江苏省连云港市东海县高级中学2014-2015学年高三10月月考试卷
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江苏省连云港市东海县高级中学2014-2015学年高三10月月考试卷一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上．1. 已知集合{}41，=A ,{}a B ,1,0=，{}4,1,0=⋃B A ，则a = ▲ ．2. 若9=z z （其中z 表示复数z 的共轭复数），则复数z 的模为 ▲ ．3. 已知向量)2,1(=，)2,3(-=，则⋅+)(＝ ▲ ．4. 若命题“,R x ∈∃使得012≤++ax ax ”为假命题，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 5. 已知βα,的终边在第一象限，则“βα>”是“βαsin sin >”的 ▲ 条件． 6. 函数y ＝x e x 的最小值是 ▲ ．7. 已知数列{}n a 是首项为1a ，公差为(02)d d π<<的等差数列，若数列{cos }n a 是等比数列，则其公比为 ▲ ．8. 设函数x x x f sin 1)(-=在0x x =处取极值，则)2cos 1)(1(020x x ++= ▲ ．9. 已知函数()R a xax y ∈+=2在1=x 处的切线与直线012=+-y x 平行，且此切线也是圆0)13(22=+-++y m mx y x 的切线，则m = ▲ ．10. 在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知sin sin sin sin cos 21A B B C B ++=，若23C π=，则ab= ▲ ． 11. 已知函数1)12(31)(223+-+-++=a a x a x x x f 若函数)(x f 在(]31，上存在唯一的极值点．则实数a 的取值范围为 ▲ ．12. 设函数)102)(36sin(2)(<<-+=x x x f ππ的图像与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数)(x f 的图像交于另外两点C B ,.O 是坐标原点，则OA OC OB ∙+)(= ▲ ．13. 在三角形ABC 中，已知AB=3，A=0120,ABC ∆，则BC BA 的值= ▲ ． 14. 无穷数列{}n a 中，12,,,m a a a 是首项为10，公差为2-的等差数列；122,,,m m m a a a ++是首项为12，公比为12的等比数列（其中*3,m m ∈N ≥），并且对于任意的*n ∈N ，都有2n m n a a +=成立.记数列{}n a 的前n 项和为n S ,则使得12852013m S +≥*3,)m m ∈(N ≥的m 的取值集合为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （本题满分14分）在锐角ABC ∆中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量()()3,sin 2C A +=，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12cos 2,2cos 2B B n ，且向量n m ,共线.（1）求角B 的大小；（2）如果1b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值.16.（本题满分14分）已知函数)()14(log )(4R ∈++=k kx x f x是偶函数. (1)求k 的值;(2)设44()log (2)3xg x a a =⋅-,若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点,求实数a 的取值范围.A BM 已知各项均为整数的数列{}n a 满足31a =-,74a =,前6项依次成等差数列,从第5项起依次成等比数列. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求出所有的正整数m ,使得1212m m m m m m a a a a a a ++++++=.18.（本题满分16分）为丰富农村业余文化生活，决定在N B A ,,三个村子的中间地带建造文化中心。
通过测量，发现三个村子分别位于矩形ABCD 的两个顶点B A ,和以边AB 的中心M 为圆心,以MC 长为半径的圆弧的中心N 处，且km BC km AB 24,8==。
经协商，文化服务中心拟建在与B A ,等距离的O 处，并建造三条道路NO BO AO ,,与各村通达。
若道路建设成本BO AO ,段为每公里a 2万元，NO 段为每公里a 万元，建设总费用为w 万元。
（1）若三条道路建设的费用相同，求该文化中心离N 村的距离；（2）若建设总费用最少，求该文化中心离N 村的距离.已知数列{}n a 满足121,0a a a ==>，数列{}n b 满足1n n n b a a += （1）若{}n a 为等比数列，求{}n b 的前n 项的和n s ； （2）若3n n b =，求数列{}n a 的通项公式； （3）若2n b n =+，求证：121113na a a +++>.20.（本题满分16分）已知函数3()f x x x =- （1）求函数()y f x =的零点的个数；（2）令2()ln g x x =，若函数()y g x =在(0，1e )内有极值，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，对任意(1,),(0,1)t s ∈+∞∈，求证：1()()2.g t g s e e->+-江苏省连云港市东海县高级中学2014-2015学年高三10月月考试卷一、填空题：1. 42. 3 3．14 4．[)40， 5．既不充分也不必要 6．－1e 7．1- 8．29．34-10．35 11．[)1-7-， 12．32 13.332 14. {}615. 解：（1）由向量,m n →→共线有： 22sin()2cos 12,2B A C B ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭即tan 2B = 又02B π<<，所以02B π<<，则2B =3π，即6B π=（2）由余弦定理得2222cos ,b a c ac B =+-则221(2a c ac =+≥，所以2ac ≤当且仅当a c =时等号成立所以11sin (224ABC S ac B ∆=≤+。
