10第十章 数论之完全平方数

(一)完全平方数的性质一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。

例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,40 0,441,484,…观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。

下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。

性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。

证明奇数必为下列五种形式之一：10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9分别平方后，得(10a+1)=100+20a+1=20a(5a+1)+1(10a+3)=100+60a+9=20a(5a+3)+9(10a+5)=100+100a+25=20(5a+5a+1)+5(10a+7)=100+140a+49=20(5a+7a+2)+9(10a+9)=100+180a+81=20(5a+9a+4)+1综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。

性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。

证明已知=10k+6，证明k为奇数。

因为的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。

则10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6或 10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3? k为奇数。

推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。

推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。

性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。

第二讲 完全平方数定理1 完全平方数的个位数只能是0，1，4，9，6，5．逆否命题：个位数是2,3,7,8（52k ±型）的整数一定不是完全平方数．定理2 一个奇数的平方的十位数是偶数．逆否命题：定理3 如果一个完全平方数的个位数是6，那么它的十位数一定是奇数．定理4 奇数的平方仍然是奇数，并且被4除余1，偶数的平方是偶数，并且一定能被4整除． 推论１ 两个整数的平方和被4除的余数只能是0,1,2．即一个整数被4除余3，这个数一定不能表示成两个整数的平方和．推论2 两个整数的平方差被4除的余数只能是0,1,3．即一个整数被4除余2，这个数一定不能表示成两个整数的平方差．推论3 两个奇数的平方和一定不是完全平方数．定理5 凡是不能被3整除的整数的平方被3除余1，凡是3的倍数的平方一定能被3整除． 定理6 在两个相邻整数的平方之间不可能再有完全平方数．定理7 一个正整数是完全平方数的充分且必要条件是它的约数个数一定是奇数．结论：若整数a 是下列情况之一，则一定不是完全平方数：（1）个位数是2，3，7，8的数；（2）个位数和十位数都是奇数的数；（3）个位数是6，十位数是偶数的数；（4）被4除余数是2或3的数；（5）被8除余数是2，3，5，6，7的数；（6）被3除余数是2的数；（7）在相邻两个完全平方数之间的数；（8）所有约数的个数是偶数的数．例1：如果2()f x x x =+，证明方程4()()f a f b =没有正整数解a 和b ．【分析】设a 、b 是方程4()()f a f b =的正整数解，则2244a a b b +=+，22440a a b b +--=解得：a =2222121(1)b b b b b b <++<++=+，所以21b b ++不是完全平方数，则a N *∉，得证．例2：设a 与b 为任意给定的整数，试证明方程210530x ax b +++=和210530x ax b ++-=都没有整数根．【分析】求根得：1,25x a =-22553a b -±不是完全平方数，因为2225535(5)3a b a b -±=-±，而25(5)a b -的个位数字为0或5，所以25(5)3a b -±的个位数字为2,3,7,8，由定理1知22553a b -±不是不是完全平方数．例3：求证：边长和对角线都是整数的矩形的面积是6的倍数．【分析】设矩形边长为,x y ，对角线长为z ，且,,x y z N *∈，则本题即为：若整数,,x y z 满足222x y z +=，则6|xy .①首先证明,x y 中至少一个是偶数．否则，若,x y 都是奇数，则22x y +为42k +（或82k +）型数，与结论（4）（或结论（5））矛盾，故,x y 中至少一个是偶数；②下再证明,x y 中至少一个是3的倍数．否则22,x y 皆为31k +型数，22x y +为32k +型数，但2z 不可能为32k +型（由结论（6）），所以,x y 中至少一个是3的倍数．又(2,3)1=，得证． 例4：求证：没有整数a ,b ,c 满足2286a b c +-=．【分析】假设存在整数a ,b ,c 满足2286a b c +-=，即2286a b c +=+．若a ,b 均为奇数，则22a b +为82k +型数，而等式右边为86c +，矛盾；若a ,b 均为偶数，则22a b +为4的倍数，而86c +不是4的倍数，矛盾；若a ,b 一奇一偶，则22a b +为奇数，而86c +是偶数，仍然矛盾，得证．例5：求22222a b c a b ++=的所有整数解．（1）若0c =，则2222a b a b +=，可知a b b a 且，所以a b =，即有2240a b a a +=⇒=或a =a Z ∈，所以0a b c ===满足方程．（2）若0c ≠，先证明0a ≠，0b ≠．否则，若0a =，则220b c +=．