与数列有关的不等式的常见证明方法

一类与数列有关的不等式的证明方法

四川师大附中 黄光鑫

一、利用二项式定理

【例1】已知数列{}n a 的通项公式为1

1()2

n n a n -=⨯，求证：当3n ≥时，

1232

...1

n n a a a n ++++≥

+。 证明：用错位相减法易求得：

12242432224

...4,4221122424,222222

n n n n

n

n n n n n n a a a n n n n n n ++++++++=-

--=-++++=-++所以只需比较与的大小。

112(11)=1...22n n n n n n C C C n =+++++≥+。∴

24242424

0222222

n n

n n n n n n ++++≤∴-≥++， 故∴24324021n

n n n ++--≥+，即当3n ≥时，1232

...1

n n a a a n ++++≥+。 点评：本题通过二项式定理的展开式，进行简单的放缩巧妙的证明了不等式。 二、利用放缩法

要注意放缩的技巧和放缩的适度。常见的技巧有： 比如：

①添加或舍去一些项，如：a a >+12

，n n n >+)1(，22

131242a a ⎛

⎫⎛⎫++>+ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭；

②将分子或分母放大（或缩小）；

③真分数的性质：“若0a b <<，0m >，则

a a m

b b m

+<

+”； ④利用基本不等式，如：22

lg3lg5lg16lg3lg5(

)()lg 422

+⋅<<=；

2

)

1()1(+

+<

+n n n n ；⑤利用函数的单调性；

⑥利用函数的有界性：如：sin x ≤

1()x R

∈；2

x x -≥1

4

()x R ∈；20x >()x R ∈；

⑦利用常用结论：

2=>=()*

,1k N k ∈>

2=<=()*

,1k N k ∈>

Ⅱ、

k k k k k 111)1(112--=-< ； 111)1(112

+-=+>k k k k k （程度大） Ⅲ、

)1

111(21)1)(1(111122+--=+-=-

11

(1)!!(1)!

n n n n =-++；

⑧绝对值不等式：a b -≤a b ±≤a b +；⑨应用二项式定理。

【例2】数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意的*

n N ∈，总有2

,,n n n a S a 成等差数列，又记2123

1

n n n b a a ++=。（1）求数列{}n a 的通项公式：（2）求数列{}n b 的前n 项

和n T ，并求使150

n m

T >

对都成立的最大正整数m 的值。 2

2111221111111(1)2......(1)2 (2)

(2)(1):2()(1)011.

1111

(2)()(21)(23)2212311111(2)64661015150n n n n n n n n n n n

n n n n n n n n n S a a S a a a a a a a a a a a a a a n b n n n n m

T m n +++++++++=+=+-=-+-∴+--=∴-==∴==

=-∴++++=-≥-=>∴<+解：易求得：a 易求得：

10,9

m =。

点评：

本题是先拆项求和再放缩。这是常规思路。

【例3】若2

(1),(1),n n a n n b n =+=+求证：

11221115

(12)

n n a b a b a b +++<+++。 证明：

1112211

,6(1)(21)

11111111()...2(1)216

111115()2216412

n n n a b a b n n n n n n a b a b a b n =≥=

++++<

=-∴+++<

++++++-<+=+1n 11当n=1时,当n 2时, 点评：

本题是先放缩再求和，求和之后再放缩。难度较大。

记住一些常用的结论对解题非常有帮助, 用导数的方法容易证明：(1)当0x >时，

ln(1)x x +≤;(2) 当0x >时，2ln(1)x x +≤;(3) 当(0,1)x ∈时，1ln 1x x

<-. (4) 当2x ≥时，2ln 8

x x

x +<.

比如1：

【例4】设45

,12

n n n n c S n n ++=

++为数列{}n c 的前n 项和，证明：6(1ln )n S n n <++.

答案：。 236

161,32n n c n n n +=+⨯<+++

1116(1......),23n S n n ∴<+⨯++++用导数的方法容易证明：当(0,1)x ∈时，1

ln

1x x

<-；11ln ln

111n

n n n

∴<=--，从而1116(1......)232346(1ln ln ln ......ln )6(1ln )

1231

n S n n

n

n n n n ∴<+⨯+

+++<+⨯+++++=+⨯+-。

点评：用导数的方法容易证明：当(0,1)x ∈时，1

ln 1x x

<-； 比如2：

【例5】已知1

n n

a n =

+，求证：12...ln 2ln(2).n a a a n n +++<+-+ 提示： 当0x >时，用导数的方法容易证明：ln(1)x x +≤。

12111...(1)(1)...(1)11211

111342(...)(ln ln ln )2312312ln ln 2ln(2).

2n a a a n n n n n n n n n n +++=-

+-++-++++=-+++<-++=+++-=+-+ (注意：利用第（1）问的结论)

比如3：

【例6】已知数列{n a }中，12-=n

n a ，求证：

)(3

21...11*132N n a a a n ∈<++++. 证明：12-=n

n a ，

),2(121)121(212211211*1

1N n n a a n n n n n ∈≥⋅=-=-<-=--，