高一数学《4.3.2《空间两点间的距离公式》教案(1)

课题： 2.4.3.2 空间两点间的距离公式（１）教材分析：距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常设计距离，如飞机和轮船的航线的设计，它虽不是直线距离，但也涉及两点之间的距离，一些建筑设计也要计算两点之间的距离，所以本节内容为解决实际问题提供了方便．课 型： 新授课教学要求：使学生掌握空间两点的距离公式由来，及应用．教学重点：空间两点的距离公式．教学难点：空间两点的距离公式的推导教学过程：一、复习准备：1. 提问：平面两点间的距离公式？2. 给你一块砖，你如何量出它的对角线长，说明你的理由 ．3. 建筑设计中常常要计算空间两点间的距离公式，你能用两点的坐标表示这两点间的距离吗？二、讲授新课：1．空间两点的距离公式（1）设问：你能猜想一下空间两点),,(1111z y x P 、),,(2222z y x P 间的距离公式吗？如何证明？，因空间直角坐标系是在平面直角坐标系的基础上，经过原点O 再作一条垂直于这个平面的直线，因此学生完全能借助平面上两点间的距离公式，考虑到此距离与竖坐标有关，猜想出空间两点间的距离公式22122122121)()()(||z z y y x x P P -+-+-=．故在介绍空间两点间的距离公式时，没有直接呈现公式结论，而是先让学生猜想、证明，从中培养学生对陌生问题通过已学的类似问题，要敢于提出猜想的意识．在推导空间两点间的距离公式时，教材故意让学生经历一个从易到难，从特殊到一般的目的在于让学生掌握类比的方法和养成严谨的思维习惯．（2）学生阅读教材136P - 137P 内容，教师给与适当的指导．思考：1）点M （x ，y ，z ）与坐标原点O （0，0，0）的距离？2) M 1，M 2两点之间的距离等于0⇔M 1=M 2，两点重合，也即x 1=x 2，y 1=y 2，z 1=z 2． 讨论：如果OP 是定长r,那么2222x y z r ++=表示什么图形？2．例题1：求点P 1(1, 0, -1)与P 2(4, 3, -1)之间的距离．要求学生熟记公式并注意公式的准确运用练习：求点(0,0,0)(5,2,2)A B -到之间的距离3．例题2：已知A(x ，2,3)、B(5,4，7)，且|AB|=6，求x 的值．分析：利用空间两点间的距离公式，寻找关于x 的方程，解方程即得．解：|AB|=6，∴6)73()42()5(222=-+-+-x即16)5(2=-x ，解得x=1或x=9∴x=1或x=9总结：求字母的值，常利用方程的思想，通过解方程或方程组求解．练习：已知A(2,5，-6)，在y轴上求一点B，使得|AB|=7．答案：B(0,2，0)或B(0,8，0)．4．思考：1.在z轴上求与两点A(-4, 1, 7)和B(3, 5, -2)等距离的点．2. 试在xOy平面上求一点，使它到A(1,-1,5)、B(3,4,4)和C(4,6,1)各点的距离相等．三．巩固练习：1．P练习1、31382．已知三角形的顶点为A（1，2，3），B（7，10，3）和C（4，10，0）．试证明A 角为直角．四．小结：1．空间两点的距离公式的推导．2．公式的应用五．作业1．课本P练习第2，4题1382．课本P习题4.3 A组第3题Ｂ组第１题138课后记:。

