11级特优生滚动训练38
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由点 P 在椭圆上，得 又由 AB 1 k
2
(24k 2 )2 144k 2 4, 化简得 36k 2 t 2 (1 4k 2 ) ① （8 分） t 2 (1 4k 2 )2 t 2 (1 4k 2 )2
2 x1 x2 ＜ 3, 即 (1 k 2 ) ( x1 x2 ) 4 x1 x2 ＜3, 将 x1 x2 ， x1 x2 代入得
整理得 (1 4k ) x 24k x 36k 4 0 .
2 2 2 2
2 2 4 2 2 由 24k k 16(9k 1)(1 4k )＞0 ，得 k ＜ .
1 5
x1 x2
24k 2 36k 2 4 , x x . 1 2 1 4k 2 1 4k 2
∴ ∵ ，则
， ，
∴f（x1）﹣f（x2）≥ln2+ ．
当 x∈（0，α ）和（β ，+∞）时，
，函数 f（x）单调递增；
当 x∈
和（2，β ）时，
，函数 f（x）单调递减，
则 f（x1）≤f（a） ，f（x2）≥f（β ） ， 则 f（x2）﹣f（x1）≥f（β ）﹣f（α ）=alnβ = = ﹣alnα ﹣ （利用 ）
令
，x＞2 则
，
则函数 h（x）单调递增， h（x）≥h（2）=2ln2+ ，
2
36k 2 9 9 , 2 1 4k 1 4k 2
（12 分）
联立②，解得 3＜t 2＜4, ∴ 2＜t＜ 3 或 3＜t＜2. 21．解： （I）由 f（x）=alnx+ （a≠0） ，得：
，
∵a≠0，令
，∴g（0）=1＞0．
令
或
， 则 0＜a＜2．
(II）由（I）得：
2
，
设 ax ﹣（2a+1）x+a=0（0＜a＜2）的两根为 α ，β ， 则 ，得 ．
2．已知函数 f（x）=alnx+ （I）求实数 a 的取值范围；
（a≠0）在（0， ）内有极值．
（II）若 x1∈（0， ） ，x2∈（2，+∞）且 a∈[ ，2]时，求证：f（x1）﹣f（x2）≥ln2+ ．
c2 a 2 b2 3 , ∴ a2 4b2 , 20、解析： （Ⅰ）∵ e 2 2 a a 4
11 级特优生滚动训练（三十八 ） 1．在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ：
3 x2 y 2 ，且椭圆 C 上 2 1(a＞b≥1) 的离心率 e 2 2 a b
3 的距离最大值为 4，过点 M 一点 N 到点 （ Q 0，） 的直线交椭圆 C 于点 A、B. （3,0）
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设 P 为椭圆上一点，且满足 OA OB tOP （O 为坐标原点） ，当 AB ＜ 3 时，求实数 t 的取 值范围.
242 k 4 4(36k 2 4) (1 k 2 ) ＜3, 2 2 1 4k 2 (1 4k )
化简，得 (8k 1)(16k 13)＞0,
2 2
2 2 则 8k 1＞0, k ＞ ,
1 8
2 ∴ ＜k ＜ ②
1 8
1 5
（10 分）
由①，得 t
当 y 1 时， NQ 有最大值为 4b2 12 4,
2 解得 b2 1, ∴ a 4 ，椭圆方程是
x2 y2 1 4
（4 分）
（Ⅱ）设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), P( x, y), AB 方程为 y k ( x 3),
y k ( x 3), 由 x2 2 y 1, 4
2
（1 分）
则椭圆方程为 设 N ( x, y ), 则
x2 y 2 2 1, 即 x2 4 y 2 4b2 . 2 4b b
NQ ( x 0)2 ( y 3)2 4b 2 4 y 2 ( y 3) 2
3 y 2 6 y 4b 2 9 3( y 1) 2 4b 2 12
（6 分）
∴ OA OB ( x1 x2 , y1 y2 ) t ( x, y),
1 24k 2 则 x ( x1 x2 ) , t t (1 4k 2 )
1 1 6k y ( y1 y2 ) k ( x1 x2 ) 6k . t t t (1 4k 2 )
2
(24k 2 )2 144k 2 4, 化简得 36k 2 t 2 (1 4k 2 ) ① （8 分） t 2 (1 4k 2 )2 t 2 (1 4k 2 )2
2 x1 x2 ＜ 3, 即 (1 k 2 ) ( x1 x2 ) 4 x1 x2 ＜3, 将 x1 x2 ， x1 x2 代入得
整理得 (1 4k ) x 24k x 36k 4 0 .
