三角网格离散曲率估计和Taubin方法改进

曲面的自适应三角网格剖分
徐松;王剑英
【期刊名称】《计算机辅助设计与图形学学报》
【年(卷),期】2000(012)004
【摘要】在传统的映射法基础上,采用自适应三角网格加密法能有效地处理带有特征约束条件的任意曲面的三角剖分问题.在平面三角化算法中对环边统一处理,并且采取了一种简单有效的曲率估算方法,提高了运行效率;并在保持外观的基础上进行了网格质量的优化.
【总页数】5页(P267-271)
【作者】徐松;王剑英
【作者单位】中国科学技术大学计算机系,合肥,230027;中国科学技术大学计算机系,合肥,230027
【正文语种】中文
【中图分类】TP391.41
【相关文献】
1.注塑模表面自适应三角网格剖分策略 [J], 王玉槐;贾虹;孙亚萍
2.快速实现二次曲面片三角网格剖分的新方法 [J], 王伟;刘春;王艳秋
3.基于自适应三角化的船舶曲面分段网格细分 [J], 李纯金;杨秋林
4.基于曲率球的参数曲面自适应三角化方法研究 [J], 杨伟民;楼天良;林志伟;沈洪垚
5.存在约束条件的复杂曲面三角网格剖分方法 [J], 尹忠慰;张玉萍;蒋寿伟
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基于Taubin拟合方法的眼睛定位算法金凌晨;杨定礼【摘要】眼睛的定位及特征的提取在表情的理解、人机交互、身份识别、人脸检测等方面有重要的作用.直接用最小二乘法拟合椭圆的方法定位眼睛时,容易将不该生成椭圆解的地方拟合出了椭圆,Hough变换所需计算量大,占用内存大.针对上述问题,提出采用Taubin拟合与随机Hough变换(RHT)算法相结合方法获得眼睑的椭圆方程,最后把拟合椭圆的中心点作为眼睑中心点,拟合的椭圆作为眼睑的边缘.实验结果表明,该算法定位眼睛的平均检测率达94.6％,平均检测时间为0.12秒.【期刊名称】《淮阴工学院学报》【年(卷),期】2013(022)003【总页数】5页(P21-25)【关键词】Taubin拟合方法;眼睛定位;随机Hough变换;椭圆拟合【作者】金凌晨;杨定礼【作者单位】南京大学金陵学院,南京210089;淮阴工学院电子与电气工程学院,江苏淮安223003【正文语种】中文【中图分类】TP391.40 引言在机器视觉中，如:表情的理解、人机交互、身份识别、人脸检测等，对眼睛定位及特征的提取是非常重要的。

目前，主要有两种基本的眼睛定位方法:基于特征点的算法［1，2］和基于模板匹配的算法［3］。

基于特征点的方法是利用特征点构造出眼睛轮廓，它的特点是鲁棒性强、速度快，缺点是精度较低。

基于模板的方法既可以得到眼睛的形状信息，又可以得到位置信息，但其参数选择比较复杂，速度比较慢。

为了进一步提高基于特征点的方法的准确性，本文提出了一种新的眼睛定位方法，首先用文献［4］的方法检测到人脸，然后得到眼睑的大概区域，采用Sobel算子对含有眼睛的图像进行边缘检测，接着通过寻找具有最大边缘像素点的联通区域，再用Taubin拟合与RHT变换相结合的方法获得眼睑的椭圆参数，最后把拟合椭圆的中心点作为眼睑中心点，将拟合的椭圆作为眼睑的边缘，从而提取出眼睛定位信息。

1 用Taubin拟合椭圆寻找椭圆的方法主要有两类:投票聚类算法和最优算法。

三角网格离散曲率估计和Taubin方法改进的开题报告1. 研究背景曲率是表征曲面局部几何形态特征的重要参数。

在计算机图形学、机器视觉、地形测量、医学图像处理等领域都有广泛应用。

三角网格是离散表示曲面的一种常见方式，因其数据结构简单、计算效率高，已广泛应用于曲面重建、曲面拓扑分析和曲面变形等领域。

在三角网格上进行曲率估计是一个重要的问题。

然而，由于离散网格的非线性性质和近似误差等原因，在三角网格上进行精确曲率估计是非常具有挑战性的。

2. 研究目的本文旨在研究三角网格上的离散曲率估计方法，并尝试改进Taubin方法以提高其计算精度和效率。

3. 研究内容及方法主要研究内容包括：（1）三角网格上曲率估计方法的综述，包括高斯曲率、平均曲率和主曲率等基本概念和计算方法。

（2）对三角网格上曲率估计存在的问题进行分析，包括离散误差、噪声和计算复杂度等方面。

（3）研究Taubin方法的原理和算法，分析其存在的问题和改进空间。

（4）提出一种改进的Taubin方法，并通过对比实验验证其改进效果。

主要研究方法包括：（1）文献综述法，对三角网格上曲率估计方法进行综述和分析，总结曲率估计的基本思路和算法。

（2）数学建模法，通过建立数学模型，研究Taubin方法的原理和算法。

（3）实验验证法，通过三角网格模拟实验和真实数据实验，评估改进的Taubin方法的精度和效率。

4. 研究意义本文研究将为三角网格上曲率估计的理论研究和实际应用提供有价值的参考。

尤其是改进的Taubin方法，将有效提高曲率估计的精度和效率，对于曲面重建、曲面拓扑分析和曲面变形等领域的研究有着重要的意义。

5. 预期成果（1）对三角网格上曲率估计方法的综述和分析。

（2）设计改进的Taubin方法，提高曲率估计的精度和效率。

（3）使用三角网格模拟实验和真实数据实验验证改进的方法。

（4）论文发表及学术交流。

用基于三角形网格的LDG方法求解偏微分方程的开题报告
开题报告：用基于三角形网格的LDG方法求解偏微分方程
研究背景和意义：
偏微分方程是自然现象运动规律等科学领域的核心研究问题之一。