甘肃省甘谷一中高一数学《4.3.2《空间两点间的距离公式》教案学习目标：（1）掌握空间中两点间距离公式；（2）会求出空间中的点关于特殊的线和点的对称点；（3）能通过建立适当的空间直角坐标系，解决一些简单的问题. 学习重点：掌握空间中两点间距离公式． 学习难点：空间两点间距离公式的应用． 学习过程：一、课前准备：阅读课本136~138P P 的内容，记下疑惑之处并思考以下问题： 1．平面直角坐标系中任一点(,)P x y 到原点O 的距离||OP =22x y +；两点111(,)P x y 、222(,)P x y 之间的距离12||PP =221212()()x x y y -+-．2．平面直角坐标系中，(1,2)A -、(3,1)B -之间的距离||AB = 5 ．3．空间直角坐标系中，点(2,3,4)P -到x 轴的距离是 5 ，到y 轴的距离是25，到z 轴的距离是13，到坐标平面xOy 的距离是 4 ，到坐标平面xOz 的距离是3 ，到坐标平面yOz 的距离是 2 ． 二、新课导学： （一）自主学习：（1）如图所示的空间直角坐标系中，长方体 1111ABCD A B C D -的顶点1(,,)B x y z ，则 ①1||OB =222x y z++；②点1A 的坐标是(,0,)x z ，点C 的坐标是(0,,)y z ， 1||A C =222x y z ++；（2）空间直角坐标系中，1111(,,)P x y z 、2222(,,)P x y z 之间的距离12||PP =222121212()()()x x y y z z -+-+-．（3）空间直角坐标系中，1(2,3,5)P 、2(3,1,4)P之间的距离12||PP =6．（二）典型例题：【例1】已知三点 (1,3,2)A 、(2,0,4)B -、(8,6,8)C --，试判断C B A ,,三点的位置关系．【分析】只要证明AC BC AB =+即可 【解析】利用两点间距离公式，得||22AB =、||22BC =||322AC =，所以||||||AB BC AC +=， 所以C B A ,,三点在同一直线上．【练习】：（1）已知空间中两点1(,2,3)P x 和2(5,4,7)P 的距离为6，则x = ． 答案：1x =或9x =．（2）已知(2,5,6)A ，点P 在y 轴上，使7PA =，则点P 的坐标是 ． 答案：(0,2,0)P 或(0,8,0)P ．D 1C 1B 1A 1C 0z y xB A【例2】如图，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为a ，||2||BN ND =，1||2||CM MD =，求线段||MN 的长． 【分析】如图，建立空间直角坐标系，再求出各个点的坐标，用空间两点间距离公式即可得解．【解析】如图所示的坐标系中，各个点的坐标为 (,0,0)B a ，(,,0)C a a ，(0,,0)D a ，1(0,,)D a a因为||2||BN ND =，可得点N 的坐标为2(,,0)33a a ，因为1||2||CM MD =，可得点M 坐标为2(,0,)33a a，由空间两点间距离公式得222225||()(0)(0)33333a a a a a MN =-+-+-=，所以线段||MN 的长为53a ．【例3】空间直角坐标系中的几种特殊的对称关系：已知点(1,2,3)P ，则点P 关于 （1）坐标平面xOy 对称的点的坐标为(1,2,3)-； （2）坐标平面xOz 对称的点的坐标为(1,2,3)-； （3）坐标平面yOz 对称的点的坐标为(1,2,3)-； （4）x 轴对称的点的坐标为(1,2,3)--； （5）y 轴对称的点的坐标为(1,2,3)--； （6）z 轴对称的点的坐标为(1,2,3)--； （7）原点对称的点的坐标为(1,2,3)---．三、总结提升： 1．空间两点1111(,,)P x y z 、2222(,,)Px y z 之间的距离公式： 22212121212||()()()PP x x y y z z =-+-+-． 2．坐标法解决立体几何问题的三个步骤：（1）在立体几何图形中建立适当的空间直角坐标系； （2）依题意确定各点的坐标； （3）通过坐标运算得到答案．3．对称问题，通常对称的定义求解．一般地，点(,,)P x y z 关于坐标平面xOy 、yOz 、xOz 、的对称点坐标分别为(,,)x y z -、(,,)x y z -、(,,)x y z -；关于x 轴、y 轴、z 轴的对称点坐标分别为(,,)x y z --、(,,)x y z --、(,,)x y z --；关于原点的对称点坐标为(,,)x y z ---．可简记为：x 、y 、z 中出现者不变号，不出现者变号．四、反馈练习：1．点(,2,1)P x 到(1,1,2)M ，(2,1,1)N 的距离相等，则x = （ B ）A ．12 B ．1 C ．32D ．2 2．点(2,3,5)A -关于坐标平面xOy 的对称点是A '，则||AA '= （ A ）A ．10B 1038．38N Mzyx D 1C 1B 1A 1DCBA3．到点(1,1,1)A ---和点(1,1,1)B 的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标满足 （ C ） A ．10x y z +++= B ．10x y z ++-=C ．0x y z ++=D ．0x y z +-=4．已知点(2,3,4)A -，在y 轴上求一点B ，使得||7AB =，则点B 的坐标是 （ B ） A ．(0,329,0)- B ．(0,329,0)-或(0,329,0)+C ．(0,329,0)+D ．(0,0,329)-或(0,0,329)+ 5．如图，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为a ，M 、N 分别为棱1CC 、AD 的中点，求线段MN ，1C N 的长． 【解析】如图建立空间直角坐标系，则可得相关点的坐标为(,,)2a M a a ，1(,,)C a a a ，(0,,0)2aN ，由空间两点间距离公式得2226||(0)()(0)22a a a MN a a =-+-+-=，22213||(0)()(0)22a a C N a a a =-+-+-=．五、学后反思：N Mz y x D 1C 1B 1A 1DCBA。

