类比法解数学应用题1

用“类比法”解决小学数学问题传说鲁班上山砍树时,不小心被齿形草叶划破了手,如此细小的草叶怎能划破手呢?鲁班细心观察,发现草叶边缘有许多小齿。

由此他联想:若用带齿的工具锯树一定比用刀砍树快得多。

这样,鲁班就发明了锯。

传说鲁班上山砍树时,不小心被齿形草叶划破了手,如此细小的草叶怎能划破手呢?鲁班细心观察,发现草叶边缘有许多小齿。

由此他联想:若用带齿的工具锯树一定比用刀砍树快得多。

这样,鲁班就发明了锯子。

在这里,鲁班所用的就是“类比法”。

在解题过程中，可通过联想找到一个与要解答的题目相类似的原型题，用原型题的解题方法使新问题获得解答。

这种思考方法叫做类比法。

常见的类比题型如下：钟表问题：可以与环形跑道赛跑问题类比进行思考。

钟表中的时针和分钟与赛跑中的运动员是对应的，分针对时针的追及与运动员追及中的行程问题相似。

还有的题目可类比成工程问题、平均数问题等等。

例1小明每天6点回家吃晚饭。

一天，她妈妈从6点钟开始等，一直等到时针与分针第二次成直角时小明才回家，问小明几点钟回家的？提示：这道题也可以类比成追及问题，看作是两针在钟面作匀速圆周运动并且同向而行的问题。

当分针位于时针后面15格或者前面15格时，两针都成直角；分针走60格，时针走5格，因此分针每分钟比时针多走11 12 格。

从6点整同时出发，分针在时针后面5×6=30（格），可列式为：（5×6-15）÷（1-5 60 ）=164 11 （分）或（5×6+15）÷（1-5 60 ）=491 11 （分）根据题意小明是在6点491 11 分回家的。

拓展一某时，分针与时针正好在一条直线上，至少再过多少时间，两针重合？提示：如果把时针、分针的运动看作是甲乙两运动员在跑道上赛跑，把时针1小时所走的一格看作路程单位，那么可以把上题类比成追及问题：甲乙两人同向而行，甲在乙前面6千米，甲每小时走1千米，乙每小时走12千米。

学会用类比解决问题
初一时的类比
如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是______
通过观察我们发现第一个图黑色旗子个数为4-1第二个图黑色棋子的个数为9-1 第三个图黑色棋子的个数为16-1 第四个图黑棋子的个数为25-1
4是2的平方 9是3的平方 16是4的平方 25是5的平方
所以答案是n+1的平方-1
观察下图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有________个．
图一白色1块图二白色（1+3）块图三白色（1+3+3的平方）块于是推测出图四（1+3+3的平方+3的立方）块及图五(1+3+3的平方+3的立方+3的四次方)块 121块
初二时的类比
最近我们学到了分式老师教我们运用了小学时的方法解决他们果然比直接消化书本内容好很多下面我来介绍一下
小学时我们学的多数是3/4 9/3之类的数将它们通分时可以将它们的分母化成同一个数字比如3/4变成9/12 9/3变成36/12 就可以比较两者之间的大小
到了初中是一样的道理分式是6/5x 9/4x之类的数将它们通分时也可以将它们的分母化成同一个数字比如6/5x变成24/20x 9/4x变成45/20x 也可以比较两者的大小（在通分分式时会运用到以前所学的因式分解这是基础）
数学其实十分简单只要你抓住了方法寻找其中的普遍规律就可以很好的学习数学。

