋log 62·log 618log 64＝________.(2)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n＝________.答案 (1)1 (2)12 解析 (1)原式 ＝1－2log 63＋log 632＋log 663·log 66×3log 64＝1－2log 63＋log 632＋1－log 631＋log 63log 64＝1－2log 63＋log 632＋1－log 632log 64＝21－log 632log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.(2)∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m＝2，a n＝3， ∴a2m ＋n＝(a m )2·a n ＝22×3＝12.题型二 对数函数的图象及应用例2 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是________．(填序号)(2)当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围是____________．答案 (1)③ (2)(22，1) 解析 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除①、②； 又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除④.故③正确． (2)构造函数f (x )＝4x和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的图象，可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 即2<log a 12，则a >22，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1. 思维升华 应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．(1)已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a x与函数g (x )＝－log b x 的图象可能是________．(2)设方程10x＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则________． ①x 1x 2<0 ②x 1x 2＝1 ③x 1x 2>1④0<x 1x 2<1答案 (1)② (2)④解析 (1)∵lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∵g (x )＝－log b x 的定义域是(0，＋∞)，故排除①. 若a >1，则0<b <1，此时f (x )＝a x是增函数，g (x )＝－log b x 是增函数，②符合，排除④.若0<a <1，则b >1，g (x )＝－log b x 是减函数，排除③，故填②. (2)构造函数y ＝10x与y ＝|lg(－x )|， 并作出它们的图象，如图所示．因为x 1，x 2是10x＝|lg(－x )|的两个根，则两个函数图象交点的横坐标分别为x 1，x 2，不妨设x 2<－1，－1<x 1<0，则0lg()111＝－－，x x 0lg()221＝－，x x 因此()00lg 21121－1＝，x x x x 因为000211－1，x x <所以lg(x 1x 2)<0，即0<x 1x 2<1，④正确． 题型三 对数函数的性质及应用 命题点1 比较对数值的大小例3 设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则a ，b ，c 的大小关系为__________． 答案 a >b >c解析 由对数运算法则得a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，由对数函数图象得log 32>log 52>log 72，所以a >b >c . 命题点2 解对数不等式例4 若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是__________． 答案 (12，1)解析 由题意得a >0，故必有a 2＋1>2a ， 又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1， 同时2a >1，所以a >12.综上，a ∈(12，1)．命题点3 和对数函数有关的复合函数 例5 已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由． 解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立． ∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数． ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a 3－a＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 思维升华 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．(1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则a ，b ，c 的大小关系为____________．(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为__________． (3)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，12log ()0－，，x x <若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是__________．答案 (1)c >a >b (2)[1,2) (3)(－1,0)∪(1，＋∞) 解析 (1)∵3<2<3,1<2<5，3>2， ∴log 33<log 32<log 33，log 51<log 52<log 55，log 23>log 22， ∴12<a <1,0<b <12，c >1，∴c >a >b . (2)令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧g 1>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．(3)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，212log log a a >或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，12log ()log ()2－－，a a >解得a >1或－1<a <0.2．比较指数式、对数式的大小典例 (1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是__________． (2)设a ＝log 2π，12log ＝，b π c ＝π－2，则a ，b ，c 的大小关系为____________．(3)已知log 3.4log 3.6log 0.3155()5243＝，＝，＝，a b c 则a ，b ，c 大小关系为__________．思维点拨 (1)可根据幂函数y ＝x 0.5的单调性或比商法确定a ，b 的大小关系，然后利用中间值比较a ，c 大小．(2)a ，b 均为对数式，可化为同底，再利用中间变量和c 比较．(3)化为同底的指数式．解析 (1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性， 可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1；根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1. 所以b <a <c .(2)∵a ＝log 2π>log 22＝1，b ＝log 12π＝log 21π<log 21＝0,0<c ＝1π2<1，∴b <c <a .(3)33310log log 0.3log 0.331()55.5－＝＝＝c 方法一 在同一坐标系中分别作出函数y ＝log 2x ，y ＝log 3x ，y ＝log 4x 的图象，如图所示． 由图象知：log 23.4>log 3103>log 43.6.方法二 ∵log 3103>log 33＝1，且103<3.4，∴log 3103<log 33.4<log 23.4.∵log 43.6<log 44＝1，log 3103>1，∴log 43.6<log 3103.∴log 23.4>log 3103>log 43.6.由于y ＝5x为增函数，32410log log 3.4log 3.63555.∴>>即324log 0.3log 3.4log 3.615()55，>>故a >c >b . 