2 2 2 2
2 2 4 2 2 由 24k k 16(9k 1)(1 4k )＞0 ，得 k ＜ .
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x1 x2
24k 2 36k 2 4 , x x . 1 2 1 4k 2 1 4k 2
∴ ∵ ，则
， ，
∴f（x1）﹣f（x2）≥ln2+ ．
当 x∈（0，α ）和（β ，+∞）时，
，函数 f（x）单调递增；
当 x∈
和（2，β ）时，
，函数 f（x）单调递减，
则 f（x1）≤f（a） ，f（x2）≥f（β ） ， 则 f（x2）﹣f（x1）≥f（β ）﹣f（α ）=alnβ = = ﹣alnα ﹣ （利用 ）
令
，x＞2 则
，
则函数 h（x）单调递增， h（x）≥h（2）=2ln2+ ，
2
36k 2 9 9 , 2 1 4k 1 4k 2
（12 分）
联立②，解得 3＜t 2＜4, ∴ 2＜t＜ 3 或 3＜t＜2. 21．解： （I）由 f（x）=alnx+ （a≠0） ，得：
，
∵a≠0，令
，∴g（0）=1＞0．
令
或
， 则 0＜a＜2．
(II）由（I）得：
2
，
设 ax ﹣（2a+1）x+a=0（0＜a＜2）的两根为 α ，β ， 则 ，得 ．
2．已知函数 f（x）=alnx+ （I）求实数 a 的取值范围；
（a≠0）在（0， ）内有极值．
（II）若 x1∈（0， ） ，x2∈（2，+∞）且 a∈[ ，2]时，求证：f（x1）﹣f（x2）≥ln2+ ．
c2 a 2 b2 3 , ∴ a2 4b2 , 20、解析： （Ⅰ）∵ e 2 2 a a 4
11 级特优生滚动训练（三十八 ） 1．在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ：
3 x2 y 2 ，且椭圆 C 上 2 1(a＞b≥1) 的离心率 e 2 2 a b
3 的距离最大值为 4，过点 M 一点 N 到点 （ Q 0，） 的直线交椭圆 C 于点 A、B. （3,0）
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设 P 为椭圆上一点，且满足 OA OB tOP （O 为坐标原点） ，当 AB ＜ 3 时，求实数 t 的取 值范围.
242 k 4 4(36k 2 4) (1 k 2 ) ＜3, 2 2 1 4k 2 (1 4k )
化简，得 (8k 1)(16k 13)＞0,
2 2
2 2 则 8k 1＞0, k ＞ ,
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2 ∴ ＜k ＜ ②
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（10 分）
由①，得 t
当 y 1 时， NQ 有最大值为 4b2 12 4,
2 解得 b2 1, ∴ a 4 ，椭圆方程是
x2 y2 1 4
（4 分）
（Ⅱ）设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), P( x, y), AB 方程为 y k ( x 3),
y k ( x 3), 由 x2 2 y 1, 4
2
（1 分）
则椭圆方程为 设 N ( x, y ), 则
x2 y 2 2 1, 即 x2 4 y 2 4b2 . 2 4b b
NQ ( x 0)2 ( y 3)2 4b 2 4 y 2 ( y 3) 2
3 y 2 6 y 4b 2 9 3( y 1) 2 4b 2 12
（6 分）
∴ OA OB ( x1 x2 , y1 y2 ) t ( x, y),
1 24k 2 则 x ( x1 x2 ) , t t (1 4k 2 )
1 1 6k y ( y1 y2 ) k ( x1 x2 ) 6k . t t t (1 4k 2 )