16. (1)由函数).()(,)(x f x f x f -=可知是偶函数 kx kx x x -+=++∴-)14(log )14(log 44,kx x x 21414log 4-=++-即, ,24log 4kx x -= .2恒成立对一切R x kx x ∈-=∴ 21-=∴k(2)函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点,即方程4414log (41)log (2)23xx x a a +-=⋅-有且只有一个实根, 化简得: 方程142223xxx a a +=⋅-有且只有一个实根 令20xt =>,则方程24(1)103a t at ---=有且只有一个正根,①314a t =⇒=-,不合题意;②若304a ∆=⇒=或3-； 若3,24a t ==-则,不合题意；若132a t =-⇒= ,符合题意③若方程一个正根与一个负根,即1011a a -<⇒>- 综上:实数a 的取值范围是{}3(1,)-⋃+∞17. 解:(1) 设数列前6项的公差为d ,则512a d =-+,613a d =-+(d 为整数)又5a ,6a ,7a 成等比数列,所以2(31)4(21)d d -=-, 即291450d d -+=,得1d =.当6n ≤ 时,4n a n =-, 所以51a =,62a =,数列从第5 项起构成的等比数列的公比为2,所以,当5n ≥时,52n n a -=. 故54,(4)2,(5)n n n n a n --≤⎧=⎨≥⎩(2)由(1)知,数列{}n a 为: -3,-2,-1,0,1,2,4,8,16,当1m =时等式成立,即3216(3)(2)(1)---=-=-⨯-⨯-; 当3m =时等式成立,即1010(1)01-++==-⨯⨯; 当24m =或时等式不成立; 当m ≥5 时,535122(21)72m m m m m a a a --++++=-=⨯,312122m m m m a a a -++=若1212m m m m m m a a a a a a ++++++=,则5312722m m --⨯=,所以2727m -=5m ≥,2728m -∴≥,从而方程2727m -=无解，所以1212m m m m m m a a a a a a ++++++≠ .故所求1m=或3m =.---------------------------------------14分18.解：（1）不妨设θ=∠AOB ,依题意，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,0πθ，，且，34=MC 由.tan 434,cos 434θθ-====NO BO AO …………………………3分 若三条道路建设的费用相同，则a a )tan 434(2cos 4θθ-=⨯ 所以,22)3sin(=-θπ所以12πθ=。
……………………5分由二倍角的正切公式得，3212tantan -==πθ即838-=NO …………………………6分答：该文化中心离N 村的距离为.)838(km -…………………………8分 （2）总费用⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-+⨯=3,0),tan 434(cos 242πθθθωa a 即a a 34cos sin 428+-=θθω…………………………10分令42sin ,0cos 4sin 282==-='θθθω得a …………………………12分当，＞时，＜，当＜，023sin 420242sin 0ωθωθ'≤'≤≤ 所以当ωθ时，42sin =有最小值，这时，77434,77tan -==NO θ …………………………14分 答：该文化中心离N 村的距离为.)77434(km - …………………………16分 19. （1）1121,n n n n n n a a b a a a ---=∴== ……………………….……….…………(2分）当a=1时1n b =，则n s n = ……………………………………………………………(3分）当1a ≠时，22(1)1n n a a s a -=- ………………………………………………………….…(5分）（2）13n n n a a +=113(2,)n n n a a n n N --∴=≥∈113(2,)n n a n n N a +-∴=≥∈ ………………………………………………………………(7分） 当*21,()n k k N =+∈时，*11222223()3=a3k k k k ka k N a a a --+∴=∈∴= 当*2,()n k k N =∈时，*121212-13()3k k k k a k N a a -+-∴=∈∴=12223(=21)3(2)n n n n k a a n k --⎧-⎪∴=⎨⎪=⎩…………………(11分） （3）12,n n a a n +=+①，121,3a a =∴=11n n a a n -∴=+(2)n ≥②①－②得11111)1(2)n n n n n na a a a a n a +-+--=∴-=≥（ 23111na a a ∴+++314211()()()n n a a a a a a +-=-+-++-=112n n a a a a ++--1231111n a a a a ∴++++=112111+3n n n n a a a a a a a +++--=+- 11222n n n n a a a a n +++>=+1231111na a a a ∴++++＞3．…….(16分) 20.(1)的一个零点是)(00)0(x f y x f ==∴= . …………………1分xx x x x x x f x 11)(),11()(022--=--=>ϕ设时，当 ）上单调递增，）在（∞+∴>+='0(,0212)(3x xx x ϕϕ）上有唯一零点在（，2,1)x (.0213)2(01)1(ϕϕϕ∴>-=<-= [)个零点上有且仅有，在20)(y ∞+=∴x f (4)（2）x x a x x x x x ax x x x ax ax x ln 1ln )1)(1()1(ln )(g 32+-=+-++=+-+=定义域为），（）（∞+⋃11,022222)1(1)2()1(12)1(1)(g -++-=--+-=--='∴x x x a x x x ax x x x a x x ……………………5 221()(2)1,()(0)h()(2)10eh x x a x y g x x x a x =-++=∴=-++=设要使在，上有极值， 212x ,,(2)4004x a a a ∴∆=+->∴><-有两个不同的实根或 (8)21211e 10,1x ,10)e 10(x e x x e x <<<<∴=<<又因为间，不妨设，而且一根在2111h(0)1,h()0,(210e ea e =∴<-++<只需即）12a e e∴>+- (10)（3）22(1,)g ()0,()x x x g x '∈<由（）知， 时，则单调递减；2g()x x x ∈+∞（）时，单调递增 22g()1()t 1g()()x g x t g x ∴+∞∀∈+∞≥在（，）上有最小值，即（，），都有 (11)单调递增又当)(0)(),,0(1x g x g x x ∴>'∈； 单调递减当)(,0)(),,(1x g x g x x ∴<'+∞∈ 11g()01)g(),s (0,1),g()()x x s g x ∴∀∈≤在（，上有最大值即对都有 (12)),e ),1,0(,1,2212121+∞∈∈∴=+=+（又x ex x x a x x1ln 1ln )()()()(g 112212----+=-≥-∴x ax x a x x g x g s g t11l 1212---+=x a x a x x n)(1ln 22222e x x x x >-+=………………13 xx x x x x x k 1ln 21ln )(2-+=-+=设0112)(k 2>++='∴xx xee e k x k x k 12)()(),e )(-+=>∴+∞∴上单调递增，在（21)()(++>-∴ee s g t g (16)。
