2021届江西玉山县一中高三上月考二数学(理)试卷

2021年江西玉山县一中高三上月考二数学（理）试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{|1}A x x =>，集合{2}B a =+，若A B =∅，则实数a 的取值范围是（ ） A.(,1]-∞- B.(,1]-∞ C.[1,)-+∞ D.[1,)+∞ 2．已知函数定义域是，则的定义域（ ）A ．B ．C ．D ．3．“1a >”是“函数()cos f x ax x =+在(),-∞+∞上单调递增”的（ ）） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．下列四个图中,函数10ln 11x y x +=+的图象可能是（ ）5．若幂函数a mx x f =)(的图像经过点)21,41(A ，则它在点A 处的切线方程是（ ）A.02=-y xB.02=+y xC.0144=+-y xD.0144=++y x 6．函数3()ln(1)f x x x=+-的一个零点所在的区间是（ ） A.（0,1） B.（1,2） C.（2,3） D.（3,4）7．已知定义在R 上的偶函数，()f x 在0x ≥时，()ln(1)xf x e x =++，若()()1f a f a <-，则a 的取值范围是（ ）A.(),1-∞B.1(,)2-∞C.1(,1)2D.()1,+∞8．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（ ）A.4B.5C.6D.79．设函数2660()330x x x f x x x ⎧-+≥⎪=⎨+<⎪⎩ ，若互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是（ ）A.(4,6)-B.(2,6)-C.(]4,6 D.()46，10．已知函数()y f x =是定义在R 上的增函数，函数(1)=-y f x 的图像关于点(1,0)对称．若对任意的,x y R ∈，不等式22(621)(8)0f x x f y y -++-<恒成立．则当3x >时，22x y +的取值范围是（ ）A ．(3,7)B ．(9,25)C ．(13,49)D ．(9,49)11．设奇函数()x f 在[]1,1-上是增函数，且()11-=-f ，当[]1,1-∈a 时，()122+-≤at t x f 对所有的[]1,1-∈x 恒成立，则t 的取值范围是（ ）A.22t -≤≤B.2t ≥或2t ≤-C.2t >或2t <-或0t =D.2t ≥或2t ≤-或0t =12．已知函数)(x f 满足)1(11)(+=+x f x f ，当]1,0[∈x 时x x f =)(，函数m mx x f x g --=)()(在]1,1(-内有2个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A.]21,0( B.]21,1(-C.),21[+∞D.]21,(-∞二、填空题13．若函数()xxk k x f 212⋅+-=在其定义域上为奇函数，则实数=k . 14．已知命题p :关于x 的方程220x mx --=在[0,1]x ∈有解；命题221:()log (2)2q f x x mx =-+在[1,)x ∈+∞单调递增；若“p ⌝”为真命题，“p q ∨”是真命题，则实数m 的取值范围为 .15．已知函数)0(ln )(>-+=a n x xax f ，其中20(2sin cos )22t t n dt π=⎰。

若函数)(x f 在定义域内有零点，则实数a 的取值范围为 .16．对于函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个命题：①任取[)120,x x ∈+∞、，都有12()()2f x f x -≤恒成立； ②()2(2)f x kf x k =+*()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立；③函数()ln(1)y f x x =--有3个零点； ④对任意0x >，不等式2()f x x≤恒成立. 则其中所有真命题的序号是 .三、解答题17．已知集合}2733|{≤≤=xx A ，}1log |{B 2>=x x .（1）分别求B A ，()R C B A ；（2）已知集合{}a x x C <<=1，若A C ⊆，求实数a 的取值范围. 18．