初三+圆难题压轴题答案解析

1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE•CA．〔1〕求证：BC=CD；〔2〕分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，假设PB=OB，CD =，求DF的长．2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K．〔1〕求证：KE=GE；〔2〕假设=KD·GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；〔3〕在〔2〕的条件下，假设sinE=，AK=，求FG的长．3.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．(1)求证：AC 平分∠DAB ；(2)求证：△PCF 是等腰三角形； (3)假设tan ∠ABC=34，BE=72，求线段PC 的长．4.5.：如图，在半径为4的⊙O 中，AB ，CD 是两条直径，M 为OB 的中点，CM 的延长线交⊙O 于点E ，且EM ＞M C ，连结DE ，DE=。

（1）求证：AM·MB=EM·MC；〔2〕求EM的长；〔3〕求sin∠EOB的值。

6.如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，∠EAT=30°，AE=3，MN=2．〔1〕求∠COB的度数；〔2〕求⊙O的半径R；〔3〕点F在⊙O上〔是劣弧〕，且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．7.如图，AB是半径O的直径，AB=2．射线AM、BN为半圆O的切线．在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC．过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F．过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q．〔1〕求证：△ABC∽△OFB；〔2〕当△ABD与△BFO的面枳相等时，求BQ的长；（3）求证：当D在AM上移动时〔A点除外〕，点Q始终是线段BF的中点8.上异于A,C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.〔1〕求证：△PAC∽△PDF；〔2〕假设AB=5，，求PD的长；〔3〕在点P运动过程中，设，求与之间的函数关系式.〔不要求写出的取值范围〕1.【解答】：〔1〕证明：∵DC2=CE•CA，∴=，△CDE∽△CAD，∴∠CDB=∠DBC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴BC=CD；〔2〕解：如图，连接OC，∵BC=CD，∴∠DAC=∠CAB，又∵AO=CO，∴∠CAB=∠ACO，∴∠DAC=∠ACO，∴AD∥OC，∴=，∵PB=OB，CD=，∴=∴PC=4又∵PC•PD=PB•PA∴PA=4也就是半径OB=4，在RT△ACB中，AC===2，∵AB是直径，∴∠ADB=∠ACB=90°∴∠FDA+∠BDC=90°∠CBA+∠CAB=90°∵∠BDC=∠CAB∴∠FDA=∠CBA又∵∠AFD=∠ACB=90°∴△AFD∽△ACB∴在Rt△AFP中，设FD=x，那么AF =，∴在RT△APF 中有，，求得DF =．2解：〔1〕如答图1，连接OG．∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°，∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°，又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG，∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，∴KE=GE．〔2〕AC∥EF，理由为：连接GD，如答图2所示．∵KG2=KD GE，即=，∴=，又∠KGE=∠GKE，∴△GKD∽△EGK，∴∠E=∠AGD，又∠C=∠AGD，∴∠E=∠C，∴AC∥EF；〔3〕连接OG，OC，如答图3所示．sinE=sin∠ACH=，设AH=3t，那么AC=5t，CH=4t，∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t，∴HK=CK﹣CH=t．在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，即〔3t〕2+t2=〔〕2，解得t=．设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r﹣3t，CH=4t，由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，即〔r﹣3t〕2+〔4t〕2=r2，解得r=t=．∵EF为切线，∴△OGF为直角三角形，在Rt△OGF中，OG=r=，tan∠OFG=tan∠CAH==，∴FG===．.45.6.7.8.。

