高中数学人教版必修2 3.3.1两条直线的交点坐标 作业1

一、选择题1．直线1:0l x y -=与2:20l x y +-=的交点坐标为 A ．()2,2-- B ．()1,1-- C ．()2,2D ．()1,1【答案】D【解析】联立直线1l 与2l 的方程为020x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得1,1x y ==，故选D.【名师点睛】联立直线方程组成的二元一次方程组的解即为直线的交点坐标. 2．两直线2x ＋3y −k =0和x −ky ＋12=0的交点在y 轴上，那么k 的值为 A ．−24 B ．6 C ．±6D ．24【答案】C3．方程(a −1)x −y ＋2a ＋1=0(a ∈R )所表示的直线 A ．恒过定点(−2,3) B ．恒过定点(2,3) C ．恒过点(−2,3)和点(2,3)D ．都是平行直线【答案】A【解析】将直线(a −1)x −y ＋2a ＋1=0化为ax −x −y ＋2a ＋1=0，因此−x −y ＋1＋a (x ＋2)=0.由1020x y x --+=⎧⎨+=⎩，得23x y =-⎧⎨=⎩. 故方程(a −1)x −y ＋2a ＋1=0(a ∈R )所表示的直线恒过定点(−2,3).4．直线420ax y +-=与直线250x y b -+=垂直，垂足为()1,c ，则a b c ++= A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-【答案】B【名师点睛】本题考查两直线的位置关系及其应用，考查学生的应用意识及运算能力，解题的关键是灵活运用所学知识解题，即明确点()1,c 是两直线的交点．根据两直线垂直可得a ，然后将点()1,c 的坐标代入直线420ax y +-=可得c ，同理可得b ，于是可得a b c ++的值．5．若直线1l :y =kx +k+2与直线2l :y =−2x +4的交点在第一象限内，则实数k 的取值范围是 A ．23k >-B ．2k <C ．223k -<<D ．23k <-或2k > 【答案】C【解析】由题意知，直线1l 恒过定点P (−1,2)，斜率为k ,直线2l 与x 轴、y 轴分别交于点A (2,0)、B (0,4)，若直线1l 与2l 的交点在第一象限内，则1l 必通过线段AB 上的点(不包括A 、B )，由于23PA k =-,2PB k =,所以223k -<<.故选C. 6．若三条直线2380x y ++=，10x y --=与0x ky +=交于一点，则k = A ．−2B ．2C ．12-D ．12【答案】C【解析】两方程联立可得交点坐标为：()1,2--，代入第三条直线方程：120k --=，解得12k =-. 故选C.【名师点睛】本题考查直线的交点，只需要联立方程即可求出交点，本题可将任意两条直线联立求交点坐标或其表达式，再代入另一条直线的方程即可，注意计算的准确性. 7．过两直线3x ＋y −1=0与x ＋2y −7=0的交点且与第一条直线垂直的直线方程是 A ．x −3y ＋7=0 B ．x −3y ＋13=0 C ．3x −y ＋7=0D ．3x −y −5=0【答案】B 【解析】由310270x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，得14x y =-⎧⎨=⎩，即交点为(−1,4)．∵第一条直线的斜率为−3，且与所求直线垂直，∴所求直线的斜率为13.∴由点斜式方程得所求直线方程是y −4=13(x ＋1)，即x −3y ＋13=0. 8．若直线:3l y kx =-与直线2360x y +-=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角θ的取值范围是A ．π06θ<< B ．ππ62θ<< C ．π03θ<<D ．ππ32θ<<【答案】B【名师点睛】此题考查学生会根据两直线的方程求出交点的坐标，掌握象限点坐标的特点，掌握直线倾斜角与直线斜率的关系，是一道综合题．联立两直线方程得到一个二元一次方程组，求出方程组的解集即可得到交点的坐标，根据交点在第一象限得到横纵坐标都大于0，联立得到关于k 的不等式组，求出不等式组的解集即可得到k 的范围，然后根据直线的倾斜角的正切值等于斜率k ，根据直线倾斜角与直线斜率的关系得到倾斜角的范围．二、填空题9．若直线，，能构成三角形，则的取值范围是_________．【答案】10．已知直线l1：2x＋y−6=0和点A(1，−1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使|AB|=5，则直线l的方程为__________．【答案】x=1或3x＋4y＋1=0.【解析】若直线l与x轴垂直，则l的方程为x=1，由1260xx y=⎧⎨+-=⎩，得B点坐标为(1,4)，此时|AB|=5，∴x=1即为所求；当直线l不与x轴垂直时，可设其方程为y＋1=k(x−1)．解方程组2601(1)x yy k x+-=⎧⎨+=-⎩，得交点742(,)(2)22k kB kk k+-≠-++．22742(1)(1)522k kk k+--++=++，解得34k=-.∴31(1)4y x+=--，即3x＋4y＋1=0.综上可得，所求直线l的方程为x=1或3x＋4y＋1=0.三、解答题11．求过直线2x−y+2=0和x+y+1=0的交点，且斜率为3的直线方程．【解析】方法一：解方程组22010x yx y-+=⎧⎨++=⎩,得1xy=-⎧⎨=⎩,所以两直线的交点坐标为(−1,0)，又所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为y−0=3[x− (−1)],即3x−y+3=0.方法二：设所求直线为l ,因为l 过已知两直线的交点，因此l 的方程可设为2x −y +2+λ(x+y +1)=0(其中λ为常数)，即(λ+2)x +(λ−1)y +λ+2=0 ①, 又直线l 的斜率为3，所以231λλ+-=-,解得14λ=, 将14λ=代入①，整理得3x −y +3=0. 12．已知点M (3,5)，在直线l ：x －2y ＋2＝0和y 轴上各找一点P 和Q ，使△MPQ 的周长最小．13．已知直线l 1：3x +4y ﹣2=0，l 2：2x +y +2=0相交于点P ．