它在许多工程领域，如气象学、力学、天文学、生物学等方面都有广泛应用。

这些方程通常涉及多
维空间，因此需要进行较为精细的离散处理。

LDG方法是一种求解偏微分方程的方法。

它将方程离散化为一组非线性代数方程，并以这种方式解决方程。

它可以适用于各种各样的边界条件，适用于一些非单调、非
线性问题。

研究内容和目标：
本研究旨在探究LDG方法在解决偏微分方程中的问题中的适用性和优点。

具体
来说，研究将采用基于三角形网格的LDG方法来解决偏微分方程问题。

为了更好地将该方法应用于实际问题，研究将探索如何优化该方法、如何针对不同类型的偏微分方
程进行调整以获得更好的结果。

研究方法：
本研究将采用基于三角形网格的LDG方法，对偏微分方程进行离散处理，并尝
试求解非线性、非单调的问题。

需要使用Matlab等计算工具对计算进行调整和优化，以使LDG方法获得最佳的适用性和效果。

预期成果和意义：
通过该研究，可以实现基于三角形网格的LDG方法在解决偏微分方程问题中的
成功应用。

这将为偏微分方程问题的求解提供新的研究方向和思路，并能够为工程应
用提供更为准确、高效的计算方法。

基于NURBS曲面拟合的三角网格曲率计算
毛颖;唐杰;张福炎
【期刊名称】《计算机应用》
【年(卷),期】2005(025)002
【摘要】针对三角网格提出了一种基于NURBS曲面拟合的计算Gauss曲率和平均曲率的算法.首先选取边界检测后的二阶邻点作为局部拟合数据,采用直接投影法实现参数化,由二次NURBS曲面进行最小平方拟合反算控制点矩阵,最后由拟合曲面计算曲率.并从三角网格分辨率和噪声两方面进行了比较,实验结果表明本文算法精度高、较其他算法稳定,因而更具通用性.
【总页数】4页(P341-343,347)
【作者】毛颖;唐杰;张福炎
【作者单位】南京大学,软件新技术国家重点实验室,江苏,南京,210093;南京大学
计算机科学与技术系,江苏,南京,210093;南京大学,软件新技术国家重点实验室,江苏,南京,210093;南京大学计算机科学与技术系,江苏,南京,210093;南京大学,软件新技术国家重点实验室,江苏,南京,210093;南京大学计算机科学与技术系,江苏,南京,210093
【正文语种】中文
【中图分类】TP391.41
【相关文献】
1.基于NURBS建模双曲率曲面RCS计算 [J], 王文洋
2.基于平方距离极小化方法用C-C细分曲面拟合三角网格 [J], 李涛;周来水
3.基于离散曲率计算的三角网格模型优化调整 [J], 神会存;周来水
4.基于散乱点的局部n次曲面拟合及其曲率计算 [J], 杨荣华;花向红;游扬声
5.基于分数阶傅里叶变换的NURBS曲面拟合 [J], 孔德明;黄紫双;王书涛;史慧超因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

一种改进的基于三角形折叠和包络的网格简化
刘坚;丁友东
【期刊名称】《计算机工程与科学》
【年(卷),期】2006(028)001
【摘要】我们提出了一种带属性的三角形网格简化方法,该方法利用包络和二次误差矩阵来共同控制简化:利用包络控制网格简化的全局误差,保证简化的整体效果;利用二次误差矩阵对网格简化的局部误差进行控制,以保持模型的局部特征和细节.算法中还加入了颜色、纹理方面的参数,以保持模型的颜色和纹理特征.
【总页数】3页(P51-53)
【作者】刘坚;丁友东
【作者单位】上海大学计算机科学与工程学院,上海,200072;上海大学计算机科学与工程学院,上海,200072
【正文语种】中文
【中图分类】TP391.41
【相关文献】
1.一种基于单层包络控制的三角形网格简化算法 [J], 申煜湘;邹北骥;孙家广;朱理
2.一种基于单层包络控制的三角形网格简化算法 [J], 申煜湘;邹北骥;等
3.一种改进的基于三角形折叠的网格简化算法 [J], 孙永辉;姜昱明
4.一种三角形折叠网格模型简化的改进算法 [J], 李楠;肖克炎;李源;陈析璆n;邹伟
5.一种改进的基于三角形折叠的模型简化算法 [J], 朱春;曾亮
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三角网格模型顶点法矢与离散曲率计算在地理信息科学领域，三角网格模型是一种重要的数据表示形式，在不同的应用中，三角网格模型都被广泛使用，尤其在空间数据的处理中。

而离散曲率的计算是空间数据处理中的一个重要步骤，它可以用来分析和识别具有特定曲率属性的几何特征。

本文以三角网格模型顶点法矢作为基础，研究了三角网格模型中离散曲率的计算方法。

三角网格模型顶点法矢是指每个三角形网格模型顶点上有一组法矢，用来表示顶点的特征。

法矢是用来描述空间位置的重要信息，可以表示两个顶点之间的关系和距离。

有了法矢的支持，三角网格模型的离散曲率可以被清楚地定义为每个三角形模型顶点的法矢之和，以及该顶点的相邻顶点的法矢之和的比值。

在这种情况下，离散曲率仅表示特定顶点的曲率，而不是整个三角形模型的曲率。

文献[1]指出，离散曲率可以用来检测三角网格模型中所有顶点的曲率特征，并可以用来提取三角网格模型中的几何特征，如突出的边缘，曲率峰值和曲率极大值。

在计算离散曲率的过程中，以每个空间点为中心计算一个邻域，将邻域内的顶点法矢和每个顶点的法矢求和，得到该点处的离散曲率。

此外，基于遗传算法的离散曲率计算方法也被提出[2]。

通过遗传算法，可以将复杂的离散曲率计算任务减少到计算领域内可实现最优解的约束最优化问题。

同时，遗传算法计算出的离散曲率更加准确，也更加稳定。

以上是关于三角网格模型中离散曲率的计算方法的简要介绍，接下来将进一步探讨三角网格模型中离散曲率的应用。

三角网格模型中离散曲率的应用主要表现在几何处理上，如三角剖分，三角网格数据建模，三角可视化以及三角几何变换等方面。

在三角剖分中，离散曲率可以用来识别并删除异类三角形以及处理三角形边界，保持其几何结构的一致性；在三角网格数据建模中，离散曲率可以用来精确地建模复杂曲面以及在三角网格中表示曲率的变化；在三角可视化中，离散曲率可以用于重建物体的三维外观，或者进行图像编码表示；在三角几何变换中，离散曲率可以用来确定物体变换前和变换后的不变结构，并可以用来恢复物体的正确几何特征。

