部编人教版数学七年级下册《平方根》省优质课一等奖教案

一、情境导入填空：(1)3的平方等于9，那么9的算术平方根就是________； (2)25的平方等于425，那么425的算术平方根就是________； (3)展厅的地面为正方形，其面积49平方米，则边长为________米．还有平方等于9，425，49的其他数吗？ 二、合作探究探究点一：平方根的概念及性质【类型一】 求一个数的平方根求下列各数的平方根：(1)12425；(2)0.0001；(3)(－4)2；(4)10－6；(5)81. 解析：把带分数化为假分数，含有乘方运算先求出它的幂．注意正数有两个互为相反数的平方根．解：(1)∵12425＝4925，(±75)2＝4925，∴12425的平方根为±75，即±12425＝±75； (2)∵(±0.01)2＝0.0001，∴0.0001的平方根是±0.01，即±0.0001＝±0.01；(3)∵(±4)2＝(－4)2，∴(－4)2的平方根是±4，即±（－4）2＝±4；(4)∵(±10－3)2＝10－6，∴10－6的平方根是±10－3，即±10－6＝±10－3；(5)∵(±3)2＝9＝81，∴81的平方根是±3.[来源:学.科.网Z.X.X.K]方法总结：正确理解平方根的概念，明确是求哪一个数的平方根．如(5)中是求9的平方根． 【类型二】 利用平方根的性质求值一个正数的两个平方根分别是2a ＋1和a －4，求这个数．解析：因为一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数，所以2a ＋1和a －4互为相反数，根据互为相反数的两个数的和为0列方程求解．解：由于一个正数的两个平方根是2a ＋1和a －4，则有2a ＋1＋a －4＝0，即3a －3＝0，解得a ＝1.所以这个数为(2a ＋1)2＝(2＋1)2＝9.方法总结：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，即它们的和为零．探究点二：开平方及相关运算求下列各式中x 的值：(1)x 2＝361; (2)81x 2－49＝0；(3)49(x 2＋1)＝50; (4)(3x －1)2＝(－5)2.解析：若x 2＝a (a ≥0)，则x ＝±a ，先把各题化为x 2＝a 的形式，再求x .其中(4)中可将(3x －1)看作一个整体，先通过开平方求出这个整体的值，然后解方程求出x .解：(1)∵x 2＝361，∴开平方得x ＝±361＝±19；(2)整理81x 2－49＝0，得x 2＝4981，∴开平方得x ＝±4981＝±79； (3)整理49(x 2＋1)＝50，得x 2＝149，∴开平方得x ＝±149＝±17； (4)∵(3x －1)2＝(－5)2，∴开平方得3x －1＝±5.当3x －1＝5时，x ＝2；当3x －1＝－5时，x ＝－43.综上所述，x ＝2或－43. 方法总结：利用平方根的定义进行开平方解方程，从而求出未知数的值．一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；开平方时，不要漏掉负平方根．三、板书设计1．平方根的概念：若x2＝a，则x叫a的平方根，x＝±a.2．平方根的性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．3．开平方及相关运算：求一个数a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数．开平方与平方互为逆运算．为学生提供有趣且富有数学含义的问题，让学生进行充分的探索和交流．如把正方形的面积不断地扩大为原来的2倍、3倍、n倍，引导学生进行交流、讨论与探索，从中感受学习平方根的必要性。

6.1 平方根（第三课时）一、内容和内容解析1. 内容平方根的概念，平方根的性质2.内容解析一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根就是前两节课研究的算术平方根，即一个正数的平方根有两个，而算术平方根只有一个。

平方与开平方互为逆运算，利用这种互逆运算，可以求一个数的平方根，由平方根的概念，通过从特殊到一般以及逻辑推理的方法，可以得出平方根的性质。

本课既是前面学习的算术平方根的延续，又是用直接开平方、公式法解一元二次方程的基础，同时本节课也更好的理解立方根的概念和求法提供了思路和研究方法。

基于以上分析，可以确定本节课的教学重点：平方根的概念。

二、目标和目标解析1. 目标（1）了解平方根的概念，掌握平方根的性质。

（2）能利用开平方与平方运算的关系，求某些非负数的平方根。

2. 目标解析达成目标（1）的标志：学生了解如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根，并会归纳出平方根的性质。

