高中数学 2.1数列的概念教学案 新人教版必修5

课题：2.1.1数列的概念与简单表示法（1）【学习目标】1、理解数列的概念；2、认识数列是反映自然规律的基本数学模型；3、初步掌握数列的一种表示方法——通项公式；【学习重点】数列及其有关概念，通项公式及其应用【学习难点】根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式【授课类型】新授课【教 具】多媒体电脑、实物投影仪、电子白板。

【学习方法】诱思探究法【学习过程】 一、复习引入：师 课本图2.1-1中的三角形数分别是多少？ 生 1，3，6，10，…师 图2.1-2中的正方形数呢？ 生 1，4，9，16，25，师 像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些？ 生 -1的正整数次幂：-1，1，-1，1， 无穷多个数1排成一列数：1，1，1，1， 生 一些分数排成的一列数：32，154，356，638，9910，二、新课学习：折纸问题师 请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试生 一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了师 你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？ 生 随着对折数厚度依次为:2，4，8，16，…，256，…； 随着对折数面积依次为21,41 ,81 ,161 ,…,2561生 对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的1/256，再折下去太困难了 师 说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点？ 生 均是一列数 生 还有一定次序师 它们的共同特点：都是有一定次序的一列数. ［教师精讲］1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列 注意：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n 项，….同学们能举例说明吗？ 生 例如，上述例子均是数列，其中①中，“2”是这个数列的第1项(或首项)，“16”是这个数列中的第4项3.数列的分类：1)根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列 2)根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列 递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列 常数数列：各项相等的数列摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列请同学们观察：课本P 33的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？生 这六组数列分别是(1)递增数列，(2)递增数列，(3)常数数列，(4)递减数列，(5)摆动数列，(6)1.递增数列， 2.递减数列 ［知识拓展］师 你能说出上述数列①中的256是这数列的第多少项？能否写出它的第n 项？生 256是这数列的第8项，我能写出它的第n 项，应为a n =2n［合作探究］同学们看数列2，4，8，16，…，256，…①中项与项之间的对应关系， 项 2 4 8 16↓ ↓ ↓ ↓序号 你能从中得到什么启示？生 数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1，2，3，…，n })的函数a n =f(n )，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过来，对于函数y=f(x)，如果f(i)(i=1、2、3、4…)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),…,f(n师 说的很好.如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式三、 特例示范1.根据下面数列{a n }的通项公式，写出前5项： (1)a n =1n n ;(2)a n =(-1)n·n师 由通项公式定义可知，只要将通项公式中n 依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项2.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)3，5，7，9，11，…；(2)32，154，356，638，9910，…； (3)0，1，0，1，0，1，…；(4)1，3，3，5，5，7，7，9，9，…； (5)2，-6，12，-20，30，-42，这是由“数”给出数列的“式”的例子，解决的关键是要找出这列数呈现出的规律性的东西，然后再通过归纳写出这个数列的通项公式 ［合作探究］师 函数与数列的比较(由学生完成此表)：函数 数列(特殊的函数)定义域 R 或R 的子集 N *或它的有限子集{1，2，…，n } 解析式 y=f(x) a n =f(n ) 图象 点的集合 一些离散的点的集合师 对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公式来画出其对应图象，下面同学们练习画数列 4，5，6，7，8，9，10…;② 1,21 ,31 ,41,…③的图象生 根据这数列的通项公式画出数列②、③的图象为师 数列4，5，6，7，8，9，10,…②的图象与我们学过的什么函数的图象有关？生 与我们学过的一次函数y=x+3的图象有关 师 数列1,21 ,31 ,41,…③的图象与我们学过的什么函数的图象有关？生 与我们学过的反比例函数xy 1的图象有关师 这两数列的图象有什么特点？生 其特点为：它们都是一群孤立的点生 它们都位于y 轴的右侧，即特点为：它们都是一群孤立的，都位于y 轴的右侧的点四、课堂小结本课时的整个教学过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，体现新课程的理念对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n 项求一些简单数列的通项公式六、作业布置:六、课后反思：。

第二章数列课题: §2.1数列的概念与简单表示法（第1课时）●教学目标知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。

