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基于三次B样条小波变换和Franklin矩亚像素级图像边缘检测算法李锦鹏;熊显名;曾启林;胡怡威;丁子婷【期刊名称】《红外技术》【年(卷),期】2022(44)3【摘要】为了满足精密测量和红外与可见光图像配准对图像边缘定位的高精确度和高抗噪性的要求,提出一种基于三次B样条小波变换和Franklin矩结合的亚像素级图像边缘检测算法。
首先,利用三次B样条小波窗函数对图像边缘多层分解,根据小波模极大值原理对各层检测得到初始边缘信息,随后将其边缘点与多尺度范围下3×3邻域内的点进行比较,将模值和幅角相近的点保留,建立新的边缘图像。
然后,建立亚像素边缘模型,根据Franklin矩旋转不变性原理,分析图像边缘旋转至一定角度之后各级Franklin矩之间的关系,得到计算亚像素边缘点的模板关键参数,将模板在小波变换得到的新边缘图像上移动并与其覆盖下的子图进行卷积运算,进而得到图像的亚像素级边缘点。
实验结果表明,并与当下表现较优的3种算法进行对比,本文提出的基于三次B样条小波变换和Franklin矩结合的算法精确度更高且抗噪性更强,能够更好地满足对于红外与可见光图像配准稳定可靠及高精度测量的要求。
【总页数】7页(P255-261)【作者】李锦鹏;熊显名;曾启林;胡怡威;丁子婷【作者单位】桂林电子科技大学电子工程与自动化学院;广西高校光电信息处理重点实验室【正文语种】中文【中图分类】TP391.4【相关文献】1.基于改进小波变换和Zernike矩的亚像素边缘检测算法2.基于矩匹配算法的CT 图像亚像素级精度测量方法的研究3.基于Zernike正交矩的图像亚像素边缘检测算法改进4.混合分形和小波变换亚像素图像边缘检测算法5.基于Zernike正交矩的图像亚像素边缘检测算法改进因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
基于B样条小波的图像边缘检测周何，黄山，盛贤（四川大学电气信息学院自动化系，成都市610065；）摘要：研究图像边缘优化检测问题。
针对图像边缘信息被噪声污染影响定位精度，经典的边缘检测方法Canny算法中的高斯平滑函数边缘定位精确度较低，导致图像缓变边缘信息丢失和假边缘的现象。
在Canny最优边缘检测准则下，引入了渐进最优的B样条小波函数，采用小波变换应用于图像边缘检测中的基于模极大值的方法，并结合基于Kmeans聚类的自适应双阈值方法进行图像边缘检测。
实验结果表明，改进的算法改善了噪声干扰情况下图像边缘提取效果，有效提高了边缘检测的准确性，得到较高的边缘检测图像质量。
关键词：边缘检测；小波变换；定位精度；中图法分类号: TP391.4文献标识码: AImage edge detection based on B-spline waveletZHOU He，HUANG Shan，SHENG Xian(School of Electrical Engineering and Information, Sichuan University, Chengdu 610065, China;) Abstract:In order to solve the low positioning accuracy of image edge detection by noise, make a research on optimization of image edge detection. The Gaussian smoothing function of Canny edge detection method, the classical algorithm, causes the missing of slowly varying edge and the producing of feigned edge and the edge detection is not accurate enough. So in the Canny criteria of optimum edge detection, the introduction of the asymptotically optimal B-spline wavelet function was put forward. The method of modulus maxima of wavelet transform and Kmeans clustering method determining its duel valves automatically was used in the edge detection experiments.The experiments proved that the new algorithm was in a higher accuracy, and improved the quality of the edge detection image.Keywords : edge detection; wavelet transform; positioning accuracy;1 引言传统的边缘检测Canny算法是将图像与高斯滤波器相卷积以获得平滑降噪的效果，其基本思想是在图像中找出具有局部最大梯度幅值的像素点，对边缘提取的大部分工作集中在寻找能够用于实际图像的梯度数学逼近。
第一章图像边缘的定义引言在实际的图像处理问题中，图像的边缘作为图像的一种基本特征，被经常用于到较高层次的特征描述，图像识别。
图像分割，图像增强以及图像压缩等的图像处理和分析中，从而可以对图像进行进一步的分析和理解。
由于信号的奇异点或突变点往往表现为相邻像素点处的灰度值发生了剧烈的变化，我们可以通过相邻像素灰度分布的梯度来反映这种变化。
