2018考研数学二元函数求极值问题

1 / 151.二元函数极限概念分析定义1 设函数f 在2D R ⊂上有定义,0P 是D 的聚点,A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时,都有 ()f P A ε-<,则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限,记0lim ()P P P Df P A →∈=.上述极限又称为二重极限．２.二元函数极限的求法2.1 利用二元函数的连续性命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=．例１ 求2(,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2(,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续,所以122122lim (,)lim(2)12125.x y x y f x y x xy →→→→=+=+⨯⨯=例2 求极限()()221,1,21limy x y x +→.解: 因函数在()1,1点的邻域内连续,故可直接代入求极限,即()()221,1,21limy x y x +→=31.2 / 152．2 利用恒等变形法将二元函数进行恒等变形,例如分母或分子有理化等. 例3 求00x y →→解: 00x y →→00x y →→=0x y →→=001.4x y →→==-例4 ()()22220,0,321)31)(21(lim yx y x y x +-++→．解:原式()()())()(),0,02211lim231x y xy →=+()(22,0,0limx y →=+11022=+=．2.3 利用等价无穷小代换一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数．在二元函数中常见的等价无穷小((,)0)u x y→,有sin(,)(,)u x y u x y;2(,)1cos(,)2u x yu x y-;[]ln1(,)(,)u x y u x y+；tan(,)(,)u x y u x y;arcsin(,)(,)u x y u x y；arctan(,)(,)u x y u x y(,)1u x yn;(,)1(,)u x ye u x y-；同一元函数一样,等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用.例５求xy→→解: 当x→,0y→时，有0x y+→11()2x y+，所以1()2lim1.2xyxyx yx y→→→→+=+=这个例子也可以用恒等变形法计算,如:1.2xyxyxy→→→→→→===3 / 154 / 152.4 利用两个重要极限(,)0sin (,)lim 1(,)u x y u x y u x y →=，[]1(,)(,)0lim 1(,)u x y u x y u x y e →+= 它们分别是一元函数中两个重要极限的推广．例6 求极限 21lim(1)x x yx y axy+→∞→+．解: 先把已知极限化为22()11lim(1)lim (1)x x xy x y xy x yx x y ay a xy xy ++→∞→∞→→⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦，而 211limlim ,()(1)x x y a y a x y xy x y ay x→∞→∞→→==++ 当 ,x y a →∞→时1,0xy xy →∞→,所以 1lim(1).xy x y ae xy →∞→+=故原式=2()11lim (1).x xy x y xy xy a axy e +→∞→⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=例７ 求 0sin()limx y axy x →→极限.解: 因为sin()sin().xy xy y x xy=，当0,x y a →→时，0xy →,所以 sin()1xy xy→,再利用极限四则运算可得： 000sin()sin()sin()limlim .lim .lim .x x y a xy y a y axy xy xy y y a x xy xy →→→→→→===·1＝a ．这个例子也可以用等价无穷小代换计算,如: 当 0x →,y a →时，0xy → ,sin()xy xy ．5 / 15所以， 00sin()limlim lim .x x y a y a y axy xyy a x x →→→→→===２.5 利用无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量的结论例8 求0011)sin cos x y y x y →→解: 因为00)0x y y →→= 是无穷小量, 11sin cos 1x y ≤ 是有界量 ，故可知，0011)sin cos 0.x y y x y →→=例9 求 22232(3)(2)lim (3)(2)x y x y x y →→---+-解 原式=2232(3)(2)lim(3)(3)(2)x y x y x x y →→--⋅--+-因为 222222(3)(2)(3)(2)1(3)(2)22(3)(2)x y x y x y x y ---+-≤=-+-⎡⎤-+-⎣⎦ 是有界量，又 32lim(3)0x y x →→-= 是无穷小量，所以 ， 22232(3)(2)lim0(3)(2)x y x y x y →→--=-+- ． 虽然这个方法计算实际问题上不那么多用,但计算对无穷小量与有界量的乘积形式的极限的最简单方法之一 .２.６利用变量替换法通过变量替换可以将某些二元函数的极限转化为一元函数的极限来计算,6 / 15从而使二元函数的极限变得简单.但利用时一定要满足下面的定理。

一道二元函数最值问题的多种解法
在数学中，二元函数最值问题是指在一个二元函数的定义域中找出使函数取最大值或最小值的确定性解集。

这个问题在实际应用中经常出现，有多种解法，下面介绍其中的几种：
1.图像法
可以通过画出函数的等高线图来找出最优解。

等高线图是在平面上绘制出使函数取同一数值的点的轮廓线，这些轮廓线将函数的值分为不同的区域。

最小值或最大值就在其中的极值点处。

2. 梯度法
梯度法是另一种寻找极值的方法，它利用了函数的导数。

可以通过对函数进行求导，找出所有导数为零的点，这些点就是可能的极值点。

然后逐一计算这些点的函数值，找出最大或最小值。

3. 拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法是一种约束条件下求极值的方法，适用于含有约束条件的函数。