已知函数()cos (sin )f x x x x =，x ∈R .（1）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）设0α>，若函数()()g x f x α=+为奇函数，求α的最小值.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且60DAB ∠=︒.点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F .（1）求证：AB ∥EF ；（2）若PA PD AD ==，且平面PAD ⊥平面ABCD ，求平面PAF 与平面AFE 所成的锐二面角的余弦值.20．已知函数()ln 1()f x a x x a R =-+∈. （1）求()f x 的单调区间；（2）若()0f x ≤在(0,)+∞上恒成立，求所有实数a 的值；21．已知椭圆C :的离心率为，点31,A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与l 相交两点1P ， 2P （两点均不在坐标轴上），且使得直线1OP ， 2OP 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由. 22．已知函数2()1f x x =-，函数()2ln g x t x =，其中1t ≤.（1）如果函数()f x 与()g x 在1x =处的切线均为l ，求切线l 的方程及t 的值； （2）如果曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点，求t 的取值范围.参考答案1．A 【解析】试题分析：1,12,},2{},1|{-≤≤+=+=>=a a B A a B x x A 则φ ,故选A. 考点：集合间的关系. 2．D 【详解】的定义域为，所以，所以中，故选D.【点晴】复合函数的定义域求法：（1）已知的定义域，求的定义域：由复合函数的定义可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之内，因此可得其方法为：若的定义域为，求出中的解的范围，即为的定义域；（2）已知复合函数的定义域，求的定义域：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域.3．A 【解析】 【分析】求出函数()f x 的导数，利用函数单调性和导数之间的关系求出a 的取值范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】()'sin f x a x =-，当1a >时， ()'0f x >恒成立，即()f x 递增，但当1a =时，()'0f x ≥恒成立， ()f x 也递增，因此题中应是“充分不必要条件”. 故选A） 【点睛】充分条件、必要条件的判定主要有以下几种方法：①定义法：若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；②构造命题法：“若p ，则q ”为真命题，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； ③数集转化法：p ：x A ∈，q ：x B ∈，若A B ⊆，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件. 4．C 【解析】试题分析：当0>x 时，有01|1|ln 10,011,1|1|>++=∴>>+>+x x x y x x ，故排除A ，B ，又∵当2-<x 时，有01|1|ln 10,011,1|1|<++=∴<-<+>+x x y x x ，故排除D ，故选C.考点：函数的图象. 5．C 【解析】试题分析：由amx x f =)(为幂函数，故1=m ；因为点)21,41(A 在幂函数)(x f 上，代入可得：21=a .则xx f 21)('=，故)(x f 在点)21,41(A 处的切线的斜率为1)41('=f .根据直线的点斜式方程可知切线方程为：4121-=-x y ，化简可得：0144=+-y x .故选C. 考点：导数的概念及几何意义. 6．B 【解析】试题分析：由于013ln 22)12ln()2(,012)11ln()1(>-=-+=<-+=f f ，所以函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是)2,1(，故选B. 