AO 2=AB 2+BO 2=AB 2+BD 2+OD 2=z 2+x 2+y 2，因此A 到原点的距离是d =222z y x ++.图1③利用求长方体的对角线长的方法，分别量出这块砖的三条棱长，然后根据对角线长的平方等于三条边长的平方的和来算.④由于平面直角坐标系中，两点之间的距离公式是d =212212)()(y y x x -+-，是同名坐标的差的平方的和再开方，所以我们猜想，空间两点之间的距离公式是d =212212212)()()(z z y y x x -+-+-，即在原来的基础上，加上纵坐标差的平方.⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心，r 为半径的圆;在空间x 2+y 2+z 2=r 2表示以原点为球心，r 为半径的球面;后者正是前者的推广.⑥如图2，设P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)是空间中任意两点，我们来计算这两点之间的距离.图2我们分别过P 1P 2作xOy 平面的垂线，垂足是M ，N ，则M (x 1，y 1，0)，N (x 2，y 2，0)，于是可以求出|MN |=212212)()(y y x x -+-.再过点P 1作P 1H ⊥P 2N ，垂足为H ，则|MP 1|=|z 1|，|NP 2|=|z 2|，所以|HP 2|=|z 2-z 1|. 在Rt △P 1HP 2中，|P 1H |=|MN |=212212)()(y y x x -+-，根据勾股定理，得|P 1P 2|=2221||||HP H P +=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.因例3 已知A (x ，5-x ，2x -1)，B (1，x +2，2-x )，则|AB |的最小值为( )A.0B.735C.75D.78 活动：学生阅读题目，思考解决问题的方法，教师提示，要求|AB |的最小值，首先我们需要根据空间两点间的距离公式表示出|AB |，然后再根据一元二次方程求最值的方法得出|AB |的最小值.【解析】|AB |=222)33()23()1(-+-+-x x x=1932142+-x x=73575)78(142≥+-x . 当x =78时，|AB |的最小值为735. 故正确选项为B.【答案】B点评：利用空间两点间的距离公式转化为关于x 的二次函数求最值是常用的方法.知能训练课本本节练习1、2、3、4.拓展提升已知三棱锥P —ABC ，P A ⊥平面ABC ，在某个空间直角坐标系中，B (3m ，m ，0)，C (0，2m ，0)，P (0，0，2n )，画出这个空间直角坐标系并求出直线AB 与x 轴所成的较小的角.解：根据已知条件，画空间直角坐标系如图3：图3以射线AC 为y 轴正方向，射线AP 为z 轴正方向，A 为坐标原点建立空间直。

空间两点间的距离公式教学要求：使学生掌握空间两点的距离公式由来，及应用。

教学重点：空间两点的距离公式的推导。

教学难点：空间两点的距离公式的熟练应用。

教学过程：一、复习准备：1. 提问：平面两点的距离公式？2. 建立空间直角坐标系时，为方便求点的坐标通常怎样选择坐标轴和坐标原点？二、讲授新课：1. 空间两点的距离公式（1）已知两点M 1(x 1, y 1, z 1), M 2(x 2, y 2, z 2)，求此两点间的距离d 。