答案 (1)b <a <c (2)a >c >b (3)a >c >b温馨提醒 (1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.[方法与技巧]1．对数值取正、负值的规律当a >1且b >1或0<a <1且0<b <1时，log a b >0； 当a >1且0<b <1或0<a <1且b >1时，log a b <0. 2．对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞)．对数函数的单调性和a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论．3．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性． 4．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定． [失误与防范]1．在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N *，且α为偶数)．2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1.若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是________(填序号)．答案 ②解析 由题图可知y ＝log a x 的图象过点(3,1)， ∴log a 3＝1，即a ＝3.①中，y ＝3－x＝(13)x 在R 上为减函数，错误；②中，y ＝x 3符合；③中，y ＝(－x )3＝－x 3在R 上为减函数，错误； ④中，y ＝log 3(－x )在(－∞，0)上为减函数，错误．2．已知x ＝ln π，y ＝log 52，12＝e ，z -则x ，y ，z 的大小关系为____________． 答案 y <z <x解析 ∵x ＝ln π>ln e，∴x >1. ∵y ＝log 52<log 55，∴0<y <12.∵z ＝12e-＝1e>14＝12，∴12<z <1.综上可得，y <z <x .3．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x x ≥4，f x ＋1 x <4，则f (log 23)＝________.答案124解析 ∵1<log 23<log 24＝2，∴3＋log 23∈(4,5)， ∴f (log 23)＝f (log 23＋1)＝f (log 23＋2)＝f (log 23＋3)＝f (log 224)22log 24log 24122－＝＝⎛⎫ ⎪⎝⎭ 21log 2412.24＝＝ 4．设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是__________． 答案 (－1,0) 解析 由f (x )是奇函数可得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x 1－x，定义域为(－1,1)． 由f (x )<0，可得0<1＋x 1－x<1，∴－1<x <0. 5．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝________. 答案 －1解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)，得f (x )＝f (x ＋4)，因为4＜log 220＜5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f (log 245)＝24log 51(2) 1.5－＋＝－ 6．函数f (x )＝log 2x(2x )的最小值为________．答案 －14 解析 显然x >0，∴f (x )＝log 2x ·log(2x )＝12log 2x ·log 2(4x 2)＝12log 2x ·(log 24＋2log 2x )＝log 2x ＋(log 2x )2＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14.当且仅当x ＝22时，有f (x )min ＝－14. 7．设函数f (x )满足f (x )＝1＋f (12)log 2x ，则f (2)＝_____________________________. 答案 32解析 由已知得f (12)＝1－f (12)·log 22，则f (12)＝12，则f (x )＝1＋12·log 2x ，故f (2)＝1＋12·log 22＝32. 8．(2015·福建)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是_________________________． 答案 (1,2] 解析 由题意f (x )的图象如右图，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，3＋log a 2≥4，∴1＜a≤2. 9．已知函数212log ()＝－＋y x ax a 在区间(－∞，2)上是增函数，求a 的取值范围．解 函数212log ()＝－＋y x ax a 是由函数12log ＝y t 和t ＝x 2－ax ＋a 复合而成．因为函数12log ＝y t 在区间(0，＋∞)上单调递减，而函数t ＝x 2－ax ＋a 在区间(－∞，a2)上单调递减，又因为函数212log ()＝－＋y x ax a 在区间(－∞，2)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2≤a2，22－2a ＋a ≥0，解得⎩⎨⎧ a ≥22，a ≤22＋1，即22≤a ≤2(2＋1)．10．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间[0，32]上的最大值．解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1,3)， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在[0，32]上的最大值是f (1)＝log 24＝2.B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．(2015·陕西改编)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则p 、q 、r 的大小关系是____________．答案 p ＝r <q解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b 2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p . 又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p ， 故p ＝r ＜q .12．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (2)的大小关系是______________．答案 f (12)<f (13)<f (2) 解析 由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝2－x ＋x 2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大，∵|2－1|>|13－1|>|12－1|， ∴f (12)<f (13)<f (2)． 13．函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，则b －a 的最小值为________．答案 23解析 由题意可知求b －a 的最小值即求区间[a ，b ]的长度的最小值，当f (x )＝0时x ＝1，当f (x )＝1时x ＝3或13，所以区间[a ，b ]的最短长度为1－13＝23，所以b －a 的最小值为23. 14．已知函数f (x )＝ln x1－x ，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 解析 由题意可知ln a 1－a ＋ln b1－b ＝0，即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b ＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14， 又0<a <b <1，∴0<a <12，故0<－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14<14. 15．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值． 解 由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2) ＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12(log a x ＋32)2－18. 当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32. 又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)．∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得．若12(log a 2＋32)2－18＝1，则a ＝132,- 此时f (x )取得最小值时，1332(2)＝x --＝2∉[2,8]，舍去．若12(log a 8＋32)2－18＝1，则a ＝12，此时f (x )取得最小值时，[]321()2,82＝＝，x - 符合题意，∴a ＝12.。