一种基于八叉剖分的近似曲率的边折叠简化算法
张果;刘旭敏
【期刊名称】《计算机应用研究》
【年(卷),期】2010(027)005
【摘要】为了提高三角网格模型简化的速度,满足实时显示的要求,并且有效地克服边折叠简化算法在低分辨率的状态下易丢失模型重要几何特征的问题,提出了一种基于八叉剖分的近似曲率的边折叠简化算法.采用八叉树结构自适应地分割网格模型空间,同时在各个区域中采用近似曲率的边折叠算法并行地进行边折叠操作.实验证明,该算法取得了不错的效果.
【总页数】4页(P1955-1958)
【作者】张果;刘旭敏
【作者单位】首都师范大学,信息工程学院,北京,100048;首都师范大学,信息工程学院,北京,100048
【正文语种】中文
【中图分类】TP394.41
【相关文献】
1.基于离散曲率的三角形折叠简化算法 [J], 石坚;董洪伟
2.一种改进的基于三角形折叠的模型简化算法 [J], 朱春;曾亮
3.一种基于近似曲率的边折叠简化算法 [J], 张果;刘旭敏;关永
4.基于离散曲率的边折叠网格简化算法 [J], 吕晟珉;杨勋年;汪国昭
5.基于改进离散曲率的三角形折叠简化算法 [J], 鲁洪;苏红旗;杜守印
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基于曲率的点云数据简化方法摘要：作为一种非接触型设备，它可以快速高精度的采集部分曲面数据，它变成最常用的设备，对于刻画部分曲面数据。

然而，它产生大量的点云数据，为了减少计算时间和降低内存需求必须对这些点云数据进行精简。

针对以往点云数据精简方法的局限性，本文提出一种基于曲率的新的精简方法。

它包括搜索K个近临为了重建数据拓扑结构，计算和调整切平面法线，通过使用抛物线拟合的方法来估计曲率，并且给出数据精简原则。

实验结果表明新的方法明显的减少了点云的数量，而且完好的保留了物体的几何特征。

关键字：数据精简、K个近邻、逆向工程、曲率1简介在逆向工程中，一种非接触式测量设备可以非常快速、高精度的扫描部件，它变成刻画部分曲面数据的主流设备。

然而，获取的数据是稠密无序的，以至于难于直接给表面模型着色。

这些数据需要大量的存储空间、并且大大的增加了计算的时间。

因此，如何大量的精简点云数据的数量，并完美的保留数据的几何特征是点云数据精简的关键。

两个主要的趋势可以被观测到在这个实验尝试中。

一个是格网简化。

正如一个一般的缺点，它首先必须建立并维持网格数据结构，然后根据一些原则来减少数据，这个过程是很复杂和花费时间的。

另一种是基于点的精简方法，这种方法减少点云数据通过使用部分几何信息。

在文献3中，作者使用包围盒去构建分割面来将数据分割成线结构，然后根据弦角偏差法精简点云数据。

在文献4中，作者使用基于局部曲面的点的法线值，这个局部曲面来自使用法线标准差生成的不规则三角网。

数据精简是通过在每个网格中选择一个代表性的点，删除其他的点来完成的。

基于曲率减少点云是另一种基于点精简的方法。

在参考文献5中，作者根据计算出来的每个点的曲率将点进行划分，并且不同的区间设立不同的误差值ξ，然后保留误差值大于ξ的点。

然而，这种方法并没有明确指出每个误差值ξ的标准值。

在参考文献6中，作者将点云划分成两种类型高曲率点和低曲率点通过使用阈值T，那些低曲率的点根据需要被提取，而那些高曲率的点是根据预先设置的比分比被提取的，阈值T的选择主要是根据经验。

离散三角网格上的法向量和曲率估计的开题报告一、选题背景及意义在三维计算机图形学中，法向量和曲率是常用的概念，用于表征三维物体的外形特征。

然而，对于离散化表示的三维物体（如三角网格），法向量和曲率的计算却比较困难，需要对邻近的网格点进行采样和拟合，计算量较大。

因此，本文将研究离散三角网格上的法向量和曲率估计方法，旨在提高计算效率和准确性，为三维物体建模和渲染提供支持。

二、研究目标本文的主要研究目标如下：1.研究离散三角网格上法向量和曲率的定义和计算方法；2.探索基于局部拟合的法向量和曲率估计方法；3.评估几种方法的计算效率和估计精度；4.应用研究结果于三维物体建模和渲染领域。

三、研究内容本文将主要围绕离散三角网格上法向量和曲率的定义、计算和估计方法展开研究。

具体研究内容如下：1.介绍离散三角网格表示和基本概念：三角网格、点、边、面等；2.定义离散三角网格上的法向量和曲率，并探索各种计算方法；3.研究基于局部拟合的法向量和曲率估计方法，包括最小二乘拟合、加权最小二乘拟合等；4.评估几种方法的计算效率和估计精度，并进行对比分析；5.讨论应用研究结果于三维物体建模和渲染领域的可能性和局限性，并进行展望。

四、研究方法本文将采用文献调研和实验分析相结合的方法研究离散三角网格上的法向量和曲率估计。

具体研究方法如下：1.调研现有的离散三角网格上法向量和曲率计算方法，并归纳总结；2.实验分析基于局部拟合的法向量和曲率估计方法的计算效率和估计精度；3.对比分析各种方法的优缺点，并提出改进措施；4.讨论研究结果的应用前景和可能性。

五、预期结果通过本文的研究，预期可以得出以下结论：1.对于离散三角网格，常用的法向量和曲率计算方法有哪些；2.基于局部拟合的法向量和曲率估计方法的计算效率和估计精度如何；3.各种方法的优缺点和适用条件是什么；4.如何将研究结果应用于三维物体建模和渲染领域。