类比探究专题1. 如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC上，AD =AE ，连接DC ，BE ，点P 为DC 的中点． （1）观察猜想图1中，线段AP 与BE 的数量关系是________，位置关系是________； （2）探究证明把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，小航猜想（1）中的结论仍然成立，请你证明小航的猜想； （3）拓展延伸把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD =4，AB =10，请直接写出线段AP 的取值范围．（1）操作：如图1，点O 为线段MN 的中点，直线PQ 与MN 相交于点O ，请利用图1画出一对以点O 为对称中心的全等三角形．（不写画法）根据上述操作得到的经验完成下列探究活动：（2）探究一：如图2，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE =∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F ．试探究线段AB 与AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论． （3）探究二：如图3，DE ，BC 相交于点E ，BA 交DE 于点A ，且BE :EC =1:2，∠BAE =∠EDF ，CF ∥AB ．若AB =5，CF =1，求DF 的长度．PEDA BC 图1PEDABC图2图1M NQ PO图2F EDC B AAB C D E F图32.特殊：（1）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°．作CM平分∠ACB交AB于点M，点D为射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE交射线CB于点F，连接BD，BE．填空：①线段BD，BE的数量关系为_________________；②线段BC，DE的位置关系为_________________．一般：（2）如图2，在等腰三角形ABC中，∠ACB=α，作CM平分∠ACB交AB于点M，点D为△ABC外部射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转α度得到线段CE，连接DE，BD，BE．请判断（1）中的结论是否成立，请说明理由．特殊：（3）如图3，在等边三角形ABC中，作BM平分∠ABC交AC于点M，点D为射线BM上一点，以点B为旋转中心将线段BD逆时针旋转60°得到线段BE，连接DE交射线BA于点F，连接AD，AE．若AB=4，当△ADM 与△AFD全等时，请直接写出DE的值．M F ED CB A图1EMDCBA图2MFEDC BA图33. 已知△ABC 中，CA =CB ，0°＜∠ACB ≤90°．点M ，N 分别在边CA ，CB 上（不与端点重合），BN =AM ，射线AG ∥BC 交BM 延长线于点D ，点E 在直线AN 上，EA =ED ．（1）【观察猜想】如图1，点E 在射线NA 上，当∠ACB =45°时， ①线段BM 与AN 的数量关系是_________； ②∠BDE 的度数是____________．（2）【探究证明】如图2，点E 在射线AN 上，当∠ACB =30°时，判断并证明线段BM 与AN 的数量关系，求∠BDE 的度数；（3）【拓展延伸】如图3，点E 在直线AN 上，当∠ACB =60°时，AB =3，点N 是BC 边上的三等分点，直线ED 与直线BC 交于点F ，请直接写出线段CF 的长．图1A B CD ENMG图2AB CD MN EG 图3A BCG4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC mAC n=，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m=n，点E在线段AC上，则DEDF=__________．（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则DEDF=__________（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明．（3）拓展应用：若ACBC=DF=CE的长．FEDC BA图1图2ABCDEFDB FECA图3DC BA备用图5. （1）【问题发现】如图1，△ABC 和△CEF 都是等腰直角三角形，∠BAC =∠EFC =90°，点E 与点A 重合，则线段BE 与AF 的数量关系为__________； （2）【拓展研究】在（1）的条件下，将△CEF 绕点C 旋转，连接BE ，AF ，线段BE 与AF 的数量关系有无变化？仅就图2的情形给出证明； （3）【问题发现】当AB =AC =2，△CEF 旋转到B ，E ，F 三点共线时，直接写出线段AF 的长．（1）问题发现：如图1，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D 是BC 的中点，以点D 为顶点作正方形DFGE ，使点A ，C 分别在DE 和DF 上，连接BE ，AF ，则线段BE 和AF 数量关系是________．（2）类比探究：如图2，保持△ABC 固定不动，将正方形DFGE 绕点D 旋转α（0＜α≤360°），则（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）解决问题：若BC =DF =2，在（2）的旋转过程中，连接AE ，请直接写出AE 的最大值．F图1CBA (E )EABC图2F备用图CBA图1A BC DEF G图2GFED CB A 备用图A BC DEFG6.在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是__________，CE与AD的位置关系是__________．（2）当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图2，图3中的一种情况予以证明）．（3）如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB=BE= ADPE的面积．（直接写出结果）P EDCBA图1图2ABCDEPPEDCBA图3图4ABCDEP7. （1）操作发现如图1，AD 是等边三角形ABC 的角平分线，请你按下列要求画图：过点A 作AM ⊥AB ，过点C 作CN ∥AB ，AM 与CN 相交于点E ．则AD 与AE 的数量关系是________，∠EAC =________°． （2）问题探究将图1中的△AEC 绕点A 逆时针旋转，点C 落在点F 的位置，连接EC ，DF ，如图2所示，请你探究DF 与EC 的数量关系并说明理由． （3）拓展延伸若（2）中等边△ABC 的边长为2，当F A ⊥AC 时，请直接写出DF 2的值．在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AC =AB =4，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，若等腰Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt △AD 1E 1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD 1与CE 1的交点为P ．（1）问题发现如图1，当α=90°时，线段BD 1的长等于__________，线段CE 1的长等于__________． （2）探究证明如图2，当α=135°时，求证：BD 1=CE 1，且BD 1⊥CE 1． （3）问题解决求点P 到AB 所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）图1AB CD图2EFDCBA备用图CBAE1(D1)ABCDE PEDCBAD1E1图2图18. 如图1，在正方形ABCD 和正方形AB′C′D′中，AB =2，AB′=，连接CC′．（1）问题发现：CC BB'='__________；（2）拓展探究：将正方形AB′C′D′绕点A 逆时针旋转，记旋转角为θ，连接BB′，试判断：当0°≤θ＜360°时，CC BB ''的值有无变化？请仅就图2中的情形给出你的证明；（3）问题解决：请直接写出在旋转过程中，当C ，C′，D′三点共线时BB′的长．问题发现：如图1，△ABC 是等边三角形，点D 是边AB 上的一点，过点D 作DE ∥BC 交AC 于E ，则线段BD 与CE 的数量关系为___________；拓展探究：如图2，将△ADE 绕点A 逆时针旋转角α（0°＜α＜360°），上面的结论是否仍然成立？如果成立，请就图中给出的情况加以证明；问题解决：如果△ABC的边长等于AD =2，直接写出当△ADE 旋转到DE 与AC 所在的直线垂直时BD 的长．D′C′B′ABCD 图1图2DCBA B′C′D′A BCD备用图图1EDCBA 图2ABCDE备用图E D A9. 如图1，已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，GE ⊥BC ，垂足为点E ，GF ⊥CD ，垂足为点F ． （1）证明与推断：①求证：四边形CEGF 是正方形；②推断AGBE的值为_______．（2）探究与证明：将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图2所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由． （3）拓展与运用：正方形CEGF 在旋转过程中，当B ，E ，F 三点在一条直线上时，如图3所示，延长CG 交AD 于点H ．若AG =6，GH=BC =________．GFDC BAE图1ABCD EFG图2H GF EDCBA 图310. （1）阅读理解利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．如图1，点P 是等边三角形ABC 内一点，P A =1，PB，PC =2．求∠BPC 的度数． 为利用已知条件，不妨把△BPC 绕点C 顺时针旋转60°得△AP′C ，连接PP′，则PP′的长为__________；在△P AP′中，易证∠P AP′=90°，且∠PP′A 的度数为__________，综上可得∠BPC 的度数为__________． （2）类比迁移 如图2，点P 是等腰Rt △ABC 内一点，∠ACB =90°，P A =2，PB，PC =1．求∠APC 的度数． （3）拓展应用如图3，在四边形ABCD 中，BC =3，CD =5，AB =AC =12AD ，∠BAC =2∠ADC ，请直接写出BD 的长．P′ABCP图1图2P CBAD图3C BA11. 如图，在□ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，以点O 为顶点的∠EOF 的两边分别与边AB ，AD 交于点E ，F ，且∠EOF 与∠BAD 互补． （1）观察猜想若四边形ABCD 是正方形，则线段OE 与OF 有何数量关系？请直接写出结论．（2）延伸探究若四边形ABCD 是菱形，那么（1）中的结论是否成立？若成立，请画出图形并给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展证明若AB :AD =m :n ，探索线段OE 与OF 的数量关系，并证明你的结论．（1）阅读理解：如图1，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 是BC 的中点，若AE 是∠BAD 的平分线，试判断AB ，AD ，DC 之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE 交DC 的延长线于点F ，易证△AEB ≌△FEC ，得到AB =FC ，从而把AB ，AD ，DC 转化在一个三角形中即可判断．AB ，AD ，DC 之间的等量关系为_____________；（2）问题探究：如图2，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AF 与DC 的延长线交于点F ，E 是BC 的中点，若AE 是∠BAF 的平分线，试探究AB ，AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论．（3）问题解决：如图3，AB ∥CF ，AE 与BC 交于点E ，BE :EC =2:3，点D 在线段AE 上，且∠EDF =∠BAE ，试判断AB ，DF ，CF 之间的数量关系，并证明你的结论．A BCDOEFABCD EF图1ABCDE F图2A BCDE F图312. 如图1，菱形ABCD 与菱形GECF 的顶点C 重合，点G 在对角线AC 上，且∠BCD =∠ECF =60°． （1）问题发现： AGBE的值为__________． （2）探究与证明：将菱形GECF 绕点C 按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），如图2所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由． （3）拓展与运用：菱形GECF 在旋转过程中，当点A ，G ，F 三点在一条直线上时，如图3所示，连接CG 并延长，交AD 于点H ，若CE =2，GHAH 的长为__________．已知∠AOB =90°，点C 是∠AOB 的角平分线OP 上的任意一点，现有一个直角∠MCN 绕点C 旋转，两直角边CM ，CN 分别与直线OA ，OB 相交于点D ，点E ．（1）如图1，若CD ⊥OA ，猜想线段OD ，OE ，OC 之间的数量关系，并说明理由．（2）如图2，若点D 在射线OA 上，且CD 与OA 不垂直，则（1）中的数量关系是否仍成立？如成立，请说明理由；如不成立，请写出线段OD ，OE ，OC 之间的数量关系，并加以证明．图1AB CDEFGG FE DCB A图2H图3AB CD E FG（3）如图3，若点D 在射线OA 的反向延长线上，且OD =2，OE =8，请直接写出线段CE 的长度．图1OABC D EMPN N PMED CBAO图2图3O ABCD E MPN13.如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E，F分别是边DC，DA的中点，四边形DFGE为矩形，连接BG．（1）问题发现在图1中，CEBG__________．（2）拓展探究将图1中的矩形DFGE绕点D旋转一周，在旋转过程中，CEBG的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）问题解决当矩形DFGE 旋转至B ，G ，E 三点共线时，请直接写出线段CE 的长．GFED CBA 图1图2ABCDEFG备用图ABCD14. 四边形是我们在学习和生活中常见的图形，而对角线互相垂直的四边形也比较常见，比如筝形、菱形、图1中的四边形ABCD 等．它们给我们的学习和生活带来了很多的乐趣和美感．（1）如图2，在四边形ABCD 中，AB =AD ，CB =CD ，则AC 与BD 的位置关系是__________，请说明理由．（2）试探究图1中四边形ABCD 的两组对边AB ，CD 与BC ，AD 之间的数量关系，请写出证明过程．（3）问题解决：如图3，分别以Rt △ACB 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连接CE ，BG ，GE ，已知AC =4，AB =5，求GE 的长．观察猜想（1）如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =3，点D 与点A 重合，点E 在边BC 上，连接DE ，将线段DE 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DF ，连接BF ，BE 与BF 的位置关系是_________，BE +BF =_________； 探究证明（2）在（1）中，如果将点D 沿AB 方向移动，使AD =1，其余条件不变，如图2，判断BE 与BF 的位置关系，并求BE +BF 的值，请写出你的理由或计算过程； 拓展延伸ABCD图1图2DCB AABCDEFG图3（3）如图3，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α，点D 在边BA 的延长线上，BD =n ，连接DE ，将线段DE 绕着点D 顺时针旋转，旋转角∠EDF =α，连接BF ，则BE +BF 的值是多少？请用含有n ，α的式子直接写出结论．图1A (D )B CE FD FE C B A 图2图3A C D E F。