过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。

●教学重点数列及其有关概念，通项公式及其应用●教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式●教学过程Ⅰ.课题导入三角形数：1，3，6，10，…正方形数：1，4，9，16，25，…Ⅱ.讲授新课⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“31”是这个数列的第“3”项，等等下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：项 1 51413121 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓序号 1 2 3 4 5 这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：na n 1=来表示其对应关系 即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项结合上述其他例子，练习找其对应关系⒋ 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11+-+=n n a ，也可以是|21cos |π+=n a n . ⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项. 数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．5.数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N *（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数()n a f n =，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

《数列的概念与简单表示法》1、知识与技能（1）理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；（2）了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；（3）对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式。

2、过程与方法（1）采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；（2）发挥学生的主体作用，作好探究性学习；（3）理论联系实际，激发学生的学习积极性。

3、情感态度与价值观（1）通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验。

理论联系实际，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；（2）通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。

【教学重点】数列及其有关概念，通项公式及其应用。

【教学难点】根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式。

（一）新课导入传说古代印度有一国王喜爱国际象棋，中国智者云游到此，国王得知智者棋艺高超，于是派人请来智者与其对弈，并傲慢地说：“如果你赢了,我将答应你的任何要求。

”智者心想，我应该治一治国王的傲慢，当国王输棋后，智者说：“陛下只须派人用麦粒填满象棋盘上的所有空格，第1格1粒，第2格2粒，第3格4粒，……依此下去，以后每格是前一格粒数的2倍。

”国王听后：哈哈大笑，这个问题也太简单了罢！于是国王吩咐手下马上去办，可是过了好多天，手下惊慌地报到国王，大事不好了，即使我们印度近几十年来生产的所有麦子加起来也还不够啊！国王呆了！到底有多少麦粒呢？你认为国王有能力满足上述要求吗？每个格子里的麦粒数都是前一个格子里麦粒数的2倍，总共有63个格子：得数为：18446744073709551615传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数字。

