★历年全国理科数学高考试题精选
2011年高考试题
1.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如 右图所示，则相应的俯视图可以为
2.已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,23AB BC ==,则棱锥
O ABCD -的体积为 。
3.如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为平行四
边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD ⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA ⊥BD ； (Ⅱ)若PD=AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值。
4.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，D ，E 分别为ABC ∆的边AB ，AC 上的点，且不与ABC
∆的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根．
（I ）证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；
（II ）若90A ∠=︒，且4,6,m n ==求C ，B ，D ，E 所在圆的半径．
1.D
2.83
3. 解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=︒=， 由余弦定理得3BD AD =
从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD
（Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则
()1,0,0A ，()03,0B ，，()
1,3,0C -，()0,0,1P 。
(1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=-uu u v uu v uu u v
设平面PAB 的法向量为n=（x ，y ，z ），则0,0,{
n AB n PB ⋅=⋅=u u u r u u u r
即 3030
x y y z -+=-=
因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC 的法向量为m ，则 m 0,m 0,
{
PB BC ⋅=⋅=u u u r
u u u r
可取m=（0，-1，3-） 427
cos ,727
m n -=
=- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27
7
-
4. 解：（I ）连接DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中， AD×AB=mn=AE×AC ，
即
AB
AE
AC AD =
.又∠DAE=∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB 所以C ，B ，D ，E 四点共圆。
（Ⅱ）m=4， n=6时，方程x 2-14x+mn=0的两根为x 1=2，x 2=12. 故 AD=2，AB=12.
取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH.因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH. 由于∠A=900，故GH ∥AB ， HF ∥AC. HF=AG=5，DF= 2
1
(12-2)=5. 故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为52
2010年高考试题
1. 正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为
A
23 B 33 C 2
3
D 63
2. 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB •u u u v u u u v
的最小值为
(A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+
3. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为
(A)
233 (B)433 (C) 23 (D) 83
3
4. 本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
） 如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC .
（Ⅰ）证明：SE=2EB ；
（Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 . 1. D 2. D 3. B 4. 解法一：
(Ⅰ)连接BD,取DC 的中点G ，连接BG,
由此知 1,DG GC BG ===即ABC ∆为直角三角形，故BC BD ⊥. 又ABCD,BC SD SD ⊥⊥平面故,
所以，BC ⊥⊥平面BDS,BC DE .
作BK ⊥EC,EDC SBC K ⊥为垂足，因平面平面，
故,BK EDC BK DE DE ⊥⊥平面，与平面SBC 内的两条相交直线BK 、BC 都垂直 DE ⊥平面SBC ，DE ⊥EC,DE ⊥SB
226SB SD DB =+=
3
SD DB DE SB =
=g 22626
-,-EB DB DE SE SB EB ==
== 所以，SE=2EB (Ⅱ) 由225,1,2,,SA SD AD AB SE EB AB SA =
+===⊥知
2
2
121,AD=133AE SA AB ⎛⎫⎛⎫
=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
又.
故ADE ∆为等腰三角形.
