江苏省苏锡常镇四市2014~2015学年高三教学情况调研(二)数学试题

卜人入州八九几市潮王学校二零二零—二零二壹苏锡常镇四高三教学情况调研〔二〕数学Ⅰ试题参考公式：圆锥的体积公式：V 圆锥=13Sh ，其中S 是圆锥的底面积，h 是高． 圆锥的侧面积公式：S 圆锥=rl ，其中r 是圆柱底面的半径，l 为母线长．样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x =11n i i x n =∑．一、填空题：本大题一一共14小题，每一小题5分，一共计70分．请把答案填写上在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．全集{}12345U =，，，，，{}12A =，，{}234B =，，，那么()UA B =▲．2．2(i)2i a -=，其中i 是虚数单位，那么实数a =▲．3．从某班抽取5名学生测量身高〔单位：cm 〕，得到的数据为160，162， 159，160，159，那么该组数据的方差2s =▲．4．同时抛掷三枚质地均匀、大小一样的硬币一次，那么至少有两枚硬币正面 向上的概率为▲．5．假设双曲线221x my +=过点()2，那么该双曲线的虚轴长为▲．〔第7题〕6．函数()2ln 2()1x x f x x -=-的定义域为▲．7．某算法流程图如右图所示，该程序运行后，假设输出的15x =，那么实数a 等 于▲． 8．假设1tan 2α=，1tan()3αβ-=-，那么tan(2)βα-=▲． 9．假设直线340x y m +-=与圆222440x y x y ++-+=始终有公一共点，那么实数m 的取值范围是▲． 10．设棱长为a 的正方体的体积和外表积分别为1V ，1S ，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为2V ，2S ，假设123=V V ，那么12S S 的值是▲．11．函数3()2f x x x =+，假设1(1)(log 3)0af f +>〔0a >且1a ≠〕，那么实数a 的取值范围是▲． 12．设公差为d 〔d 为奇数，且1d >〕的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设19m S -=-，0m S =，其中3m >，且*m ∈N ，那么n a =▲．13．函数2()f x x x a =-，假设存在[]1,2x ∈，使得()2f x <，那么实数a 的取值范围是▲．14．在平面直角坐标系xOy 中，设点(1 0)A ，，(0 1)B ，，( )C a b ，，( )D c d ，，假设不等式2(2)()()CD m OC OD m OC OB OD OA -⋅+⋅⋅⋅≥对任意实数a b c d ，，，都成立，那么实数m 的最大值是 ▲．二、解答题：本大题一一共6小题，一共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内答题，解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤． 15．〔本小题总分值是14分〕在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，向量(cos cos )B C =，m ，(4)a b c =-，n ，且∥m n ．〔1〕求cos C 的值； 〔2〕假设c =ABC的面积S ，求a b ，的值． 16．〔本小题总分值是14分〕C 1B 1A 1PDCBA在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AA =，D 是AB 的中点．〔1〕求证：1BC ∥平面1ACD ； 〔2〕假设点P 在线段1BB 上，且114BP BB =， 求证：AP ⊥平面1ACD ．某经销商方案销售一款新型的空气净化器，经场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x 〔单位：元，0x >〕时，销售量()q x 〔单位：百台〕与x 的关系满足：假设x 不超过20，那么1260()1q x x =+；假设x 大于或者等于180，那么销售量为零；当20180x ≤≤时，()q x a =-a ，b 为实常数〕．〔1〕求函数()q x 的表达式；〔2〕当x 为多少时，总利润〔单位：元〕获得最大值，并求出该最大值． 18．〔本小题总分值是16分〕在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点分别是1F ，2F ，右顶点、上顶点分别为A ，B ，原点O 到直线AB 的间隔等于ab ﹒〔1〕假设椭圆C C 的方程； 〔2〕假设过点(0,1)的直线l 与椭圆有且只有一个公一共点P ，且P 在第二象限，直线2PF 交y 轴于点Q ﹒试判断以PQ 为直径的圆与点1F 的位置关系，并说明理由﹒数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，且对任意的正整数n ，都有113n n n S S λ++=+，其中常数0λ>．设3nn n a b =()n *∈N ﹒ 〔1〕假设3λ=，求数列{}n b 的通项公式； 〔2〕假设1≠λ且3λ≠，设233n n n c a λ=+⨯-()n *∈N ，证明数列{}n c 是等比数列； 〔3〕假设对任意的正整数n ，都有3n b ≤，务实数λ的取值范围． 20．〔本小题总分值是16分〕函数2()e xf x a x bx =⋅+-〔a b ∈R ，，e 2.71828=是自然对数的底数〕，其导函数为()y f x '=．〔1〕设1a =-，假设函数()y f x =在R 上是单调减函数，求b 的取值范围； 〔2〕设0b =，假设函数()y f x =在R 上有且只有一个零点，求a 的取值范围；〔3〕设2b =，且0a ≠，点()m n ，〔m ，n ∈R 〕是曲线()y f x =上的一个定点，是否存在实数0x 〔0x m ≠〕，使得000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立？证明你的结论． 二零二零—二零二壹苏锡常镇四高三教学情况调研〔二〕数学Ⅱ〔附加题〕2021．521．