第1讲 直线与圆1．(2016·山东改编)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是________． 答案 相交解析 ∵圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2， ∴圆心坐标为M (0，a )，半径r 1为a ， 圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a |2， 由几何知识得⎝⎛⎭⎫|a |22＋(2)2＝a 2，解得a ＝2. ∴M (0,2)，r 1＝2.又圆N 的圆心坐标为N (1,1)，半径r 2＝1， ∴MN ＝(1－0)2＋(1－2)2＝2， r 1＋r 2＝3，r 1－r 2＝1.∴r 1－r 2＜MN ＜r 1＋r 2，∴两圆相交．2．(2016·上海)已知平行直线l 1：2x ＋y －1＝0，l 2：2x ＋y ＋1＝0，则l 1与l 2的距离是________． 答案2553．(2016·浙江)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是______．半径是______． 答案 (－2，－4) 5解析 由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2， 解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去． 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆．4．(2016·课标全国乙)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若AB ＝23，则圆C 的面积为________． 答案 4π解析 圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0，即C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，圆心为C (0，a )，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2.又由AB ＝23，得⎝⎛⎭⎫2322＋⎝⎛⎭⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以圆的面积为π(a 2＋2)＝4π.考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题．直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中低档，一般以填空题的形式出现．热点一 直线的方程及应用 1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在． 2．求直线方程要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线． 3．两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0， l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.(2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.例1 (1)已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是________．(2)过点(5,2)且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是______________． 答案 (1)3或5 (2)2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0解析 (1)两直线平行，则A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0，所以有－2(k －3)－2(k －3)(4－k )＝0，解得k ＝3或5，且满足条件A 1C 2－A 2C 1≠0.(2)若直线在坐标轴上的截距为0，设直线方程为y ＝kx ，由直线过点(5,2)，可得k ＝25，此时直线方程为2x －5y ＝0；若直线在坐标轴上的截距不为0，根据题意设直线方程为x a ＋y2a ＝1，由直线过点(5,2)，可得a ＝6，此时直线方程为2x ＋y －12＝0.思维升华 (1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况；(2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．跟踪演练1 已知直线l 1：ax ＋2y ＋1＝0与直线l 2：(3－a )x －y ＋a ＝0，若l 1⊥l 2，则a 的值为________． 答案 1或2解析 由l 1⊥l 2，则a (3－a )－2＝0， 即a ＝1或a ＝2.热点二 圆的方程及应用 1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2. 2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以(－D 2，－E2)为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆．例2 (1)若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为______________． (2)过点A (a ，a )可作圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋2a －3＝0的两条切线，则实数a 的取值范围为________________．答案 (1)(x －2)2＋(y ±3)2＝4 (2)a <－3或1<a <32解析 (1)因为圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x ＝2上，又圆与y 轴相切，所以半径r ＝2，设圆心坐标为(2，b )，则(2－1)2＋b 2＝4，b 2＝3，b ＝±3.(2)圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋2a －3＝0的圆心为(a,0)，且a <32，并且(a ，a )在圆外，即有a 2>3－2a ，解得a <－3或1<a <32.思维升华 解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．跟踪演练2 (1)(2015·课标全国Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________________．(2)两条互相垂直的直线2x ＋y ＋2＝0和ax ＋4y －2＝0的交点为P ，若圆C 过点P 和点M (－3,2)，且圆心在直线y ＝12x 上，则圆C 的标准方程为______________．答案 (1)⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254 (2)(x ＋6)2＋(y ＋3)2＝34解析 (1)由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点， (4,0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y ＋1＝－2(x －2)， 令y ＝0，解得x ＝32，圆心为⎝⎛⎭⎫32，0，半径为52. 得该圆的标准方程为(x －32)2＋y 2＝254.(2)由直线2x ＋y ＋2＝0和直线ax ＋4y －2＝0垂直得2a ＋4＝0，故a ＝－2，代入直线方程，联立解得交点坐标为P (－1,0)，易求得线段MP 的垂直平分线的方程为x －y ＋3＝0，设圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 (r >0)，则圆心(a ，b )为直线x －y ＋3＝0与直线y ＝12x 的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3＝0，y ＝12x ，解得圆心坐标为(－6，－3)，从而得到r 2＝34，所以圆C 的标准方程为(x ＋6)2＋(y ＋3)2＝34.