考点：函数零点存在定理；2.对数函数的性质. 7．B 【解析】试题分析：0>x 时,)1ln(,),1ln()(+++=x e x e x f xx在),0[+∞上都是增函数,)(x f ∴在),0[+∞上单调递增;由已知条件知|)1(|||)(|-<a f a f 得|1|||-<a a ；∴计算得出21<a .a ∴的取值范围是)21,(-∞.故选B.考点：利用奇偶性，单调性解不等式. 8．C【解析】试题分析：初始条件：3,2==x a ；第一次循环：338,823<==y ，所以413=+=x ，继续循环；第二次循环：4316,1624<==y ，所以514=+=x ，继续循环；第三次循环：5332,3225<==y ，所以615=+=x ，继续循环；第四次循环：6364,6426>==y ，跳出循环，输出x 的值为6.故本题正确答案为C. 考点：程序框图. 9．A 【解析】试题分析：∵函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,330,66)(2x x x x x x f ，∴根据二次函数性质得出632=+x x ，利用函数43+=x y ，不妨设221x x x <<得出,0≥x 时3-min =y ,0<x 时，令333-=+x ，得)6,4(),0,2(,23211-∈++∴-∈∴-=x x x x x ，故选A. 考点：分段函数，函数零点，数形结合. 10．C 【解析】解：）函数y=f （x -1）的图象关于点（1，0）对称， ）函数y=f （x ）的图象关于点（0，0）对称， 即函数y=f （x ）为奇函数，则f （-x ）=-f （x ），又）f （x ）是定义在R 上的增函数且f （x 2-6x+21）+f （y 2-8y ）＜0恒成立 ）（x 2-6x+21）＜-f （y 2-8y ）=f （8y -y 2）恒成立， ）x 2-6x+21＜8y -y 2，）（x -3）2+（y -4）2＜4恒成立，设M （x ，y ），则当x ＞3时，M 表示以（3，4）为圆心2为半径的右半圆内的任意一点，则表示区域内的点和原点的距离．由下图可知：d 的最小值是OB=OC+CB ，5+2=7，当x ＞3时，x 2+y 2的范围为（13，49）故答案为（13，49） 11．D 【解析】试题分析：根据题意有12)(2max +-≤at t x f ，根据奇函数的性质，可知函数的最大值为1)1(=f ，所以有022≥-at t 对于]1,1[-∈a 恒成立，所以有02)(2≥+-=t ta a g 在]1,1[-∈a 恒成立，即⎪⎩⎪⎨⎧≥+-=≥+=-02)1(02)1(22t t g t t g ，解得2≥t 或2-≤t 或0=t ，故选D. 考点：奇函数的单调性；函数恒成立问题.【思路点晴】数学中有的多元参数问题,若按常规思路确定主元,会导致问题复杂化,若能针对题目的结构特征,改变思考的角度,选择某参变量为主元,反客为主,往往可使问题化难为易,迅速获解.本题中02)(2≥+-=t ta a g 在]1,1[-∈a 恒成立即可以把a 看作主元，那么就是一次直线型的函数，只需线段的两个端点在x 轴或其上方即可保证恒大于等于0，即得⎪⎩⎪⎨⎧≥+-=≥+=-02)1(02)1(22t t g t t g . 12．A 【解析】试题分析：当]0,1(-∈x 时，11111)1(1)(],1,0(1+-=-+=-+=∈+x xx x f x f x ，在同一个坐标系内画出m mx y x f y +==),(的图象，动直线m mx y +=过定点），（01-，再过），（11时，斜率21=m ，由图象可知当210≤<m 时，两个图象有两个不同的交点，从而m mx x f x g --=)()(有两个不同的零点，故答案为A.考点：函数零点的个数及意义.13．1±=k 【解析】试题分析： 函数xxk k x f 212)(•+-=在定义域上为奇函数，)()(x f x f -=-∴，即xx x x k k k k 212212•+--=•+-，化简可得 01,1)2)(1(2222=-∴-=-k k k x ，1±=∴k . 考点：函数的奇偶性. 14．)43,1(- 【解析】试题分析：命题p ：令2)(2--=mx x x f ，则2)0(-=f ，01)1(>--=∴m f ，解得1-≤m .故命题p ：1-≤m ，1:->⌝∴m p ，43021211:<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤m m m q ，又由题意可得p 假q 真，431<<-∴m ，即实数m 的取值范围为)43,1(-. 