圆的压轴题（1）1、如图，BF 为⊙O 的直径，直线AC 交⊙O 于A ，B 两点，点D 在⊙O 上，BD 平分∠OBC ，DE ⊥AC 于点E 。

（1）求证：直线DE 是⊙O 的切线；（2）若 BF=10，sin ∠BDE=，求DE 的长。

2、如图，AN 是M ⊙的直径，NB x ∥轴，AB 交M ⊙于点C .(1)若点()0,6A ，()0,2N ，30ABN =∠°，求点B 的坐标；(2)若D 为线段NB 的中点，求证：直线CD 是M ⊙的切线.x y C D M O B NA3、如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，BC=8，求弦BD的长．4、已知△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若=，如图1，．（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（2）设AE与DF相交于点M，如图2，AF=2FC=4，求AM的长．5、如图，AB是⊙O的直径，AC是上半圆的弦，过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E，过点A作切线DE的垂线，垂足为D，且与⊙O交于点F，设∠DAC，∠CEA的度数分别是α，β．（1）用含α的代数式表示β，并直接写出α的取值范围；（2）连接OF与AC交于点O′，当点O′是AC的中点时，求α，β的值．6、如图，在菱形ABCD中，点P在对角线AC上，且PA=PD，⊙O是△PAD的外接圆．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若AC=8，tan∠BAC=，求⊙O的半径．7、如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F．（1）求证：∠FEB=∠ECF；（2）若BC=6，DE=4，求EF的长．8、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．（1）求证：BE与⊙O相切；（2）设OE交⊙O于点F，若DF=1，BC=2 ，求阴影部分的面积．9、如图，已知⊙O的直径CD=6，A，B为圆周上两点，且四边形OABC是平行四边形，过A点作直线EF∥BD，分别交CD，CB的延长线于点E，F，AO与BD交于G点．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）求AE的长．10、如图，C、D是半圆O上的三等分点，直径AB=4，连接AD、AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F．（1）求∠AFE的度数；（2）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）．11、如图，MN是⊙O的直径，MN=4，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为的中点，P是直径MN上一动点．（1）利用尺规作图，确定当PA+PB最小时P点的位置（不写作法，但要保留作图痕迹）．（2）求PA+PB的最小值．12、如图，已知直线PT与⊙O相切于点T，直线PO与⊙O相交于A，B两点．（1）求证：PT2=PA•PB；（2）若PT=TB=，求图中阴影部分的面积．13、如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=60°，连接PO并延长与⊙O交于C点，连接AC，BC．（1）求证：四边形ACBP是菱形；（2）若⊙O半径为1，求菱形ACBP的面积．14、如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CF ∥AB，与过点B的切线交于点F，连接BD．