如图7-5所示，ΔM 1PQ 和ΔMQM 2都是直角三角形，根据勾股定理,222121)()(QM Q M M M d +== 22121)()()( PQ P M Q M +=和, )( 21d Q M 代入把 22221)()()( QM PQ P M d ++=得。

12121, x x PQ y y P M -=-=又因, 122z z QM -=，从而得两点的距离公式:212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=。

思考：1）点M （x ，y ，z ）于坐标原点O （0，0，0）的距离？ 2) M 1，M 2两点之间的距离等于0⇔M 1=M 2，两点重合，也即x 1=x 2，y 1=y 2，z 1=z 2。

讨论：如果OP 是定长r,那么2222x y z r ++=表示什么图形？（2）例题1：求点P 1(1, 0, -1)与P 2(4, 3, -1)之间的距离。

练习：求点(0,0,0)(5,2,2)A B -到之间的距离（3）思考：1.在z 轴上求与两点 A (-4, 1, 7)和B (3, 5, -2)等距离的点。

2. 试在xoy 平面上求一点，使它到A(1,-1,5)、B(3,4,4)和C(4,6,1)各点的距离相等。

三.巩固练习：1．150P 练习 1 32．已知三角形的顶点为A （1，2，3），B （7，10，3）和C （-1，3，1）。

空间两点间的距离公式（一）教学目标1．知识与技能使学生掌握空间两点间的距离公式2．过程与方法经历空间两点将距离公式的推导过程3．情态与价值观通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程（二）教学重点、难点重点：空间两点间的距离公式；难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。

知识要点：1. 空间两点、间的距离公式：.2. 坐标法求解立体几何问题时的三个步骤：①在立体几何图形中建立空间直角坐标系；②依题意确定各相应点的坐标；③通过坐标运算得到答案.3. 对称问题，常用对称的定义求解. 一般地，点P(x, y, z) 关于坐标平面xOy、yOz、zOx的对称点的坐标分别为(x, y,- z)、(-x, y, z)、(x, -y, z)；关于x轴、y轴、z轴的对称点的坐标分别为(x, -y,- z)、(-x, y, -z)、(-x, -y, z)；关于原点的对称点的坐标为(-x,- y,- z).例题精讲：【例1】已知A(x,2,3)、B(5,4,7)，且|AB|=6，求x的值.解：|AB|=6，∴，即，解得x=1或x=9.【例2】求点P(1,2,3)关于坐标平面xOy的对称点的坐标.解：设点P关于坐标平面xOy的对称点为，连交坐标平面xOy于Q，则坐标平面xOy，且|PQ|=|Q|，∴在x轴、y轴上的射影分别与P在x轴、y轴上的射影重合，在z轴上的射影与P 在z轴上的射影关于原点对称，∴与P的横坐标、纵坐标分别相同，竖坐标互为相反数，∴点P(1,2,3)关于坐标平面xOy的对称点的坐标为(1,2,-3).【例3】在棱长为a的正方体-中，求异面直线间的距离.解：以D为坐标原点，从D点出发的三条棱所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设P、Q分别是直线和上的动点，其坐标分别为(x, y, z)、(0，)，则由正方体的对称性，显然有x=y. 要求异面直线间的距离，即求P、Q两点间的最短距离.设P在平面AC上的射影是H，由在中，，所以，∴x=a-z，∴P的坐标为(a-z, a-z, z)∴|PQ|==∴当时，|PQ|取得最小值，最小值为.∴异面直线间的距离为.点评：通过巧设动点坐标，得到关于两点间距离的目标函数，由函数思想得到几何最值. 注意这里对目标函数最值的研究，实质就是非负数最小为0.【例4】在四面体P-ABC中，PA、PB、PC两两垂直，设PA=P B=PC=a，求点P到平面ABC 的距离.解：根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P-xyz，则P(0,0，0)，A（a,0,0），B（0,a,0），C（0,0,a）.过P作PH平面ABC，交平面ABC于H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离.PA=PB=PC,∴H为ABC的外心，又ABC为正三角形，∴H为ABC的重心，可得H点的坐标为.∴|PH|=,∴点P到平面ABC的距离为点评：重心H的坐标，可以由比例线段得到. 通过建立空间直角坐标系，用代数方法来计算点面距离. 本题也可以用几何中的等体积法来求解.。