数学中类比学习法案例及其需要注意的问题摘要：类比在数学学习的过程中有着极其重要的作用，巧用类比学习可以加深对知识点的理解和记忆，不仅如此，类比还有发现新知识的作用，多用于猜想和发现新命题。

但类比也应该注意类比的对象、方向、技巧和范围。

文章从新课改下的高中数学出发，以人教版A 版数学教材为依托，论述了类比学习法的几个经典案例和类比时需要注意的几个问题。

关键词：类比；反思；猜想；案例数学是研究数量关系和空间形式的一门科学，有着极其严谨的逻辑性、科学性、系统性。

数学知识呈现出一定的相似性，如果能在不同的知识间建立一个强大的网络体系，用知识间的相似性掌握不同的知识，将对数学的学习有重要的作用，这期间的方法就是类比。

巧用类比能够帮助我们理解超越一般思维的知识，会对未知世界作出重要的预测。

所谓的类比就是通过对两个研究对象的比较，根据它们在某些方面（属性、关系、特征、形式等）的相同或相似之处，推断它们在其他方面的相同或相似之处的一种推理方法；也可以将类比理解为根据两个对象具有某些相同的属性而推出当其中一个对象具有一个性质时，另一对象也具有同样的或者相似的性质的一种推理方法。

用波利亚的话来说就是，“类比是某种类型的相似性，我们可以说它是一种要确定的和更概念性的相似。

”【案例一】中点坐标公式1、1维时的中点坐标公式x 轴上有两个点21x x 、，则它们的中点是221x x +。

如1和3在数轴上的中点是2，算法是2312+=。

2、2维时的中点坐标公式在平面直角坐标系中，已知两点坐标分别为：),(11y x A 、),(22y x B ，则它们的中点),(00y x C 的算法是2210x x x +=，2210y y y +=。

3、3维时的中点坐标公式在空间直角坐标系中，已知两点坐标分别为：),,(111z y x A 、),,(222z y x B ，则它们的中点),,(000z y x C 的算法是2210x x x +=，2210y y y +=，2210z z z +=。

类比法解题
例1：一项工程，甲单独做8天完成，乙单独做12天完成，现由甲先做若干天后，乙接着做，共做10天完成。

问甲、乙各单独做多少天？
例2：崔老师为课外兴趣小组的同学买书，她带的钱正好可以买15本作文指导或数学练习册24本，如果崔老师买10本作文指导后，剩下的钱全部买数学练习册，还可以买多少本数学练习册？
1、钟面上3时过几分，时针和分针离“3”的距离相等，并且在“3”的两旁？
2、在实验一校五年制小学各年级都参加的书法比赛中，四年级与五年级共有18人获奖，在全校获奖中有16人不是四年级的，有14个人不是五年级的，那么该校书法比赛获奖的总人数为多少人？
3、把1000个1立方厘米的正方体合在一起，堆成一个边长是1分米的正方体，把这个大正方体的表面涂上黄漆，小正方体中，有一面涂了黄漆的有多少个？
4、从时针指向4点开始，再经过多少分钟、时针正好与分针重合？
5、龟兔进行10000米赛跑，兔子的速度是龟的速度的5倍，当它们从起点一起出发后，龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉，兔子醒来时，龟已经领先它5000米，兔子奋起直追，但龟到达终点时，兔子仍落后100米，那么兔子睡觉期间龟跑了多少米？
6、小晶每天下午6点回家吃晚饭，一天她妈妈从6点钟开始等，一直等到时针与分针第二次成直角时，小晶才回家，那么小晶是几点钟回家的？。

㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１５６㊀类比法在数学解题中的应用类比法在数学解题中的应用Һ陈镇伟㊀（福建仙游华侨中学，福建㊀莆田㊀３５１２００）㊀㊀ʌ文摘ɔ类比是两事物在一些方面相同或类似去推知在另外一些方面也相同或类似，但这种合情推理的结论可能正确，也可能错误，它还要靠逻辑推理去证明正确与否．类比法的关键就在于善于从新问题联想到旧问题，并把新旧问题进行类比．在具体应用中，我们一般可以根据四个原则进行类比解题，把新旧问题相类比，把简单与复杂问题相类比，把直观与抽象问题相类比，把学科间的问题相类比．有意识地培养应用类比法解题可提高思维能力和创造力，是获得新思路新发现的一条重要途径，并且能有效巩固和保持已有的知识．ʌ关键词ɔ类比；合情推理；数学问题；新旧问题；核心素养在瀚如浩海的初等数学题中，有大量的题目可用一种特殊的数学解题方法 类比法解决．什么是类比法呢？著名教育家波利亚说过， 在解答一个显然难以求解的问题时，提出一个适当的辅助问题，并加以解答，以找到解决原来问题的途径．这是一个最独特的智力活动 一个辅助问题，只要和原来问题相似，而且较为容易，它就可以给予方法论方面的意义 ．实际上类比法的实质就是如此．它是根据新旧问题在某些方面相似或相同，推导出它们在其他方面也可能相似或相同的方法，如果我们从逻辑上来看待类比法，它的形式就是数学推理中的类比推理，用符号表示即为：研究对象㊀㊀㊀㊀属性ȵ甲㊀㊀㊀㊀㊀ＡＢＣＤ㊀乙㊀㊀㊀㊀㊀ＡＢＣʑ乙也有属性Ｄ．类比推理是一种或然推理，因而应用类比法所推得的结论是不确定的，我们不能把类比法作为一种严格的数学推理方法．但是，当我们面对一道数学题束手无策时，我们若考虑用类比法来打开思路，则往往能激发我们的思维火花，使我们找到解题线索，为解决问题描出一个大概的过程和轮廓．正如康德所说的： 每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进． 应用类比法解题，首先必须全面㊁细致地审清题意，在审清题意的基础上，在脑海中闪现出与此类似的旧问题及相关的理论，并深刻分析问题的实质所在，把未知问题和已知问题加以对照，从而根据已知结论对未知问题的结论做出预测，解决新问题．类比法的关键就在于善于从新问题联想到旧问题，并把新旧问题进行类比．在具体应用中，我们一般可以根据四个原则来进行类比解题，把新旧问题相类比，把简单与复杂问题相类比，把直观与抽象问题相类比，把学科间的问题相类比．一㊁把新问题和旧问题相类比已有的知识㊁经验和方法往往对我们所要解决的问题有着重要的指导意义，适当地把新问题和旧问题相类比，能开阔我们的思路，使我们寻得解题方法．例１㊀解方程ｘ３＋（１＋２）ｘ２－２＝０．分析㊀这是以ｘ为未知数的三次方程，学生对三次方程的解法较为陌生，但对一元二次方程的解法则是掌握的，因此，我们可考虑把三次方程转化为一元二次方程，观察原方程结构特点，若把ｘ视为 已知数 ，把 ２ 看作未知数，则原方程便可以看作关于 ２ 的一元二次方程．解㊀设ｙ＝２，则原方程可化为ｙ２－ｘ２ｙ－（ｘ３＋ｘ２）＝０，解方程得：ｙ＝－ｘ或ｙ＝ｘ２＋ｘ，ʑｘ＝－２或ｘ２＋ｘ－２＝０，ʑｘ１＝－２，ｘ２＝－１＋１＋４２２，ｘ３＝－１－１＋４２２是原方程的解．例２㊀已知ｘ，ｙ，ｚ均为实数，且ｘｙʂ－１，ｙｚʂ－１，ｚｘʂ－１，求证：ｘ－ｙ１＋ｘｙ＋ｙ－ｚ１＋ｙｚ＋ｚ－ｘ１＋ｚｘ＝ｘ－ｙ１＋ｘｙ㊃ｙ－ｚ１＋ｙｚ㊃ｚ－ｘ１＋ｚｘ．分析㊀此题若用代数方法证明，则很冗繁，由于这道题的结论形式是三个代数式和等于它们三者之积，因此我们可以回忆一下所解过的类似问题，如下题：在әＡＢＣ中，求证：ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ＋ｔａｎＣ＝ｔａｎＡ㊃ｔａｎＢ㊃ｔａｎＣ．这道题的证法是：ȵＡ＋Ｂ＋Ｃ＝π，ʑＡ＋Ｂ＝π－Ｃ，等式两边取正切得：ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ１－ｔａｎＡ㊃ｔａｎＢ＝－ｔａｎＣ，去分母整理得：ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ＋ｔａｎＣ＝ｔａｎＡ㊃ｔａｎＢ㊃ｔａｎＣ．要将该题的证法进一步移植到原题中，还必须使：ｔａｎＡ＝ｘ－ｙ１＋ｘｙ，ｔａｎＢ＝ｙ－ｚ１＋ｙｚ，ｔａｎＣ＝ｚ－ｘ１＋ｚｘ．经过分析研究，证法如下：令ｘ＝ｔａｎα，ｙ＝ｔａｎβ，ｚ＝ｔａｎγ，Ａ＝α－β，Ｂ＝β－γ，Ｃ＝γ－α，则ｔａｎＡ＝ｔａｎ（α－β）＝ｔａｎα－ｔａｎβ１＋ｔａｎα㊃ｔａｎβ＝ｘ－ｙ１＋ｘｙ，同理ｔａｎＢ＝ｙ－ｚ１＋ｙｚ，ｔａｎＣ＝ｚ－ｘ１＋ｚｘ，ȵＡ＋Ｂ＋Ｃ＝（α－β）＋（β－λ）＋（λ－α）＝０，ʑＡ＋Ｂ＝－Ｃ，取正切得ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ１－ｔａｎＡ㊃ｔａｎＢ＝－ｔａｎＣ，ʑｔａｎＡ＋ｔａｎＢ＋ｔａｎＣ＝ｔａｎＡ㊃ｔａｎＢ㊃ｔａｎＣ，即ｘ－ｙ１＋ｘｙ＋ｙ－ｚ１＋ｙｚ＋ｚ－ｘ１＋ｚｘ＝ｘ－ｙ１＋ｘｙ㊃ｙ－ｚ１＋ｙｚ㊃ｚ－ｘ１＋ｚｘ．二㊁把复杂问题和简单问题相类比面对复杂的问题，可把它简单化并解决之，从而获得解决原问题的启示和依据．例３㊀已知角α，β，γ，θ都是锐角，且α＋β＋γ＋θ＝π，求ｙ＝ｓｉｎα㊃ｓｉｎβ㊃ｓｉｎγ㊃ｓｉｎθ的最大值．分析㊀这里的ｙ是多个角的三角函数的积，较复杂，求解难以入手，不妨先来探讨一个相似的简单问题：已知角α，β都是锐角，α＋β＝Ａ（Ａ为定值且０＜Ａ＜π），求ｙ＝ｓｉｎα㊃ｓｉｎβ的最大值．ｙ＝ｓｉｎα㊃ｓｉｎβ＝ｓｉｎα㊃ｓｉｎ（Ａ－α）＝１２ｃｏｓ（２α－Ａ）－ｃｏｓＡ[]，㊀㊀㊀解题技巧与方法１５７㊀㊀依题设条件可知：当且仅当α＝Ａ２，即α＝β＝Ａ２时，ｙ取得最大值ｓｉｎＡ２()２．这个简单问题的解决给了我们什么启示呢？它使我们自然会猜想原问题正确的结论也许是：当且仅当α＝β＝γ＝θ＝π４时，ｙ取得最大值ｓｉｎπ４()４，这个结论果真正确吗？需要证明，直接证明此结论似难入手，正难则反，试证若α，β，γ，θ不都相等，则ｙ＝ｓｉｎα㊃ｓｉｎβ㊃ｓｉｎγ㊃ｓｉｎθ的值就无法取到最大．有了前面对简单问题的探究，此命题是很容易解决的，事实上，若α，β，γ，θ不都相等，不妨设αʂβ，我们暂且固定γ，θ的值不变，而让α，β值变化．则有α＋β＝π－（γ＋θ）为定值，且０＜π－（γ＋θ）＜π．ȵαʂβ，ʑｓｉｎα㊃ｓｉｎβ的值不是最大，从而ｙ＝ｓｉｎα㊃ｓｉｎβ㊃ｓｉｎγ㊃ｓｉｎθ的值也不是最大，所以我们对原问题的猜想是正确的，问题得以顺利解决．例４㊀解方程组ｘ＋ｙ＋ｚ＝３，（１）ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝３，（２）ｘ３＋ｙ３＋ｚ３＝３．（３）{分析㊀粗看之下，很难入手，若用代入消元法，则计算十分繁杂，因此先考虑方程组ｘ＋ｙ＝３，（４）ｘ２＋ｙ２＝５，（５）{虽然这两个方程组的元数，次数均不相同，但仍有不少与原题相似的地方，如每一方程未知数的次数都是一样的，都是关于未知数的轮换式，都没有不同未知数乘积的项等．根据ｘ＋ｙ＝３，再由（４）２－（５）２，求出ｘｙ＝２，根据韦达定理得方程ｘ２－３ｘ＋２＝０，ʑｘ＝１或２，ʑ方程组的解为ｘ１＝１，ｙ１＝２，{或ｘ２＝２，ｙ２＝１．{类比于上述解法，在原方程组中已知ｘ＋ｙ＋ｚ＝３，同样设法求ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ和ｘｙｚ的值，最后用韦达定理求解．具体解法是：由（１）２－（２）２得ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ＝３２－３２＝３，由（１）３－（３）得（ｘ＋ｙ＋ｚ）３－（ｘ３＋ｙ３＋ｚ３）＝２４，ʑ（ｘ＋ｙ）（ｙ＋ｚ）（ｚ＋ｘ）＝８，即（３－ｚ）（３－ｘ）（３－ｙ）＝８，ʑｘｙｚ＝１．根据韦达定理得ｕ３－３ｕ２＋３ｕ－１＝０，ʑ（ｕ－１）３＝０．从而可知ｘ＝１，ｙ＝１，ｚ＝１是原方程组的解．三㊁把抽象的问题和直观的问题相类比直观图形有助于挖掘问题的本质东西，帮助我们理清条序，迅速解题．图１例５㊀已知ａ＞０，ｂ＞０且ａ＋ｂ＝１，求证ａ－１ａ()２＋ｂ－１ｂ()２ȡ９２．分析㊀我们注意到左边两个平方项有相同的结构，可以类比联想到具有这种结构的函数ｆ（ｘ）＝ｘ－１ｘ()２，利用导数性质容易断定此函数图像是凹的．如图１所示，ʑｆ（ａ）＋ｆ（ｂ）２ȡｆａ＋ｂ２()，ʑａ－１ａ()２＋ｂ－１ｂ()２ȡ９２．四㊁把这一学科的问题和邻近学科的问题相类比数学各门分科并不截然孤立，而是有着千丝万缕的联系的．正是由于这种学科间的相互联系，相互渗透使我们得以根据类比思想方法创造性解决问题，使思维得到更高层次发展．例６㊀从四面体的四个顶点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ分别向所对的平面引垂线，其长分别为ｈａ，ｈｂ，ｈｃ，ｈｄ，Ｐ为四面体内任一点，从Ｐ向Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四点所对的平面作垂线，垂线长分别为ｐａ，ｐｂ，ｐｃ，ｐｄ，求证：ｐａｈａ＋ｐｂｈｂ＋ｐｃｈｃ＋ｐｄｈｄ＝１．分析㊀立体几何问题一般可以和平面几何问题相类比，故可考虑如下的一平面几何题以获得启发．设әＡＢＣ的三边ＡＢ，ＡＣ，ＢＣ的高分别为ｈｃ，ｈｂ，ｈａ，并且三角形内任一点Ｐ到这三边的距离分别为ｐｃ，ｐｂ，ｐａ．求证：ｐａｈａ＋ｐｂｈｂ＋ｐｃｈｃ＝１．图２证法为：如图２，连接ＰＢ，ＰＣ，ｐａｈａ＝１２ＢＣ㊃ｐａ１２ＢＣ㊃ｈａ＝ＳәＰＢＣＳәＡＢＣ．同理ｐｂｈｂ＝１２ＡＣ㊃ｐｂ１２ＡＣ㊃ｈｂ＝ＳәＰＡＣＳәＡＢＣ，ｐｃｈｃ＝１２ＡＢ㊃ｐｃ１２ＡＢ㊃ｈｃ＝ＳәＰＡＢＳәＡＢＣ，ʑｐａｈａ＋ｐｂｈｂ＋ｐｃｈｃ＝ＳәＰＢＣ＋ＳәＰＡＣ＋ＳәＰＡＢＳәＡＢＣ＝１．原题与上题类比可得证法如下：ｐａｈａ＝１３ＳәＢＣＤ㊃ｐａ１３ＳәＢＣＤ㊃ｈａ＝ＶＰ－ＢＣＤＶＡ－ＢＣＤ，同理ｐｂｈｂ＝ＶＰ－ＡＣＤＶＡ－ＢＣＤ，ｐｃｈｃ＝ＶＰ－ＡＢＤＶＡ－ＢＣＤ，ｐｄｈｄ＝ＶＰ－ＡＢＣＶＡ－ＢＣＤ，ʑｐａｈａ＋ｐｂｈｂ＋ｐｃｈｃ＋ｐｄｈｄ＝ＶＰ－ＡＣＤ＋ＶＰ－ＡＢＣ＋ＶＰ－ＢＣＤ＋ＶＰ－ＡＢＤＶＡ－ＢＣＤ＝１．可以说，在数学中类比法可解决许多难题，它的应用范围较为广泛，使用类比法解题要求我们首先要有扎实的知识基础，其次要善于联想，善于分析，合情推理，挖掘事物间本质㊁必然的联系，以经过论证的事实为依据，去推测出问题的结论．正是由于类比法的这种特征，所以教师有意识地培养学生应用类比法解题可提高学生思维能力和创造力，并且使其巩固和保持已有的知识，这是获得新思路新发现的一条重要途径．ʌ参考文献ɔ［１］吴卓．类比推理在高中生物新课程教学中的应用研究［Ｄ］．长春：东北师范大学，２０１１．［２］陈慧敏．把握问题结构叩开解决问题大门 用连除解决问题 教学思考［Ｊ］．教育界：基础教育研究（中），２０１６（０６）：５７－５９．。