（1）求证：BD=BF；（2）若AB=10，CD=4，求BC的长．15、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点B，交BC于另一点F．（1）求证：CD与⊙O相切；（2）若BF=24，OE=5，求tan∠ABC的值．16、已知：如图，MN为⊙O的直径，ME是⊙O的弦，MD垂直于过点E的直线DE，垂足为点D，且ME平分∠DMN．求证：（1）DE是⊙O的切线；（2）ME2=MD•MN．参考答案1、【解答】解：（1）如图所示，连接OD，∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，∵BD平分∠OBC，∴∠OBD=∠DBE，∴∠ODB=∠DBE，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴直线DE是⊙O的切线；（2）如图，连接DF，∵BF是⊙O的直径，∴∠FDB=90°，∴∠F+∠OBD=90°，∵∠OBD=∠DBE，∠BDE+∠DBE=90°，∴∠F=∠BDE，在Rt△BDF中，=sinF=sin∠BDE=，∴BD=10×=2，∴在Rt△BDE中，sin∠BDE==，∴BE=2×=2，∴在Rt△BDE中，DE===4。

圆中的新定义问题1(2023•淮安模拟)在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和线段AB ，若线段PA 或PB 的垂直平分线与线段AB 有公共点，则称点P 为线段AB 的融合点．(1)已知A (3,0)，B (5,0)，①在点P 1(6,0)，P 2(1,-2)，P 3(3,2)中，线段AB 的融合点是　P 1，P 3　；②若直线y =t 上存在线段AB 的融合点，求t 的取值范围；(2)已知⊙O 的半径为4，A (a ,0)，B (a +1,0)，直线l 过点T (0,-1)，记线段AB 关于l 的对称线段为A B ．若对于实数a ，存在直线l ，使得⊙O 上有A B 的融合点，直接写出a 的取值范围．【解答】解：(1)①∵P 1(6,0)，A (3,0)，∴P 1A 的线段垂直平分线与x 轴的交点为92，0，∴P 1是线段AB 的融合点；∵P 2(1,-2)，B (5,0)，设直线P 2B 的垂直平分线与x 轴的交点为(a ,0)，∴(a -1)2+4=(5-a )2，解得a =52，∴直线P 2B 的垂直平分线与x 轴的交点为52，0，∴P 2不是线段AB 的融合点；∵P 3(3,2)，B (5,0)，设直线P 3B 的垂直平分线与x 轴的交点为(b ,0)，∴(b -3)2+4=(5-b )2，解得b =3，∴直线P 3B 的垂直平分线与x 轴的交点为(3,0)，∴P 3是线段AB 的融合点；故答案为：P 1，P 3；②线段AB 的融合点在以A 、B 为圆心，AB 为半径的圆及内部，∵A (3,0)，B (5,0)，∴AB =2，当y =t 与圆相切时，t =2或t =-2，∴-2≤t ≤2时，直线y =t 上存在线段AB 的融合点；(2)由(1)可知，A B 的融合点在以A 、B 为圆心，A B 为圆心的圆及内部，∵A (a ,0)，B (a +1,0)，∴AB =A B =1，∵⊙O 上有A B 的融合点，∴圆O 与圆A 、B 有交点，∴圆O 与圆A 、圆B 的公共区域为以O 为圆心2为半径，以O 为圆心6为半径的圆环及内部区域，当a >0时，a 的最大值为62-12=35，最小值为22-12-1=3-1，∴3-1≤a ≤35；当a <0时，a 的最大值为-22-12=-3，最小值为-62-12-1=-35-1，∴-35-1≤a ≤-3；综上所述：a 的取值范围为3-1≤a ≤35或-35-1≤a ≤-3．2(2023•西城区校级模拟)在平面内，C 为线段AB 外的一点，若以点A ，B ，C 为顶点的三角形为直角三角形，则称C 为线段AB 的直角点．特别地，当该三角形为等腰直角三角形时，称C 为线段AB 的等腰直角点．(1)如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为(-1,0)，点N 的坐标为(1,0)，在点P 1(2,1)，P 2(-1,2)，P 332，12 中，线段MN 的直角点是　P 2、P 3　；(2)在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 的坐标分别为(t ,0)，(0,4)．