根据这一特点，人们提出了多种边缘检测算子：Roberts算子Prewitt算子Laplace算子等。
经典的边缘检测方法是构造出像素灰度级阶跃变化敏感的微分算子。
这些算子毫无例外地对噪声较为敏感。
由于原始图像往往含有噪声、而边缘和噪声在空间域表现为灰度有大的起落，在频域则反映为同是主频分量，这就给真正的边缘检测到来困难。
于是发展了多尺度分析的边缘检测方法。
小波分析与多尺度分析有着密切的联系，而且在小波变换这一统一理论框架下，可以更深刻地研究多尺度分析的边缘检测方法，Mallat S提出了一小波变换多尺度分析为基础的局部极大模方法进行边缘检测。
小波变换有良好的时频局部转化及多尺度分析能力，因此比其他的边缘检测方法更实用和准确。
小波边缘检测算子的基本思想是取小波函数作为平滑函数的一阶导数或二阶导数。
利用信号的小波变换的模值在信号突变点处取局部极大值或过零点的性质来提取信号的边缘点。
常用的小波算子有Marr 算子Canny算子和Mallat算子等。
§1.1信号边缘特征人类的视觉研究表明，信号知觉不是信号各部分简单的相加，而是各部分有机组成的。
人类的信号识别（这里讨论二维信号即图像）具有以下几个特点：边缘与纹理背景的对比鲜明时,图像知觉比较稳定；图像在空间上比较接近的部分容易形成一个整体；在一个按一定顺序组成的图像中，如果有新的成份加入，则这些新的成份容易被看作是原来图像的继续；在视觉的初级阶段，视觉系统首先会把图像边缘与纹理背景分离出来，然后才能知觉到图像的细节，辨认出图像的轮廓，也就是说，首先识别的是图像的大轮廓；知觉的过程中并不只是被动地接受外界刺激，同时也主动地认识外界事物，复杂图像的识别需要人的先验知识作指导；图像的空间位置、方向角度影响知觉的效果。
小波变换在图像边缘检测中的应用鲍雄伟【摘要】目前,被广泛使用的经典边缘检测算子有Sobel算子,Prewitt算子,Roberts算子,Log算子,Canny算子等等。
这些算子的核心思想是图像的边缘点是相对应于图像灰度值梯度的局部极大值点。
然而,当图像中含有噪声时这些算子对噪声都比较敏感,使得将噪声作为边缘点。
由于噪声的干扰,不能检测出真正的边缘。
一个拥有良好属性的的边缘检测算法是每个研究者的追求。
利用小波交换的特点,设计了三次B样条平滑滤波算子。
通过利用这个算子,对利用小波变换来检测图像的边缘进行了一定的研究和理解。
%The current widely used edge detection algorithm have Sobel,Prewitt,Roberts,Log,Canny etc.The core idea of these algorithms is that the edge points correspond to the local maximal points of original image’s gray-level gradient.However,when there are noises in images,these algorithms are very sensitive to noises,and may detect noise points as marginal points,and the real edge may not be detected because of the noises’ interference.A image edge detection method with good nature is a goal which all researchers pursue.The third B-spline smoothing filter operator to perform multi-scale filtering was designed using the characteristics of wavelet transform.Through use this algorithm,the use of wavelet transform to detect the edge of the image has been studied and understood.【期刊名称】《电子设计工程》【年(卷),期】2012(020)014【总页数】3页(P160-162)【关键词】小波变换;边缘检测;B样条;多尺度分析【作者】鲍雄伟【作者单位】长安大学信息工程学院,陕西西安710064【正文语种】中文【中图分类】TP391.4图像包含了人类所需要认识世界，进而改造世界的大部分的信息量。
基于B样条小波的图像边缘检测周何;黄山;盛贤【期刊名称】《计算机仿真》【年(卷),期】2011(28)11【摘要】研究图像边缘优化检测问题.针对图像边缘信息被噪声污染影响定位精度,经典的边缘检测方法Canny算法中的高斯平滑函数边缘定位精确度较低,导致图像缓变边缘信息丢失和假边缘的现象.为去除虚假边缘,在Canny最优边缘检测准则下,提出引入了渐进最优的B样条小波函数,采用小波变换应用于图像边缘检测中的基于模极大值的方法,并结合Kmeans聚类的自适应双阈值方法进行图像边缘检测仿真.仿真结果表明,改进的算法改善了噪声干扰情况下图像边缘提取效果,有效提高了边缘检测的准确性,得到较高的边缘检测图像质量,可为设计提供依据.