上图中各三角形表示的数排列有规律吗？由于这些数可以用三角形点阵表示，故称其为三角形数。

下图中各正方形分别表示哪些数？这些数与相应正方形的序号有什么关系？因为这些数能够表示成正方形，故称为正方形数。

人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修 1第二章 数列概 述数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型.根据课程标准的要求，在本章中，学生将通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的数列的求和公式广泛应用，并利用它们解决一些实际问题.1．内容与课程学习目标本章的主要内容是数列的基本概念、等差数列和等比数列以及它们的一些基本数量关系.通过本章学习，要使学生达到如下学习目标：（1）通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数．（2）通过实例，理解等差数列、等比数列的概念；探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和的公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系．2．教学要求（1）基本要求①理解数列的定义，了解数列是一类特殊函数.②了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）.③认识数列是反映自然规律的基本模型，能根据给出的递推公式写出数列的前几项.④理解等差（等比）数列的概念，掌握等差（等比）数列的通项公式.⑤了解等差数列（等比）与一次函数（指数函数）的关系，能在具体的问题情境中，识别数列的等差（等比）关系，进而用等差（等比）数列有关知识解决相应的问题.⑥掌握等差（等比）数列前n 项和的公式，并能用公式解决简单的问题.⑦理解等差（等比）数列前n 项和公式的推导方法，能利用等差（等比）数列前n 项和公式及其性质求一些特殊数列的和.⑧理解n S 与n a 的关系.⑨等比数列的求和公式能够灵活应用.（2）发展要求①能根据数列的前几项写出一个通项公式.②掌握等差（等比）数列典型性质及应用.③能灵活运用等差数列的求和公式.④能用类比观点推导等比数列性质.教师备课系统──多媒体教案2 ⑤理解等差数列与等比数列简单组合的数列的前n项和.（3）说明：复杂的递推关系不作要求；已知数列的前几项写一个通项公式，不必太难.3.教学内容及课时安排建议2.1数列的概念及简单表示法（约2课时）2.2等差数列（约1课时）2.3等差数列的前n项的和（约2课时）2.4等比数列（约2课时）2.5等比数列的前n项的和（约2课时）人教版新课标普通高中◎数学⑤必修2.1 数列的概念及简单表示方法教案 A第1课时教学目标一、知识与技能1. 了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；了解数列是一种特殊的函数.二、过程与方法1. 通过应用实例引入数列的概念.2. 通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）.三、情感、态度与价值观体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力.教学重点和难点教学重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用.教学难点：根据一些数列的前几项，抽象、归纳出数列的通项公式.教学关键：数列通项公式的归纳.教学突破方法：创设数学情境，提出问题，学生自主探究、合作交流及教师指导解决问题.教法与学法导航教学方法通过创设探究情境，以问题为主线，让学生通过、合作交流的方式，亲历数学知识的形成过程，自主建构知识．同时注重学生自己提出问题或自己提出解决问题的方法，带领学生寻找解决问题的途径，体验解决问题的过程，从而提高解决问题的能力．学习方法学生以阅读与思考的方式了解数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法；以观察的形式发现数列可能的通项公式.教学准备教师准备：多媒体、投影仪、直尺等.学生准备：笔、稿纸.教学过程一、创设情境，导入新课大千世界蕴含着无数的自然规律，从细胞分裂到放射性物质的衰变，从树木的生长模式到葵花种子……它们都有其生长的方式和特点．如：1. 树木生长规律1，1，2，3，5，8，…2. 慧星每隔83年出现一次1740，1823，1906，1989，2072，…3教师备课系统──多媒体教案4 3. 一尺之棰，日取其半，万世不竭1，21，41，81，…4. 从1984年到2004年我国参加6次奥运会获得的金牌总数分别为15，5，16，16，28，32．5. 从1979年开始到2002年（共24年），我国的夏季高考时间月份一直固定为7，7，7，7， (7)问题1：上述例子有何共同特点？二、主题探究，合作交流生1：每个情境中都是一列数.生2：这些数有一定的次序，前后位置不能颠倒．生3：它们共同的特点是都有一组按照一定顺序排列的数．师：板书课题，并引导学生归纳得出数列的定义.1. 数列的定义像这样，按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．问题2：数列中的数可以相同吗？数列中的数可以调换位置吗？生：数列中的数可以相同（如数列5中的每项都是7），数列中的数不可以调换位置（以数列4说明）．师：强调数列中的每一项都和它的序号有关，并说明数列与集合的差异．2.数列的表示数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，a n，…，简记为a n，其中n为数列的项数，a i（i=1，2，3，…）叫做数列的项.三、合作交流，整合结果问题3：前面5个数列各有什么特点？我们可以将它们如何进行分类？学生讨论.3. 数列的分类（1）按数列的项数是有限或无限，可分为有穷数列或无穷数列.（2）按数列的每一项随序号变化的情况，可分为递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列等.从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列.教师引导学生阅读教材第28页的“观察”，然后回答.问：下面的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？（1）全体自然数构成数列0，1，2，3，…．（2）1996～2002年某市普通高中生人数（单位：万人）构成数列82，93，105，119，129，130，132．（3）无穷多个3构成数列人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修 53，3，3，3，…．（4） 目前通用的人民币面额按从大到小的顺序构成数列（单位:元）100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，0.05，0.02，0.01．