该方法要求将约束条件转换为等式，然后构造一个带有拉格朗日乘数的函数，通过求导找出函数的极值点。

4. 线性规划法
线性规划法是一种求解最优化问题的方法，适用于一组线性不等式约束条件下的线性目标函数。

该方法通过构造一个线性规划模型，通过线性规划算法求解最优解。

总之，二元函数最值问题的解法很多，具体方法要根据问题的实际情况选择。

二元函数的极值与最值利用偏导数求二元函数的极值与最值在数学中，二元函数是指具有两个自变量的函数。

对于二元函数，我们常常需要求解其极值与最值，以确定函数的最优解或者关键点。

在这篇文章中，我们将介绍如何利用偏导数来求解二元函数的极值与最值问题。

一、定义与概念在开始讨论二元函数的极值与最值之前，我们先来回顾一下相关的定义与概念。

1. 极值：对于一个函数f(x, y)，如果存在一个点P(x0, y0)，使得在点P的某个邻域内，f(x, y)的值不小于（或不大于）任意其他点处的函数值，那么点P即为f(x, y)的极值点。

2. 最大值：对于一个函数f(x, y)，如果在定义域上的任意点P(x, y)处，f(x, y)的值都不大于一个确定的常数M，那么M即为f(x, y)的最大值。

3. 最小值：对于一个函数f(x, y)，如果在定义域上的任意点P(x, y)处，f(x, y)的值都不小于一个确定的常数m，那么m即为f(x, y)的最小值。

二、偏导数的定义与计算在求解二元函数的极值与最值问题时，我们可以使用偏导数的概念与方法。

偏导数是多元函数的导数在某一变量上的投影，可以用来衡量函数在某一方向上的变化率。

对于一个二元函数f(x, y)，其偏导数可以通过以下方式计算：1. 对于x的偏导数∂f/∂x表示在y值固定的情况下，函数f关于x的变化率。

2. 对于y的偏导数∂f/∂y表示在x值固定的情况下，函数f关于y的变化率。

根据偏导数的定义，我们可以通过计算∂f/∂x和∂f/∂y来找到函数的极值与最值。

三、求解二元函数的极值与最值接下来，我们将介绍如何利用偏导数来求解二元函数的极值与最值。

1. 求解极值：为了求解二元函数的极值，我们需要先求出偏导数∂f/∂x和∂f/∂y的值。

然后，我们将偏导数的值置为零，并求解方程组，得到极值点的坐标。

最后，我们将这些点代入原函数，求出相应的函数值，并比较大小，得出极值。

2. 求解最值：求解二元函数的最值也可以通过偏导数的方法来实现。

二元函数极值求解方法
宝子，今天咱来唠唠二元函数极值咋求哈。

对于二元函数z = f(x,y)，最常用的一种方法就是利用偏导数啦。

咱先求这个函数关于x和y的偏导数f_x(x,y)和f_y(x,y)。

这就好比是在两个不同的方向上去看这个函数的变化率呢。

求完偏导数之后呢，我们要找那些使得偏导数都等于0的点，也就是解方程组
<=ft{begin{array}{l}f_x(x,y) = 0 f_y(x,y)=0end{array}right.，这些点啊，就叫做驻点。

驻点就像是可能成为极值点的候选人一样。

但是呢，驻点可不一定就是极值点哦。

这时候我们就需要再进一步判断啦。

有个东西叫二阶偏导数，我们要再求f_xx(x,y)、f_xy(x,y)和f_yy(x,y)。

然后呢，我们根据一个判别式A = f_xx(x_0,y_0)，B = f_xy(x_0,y_0)，C =
f_yy(x_0,y_0)，在驻点(x_0,y_0)处，计算AC - B^2的值。

要是AC - B^2>0，而且A>0，那这个驻点就是极小值点；要是AC - B^2>0，并且A<0，那这个驻点就是极大值点。

要是AC - B^2<0呢，那这个驻点就不是极值点，就像它被淘汰了一样。

要是AC - B^2=0呢，这种情况就比较麻烦啦，这个判别法就不管用了，我们可能就得换其他的方法来判断这个点是不是极值点啦。

宝子，二元函数极值求解虽然有点小复杂，但是只要按照这个步骤一步一步来，也不是那么难的啦。

就像走迷宫一样，按照规则走，总能找到出口的哟。