六、研究意义本文的研究成果可以为离散三角网格上的法向量和曲率计算提供指导，有助于提高计算效率和估计精度，为三维物体建模和渲染领域的应用提供支持。

三角网格曲面上离散曲率改进算法马献德;谢小峰【摘要】The Meyer method of calculating discrete curvatures for triangular meshes is concise in geometry and requires relatively small amount of calculation, but there is still potential to improve its results. The concepts of mean curvature structural vector and Gauss curvature structural angle are suggested, along with their geometric significance. Based on these analyses, the improved algorithms of the Meyer method are constructed, in which the main steps are simplified and the unnecessary errors are avoided. Simulation results show that the proposed algorithms effectively improve the calculation precision and efficiency of discrete curvatures estimation for triangular meshes.%计算三角网格离散曲面曲率的Meyer方法几何意义简明，计算量较小，但其计算效果仍有进一步提高的潜力。

通过对Meyer方法的深入分析，提出了平均曲率构造向量和Gauss曲率构造角的概念，并指出了它们的几何意义，在此基础上构造了对Meyer方法的改进算法。

算法改进的自组织神经网络曲面重构吴雪梅;于广滨;赵永强;胡长胜;李瑰贤【摘要】为提高神经网络法三角网格曲面重构的效率,提出自组织神经网络算法与模糊聚类算法相结合的改进算法.应用改进算法对大规模散乱点云曲面及花瓶实例进行了网络训练及三角网格重建,在初次网络训练收敛后,加入模糊聚类计算模块,由模糊聚类算法中隶属度计算来确定输入样本是否可用.与自组织神经网络算法训练特性进行了比较,结果表明：改进后算法避免了以往算法的重复循环,减少了计算量,加快了网络训练收敛速度和三角网格曲面重构的速度.仿真重构结果表明：改进后的自组织神经网络算法可实现不同疏密程度的三角网格曲面重建,并可在保持原数据特征的前提下实现数据精简,较通常算法收敛速度快.%To improve the efficiency of triangle mesh surface reconstruction in neural network,an improved Kohonen neural network is put forward,which combines Kohonen neural network and faintness clustering algorithm,and by which large scale scattered point clouds triangle mesh surface and vase surface reconstruction have been done.Characteristics comparison is carried out between the improved algorithm and general one,and the results show that the improved algorithm avoids repeat circulation in general algorithm,reduces calculation time,improves the efficiency and rate of the triangle mesh surface reconstruction.Simulation reconstruction result indicates that the improved arithmetic can realize sparse and dense triangle mesh surface reconstruction and data condensation under preconditions with primary data characteristics.The improved arithmetic has fast network convergence speed.【期刊名称】《哈尔滨工业大学学报》【年(卷),期】2012(044)005【总页数】3页(P63-65)【关键词】三角网格曲面重建;自组织神经网络;模糊聚类【作者】吴雪梅;于广滨;赵永强;胡长胜;李瑰贤【作者单位】合尔滨工业大学机电工程学院,哈尔滨150001／哈尔滨工业大学材料科学与工程学院博士后流动站,哈尔滨150001;哈尔滨理工大学机械动力学院,哈尔滨150080;合尔滨工业大学机电工程学院,哈尔滨150001;合尔滨工业大学机电工程学院,哈尔滨150001;合尔滨工业大学机电工程学院,哈尔滨150001【正文语种】中文【中图分类】TH164传统曲面重构方法存在局限性大及自适应能力差等缺点，例如:密集点云无法直接用NURBS拟合曲面;三角曲面片法对测量数据插值计算负荷大;拟合法中新控制网格构建困难等［1～3］.如果曲面局部数据缺失，建立模型更加困难［4～7］. Kohonen神经网络的重要特点是保持临近关系的拓扑性质不变［8］，对解决自由曲面重构问题很有优势.提高网络的学习效率是本文研究的关键，提出了一种基于模糊聚类的自组织神经网络新算法.该方法具有较强的可操作性和实用性，计算量小，局部曲面的精确重构能力强，重构速度快，效率高.1 改进的Kohonen神经网络相关参数选取及网络设计Kohonen神经网络学习有几个至关重要的参数:增益项(学习率)η(t)、邻域半径Ng(t)以及输出层神经元数等.参数具体形式的选取将直接影响到网络的学习效率和效果.1.1 定义网络输入在神经网络训练过程中，选取Kohonen神经网络输入层节点数为3，分别对应为随机输入样本(即散乱数据点)的三维位置坐标分量x、y和z.网络权值wij初始化为输出层神经元节点在空间的位置矢量，其维数等于网络输入样本的维数(本文中为3).定义网络的输入为Xi=［，…］T，i=1，2，…，k;对应的竞争层神经元的输出响应为Oj，j=1，2，…，m;竞争层中的神经元j与输入层神经元之间的权矢量Wj=［,，…］T，j=1，2，…，m.1.2 竞争层中获胜神经元的评价方法计算输入矢量Xi与连接权矢量Wj的欧式距离，取欧式距离最小者对应的神经元为竞争层中的获胜神经元g.1.3 增益项和邻域半径函数选取增益项和邻域半径函数选取高斯函数其中t为训练算法重复次数，s为预先指定的固定值，其含义与邻域函数中的s含义相同.随着s取值的增大，增益项曲线的陡度变得平缓［9］.对邻域函数，s可以控制邻域函数的陡度状况，如果散乱数据点比较简单，通过s 值来控制邻域函数使它降低得快一些;如果散乱数据点比较复杂，可以利用s使它降低得缓慢一些.这样可以对散乱数据点集更精确地逼近.增益项主要控制网络拓扑结构中节点移动距离的大小.最佳情况是在训练初始阶段网络拓扑结构上节点移动的距离大一点;而在训练的最后阶段，网络拓扑结构上的节点移动距离要小一点.2 改进的Kohonen神经网络算法为加快网络收敛速度，在自组织神经网络训练过程中加入模糊聚类算法，在初次网络训练收敛后，由模糊聚类算法中的隶属度计算来确定输入样本是否可用，避免了每输入一个点都要重复很多步骤的循环，大大加快了三角网格曲面重构的速度.算法流程如图1所示.图1 改进的Kohonen神经网络算法流程改进的Kohonen神经网络具体算法如下:1)取输入节点数为3，时间t=1，给定网络的拓扑结构和竞争层的输出节点数m.2)选择散乱数据点集的中心点的坐标值加上一个小随机数来初始化网络的权值wij(i=1，2，3;j=1，2，…，m).3)从散乱数据点集中随机地选择一个点Xi(xi1，xi2，xi3)(i=1，2，…，n)作为网络输入.4)计算所有输出节点与输入节点之间的欧式距离dg，5)根据式(1)邻域半径函数计算获胜节点dg的邻域Ng(t)，然后通过等式(2)来更新获胜节点权值以及在dg邻域内的节点权值［9］，式中:η(t)为增益项，0＜η(t)＜1，i=1，2，…，n.6)t=t+1，从原散乱数据点集中随机选择下一个点，重复步骤4)～6)直到网络训练完毕.7)以网络收敛时的权值作为初始聚类中心C0，聚类中心定义为Ck，k=0，1，2，…，s.8)根据聚类中心值按式(3)计算模糊隶属度矩阵U［10］，其中:uij为模糊隶属度矩阵U中的元素，表示输入样本中任意样本对某类聚类中心的隶属度;dik(xi，ci)、djk(xi，cj)为输入的任意样本xi与第i及j类聚类中心ci、cj的距离;q为加权指数，q∈(1，∞).9)调整聚类中心值ck，10)如果‖ck+1-ck‖≤ε，则停止;否则k=k+1并返回8)继续.这里，ε为一初始设定的控制参数，视测量点集中点与点之间距离来确定.3 模型重构实例对图2(a)所示某曲面点云，利用增益项的调节来实现网格由稀疏到密集的不同密度三角网格曲面重构，如图2中(b)、(c)，(d)为光照后重构曲面，由图可见重构结果理想、曲面光滑.图2 三角网格曲面重构应用改进的自组织特征映射神经网络算法对图3所示花瓶实体进行重构，重构曲面及网格都很理想.图3 花瓶三角网格曲面重构图例图4为改进前后自组织特征映射神经网络训练特征曲线的对比情况.应用未改进算法的自组织特征映射神经网络训练特性曲线如图4(b)，精度为10-4mm，迭代500次仍没有收敛趋势.而图4(a)所示本文算法精度为10-5mm，迭代320次收敛.可见本文算法网络收敛速度很快.图4 自组织特征映射神经网络训练特性曲线对比4 结论1)基于模糊聚类的自组织神经网络可实现三维密集散乱数据点自组织压缩，生成期望疏密程度和逼近精度的三角形拓扑网格，并可有效保持原始数据点集的拓扑特征，从而实现了大规模散乱数据点的精确曲面重构.2)算法减小计算量、缩短网络训练时间，加快了曲面重构的速度.参考文献:［1］CHUI H L，ANAND R.A new point matching algorithm for non-rigid registration［J］.Computer Vision and Image Understanding，2003，89(2/3):114-141.［2］LIEPA P.Filling holes in meshes［C］//Proceedings of the Eurographics Symposium on Geometry Processing.Aachen，Germany:ACM，2003:200-205.［3］JU T.Robust repair of polygonal models［C］//Computer Graphics Proceedings，Annual Conference Series.New York:ACM SIGGRAPH，2004:888-895.［4］REUTER P，TOBOR I，SCHLICK C，et al.Point-based modeling and rendering using radial basis functions［C］//Proceedings of the1stInternational Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques in Australasia and South East Asia.Melbourne，Australia:［s.n.］，2003:111-117.［5］NOORUDDIN F S，TURK G.Simplification and repair of polygonal models using volumetric techniques［J］.IEEE Trans on Visualization and Computer Graphics，2003，9(2):191-205.［6］MEDEROS B，VELHO L，FIGUEIREDO L H.Moving least squares multi-resolution surface approximation［C］//Brazilian Symposium on Computer Graphics and Image Processing.Havana，Brazil:ACM，2003:12-15，19-24. ［7］LIU G H，WONG Y S，ZHANG Y F，et al.Error-based segmentation of cloud data for direct rapid prototyping［J］.Computer-Aided Design，2002，35:633-645.［8］HOFFMANN M，VARADY L.Free-form curve design by neural networks［J］.Acta Acad Paed Agriensis，1997，24:99-104.［9］吴微.神经网络计算［M］.北京:高等教育出版社，2003:59-60. ［10］HOFFMANN M.Modified Kohonen neural network for surface reconstruction［J］.Publ Math，1999，54:857-864.。