（1）求点P 的坐标；（2）求过点P 且与直线x ﹣2y ﹣1=0垂直的直线l 的方程． 【解析】（1）由，解得，∴两条直线的交点P 的坐标为（﹣2，2）． （2）因为直线x ﹣2y ﹣1=0的斜率为， 所以要求的直线l 的斜率为﹣2，故要求的直线l 的方程为y ﹣2=﹣2（x +2），即直线l 的方程为2x +y +2=0．【名师点睛】本题主要考查求两条直线的交点坐标，两条直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，属于基础题．（1）把两条直线的方程联立得方程组，求得该方程组的解，即可求得交点P 的坐标． （2）利用两条直线垂直的性质求得直线l 的斜率，再用点斜式求出直线l 的方程． 14．已知两点()2,1A -，()4,3B ，两直线1l ：2310x y --=，2l ：10x y --=．求：（1）过点A 且与直线1l 平行的直线方程；（2）过线段AB 的中点以及直线1l 与2l 的交点的直线方程．【解析】（1）设与1l ：2310x y --=平行的直线方程为：230x y c -+=， 将()2,1A -代入，得430c --+=，解得7c =， 故所求直线方程是：2370x y -+=．【思路点拨】（1）设所求直线方程为：230x y c -+=，将A 点坐标代入，求得c 的值，即得所求. （2）求得AB 中点坐标和直线12,l l 交点的坐标，利用点斜式得到所求直线方程. 15．设直线1:10l x y +-=，2:220l x y -+=，3:360l x my +-=．（1）若直线1l ，2l ，3l 交于同一点，求m 的值； （2）若直线l 与直线1l 关于直线2l 对称，求直线l 的方程.【解析】（1）1002201x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩，3060m ∴⨯+-=，6m ∴=.（2）在直线1:10l x y +-=上取点A （1,0），设其关于直线2l 的对称点为B （x ,y ），01112122022y x x y -⎧⨯=-⎪⎪-∴⎨+⎪-⨯+=⎪⎩，15125x y ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩.故()1215:10710105l y x x y --=-⇒+-=--. 即直线l 的方程为710x y +-=.【思路分析】（1）先求1l ，2l 的交点，再代入3l 即得m 的值；（2）直线l 必过1l ，2l 交点，再在直线1l 上取一点A ，求其关于直线2l 的对称点B ，则B 在直线l 上，最后根据两点式求直线l 的方程.。

§3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两条直线的交点坐标【课时目标】 1．掌握求两条直线交点的方法．2．掌握通过求方程组解的个数，判定两直线位置关系的方法．3．通过本节的学习初步体会用代数方法研究几何问题的解析思想．1．两条直线的交点已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0．若两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0y ＝y 0，则两直线______，交点坐标为________．2一、选择题1．直线l 1：(2－1)x ＋y ＝2与直线l 2：x ＋(2＋1)y ＝3的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．垂直D ．重合2．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线的方程是( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y －8＝0C ．2x ＋y ＋8＝0D ．2x －y ＋8＝03．直线ax ＋2y ＋8＝0,4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－24．两条直线l 1：2x ＋3y －m ＝0与l 2：x －my ＋12＝0的交点在y 轴上，那么m 的值为( )A ．－24B ．6C ．±6D ．以上答案均不对5．已知直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0，l 1∥l 2，则m 的值是( )A ．m ＝3B ．m ＝0C ．m ＝0或m ＝3D ．m ＝0或m ＝－16．直线l 与两直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率为( )A ．32B ．23C ．－32D ．－23二、填空题7．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________．8．已知直线l 过直线l 1：3x －5y －10＝0和l 2：x ＋y ＋1＝0的交点，且平行于l 3：x ＋2y－5＝0，则直线l的方程是______________．9．当a取不同实数时，直线(2＋a)x＋(a－1)y＋3a＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________．三、解答题10．求经过两直线2x＋y－8＝0与x－2y＋1＝0的交点，且在y轴上的截距为x轴上截距的两倍的直线l的方程．11．已知△ABC的三边BC，CA，AB的中点分别是D(－2，－3)，E(3,1)，F(－1,2)．先画出这个三角形，再求出三个顶点的坐标．能力提升12．在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的角平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标．13．一束平行光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线与直线l的交点坐标．1．过定点(x 0，y 0)的直线系方程y －y 0＝k (x －x 0)是过定点(x 0，y 0)的直线系方程，但不含直线x ＝x 0；A (x －x 0)＋B (y －y 0)＝0是过定点(x 0，y 0)的一切直线方程．