热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法． (1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则d <r ⇔直线与圆相交，d ＝r ⇔直线与圆相切，d >r ⇔直线与圆相离．(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，(x －a )2＋(y －b )2＝r 2消去y ，得关于x 的一元二次方程根的判别式Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．设圆C 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21，圆C 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22，两圆心之间的距离为d ，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下： (1)d >r 1＋r 2⇔两圆外离； (2)d ＝r 1＋r 2⇔两圆外切； (3)|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2⇔两圆相交； (4)d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内切；(5)0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内含．例3 (1)已知直线y ＝kx (k >0)与圆C ：(x －2)2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，若AB ＝255，则k＝_________.(2)若直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2恰有一个公共点，则b 的取值范围是____________． 答案 (1)12(2)(－1,1]∪{－2}解析 (1)圆心C ()2，0，半径为1，圆心到直线的距离d ＝||2k k 2＋1，而AB ＝255，得(||2k k 2＋1)2＋⎝⎛⎭⎫552＝1，解得k ＝12.(2)曲线x ＝1－y 2，即x 2＋y 2＝1(x ≥0)表示一个半径为1的半圆，如图所示．当直线y ＝x ＋b 经过点A (0,1)时，求得b ＝1； 当直线y ＝x ＋b 经过点B (1,0)时，求得b ＝－1；当直线和半圆相切于点D 时，由圆心O 到直线y ＝x ＋b 的距离等于半径， 可得|0－0＋b |2＝1，求得b ＝－2，或b ＝2(舍去)．故当直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2恰有一个公共点时，b 的取值范围是－1<b ≤1或b ＝－ 2. 思维升华 (1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．跟踪演练3 (1)过点P (－4,0)的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝5相交于A ，B 两点，若点A 恰好是线段PB 的中点，则直线l 的方程为____________．(2)已知在平面直角坐标系中，点A (22，0)，B (0,1)到直线l 的距离分别为1,2，则这样的直线l 共有________条． 答案 (1)x ±3y ＋4＝0 (2)3解析 (1)如果直线l 与x 轴平行，则A (1－5，0)，B (1＋5，0)，A 不是PB 的中点，则直线l 与x 轴不平行；设l ：x ＝my －4，圆心C 到直线l 的距离d ＝5m 2＋1，令AB 中点为Q ，则AQ ＝5－d 2，PQ ＝3AQ ＝35－d 2，在Rt △CPQ 中PQ 2＋CQ 2＝PC 2，得d 2＝52＝251＋m 2，解得m ＝±3，则直线l 的方程为x ±3y ＋4＝0.(2)由题意得直线l 为圆(x －22)2＋y 2＝1(A 为圆心)与圆x 2＋(y －1)2＝4(B 为圆心)的公切线，∵AB ＝(22)2＋(－1)2＝3＝1＋2，∴两圆外切， ∴两圆共有3条公切线．故答案为3.1．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成的两段弧长比为1∶2，则圆C 的方程为______________．押题依据 直线和圆的方程是高考的必考点，经常以填空题的形式出现，利用几何法求圆的方程也是数形结合思想的应用． 答案 x 2＋(y ±33)2＝43解析 由已知得圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为23π.设圆心坐标为(0，a )，半径为r ， 则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23， 即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33， 故圆C 的方程为x 2＋(y ±33)2＝43.2．设m ，n 为正实数，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －4＝0与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0相切，则mn 的最小值为________．押题依据 直线与圆的位置关系是高考命题的热点，本题与基本不等式结合考查，灵活新颖，加之直线与圆的位置关系本身承载着不等关系，因此此类题在高考中出现的可能性很大． 答案 3＋2 2解析 根据圆心到直线的距离是2得到m ，n 的关系，然后结合不等式即可求解．由直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －4＝0与圆(x －2)2＋(y －2)2＝4相切，可得2|m ＋n |(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝2，整理得m ＋n ＋1＝mn ，由m ，n 为正实数，可知m ＋n ≥2mn ，令t ＝mn ，则2t ＋1≤t 2，因为t >0，所以t ≥1＋2，所以mn ≥3＋2 2.故mn 有最小值3＋22，无最大值．3．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0(a >0)相交，公共弦的长为22，则a ＝________. 押题依据 本题已知公共弦长，求参数的范围，情境新颖，符合高考命题的思路． 答案102解析 联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0，可得公共弦所在直线方程为ax ＋2ay －5＝0， 故圆心(0,0)到直线ax ＋2ay －5＝0的距离为|－5|a 2＋4a 2＝5a (a >0)．故222－(5a)2＝22， 解得a 2＝52，因为a >0，所以a ＝102.A 组 专题通关1．设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且P A ＝PB ，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是____________． 答案 x ＋y －5＝0解析 由于直线P A 的倾斜角为45°，且P A ＝PB ，故直线PB 的倾斜角为135°，又由题意知P (2,3)，∴直线PB 的方程为y －3＝－(x －2)，即x ＋y －5＝0.2．(教材改编)设直线ax －y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则a ＝________. 答案 0解析 由弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，得(|a ＋1|a 2＋1)2＋(－3)2＝22，解得a ＝0.3．过坐标原点且与圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋52＝0相切的直线的方程为________________．答案 3x ＋y ＝0或x －3y ＝0解析 设直线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0. ∵圆方程可化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝52，∴圆心为(2，－1)，半径为102. 依题意有|2k ＋1|k 2＋1＝102，解得k ＝－3或k ＝13，∴直线方程为3x ＋y ＝0或x －3y ＝0.4．已知圆O 1的方程为x 2＋y 2＝4，圆O 2的方程为(x －a )2＋y 2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a 的所有取值构成的集合是____________． 答案 {1，－1,3，－3}解析 ∵两个圆有且只有一个公共点， ∴两个圆内切或外切．