一种基于能量模型的曲面展开改进算法严国彪;刘斌【摘要】针对现有算法存在的问题,提出一种基于能量模型的自由曲面展开改进算法.算法的改进主要是对时间步长的调整.通过调整时间步长,避免展开过程中发散现象,同时也有效地提高曲面展开的精度,较好地解决展开过程中因迭代次数过多而引起的振荡现象,提高曲面展开的质量.算例结果表明,算法是有效的,可以满足实时交互设计的要求.【期刊名称】《华侨大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(032)002【总页数】5页(P135-139)【关键词】曲面展开;能量模型;时间步长;三角网格【作者】严国彪;刘斌【作者单位】华侨大学,机电及自动化学院,福建,泉州,362021;华侨大学,机电及自动化学院,福建,泉州,362021【正文语种】中文【中图分类】TP391.73D曲面展开技术广泛应用于飞机、汽车、船舶,以及服装和鞋类等设计和制造领域中.这些行业都需要得到设计产品的平面外形图.传统的方法是将最初的平面外形图手工进行反复缝合、修改,直至最终得到理想的外形图.许多应用于产业的CAD/CAM系统具有将立体曲面展开为平面的功能,大大方便了后继的设计和制造.曲面的展开问题,特别是复杂曲面的展开问题[1-2],一直是计算机辅助几何设计领域研究的热点和难点.合理地展开三维曲面是CAD&CG领域中众多技术得以实现的重要基础,国内外众多学者进行了不少相关的研究.文献[3-5]在曲面展开系统中采用了弹簧-质点模型对其曲面展开进行优化,但他们研究的侧重点不同.上述算法都未考虑到迭代优化中的发散问题,即如果参数选择不合理的话,则很容易产生发散,使迭代过程不收敛,导致展开计算失败.基于此,本文提出基于能量模型曲面展开的改进方法.1.1 能量模型的建立曲面展开前,先对曲面进行三角化,并由三角化网格建立一个弹簧质点系统.该系统的物理量与某些几何量是相对应的,如力、质量和弹性变形能是由网格节点间的距离和三角片的面积确定的.原始网格形状和展开后二维片形状之间的差别,可视为一种贮存在弹簧质点系统中的弹性变形能,通过释放变形能,提高曲面展开质量.由于能量是状态的单值函数,与过程无关,所以能量的关系式比较容易列出.在能量模型中,大多数基于物理的参数,如系统力、质量和弹性变形能等,均由其相关的几何量定义而得[6-7].研究中可将材料特性加入,由此,不同的材料特性将可得到不同的展开结果,有利于工程上的实际应用.弹簧质点系统的示意图,如图1所示.图1中,Pi为质点,质点 Pi和 Pj间的联接为弹簧.在曲面展开成平面的过程中,如果平面上 Pi和 Pj的间距大于对应的原始曲面上此两点的间距,则对 Pi和 Pj施以拉力(图1中P0和 P1点);反之,则施以推力(图1中 P0和 P6点).弹性变形能 E和弹性力f的计算式为上式中:C为弹簧弹性变形系数;|Pi Pj|是曲面展开后的平面上 Pi到 Pj的距离;dj为空间曲面上的Pi到 Pj的距离;是从 Pi指向 Pj的单位矢量,n为质点 Pi相邻的质点数.在曲面展开过程中,质点的运动可以用拉格朗日方程来描述,即式(3)中:M,D和K分别为系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵;gq为局部自由度与全局自由度之差引起的系统内力,fq为系统外力.在弹簧系统中,gq和fq为零,而阻尼矩阵D可以忽略,所以拉格朗日方程可简化为当考虑质点运动中的时间间隔Δt很小时,质点 Pi的加速度可被认为是常量,则整个系统中的各个质点处于平衡.利用欧拉法可以求解式(4)的拉格朗日方程,即式(4)可变换为式(5)中:mi是节点 Pi的质量;ζ是曲面的面密度;fi(t)是作用在节点 Pi上的弹性力;Ak是包含节点Pi的所有三角形中第k个三角形的面积;¨q(t)是节点 Pi的加速度;˙q(t)是节点 Pi的速度;qi(t)是节点Pi在时间t的位置.这里,面密度ζ并非真正意义上的曲面面密度.在多数基于物理的模型中,ζ和C只是使变形更为有效的参数.因此,算法中取ζ=,C=0.5.通过适当地选择这两个参数,可使能量模型适用于不同材料特性的曲面.1.2 算法的改进为了得到精确的展开平面,需要进行能量算法的多次迭代.从式(5)的第3个式子可以看出,前一时刻的速度对后一时刻的速度是有很大影响的.当迭代次数较多时(一般复杂曲面要进行很多次的迭代),惯性作用会产生累积效应,导致的后果是在当前时刻得到的质点速度非常大.即使后一时刻加速度与前一时刻速度是反向的,质点的运动也不能立即反向,而是会继续向原来方向运动.这样就会导致越来越偏离平衡位置,网格边长的变形程度越来越厉害,最终的结果是在曲面展开中产生较大的振荡.曲面越复杂,这种副作用就越明显,以致得不到符合需要的展开平面.为了避免这种不利的副作用,采取忽略初速度的方法,对式(5)中的第3,4式进行调整,即采取忽略初速度的初衷是为了避免发散现象.若优化的时间Δt过小,曲面展平的优化速度太慢,迭代次数过多,展开时间过长,所得到的优化效果不明显;若优化的时间Δt过大,展平过程中会引起迭代振荡,得不到所需的展开平面.所以,如何取优化时间Δt是算法的关键.适当地选取优化时间,可避免初始时间步长取值不合适而浪费大量的计算时间或迭代发散的情况. Δt是随着迭代次数的增多而不断减小,其计算式为式(8)中:t0是初始优化时间;d t为迭代过程中每次优化时间的变化量;N为算法的当前迭代次数;M为Δt变化一次所需的迭代次数.在算法迭代的初期,为达到优化的高效率目的,适当选取较大的 t0值(这里取 t0为0.5～0.6).随着迭代次数的增加,质点离平衡点越来越近,此时,Δt应当取较小值,以防止振荡现象的产生.在算法中,为了防止Δt过小,甚至为负值的情况发生,就必须合理地选取d t,N和M.实验结果表明,若参数d t,N和M选取不当,使Δt变化缓慢,则容易发生展开震荡;或使Δt变化过快,导致展开精度不佳.1.3 评判准则不可展曲面的展开不可避免地会发生变形.角度误差、面积误差和边长误差都可以作为衡量展开精度的衡量标准.在这里,主要考虑面积误差和边长误差.在曲面展开过程中,原始曲面和展开平面的面积会有所不同,而三角形网格上的边长也会发生变化,其相对面积误差(eS)和相对形变误差(eL)[8-9]为式(9)中:S是曲面片展开前的实际面积;S′是曲面展开后所对应的的面积;L为曲线段在展开前的实际长度;L′是展开后曲线段所对应的长度.2.1 初始曲面的展开2.1.1 不含能量释放的展开无约束和有约束的三角片的展开,如图2,3所示.