考点：1.一元二次方程根的分布；2.对数函数的性质.【方法点晴】p 命题考察了二次函数根的分布问题，这属于常考题型，一般有两种解决方法，一个是讨论二次函数的图象，一个是变量分离，此题两种方法都适用，若用分离，则可以转化为x x m 2-=在]1,0(内有解（因为0=x 不满足方程，所以方程两边可以同除以x ），进而作出xx y 2-=在]1,0(的图象即可得到m 的范围.命题q 也是一个易错题型，在考虑单调性的同时还需注意定义域，即02122>+-mx x 在),1[+∞上恒成立.15．]1,0( 【解析】试题分析：⎰=20)2cos 2sin 2(πdt tt n ，1|cos sin 2020=-==∴⎰ππtdt n ，从而)0(1ln )(>-+=a x x a x f ，函数的定义域为),0(+∞，22'1-)(xax x x a x f -=+=∴，令a x x f =∴=,0)('，当),0(a x ∈时，0)('<x f ，当),(+∞∈a x 时，0)('>x f ，a x =∴时，函数)(x f 取得最小值a ln ，函数)(x f 在定义域内有零点0ln ≤∴a ，10≤<∴a ，∴函数)(x f 在定义域内有零点时，a 的取值范围是]1,0(，故答案为：]1,0(.考点：微积分基本定理，导数的运用，考查函数的零点.【方法点晴】本题在考察求定积分时用到了先化简再求值；本题还考察了学生函数零点问题，)0(1ln )(>-+=a x x a x f 在定义域有零点，即为)0(01ln >=-+a x xa在），（∞+0有解，一般有两种做法：一个是含参讨论，对)(x f 求导，利用单调性说明图象解决零点问题，另一个是变量分离，x x x a ln -=在定义域有解，令x x x x g ln )(-=，求导研究)(x g 的图象，即可找到a 的取值范围. 16．①③④ 【解析】试题分析：作)(x f 的图象如图所示，（1） )(x f 的最大值为1,最小值为1-,∴任取),0[,21+∞∈x x ,都有2|)()(|21≤-x f x f 恒成立,正确；（2）)821(8)621(8)421(4)221(2)21(+≠+=+=+=f f f f f ,故不正确；（3）如图所示,函数)1ln()(--=x x f y 有3个零点；（4）对任意0>x ,不等式xkx f ≤)(恒成立,则实数k 的取值范围是),89(+∞,结合图象,可得（4）正确.因此，本题正确答案是: ①③④.考点：函数的图象，函数的零点，数形结合.17．（1）}32|{≤<=x x B A ，}3|{≤=x x A B C R ；（2）3≤a . 【解析】试题分析：（1）解指数不等式我们可以求出集合A ,解对数不等式,我们可以求集合B ,再由集合补集的运算规则,求出B C R ,进而由集合交集和并集的运算法则,即可求出A B C B A R )(,；（2）由（1）中集合A ,结合集合}1|{a x x C <<=,我们分φ=C 和φ≠C 两种情况,分别求出对应的实数a 的取值,最后综合讨论结果,即可得到答案.试题解析：（1）2733≤≤x即31333≤≤x，}31|{,31≤≤=∴≤≤∴x x A x ，1log 2>x ，即}2|{,2,2log log 22>=∴>∴>x x B x x ，}32|{≤<=∴x x B A ； }3|{},2|{≤=≤=x x A B C x x B C R R ；（2）由（1）知}31|{≤≤=x x A ，当A C ⊆ 当C 为空集时，1≤a ，当C 为非空集合时，可得 31≤<a 综上所述3≤a .考点：解对数不等式；集合间的关系.18．（1）最小正周期π=T ，单调递增区间为Z k k k ∈+-],12,125[ππππ；（2）α的最小值为3π. 【解析】试题分析：（1）利用三角函数的诱导公式将)(x f 化简为)(x f )32sin(π+=x ，即可解得到)(x f 的最小正周期，及单调递增区间；（2）根据（1）得到函数)(x g 的解析式，因为)(x g 是奇函数，得到Z k k ∈-=,62ππα，从而求解α的最小值. 试题解析：（1）解：)1cos 2(23cos sin 23)cos 3(sin cos )(2-+=-+=x x x x x x x f )32sin(2cos 232sin 21π+=+=x x x ，所以函数)(x f 的最小正周期ππ==22T . 