内切时，|a |＝1；外切时，|a |＝3，∴实数a 的取值集合是{1，－1,3，－3}．5．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM ＋PN 的最小值为__________． 答案 52－4解析 两圆的圆心均在第一象限，先求PC 1＋PC 2的最小值，作点C 1关于x 轴的对称点C 1′(2，－3)，则(PC 1＋PC 2)min ＝C 1′C 2＝52，所以(PM ＋PN )min ＝52－(1＋3)＝52－4.6．已知直线l 1：ax －y ＋1＝0，l 2：x ＋y ＋1＝0，l 1∥l 2，则a 的值为________，直线l 1与l 2间的距离为________． 答案 －12解析 ∵l 1∥l 2，∴a ·1＝－1·1⇒a ＝－1， 此时l 1：x ＋y －1＝0，∴l 1，l 2之间的距离为|1－(－1)|2＝ 2.7．在平面直角坐标系xOy 中，过点P ()－2，0的直线与圆x 2＋y 2＝1相切于点T ，与圆()x －a 2＋()y －32＝3相交于点R ，S ，且PT ＝RS ，则正数a 的值为________．答案 4解析 由题意得PT ＝22－1＝3，k PT ＝33，PT ：y ＝33(x ＋2)，即x －3y ＋2＝0，又RS ＝PT ＝3，所以圆()x －a 2＋()y －32＝3的圆心到直线PT 距离为3－(32)2＝32，从而|a －1|2＝32，因此正数a 的值为4.8．(2016·课标全国丙)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若AB ＝23，则CD ＝______. 答案 4解析 设AB 的中点为M ，由题意知，圆的半径R ＝23，AB ＝23，所以OM ＝3，解得m ＝－33， 由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，解得A (－3，3)，B (0,23)，则AC 的直线方程为y －3＝－3(x ＋3)，BD 的直线方程为y －23＝－3x ，令y ＝0，解得C (－2,0)，D (2,0)，所以CD ＝4. 9．已知点A (3,3)，B (5,2)到直线l 的距离相等，且直线l 经过两直线l 1：3x －y －1＝0和l 2：x ＋y －3＝0的交点，求直线l 的方程．解 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0，得交点P (1,2)．①若点A ，B 在直线l 的同侧，则l ∥AB . 而k AB ＝3－23－5＝－12，由点斜式得直线l 的方程为 y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.②若点A ，B 分别在直线l 的异侧，则直线l 经过线段AB 的中点(4，52)，由两点式得直线l 的方程为y －2x －1＝52－24－1，即x －6y ＋11＝0.综上所述，直线l 的方程为 x ＋2y －5＝0或x －6y ＋11＝0.10．(2015·课标全国Ⅰ)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求MN . 解 (1)由题设可知，直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1.解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝4k (1＋k )1＋k 2＋8.由题设可得4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以MN ＝2.B 组 能力提高11．直线y ＝k (x －1)与以A (3,2)，B (2，3)为端点的线段有公共点，则k 的取值范围是________． 答案 [1,3]解析 因为直线y ＝k (x －1)恒过P (1,0)，画出图形，直线y ＝k (x －1)与以A (3,2)，B (2,3)为端点的线段有公共点，则直线落在阴影区域内，因为k P A ＝2－03－1＝1， k PB ＝3－02－1＝3，故k 的取值范围是[1,3]．12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x －1)2＋y 2＝2，圆C 2：(x －m )2＋(y ＋m )2＝m 2，若圆C 2上存在点P 满足：过点P 向圆C 1作两条切线P A ，PB ，切点为A ，B ，△ABP 的面积为1，则正数m 的取值范围是__________． 答案 [1,3＋23]解析 设P (x ，y )，设P A ，PB 的夹角为2θ.△ABP 的面积S ＝12P A 2sin 2θ ＝P A 2·2PC 1·P A PC 1＝1. 由2P A 3＝PC 21＝P A 2＋2，解得PA ＝2， 所以PC 1＝2，所以点P 在圆(x －1)2＋y 2＝4上．所以|m －2|≤(m －1)2＋(－m )2≤m ＋2，解得1≤m ≤3＋2 3.13．已知圆O ：x 2＋y 2＝4，若不过原点O 的直线l 与圆O 交于P 、Q 两点，且满足直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，则直线l 的斜率为________．答案 ±1解析 设l ：y ＝kx ＋b (b ≠0)，代入圆的方程，化简得(1＋k 2)x 2＋2kbx ＋b 2－4＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，得x 1＋x 2＝－2kb 1＋k 2，x 1x 2＝b 2－41＋k 2， k OP ·k OQ ＝y 1x 1·y 2x 2＝(k ＋b x 1)(k ＋b x 2) ＝k 2＋kb (x 1＋x 2x 1x 2)＋b 2x 1x 2 ＝k 2＋kb (－2kb b 2－4)＋b 2(1＋k 2)b 2－4 ＝k 2(b 2－4)－2k 2b 2＋k 2b 2＋b 2b 2－4＝b 2－4k 2b 2－4， 由k OP ·k OQ ＝k 2l ，得b 2－4k 2b 2－4＝k 2， 解得k ＝±1.14．已知以点C (t ，2t)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点． (1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程．(1)证明 由题意知圆C 过原点O ，且OC 2＝t 2＋4t2. 则圆C 的方程为(x －t )2＋(y －2t )2＝t 2＋4t2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t； 令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t .故S △OAB ＝12OA ×OB ＝12×|2t |×|4t|＝4， 即△OAB 的面积为定值．(2)解 ∵OM ＝ON ，CM ＝CN ，∴OC 垂直平分线段MN .∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12，∴直线OC 的方程为y ＝12x ， ∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15＜5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点；当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95>5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， ∴t ＝－2不符合题意，应舍去．综上，圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.。