所以0b c ==与0c ≠矛盾．同理，若0b =，矛盾．①若c 为奇数，显然a b 、不同为偶数，当a b 、同为奇数，由于222,,a b c 同为41k +型，则222a b c ++为43k +型，而22a b 为41k +型，矛盾．当a b 、一奇一偶，222a b c ++为42k +型，22a b 为4k 型，矛盾．故若c 为奇数，方程无整数解．②若c 为偶数，当a b 、同为奇数，222a b c ++为42k +型，22a b 为41k +型，矛盾．当a b 、一奇一偶，222a b c ++为41k +型，22a b 为4k 型，矛盾．当a b 、同为偶数，则a b c 、、全为偶，不妨设2m a α=⋅，2n b β=⋅，2t c γ=⋅，其中αβγ、、为奇数，*m n t N ∈、、，于是22222222222222m n t m n αβγαβ+⋅+⋅+⋅=⋅⋅首先不可能有m n t ==，否则222222222()2(2)m m m αβγαβ++=⋅⋅，222αβγ++=2222m αβ⋅⋅，左奇右偶，矛盾．所以m n t 、、不可能全相等． 下证m 不可能是m n t 、、中最小的，否则两边同除以2m，得 22222n m αβ-+⋅+22222222t m n γαβ-⋅=⋅⋅，左奇右偶，矛盾．同理，n 不可能是m n t 、、中最小的．故t 最小，但222222222222222m t n t m n t αβγαβ--+-++=，仍有左奇右偶，矛盾． 例6：求一个三位数，使它等于2n ，并且各位数字之积等于1n -．设210010A n a b c ==++，其中,,a b c 为0,1,2, ,9中的某个数字，且0,2,3,7,8a c ≠≠．由条件，有：1abc n =-，显然0c ≠，否则1n =，A 不是三位数．若c 为偶数，则1abc n =-为偶数，n 为奇数，2n 也为奇数，矛盾．所以 1,9,5c =，下面只需在三位完全平方数中逐一筛查，得361A =．例7：求证：任意六个连续正整数的积不可能是一个整数的立方．【分析】首先证明对任意7n ≥且n N ∈，有33(3)(4)(6)(4)n n n n n +<++<+ 3(4)(6)(3)n n n n ++-+23270n n =-->，3(4)(4)(6)n n n n +-++22(1232)n n =++2(4)(8)0n n =++>设相邻6个正整数为,1,2,3,4,5a a a a a a +++++，则(1)(2)(3)(4)(5)a a a a a a +++++[(5)][(1)(4)][(2)(3)]a a a a a a =+++++222(5)(54)(56)a a a a a a =+++++.设25n a a =+，则6n ≥.当6n =时，61012720⨯⨯=不是一个整数的立方；当7n ≥时，由引理可知2322223(53)(5)(54)(56)(54)a a a a a a a a a a ++<+++++<++，而相邻两个立方数之间不可能有完全立方数，得证.※例8：求使23m n +为完全平方数的所有正整数m 、n ．【分析】设223m n x =+，则2x 必为奇数，且不能被3整除，于是2x 为31k +型，则2m也31k + 为型．当m 为奇数时，设21m t =+，则2122242(31)m t t t +==⋅=⋅+，由二项式定理知：(31)t +被3除余1．所以2m 为32k +型，矛盾．从而m 为偶数，设2m s =，则 2223s n x +=，因为2x 被4除余1，而242s ．所以3n 被4除余1．若n 为奇数，设21n k =+，则213393(81)k k k +=⋅=+，因为(81)k k +为4+1型．所以213k +为43k +型 ，矛盾．故n 为偶数，设2n q =，则22223s q x +=，22(3)(3)s q q x x =+-，所以3q x +与3q x -都是2 的幕的形式．设32q a x +=，则232q s a x --=，解得：121322q a s a ---=-，左奇，所以212121021s a s a s a --=⇒--=⇒=+，12232121q a s --=-=-，所以22231s q -=+，若q 为奇数.2212231(31)(33+1)s q q q ---=+=+-+ ……，242s -∴=1233q q ---+……1+，若1q >，上或右偶右奇，矛盾，1q ∴=，2421s -∴=，2,3,24s a m s ====，22n q ==，即422235+=课后练习：1．证明125n +型的数不可能是完全平方数．2．证明(1)n n +不是完全平方数．3．当22d n （表示d 整除22n ），n 和d 是正整数时，求证2n d +不是完全平方数．4．求证：任意相邻的四个正整数之积不是完全平方数．5．证明对所有正整数n ，22n n ++不可能被15整除．6．求证：两位或两位以上的平方数，至少含有两个不同的数字．7．求证：对于数31n N =+（1）当n 为偶数时，N 能被2整除；（2）当n 为奇数时，N 能被22整除；（3）不论n 为奇数还是偶数，它不能被2的更高次幂整除．8．求证：对任意的正整数n 、k ，622411k k nn ++不是完全平方数． ※9．求证：若整数a ，b ，c 满足222a b c +=，则a ，b ，c 至少有一个是5的倍数．※10．求证：相邻四个正整数的四次幂的和不可能是另一个正整数的四次幂．※11．已知a ，b 为正整数，当22a b +被a b +除时，所得的商为q ，余数为r ，求所有的正整数a 和b ，使得21977q r +=．《完全平方数》课后练习参考答案1．因为1253(41)2n n +=++，而32k +型的数不可能是完全平方数．2．由于222221(1)n n n n n n <+<++=+，所以2(1)n n n n +=+不是完全平方数．3．由于22d n ，则22n md =，其中m 是整数．若2n d +是完全平方数，设22n d x +=，则22222m n m d m x +=，222222m n n m m x +=，2222(2)n m m m x +=．