2．与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程为Ax ＋By ＋D ＝0(D ≠C )．与y ＝kx ＋b 平行的直线系方程为y ＝kx ＋m (m ≠b )．3．过两条直线交点的直线系方程：过两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程是A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但此方程中不含l 2；一般形式是m (A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋n (A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(m 2＋n 2≠0)，是过l 1与l 2交点的所有直线方程．§3．3 直线的交点坐标与距离公式3．3．1 两条直线的交点坐标答案知识梳理1．相交 (x 0，y 0)2．无 1 无数作业设计1．A [化成斜截式方程，斜率相等，截距不等．]2．A [首先解得交点坐标为(1,6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0．]3．B [首先联立⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋3y ＝102x －y ＝10，解得交点坐标为(4，－2)，代入方程ax ＋2y ＋8＝0得a ＝－1．]4．C [2x ＋3y －m ＝0在y 轴上的截距为m 3，直线x －my ＋12＝0在y 轴上的截距为12m，由12m ＝m 3得m ＝±6．] 5．D [l 1∥l 2，则1·3m ＝(m －2)·m 2，解得m ＝0或m ＝－1或m ＝3．又当m ＝3时，l 1与l 2重合，故m ＝0或m ＝－1．]6．D [设直线l 与直线y ＝1的交点为A (x 1,1)，直线l 与直线x －y －7＝0的交点为B (x 2，y 2)，因为M (1，－1)为AB 的中点，所以－1＝1＋y 22即y 2＝－3，代入直线x －y －7＝0得 x 2＝4，因为点B ，M 都在直线l 上，所以k l ＝－3＋14－1＝－23．故选D ．] 7．2解析 首先解得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0x －2y ＋4＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝2， 代入直线y ＝3x ＋b 得b ＝2．8．8x ＋16y ＋21＝09．(－1，－2)解析 直线方程可写成a (x ＋y ＋3)＋2x －y ＝0，则该直线系必过直线x ＋y ＋3＝0与直线2x －y ＝0的交点，即(－1，－2)．10．解 (1)2x ＋y －8＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是4和8，符合题意．(2)当l 的方程不是2x ＋y －8＝0时，设l ：(x －2y ＋1)＋λ(2x ＋y －8)＝0，即(1＋2λ)x ＋(λ－2)y ＋(1－8λ)＝0．据题意，1＋2λ≠0，λ－2≠0．令x ＝0，得y ＝－1－8λλ－2；令y ＝0，得x ＝－1－8λ1＋2λ． ∴－1－8λλ－2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－8λ1＋2λ解之得λ＝18，此时y ＝23x ． ∴所求直线方程为2x ＋y －8＝0或y ＝23x ． 11．解如图，过D ，E ，F 分别作EF ，FD ，DE 的平行线，作出这些平行线的交点，就是△ABC 的三个顶点A ，B ，C ．由已知得，直线DE 的斜率k DE ＝1＋33＋2＝45，所以k AB ＝45． 因为直线AB 过点F ，所以直线AB 的方程为y －2＝45(x ＋1)，即4x －5y ＋14＝0．① 由于直线AC 经过点E (3,1)，且平行于DF ，同理可得直线AC 的方程5x －y －14＝0．②联立①，②，解得点A 的坐标是(4,6)．同样，可以求得点B ，C 的坐标分别是(－6，－2)，(2，－4)．因此，△ABC 的三个顶点是A (4,6)，B (－6，－2)，C (2，－4)．12．解如图所示，由已知，A 应是BC 边上的高线所在直线与∠A 的角平分线所在直线的交点． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0x ＝－1， 故A (－1,0)．又∠A 的角平分线为x 轴，故k AC ＝－k AB ＝－1，(也可得B 关于y ＝0的对称点(1，－2)．∴AC 方程为y ＝－(x ＋1)，又k BC ＝－2，∴BC 的方程为y －2＝－2(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－(x ＋1)y －2＝－2(x －1)，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5y ＝－6， 故C 点坐标为(5，－6)．13．解 设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得⎩⎪⎨⎪⎧ b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－18×a 2＋6×b 2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝3，∴A 的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A (4,3)，又由反射光线过P (－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y ＝3． 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝38x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝78y ＝3，∴反射光线与直线l 的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫78，3．。