第 4 讲 导数的热门问题(2016 ·标全国乙课 )已知函数f(x)＝ (x － 2)e x ＋ a(x －1) 2 有两个零点．(1) 求 a 的取值范围；(2) 设 x 1， x 2 是 f(x)的两个零点，证明： x 1＋ x 2<2.(1) 解 f ′(x)＝ (x － 1)e x ＋ 2a(x － 1)＝ (x －1)(e x ＋ 2a)．①设 a ＝ 0，则 f(x)＝ (x － 2)e x ， f(x)只有一个零点．②设 a>0，则当 x ∈(－ ∞， 1) 时， f ′(x)<0 ；当 x ∈ (1，＋ ∞)时， f ′(x)>0 ，所以 f( x)在 (－∞，1) 上单一递减，在 (1，＋ ∞)上单一递加．又 f(1) ＝－ e ， f(2)＝ a ，取 b 知足 b<0 且 b<ln a，2a223则 f(b)>2(b － 2)＋ a( b － 1) ＝a b － 2b >0， 故 f(x)存在两个零点． ③设 a<0，由 f ′(x)＝ 0 得 x ＝1 或 x ＝ ln(－ 2a)．若 a ≥－e2，则 ln(－ 2a) ≤1，故当 x ∈ (1，＋ ∞)时， f ′(x)>0 ，所以 f(x)在 (1，＋ ∞)上单一递加．又当 x ≤1时， f(x)<0 ，所以 f(x)不存在两个零点．若 a<－ e2，则 ln( － 2a)>1，故当 x ∈ (1，ln(－ 2a))时，f ′(x)<0 ；当 x ∈ (ln(－ 2a)，＋ ∞)时，f ′(x)>0 ，所以 f( x)在 (1，ln( － 2a)) 上单一递减，在 (ln( － 2a)，＋ ∞)上单一递加．又当 x ≤1时， f(x)<0 ，所以 f(x)不存在两个零点．综上， a 的取值范围为 (0，＋ ∞)．(2) 证明 不如设 x 1<x 2，由 (1) 知， x 1∈ (－ ∞， 1)， x 2∈(1 ，＋ ∞)，2－ x 2∈ (－ ∞，1)，f(x)在 (－∞， 1)上单一递减，所以 x 1＋ x 2<2 等价于 f(x 1)>f(2－ x 2)，即 f(2 －x 2)<0.2x2因为 f(2－ x 2) ＝x 2 e 2 ＋ a(x 2－ 1) ，而 f(x 2)＝ (x 2－ 2) e x 2 ＋ a(x 2－ 1)2＝ 0， 所以 f(2－ x 2) ＝ x 2e 2 x 2( x 2 2)e x 2 .设 g(x) ＝－ xe 2－ x － (x － 2)e x ，则 g ′(x)＝ (x － 1)(e 2－x － e x )，所以当 x>1 时， g ′(x)<0 ，而 g(1)＝ 0，故当 x>1 时， g(x)<0，进而 g(x 2)＝ f(2－ x 2)<0，故 x 1＋ x 2<2.利用导数探究函数的极值、 最值是函数的基本问题， 高考取常与函数零点、 方程根及不等式相联合，难度较大．热门一利用导数证明不等式用导数证明不等式是导数的应用之一， 能够间接考察用导数判断函数的单一性或求函数的最值，以及结构函数解题的能力．例 1 已知函数 f(x)＝ e x － x 2＋ a ， x ∈R ，曲线 y ＝ f(x) 的图象在点 (0，f(0)) 处的切线方程为 y＝ bx.(1) 求函数 y ＝ f(x) 的分析式；(2) 2＋ x ；当 x ∈R 时，求证： f(x) ≥－ x(3) 若 f(x)>kx 对随意的 x ∈ (0，＋ ∞)恒成立，务实数 k 的取值范围．(1) 解 依据题意，得 f ′(x)＝ e x －2x ，则 f ′(0)＝1＝ b.由切线方程可得切点坐标为(0,0)，将其代入 y ＝ f(x)，得 a ＝－ 1，故 f(x)＝ e x － x 2－ 1.(2) 证明 令 g(x)＝ f(x)＋ x 2－x ＝ e x － x － 1.由 g ′(x)＝ e x － 1＝ 0，得 x ＝ 0，当 x ∈ (－ ∞， 0)时， g ′(x)<0， g(x)单一递减；当 x ∈ (0，＋ ∞)时， g ′(x)>0， g(x)单一递加． ∴ g(x)min ＝ g(0) ＝ 0，∴ f(x) ≥－ x 2 ＋x.f(x)(3) 解f(x)>kx 对随意的 x ∈ (0，＋ ∞)恒成立等价于 x >k 对随意的 x ∈ (0，＋ ∞)恒成立．令 φ(x)＝ f(x)， x>0，得 φ′(x)＝ xf ′(x)－ f(x) x 2xx(e x － 2x) － (e x － x 2－1) (x － 1)(e x － x － 1) .＝x 2 ＝ x 2x由 (2) 可知，当 x ∈(0，＋ ∞)时， e － x － 1>0 恒成立，∴ y ＝ φ(x)的单一增区间为 (1，＋ ∞)，单一减区间为 (0,1)，φ(x)min ＝φ(1) ＝ e －2，∴ k<φ(x)min ＝ e － 2，∴实数 k 的取值范围为 (－ ∞， e － 2)．思想升华 用导数证明不等式的方法(1) 利用单一性：若 f( x)在 [a ，b] 上是增函数，则① ? x ∈ [a ， b] ，则 f(a) ≤f(x) ≤f(b)，②对 ? x 1， x 2∈[ a ，b]，且 x 1<x 2，则 f(x 1)< f(x 2) ．对于减函数有近似结论．(2) 利用最值：若 f(x)在某个范围 D 内有最大值 M(或最小值 m)，则对 ? x ∈ D ，则 f(x) ≤M(或f(x) ≥m) ．(3) 证明 f(x)<g(x)，可结构函数 F(x)＝ f(x)－g(x)，证明 F(x)<0. 追踪操练 1 已知函数 f(x)＝ aln x ＋1(a>0) ．(1) 当 x>0 时，求证： f( x)－ 1≥a 1－ 1；x (2) 在区间 (1， e)上 f(x)> x 恒成立，务实数 a 的取值范围．(1) 证明设 φ(x)＝ f(x)－1－ a 1－1x1＝ aln x － a 1－ x (x>0) ，a ax x 2.令 φ′(x)＝ 0，则 x ＝ 1，当 0<x<1 时， φ′(x)<0 ，所以 φ(x)在 (0,1)上单一递减；当 x>1 时， φ′(x)>0，则φ′(x)＝－所以 φ(x)在 (1，＋ ∞)上单一递加， 故 φ(x)在 x ＝ 1 处取到极小值也是最小值，故 φ(x) ≥φ(1)＝ 0，即 f(x)－ 1≥a 1－1x .x － 1(2) 解 由 f(x)>x 得 aln x ＋ 1>x ，即 a> ln x .x － 1 x － 1ln x － x 令 g(x) ＝ ln x (1< x<e)，则 g ′(x)＝ (ln x)2 .令 h(x) ＝ln x － x － 1 (1<x<e)，则 h ′(x)＝ 1 － 1>0，x x 2x 故 h(x) 在区间 (1， e)上单一递加，所以 h(x)>h(1)＝ 0.因为 h(x)>0 ，所以 g ′(x)>0 ，即 g(x)在区间 (1， e)上单一递加，x －1则 g(x)<g(e)＝ e － 1，即 ln x <e － 1， 所以 a 的取值范围为 [e － 1，＋ ∞)．热门二利用导数议论方程根的个数方程的根、函数的零点、 函数图象与 x 轴的交点的横坐标是三个等价的观点，解决这种问题能够经过函数的单一性、极值与最值，画出函数图象的走势，经过数形联合思想直观求解．例 2 已知函数 f(x)＝ (ax 2＋x － 1)e x ，此中 e 是自然对数的底数， a ∈R.(1) 若 a ＝ 1，求曲线 y ＝ f(x)在点 (1， f(1)) 处的切线方程；(2) 若 a＝－ 1，函数 y＝ f(x)的图象与函数g(x)＝1x 3＋1x2＋ m 的图象有3 个不一样的交点，务实32数 m 的取值范围．解 (1)当 a＝ 1 时， f(x)＝ (x2＋ x－ 1)e x，所以 f′(x)＝ (x2＋ x－ 1)e x＋ (2x＋1)e x＝ (x2＋ 3x)e x，所以曲线y＝ f( x)在点 (1，f(1)) 处的切线斜率为k＝ f′ (1)＝ 4e.又因为 f(1) ＝ e，所以所求切线的方程为y－ e＝4e(x－ 1)，即 4ex－ y－3e＝ 0.(2)当 a＝－ 1 时， f(x)＝ (－ x2＋ x－ 1)e x，f ′(x)＝( －x2－ x)e x，所以 y＝ f(x)在 ( －∞，－ 1)上单一递减，在 (－1,0)上单一递加，在 (0，＋∞)上单一递减，故 f(x)在x＝－ 1 处获得极小值－3，在ex＝0 处获得极大值－ 1.而 g′(x)＝ x2＋ x，所以 y＝g(x)在 (－∞，－ 1)上单一递加，在 (－ 1,0)上单一递减，在 (0，＋∞)上单一递加．故 g(x) 在 x＝－ 1 处获得极大值1＋ m，在 x＝ 0 处获得极小值 m. 6因为函数y＝ f( x)与 y＝g(x)的图象有 3 个不一样的交点，所以 f( －1)<g(－ 1)且 f(0)> g(0) ，所以－3－1<m<－ 1，即 m 的取值范围为 (－3－1，－ 1)．e 6e6思想升华(1) 函数 y＝ f(x)－k 的零点问题，可转变为函数y＝ f( x)和直线 y＝ k 的交点问题．(2) 研究函数y＝ f(x)的值域，不单要看最值，并且要察看随x 值的变化 y 值的变化趋向．追踪操练 2已知函数 f(x)＝ 2ln x－x2＋ ax(a∈ R)．(1)当 a＝ 2 时，求 f(x)的图象在 x＝ 1 处的切线方程；1， e上有两个零点，务实数m 的取值范围．(2) 若函数 g(x)＝ f(x)－ ax＋m 在e解 (1)当 a＝ 2 时， f(x)＝ 2ln x－x2＋ 2x，2f ′(x)＝x－ 2x＋ 2，切点坐标为 (1,1)，切线的斜率k＝ f′(1)＝ 2，则切线方程为y－ 1＝2(x－ 1)，即 2x－y－ 1＝ 0.(2) g(x)＝ 2ln x－ x2＋ m，2－ 2(x＋ 1)(x－ 1)则 g′(x)＝x－2x＝x.1因为 x ∈， e ，所以当 g ′(x)＝ 0 时， x ＝ 1.1当 e <x<1 时， g ′(x)>0；当 1<x<e 时， g ′(x)<0. 故 g(x) 在 x ＝ 1 处获得极大值 g(1) ＝ m － 1.又 g1e ＝ m － 2－e12 ，g(e) ＝m ＋2－ e2，g(e)－ g1 21e ＝ 4－ e ＋ 2<0，e则 g(e)<g 1e ，1所以 g(x)在 e ，e 上的最小值是g(e)．1g(x)在 ， e 上有两个零点的条件是g(1) ＝ m －1>0 ，1＝ m － 2－ 1g e e 2 ≤0，1解得 1<m ≤2＋ e 2，1所以实数 m 的取值范围是1， 2＋e 2 .热门三利用导数解决生活中的优化问题生活中的实质问题受某些主要变量的限制，解决生活中的优化问题就是把限制问题的主要变量找出来， 成立目标问题即对于这个变量的函数，而后经过研究这个函数的性质，进而找到变量在什么状况下能够达到目标最优．