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每一小题10分，一共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内答题，解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲△ABC 内接于O ，BE 是O 的直径，AD 是BC 边上的高．求证：BA AC BE AD ⋅=⋅． B ．选修4—2：矩阵与变换变换T 把平面上的点(34)-，，(5 0)，分别变换成(21)-，，(1 2)-，，试求变换T 对应的矩阵M ．DEOBCA〔第21-A 题〕C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点(12)M ，，倾斜角为3π﹒以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆:6cos C ρθ=﹒假设直线l 与圆C 相交于A B ，两点，求MA MB ⋅的值． D ．选修4—5：不等式选讲设x 为实数，求证：()()2242131x x x x ++++≤﹒【必做题】第22题、第23题，每一小题10分，一共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内答题，解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤． 22．〔本小题总分值是10分〕一个口袋中装有大小一样的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，假设有3次摸到红球即停顿． 〔1〕求恰好摸4次停顿的概率；〔2〕记4次之内〔含4次〕摸到红球的次数为X ，求随机变量X 的分布列．23．〔本小题总分值是10分〕设实数12n a a a ，，，满足120n a a a +++=，且12||||||1n a a a +++≤(*n ∈N 且2)n ≥，令(*)nn a b n n =∈N ．求证：1211||22n b b b n+++-≤(*)n ∈N ． 二零二零—二零二壹苏锡常镇四高三教学情况调研〔二〕数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本大题一一共14小题，每一小题5分，一共70分． 1．{125}，，2．1-3．654．125．46．()()0,11,27．18．17-9．[010]，10．3211．()()0,13,+∞12．312n -13．(1,5)-141二、解答题：本大题一一共6小题，一共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤． 15.解：〔1〕∵∥m n ，∴cos (4)cos c B a b C =-，…………2分由正弦定理，得sin cos (4sin sin )cos C B A B C =-，化简，得sin()4sin cos B C A C +=﹒…………4分 ∵A B C ++=，∴sin sin()A B C =+﹒又∵()0,A ∈，∵sin 0A >，∴1cos 4C =．…………6分 〔2〕∵()0,C ∈，1cos 4C =，∴sin C =．∵1sin 2S ab C ==2ab =﹒①…………9分∵c 22132a b ab =+-，∴224a b +=，②…………12分由①②，得42440a a -+=，从而22a =，a =b∴a b =14分16．证明：〔1〕连结1AC ，设交1A C 于点O ，连结OD ． ∵四边形11AA C C 是矩形，∴O 是1AC 的中点．…………2分 在△1ABC 中，O ，D 分别是1AC ，AB 的中点，∴1OD BC ∥．…………4分又∵OD ⊂平面1ACD ，1BC ⊄平面1ACD ， ∴1BC ∥平面1ACD ．…………6分 〔2〕∵CA CB =，D 是AB 的中点，∴CD AB ⊥﹒又∵在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ⊥侧面11AA B B ，交线为AB ，CD ⊂平面ABC ，∴CD ⊥平面11AA B B ﹒…………8分∵AP ⊂平面11A B BA ，∴CD AP ⊥．…………9分∵1BB =，11BB AA =，114BP BB =，∴1BP ADBA AA =，∴Rt △ABP ∽Rt △1A AD ， 从而∠1AA D =∠BAP ，所以∠1AA D +∠1A AP =∠BAP +∠1A AP =90︒，∴1AP A D ⊥．…………12分 又∵1CDA D D =，CD ⊂平面1ACD ，1A D ⊂平面1ACD ∴AP ⊥平面1ACD ．…………14分 17．解：〔1〕当20180x ≤≤时，由600a b a b ⎧-⎪⎨-=⎪⎩，，得90a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，…………2分故1260,020,1()90180,0,180x x q x x x ⎧<⎪+⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎪⎩≤＝≤…………4分〔2〕设总利润()()f x x q x =⋅，由〔1〕得126000020,1()9000201800180xx x f x x x x ⎧<<⎪+⎪⎪-⎨⎪>⎪⎪⎩，＝≤≤，，…………6分 当020x <≤时，126000126000()12600011x f x x x ==-++，()f x 在[020]，上单调递增， 所以当20x =时，()f x 有最大值120000．…………8分当20180x <≤时，()9000f x x -＝()9000f x '-＝令()0f x '＝，得80x =．…………10分当2080x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当8080x <≤1时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以当80x =时，()f x 有最大值240000．…………12分当180x <时，()0f x =﹒答：当x 等于80元时，总利润获得最大值240000元．