%In order to improve the low positioning accuracy of image edge detection, a research on optimization of image edge detection was carried out. The Gaussian smoothing function of the classical Canny edge detection method has lower edge positioning accuracy, which causes the missing of slowly varying edges and the producing of feigned edges and the edge detection is not accurate enough. So under the Canny criteria of optimum edge detection, the asymptotically optimal B-spline wavelet function was introduced. The method of modulus maxima of wavelet transform and the method of self-adapting dual threshold of kmeans clustering was used in the edge detection experiments. The experiments proved that the newalgorithm is of higher accuracy and improves the quality of the edge detection images.【总页数】5页(P214-217,254)【作者】周何;黄山;盛贤【作者单位】四川大学电气信息学院,四川成都610065;四川大学电气信息学院,四川成都610065;四川大学电气信息学院,四川成都610065【正文语种】中文【中图分类】TP391.4【相关文献】1.基于B样条小波的零件缺陷图像边缘检测 [J], 李静;王新民2.基于三次B样条小波的图像边缘检测技术研究 [J], 李庆;梁艳3.基于统计处理和B样条小波变换的毫米波图像边缘检测 [J], 杜慧茜;梅文博;苏广川4.基于B样条小波的图像边缘检测算法 [J], 刘小豫;韩丽娜;赵蔷5.基于方向导数和B样条小波的图像边缘检测 [J], 赵志刚;杨应平;蒋爱湘;彭榆伟因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
计算技术与自动化Computing Technology and Automation第40卷第1期2 0 2 1年3月Vol. 40,No. 1Mar. 2 02 1文章编号：1003-6199( 2021 )01-0101 — 03DOI ： 10. 16339/j. cnki. jsjsyzdh. 202101019基于3次B 样条小波变换的改进自适应阈值边缘检测算法王 煜J 谢 政，朱淳钊，夏建高(湖北工程职业学院建筑与环境艺术学院，湖北黄石435005)摘要：针对含噪声图像边缘提取问题，提出了一种改进NormalShrink 自适应阈值去噪算法。
该算法首先通过小波变换和局部模极大值法提取出可能包含图像边缘特征的小波系数，利用边缘像素之间特殊的空间关系以及噪声在各级小波分解尺度下的不同效应，构建适合各个尺度级的改进NormalShrink 自适应阈值，并依此对提取出的小波系数进行筛选。
实验结果表明，与改进的Candy 算子和传统的NormalShrink 自 适应阈值相比，本方法提取出的图像边缘较为完整清晰，峰值信噪比提升约6 db o关键词：边缘提取；小波变换；自适应阈值;峰值信噪比中图分类号:TP312文献标识码：AAn Improved Adaptive Threshold Edge Detection AlgorithmBased on Cubic B-spline Wavelet TransformWANG Yu f , XIE Zheng,ZHU Chun-zhao ,XIA Jian-gao(School of Architecture and Environmental Art, Hubei Engineering Institute, Huangshi, Hubei 435005, China)Abstract : In order to solve the problem of noisy image edge detection, an improved NormalShrink adaptive waveletthreshold is put forward on the foundation of combining edge detection and denoising . According to the different characteris tics of noise at different wavelet scales and the special spatial relationship between the edge pixels , the algorithm first extract wavelet coefficients which may contain image edge feature by using wavelet transform and local maximum mode, and thenconstruct an improved NormalShrink adaptive threshold of each scale level which is used to select the extracted wavelet coef ficients. Experimental results show that this method can keep imagers edges clear and increase PSNR about 6 db.Key words :edge detection ； wavelet transform ； adaptive threshold ； PSNR图像边缘信息的识别和提取在图像分割、图像 识别等领域有着重要的应用，提取出清晰有效的边缘是一个热点研究方向。