空间两点间的距离公式教案李浪（一）教学目标1．知识与技能：使学生掌握空间两点间的距离公式2．过程与方法3．情态与价值观通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程（二）教学重点、难点重点：空间两点间的距离公式；难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。

（三）教学设计 教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入在平面上任意两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)之间的距离的公式为|AB |=221212()()x x y y -+-，那么对于空间中任意两点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)之间的距离的公式会是怎样呢你猜猜师：只需引导学生大胆猜测，是否正确无关紧要。

生：踊跃回答通过类比，充分发挥学生的联想能力。

概念形成 （2）空间中任一点P(x ，y ，z )到原点之间的距离公式会是怎样呢师：为了验证一下同学们的猜想，我们来看比较特殊的情况，引导学生用勾股定理来完成学生：在教师的指导下作答得出从特殊的情况入手，化解难度由平面上两点间的距离先推导特殊情况下空间推导一般情况下的空间|OP |=222x y z ++.概念深化（3）如果|OP |是定长r ，那么x 2+y 2+z 2=r 2表示什么图形师：注意引导类比平面直角坐标系中，方程x 2+y 2=r 2表示的图形中，方程x 2+y 2=r 2表示图形，让学生有种回归感。

生：猜想说出理由任何知识的猜想都要建立在学生原有知识经验的基础上，学生可以通过类比在平面直角系中，方程x 2+y 2=r 2表示原点或圆，得到知识上的升华，提高学习的兴趣。

（4）如果是空间中任间一点P 1(x 1，y 1，z 1)到点P 2(x 2，y 2，z 2)之间的距离公式是怎样呢师生：一起推导，但是在推导的过程中要重视学生思路的引导。

得出结论：|P 1P 2|=222121212()()()x x y y z z -+-+-人的认识是从特殊情况到一般情况的巩固练习1．先在空间直角坐标系中标出A 、B 两点，再求它们之间的距离：1）A (2，3，5)，B (3，教师引导学生作答 1．解析（1）6，图略（2）70，图略2．解：设点M 的坐标是(0，培养学生直接利用公式解决问题能力，进一步加深理1，4)；2）A (6，0，1)，B (3，5，7)2．在z 轴上求一点M ，使点M 到点A (1，0，2)与点B (1，–3，1)的距离相等.3．求证：以A (10，–1，6)，B (4，1，9)，C (2，4，3)三点为顶点的三角形是等腰三角形.4．如图，正方体OABD–D ′A ′B′C ′的棱长为a ，|AN |=2|CN |，|BM |=2|MC ′|.求MN 的长.0，z ).依题意，得22(01)0(2)z -++-=222(01)(03)(1)z -+++-.解得z =–3.所求点M 的坐标是(0，0，–3).3．证明：根据空间两点间距离公式，得222||(42)(14)(93)7BC =-+-+-=， 222||(102)(14)(63)98AC =-+--+-=.因为7+7＞98，且|AB |=|BC |，所以△ABC 是等腰三角形.4．解：由已知，得点N 的坐标为2(,,0)33a a， 点M 的坐标为2(,,)33a a a ，于是解课外练习布置作业练习册学生独立完成巩固深化所学（1） 空间两点间的距离公式是什么（2） 空间中到定点的距离等于定长的点得轨迹是什么 （3） 如何利用坐标法来解决一些几何问题【解析】由题意设A (0，y ，0)= 解得：y =0或y =2，故点A 的坐标是(0，0，0)或(0，2，0)例2已知点A （1，-2,11）B （4,2,3）C(6，-1,4)判断该三角形的形状。