如果上式成立，22m m +应为完全平方数，然而2222(1)m m m m <+<+，所以22m m +不可能是完全平方数，于是产生矛盾．4．设相邻四个整数为m ，1m +，2m +，3m +，则(1)(2)(3)A m m m m =+++ 22(31)1m m =++-．因为2222(3)(31)m m A m m +<<++，所以A 不是完全平方数．5．假定22n n ++能被15整除，设2215n n k ++=，22150n n k ++-=，n =607k -的个位数是3，所以607k -不是完全平方数，所以n 不可能是整数．6．由于完全平方数的个位数只能是0，1，4，9，6，5．（1）若平方数的个位数是1，5，9，则它的十位数是偶数，显然有两位数字不同；（2）若平方数的个位数是6，则它的十位数是奇数，也是两位数字不同；（3）若平方数的个位数是0，若它的十位数不是0，则已有两位数字不同，若它的十位数是0，则百位，千位，…至少有一位不是0，否则与已知二位或二位以上数字相矛盾；（4）若平方数的个位数字是4，它的十位数是偶数．若十位数不是4，则已有两位数字不同；若十位数字是4，而百位，千位，…有一位不是4，则也有两位数字不同．若各位数字都是4，则4444111=⨯ ．由于11…1不是完全平方数（否则，若是完全平方数，由位数是1，十位数应是偶数，这是不可能的），而4是完全平方数，显然它们的积4111444⨯= 不是完全平方数．由（1）（2）（3）（4）可知，两位或两位以上的完全平方数一定有两个数字不同．7．由于3n 是奇数，而任何奇数的平方被8除1．（1）当n 为偶数时，设2n m =，由于223131(3)1(81)1n m m M +=+=+=++，其中M 是整数．于是312(41)n M +=+．所以n 为偶数时，31n +能被2整除；（2）当n 为奇数时，设21n m =+，由于2123133313(81)1n m m a M ++=+=⋅+=++ 4(61)M =+，所以n 为奇数时，31n +能被242=整除；（3）由（1）（2），41M +和61M +都是奇数，所以31n +不可能被2的更高次幂整除．8．设2k t n =，设原式为A ，则32411A t t =++22(2)92t t =+++，若t 能被3整除，则22(2)t t +能被3整除，于是A 为32m +型．若t 不能被3整除，则22t +能被3整除，于是A 也为32m +型．因为32m +型的数不可能是完全平方数，所以A 不是完全平方数．9．首先证明一个不能被5整除的整数的平方一定是51k ±型．这是因为一个不能被5整除的整数可表为51m ±，52m ±型．而22(51)5(52)1m m m ±=±+，22(52)5(541)1m m m ±=±+-．下面证明本题．假定a ，b ，c 中任何一个都不是5的倍数，则2a ，2b ，2c 一定都是51k ±型．（1）若2a 和2b 都是51k +型或都是51k -型，则222a b c +=是52k ±型．但能被5整除的数的平方为5k 型，不能被5整除的数的平方为51k ±，于是2c 不可能为52k ±型，即产生矛盾；（2）若2a 和2b 中一个是51k +型，另一个是51k -型，则22a b +是5k 型，此时c 能被5整除，与假定不符．所以a ，b ，c ，中至少有一个是5的倍数．10．注意到奇数的平方为41k +型，则奇数的四次方也为41k +型，而偶数的四次方为4k 型． 由于相邻四个整数的四次幂的和是两个奇数和两个偶数的四次幂的和，因而是42k +型；但42k +型的数不可能是一个整数的四次幂．11．由0r ≥及21977q r +=知21977q ≤，44.4q ≤=…，这样q 和r 的取值只能是(44,41)，(43,128)，(42,213)，…另一方面：22()a b a b q r +=++，r a b <+， 则：222222()()11()2()2()22a b a b a b a b r a b a b a b +++=≥=+>+++．于是12q r >或112q r >-． 而43q ≤时，128r ≥，1632r q -≥>，所以不可能有43q ≤． 这样q 和r 的取值只能是44q =，41r =．此时有等式2244()41a b a b +=++，配方得 22(22)(22)1009a b -+-=．设22(22)x a =-，22(22)y b =-，则有221009x y +=．由于31.7y ≤= 以及2x 的个位数是0，1，4，9，6，5，从而2y 的个位数只是9，8，5，0，3，4．考虑到2y 是完全平方数，所以它的个位数只能是9，5，0，4．由于2x 和2y 在221009x y +=中的对称性，所以2x 和2y 的个位都不可能是1，6．这样x ，y 只能是0，2，3，5，7，8，10，12，13，15，17，18，20，22，23，25，27，28，30． 对应的2x 是0，4，9，25，49，64，100，144，169，225，289，324，400，484，529，625，729，784，900．由221009y x =-可取得相应的2y 值为1009，1005，1000，984，960，945，909，865，840，784，720，685，609，525，480，384，280，225，109．再考虑2x 和2y 的对称性，只能是上面两组数中共有的数才有可能满足221009x y +=，这种数只有784，225．于是22784225x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，22225784x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 即22(22)784(22)225a b ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，22(22)225(22)784a b ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ 注意到a 和b 是正整数，解得：1 150 37a b =⎧⎨=⎩，22507ab=⎧⎨=⎩，333750ab=⎧⎨=⎩，44750ab=⎧⎨=⎩．。