…………14分 18．解：由题意，得点(,0)A a ，(0,)B b ，直线AB 的方程为1x ya b+=，即0ax by ab +-=﹒ab =，化简，得221a b +=﹒①…………2分〔1〕∵c e a =22223a b a -=，即223a b =﹒② 由①②，解得223414a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，﹒…………5分所以，椭圆C 的方程为224413x y +=﹒…………6分〔2〕点1F 在以PQ 为直径的圆上﹒由题设，直线l 与椭圆相切且l 的斜率存在，设直线l 的方程为：1y kx =+，由222211x y a b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22222222()20b a k x ka x a a b +++-=，〔*〕…………8分 那么22222222=(2)4()()0ka b a k a a b ∆-+-=，化简，得22210b a k --=，所以，22211b k a -==，∵点P 在第二象限，∴1k =﹒…………10分 把1k =代入方程〔*〕，得22420x a x a ++=，解得2x a =-，从而2y b =，所以22(,)P a b -﹒…………11分从而直线2PF 的方程为：2222()b y b x a a c-=+--， 令0x =，得22b c y a c =+，所以点22(0,)+b cQ a c﹒…………12分从而221=(,)F P a c b -+，212=(,)+b cFQ c a c，…………13分 从而42112()+b cF P FQ c a c a c⋅=-++ 22222424442222()()(+)()==0+++c b a b a c c a c b c a b c a c a c a c⎡⎤-++-+-++⎣⎦==， 又∵221a b +=，222=+a b c ，∴110F P F Q ⋅=﹒…………15分所以点1F 在以PQ 为直径的圆上﹒…………16分 19．解：∵113n n n S S λ++=+，n *∈N ，∴当2n ≥时，-13nn n S S λ=+， 从而123nn n a a λ+=+⋅，2n ≥，n *∈N ﹒ 又在113n n n S S λ++=+中，令1n =，可得12123a a λ=+⋅，满足上式，所以123nn n a a λ+=+⋅，n *∈N ﹒…………2分 〔1〕当3λ=时，1323nn n a a +=+⋅，n *∈N ，从而112333n n n n a a ++=+，即123n nb b +-=， 又11b =，所以数列{}n b 是首项为1，公差为23的等差数列， 所以213n n b +=．…………4分 〔2〕当0>λ且3λ≠且1≠λ时，11111223(33)(3)33n n n n n a a c λλλλλλ-----=+⨯-+=+⨯=⋅--，…………7分 又163(1)3033c -=+=≠--λλλ， 所以{}n c 是首项为3(1)3λλ--，公比为λ的等比数列，13(1)3n n c λλλ--=⋅-﹒…………8分 〔3〕在〔2〕中，假设1λ=，那么0n c =也适宜，所以当3λ≠时，13(1)3n n c λλλ--=⋅-． 从而由〔1〕和〔2〕可知11(21)333(1)23333n n n n n a λλλλλλ--⎧+⨯=⎪=⎨-⋅-⨯≠⎪--⎩，，，．…………9分当3λ=时，213n n b +=，显然不满足条件，故3λ≠．…………10分 当3λ≠时，112()333n n b λλλλ--=⨯---． 假设3λ>时，103λλ->-，1n n b b +<，n *∈N ，[1,)n b ∈+∞，不符合，舍去．…………11分 假设01λ<<时，103λλ->-，203λ->-，1n n b b +>，n *∈N ，且0n b >．所以只须11133a b ==≤即可，显然成立．故01λ<<符合条件；…………12分 假设1λ=时，1n b =，满足条件．故1λ=符合条件；…………13分 假设13λ<<时，103λλ-<-，203λ->-，从而1n n b b +<，n *∈N ， 因为110b =>．故2[1)3n b λ∈--，，要使3n b ≤成立，只须233λ--≤即可． 于是713λ<≤．…………15分 综上所述，所务实数λ的范围是7(0]3，．…………16分20．解：〔1〕当1a =-时，2()e xf x x bx =-+-，∴()e 2xf x x b '=-+-，由题意()e 20xf x x b '=-+-≤对x ∈R 恒成立﹒…………1分 由e 20x x b -+-≤，得e 2xb x +≥-，令()e 2xF x x =+-，那么()e 2xF x '=+-，令()0F x '=，得ln2x =．当ln2x <时，()0F x '>，()F x 单调递增，当ln2x >时，()0F x '<，()F x 单调递减， 从而当ln2x =时，()F x 有最大值2ln22-， 所以2ln22b -≥．…………3分〔2〕当0b =时，2()e xf x a x =+，由题意2e 0x a x +=只有一解﹒由2e 0xa x +=，得2e x x a -=，令2()e x x G x =，那么(2)()exx x G x -'=， 令()0G x '=，得0x =或者2x =．…………5分当0x ≤时，()0G x '≤，()G x 单调递减，()G x 的取值范围为[)0+∞，， 当02x <<时，()0G x '>，()G x 单调递增，()G x 的取值范围为240e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 当2x ≥时，()0G x '≤，()G x 单调递减，()G x 的取值范围为240e ⎛⎤ ⎥⎝⎦，， 由题意，得0a -=或者24e a ->，从而0a =或者24e a <-， 所以当0a =或者24e a <-时，函数()y f x =只有一个零点．