由Z k k x k ∈+≤+≤-,223222πππππ， 得12125ππππ+≤≤-k x k ， 所以函数)(x f 的单调递增区间为Z k k k ∈+-],12,125[ππππ. （注：或者写成单调递增区间为Z k k k ∈+-),12,125(ππππ.）（2）解：由题意，得)322sin()()(παα++=+=x x f x g ， 因为函数)(x g 为奇函数，且R x ∈，所以0)0(=g ，即0)32sin(=+πα， 所以Z k k ∈=+,32ππα，解得Z k k ∈-=,62ππα，验证知其符合题意. 又因为0>α， 所以α的最小值为3π.考点：三角函数的图象和性质.19．（1）证明见解析；（2. 【解析】试题分析：对于（1），先根据菱形的性质得到CD AB //，进而得到//AB 面PCD ，接下来根据F E B A ,,,四点共面，且平面 ABEF 平面EF PCD =，即可得到结论；对于（2），取AD 中点G ，连接GB PG ,，根据等腰三角形的性质以及线面垂直的知识得到GB PG ⊥，进而根据菱形的性质得到GB AD ⊥，建立空间直角坐标系xyz G -，利用向量运算解决. 试题解析：（1）证明：因为底面ABCD 是菱形，所以CD AB //. 又因为⊄AB 面PCD ，⊂CD 面PCD ，所以//AB 面PCD . 又因为F E B A ,,,四点共面，且平面 ABEF 平面EF PCD =， 所以EF AB //.（2）取AD 中点G ，连接GB PG ,.因为PD PA =，所以AD PG ⊥.又因为平面⊥PAD 平面ABCD ，且平面 PAD 平面AD ABCD =， 所以⊥PG 平面ABCD .所以GB PG ⊥.在菱形ABCD 中，因为G DAB AD AB ,60, =∠=是AD 中点，所以GB AD ⊥.如图，建立空间直角坐标系xyz G -.设a AD PD PA 2===，则)3,0,0(),0,0,(),0,3,2(),0,3,0(),0,0,(),0,0,0(a P a D a a C a B a A G --=.又因为EF AB //，点E 是棱PC 中点，所以点F 是棱PD 中点.所以)23,0,2(),23,23,(a a F a a a E --.所以)0,23,2(),23,0,23(a a EF a a AF -==.设平面AFE 的法向量为),,(z y x n =，则有⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00EF n n 所以⎪⎩⎪⎨⎧==x y xz 333令3=x ，则平面AFE 的一个法向量为)33,3,3(=n .因为⊥BG 平面PAD ，所以)0,3,0(a GB =是平面PAF 的一个法向量. 因为13133393||||,cos =⋅=⋅=〉〈aa GB n GB n ， 所以平面PAF 与平面AFE考点：线面，面面的位置关系.20．（1）当0a ≤,)(x f 减区间为),0(+∞，当0>a 时,)(x f 递增区间为),0(a ，递减区间为),(+∞a ；（2）1=a . 【解析】试题分析：（1）求导,利用导数得出函数单调性；（2）对a 进行分类:当0≤a 时, )(x f 递减,又知0)1(=f 可得))1,0((0)(∈>x x f ；当0>a 时,只需求1ln )()(max +-==a a a a f x f ,让最大值小于等于零即可.试题解析：（1）)0(1)('>-=-=x xxa x a x f ， 当0≤a 时，0)('<x f ，)(x f 减区间为),0(+∞当0>a 时，由0)('>x f 得a x <<0，由0)('<x f 得a x >)(x f ∴递增区间为),0(a ，递减区间为),(+∞a .（2）由（1）知：当0≤a 时，)(x f 在),0(+∞上为减区间，而0)1(=f0)(≤∴x f 在区间),0(+∞∈x 上不可能恒成立；当0>a 时，)(x f 在),0(a 上递增，在),(+∞a 上递减， 1ln )()(max +-==a a a a f x f ， 令1ln )(+-=a a a a g ， 依题意有0)(≤a g ，而a a g ln )('=，且0>a)(a g ∴在)1,0(上递减，在),1(+∞上递增，0)1()(min ==∴g a g ，故1=a .考点：导数的应用.21．（Ⅰ）2214x y +=.（Ⅱ）见解析. 