§2.3 直线的交点坐标与距离公式2．3.1 两条直线的交点坐标1．直线x ＝1和直线y ＝2的交点坐标是( )A ．(2,2)B ．(1,1)C ．(1,2)D ．(2,1)答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，得交点坐标为(1,2)，故选C. 2．直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点坐标为( )A ．(－4，－3)B ．(4,3)C ．(－4,3)D ．(3,4) 答案 C解析 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＋6＝0，2x ＋5y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3.故选C. 3．经过直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点，且经过原点的直线的方程是( )A ．19x －9y ＝0B ．9x ＋19y ＝0C ．3x ＋19y ＝0D ．19x －3y ＝0 答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝－197，y ＝37.故过点⎝⎛⎭⎫－197，37 和原点的直线方程为y ＝－319x ， 即3x ＋19y ＝0.4．两条直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，那么k 的值是( )A ．－24B ．6C ．±6D ．24答案 C解析 因为两条直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，所以设交点为(0，b )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3b －k ＝0，－kb ＋12＝0，消去b ，可得k ＝±6. 5．当a 取不同实数时，直线(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0恒过一定点，这个定点是( )A ．(2,3)B ．(－2,3) C.⎝⎛⎭⎫1，－12 D ．(－2,0)答案 B 解析 直线化为a (x ＋2)－x －y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，－x －y ＋1＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，直线过定点(－2,3)． 6．过两直线2x －y －5＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程为________．答案 3x ＋y ＝0解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －5＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－3， 则所求直线的方程为y ＋3＝－3(x －1)，即3x ＋y ＝0.7．三条直线ax ＋2y ＋8＝0,4x ＋3y ＝10,2x －y ＝10相交于一点，则实数a 的值为________． 答案 －1解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋3y ＝10，2x －y ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，又点(4，－2)在直线ax ＋2y ＋8＝0上， 所以4a ＋2×(－2)＋8＝0，解得a ＝－1.8．已知直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －5y ＋c ＝0垂直相交于点(1，m )，则a ＝________，c ＝________，m ＝________.答案 5 －12 －2解析 由两直线垂直得2a －10＝0，解得a ＝5.又点(1，m )在直线上得a ＋2m －1＝0,2－5m ＋c ＝0，所以m ＝－2，c ＝－12.9．求经过直线l 1：7x －8y －1＝0和l 2：2x ＋17y ＋9＝0的交点，且垂直于直线2x －y ＋7＝0的直线方程．解 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋17y ＋9＝0，7x －8y －1＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝－1127，y ＝－1327，所以交点坐标为⎝⎛⎭⎫－1127，－1327.又因为直线斜率为k ＝－12， 所以，所求直线方程为y ＋1327＝⎝⎛⎭⎫－12×⎝⎛⎭⎫x ＋1127，即27x ＋54y ＋37＝0. 10．若两条直线l 1：y ＝kx ＋2k ＋1和l 2：x ＋2y －4＝0的交点在第四象限，求k 的取值范围．解 联立两直线的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2k ＋1，x ＋2y －4＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2－4k 2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1，∵该交点落在平面直角坐标系的第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2－4k 2k ＋1>0，6k ＋12k ＋1<0，解得⎩⎨⎧ －12<k <12，－12<k <－16， 即－12<k <－16. 则k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，－16.11．直线kx ＋y ＋1＝2k ，当k 变动时，所有直线都通过定点( )A ．(2，－1)B ．(－2，－1)C ．(2,1)D ．(－2,1) 答案 A解析 kx ＋y ＋1＝2k ，可化为y ＋1＝k (2－x )，故该直线恒过定点(2，－1)．