…………8分 〔3〕2()e 2xf x a x x =+-，()e 22xf x a x '=+-，假设存在，那么有00000()()()()()()22x m x mf x f x m n f x m f m ++''=-+=-+， 即000()()()2f x f m x m f x m -+'=-，∵0002()e 2222x mx m x m f a +++'=+⋅-，00220000000()()(e )()2()(e e )()2x m x m f x f m a e x m x m a x m x m x m x m--+----==++----，∴0020(e e )ex m x m a a x m+-=-﹒……〔*〕﹒…………10分∵0a ≠，∴0020e e ex m x m x m +-=-，不妨设00t x m =->，那么2e e e t t m m m t ++-=﹒ 两边同除以e m，得2e 1e t t t-=，即2e e 1ttt =-，…………12分令2()e e 1ttg t t =--，那么2222()e (e e )e (e 1)22t t t t tt t g t '=-+=--，令2()e 12t t h t =--，那么22111()e (e 1)0222t th t '=-=->，∴()h t 在(0)+∞，上单调递增，又∵(0)0h =，∴()0h t >对(0)t ∈+∞，恒成立，…………14分 即()0g t '>对(0)t ∈+∞，恒成立， ∴()g t 在(0)+∞，上单调递增，又(0)0g =，∴()0g t >对(0)t ∈+∞，恒成立，即〔*〕式不成立，…………15分 ∴不存在实数0x 〔0x m ≠〕，使得000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立．…………16分苏锡常镇四高三教学情况调研〔一〕数学Ⅱ〔附加题〕参考答案21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每一小题10分，一共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲 证明：连结AE ． ∵BE 是O 的直径，∴90BAE ∠=︒．…………2分∴BAE ADC ∠=∠．…………4分 又∵BEA ACD ∠=∠，∴△BEA ∽△ACD ．…………7分 ∴BE ACBA AD=，∴BA AC BE AD ⋅=⋅．…………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：设a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，由题意，得35214012a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，…………3分 ∴342513415 2.a b a c d c -=⎧⎪=-⎪⎨-=-⎪⎪=⎩，，，…………5分解得1,513,202,51120a b c d ⎧=-⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩.…………9分即113520211520⎡⎤--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M ．…………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：直线l的参数方程为112(2x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，为参数)，…………2分圆C 的普通方程为22(3)9x y -+=﹒…………4分直线l 的参数方程代入圆C的普通方程，得21)10t t +-=，…………6分 设该方程两根为1t ，2t ，那么121t t ⋅=-﹒…………8分 ∴12==1MA MB t t ⋅⋅．…………10分 D ．选修4—5：不等式选讲证明：因为右—左=432222x x x --+…………2分 =3222(1)(1)2(1)(1)x x x x x --=-++…………4分=22132(1)024x x ⎡⎤⎛⎫-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦≥，…………8分所以，原不等式成立．…………10分【必做题】第22题、第23题，每一小题10分，一共计20分． 22．解：〔1〕设事件“恰好摸4次停顿〞的概率为P ，那么2231319()444256P C =⨯⨯⨯=．…………4分 〔2〕由题意，得=0123，，，X ，044381(=0)()4256P C =⨯=X ，1341327(=1)()()4464P C =⨯⨯=X ， 22241327(=2)()()44128P C =⨯⨯=X ，81272713(=3)125664128256P =---=X ，…………8分 ∴X 的分布列为…………10分23．证明：〔1〕当2n =时，12a a =-，∴1122||||||1a a a =+≤，即11||2a ≤，∴21121||111||||224222a ab b a +=+==-⨯≤，即当2n =时，结论成立．…………2分 〔2〕假设当n k =(*k ∈N 且2)k ≥时，结论成立，即当120k a a a +++=，且12||||||1k a a a +++≤时，有1211||22k b b b k+++-≤．…………3分 那么当1n k =+时，由1210k k a a a a +++++=，且121||||||1k a a a ++++≤，∵11211212|||||||||||1k k k k a a a a a a a a +++=+++++++≤≤，∴11||2k a +≤，…………5分 又∵1211()0k k k a a a a a -++++++=，且 1211121||||||||||||||1k k k k a a a a a a a a -++++++++++≤≤，由假设可得112111||22k k k a a b b b k k+-+++++-≤，…………7分 ∴1121121|||1k k k k k a ab b b b b b b k k ++-++++=++++++111111111111()||()221221222(1)k a k k k k k k k +=-+-+⨯=-+++-≤-， 即当1n k =+时，结论成立．综上，由〔1〕和〔2〕可知，结论成立．…………10分。

苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学参考答案一、填空题1．{}01x x << 2．1- 3 4．0.3 5．((),2,-∞+∞6．4 7．16 8．1329．13e - 10．π[π,π],()2k k k -+∈Z11．34 12． 13．11{,0,}88- 14 二、解答题15．解：（1）因为a ⊥b ，所以πsin()12cos 06αα++=， ……………………………2分1cos 12cos 02ααα++=25cos 02αα+=， …………………4分又cos 0α≠，所以tan α=． ………………………………………………6分 （2）若a ∥b ，则π4cos sin()36αα+=， ……………………………………………8分即14cos cos )32ααα+=，2cos22αα+=， ………………………………………………………10分所以πsin(2)16α+=， ………………………………………………………………11分因为(0,π)α∈，所以ππ13π2(,)666α+∈， ………………………………………13分 所以ππ262α+=，即π6α=． ……………………………………………………14分 16．证明：（1）∵四边形11AA C C 为矩形，∴AC ⊥1C C ，………………………………2分 又平面11CC B B ⊥平面11AA C C ，平面11CC B B平面11AA C C =1CC ，∴AC ⊥平面11CC B B ， ……………………………………………………………3分 ∵1C B ⊂平面11CC B B ，∴AC ⊥1C B ， ……………………………………………4分 又四边形11CC B B 为菱形，∴11B C BC ⊥， …………………………………………5分∵1B C AC C =，AC ⊂平面1AB C ，1B C ⊂平面1AB C ，∴1BC ⊥平面1AB C ．…………………………………………………………………7分 （2）取1AA 的中点F ，连DF ，EF ，∵四边形11AA C C 为矩形，E ，F 分别为1C C ，1AA 的中点， ∴EF ∥AC ，又EF ⊄平面1AB C ，AC ⊂平面1AB C ,∴EF ∥平面1AB C ， ………………………………………………………………10分 又∵D ，F 分别为边11A B ，1AA 的中点，∴DF ∥1AB ，又DF ⊄平面1AB C ，1AB ⊂平面1AB C , ∴DF ∥平面1AB C ，∵EFDF F =，EF ⊂平面DEF ，DF ⊂平面DEF ，∴平面DEF ∥平面1AB C ，…………………………………………………………12分 ∵DE ⊂平面DEF ，∴DE ∥平面1AB C ．…………………………………………14分 17．解：（1）设AB 的高度为h ，在△CAB 中，因为45ACB ∠=︒，所以CB h =， ………………………………1分 在△OAB 中，因为30AOB ∠=︒，60AEB ∠=︒， ………………………………2分所以OB =，EB =， ………………………………………………………4分-=15h =． ………………………………………6分 答：烟囱的高度为15米． ……………………………………………………………7分（2）在△OBC 中，222cos 2OC OB BC COB OC OB+-∠=⋅56==， …………………10分所以在△OCE 中，2222cos CE OC OE OC OE COE =+-⋅∠ 53003006001006=+-⨯=． …………………13分答：CE 的长为10米． ……………………………………………………………14分18．解：（1）∵椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>，∴222a c =，则222a b =，又椭圆C 过点，∴221312a b+=．…………2分∴24a =，22b =，则椭圆C 的方程22142x y +=． …………………………………………………4分（2）设直线BM 的斜率为k ，则直线BM 的方程为(2)y k x =-，设11(,)P x y ，将(2)y k x =-代入椭圆C 的方程22142x y +=中并化简得：2222(21)4840k x k x k +-+-=，………………………………………………………6分解之得2124221k x k -=+，22x =，∴1124(2)21ky k x k -=-=+，从而222424(,)2121k k P k k --++．………………………………８分令2x =-，得4y k =-，∴(2,4)M k --，(2,4)OM k =--． ………………………9分又222424(2,)2121k k AP k k --=+++＝22284(,)2121k kk k -++，…………………………………11分 ∴2222161602121k k AP OM k k -⋅=+=++，∴AP OM ⊥． ………………………………………………………………………13分 （3）222424(,)(2,4)2121k k OP OM k k k --⋅=⋅--++ =2222284168442121k k k k k -+++==++． ∴OP OM ⋅为定值4． …………………………………………………………16分19．