电动力学试题及其答案(2)
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电动力学(B) 试题
班级
一、填空题（每空2分，共32分）
1、已知矢径r ，则=⋅∇r。
2、已知标量ϕ，则=∇⨯∇)(ϕ 。
3、在稳恒磁场中，引入矢势A ，定义磁感应强度=B
,由此可证明
=⋅∇B。
4、洛仑兹规范为=⋅∇A。
5、光速不变原理的数学表达式为 。
6、在迅变电磁场中，引入矢势A 和标势ϕ ,则E = ， B = 。
7、电磁波在波导管中传播时，其截止波长λ c 与决定波型的m 、n 取值有关，对给定的波导尺寸a > b 而言，其主波型 m 取值为 ，n 取值为 ，则
λ c = 。
8、涡旋电场的定义为 ，其实质是 。
9、任何两事件的间隔只能属于 ， ， 三种分类之一。
二、判断题（每题2分，共20分）
1、在非稳恒电流情况下，电荷守恒定律不一定成立。
（ ）
2、在波导管中传播的电磁波不可能是横电磁波。
（ ）
3、由于A B
⨯∇=，矢势不同，描述的电磁场也不同。
（ ）
4、洛仑兹变换是线性变换。
（ ）
5、电磁场是由静电场和稳恒磁场迭加而形成的。
（ ）
6、电磁场的场源是电荷、电流、变化的电场，变化的磁场。
（ ）
7、在一惯性系中同时同地发生的两事件，在其他任何惯性系中两事件也同时发生。
（ ）
8、应用电象法求解静电场的势，引入的象电荷一定要放在求解区域之外。
（ ）
9、牛顿力学对机械运动的速度有限制，而相对论力学对机械运动的速度没有限制。
（ ）
10、磁场中任一点的矢势A 是没有任何物理意义的。
（ ）
三、证明题（每题9分，共18分）
1、 利用算符 ∇ 的矢量性与微分性证明：
A A A A A 2)(2
1
)(∇⋅-∇=
⨯∇⨯
2、已知平面电磁波的电场强度i E )sin(
0t z c
E ωω
-=，试证明其旋度为：
j t z c
E c E )cos(0ωω
ω-=⨯∇
四、计算题（每题10分,共30 分）
1、真空中的波导管，其尺寸为a = 3cm 、b = 1.5cm ，求1,0TE 波型的截止频率。
2、已知)(0t r k
i e A A ω-⋅= ， )
(0t r k i e ωϕϕ-⋅= , 求洛仑兹规范下0A 与0ϕ的关系。
3、真空中有一半径为R 0 的带电球面，其面电荷密度为θσσsin 0=（0σ为常数），求空间电势的分布。
电动力学试题（B ）答案
一、填空题（每空2分，共32分） 1、3 2、0
3、A B
⨯∇= , 0
4、0
5、2
2s s '=
6、t
A
E ∂∂--∇=
ϕ, A B ⨯∇=
7、1, 0， 2a
8、t
B
E ∂∂-=⨯∇
， 变化的磁场在其周围激发一电场。
9、类时间隔， 类光间隔， 类空间隔
二、判断题（每题2分，共20分）
1、×
2、√
3、×
4、√
5、×
6、×
7、×
8、√
9、× 10、√
三、证明题（每题9分，共18分） 1、 证明：
A A A A A A A )(2)(2)(2∇⋅+⨯∇⨯=∇=⋅∇
A A A A A )(2
1
)(2∇⋅-∇=⨯∇⨯
2、证明:
k y E j z E E z y x k
j i E x x x
∂∂-∂∂=∂∂∂∂∂∂=
⨯∇00
j t z c E c j t z c
E z )cos()sin(00ωω
ωωω
-=-∂∂=
四、计算题（每题10分，共30分） 1、 解：波导管的截止频率为
220
0,,)()(21b
n a m f n m c +=
εμ 对于1,0TE 型波，m = 0 ，n = 1，则截止频率为
22
220
01,0,)10
5.11()1030(
21--⨯+⨯=
εμc f 91010⨯=Hz
2、 解：洛仑兹规范为
t c A ∂∂-=⋅∇ϕ21
而 )(0t r k i e A k i A ω-⋅⋅=⋅∇
)
(0t r k i e i t
ωωϕϕ-⋅-=∂∂
则有 )(1
020ωϕi c
A k i --=⋅
020A k c ⋅=ω
ϕ
3、解： 建立球坐标系，原点在球心，z 轴E 0沿方向，求解空间为R >R 0，由于场具有轴对称性，电势满足拉普拉斯方程
012=∇φ )(0R R < 022=∇φ （0R R >）
其解为
)(cos )(0
1
1θφ∑∞
=++
=n n n n
n n P R B R A ∑∞
=++=0
12)(cos )(n n n n n n P R d
R c θφ
边值关系为：
有限=→01R φ ①
02→∞→R φ ② 0
2
1R R R R ===φφ ③ )(cos cos 1002
10θσθσφεφεP R
R
==∂∂-∂∂ ④
由①式得 0=n B 由②式得 0=n c 由③式得
∑
∑∞
=+∞
==010
0)(cos )(cos n n
n n
n n
n
n P R d P R A θθ 由④式得
)(cos )(cos ])
1([00
2
010θεσθn
n n m n n n P P R d n R nA =++∑∞
=+- 当n ≠1 时
1
0+=
n n
n n R d R A 0)1(2
1
0=+++-n n n n R d n R nA 由以上两式可得 0=n A
0=n d
当n = 1 时
20
1
01R d R A = 0
3
0112εσ=+
R d A 由以上两式可得
00
13εσ=
A 3
00
013R d εσ=
得
θεσφcos 30
1R =
θεσφcos 32
03
02R
R =。