二、完全平方数的特征
有些题目需要判断一个或几个数是否是平方数，能用的方法有下面 3 个，但一定要记住，尾数和余数特征是多用来判断数不是平方数的，也就 是说满足了这些特征只能说这个数有可能是平方数，不满足就一定不是平 方数；而因数特征才是判断一个数是完全平方数的根本方法！也就是说， 满足因数特征的就一定是平方数，不满足的就一定不是。
3. 范围判断
在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数，这个判断方法需要大家 多背一些平方数。
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五年级春季知识点总结
吴超超
4. 因数特征——偶指奇约
⑴完全平方数分解质因数：每一个质因数的指数都必须是偶数！ ——判断一个数是完全平方数的根本方法 ⑵完全平方数的因数个数：奇数个。 （反之，其他数的因数一定有偶数个）
三、练习题
【练习 1】 1234567654321 (1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1) 是______的平方．
【练习 2】写出从 360 到 630 的自然数中有奇数个约数的数．
【练习 3】从 1 到 100 的所有自然数中，乘以 72 后是完全平方数的数共有多少 个？
五年级春季知识点总结
吴超超
第八讲 完全平方数
完全平方数是数论板块中一个比较精华的小分支，从知识特点上讲属于约 数倍数和质数合数交叉的知识体系，其题目多为考察上述两块综合性知识，是杯 赛和小升初试卷中的一个热点。
一、完全平方数的定义
完全平方数：自然数的平方，也简称为平方数。 注意：完全平方数一定是自然数，也一定可以拆分成两个相同自然 与正整数 a 的乘积是一个完全平方数， 则 a 的最小值是________．
【练习 5】有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为 0，试求满足上 述条件的最小的正整数．

知识要点完全平方数是数论板块中一个比较精华的小分支，从知识特点上讲属于约数倍数和质数合数交叉的知识体系，其题目多为考察上述两块综合性知识，是杯赛和小升初试卷中的一个热点.一.完全平方数的主要性质1、完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。

不可能是2，3，7，8。

2、在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

3、完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。

4、若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。

二.一些重要的推论1、任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。

2、一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。

3、自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。

4、完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。

5、完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。

6、完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。

7、凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。

三.重点公式回顾：平方差公式：22()()a b a b a b -=+-平方和公式: 22221+2+3++(1)(21)6n n n n ⋅⋅⋅=++÷完全平方数基本性质和概念【例 1】(2000年“祖冲之杯”小学数学邀赛)1234567654321(1234567654321)⨯++++++++++++是的平方．【例 2】写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．【例 3】从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？【例 4】已知自然数n满足：12!除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是。