12．若三条直线l 1：ax ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，l 3：x ＋y ＋a ＝0能构成三角形，则a 应满足的条件是( )A ．a ＝1或a ＝－2B ．a ≠±1C ．a ≠1且a ≠－2D ．a ≠±1且a ≠－2 答案 D解析 (1)若三条直线重合，由三条直线的方程可知a ＝1.(2)若三条直线交于一点，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋ay ＋1＝0，x ＋y ＋a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a －1，y ＝1，将l 2，l 3的交点(－a －1,1)代入l 1的方程解得a ＝1(舍去)或a ＝－2.(3)若l 1∥l 2，由a ×a －1×1＝0，得a ＝±1，当a ＝1时，l 1与l 2重合．(4)若l 2∥l 3，由1×1－a ×1＝0，得a ＝1，当a ＝1时，l 2与l 3重合．(5)若l 1∥l 3，由a ×1－1×1＝0，得a ＝1，当a ＝1时，l 1与l 3重合．综上，当a ＝1时，三条直线重合；当a ＝－1时，l 1∥l 2；当a ＝－2时，三条直线交于一点， 所以要使三条直线能构成三角形，需a ≠±1且a ≠－2.13．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝0}{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________. 答案 2解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2， 代入直线y ＝3x ＋b ，得b ＝2.14．已知A (－2,4)，B (4,2)，直线l ：ax －y －2＝0与线段AB 恒相交，则a 的取值范围为________． 答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞)解析 如图所示，直线l ：ax －y －2＝0经过定点D (0，－2)，a 表示直线l 的斜率，设线段AB 与y 轴交于点C ，由图形知，当直线l ：ax －y －2＝0与线段AB 的交点在线段CB 上时，a 大于或等于DB 的斜率，即a ≥2＋24－0＝1，即a ≥1. 当直线l ：ax －y －2＝0与线段AB 的交点在线段AC 上时，a 小于或等于DA 的斜率，即a ≤4＋2－2－0＝－3，即a ≤－3. 综上，a 的取值范围为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．15．已知A (3,1)，B (－1,2)，若∠ACB 的平分线方程为y ＝x ＋1，则AC 所在直线方程为( )A ．y ＝2x ＋4B ．y ＝12x －3C ．x －2y －1＝0D ．3x ＋y ＋1＝0答案 C解析 设B 关于直线y ＝x ＋1的对称点B ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ y －2x ＋1＝－1，y ＋22＝x －12＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －y －1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，即B ′(1,0)．又B ′在直线AC 上， 则直线AC 的方程为y －10－1＝x －31－3，即x －2y －1＝0. 16．直线l 过定点P (0,1)，且与直线l 1：x －3y ＋10＝0，l 2：2x ＋y －8＝0分别交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为P ，求直线l 的方程． 解 方法一 设A (x 0，y 0)，由中点公式，有B (－x 0，2－y 0)，∵A 在l 1上，B 在l 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－3y 0＋10＝0，－2x 0＋2－y 0－8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－4，y 0＝2， ∴k AP ＝1－20＋4＝－14， 故所求直线l 的方程为y ＝－14x ＋1， 即所求直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.方法二 由题易知，直线l 的斜率存在， 设所求直线l 方程为y ＝kx ＋1，l 与l 1，l 2分别交于A ，B ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x －3y ＋10＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝73k －1，y ＝10k －13k －1，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫73k －1，10k －13k －1； 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，2x ＋y －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝7k ＋2，y ＝8k ＋2k ＋2，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫7k ＋2，8k ＋2k ＋2， ∵A ，B 的中点为P (0,1)，则有12⎝⎛⎭⎫73k －1＋7k ＋2＝0， ∴k ＝－14. 故所求直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 方法三 设所求直线l 与l 1，l 2分别交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0,1)为AB 的中点，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝0，y 1＋y 2＝2，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－x 1，y 2＝2－y 1， 代入l 2的方程得2(－x 1)＋2－y 1－8＝0， 即2x 1＋y 1＋6＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－3y 1＋10＝0，2x 1＋y 1＋6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－4，y 1＝2， 所以A (－4,2)，由两点式可得所求直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.。