由图2可知,P1 P2是三角面片 T1和 T的共边.当三角面片 T1已经展开,而三角面片 T未展开.即 T的两个点P1和 P2的位置已经在二维平面确定(即P′1和P′2),而点 P3在二维平面的位置尚未确定时,以P′1和P′2为圆心的两个圆的交点来确定(圆的半径分别为 r1,3和 r2,3)点P′3的位置,r1,3和r2,3的长度即为它们在空间网格上的长度,所有点的第1次展开都是以无约束方法得到的.包含点 P3的三角面片有多个,由这些三角形面片展开的 P3的点位置也有多个.当曲面是可展曲面时,所求的这些点位置是一致的.当曲面是不可展曲面时,这些点位置有可能不一致.此时,会有层叠和裂缝的现象产生,影响曲面展开的精度,甚至曲面展开的获得.一般所展开的曲面大部分是不可展曲面,所以必须考虑带约束的三角片展开. 由图3可知,假设包含 P3点的三角片 T2已展开,这时 P3在由已展开 T2所决定的二维平面中的位置为P′3.若不采取有约束的展开方法,当继续展开 T时,由 T展开时所决定的 P3的位置为P″3.很明显,这两点的位置并不一致.为了使 P3在二维平面具有唯一性,可以取两点的平均位置作为 P3在二维平面的对应点来初步解决这个问题.但是,此方法肯定有相当大的误差,将会产生弹性能量,导致层叠或裂缝现象的发生,必须采取适当的方法来尽可能地减少这个误差.对此,可以采取能量释放方法来初步减少误差.2.1.2 含能量释放的方法在对三角片进行有约束的展开时,为了使展开点具有唯一性,可采取平衡位置的方法.这样所造成的后果是原始曲面的曲线长度与其展开后的长度存在很大的误差,使得面积误差和形状误差很大,不利于曲面的精确展开.通过释放在位置平均处理过程中产生的弹性能量,可以解决这个问题.曲面上所有网格化三角形根据上述无约束展开或约束展开方法展开为平面三角形后,得到曲面的初始展开平面网格;然后,用式(5)计算三角网格上的每个点的能量,通过释放能量来改善展开的平面.如果整张展开网格曲面有m个离散点,则所有离散点的展开变形能为展开变形能的大小反映曲面整体展开变形程度.为了减小展开的变形,需要能最大程度地减小变形能,释放变形能.2.2 能量展开算法能量展开算法主要有如下7个步骤.(1)建立3个集合V,A和F.V为包含所有尚未展开的曲面三角形的集合;A为有序活动集合,即从集合V中挑选出来的三角形集合,这些三角形是与已展开三角形共边而将要被展开的三角形;F为所有已展开到二维平面的三角形集合.对这3个集合进行初始化,把所有要展开的空间三角形添加到集合V中,置集合A和F为空.(2)从V集中选择展开基本三角形 T0.一般在曲面的对称中心或曲率较大的部位选择该三角面片,然后将其无约束展开在平面上任意位置,并将该基本三角形从V中删除,直接加入到 F中.(3)在V集中寻找与基本三角形 T0共边的所有三角形{Ti}.将这些三角形加入到 A 集中,并从V中减去.(4)判断A集是否为空.如果A集不为空,则从A集中取出下一个三角形 Ti,并按步骤(5)或步骤(6)的方法展开;如果A集为空,则判断V集是否为空;如果V集为空,则转到步骤(7)执行;否则,转到步骤(3)执行.(5)如果三角形的第3点还没有展开(其余两点已在展开集 F的某个三角形中),此时采用三角形无约束展开,并将三角形 Ti加入到展开集 F中;然后,从A中减去 Ti,转到步骤(4).(6)如果三角形 Ti的第3点在前面的三角形展开中已经展开,并形成平面三角形,则用三角形约束展开方法进行展开.处理后,将三角形 Ti加入到展开集F中,从A中减去,然后转到步骤(4).(7)分别计算面积误差eS和形变误差eL,以及所有离散点的展开变形能E(φ′),判断其值是否是在阀值内.若误差都小于阀值,则说明已得到优化的曲面展开;若误差大于阀值,则回到步骤(3)重新进行能量释放,直到超过迭代次数 N为止.算法已通过VC 6.0编程在微机上实现,图4是用能量模型所作的曲面展开示例.该曲面有189个顶点,306个三角形.当时间初始步长d t=0.6时,如果在迭代中不采取改变时间步长的方法,很容易出现发散;而采取改进算法后,面积误差为1.455%,形变误差为0.988%,基本符合精度要求.当时间初始步长d t=0.3时,如果在迭代中不采取改变时间步长的话,虽然不会出现发散的情况,但其面积误差为4.668%,形变误差为2.456%,展开质量不是很好.运用能量模型的展开算法,可以很好地解决一般的曲面展开问题,而且计算量较小,不需要解大规模线性方程组.绝大部分的曲面可以三角网格化,所以能量模型算法具有很强的通用性.在实验结果中发现,时间步长、弹性系数和面密度都直接影响到曲面展开的质量.改进算法主要研究时间步长对算法的影响,而下一阶段的目标是考虑以上3个参数的合理配取,以期达到更好的展开结果.【相关文献】[1]席平.三维曲面的几何展开[J].计算机学报,1997,20(4):315-322.[2]毛国栋,孙炳楠,徐浩祥.基于弹簧-质点系统的薄膜结构曲面展开算法[J].浙江大学学报:工学版,2005,39(8): 1238-1242.[3]王弘,王昌凌.基于能量模型的曲面展开通用算法[J].计算机辅助设计与图形学学报,2001,13(6):556-560.[4]梁伟文.基于弹性模型的三角网格曲面优化展开[J].塑性工程学报,2007,14(1):129-132.[5]雷军鹏.一种基于能量法的自由曲面展开算法[J].机械设计与制造,2007(4):28-30.[6]徐荣璋,刘晓毅,陈军.曲面展开方法的发展现状[J].模具技术,2002(5):15-18.[7]杨继新,刘健,肖正扬.可展面在平面上的展开及其在工程上的应用[J].机械科学与技术,2001,20(5):201-202.[8]SH IMADA T,TADA Y.Development of curved surface using finite elementmethod[M].New York:Sp ringer-Verlag,1989:23-30.[9]M ETAXASD N.Physics-based deformable models:Applications to computervision,graphics,and medical imaging[M].Boston:Kluwer Academic Publishers,1997.。