4.3.2空间两点间的距离公式教案1． 教学任务分析通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式2． 教学重点和难点重点：空间两点间的距离公式难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。

3． 教学过程（1）在空间直角坐标系中，任意一点P(x,y,z)到原点的距离：(2) 在空间直角坐标系中，任意两点P 1(x 1,y 1,z 1)和P 2(x 2,y 2,z 2)间的距离：（3）练习1、在空间直角坐标系中，已知两点A 、B 坐标，求出它们之间的距离：(1)A(2,3,5) B(3,1,4)；(2)A(6,0,1) B(3,5,7)2、在z 轴上求一点M ，使得点M 到点A(1，0，2)与点B(1，-3，1)的距离相等。

3、如图，正方体OABC-D`A`B`C`的棱长为a ，|AN|=2|CN|，|BM|=2|MC`|，求MN 的长.，，连接平面的垂线，垂足为点做过OP')0,,(P'P y x xy 222222222|'||'||OP |OPP')0y ()0(|OP |z y x PP OP y x x y x ++=+=∆+=-+-=中，在轴构成的平面上，轴在H.N P MN P MN,M,xy P N xy P 2112于的平行线，交作过连接平面的垂线，垂足为做；过平面的垂线，垂足为做过2212212212122212112221221221221122221111)()()(|H P ||H P ||P P |H P P RT |z z ||NH ||N P ||H P |||)y -y ()x -x (|MN |),N(),y ,M(x ),,,(P ),z ,y ,(x P z z y y x x H P y x y x z y x -+-+-=+=∆∴-=-==+=中，在，可得：轴的平面上，轴则在已知Θ70)71()50()36(|AB |)2(6)45()13()32(|AB |)1(222222=-+-+-==-+-+-=有：解：由两点间距离公式)3,0,0(M 3)1()30()10()2()00()10(|MB ||MA |),0,0(M 222222-∴-=-+++-=-+-+-=点的坐标为。

空间两点间的距离公式教案教案标题：空间两点间的距离公式教案教案目标：1. 理解空间中两点之间的距离概念；2. 学习并掌握空间两点间的距离公式；3. 运用距离公式解决实际问题。

教学准备：1. 教师准备：投影仪、电脑、教学PPT、白板、黑板、书籍、练习题；2. 学生准备：纸、铅笔、计算器。

教学过程：步骤一：导入新知识1. 利用投影仪或黑板绘制一个空间坐标系，引导学生回顾平面坐标系的概念和用法。

2. 引导学生思考，空间中两点之间的距离是否与平面上两点之间的距离有何不同。

步骤二：引入距离公式1. 通过教学PPT或书籍，向学生介绍空间两点间的距离公式：d = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)。

2. 解释公式中各符号的含义：(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)分别表示两点的坐标，d 表示两点之间的距离。

3. 指导学生通过几个示例计算实际距离，加深对公式的理解。

步骤三：练习与巩固1. 分发练习题，让学生独立或合作完成。

2. 鼓励学生在计算过程中使用计算器，但同时要提醒他们理解公式的原理和计算步骤。

3. 收集学生的答案，进行讲评，解答学生可能存在的疑惑。

步骤四：拓展应用1. 引导学生思考，如何应用距离公式解决实际问题，例如计算两个建筑物之间的距离、飞机的飞行距离等。

2. 提供一些实际问题，让学生运用所学知识进行解决。

3. 鼓励学生在解决问题的过程中运用创造性思维，提出自己的解决方案。

步骤五：总结与评价1. 总结本节课所学的内容，强调空间两点间距离公式的重要性和应用价值。

2. 对学生的学习情况进行评价，鼓励他们继续巩固和拓展所学知识。

教学延伸：1. 鼓励学生通过实际测量与计算，验证空间两点间的距离公式的准确性。

2. 引导学生探索其他空间几何问题，如点到平面的距离、线段长度等，并引入相关公式。

教学反思：本节课通过引入空间两点间的距离公式，帮助学生理解和应用该公式解决实际问题。