即正数的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根。

达成目标（2）的标志：学生知道开平方根运算与开平方运算互为逆运算，给出一个非负数a,能找出所有满足a2的x。

x=三、教学问题诊断分析学生对于平方根与算术平方根的概念容易混淆，经常出现±的错误，在开始接触平方根时，可能还有两点不太习惯，4=2一是正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果，这与学生过去遇到的运算结果唯一的情况有所不同；二是负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算，这种对运算对象有限定要求的情况以前一般不会遇到。

基于以上分析，本节课的教学难点：平方根与算术平方根的区别于联系。

四、教学支持条件分析通过复习算术平方的相关知识为接下来要学习平方根做一个铺垫。

利用PPT展示通过一个表格，让同学们体会由特殊到一般，从而用类比的方法得到平方根的概念。

用一个“你出一个数我来答这个数的平方根”的小活动，加深同学们对平方根概念的理解和巩固。

6．1 平方根教学目标：知识与技能：1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；2．根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根；(重点)3．了解算术平方根的性质．(难点)过程与方法：通过实际问题所求答案的情况，探究算术平方根的概念及其性质.情感态度与价值观：通学习算数平方根培养学生的抽象思维. 教学过程：一、情境导入：问题一：在我校举行的美术作品比赛中，欢欢同学准备了一些正方形的画布，若知道画布的边长，你能计算出它们的面积吗？若知道画布的面积，你能求出它们的边长吗？问题二：表一：已知一个正数，求这个正数的平方.表二：已知一个正数的平方，求这个正数．表一和表二中的两种运算有什么关系？二、合作探究探究点：算术平方根的概念一般地，如果一个非负数的平方等于a ，那么这个非负数叫做a 的算术平方根.aa 叫做被开方数. 规定：0的算术平方根是0.例1.求下列各数的算术平方根：(1)64；(2)214；(3)0.36；(4)412－402. 解析：根据算术平方根的定义求非负数的算术平方根，只要找到一个非负数的平方等于这个非负数即可．解：(1)∵82＝64，∴64的算术平方根是8；(2)∵(32)2＝94＝214，∴214的算术平方根是32； (3)∵0.62＝0.36，∴0.36的算术平方根是0.6；方法总结：1.求一个数a(a>0)的算术平方根就是确定一个正数x ，使得x 2=a.2.求一个代分数的算术平方根，应先将代分数化成假分数，再求其算术平方根.求一个非负数的算术平方根常借助平方运算，因此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十分有用．从例1可以看出，被开方数越大，对应的算术平方根也越大.这个结论对所有正数都成立。

三、互助提高1.求下列个数的算数平方根：（1（2）（3） 9（4） 0.01 （5）4 （6）02.若x是64的算术平方根，则x=( )A.8B.-8C.64D.-643.0.49的算术平方根的相反数是( )A.0.7B.-0.7C.±0.7D.04.下列各数没有算术平方根的是( )A.0B.-1C.10D.102 四．总结归纳：1.一般地，如果一个非负数的平方等于a，那么这个非负数叫做a的算术平方根.a a叫做被开方数.2.规定：0的算术平方根是0.五：巩固反馈1.( )±10( )A.4B.5C.6D.7( )A.±4B.4C.±2D.24.①一个数的算术平方根一定是正数；②100的算术平方根是10,记；③(-6)2的算术平方根是6；④a 2的算术平方根是a.正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个5.中国的跳水队被冠以“梦之队”的称号,他们辉煌的战绩鼓舞了几代中国人.跳水运动员要在空中下落的短暂过程中完成一系列高难度的动作.如果不考虑空气阻力等其他因素影响,人体下落到水面所需要的时间t 与下落的高度h 之间应遵循下面的公式：h=21gt 2（其中h 的单位是米,t 的单位是秒,g=9.8 m/s 2）.在一次3米板(跳板离地面的高度是3米)的训练中,运动员在跳板上跳起至高出跳板1.2米处下落,那么运动员在下落过程中最多有多长时间完成动作？（精确到0.01秒）六、板书设计算术平方根⎩⎪⎨⎪⎧概念：非负数a 的算术平方根记作a 性质：双重非负性⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0a ≥0被开方数越大，对应的算术平方根也越大.这个结论对所有正数都成立。