解：（1）当1a =时，221,e (1),()1,e (1),x x x x f x x x ⎧>-⎪=⎨-⎪⎩… …………………………………1分 当1x >时，2()e (21)x f x x x '=+-，由()0f x '…，解得1x --，所以()f x 的单调减区间为[11]--， ………………………………………3分 当1x …时，2()e (21)x f x x x '=-+-，由()0f x '…，解得1x -…x -…所以()f x 的单调减区间为[-， ……………………………………………5分综上：()f x 的单调减区间为[-，[11]--． ………………………6分 （2） 当0a =时，2()e x f x x =⋅，则2()e 2e e (2)x x x f x x x x x '=⋅+⋅=+，令()0f x '=，得0x =或2x =-，所以()f x 有极大值24(2)e f -=，极小值(0)0f =，…………………………………7分当0a >时，22e (),()e (),x x x x af x a x x ⎧>-⎪=⎨-⎪⎩…同（1）的讨论可得，()f x 在(,1)-∞上增，在(1,上减，在(1)上增，在1上减，在)+∞上增，……………8分 且函数()y f x =有两个极大值点，1(1)2e 1)f ==，…………………………9分11)1)f ==，……………………………10分且当1x a =+时，12(1)e (1)1)a f a a a ++=++>>所以若方程()f x m =恰好有正根，则1)m f >（否则至少有二个正根）． ……………………………………11分又方程()f x m =恰好有一个负根，则(1)m f =． ………………………12分 令()e (1),1x g x x x -=+…，则()e 0x g x x -'=-<，所以()e (1)x g x x -=+在1x …时单调减，即2()(1)eg x g =…，………………………13分等号当且仅当1x =时取到．所以22(1)()ef …，等号当且仅当0a =时取到．且此时11)1)0f ==，………………………………………14分即(1)f>1)f ， …………………………………………………15分 所以要使方程()f x m =恰好有一个正根和一个负根，m 的最大值为24e ．………16分 20．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，所以11n a a nd +=+，1(1)2n n n S na d -=+， …………………………………………1分 由112()()()n n n n n n b S S S n S S n *++=--+∈N ，得112(2)n n n n n b a S n S a ++=-+，及由0n b =， 又由0n b =，得[]1111(1)2()2(1)02n n a nd na d n na n n d a nd -⎡⎤++-+-++=⎢⎥⎣⎦对一切n *∈N 都成立， ………………………………………………………………3分 即()222211111(32)20d d n a d d a n a a d a -+--+--=对一切n *∈N 都成立． 令1n =，2n =，解之得10,0,d a =⎧⎨=⎩或11,1,d a =⎧⎨=⎩ 经检验，符合题意，所以{}n a 的通项公式为0n a =或n a n =． …………………………………………5分 （2）由题意得1212n n a --=，1232n n a -=⨯，2213(21)424n n n n S =-+-=⨯-，11212242432524n n n n n n S S a ---=-=⨯--⨯=⨯-．…………………………………6分 221222122(2)n n n n n b a S n S a ++=-+22(424)2(8282)n n n n n =⨯⨯⨯--⨯-+122(294)16n n n n ++=--+． ……………………………………………………7分 212212122(21)(2)n n n n n b a S n S a ---=--+111162(524)(21)(102832)n n n n n ----=⨯⨯⨯---⨯-+⨯112(3022611)168n n n n --=⨯--+-． ………………………………………8分 12112212(294)16[2(3022611)168]n n n n n n b b n n n n ++----=--+-⨯--+-121552(25)8282(5)22n n n n n n --=--+=+-+． ………………………9分记215282)()2(5n n n f n -=+-+，即15()2[2(5)]228n n f n n =⨯-++， ……………10分记15()2(5)22n g n n =⨯-+，则111515(1)()2(5)252222n n g n g n n n ++-=⨯-+-⨯++1252n =⨯-，当1n =，2，3时，(1)()0g n g n +-<，当*n ∈N 时，4n ≥，(1)()g n g n +-12502n =⨯->， …………………………12分因为1n =时，13(1)02g =-<，所以(4)0g <；且1(6)02g =-<；53(7)02g =>． 所以15()2[2(5)]228n n f n n =⨯-++在7(*)n n ∈≥N 时也是单调递增， …………14分1n =时，(1)50f =-<； 2n =时，(2)340f =-<； 3n =时，(3)1000f =-<； 4n =时，(4)2240f =-<； 5n =时，(5)3600f =-<； 6n =时，(6)240f =-<； 7n =时，(7)34000f =>，所以满足条件的正整数n 的集合为｛1，2，3，4，5，6｝．………………………16分21、A ．