【解析】试题分析：（1）由椭圆离心率可知，点在椭圆上，将代入椭圆方程，再结合，即可求出椭圆的标准方程；（2）当直线斜率存在时利用解的性质可以得，，，可以确定当为定值时，，当直线斜率不存在时，确定直线方程，进行判断，即可得到圆的方程. 试题解析：（1）解：由题意，得，又因为点在椭圆上，所以， 解得， 所以椭圆的方程为.（2）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为.证明如下： 假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为.当直线的斜率存在时，设的方程为.由方程组得，因为直线与椭圆有且仅有一个公共点，所以，即.由方程组得，则.设，则，设直线的斜率分别为，所以.，将代入上式，得.要使得为定值，则，即，验证符合题意.所以当圆的方程为时，圆与的交点满足为定值.当直线的斜率不存在时，由题意知的方程为，此时，圆与的交点也满足.综上，当圆的方程为时，圆与的交点满足斜率之积为定值.考点：椭圆方程，直线和椭圆的位置关系.【方法点晴】直线和位置关系的考题中，常用的方法就是“设而不求”，在本题中，设出，根据信息，分析出坐标的方程即得：，进而就可以通过设直线与曲线联立，由韦达定理得出根与系数的关系，当直线斜率存在时利用解的性质可以得，，，可以确定当为定值时，，当直线斜率不存在时，确定直线方程，进行判断，即可得到圆的方程. 22．（1）1=t ，022=--y x ；（2）}1,0|{=≤t t t 或. 【解析】试题分析：（1）)(x f y =和)(x g y =在1=x 处的切线相同，则在该点出的导数相等，从而求解t 的值，以及切线l 的方程；（2）设函数),0(,ln 21)()()(2+∞∈--=-=x x t x x g x f x h ，则将原问题转化为有0)(=x h 有唯一解，然后对t 进行分类讨论即可.试题解析：（1）解：求导，得)0(,2)(,2)(''>==x xtx g x x f . 由题意，得切线l 的斜率)1()1(''g f k ==，即22==t k ，解得1=t . 又切点坐标为)0,1(，所以切线l 的方程为022=--y x . （2）解：设函数),0(,ln 21)()()(2+∞∈--=-=x x t x x g x f x h .“曲线)(x f y =与)(x g y =有且仅有一个公共点”等价于“函数)(x h y =有且仅有一个零点”. 求导，得xt x x t x x h 2222)(2'-=-=. ① 当0≤t 时，由),0(+∞∈x ，得0)('>x h ，所以)(x h 在),0(+∞单调递增. 又因为0)1(=h ，所以)(x h y =有且仅有一个零点1，符合题意. ②当1=t 时，当x 变化时，)('x h 与)(x h 的变化情况如下表所示：所以()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以当1x =时，min()(1)0h x h ==，故()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意. ③ 当01t <<时，令()0h x '=，解得x =当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在),0(t 上单调递减，在),(+∞t 上单调递增， 所以当t x =时，)()(min t h x h =.因为1,0)1(<=t h ，且)(x h 在),(+∞t 上单调递增， 所以0)1()(=<h t h . 又因为存在0ln 21)(),1,0(12112121>=--=∈--ttt tte et e eh e12e(0,1)t-∈ ，所以存在)1,0(0∈x 使得0)(0=x h ，所以函数)(x h y =存在两个零点0x ，1，与题意不符.综上，曲线)(x f y =与)(x g y =有且仅有一个公共点时，t 的范围是}1,0|{=≤t t t 或. 考点：导数的应用.【方法点晴】方程的根，函数的零点，图象与x 轴的交点属于一类问题，常用的方法有三个：构造函数法，这种方法往往需要讨论参数，进而研究函数的零点个数，上述解法就属于这一种，还有一种比较简单的就是参变分离法，0ln 212=--x t x 等价于t xx =-ln 212，这种方法需要注意，讨论1=x 时的情况，问题就转成立研究xx y ln 212-=的图像，优点就是研究的函数没有参数；最后一种，有时零点问题也可以转成两个函数图象的交点问题，小题用此法比较多.。