基于B样条小波的图像边缘检测周何，黄山，盛贤（四川大学电气信息学院自动化系，成都市610065；）摘要：研究图像边缘优化检测问题。
针对图像边缘信息被噪声污染影响定位精度，经典的边缘检测方法Canny算法中的高斯平滑函数边缘定位精确度较低，导致图像缓变边缘信息丢失和假边缘的现象。
在Canny最优边缘检测准则下，引入了渐进最优的B样条小波函数，采用小波变换应用于图像边缘检测中的基于模极大值的方法，并结合基于Kmeans聚类的自适应双阈值方法进行图像边缘检测。
实验结果表明，改进的算法改善了噪声干扰情况下图像边缘提取效果，有效提高了边缘检测的准确性，得到较高的边缘检测图像质量。
关键词：边缘检测；小波变换；定位精度；中图法分类号: TP391.4文献标识码: AImage edge detection based on B-spline waveletZHOU He，HUANG Shan，SHENG Xian(School of Electrical Engineering and Information, Sichuan University, Chengdu 610065, China;) Abstract:In order to solve the low positioning accuracy of image edge detection by noise, make a research on optimization of image edge detection. The Gaussian smoothing function of Canny edge detection method, the classical algorithm, causes the missing of slowly varying edge and the producing of feigned edge and the edge detection is not accurate enough. So in the Canny criteria of optimum edge detection, the introduction of the asymptotically optimal B-spline wavelet function was put forward. The method of modulus maxima of wavelet transform and Kmeans clustering method determining its duel valves automatically was used in the edge detection experiments.The experiments proved that the new algorithm was in a higher accuracy, and improved the quality of the edge detection image.Keywords : edge detection; wavelet transform; positioning accuracy;1 引言传统的边缘检测Canny算法是将图像与高斯滤波器相卷积以获得平滑降噪的效果，其基本思想是在图像中找出具有局部最大梯度幅值的像素点，对边缘提取的大部分工作集中在寻找能够用于实际图像的梯度数学逼近。
这种算法会造成原图像的过度光滑，缓变边缘丢失，定位精度较低，且计算量大、复杂、耗时[1]。
小波分析具有多尺度分析的特点，能较好的综合噪声抑制和边缘保持这两个特性。
任意一个信号可表示成经伸缩和平移的n次B样条的加权和，即可完全由B样条系数来刻画。
该系数中的分辨阶数越小对信号的平滑程度越小，边缘定位越精确，在对不同尺度下的逼近函数取一阶导数或者二阶导数时就获得了多尺度边缘提取。
本文充分利用边缘信息的多尺度特性和B 样条函数是同次样条函数空间中具有最小支撑的基底的这一特点，选取正交三次中心B样条作为边缘提取时的平滑函数，再采用模极大值和Kmeans聚类的自适应双阈值的方法，提取出最终的边缘图像。
此算法的原理与实现简单，且有较好的抗噪性能，并拥有比以Gauss函数为平滑函数的Canny算法更加出色的定位精度，提取出了更加精细的边缘，去除了虚假边缘。
2 B样条小波在对Canny边缘检测算法的应用和研究中发现，Canny算法用Gauss函数作为滤波器，会使原图像过度光滑，缓变边缘丢失。
由于Canny 算子不能直接进行Z变换，即找不到递推公式，从而只有用它进行卷积运算。
但对于一个大的图像，计算时间很长。
为此，在Canny最优边缘检测准则下，引入了渐进最优的B样条小波函数。
2.1 Canny边缘提取准则John Canny于1986年在IEEE 上发表了自己的文章《A Computational Approach to Edge12Detection 》，在其文章中指出了三个准则：[2](1) 好的检测结果（Good detection ）一个好的检测结果应该尽可能小地漏检真实存在的边缘点和误检非边缘点。
设用于边缘测定滤波器为()f x ，它的有限相应边界为[,]W W -。
边缘为()G x ，边缘发生在0x =，信号中的信噪比是高斯白噪声()n x ，其方差为20n ，第一个准则数学表达式定义|()()|WG x f x dx SNR +-=（1）(2) 定位精确（Good localization ）：标记为边缘的点应当尽可能地接近真实边缘的中心。