初中数学类比法的例子
1. 哎呀，初中数学里的类比法就像是给你一把神奇的钥匙！比如说，把分数类比成切蛋糕，一个蛋糕切成几份，不就和分数表示的意义很像嘛！
2. 嘿，你想想看，类比法是不是超级有趣呀！就像把三角形和三明治类比，三角形有三个角，三明治不通常也有三层嘛！
3. 哇塞，类比法能让数学变得好简单呢！好比说把解方程类比成开锁，找到正确的方法就是找到那把合适的钥匙，不是吗？
4. 哎呀呀，你看正方形和魔方，这多像用类比法联系起来的呀！正方形的四条边相等，魔方的每个面不也是一样的嘛！
5. 哟呵，把正比例函数和汽车的速度类比，速度稳定就像正比例函数的图像一样直直的，这不是很形象吗？
6. 嘿呀，圆和披萨是不是可以用类比法联系起来呀！圆有圆心，披萨也有中心呀，哈哈哈！
7. 哇哦，把对称图形类比成照镜子，镜子里的和外面的是不是一样呀，多有意思！
8. 唉呀妈呀，类比法真的太有用啦！就像把合并同类项类比成整理玩具，把一样的玩具放到一起！
9. 哇，把相似三角形类比成放大缩小的照片，它们的形状一样，就像照片的大小变化但模样不变呀！
我觉得类比法就像是给我们学习数学装上了翅膀，让我们能更轻松有趣地飞在数学的天空中，去探索那些美妙的知识！。

类比法解题在解题过程中，可通过联想找到一个与要解答的题目相类似的原型题，用原型题的解题方法使新问题获得解答。

这种思考方法叫做类比法。

常见的类比题型如下：钟表问题：可以与环形跑道赛跑问题类比进行思考。

钟表中的时针和分钟与赛跑中的运动员是对应的，分针对时针的追及与运动员追及中的行程问题相似。

还有的题目可类比成工程问题、平均数问题等等。

例1 某时，分针与时针正好在一条直线上，至少再过多少时间，两针重合？提示：如果把时针、分针的运动看作是甲乙两运动员在跑道上赛跑，把时针1小时所走的一格看作路程单位，那么可以把上题类比成追及问题：甲乙两人同向而行，甲在乙前面6千米，甲每小时走1千米，乙每小时走12千米。