（5） -1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，……构成数列-1，1，-1，1，….（6） 2的精确到1，0.1，0.01，0.001，…，的不足近似值与过剩近似值分别构成数列1，1.4，1.41，1.414，…；2，1.5，1.42，1.415，…．问题4：我们再观察上面6个数列，哪些数列的项与序号之间存在着必然的、内在的规律？能不能用数学式子把其中的规律表示出来（让学生自主探究，合作交流，教师适时指导）？生1：数列（5）可用来a n =（-1）n 表示．生2：数列（1）可用来a n =n -1表示．生3：数列（3）可用来a n =3表示．从而引导学生得到数列的通项公式.4.数列的通项公式如果数列的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．记为n a n f =)(（教师引导学生在函数观下理解数列的通项公式）.问题5：所有数列都有通项公式吗？为什么？生：有的数列没有通项公式，如数列（1）和数列（4）．这正如有的函数没有解析式一样．5.数列的图象师生互动作出上述数列（1）、（3）、（5）的图象．（实物投影学生的答案）问题6：通过作这两个数列的图象，你发现了什么？生1：数列的图象是一群孤立的点．师：仅仅是一些孤立的点吗？你有没有发现这些孤立的点的位置特征？生2：数列（1）表示的点在函数y =x -1的图象上，数列（3）表示的点在函数y =3的图象上.四、拓展创新，应用提高例1 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）1111;234--，，， （2） 2，0，2，0． 解：（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以，它的的一个通项公式为教师备课系统──多媒体教案6na n n 1)1(+-=. （2） 这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是2，偶数项是0，所以，它的一个通项公式为1)1(1+-=+n n a .例2 写出数列23451 (471013)，，，，的一个通项公式，并判断它的增减性. 解：一个通项公式为32n n a n =-， )53)(23(22)1(31231---=-----=--n n n n n n a a n n . 当n ≥2时，01<--n n a a ，所以这个数列是递减数列. 思考：是不是所有的数列都存在通项公式？根据数列前几项写出的通项公式唯一吗？例3 根据下面数列{}n a 的通项公式，写出前五项：（1）1+=n n a n ； （2）(1)n n a n =-． 解： （1） a 1=21，a 2=32，a 3=43，a 4=54，a 5=65. （2） a 1=-1，a 2=2，a 3=-3，a 4=4，a 5=-5.五、小结数列及其基本概念，数列通项公式及其应用.第2课时教学目标一、知识与技能1. 理解数列的概念及其表示.2. 掌握数列的通项公式与递推公式.二、过程与方法1. 通过研究数列的本质属性，学会通过找差异、找联系的方法认识问题.2. 在数列概念、公式的应用中，学习思考和解决问题.三、情感、态度与价值观通过本节知识与技能、过程与方法的学习经历，感受数学发现的愉快，体验解决问题成功的快乐.教学重点和难点教学重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项.教学难点：理解递推公式与通项公式的关系.人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修 7教学关键：由数列的递推公式写出数列的通项公式.教学突破方法：利用计算机辅助教学，通过计算机模拟演示，使学生获得感性知识的同时，为掌握理性知识创造条件，提高学生的学习数学兴趣.教法与学法导航教学方法采用点拨引导、自主探究”的教学方法.通过教师点拨引导，学生自主探究，学会用找差异、找联系的方法去认识问题，学会从大量实例中提炼数学定义，学会数学问题的思考和解决.学习方法学生通过阅读与思考，了解数列的几种简单的表示方法；以观察的形式发现数列可能的通项公式，递推公式与通项公式的关系.教学准备教师准备：多媒体、投影仪、直尺等.学生准备：笔记本.教学过程一、创设情境，导入新课1. 在以下四个数中，是数列{})1(+n n 中的一项的是 （ ）.A. 380B. 39C. 32D. 18参考答案：A2. 设数列为K ,11,22,5,2则24是该数列的 （ ）.A. 第9项B. 第10项C. 第11项D. 第12项参考答案：C3. 数列12 3 4 5--，，，，的一个通项公式为n a n n 1)1(+-=．4. 图1中的三角形称为谢宾斯基（Sierpinski ）三角形，在图4个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象.图1教师借助多媒体动画演示，师生共同探讨数列的特征，并得到通项公式.解：如图，这四个三角形中着色三角形的个数依次为1，3，9，27. 则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.所以，这个数列的一个通项公式是a n =3n -1.教师备课系统──多媒体教案8二、主题探究，合作交流1. 观察以下数列，并写出其通项公式：Λ,11,9,7,5,3,1)1( 答：12-=n a n ；Λ,8,6,4,2,0)2(---- 答：)1(2--=n a n ；Λ,81,27,9,3)3( 答：n n a 3=．思考：除了用通项公式外，还有什么办法可以确定这些数列的每一项？2,,25,2213,1)1(123121+=+==+=+===-n n a a a a a a a Λ；2,0)2(11-==-n n a a a ；113,3)3(-==n n a a a ．2. 定义：已知数列}{n a 的第一项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的递推公式.练习: 运用递推公式确定一个数列的通项：（1）2，3，4，11，… 答： )2(3,211≥+==-n a a a n n ；Λ,21,13,8,5,3,2,1,1)2( 答： )3(,1,12121≥+===--n a a a a a n n n ．三、拓展创新，应用提高例1 已知数列}{n a 的第一项是1，以后的各项由公式111-+=n n a a 给出，写出这个数列的前五项．解:据题意可知： 3211,211,123121=+==+==a a a a a ，58,3511534==+=a a a . 例2 已知4,211-==+n n a a a ，求n a .解法一:可以写出12342,2,6,10,,a a a a ==-=-=-L 观察可得：)1(42)4)(1(2 --=--+=n n a n ——观察法 解法二:人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修 9由题设：111223214 444 4n n n n n n n n a a a a a a a a a a +------=-∴-=--=--=--=-L L ，，，，，——累加法 1 :4(1) 24(1).n n a a n a n -=--∴=--相加得， 例3 已知n n a a a 2,211==+，求n a .