一种离散化的最小曲率插值方法
陈斌
【期刊名称】《煤田地质与勘探》
【年(卷),期】2000(028)001
【摘要】提出一种离散化的最小曲率曲面插值方法.它通过应用有限元方法得到对实际曲面曲率的真实估计,并进而讨论了对地层曲面插值中的断层边界的处理方法.【总页数】6页(P49-54)
【作者】陈斌
【作者单位】Deutsche Montan Technologie GmbH D45307 Essen 德国【正文语种】中文
【中图分类】P631
【相关文献】
1.基于一种曲率最小优化准则的散乱点三角剖分 [J], 张永春;达飞鹏;宋文忠
2.结合离散网格曲率和克里金的空间插值方法研究 [J], 马志豪;王伟;孙黎明;汪淑平
3.一类满足Ricci曲率条件黎曼流形的离散化 [J], 封心拥; 王宏伟
4.曲率自适应条件下特征点选取的非均匀B样条曲线插值方法 [J], 陈良骥;高飞;赵波;马龙飞
5.一种稳定的位场数据最小曲率网格化方法研究 [J], 王万银;邱之云
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离散三角网格模型顶点法矢量估算肖和;杨旭静;郑娟【摘要】提出一种新的三角网格模型顶点法矢估算方法，采用以三角网格顶点一阶邻域三角形的形状因子与顶点到三角形质心距进行综合加权的方法。