例 3某乡村拟修筑一个无盖的圆柱形蓄水池 (不计厚度 )．设该蓄水池的底面半径为 r 米，高为 h 米，体积为 V 立方米．假定建筑成本仅与表面积相关，侧面的建筑成本为100 元 / 平方米， 底面的建筑成本为 160 元 /平方米， 该蓄水池的总建筑成本为12 000 π元 ( π为圆周率 )．(1) 将 V 表示成 r 的函数 V(r )，并求该函数的定义域；(2) 议论函数 V( r)的单一性，并确立 r 和 h 为什么值时该蓄水池的体积最大．解 (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh ＝ 200πrh(元 )，底面的总成本为 160πr 2 元．所以蓄水池的总成本为(200 πrh ＋ 160πr 2 )元．又依据题意得 200πrh ＋ 160πr 2＝ 12 000 π，12所以 h ＝ 5r (300－ 4r )，π进而 V(r)＝ πr 2h ＝(300r － 4r 3)．5因为 r>0 ，又由 h>0 可得 r<53，故函数 V(r )的定义域为 (0,5 3)．π(2) 因为 V(r )＝ 5(300r － 4r 3)，π 2)，故 V ′(r)＝ (300－ 12r 5令 V ′(r)＝ 0，解得 r 1＝ 5， r 2 ＝－ 5( 因为 r 2＝－ 5 不在定义域内，舍去 )．当 r ∈ (0,5)时， V ′(r)>0，故 V( r)在 (0,5)上为增函数；当 r ∈ (5,5 3)时， V ′(r)<0 ，故 V(r )在 (5,5 3)上为减函数．由此可知， V(r )在 r ＝ 5 处获得最大值，此时h ＝ 8.即当 r ＝ 5，h ＝ 8 时，该蓄水池的体积最大．思想升华利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1) 建模：剖析实质问题中各量之间的关系，列出实质问题的数学模型，写出实质问题中变量之间的函数关系式 y ＝ f(x)．(2) 求导：求函数的导数 f ′(x)，解方程 f ′(x)＝ 0.(3) 求最值：比较函数在区间端点和使f ′(x)＝ 0 的点的函数值的大小，最大 (小 )者为最大 (小 )值．(4) 作答：回归实质问题作答．追踪操练3经市场检查，某商品每吨的价钱为x(1< x<14) 百元时，该商品的月供应量为y 1万吨，y 1＝ ax ＋7a 2－ a(a>0) ；月需求量为2y 2万吨， y 2＝－1 x 2－2241112x ＋ 1.当该商品的需求量大于供应量时，销售量等于供应量； 当该商品的需求量不大于供应量时， 销售量等于需求量，该商品的月销售额等于月销售量与价钱的乘积．(1) 若 a ＝17，问商品的价钱为多少时，该商品的月销售额最大？(2) 记需求量与供应量相等时的价钱为平衡价钱，若该商品的平衡价钱不低于每吨 6 百元，务实数 a 的取值范围．1解(1) 若 a ＝7，由 y 2>y 1，得－ 2241x 2－ 1121x ＋1>17x ＋ 72(17)2－ 17.解得－ 40<x<6.因为 1<x<14，所以 1<x<6.设该商品的月销售额为g(x)，y 1·x ， 1<x<6， 则 g(x) ＝y 2·x ， 6≤x<14.1 133 当 1<x<6 时， g(x)＝(x － )x<g(6)＝ . 727当 6≤x<14 时， g(x)＝ (－ 1 x 2－ 1 x ＋1)x ，224 112则 g ′(x)＝－ 1(3x 2＋ 4x － 224)2241＝－ 224( x － 8)(3x ＋28)，由 g ′(x)>0 ，得 x<8，所以 g(x)在 [6,8) 上是增函数，在 (8,14)上是减函数，当 x ＝ 8 时， g(x)有最大值 g(8) ＝367.(2) 设 f(x)＝ y 1－ y 2＝1 217 2－1－ a ，224x ＋ (＋ a)x ＋ a1122因为 a>0，所以 f(x)在区间 (1,14) 上是增函数，若该商品的平衡价钱不低于 6 百元，即函数 f(x)在区间 [6,14) 上有零点，f(6) ≤0， 所以f(14)>0 ，7a 2＋10a －11≤0，17解得即0<a ≤ .7a 2＋13a>0，721 2已知函数 f(x)＝ 2x － (2a ＋ 2)x ＋ (2a ＋1)ln x.(1) 当 a ＝ 0 时，求曲线 y ＝f(x)在 (1， f(1)) 处的切线方程；(2) 求 f(x)的单一区间；(3) 对随意的 a ∈ 3， 5，x 1， x 2∈[1,2] ，恒有 |f(x 1)－ f(x 2)| ≤λ|1 － 1 |，求正实数 λ的取值范围．2 2x 1 x 2押题依照相关导数的综合应用试题多考察导数的几何意义、 导数与函数的单一性、 导数与不等式等基础知识和基本方法，考察分类整合思想、 转变与化归思想等数学思想方法．此题的命制正是依据这个要求进行的，全面考察了考生综合求解问题的能力．解 (1)当 a ＝ 0 时， f(x)＝12x 2－ 2x ＋ ln x ，f ′(x)＝x － 2＋ 1，且 f(1)＝－ 3， f ′(1)＝ 0，x 2故曲线 y ＝ f(x)在 (1， f(1)) 处的切线方程为3y ＝－ .2(2) f ′(x)＝ x － (2a ＋2)＋ 2a ＋ 1＝[x －(2a ＋1)]( x －1)，x>0.xx①当 2a ＋1≤0，即 a ≤－1时，函数 f(x)在 (0,1)上单一递减，在 (1，＋ ∞)上单一递加；21f(x)在 (2a ＋1,1)上单一递减，在 (0,2a ＋ 1)， (1，＋ ∞)②当 0<2a ＋ 1<1，即－ <a<0 时，函数2上单一递加；③当 2a ＋1＝ 1，即 a ＝ 0 时，函数 f(x)在 (0，＋ ∞) 上单一递加；④当 2a ＋ 1>1，即 a>0 时，函数 f(x)在 (1,2a ＋ 1)上单一递减，在 (0,1)， (2a ＋ 1，＋ ∞)上单一递加．3， 5(3) 依据 (2) 知，当 a ∈ 2 2 时，函数 f( x)在 [1,2] 上单一递减．若 x 1＝ x 2，则不等式 |f(x 1 2)| ≤λ|1－ 1)－ f(x x 1 x 2|对随意正实数 λ恒成立，此时 λ∈ (0，＋∞)． 若 x 1≠x 2，不如设 1≤x 1<x 2≤2， 则 f(x 1)>f(x 2)， 1> 1 ，x 1 x 2原不等式即 f(x 1)－ f(x 2) ≤λ 1－1，x 1 x 2即 f(x λλ a ∈3 5， x ， x ∈ [1,2] 恒成立，1)－对随意的 ， 2xxλ3 5设 g(x) ＝f(x)－ x ，则对随意的 a ∈ [ 2，2]， x 1， x 2∈ [1,2] ，不等式 g(x 1) ≤g(x 2)恒成立， 即函数 g(x)在 [1,2] 上为增函数，故 g ′(x)≥0对随意的a ∈32，52 ， x ∈ [1,2] 恒成立．2a ＋ 1 λg ′(x)＝ x － (2a ＋ 2)＋ x ＋x 2≥0， 即 x 3－ (2a ＋ 2)x 2＋ (2a ＋ 1)x ＋ λ≥0，即 (2x － 2x 2)a ＋ x 3－ 2x 2＋ x ＋ λ≥0对随意的 a ∈ 3， 5恒成立．2 2 因为 x ∈ [1,2] ， 2x －2x 2≤0，253 － 2x 2故只需 (2x － 2x) ×＋ x ＋x ＋ λ≥0，2即 x 3－ 7x 2＋ 6x ＋ λ≥0对随意的 x ∈ [1,2] 恒成立．令 h(x) ＝x 3－ 7x 2＋ 6x ＋ λ，x ∈ [1,2] ，则 h ′(x)＝ 3x 2－ 14x ＋ 6<0 恒成立，故函数 h(x)在区间 [1,2] 上是减函数，所以 h(x)min＝ h(2)＝λ－ 8，只需λ－ 8≥0即可，即λ≥8，故实数λ的取值范围是[8，＋∞)．A 组专题通关1．函数 f(x)的定义域为R，f(－ 1)＝ 3，对随意 x∈R，f′(x)<3 ，则 f(x)>3x＋ 6 的解集为 __________ ．答案(－∞，－ 1)分析设 g(x)＝ f(x)－ (3x＋ 6)，则g′(x)＝ f′(x)－ 3<0 ，所以g(x)为减函数，又g(－ 1)＝ f(－ 1)－ 3＝ 0，所以依据单一性可知g(x)>0 的解集是{ x|x<－ 1} ．2．设 a>0，b>0 ，e 是自然对数的底数，若e a＋2a＝e b＋3b，则a与b的大小关系为________．答案a>b分析由 e a＋2a＝ e b＋ 3b，有 e a＋ 3a>e b＋ 3b，令函数 f(x)＝ e x＋ 3x，则 f(x)在 (0，＋∞)上单一递加，因为 f( a)> f(b)，所以 a>b.3．若不等式 2xln x≥－ x2＋ax－ 3 恒成立，则实数 a 的取值范围为 __________．答案 (－∞， 4]分析条件可转变为 a≤2lnx＋ x＋3(x>0)恒成立．x设 f(x)＝ 2ln x＋ x＋3 x，则 f′(x)＝(x＋ 3)(x－ 1)(x>0)．x2当 x∈ (0,1) 时， f′(x)<0 ，函数 f(x)单一递减；当 x∈ (1，＋∞)时， f′(x)>0 ，函数 f(x) 单一递加，所以 f( x)min＝ f(1)＝ 4.所以 a≤4.4．假如函数f(x)＝ ax2＋ bx＋ cln x(a，b，c 为常数， a>0)在区间 (0,1) 和 (2，＋∞)上均单一递加，在 (1,2) 上单一递减，则函数 f(x)的零点个数为 ________．