函数的奇偶性典型例题
【知识要点】
一、关于函数的奇偶性的定义
定义说明：对于函数的定义域内任意一个：
⑴ 是偶函数；⑵ 奇函数；
★函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的 条件。
二、函数的奇偶性的几个性质
①、对称性：奇（偶）函数的定义域关于 对称；
②、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内 一个都
必须成立；
③、可逆性： 是偶函数；奇函数；
④、等价性：；
⑤、奇函数的图像关于 对称，偶函数的图像关于 对称；
⑥、根据函数奇偶性可将函数分类为四类：
。
三、函数的奇偶性的判断
判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：
第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查与的关系，判断步骤如
下：
练1、判断下列各函数的奇偶性
⑴、 ⑵、
⑶、 ⑷、
⑸、 ⑹、
第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个
函数的定义域交集不为空集）：①两个奇函数的代数和是 函
数；②两个偶函数的和是 函数；③一个奇函数与一个偶函数的
和是 函数；④两个奇函数的积为 函数；⑤两个偶
函数的积为 函数；⑥一个奇函数与一个偶函数的积是
函数。
四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。（判断下列命题是否正
确，并说明理由。）
命题1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要
不充分条件。（ ）
命题2 两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶
函数。 （ ）
命题3 若函数f(x)的定义域关于原点对称，则函数f(x)+f(-x)是偶函
数，函数f(x)-f(-x)
是奇函数。 （ ）
命题4 任何一个定义在R上的函数都可以表示为一个奇函数与一个偶
函数的和 （ ）
命题5 已知函数f(x)是奇函数，且f(0)有定义，则f(0)=0。 （ ）
命题6 已知f(x)是奇函数或偶函数，方程f(x)=0有实根，那么方程f(x)=0的所有实根之和为零；若f(x)是定义在实数集上的奇函数，则方程f(x)=0有奇数个实根。 （ ）
【关于函数奇偶性的简单应用】
一、利用定义证明或判断函数的奇偶性
例1：判断下列函数的奇偶性。
（1） (2)
二、利用奇偶性求函数值
例2：（1）已知且，那么_________
（2）已知且，那么_________
（3）已知且，那么___________
三、利用奇偶性求解析式
例3：（1）已知为上的奇函数，当时，，求的解析式？
（2）已知为偶函数，，求的解
析式？
（3）已知函数为偶函数， 为奇函数，它们的定义域均为，
且，求的解析式？
四、利用奇偶性求参数的值
例4：（1）已知函数在区间上是偶函数，则___________；___________
（2）若是奇函数，则_______
（3）已知函数，若为奇函数，则____________
五、利用图像解题
例5：设奇函数的定义域为。若当时,的图像如图,则不等式（1）的解是 （2）的解是
（2）的解是
六、利用奇偶性比较大小
例6：（1）已知奇函数在区间上是增函数且最小值为5，那么函数在区
间上是（）
A.增函数且最小值为－5 B．增函数且最大值为－5
C．减函数且最小值为－5 D．减函数且最大值为－5
（2）已知偶函数在上为减函数，比较，，的大小。
函数奇偶性习题精选
一、选择题
1．若是奇函数，则其图象关于（）
A．轴对称 B．轴对称 C．原点对称 D．直线对称
2．若函数是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数图象上的是（）A．B．C．D．
3．下列函数中为偶函数的是（）
A． B． C． D．
4. 如果奇函数在上是增函数，且最小值是5，那么在上是（ ）
A．增函数，最小值是-5 B．增函数，最大值是-5
C．减函数，最小值是-5 D．减函数，最大值是-5
5. 已知函数是奇函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6.已知偶函数在上单调递增，则下列关系式成立的是( )
A． B．
C． D．
7.下列说法错误的是（）
A.奇函数的图像关于原点对称
B. 偶函数的图像关于y轴对称
C.定义在R上的奇函数满足
D.定义在R上的偶函数满足
8.下列函数为偶函数的是（）
A. B. C. D.
9.已知函数为偶函数，那么是（）
A. 奇函数
B. 偶函数
C. 即奇又偶函数
D.非奇非偶函数
10.若偶函数在上是增函数，则与的大小关系是（）
A. B. C. D.
11．设是定义在上的偶函数,且在上是增函数,则与
）的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．与的取值无关若函数
二、填空题
1.若为奇函数，则b= .
2.若定义在区间上的函数为偶函数，则a= .
3．若函数是奇函数，，则的值为____________ .
4．若函数是偶函数，且，则与的大小关系为
__________________________.
5．已知是定义在上的奇函数，当时，的图象如右图所示，那么f (x)的值域是.
7．已知分段函数是奇函数，当时的解析式为，则这个函数在区间上的解析式为．
8.若是偶函数，是奇函数，且，则=____________
= .
9.若是偶函数，则从小到大的顺序是 .
10、函数
在
上是减函数,求
的取值集合。
11、若函数f(x)=ax,有f(5)=3则f(－5)= 。
三、解答题
1. 判断下列函数是否具有奇偶性：
(1)； (2) ；
(3)； (4) ；
(5) . （6）
（7） (8)
(9) (10)
(11)
