初三数学期末辅导一
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期末专题复习一1．一元二次方程x 2－x ＋14＝0的根（ ） A ．x 1＝12，x 2＝－12； B ．x 1＝2，x 2＝－2；C ．x 1＝x 2＝－12 ；D ．x 1＝x 2＝122．将抛物线y =x 2﹣2x +3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ）A ． y =（x ﹣1）2+4；B ． y =（x ﹣4）2+4；C ． y =（x +2）2+6；D ． y =（x ﹣4）2+6 3．如图所示，在数轴上点A 所表示的数x 的范围是（ ）A ．32sin30°<x <sin60°；B ．cos30°<x °；C ．32t a n30°<x <t a n45°；D ．3cos60°<x a n60°。
4.如图，在一笔直的海岸线l 上有A 、B 两个观测站，AB =2km ，从A 测得船C 在北偏东45°的方向，从B 测得船C 在北偏东22.5°的方向，则船C 离海岸线l 的距离（即CD 的长）为（ ）A ．4kmB ．(2+kmC ．．(4km5．上海世博会的某纪念品原价150元，连续两次涨价a %后售价为216元．下列所列方程中正确的是（ ）A ．150(1＋2a %)＝216 ；B ．150(1＋a %)2＝216；C ．150(1＋a %)×2＝216；D ．150(1＋a %)＋150(1＋a %)2＝216。
6．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ）A ．a c>0；B ．当x >1时，y 随x 的增大而增大；C ．2a ＋b ＝1；D ．方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是x ＝3。
7．一副三角板按图1所示的位置摆放，将△DEF 绕点A(F)逆时针旋转60°后（图2），测得CG ＝10cm ，则两个三角形重叠（阴影）部分的面积为（ ）A ．75cm 2； B ．(25＋2；C ．（25＋2532 ； D ．（25)cm 28．已知a 是方程x 2＋x －2015＝0的一个根，则22211a a a---的值为（ ）A ．2014B ．2015C ．12014D ．120159．二次函数（）的图象如图所示，下列说法：①，②当时，，③若（，）、（，）在函数图象上，当时，，④，其中正确的是（ ）A ．①②④ B．①④ C ．①②③ D ．③④ 11．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝4，AC ＝2，则cosB ＝ ．12. 二次函数y =x 2+4x ﹣5的图象的对称轴为 ．13．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AM 是BC 边上的中线，sin ∠CAM ＝35，则t a nB 的值为 ． 14．如图，小明在一块平地上测山高，先在B 处测得山顶A 的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C 处，再测得山顶A 的仰角为45°，那么山高AD 为 米（结果保留整数，测角仪忽略不计，≈1.414，，1.732）15．已知xy >0，且x 2－2xy －3y 2＝0，则xy ＝ ．16．如图，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点（0，－2），请你确定 一个b 的值，使该抛物线与x 轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间． 你所确定的b 的值为 ． 17．已知实数x 、y 满足12x 2＋2x ＋y －1＝0，则x ＋2y 的最大值为 ． 18.计算：（﹣1）4﹣2tan60°++．19.解方程046x 2=--x 。
解方程：24113x x x -=-+．20．如图，在平面直角坐标系中，点A（，1）、B（2，0）、O（0，0），反比例函数y=kx图象经过点A．（1）求k的值；（2）将△AOB绕点O逆时针旋转60°，得到△COD，其中点A与点C对应，试判断点D是否在该反比例函数的图象上？21.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC=9，点P，Q分别在BC，AC上，CP=3x，CQ=4x （0＜x＜3）．把△PCQ绕点P旋转，得到△PDE，点D落在线段PQ上．（1）求证：PQ∥AB；（2）若点D在∠BAC的平分线上，求CP的长；22．观察表格：根据表格解答下列问题：(1)a＝，b＝，c＝；(2)画出函数y＝a x2＋bx＋c的图象，并根据图象，直接写出当x取什么实数时，不等式ax2＋bx＋c>0成立．23.一条船上午8点在A处望见西南方向有一座灯塔B(如图)，此时测得船和灯塔相距20海里的速度向南偏西24°的方向航行到C处，这时望见灯塔在船的正北方向．(参考数据：sin24°≈0.4，cos24°≈0.9)．(1)求几点钟船到达C处；(2)求船到达C处时与灯塔B之间的距离．24.已知关于x的方程x2－(k＋2)x＋2k＝0．(1)求证：k取任何实数值，方程总有实数根；(2)若等腰△ABC的一边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．25．甲、乙两人各有一个不透明的口袋，甲的口袋中装有1个白球和2个红球，乙的口袋中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外其他都相同．甲、乙两人分别从各自口袋中随机摸出1个球，用画树撞图（或列表）的方法，求两人摸出的球颜色相同的概率．26.如图13－1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a 米. （1）用含a 的式子表示花圃的面积；（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的83，求出此时通道的宽；（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价1y （元）、2y （元）与修建面积)(2m x 之间的函数关系如图13－2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？图13－2图13－127.如图，抛物线y=x2+mx+n与直线y=﹣x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E 的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？参考答案：1、A ；2、D ；3、B ；4、D ；5、B ；6、B ；7、D ；8、C ；9、D ；10、B 。