如果甲乙两人同时出发，乙经过多长时间能追上甲？拓展一小明每天6点回家吃晚饭。

一天，她妈妈从6点钟开始等，一直等到时针与分针第二次成直角时小明才回家，问小明几点钟回家的？提示：这道题也可以类比成追及问题，看作是两针在钟面作匀速圆周运动并且同向而行的问题。

当分针位于时针后面15格或者前面15格时，两针都成直角。

从6点整同时出发，分针在时针后面5×6=30（格），可列式为：拓展二有一只手表，每小时慢4分，早上8点整时将时间对准，那么当这只表指向12点整的时刻，实际时间是几点几分？提示: 如果将标准时间看作甲个人的工作量，手表时间看作工人的工作量，手表时间比标准时间每小时慢4分，即标准时间60分，手表时间走56分，可看成乙工人的工效是甲工人的5660，这样可把原题类比成工程问题：乙工人的工效是甲工人的5660，两人同时加工，当乙工人完成4份工作量时，甲工人完成多少工作量？拓展三某运输队为商店运输花瓶500箱，每箱6个花瓶。

已知每10个花瓶的运费为5.5元，损坏一个花瓶，要赔偿成本11.5元（这只花瓶的运费当然也就得不到了），结果运输队共得到1553.6元。

共损坏了多少只花瓶？提示：这样的问题可以类比为鸡兔同笼问题来解答。

第十讲“类比法”解决问题知识提纲：类比是将一类事物的某些相同方面进行比较，以另一事物的正确或谬误证明这一事物的正确或谬误的一种论证方法。

类比法，是一种最古老的认知思维与推测的方法，是对未知或不确定的对象与已知的对象进行归类比较，由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也应具有这种属性的推理方法。

同学们，我们一起来做个游戏好吗？快速判断出下列各式的商是有限小数还是无限小数：4÷15、9÷24、2.7÷1.6、0.003÷250、5÷0.07、1.03÷2.3.同学们都在用笔一个一个地计算，但老师很快就能判断出9÷24、2.7÷1.6、0.003÷250的商是有限小数；4÷15、5÷0.07、1.03÷2.3的商是无限小数。

项知道老师有什么妙招吗？其实啊，老师在这里用了“类比法”，把除法和分数进行“类比”。

因为我们知道，一个最简分数，当分母只含有质因数2和5时，这个分数才能化成有限小数，否则就是无限小数。

除法也有类似的性质，如果我们根据商不变性质，把所有算式化成整数除法算式，只要根据除数的质因数是否含有2和5，就可以判断出商是有限小数还是无限小数。

类比法能把陌生的问题转化为熟悉的问题，提高了解题技能。

【典型例题1】 A、B、C、D四支球队进行单循环赛，即每两支球队都要比赛一场，全部比赛完，一共要进行多少场比赛？解析：我们可以把四支球队看作四个点，每两支球队比赛一场，看作是两点间的连线，进行类比。

求比赛场数就是求连线的条数。

解答：【随堂练习1】A、B、C、D、E五支球队进行单循环赛，即每两队比赛一场。

已知A队赛了4场，B队赛了3场，C队赛了2场，D队赛了1场。

E队赛了几场？【典型例题2】开凿一条长1800米的隧道，现有两个工程队从两端同时施工，甲队每天开凿60米，乙队每天开凿90米，多少天后才能开通这条隧道？解析：甲队每天开凿60米，乙队每天开凿90米，可以类比成甲队每天前进60米，乙队每天前进90米。

初中数学课堂教学中类比法的应用初中数学教学强调知识的发生、发展过程，即在发展学生智力因素的同时也发展非智力因素，以提高全体学生的数学素质。

《初中数学新课程标准》强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。

从教学具体内容来看，知识是抽象的，因此，在初中数学课堂教学中对学生进行数学思想方法的渗透是非常必要的。

在众多的数学思想方法中，类比法是其中一种常用并且有效的方法。

康德曾说过：“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进。

”类比是根据两种或两类对象在某些方面的相似，得出它们在其他方面也有可能相似的结论。

通过类比，学生可以发现新旧知识的相同点，利用已有的旧知识，来认识新知识。

类比不仅能突出问题的本质，提高教学质量，而且有助于培养学生的创造能力等思维品质，提高认识问题和解决问题的能力。

这也是素质教育所需求的核心内容。

下面就本人的教学实践来谈谈初中数学教学中类比思想的一些应用。

一、新旧概念、法则、定理的类比数学概念是数学知识的基础，对于许多概念的教学，可先引导学生研究已学过的概念属性，然后创设类比发现的问题情境，引导学生去发现，尝试给新概念下定义，这样新的概念容易在原有的认知结构中得以同化与构建。

如“一元一次方程”与“一元一次不等式”，“ 一元一次方程”与“一元二次方程”，“ 一元一次方程”与“二元一次方程”等概念都可以通过类比思想去展开教学。

此外，在开立方与开平方的概念，中心对称与轴对称的概念；扇形面积公式与三角形面积公式等等，都可以通过类比法进行教学。

欧拉曾说过：“类比就是大胆创造，不过，你应该先找到双方的相似属性。

”如在学习分式这章时，分式加减法则与分数加减法则类比，以旧引新，使学生对新的定理的理解会更深入、记忆也会更加牢固，运用会更灵活。

在讲授相似三角形时，由于“相似”与“全等”有很多类似的地方，便于使用类比法。

【类比思路】类比就是从一个问题想到了相似的另一个问题。

例如从等差数列求和公式想到梯形面积公式，从矩形面积公式想到长方体体积公式等等；类比是一个重要的思想方法，也是解题的一种重要思路。

例1 有一个挂钟，每小时敲一次钟，几点钟就敲几下，钟敲6下，5秒钟敲完；钟敲12下，几秒敲完？
分析（用类比思路探讨）：
有人会盲目地由倍数关系下结沦，误认为10秒钟敲完，那就完全错了。

其实此题只要运用类比思路，与植树问题联系起来想一想就通了：一条线路植树分成几段（株距），如果不包括两个端点，共需植（n-1）棵树，如果包括两个端点，共需植树（n＋1）棵，把钟点指数看作是一棵棵的树，把敲的时间看作棵距，此题就迎刃而解了。

例2 从时针指向4点开始，再经过多少分钟，时针正好与分钟重合。

分析（用类比思路讨论）：
本题可以与行程问题进行类比。

如图2.11，如果用时针1小时所走的一格作为路程单位，那么本题可以重新叙述为：已知分针与时针相距4格，分如果分针与时针同时同向出发，问：分针过多少分钟可追上时针？这样就与行程问题中的追及问题相似了。