6.1平方根
1.课堂要求:集中精力、积极思考、踊跃
回答！
2.教师寄语:我能行，我一定行！
1．梳理旧知，引出新课
师：前面我们已经学习了算术平方根的有关概念，今天我们来学习平方根板书课题：6.1平方根
出示学习目标
师：我们已经学习了几种运算？
（1）有几种运算互为相反数？
（2）你有什么想法？
2、学习新知
活动1：观察思考、猜想
1、研究（）2=9:
2、除了求幂还可以求什么？
3、求底数是平方运算的逆运算。

活动2 小组合作，引出定义
师：如果一个数的平方等于a那么这个数叫做a的平方根
给学生充分展示的机会，
3．应用概念，练习准备文具
同学代表大声朗
读本节课的学习
目标及重点
学生代表回答，
学生准备
文具
进入学习
状态
明确本节
课的学习
目标，做到
学有方向。

在学生已
有知识经
验的基础
上提出问
题，吸引学
生注意力，
9．布置作业
师生共同修正补
充
学生独立思考并
答题
分别由三位同学
代己总结，既锻炼学生的语言表达能力，又能加深学生对知识的掌握和理解。

培养学生的数学语言及思维。

进一步发展学生解决问题能力
培养学生的数学思维，让学生
学生畅所欲言，总结本节课的内容，引导学生回顾从多角度进行思考解决问题，并在思考过程中发现知识点，提高提炼总结的能力。

并检验学生对本节课知识的掌握程。

《算术平方根》教学设计教学目标：知识技能1、了解算术平方根的概念。

2、会求一些数的算术平方根，并用算术平方根符号表示。

过程与方法：1、通过学习算术平方根，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维；2、通过探究的大小，培养学生估算意识，了解两个方向无限逼近的数学思想情感态度：1、通过学习算术平方根，认识数学与人类生活的密切联系；2、通过探究活动，锻炼克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情。

教学重点、难点重点：算术平方根的概念，感受无理数；难点：探究的大小的过程；学习目标：学习重点：算术平方根的概念和求法一、创设情境，引入新课问题：校要举行美术作品比赛，小鸥很高兴．想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？师：∵52＝25，∴这个正方形画框的边长应取5 dm .二、讲授新课（一）认识算术平方根1、填表：师：上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题。

师：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．记作a ，读作“根号a ”，a 叫做被开方数。

规定：0的算术平方根是0。

师：我们一起来做题。

展示课件：2、例： 求下列各数的算术平方根：(1)100； (2)4964； (3)0.0001. 学生活动：尝试独立完成。

教师活动：巡视、指导，派一生上黑板板演。

师生共同完成。

解：(1)∵102＝100，∴100的算术平方根是10。

即100＝10。

(2)∵(78)2＝4964， ∴4964的算术平方根是78，即4964＝78. (3)∵0.012＝0.0001，∴0.0001的算术平方根是0.01，即0.0001＝0.01。

（二）、练习：1、求下列各数的算术平方根： （1） （2）0 （3）|-36| （4）（-2）²2、求下列各式的值：（1） ；（2） ；（3） ；（4） 。

（三）讨论：1、被开方数的大小与对应的算术平方根的大小之间有什么关系呢？2、-1有算术平方根吗？什么数才有算术平方根？3、总结：算术平方根的“双重非负性”。