③∵抛物线的对称轴为x =1，开口方向向上，∴若（，）、（，）在函数图象上，当时，；当时，；故③错误；④∵二次函数的图象过点（3，0），∴x =3时，y =0，即，故④正确． 故选B ．1112、2；13、2x =-；14、23；15. 解：如图，∠ABD =30°，∠ACD =45°，BC =100m ，设AD =xm ， 在Rt △ACD 中，∵tan ∠ACD =，∴CD =AD =x ，∴BD =BC +CD =x +100， 在Rt △ABD 中，∵tan ∠ABD =，∴x =（x +100），∴x =50（+1）≈137，即山高AD 为137米．故答案为137．16、3；17、1(21)b -<<；18、174-；19、解：原式=1﹣2=2．；20. 解：046x 2=--x ，46x 2=-x ，9496x 2+=+-x ，()133-x 2=x －3=±13,所以313,313x 21+-=+=x 。
21. 解：（1）∵函数y =的图象过点A （，1），∴k =xy =×1=；（2）∵B （2，0），∴OB =2，∵△AOB 绕点O 逆时针旋转60°得到△COD ，∴OD =OB =2，∠BOD =60°，如图，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，DE =OE •sin 60°=2×=， OE =OD •cos 60°=2×=1，∴D （1，），由（1）可知y =，∴当x =1时，y ==，∴D （1，）在反比例函数y =的图象上．（21题）22. 解：（1）证明：∵在Rt △ABC 中，AB =15，BC =9，∴12AC =． ∵34,93123PC x x QC x x BC AC ==== ，∴PC QCBC AC=．又∵∠C =∠C ，∴△PQC ∽△BAC . ∴∠CPQ =∠B . ∴PQ ∥AB .（2）如答图1，连接AD ，∵PQ ∥AB ，∴∠ADQ =∠DAB ．∵点D 在∠BAC 的平分线上，∴∠DAQ =∠DAB .∴∠ADQ =∠DAQ . ∴AQ =DQ ．在Rt △CPQ 中，∵CP =3x ，CQ =4x ，∴PQ =5x.∵PD =PC =3x ，∴DQ =2x ．∵AQ =12﹣4x ，∴12﹣4x =2x ，解得x =2.∴CP =3x =6．23、125,2x x =-=；24、（1）1,2,3a b c ==-=-；（2）1,3x x <->； 25、27. 解：（1）由图可知，花圃的面积为（40﹣2a）（60﹣2a）；（2）由已知可列式：60×40﹣（40﹣2a）（60﹣2a）=×60×40，解以上式子可得：a1=5，a2=45（舍去），答：所以通道的宽为5米；（3）设修建的道路和花圃的总造价为y，由已知得y1=40x，y2=，则y=y1+y2=；x花圃=（40﹣2a）（60﹣2a）=4a2﹣200a+2400；x通道=60×40﹣（40﹣2a）（60﹣2a）=﹣4a2+200a，当2≤a≤10，800≤x花圃≤2016，384≤x通道≤1600，∴384≤x≤2016，所以当x取384时，y有最小值，最小值为2040，即总造价最低为23040元，当x=383时，即通道的面积为384时，有﹣4a2+200a=384，解得a1=2，a2=48（舍去），所以当通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价最低为23040元．点评：本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是表示出花圃的长和宽．28. 解：（Ⅰ）把A（0，3），C（3，0）代入y=x2+mx+n，得：，解得：．∴抛物线的解析式为y=x2﹣x+3．联立，解得：或，∴点B的坐标为（4，1）．过点B作BH⊥x轴于H，如图1．∵C（3，0），B（4，1），∴BH=1，OC=3，OH=4，CH=4﹣3=1，∴BH=CH=1．∵∠BHC=90°，∴∠BCH=45°，BC=．同理：∠ACO=45°，AC=3，∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°，∴tan∠BAC===；（Ⅱ）（1）存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似．过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGA=90°．设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x＞0，则PG=x．∵PQ⊥PA，∠ACB=90°，∴∠APQ=∠ACB=90°．若点G在点A的下方，①如图2①，当∠PAQ=∠CAB时，则△PAQ∽△CA B．∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB，∴△PGA∽△BCA，∴==．∴AG=3PG=3x．则P（x，3﹣3x）．把P（x，3﹣3x）代入y=x2﹣x+3，得：x2﹣x+3=3﹣3x，整理得：x2+x=0解得：x1=0（舍去），x2=﹣1（舍去）．②如图2②，当∠PAQ=∠CBA时，则△PAQ∽△CB A．同理可得：AG =PG =x，则P（x，3﹣x），把P（x，3﹣x）代入y =x2﹣x+3，得：x2﹣x+3=3﹣x，整理得：x2﹣x=0，解得：x1=0（舍去），x2=，∴P （，）；若点G在点A的上方，①当∠PAQ=∠CAB时，则△PAQ∽△CAB，同理可得：点P的坐标为（11，36）．②当∠PAQ=∠CBA时，则△PAQ∽△CB A．同理可得：点P的坐标为P （，）．综上所述：满足条件的点P的坐标为（11，36）、（，）、（，）；（2）过点E作EN⊥y轴于N，如图3．在Rt△ANE中，EN=AE•sin 45°=AE，即AE =EN，∴点M 在整个运动中所用的时间为+=DE+EN．作点D关于AC的对称点D′，连接D′E，则有D′E=DE，D′C=DC，∠D′CA=∠DCA=45°，∴∠D′CD=90°，DE+EN=D′E+EN．根据两点之间线段最短可得：当D′、E、N三点共线时，DE+EN=D′E+EN最小．此时，∵∠D′CD=∠D′NO=∠NOC=90°，∴四边形OCD′N是矩形，∴ND′=OC=3，ON=D′C=D C．对于y =x2﹣x+3，当y=0时，有x2﹣x+3=0，解得：x1=2，x2=3．∴D（2，0），OD=2，∴ON=DC=OC﹣OD=3﹣2=1，∴NE=AN=AO﹣ON=3﹣1=2，∴点E的坐标为（2，1）．11。
