九年级数学相似三角形的判定

相似三角形的判定和判定方法1.边长比较法：通过比较两个三角形的各个边长，可以判断它们是否相似。

如果两个三角形的对应边长成比例关系，即每对对应边长之比相等，那么这两个三角形是相似的。

比如，如果一个三角形的边长是另一个三角形的边长的两倍，那么这两个三角形就是相似的。

2.角度比较法：通过比较两个三角形的各个角度，可以判断它们是否相似。

如果两个三角形的对应角度相等（或互为对应角的补角），那么这两个三角形是相似的。

比如，如果一个三角形的一对内角是另一个三角形的一对内角的两倍，那么这两个三角形就是相似的。

3.角边比较法：通过比较两个三角形的一个角和对边的比值，可以判断它们是否相似。

如果两个三角形的一个角相等，并且对应边长之比相等，那么这两个三角形是相似的。

比如，如果一个三角形的一个角是60度，它的对边长是另一个三角形的一个角是30度，它的对边长的两倍，那么这两个三角形就是相似的。

4.比例关系法：通过使用相似三角形的比例关系，可以判断两个三角形是否相似。

根据数学原理，如果两个三角形的对应边长之比相等，那么它们是相似的。

这个比例关系可以表示为：AB/DE=BC/EF=AC/DF其中AB、BC、AC分别是一个三角形的三条边长，DE、EF、DF分别是另一个三角形的对应边长。

如果这个比例关系满足，那么这两个三角形就是相似的。

需要注意的是，相似三角形的判定必须满足两个条件：对应角度相等（或互为对应角的补角），以及对应边长成比例关系。

如果只满足其中一个条件，那么这两个三角形不是相似的。

此外，还可以根据相似三角形的性质解决一些图像类问题，比如计算物体在投影变换下的大小、角度等。

在计算机图形学和计算机视觉领域，相似三角形的概念被广泛应用于图像识别、图像重建等算法中。

总之，判定两个三角形是否相似有多种方法，包括比较边长、角度和使用比例关系。

通过这些方法，可以解决一些几何和图像问题，应用广泛。

B′ A
C′
∵AD=A′B′∴AD:AB=A′B′:AB
又A′B′:AB=B′C′:BC=C′A′:CA
∴DE:BC=B′C′:BC,EA:CA=C′A′:CA.
D
E
因此DE=B′C′,EA=C′A′.
∴△ADE≌△A′B′C′
∴△A′B′C′∽△ABC
B
C
探究新知
27.2 相似三角形/
归纳：
由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理： 三边成比例的两个三角形相似．
E
“X”型
D
E
O
B （图1） C B
（图2） C
探究新知
27.2 相似三角形/
【讨论】过点D作与AC平行的直线与BC相交，可否证 明△ADE∽△ABC？如果在三角形中出现一边的平行 线，那么你应该联想到什么？
【方法总结】过点D作与AC平行的直线与BC相 交，仍可证明△ADE∽△ABC，这与教材第31页 证法雷同．题目中有平行线，可得相似三角形，
D
E
∵四边形DBFE是平行四边形
∴DE=BF
B
FC
∴
AE DE AC BC
∴
AD AE DE AB AC BC
∴△ADE∽△ABC
探究新知
27.2 相似三角形/
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成 的三角形与原三角形相似.
符号语言： ∵ DE//BC
“A”型
A
∴△ADE∽△ABC．D
54
9
9
课堂小结
成平 比行 例线
分 线 段
27.2 相似三角形/
基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对 应线段成比例.
推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或 两边延长线），所得的对应线段成比例.

C1
知识要点
H
√ 判定三角形相似的定理之四 L
如果一个直角三角形的斜边和一条直角 边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边 对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。
A
B
C
B1
A1 即：Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1. 如果 AB BC k,
A1B1 B1C1
C1 那么 △ABC∽△A1B1C1.
AD AB
AE AC
DE BC
,
AB AD
AC AE
BC DE
,
（上比全， 全比上）
DB EC ，AB AC , （下比全，全比下）
AB AC DB EC
AD AE , DB EC , （上比下，下比上）
DB EC AD AE
相似具有传递性
C
E M
A ND
B
如果再作 MN∥DE ，共有多少对相似三角形？
△ADE∽△ABC △AMN∽△ABC
△AMN∽△ADE 共有三对相似三角形。
回顾并思考
定义
判定方法
全等 三角、三边对 边 S 边 S 角 A 角 A 斜 H
三角 应相等的两个 边 S 角 A 边 S 角 A 边 L
形
三角形全等
边S 边S 角A 边S 与 直
相似 三角对应相等, 三
角
三角 边对应成比例的两
∴ △ADE与△ABC的对应边成比例
∴ △ADE ∽ △ABC
1
三角形的中位线截得的三角形与原三角形相似，相似比 2 。
当点D在AB上任意一点时，上面的结论还成立吗？
已知：DE//BC，△ADE与△ABC有什么关系? 猜想：△ADE与△ABC有什么关系?

2.过矩形ABCD的顶点A作对角线AC的垂线 分别与CB,CD的延长线交于E,F.则图中与 C △ABC相似的三角形（ ）。 A.4个
C D
B. 5个 C. 6个
D. 7个
B A F
E
相似三角形的性质：
1.对应角相等，对应边成比例. 2.相似三角形对应高的比，对应 中线的比，对应角平分线的比， 周长的比都等于相似比. 3.相似三角形面积的比等于相似 比的平方.
直角三角形相似判定的情况
除以上5种方法外，还有：
1.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角 三角形相似。 2.如果一个三角形的斜边和一条直角边与另 一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成 比例，那么着两个直角三角形相似。
1.下列命题正确的是（
）
A.有一角相等且有两边对应成比例的两个三角形 相似。 B. △ABC的三边长为3，4，5. △A’B’C’的三边为 a+3,a+4,a+5.则△ABC∽ △A’B’C’。 C.若两个三角形相似，且有一对边相等，则它们 的相似比为1. D.都有一内角为100°的两个等腰三角形相似。
3.如图，梯形ABCD中AB∥CD, AB=a, BD=b, CD=c,若∠DBC=∠A,则a,b,c使方程 aX2-2bX+c=0有（ ）D C
A.没有实数根 B.有两个相等 实根 C.有两个不等 实根 D.以上都不对
A B
3.如图，梯形ABCD中AB∥CD, AB=a, BD=b, CD=c,若∠DBC=∠A,则a,b,c使方程 aX2-2bX+c=0有（ ） D C c
相似三角形
开封市金明区杏花营中学 李晓淑
定义： 对应角相等，对应边成比例的三角形叫相似 三角形. 三角形相似判定： 1.对应角相等，对应边成比例。 2.预备定理：平行于三角形一边的直线和 其他两边（或两边的延长线）相交，所构 成的三角形与原三角形相似。 3.判定定理1：两角对应相等，两三角形相似。 4.判定定理2：两边对应成比例且夹角相等， 两三角形相似。 5.判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。