同时指出：在同等三角网格曲面，随着三角网格划分精度的提升，网格顶点法矢估算精度有增大趋势；在同等网格划分精度条件下，对于平均曲率小以及平均曲率变化率小的三角网格模型，其网格顶点法矢估算精度也有增大趋势。

实例计算和误差分析表明，该方法的计算结果更为精确合理。

%A new estimation method of triangular mesh vertex normal vector is present, which chooses the shape and the gravity as the weight of each triangle patches normal in the first order neighbor triangle of the vertex. Thus, in the same triangular mesh surface, when the precision of triangle mesh increases, the vertex normal vector estimation increases; in the same precision of triangular mesh, when the mean curvature and mean curvature variation of triangular mesh model decreases, the vertex normal vector estimation also increases. The examples and error analyses show that the method of calculation result is more accurate and reasonable.【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2016(052)019【总页数】5页(P196-200)【关键词】电脑辅助设计与电脑辅助制造(CAD/CAM);三角网格模型;顶点法矢估算【作者】肖和;杨旭静;郑娟【作者单位】湖南大学汽车车身先进设计制造国家重点实验室，长沙 410082;湖南大学汽车车身先进设计制造国家重点实验室，长沙 410082;湖南大学汽车车身先进设计制造国家重点实验室，长沙 410082【正文语种】中文【中图分类】TP391XIAO He，YANG Xujing，ZHENG Juan.Computer Engineering and Applications，2016，52（19）：196-200.三角网格模型是CAD/CAM系统中一种重要的曲面离散逼近表示形式，因其快速灵活、拓扑适应能力强等优点，而被广泛应用在汽车、造船、航空航天等与制造业密切相关的工业领域［1-3］。

一种新的NURBS曲面自适应离散方法
陶军;邢渊;张永清
【期刊名称】《机床与液压》
【年(卷),期】2002(000)006
【摘要】开发了一种NURBS曲面自适应三角形离散的新方法.采用"二叉/四叉"树进行曲面递归分割,同时结合节点细化提高利用控制点网格检验平坦度的准确性.为建立分割点的三角形拓扑关系,提出了一种两步骤的阵列式平面点集三角剖分的新型算法.计算实例表明,本离散方法具有产生三角形数量少、网格形态好、速度快以及通用性强等优点.
【总页数】3页(P113-115)
【作者】陶军;邢渊;张永清
【作者单位】上海交通大学模具CAD国家工程研究中心,上海,200030;上海交通大学模具CAD国家工程研究中心,上海,200030;上海交通大学模具CAD国家工程研究中心,上海,200030
【正文语种】中文
【中图分类】TP391
【相关文献】
1.一种新的NURBS曲面的显示技术 [J], 雷军红;张芝霞
2.一种trimmed曲面的半自适应离散方法 [J], 沈庆云;范彦斌;沈自林;周儒荣
3.一种新的NURBS曲面间最短距离计算的分裂算法 [J], 赵伟;牛兰平;李文辉
4.Nurbs曲面的自适应离散 [J], 周建亮;唐荣锡
5.利用离散平稳小波变换改进NURBS二次曲面拟合方法 [J], 田小强; 孔令富; 孔德明; 崔永强
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基于拟蒙特卡罗和Taubin平滑的三维图像重构算法金显华;睢丹【期刊名称】《微电子学与计算机》【年(卷),期】2015(32)8【摘要】传统的图像三维重构方法采用三角网和TPS变换重建方法,当多个采样点距离很近时重建表面容易产生褶皱,效果不好,对此提出了一种基于拟蒙特卡罗和Taubin平滑的三维图像重构算法.采用拟蒙特卡罗思想进行图像测量点特征提取,进行模板构建及校准,计算网格模型上匹配点以及非匹配点的形变位移向量,对整个网格模型实施Taubin平滑,使用最小夹角原则对图像低频部分进行全域矢量分解,寻找采样云中每个采样点在网格模型上的匹配点,构建图像结构纹理信息网格,通过Taubin平滑进行三角网格表面渲染,实现图像三维重构算法改进设计.仿真实验表明,该算法对左右心房的三维重构效果较好,心内膜表面具有良好的局部贴合性,保留了图像大部分的细节信息,重建表面的最大误差为1.383 4±0.939 4mm(P<0.05),满足动态图像导航需求.【总页数】4页(P163-166)【关键词】三维图像;重构;拟蒙特卡罗;Taubin平滑【作者】金显华;睢丹【作者单位】安阳师范学院网络与教育技术中心;安阳师范学院软件学院【正文语种】中文【中图分类】TP391.41【相关文献】1.拟蒙特卡罗粒子滤波改进算法及其在雷达目标跟踪中的应用 [J], 陈志敏;薄煜明;吴盘龙;刘正凡2.联合模糊聚类和拟蒙特卡罗重采样的群目标跟踪算法 [J], 李振兴;刘进忙;李超;白东颖;郭相科3.基于拟蒙特卡罗方法的进化算法搜索鲁棒最优解的性能提高研究 [J], 朱云飞;罗彪;郑金华;蔡自兴4.一种基于拟蒙特卡罗法的骨干粒子群改进算法 [J], 朱雅敏;薛鹏翔因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。