答案 1分析由题意可得 f′(x)＝2ax＋ b＋c ，xf′(1)＝ 2a＋ b＋ c＝ 0，b＝－ 6a，所以 f(x)＝ a(x2－ 6x＋ 4ln x)，则极大值 f(1)＝－则c＝ 0，解得c＝4a，f′(2)＝ 4a＋ b＋25a<0 ，极小值 f(2) ＝a(4ln2－ 8)<0 ，又 f(10)＝ a(40＋4ln 10)>0 ，联合函数图象 (图略 )可得该函数只有一个零点．5．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π dm3，且用料最省，则圆柱的底面半径为 ________ dm.答案3227分析设圆柱的底面半径为 R dm，母线长为l dm，则 V＝πR l ＝27π，所以 l ＝R2，要使用料最省，只需使圆柱形水桶的表面积最小．S表2227表54π表表＝πR＋ 2πRl＝πR ＋ 2π·，所以S′＝ 2πR－2 .令 S′＝ 0，得 R＝ 3，则当 R＝ 3 时， SR R最小．6．对于 x 的方程 x 3－ 3x2－ a＝0 有三个不一样的实数解，则实数 a 的取值范围是 __________ ．答案(－ 4,0)分析由题意知使函数f( x)＝ x3－ 3x2－ a 的极大值大于0 且极小值小于 0 即可，又 f′(x)＝ 3x2－6x＝ 3x(x－ 2)，令 f ′(x)＝ 0，得 x1＝ 0，x2＝2，当 x<0 时， f′(x)>0；当 0<x<2 时， f′(x)<0 ；当x>2 时， f′(x)>0 ，所以当x＝ 0 时， f(x)获得极大值，即f(x)极大值＝ f(0) ＝－a；当 x＝ 2 时， f(x)获得极小值，即f(x)极小值＝ f(2) ＝－ 4－ a，－a>0，所以解得－ 4<a<0.－4－ a<0，7．假如对定义在 R 上的函数 f(x)，对随意两个不相等的实数x1，x2，都有 x1f(x1)＋x2f(x2)> x1f(x2)＋ x2f(x1)，则称函数 f(x)为“H 函数”．给出以下函数：① y＝－ x3＋ x＋1；② y＝ 3x－ 2(sin x－ cos x) ；③ y＝ e x＋1；④ f( x)＝ln|x|， x≠0，以上函数是0， x＝ 0.“H 函数”的全部序号为 ________．答案②③分析因为 x1f(x1)＋ x2f(x2)> x1f(x2)＋ x2f(x1)，即 (x1－x2)[f(x1)－ f(x2)]>0 恒成立，所以函数 f(x)在 R 上是增函数．由 y′＝－ 3x2＋ 1>0 得－33，即函数在区间－3， 33 <x< 333π上是增函数，故①不是“H 函数”；由 y′＝ 3－2(cos x＋ sin x)＝3－ 2 2sin x＋4≥3－22>0 恒x“H 函数”；因为④为偶函数，所以成立，所以②为“H 函数”；由 y′＝ e >0 恒成立，所以③为不行能在 R 上是增函数，所以不是“H 函数”．综上可知，是“H 函数”的有②③ .1324，直线 l： 9x＋ 2y＋ c＝0，若当 x∈ [ － 2,2] 时，函数 y＝f(x) 8．已知函数 f(x)＝ x － x － 3x＋33的图象恒在直线l 下方，则 c 的取值范围是 ________．答案(－∞，－ 6)分析依据题意知13249c在 x∈ [－ 2,2]上恒成立，则－3x－x－3x＋<－ x－3221323423，设 g(x) ＝ x － x ＋x＋，则 g′(x)＝ x － 2x＋3232则 g′(x)>0 恒成立，所以 g(x)在 [ － 2,2] 上单一递加，所以 g(x)max＝ g(2)＝ 3，则 c<－ 6.9.如图，OA 是南北方向的一条公路，OB 是北偏东45°方向的一条公路，某景色区的一段界限为曲线C，为方便旅客参观，制定在曲线C 上某点P 处罚别修筑与公路 OA，OB 垂直的两条道路 PM ， PN，且 PM， PN 的造价分别为 5 万元 /百米， 40 万元 /百米，成立以下图的平面直c 1 32342>3x － x ＋2x＋3，42角坐标系xOy，则曲线 C 切合函数y＝ x＋x2 (1 ≤x≤ 9)模型，设 PM ＝x，修筑两条道路PM ，PN 的总造价为f(x)万元，题中所波及长度单位均为百米．(1)求 f(x)的分析式；(2)当 x 为多少时，总造价 f(x)最低？并求出最低造价．解 (1)在以下图的平面直角坐标系中，因为曲线 C 的方程为y＝ x＋422(1 ≤x≤ 9)，PM＝ x，x所以点 P 的坐标为(x， x＋422)，直线 OB 的方程为 x－y＝ 0. x则点 P 到直线 x－y＝ 0 的距离为x－ (x＋4242x 2 )24＝x＝22x2.又 PM 的造价为 5 万元 /百米， PN 的造价为 40万元 /百米，则两条道路总造价为f(x)＝ 5x＋432≤x≤ 9)．40·＝ 5(x＋2)(12x x(2) 因为 f(x)＝ 5(x＋32 2 )，x645(x3－ 64)所以 f′(x)＝ 5(1－x3 )＝x3.令 f′(x)＝ 0，得 x＝ 4，列表以下：x(1,4)4(4,9)f′(x)－0＋f(x)↘极小值↗所以当 x＝4 时，函数 f(x)有最小值，最小值为32f(4) ＝5×(4＋2 )＝ 30.4B 组 能力提升10．定义在0， π上的函数 f(x) ，f ′(x)是它的导函数，且恒有f(x)<f ′(x)tan x 成立，给出以下2四个关系式，此中正确的选项是________．πππ① 3f 4>2f 3 ； ② f(1)<2f 6 sin 1；π ππ π ③ 2f 6 >f 4 ； ④ 3f 6 <f 3 .答案 ④分析∵ f(x)<f ′(x)tan x ，即 f ′(x)sin x －f(x)cos x>0，∴f(x)′＝f ′(x)sin x － f(x)cos xsin x 2>0，sin xf(x) π∴函数 sin x 在 0，2 上单一递加，π πf 6 f 3 π<fπ .进而 < ，即 3f 6 3π πsin6 sin 311．设函数 f(x)在 R 上存在导函数 f ′(x)，对随意 x ∈ R ，都有 f(x)＋ f(－ x)＝x 2，且 x ∈(0 ，＋∞)时， f ′(x)>x ，若 f(2－ a)－ f(a) ≥2－ 2a ，则实数 a 的取值范围是 ________．答案 (－ ∞， 1]分析1 21 22令 g(x)＝ f(x)－ x ，则 g(－ x)＝ f(－ x)－2x ，则 g(x)＋ g(－ x)＝ f(x) ＋f(－ x)－ x ＝ 0，得2g(x)为 R 上的奇函数．当 x>0 时， g ′(x)＝ f ′(x)－ x>0，故 g(x)在 (0，＋ ∞)上单一递加，再联合2g(0) ＝0 及 g(x)为奇函数， 知 g(x)在 R 上为增函数． 又 g(2－ a)－ g(a)＝ f(2－ a)－(2－a)－ [f(a)22－ a2 ] ＝f(2－ a)－f(a)－ 2＋ 2a ≥ (2－ 2a)－ 2＋2a ＝ 0，则 g(2－ a) ≥g(a)? 2－a ≥a? a ≤1，即 a ∈ (－∞， 1]．12．直线 y ＝ a 分别与直线 y ＝ 2(x ＋ 1)，曲线 y ＝ x ＋ ln x 交于点 A ，B ，则 AB 的最小值为 ______．3 答案2分析解方程 2(x ＋ 1)＝ a ，得 x ＝a2－ 1.设方程 x ＋ ln x ＝a 的根为 t(t>0) ，则 t ＋ ln t ＝ a ，则 AB ＝ t － a ＋ 1 ＝ t － t ＋ ln t ＋ 1 ＝ t － ln t ＋ 1 .2 2 2 2设 g(t)＝ t －ln t＋ 1(t>0) ，2 211 t － 1则 g ′(t)＝ 2－ 2t ＝ 2t (t>0) ，令 g ′(t)＝ 0，得 t ＝ 1.当 t ∈ (0,1)时， g ′(t)<0 ；当 t ∈(1 ，＋ ∞)时， g ′(t)>0 ，所以 g(t) min ＝ g(1) ＝ 3 2，3的最小值为 3所以 AB ≥ ，所以 AB2.21 3 1 2＋ k( k ∈R) ．13．已知函数 f(x)＝x ＋ kx32(1) 若曲线 y ＝ f(x) 在点 (2， f(2)) 处的切线的斜率为 12，求函数 f(x)的极值；(2) 设 k<0， g(x)＝ f ′(x)，求 F(x)＝ g(x 2)在区间 (0，2]上的最小值．1 312 2解 (1)函数 f(x)＝x ＋ kx＋ k 的导数为 f ′(x)＝ x ＋ kx.32由题意可得 f ′(2)＝ 4＋ 2k ＝12，解得 k ＝ 4，即 f(x)＝ 1x 3＋ 2x 2＋ 4， f ′(x)＝ x 2＋4x. 3当 x>0 或 x<－ 4 时， f ′(x)>0 ，f(x)单一递加；当－ 4<x<0 时， f ′(x)<0， f(x)单一递减．可得 f( x)的极小值为 f(0)＝ 4，44f(x)的极大值为f( －4)＝ 3 .2(2) 由题意得 g(x)＝ x ＋kx.2设 t ＝ x 2∈(0,2] ，可得 F(x)＝h(t)＝ t 2 ＋kt ＝ (t ＋ k )2－ k， k<0，－ k>0.242①当－ 4<k<0 时，－ k ∈ (0,2)， h(t)min ＝ h(－ k)＝－ k 2 ；2 2 4k②当 k ≤－ 4 时，－ ∈ [2，＋ ∞)， h(t)在 (0,2) 上单一递减， h(t)min ＝ h(2) ＝ 4＋ 2k.2－ k，－ 4<k<0，综上可得， h(t)min ＝44＋ 2k ， k ≤－ 4.。