4为距离差，速度差为，重合的时间，就是追上的时间。

专项训练1．小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．（一）猜测探究在ABC △中，AB AC =，M 是平面内任意一点，将线段AM 绕点A 按顺时针方向旋转与BAC ∠相等的角度，得到线段AN ，连接NB ．（1）如图1，若M 是线段BC 上的任意一点，请直接写出NAB ∠与MAC ∠的数量关系是 ，NB 与MC 的数量关系是 ；（2）如图2，点E 是AB 延长线上点，若M 是CBE ∠内部射线BD 上任意一点，连接MC ，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．（二）拓展应用如图3，在△111A B C 中，118A B =，11160A B C ∠=︒，11175B AC ∠=︒，P 是11B C 上的任意点，连接1A P ，将1A P 绕点1A 按顺时针方向旋转75︒，得到线段1AQ ，连接1B Q ．求线段1B Q 长度的最小值．2．在图1，2，3中，已知ABCD ，120ABC ∠=︒，点E 为线段BC 上的动点，连接AE ，以AE 为边向上作菱形AEFG ，且120EAG ∠=︒．（1）如图1，当点E 与点B 重合时，CEF ∠= ︒；（2）如图2，连接AF ．①填空：FAD ∠ EAB ∠（填“>”，“ <”，“=” )；②求证：点F 在ABC ∠的平分线上；（3）如图3，连接EG ，DG ，并延长DG 交BA 的延长线于点H ，当四边形AEGH 是平行四边形时，求BC AB的值．3．【问题探究】（1）如图1，ABC △和DEC △均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，点B ，D ，E 在同一直线上，连接AD ，BD ．①请探究AD 与BD 之间的位置关系： ；②若10AC BC ==，2DC CE ==，则线段AD 的长为 ；【拓展延伸】（2）如图2，ABC ∆和DEC ∆均为直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，21AC =，7BC =，3CD =，1CE =．将DCE △绕点C 在平面内顺时针旋转，设旋转角BCD ∠为(0360)αα︒<︒，作直线BD ，连接AD ，当点B ，D ，E 在同一直线上时，画出图形，并求线段AD 的长．4．如图1，正方形ABDE和BCFG的边AB，BC在同一条直线上，且2AB BC=，取EF的中点M，连接MD，MG，MB．（1）试证明DM MG⊥，并求MBMG的值．（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设2(090)EABαα∠=<<︒，其它条件不变，问（1）中MBMG的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含α的式子表示）；若无变化，说明理由．5．如图1，菱形ABCD 的顶点A ，D 在直线上，60BAD ∠=︒，以点A 为旋转中心将菱形ABCD 顺时针旋转(030)αα︒<<︒，得到菱形AB C D '''，B C ''交对角线AC 于点M ，C D ''交直线l 于点N ，连接MN ．（1）当//MN B D ''时，求α的大小．（2）如图2，对角线B D ''交AC 于点H ，交直线l 与点G ，延长C B ''交AB 于点E ，连接EH ．当HEB '△的周长为2时，求菱形ABCD 的周长．6．思维启迪：（1）如图1，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B 点的点C ，连接BC ，取BC 的中点P （点P 可以直接到达A 点），利用工具过点C 作CD AB ∥交AP 的延长线于点D ，此时测得200CD =米，那么A ，B 间的距离是米．思维探索：（2）在ABC △和ADE △中，AC BC =，AE DE =，且AE AC <，90ACB AED ∠=∠=︒，将ADE △绕点A 顺时针方向旋转，把点E 在AC 边上时ADE △的位置作为起始位置（此时点B 和点D 位于AC 的两侧），设旋转角为α，连接BD ，点P 是线段BD 的中点，连接PC ，PE ．①如图2，当ADE △在起始位置时，猜想：PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是 ；②如图3，当90α=︒时，点D 落在AB 边上，请判断PC 与PE 的数量关系和位置关系，并证明你的结论；③当150α=︒时，若3BC =，1DE =，请直接写出2PC 的值．7．综合与实践动手操作：第一步：如图1，正方形纸片ABCD 沿对角线AC 所在的直线折叠，展开铺平．在沿过点C 的直线折叠，使点B ，点D 都落在对角线AC 上．此时，点B 与点D 重合，记为点N ，且点E ，点N ，点F 三点在同一条直线上，折痕分别为CE ，CF ．如图2．第二步：再沿AC 所在的直线折叠，ACE △与ACF △重合，得到图3． 第三步：在图3的基础上继续折叠，使点C 与点F 重合，如图4，展开铺平，连接EF ，FG ，GM ，ME ．如图5，图中的虚线为折痕．问题解决：（1）在图5中，BEC 的度数是，AE BE的值是 ． （2）在图5中，请判断四边形EMGF 的形状，并说明理由；（3）在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形（正方形除外），并写出这个菱形： ．8．如图，在直角坐标系中，直线132y x=−+与x轴，y轴分别交于点B，点C，对称轴为1x=的抛物线过B，C两点，且交x轴于另一点A，连接AC．（1）直接写出点A，点B，点C的坐标和抛物线的解析式；（2）已知点P为第一象限内抛物线上一点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；（3）抛物线上是否存在一点Q（点C除外），使以点Q，A，B为顶点的三角形与ABC△相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．题9．已知抛物线2342y ax x =++的对称轴是直线3x =，与x 轴相交于A ，B 两点（点B 在点A 右侧），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式和A ，B 两点的坐标；（2）如图1，若点P 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点（不与B 、C 重合），是否存在点P ，使四边形PBOC 的面积最大？若存在，求点P 的坐标及四边形PBOC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，当3MN =时，求点M 的坐标．10．如图，抛物线2542y mx mx =−−与x 轴交于1(A x ，0)，2(B x ，0)两点，与y 轴交于点C ，且21112x x −=． （1）求抛物线的解析式；（2）若1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 是抛物线上的两点，当12a x a +，292x 时，均有12y y ，求a 的取值范围；（3）抛物线上一点(1,5)D −，直线BD 与y 轴交于点E ，动点M 在线段BD 上，当BDC MCE ∠=∠时，求点M 的坐标．11．如图，抛物线2y ax bx c =++经过(3,0)A −，(1,0)B ，(0,3)C 三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，P 为抛物线上在第二象限内的一点，若PAC △面积为3，求点P 的坐标；（3）如图2，D 为抛物线的顶点，在线段AD 上是否存在点M ，使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与ABC △相似？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．12．若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴、y 轴分别交于点(3,0)A 、(0,2)B −，且过点(2,2)C −．（1）求二次函数表达式；（2）若点P 为抛物线上第一象限内的点，且4PBA S =△，求点P 的坐标；（3）在抛物线上(AB 下方）是否存在点M ，使ABO ABM ∠=∠？若存在，求出点M 到y 轴的距离；若不存在，请说明理由．13．综合与探究如图，抛物线26y ax bx =++经过点(2,0)A −，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<．连接AC ，BC ，DB ，DC ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）BCD △的面积等于AOC △的面积的34时，求m 的值； （3）在（2）的条件下，若点M 是x 轴上一动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线22(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线经过点(2,3)D −−和点(3,2)E ，点P 是第一象限抛物线上的一个动点．（1）求直线DE 和抛物线的表达式；（2）在y 轴上取点(0,1)F ，连接PF ，PB ，当四边形OBPF 的面积是7时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P 在抛物线对称轴的右侧时，直线DE 上存在两点M ，N （点M 在点N 的上方），且22MN =，动点Q 从点P 出发，沿P M N A →→→的路线运动到终点A ，当点Q 的运动路程最短时，请直接写出此时点N 的坐标．15．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线233373848y x x =+−与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 右侧），点D 为抛物线的顶点，点C 在y 轴的正半轴上，CD 交x 轴于点F ，CAD ∆绕点C 顺时针旋转得到CFE ∆，点A 恰好旋转到点F ，连接BE ．（1）求点A 、B 、D 的坐标；（2）求证：四边形BFCE 是平行四边形；（3）如图2，过顶点D 作1DD x ⊥轴于点1D ，点P 是抛物线上一动点，过点P 作PM x ⊥轴，点M 为垂足，使得PAM △与1DD A △相似（不含全等）．①求出一个满足以上条件的点P 的横坐标；②直接回答这样的点P 共有几个？。