解法一: 观察法2122332222222a a a ==⨯==⨯=L，，，， 观察可得：2n n a =.解法二: 迭乘法1111122123111 2,2,2, 2, 22.n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a +---------=∴==∴⨯⨯⨯⨯=∴=⋅=L L 由即 四、小结1. 递推公式的概念.2. 递推公式与数列的通项公式的区别是：（1） 通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相临两项（或n 项）之间的关系.（2） 对于通项公式，只要将公式中的n 依次取Λ,4,3,2,1即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项（或前n 项），才可依次求出其它项.3．用递推公式求通项公式的方法：观察法、累加法、迭乘法.五、课堂作业1. 阅读教材第30-33页.2. 第33—34页习题2.1A 组第4、5、6题.教师备课系统──多媒体教案10教案 B第1课时教学目标一、知识与技能理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式.二、过程与方法通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．三、情感、态度与价值观通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.教学重点数列及其有关概念，通项公式及其应用.教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳出数列的通项公式.教学过程一、课题导入引导同学阅读课本第28页可得到三角形数：1，3，6，10，… ……①正方形数：1，4，9，16，25， ……②又如一列数：1，51,41,31,21 ……③2，3，5，3，4，7 ……④二、讲授新课⒈ 数列的定义按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2. 数列的项数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….例如，上述例子均是数列，其中①中，“1”是这个数列的第1项（或首项），“6”是这个数列中的第3项.3. 数列的一般形式人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修11ΛΛ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项．结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义.下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）？对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式na n =来表示其对应关系. 即只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项. 结合上述其他例子，练习找其对应关系. 4. 数列的通项公式如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：（1）并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④； （2）一个数列的通项公式表达方式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11+-+=n n a ，也可以是1|cos π|2n n a +=. ⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 n 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给定了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．5. 数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N *（或它的有限子集{1，2，3，…，n }）为定义域的函数()n a f n =，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过来，对于函数y=f （x ），如果f （i ）（i=1，2，3，4…）有意义，那么我们可以得到一个数列f （1）、 f （2）、 f （3）、 f （4）…，f （n ），…6．数列的分类（1）根据数列项数的多少分为：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列. 无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列. （2）根据数列项的大小分为：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列. 递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列.教师备课系统──多媒体教案12常数数列：各项相等的数列.摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列. 观察：课本第28-29页的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？例1 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： （1）;41,31,21,1-- （2） 2，0，2，0．解：（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以，它的的一个通项公式为na n n 1)1(+-=.（2） 这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是2，偶数项是0，所以，它的一个通项公式为1)1(1+-=+n n a .三、课堂练习课本第31页练习第3、4题.补充练习：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式： （1） 3， 5， 9， 17， 33，……； （2）32， 154， 356， 638， 9910， ……； （3） 0， 1， 0， 1， 0， 1，……； （4） 1， 3， 3， 5， 5， 7， 7，9， 9， ……；（5） 2， －6， 12， －20， 30， －42，…….