证明：因为CA 为圆O 的切线，所以2CA CE CD =⋅， ………………………………………………………………3分 又CA CB =，所以2CB CE CD =⋅，即CB CDCE CB=， …………………………5分 又BCD BCD ∠=∠，所以BCE D ∽DCB D ， …………………………………8分 所以∠CBE =∠BDE ． ………………………………………………………………10分B ． 解：设点00(,)x y 为曲线1x y +=上的任一点，在矩阵10103M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的点为(,)x y ''，则由0010103x x y y ⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦，………………………………………………………………3分得：00,1,3x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩ 即00,3,x x y y '=⎧⎨'=⎩ ………………………………………………………5分 所以曲线1x y +=在矩阵10103M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的曲线为31x y +=， ………………………………………………………………………………8分所围成的图形为菱形，其面积为1222233⨯⨯=． …………………………………10分C ．解：曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +--=，圆心为(1,1)…………………………………………………………3分0y -=， ………………………………………5分所以圆心到直线的距离为12d ==， ………………………………8分所以弦长== ………………………………………………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲解：因为22= 120(3332)(1)33x x -+++=≤， ……………………………………………3分所以y =． ………………………………………………5分 等号当且仅当3332113x x -+=，即712x =时成立． ………………………………8分所以y…………………………………………………………10分 22．解：（1）设AC 与BD 交于点O ，以O 为顶点，向量OC ，OD 为x ，y 轴，平行于AP 且方向向上的向量为z 轴建立直角坐标系．………………………………………………1分则(1,0,0)A -，(1,0,0)C，(0,B，D，(P -，所以M，MD =，(1,PB =， ……………………3分cos ,0MD PA MD PA MD PA⋅<>===．…………………………………4分所以异面直线PB 与MD 所成的角为90︒． …………………………………………5分 （2）设平面PCD 的法向量为1111(,,)x y z=n ，平面P AD 的法向量为2222(,,)x y z =n ，因为(CD =-，(1PD =，(0,0,PA =，由11111110,0,CD x PD x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩n n 令11y =，得1=n ， ……………………7分 由22222260,0,PA PD x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩n n 令21y =-，得21,0)=-n ， …………………8分 所以121212cos ,⋅<>===n n n n n n 12sin ,<>=n n 10分23．解：（1）当2n =时，取数11a =，22a =，因为21312+=-∈-Z ，…………………1分 当3n =时，取数12a =，23a =，34a =，则12125a a a a +=-∈-Z ， 23237a a a a +=-∈-Z ，13133a a a a +=-∈-Z ，…………………………………………………3分 即12a =，23a =，34a =可构成三个好数． ………………………………………4分 （2）证：①由（1）知当2,3n =时均存在，②假设命题当(2,)n k k k Z =≥∈时，存在k 个不同的正整数12,,,k a a a ，其中12k a a a <<<，使得对任意1i jk <剟，都有i j i ja a a a +∈-Z 成立， …………………………………5分则当1n k =+时，构造1k +个数12,,,,k A A a A a A a +++，，（*）其中123k A a =⨯⨯⨯⨯，若在（*）中取到的是A 和()i A a i k +…，则21i i iA A a AA A a a ++=--∈--Z ，所以成立，若取到的是()i A a i k +…和()j A a j k +…，且i j <， 则2+i j i j i ji j i j A a A a a a AA a A a a a a a ++++=+----，由归纳假设得i j i ja a a a +∈-Z ，又j i k a a a -<，所以j i a a -是A 的一个因子，即2i jAa a ∈-Z ， 所以2+i j i j i ji j i jA a A a a a A A a A a a a a a ++++=∈+----Z ， ………………………………………8分 所以当1n k =+时也成立． ………………………………………………………9分 所以对任意正整数(2)n n …，均存在“n 个好数” ……………………………10分。