小学数学思维——类比训练方法——关系类比三年级：1、单位类比。

例题: 2平方分米=( )平方厘米 40000平方米=( )公顷 8分米=( )厘米=( )米扩展：1千米对于1000米，就好比 1米对于( )分米；1分米对于( )厘米，就好比1厘米对于10毫米；1分米对应10厘米就好比1平方分米对于( )；1公顷对于10000平方米，就好比1平方米对于( )平方分米；1平方分米对于100平方厘米，就好比1( ) 对于100平方毫米；1吨对于1000 千克，就好比1千克对于( )克；2、线和角类比。

例题：直线有（）个端点，它可以向两端无限延长；直线上两点之间的一段叫（），它有（）个端点；射线有（）个端点，它可以向一端无限延长。

扩展：直线对于没有端点、就好比射线对于_____________。

在同一平面内，不相交的两条直线对于平行线就好比相交成直角时对于_____________。

90°对于直角就好比180°对于_____________。

60°对于锐角就好比360°对于_____________。

3、四舍五入法类比。

例题：在圆圈里填上“＞”“＜”或“＝”。

45万○449000 405000○405万709000○709万79万○780000 756420○756542 89500○101210扩展：12.445对于13就好比26.3810000对于__________。

3.996对于4.0就好比5.897对于__________。

433458对于43万就好比3624895对于__________。

1704634对于171万就好比20703296对于__________。

35800200对于3580万就好比74608050对于__________。

四年级1、小数的分类类比。

例题： 5.4％、1120 、0.54按从小到大的顺序排列为：（）扩展：0.368对于纯小数就好比3.25对于_____________。

运用类比巧解题 我们知道，类比推理是一种重要的思维活动，它不仅能够帮助我们猜测和发现结论，而且能为我们提供解题的思路和方向．这正像著名数学家欧拉所说的：“类比是伟大的引路人”．因此，在解决某些数学问题时，若能合理地运用“类比”，可为问题的解决开辟一条便捷之路．下面举例说明． 例１ 任给7个实数(127)k x k =，，，，证明其中有两个数i x ，j x ，满足不等式1013i ji j x x x x -+≤≤０．分析：若任给7个实数中有某两个相等，结论显然成立．若7个实数互不相等，则难以入手，但仔细观察可发现：1i ji j x x x x -+与两角差的正切公式在结构上极为相似，故可选后者为类比对象，并通过适当的代换将其转化为三角问题，作代换：tan (127)k k x k α==，，，，证明必存在i α，j α，满足不等式10tan()3i j αα-≤≤．证明：令tan (127)k k x k α==，，，，ππ22k α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，则原命题化为：证明存在两个实数ππ22i j αα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，满足10tan()3i j αα-≤≤． 将ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，平均分为6个区间，则在17αα，，中至少有两个落在同一个子区间内，不妨设为i α，j α，故有π06i j αα-≤≤． 于是30tan()3i j αα-≤≤． 从而1013i ji j x x x x -+≤≤．例2 如图所示，过四面体V ABC -的底面ABC 上任一点O 分别作1OA VA ∥，1OB VB ∥，1OC VC ∥，111OA OB OC ，，与侧面VBC BAC VAB ，，的交点分别为111A B C ，，，求证：111OA OB OC VA VB VC++为定值． 分析：考虑平面上的类似命题：“过ABC △（底）边AB 上任一点O 分别作1OA AC ∥，1OB BC ∥，分别交BC ，AC 于1A ，1B ，求证11OA OB AC BC+为定值”．对这个命题，利用相似三角形性质很容易推出其为定值1．或者，过A ，O 分别作BC 的垂线，过B ，O 分别作AC 的垂线，则用面积法也不难证明定值为1．于是类比到空间图形，也可考虑用两种方法证明其定值为1．证明：如图所示，设平面1OAVA BC M =，平面1OBVB AC N =，平面1OC VC AB L =，则有1MOA MAV △∽△，1NOB NBV △∽△，1LOC LCV △∽△，1OA OM VA AM =，1OB ON VB BN =，1OC OL VC CL=．在底面ABC △中，由于AM BN CL ，，交于一点O ，用面积法易证得1OM ON OL AM BN CL++=． 1111OA OB OC VA VB VC++=∴．。

类比法解数学应用题课题：类比法解数学应用题。

课型：复习课知识目标：掌握运用类比法将数学应用题给出的材料背景转化为：(1)某生活背景(2)某数学模型能力目标：通过类比法教学，使学生学会用一些生活背景理解数学，又能够用数学的立场、观点和方法去解决日常生活中出现的一些问题，从而培养学生运用数学工具分析和解决实际问题的能力，训练学生创新思维。

德育目标：通过类比法教学(1)让学生真正体会到数学源于现实，寓于现实，用于现实，培养学生兴趣；增强学生学习的信心，特别是解数学应用题的信心。

(2)引导学生面向社会，了解社会。

重点：运用类比法寻找解决问题的切入点，引导学生建模。

难点：引导学生建模。

教学方法：观察法、类比法、归纳法，采用启发式发现法进行教学。

引题：建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10%，并且这个比越大，住宅的采光条件越好。

问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由。

1.一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜。

记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3.若屋顶斜面与水平面所成的角都是 则②③A. P3 >P2 >P1B.P3 >P2 =P1C. P3 =P2 >P1D. P3 =P2 =P12.如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为A. 26B. 24 C . 20 D. 193. 《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额。

此项税款按下表分段累进计算。

某人一月份应交纳此项税款26.78元,则他的当月工资、薪金所得介于A ．800～900元 B. 900～1200元C. 1200～1500元D.1500～2800元4. 根据指令)180180,0)(,(o o r r ≤≤-≥θθ，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度θ，（θ为正时，按逆时针方向旋转θ，θ为负时，按顺时针方向旋转-θ）,再朝其面对的方向沿直线行走距离r.(1) 现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x 轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点(4,4).(2) 机器人在完成该指令后，发现在点(17, 0)处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（结果精确到小数点后两位）.小结：1. 类比法：就是通过观察、分析找到问题A 与问题B 的类似之处，将问题A 转化为问题B （或B 转化为A ）借用解决问题B （或A ）的方法、方式来理解或解决问题A 。

五年级奥数题及答案-类比法
导语：今天小编为同学们带来的这道题比较少见，但是一样很重要，类比法是运用类比推理解答问题的一种方法。

有一类小于200的自然数，每一个数的各位数字之和为奇数，而且都是两个两位数的乘积（例如：144=12*12）.那么这一类自然数中，第三大的是多少？
答案与解析：根据条件，可以猜测这些两位数的是十位数只可能是1，而且两位数中不能出现11，因为11*11=121，11*12=132，11*13=143......乘积的每位数字之和均为偶数，不合题意，以求得正确的解答。

10*10=100 10*12=120
10*13=130（不合题意） 10*14=140
10*15=150（不合题意） 10*16=160
下面把不符合题意的情况，不再列举出来。

12*12=144，12*14=168
12*15=180，13*14=182
13*15=195。

把以上符合题意的乘积按从大到小的顺序排列：195、182、180、168、160、144、120、100。

第三大的数是180.
答：满足题设条件的自然数中，第三大的数是180.。