检测精确定义为：'''20()()()WWWWG x f x dxL n f x dx+-+--=⎰⎰（2）(3) 对同一边缘响应次数较少（Only one response to a single edge ）理想情况下，用滤波器对噪声响应的峰值距离来近似滤波器对一个边缘的响应宽度。
而两个邻近的极大值平均距离为滤波器输出导数的零交叉两倍。
零交叉点平均距离为2'2''2()*()zc f x dx x f x dx π+∞-∞+∞-∞⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰ （3）有了这三个准则的数学表达式，寻找最优滤波器就转化为泛函约束优化的问题。
2.2 B 样条小波定义小波基的种类很多，如何根据实际问题选择最佳的小波基是首要关注的问题。
用于边缘检测的小波基函数应为一个紧支撑的奇函数小波。
根据Canny 准则的前两个准则，对阶跃边缘的最优检测函数为阶段阶跃或者差分盒函数。
定义一阶B 样条函数[3]为:01,[0,1]()0,other x x β∈⎧=⎨⎩（4）等距单重结点条件下，n 次中心样条函数()n x β用卷积定义为:100001()()()()()...()n n n x x x x x x ββββββ-+=*=***10111(1)!2nn k k n n x k k n +=+⎡⎤+⎡⎤=--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑ (5) 其中()max{0,}x x +=。
易知，()n x β是非负的，其支撑集为11,22n n ++⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。
考虑一系列相互嵌套的多项式样条函数空间(){,}n i S i Z ∈(n 暂取为奇数，为多项式的阶数)，使得()(1){}n n i i S S +⊃。
对于i Z ∈，()ni S 为2()L R 的子空间，属于1n C -类（即具有n-1次连续导数）。
在每一区间2,(1)2j j k k ⎡⎤+⎣⎦上()n i S 等价于n 阶多项式。
()()2{()()(2)}jn n n j i i ik S f x C k x k β+∞=-∞==-∑2,()i x R C kl ∈∈ （6） 其中，21()22j nn j j xββ=。
()n x β的Fourier 变换为110sin(/2)()()/2n n n ωβωβωω++⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(7){(),}x k k Z β-∈构成空间(0)nS 的Riesz 基，而(){,}n i S i Z ∈构成了2()L R 空间的多分辨率分析，即32()(1)()(),,(),{0}n n n n i i i i i Zi ZS S i Z S L R S +∈∈⊃⊂== （8）上述分析说明，任意一个信号 2()f L R ∈可表示成经伸缩和平移的n 次B 样条的加权和，即可完全由B 样条系数()i C k 来刻画。
下标i 表示分辨阶数，它决定了对给定信号的逼近质量，增加分辨阶数i 为1i +对于与基函数2()j nx β扩张一个因子2，采样间隔由2j 变为12j +增加一倍，逼近程度降低。
这也意味着分辨阶数对于信号的不同平滑程度i 越小，边缘定位越精确，在对不同尺度下的逼近函数取一阶导数或者二阶导数时就获得了多尺度边缘提取。
B 样条函数是同次样条函数空间中具有最小支撑的基底，这一基本特征使得它广泛应用在信号和图像处理等领域。
在有噪声条件下提取图像边缘，需要在噪声抑制能力和边缘准确定定位之间进行均衡。
文献[4]已经证明3次B 样条在实际应用中是渐进最优的，下面从时频局部分析的角度对不同阶次的B 样条做分析，来说明3次B 样条对大多数应用问题是渐进最优的。
Unser 在文献[5]中已经证明，当n →∞时，B 样条2()j n x β及其Fourier 变换()nβω均收敛于Gauss 函数，它们之间有下面的近似关系：2()1()x x n n x σβ-+≈(9)2()1()x nn ωσβω-+≈(10)其中x ωσσ、为B 样条在时域和频域的方差。
而Gauss 函数是在时域和频域均为最优的基函数[6]，它使海森堡测不准关系达到最小下界-12π（），即-12x ωσσπ∙≥（），其中方差为221/2x 221/2(|()|)(|()|)2x g x dx gg dx gωσσωωπ==⎰⎰ （11）分别表示基函数g 在时域和频域中的集中度， 1/2(2)gg π=是基函数g 的能力。
表1分别列出了n=1，2,…5时的B 样条函数与Gauss 函数的比较，即n 越大，逼近程度越好，当n=3时B 样条已经很接近最优下界了，这表明三次B 样条的局部时频性能足以保证大多数的实际应用，并且B 样条的紧支性质使它优于Gauss 函数，因此选用3次B 样条函数作为平滑函数。
表1 1～5次B 样条与Gauss 函数比较N σx时域方差 σω时频方差 r=σω*σx *2πe 1 B 样条能量 e 2高斯能量 1 0.316382 0.272254 1.082420 0.816497 0.831031 2 0.373733 0.214600 1.007861 0.741609 0.751117 3 0.424996 0.187686 1.002367 0.692362 0.699001 4 0.471153 0.169136 1.001409 0.656063 0.661074 5 0.5132660.1551901.0009520.6276340.631604用基数B 样条作为边缘提取时的平滑函数()x θ，它们都满足平滑函数的定义：函数()x θ称为平滑函数，有()1x dx θ+∞-∞=⎰和||lim ()0x x θ→∞=。