解：（1） n a ＝2n ＋1； （2） n a ＝)12)(12(2+-n n n； （3） n a ＝2)1(1n-+；（4） 将数列变形为1＋0， 2＋1， 3＋0， 4＋1， 5＋0， 6＋1， 7＋0， 8＋1， ……，∴n a ＝n ＋2)1(1n-+；（5） 将数列变形为1×2， －2×3， 3×4， －4×5， 5×6，……，∴ n a ＝（－1）1+n n （n ＋1）.四、课时小结本节课学习了以下内容：数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n 项求一些简单数列的通项公式.五、课后作业课本第33页习题2.1A 组 第1、2、3题．人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修13第2课时教学目标一、知识与技能了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n 项和与a n 的关系.二、过程与方法经历数列知识的感受及理解运用的过程. 三、情感、态度与价值观通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣. 教学重点根据数列的递推公式写出数列的前几项. 教学难点理解递推公式与通项公式的关系. 教学过程一、课题导入 数列及有关定义. 二、讲授新课（一）数列的表示方法 1. 解析法如果数列{}n a 的第n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.如数列0，1，2，3，…的通项公式为*1()n a n n N =+∈1，1，1，…的通项公式为 *1(,13)n a n N n =∈≤≤；*)(1,41,31,21,1N n na n ∈=的通项公式为Λ. 数列的通项公式 a n =f （n ）表示数列抽象简洁. 2. 列表法不需要计算就可以直接看出与项相对应的关系（1）函数图象法-数列的图象是一系列孤立的点. 点的坐标为（n ，a n ）启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数n 为横坐标，相应的项a n 为纵坐标，即以（n ，a n ）为坐标在平面直角坐标系中做出点（以图1中对应的教师备课系统──多媒体教案14数列a n =2n ，n ∈N *为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在 y 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．图1图象能直接形象地表示出随着项数的变化，相应项变化的趋势，直观明了.（二）递推公式法知识都来源于实践，最后还要应用于生活，用其来解决一些实际问题． 如图2，观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型． 模型一：自上而下第1层钢管数为4；即：1↔4＝1+3 第2层钢管数为5；即：2↔5＝2+3 第3层钢管数为6；即：3↔6＝3+3 第4层钢管数为7；即：4↔7＝4+3第5层钢管数为8；即：5↔8＝5+3 第6层钢管数为9；即：6↔9＝6+3 第7层钢管数为10；即：7↔10＝7+3若用n a 表示钢管数，n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且1(3+=n a n ≤n ≤7）.运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数.这会给我们的统计与计算带来很多方便.让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律） 模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1.即41=a ；114512+=+==a a ；115623+=+==a a . 依此类推：11+=-n n a a （2≤n ≤7）. 图2人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修15对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要. 定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前n 项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 递推公式也是给出数列的一种方法.如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89.递推公式为：)83(,5,32121≤≤+===--n a a a a a n n n .数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法、图象法、解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用a 1表示第一项，用 a 2表示第二项，……，用 a x 表示第n 项，依次写出成为a 1， a 2 ，a 3 ，…，a n ，…．简记为{}n a ． 三、范例讲解例1 设数列{}n a 满足11111(1)，．-=⎧⎪⎨=+>⎪⎩nn a a n a 写出这个数列的前五项. 分析：题中已给出{}n a 的第1项即11=a ，递推公式：111-+=n n a a .解：据题意可知：123121131,12,12a a a a a ==+==+=，58,3511534==+=a a a . 例2 已知21=a ，n n a a 21=+ 写出前5项，并猜想n a ．解法一：21=a ，22222=⨯=a ，323222=⨯=a ，观察可得 n n a 2=；解法二：由n n a a 21=+，∴12-=n n a a ，即21=-n na a ； ∴112322112------=⨯⨯⨯⨯n n n n n n n a aa a a a a a ΛΛ. ∴ nn n a a 2211=⋅=-.四、课堂练习1. 课本第31页练习第2题教师备课系统──多媒体教案16 2. 根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式.（1）1a＝0，1+na＝na＋（2n－1）（n∈N）；（2）1a＝1，1+na＝22+nnaa（n∈N）；（3）1a＝3，1+na＝3na－2（n∈N）.解：（1）1a＝0，2a＝1，3a＝4，4a＝9，5a＝16，∴na＝（n－1）2；（2）1a＝1，2a＝32，3a＝4221=，4a＝52，5a＝6231=，∴na＝12+n；（3）1a＝3＝1+203⨯，2a＝7＝1+213⨯，3a＝19＝1+223⨯.4a＝55＝1+233⨯，5a＝163＝1+243⨯，∴na＝1＋2·31-n.五、课时小结本节课学习了以下内容：1．递推公式及其用法.2．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系.六、课后作业第33-34页习题2.1A组第4、5、6题，B组第1，2，3题.。