3.3.1-3.3.2第1课时 两直线的交点坐标、两点间的距离一、选择题1． 两直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，那么k 的值为( )A ．－24B ．6C ．±6D ．24解析：选C 在2x ＋3y －k ＝0中，令x ＝0得y ＝k 3，将⎝ ⎛⎭⎪⎫0，k 3代入x －ky ＋12＝0，解得k ＝±6.2．到A (1,3)，B (－5,1)的距离相等的动点P 满足的方程是( )A ．3x －y －8＝0B ．3x ＋y ＋4＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y ＋2＝0 解析：选B 设P (x ，y )， 则 x －1 2＋ y －3 2＝ x ＋5 2＋ y －1 2，即3x ＋y ＋4＝0.3．过两直线3x ＋y －1＝0与x ＋2y －7＝0的交点且与第一条直线垂直的直线方程是( )A ．x －3y ＋7＝0B ．x －3y ＋13＝0C ．3x －y ＋7＝0D ．3x －y －5＝0 解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y －1＝0，x ＋2y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝4，即交点为(－1,4)．∵第一条直线的斜率为－3，且两直线垂直，∴所求直线的斜率为13. ∴由点斜式得y －4＝13(x ＋1)， 即x －3y ＋13＝0.4．过点A (4，a )和点B (5，b )的直线与y ＝x ＋m 平行，则|AB |的值为( )A ．6 B. 2 C ．2D ．不能确定 解析：选B 由k AB ＝1，得b －a 1＝1，∴b －a ＝1.∴|AB |＝ 5－4 2＋ b －a 2＝1＋1＝ 2.5．方程(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0(a ∈R)所表示的直线( )A ．恒过定点(－2,3)B ．恒过定点(2,3)C ．恒过点(－2,3)和点(2,3)D ．都是平行直线解析：选A (a －1)x －y ＋2a ＋1＝0化为ax －x －y ＋2a ＋1＝0，因此－x －y ＋1＋a (x ＋2)＝0由⎩⎪⎨⎪⎧ －x －y ＋1＝0，x ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝3.二、填空题6．已知在△ABC 中，A (－3,1)，B (3，－3)，C (1,7)，则△ABC 的形状为________． 解析：∵|AB |＝ 3＋3 2＋ －3－1 2＝52，|AC |＝ 1＋3 2＋ 7－1 2＝52，|BC |＝ 1－3 2＋ 7＋3 2＝104，∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2，且|AB |＝|AC |，故△ABC 是等腰直角三角形．答案：等腰直角三角形7．已知直线ax ＋4y －2＝0和2x －5y ＋b ＝0垂直，交于点A (1，m )，则a ＝________，b ＝________，m ＝________.解析：∵点A (1，m )在两直线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋4m －2＝0， ①2－5m ＋b ＝0， ②又两直线垂直，得2a －4×5＝0, ③由①②③得，a ＝10，m ＝－2，b ＝－12.答案：10 －12 －28．在直线x －y ＋4＝0上求一点P ，使它到点M (－2，－4)，N (4,6)的距离相等，则点P 的坐标为________．解析：设P 点的坐标是(a ，a ＋4)，由题意可知|PM |＝|PN |，即 a ＋2 2＋ a ＋4＋4 2＝a －4 2＋ a ＋4－6 2，解得a ＝－32，故P 点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52 三、解答题9．求证：不论m 取什么实数，直线(2m －1)x －(m ＋3)y －(m －11)＝0恒过定点，并求此定点坐标．证明：法一：令m ＝12得y ＝3；令m ＝－3得x ＝2.两直线交点为(2,3)， 将点(2,3)代入原直线方程，得(2m －1)×2－(m ＋3)×3－(m －11)＝0恒成立，因此，直线过定点(2,3)．法二：(2m －1)x －(m ＋3)y －(m －11)＝0化为2mx －x －my －3y －m ＋11＝0，－x －3y ＋11＋m (2x －y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ －x －3y ＋11＝0，2x －y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝3.∴定点为(2,3)．10．已知点A (1，－1)，B (2,2)，点P 在直线y ＝12x 上，求|PA |2＋|PB |2取得最小值时P 点的坐标．解：设P (2t ，t )，则|PA |2＋|PB |2＝(2t －1)2＋(t ＋1)2＋(2t －2)2＋(t －2)2＝10t 2－14t ＋10.当t ＝710时，|PA |2＋|PB |2取得最小值，此时有P ⎝ ⎛⎭⎪⎫75，710，所以|PA |2＋|PB |2取得最小值时P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫75，710.。