2014—2015学年度锡常镇四市高三教学情况调研(一)英语2015年3月注意：本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两部分。

答案全部做在答题纸上。

总分为120分。

考试时间l20分钟。

第一卷(选择题，共85分)第一部分：听力(共两节，满分20分)做题时，先将答案标在试卷上。

听力录音部分结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题纸上。

第一节(共5小题；每小题l分，满分5分)听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你有l0秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1.Where does this conversation most probably take place?A. In the man’s home.B. In an office building.C. In a department store.2.What can we know about the man’s job from the conversation?A. He can’t sell many books.B. He has a promising career.C. He and his boss get along well.3.What are the two speakers most probably talking about?A. Paintings.B. Flowers.C. Clothes.4.Who may these two speakers be?A. Father and mother.B. Teacher and student.C. Mother and son.5.What happened at the convenience store last night?A. Somebody robbed the store.B. Too many people crowded in.C. The employees refused to work.第二节(共15小题；每小题l分，满分l5分)听下面5段对话或独白。

2015年江苏省苏南四市(苏州无锡常州镇江)高三二模考试数学试题含答案2015年苏锡常镇高三数学（二模）试卷及答案一．填空题（5×14=70分）1.已知集合 $A=\{-1,1,3\},B=\{2,2,-1,A\}$，则实数 $a$ 的值是 $\boxed{2}$。

2.设 $1+2i=2i(a+bi)(i$ 为虚数单位，$a,b\in R)$，则$a+b$ 的值是 $\boxed{1}$。

3.某工厂生产某种产品 $5000$ 件，它们来自甲、乙、丙$3$ 条不同的生产线。

为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样。

若从甲、乙、丙 $3$ 条生产线抽取的件数之比为$1:2:2$，则乙生产线生产了$\boxed{2000}$ 件产品。

4.根据XXX所示的伪代码，若输入的 $x$ 值为 $-1$，则输出的 $y$ 值为 $\boxed{1}$。

5.从 $3$ 名男生和 $1$ 名女生中随机选取两人，则两人恰好是一名男生和一名女生的概率为 $\boxed{\dfrac{3}{4}}$。

6.已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a,b>0)$ 的离心率等于 $2$，它的焦点到渐近线的距离等于 $1$，则该双曲线的方程为$\boxed{\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{3}=1}$。

7.已知向量 $a=(1,2),b=(0,-1),c=(k,-2)$，若 $a-2b\perp c$，则实数 $k=\boxed{4}$。

8.已知常数 $a>0$，函数 $f(x)=x+\dfrac{a}{x}$ 在定义域$(1,+\infty)$ 内单调递减，则 $a$ 的值为 $\boxed{4}$。

9.函数$y=3\sin(2x+\dfrac{\pi}{4})(x>1)$ 的最小值为$3$，则 $a$ 的值为 $\boxed{\dfrac{1}{2}}$。