①若t =4，如图2所示，若C 是线段AB 的直角点，且点C 在直线y =-x +8上，求点C 的坐标；②如图3，点D 的坐标为(m ,-2)，⊙D 的半径为1，若⊙D 上存在线段AB 的等腰直角点，求出m 的取值范围．【解答】解：(1)∵P 2(-1,2)，M (-1,0)，∴P 2M ⊥MN ，∴P 2是线段MN 的直角点；∵M (-1,0)，N (1,0)，∴MN =2，∵P 332，12，∴P 3O =1，∴P 3在以O 为圆心，MN 为直径的圆上，∴∠MP 3N =90°，∴P 3是线段MN 的直角点；故答案为：P 2、P 3；(2)①∵A (4,0)，B (0,4)，∴OA =OB =4，∴∠OAB =∠OBA =45°．根据题意，若点C 为线段AB 的直角点，则需要分三种情况：当点B 为直角顶点，过点B 作BC 1⊥AB 于点C 1，过点C 1作C 1M ⊥y 轴于点M ，∴∠C 1BM =45°，∴C 1M =BM ，设C 1M =BM =a ，∴C 1(a ,a +4)，∴-a +8=a +4，解得a =2，∴C 1(2,6)；当点A 为直角顶点，过点A 作AC 2⊥AB 于点C 2，过点C 2作C 2N ⊥x 轴于点N ，∴∠C 2AN =45°，∴C 2N =AN ，设C 2N =AN =b ，∴C 2(b +4,b )，∴-(b +4)+8=b ，解得b =2，∴C 2(6,2)；当点C 为直角顶点，取AB 的中点P ，则P (2,2)，设C 3的横坐标为t ，则C 3(t ,-t +8)，由直角三角形的性质可知，C 3P =BP =AP =22，∴(t -2)2+(-t +6)2=(22)2，解得t =4，∴C3(4,4)，综上，点C的坐标为(2,6)或(6,2)或(4,4)．②如图，以AB为边向下作正方形ABC1C2，连接AC1，BC2交于点C3，则C1，C2，C3是线段AB的等腰直角点．根据点A的运动可知，点C1在直线l1:x=-4上运动，C2在直线l2:y=-x-4上运动，C3在直线l3:y=-x上运动．设l2与y=-2相交于点K，l3与y=-2相交于点L，∴K(2,-2)，L(2,-2)．由此可得出临界情况如图：如图3(1)中，当⊙D与l1相切时，m=-5；如图3(2)中，当⊙D与l2相切时，点F为切点，连接DF，则ΔDFK为等腰直角三角形，且DF=1，∴DK=2；∴D(-2+2，-2)，即m=-2+2；如图3(3)中，当⊙D与l3相切时，点G为切点，连接DG，则ΔDGL为等腰直角三角形，且DG=1，∴DL=2；∴D(2-2，-2)，即m=2-2；如图3(4)中，当⊙D与l3相切时，点H为切点，连接DH，则ΔDHL为等腰直角三角形，且DH=1，∴DL=2；∴D(2+2，-2)，即m=2+2；综上，符合题意的m的取值范围：-5≤m≤-2+2或2-2≤m≤2+2．3(2023•秀洲区校级二模)婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”；(1)若平行四边形ABCD是“婆氏四边形”，则四边形ABCD是③．(填序号)①矩形②菱形③正方形(2)如图1，RtΔABC中，∠BAC=90°，以AB为弦的⊙O交AC于D，交BC于E，连接DE、AE、BD，AB=6，sin C=35，若四边形ABED是“婆氏四边形”，求DE的长；(3)如图2，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC，BD，OA，OB，OC，OD，已知∠BOC+∠AOD= 180°，①求证：四边形ABCD是“婆氏四边形”；②当AD+BC=4时，求⊙O半径的最小值．【解答】(1)解：∵平行四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ABC=∠ADC，∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形，∵四边形ABCD是“婆氏四边形”，∴AC⊥BD，∴矩形ABCD是正方形，故答案为：③；(2)解：∵∠BAC=90°，AB=6，sin C=35，∴BC=10，AC=8，∴BD为直径，∴∠BED =∠DEC =90°，∵四边形ABED 是“婆氏四边形”，∴AE ⊥BD ，∴AD =DE ，AB =BE =6，设AD =DE =m ，则CD =8-m ，EC =4，在Rt ΔEDC 中，m 2+42=(8-m )2，解得m =3，∴DE =3；(3)①证明：如图2，设AC ，BD 相交于点E ，∵∠DCA =12∠AOD ，∠BDC =12∠BOC ，∠BOC +∠AOD =180°，∴∠DCA +∠BDC =12(∠AOD +∠BOC )=12×180°=90°，∴∠CED =90°，∴AC ⊥BD ，∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴四边形ABCD 是“婆氏四边形”；②解：过点O 作OM ⊥AD 交于M ，过O 作ON ⊥BC 交于N ，∴AM =12AD ，BN =12BC ，∠AMO =∠BNO =90°，∴∠AOM +∠OAM =90°，∵OA =BO =CO =DO ，∴∠AOM =12∠AOD ，∠BON =12∠BOC ，∵∠BOC +∠AOD =180°，∴∠AOM =∠OBN ，∴ΔOAM ≅ΔBON (AAS )，∴ON =AM =12AD ，∵AD +BC =4，设ON =AM =n ，则AD =2n ，BC =4-2n ，BN =2-n ，在Rt ΔBON 中，BO =n 2+(2-n )2=2(n -1)2+2，当n =1时，BO 有最小值2，∴⊙O 半径的最小值为2．4(2022秋•西城区期末)给定图形W 和点P ，Q ，若图形W 上存在两个不重合的点M ，N ，使得点P 关于点M 的对称点与点Q 关于点N 的对称点重合，则称点P 与点Q 关于图形W 双对合．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (-1,-2)，B (5,-2)，C (-1,4)．(1)在点D (-4,0)，E (2,2)，F (6,0)中，与点O 关于线段AB 双对合的点是　D ，F ；(2)点K 是x 轴上一动点，⊙K 的直径为1，①若点A 与点T (0,t )关于⊙K 双对合，求t 的取值范围；②当点K 运动时，若ΔABC 上存在一点与⊙K 上任意一点关于⊙K 双对合，直接写出点K 的横坐标k 的取值范围．【解答】解：(1)当A 点是D 点的中点时，对应点为(2,-4)；当B 点是D 点的中点时，对应点为(14,-4)；当A 点是E 点的中点时，对应点为(-4,-6)；当B 点是E 点的中点时，对应点为(8,-6)；当A 点是F 点的中点时，对应点为(-8,-4)；当B 点是F 点的中点时，对应点为(4,-4)；当A 点是O 点的中点时，对应点为(-2,-4)；当B 点是O 点的中点时，对应点为(10,-4)；∴D 、F 与点O 关于线段AB 双对合，故答案为：D 、F ；(2)①设K(k,0)，∵A(-1,-2)，T(0,t)，∴A点关于K点对称点G为(2k+1,2)，T点关于K点对称点H为(2k,-t)，∵点A与点T(0,t)关于⊙K双对合，∴A点关于点K的对称点在以G为圆心，∵⊙K的直径为1，∴点A关于点K的对称点在以G点为圆心，1为半径的圆上，点T关于点K的对称点在以H为圆心，1为半径的圆上，如图所示，∵点A与点T(0,t)关于⊙K双对合，∴当圆G与圆H有交点，∵GH=1+(t+2)2，∴1+(t+2)2≤2，解得-2-3≤t≤-2+3；②∵A(-1,-2)，B(5,-2)，C(-1,4)，K(k,0)，∴A点关于K点的对称点F(2k+1,2)，B点关于K点的对称点E(2k-5,2)，C点关于K点的对称点G(2k+1, -4)，∴ΔABC上任意一点关于K点对称点在阴影区域，∵ΔABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合，∴阴影区域与圆K有公共交点，∵阴影部分是由ΔEGF边上任意一点为圆心，1为半径的圆构成的区域，如图1时，k-(2k+1)=12+1，解得k=-52；如图2时，2k+1-k=12+1，解得k=12；∴-52≤k≤12时，ΔABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合；过点K作KN⊥EG交于N，直线EG交x轴于点M，设直线EG的解析式为y=k x+b，∴(2k-5)k +b=2 (2k+1)k +b=-4 ，解得k =-1b=2k-3 ，∴y=-x+2k-3，∴M(2k-3,0)，∵直线y=-x与y=-x+2k-3平行，∴∠KMN=45°，∴KM=2KN=322，如图3时，k-(2k-3)=322，解得k=3-322，如图4时，2k-3-k=322，解得k=3+322，∴3-322≤k≤3+322时，ΔABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合；综上所述：-52≤k≤12或3-322≤k≤3+322时，ΔABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合．5(2022•钟楼区模拟)概念认识：平面内，M为图形T上任意一点，N为⊙O上任意一点，将M、N两点间距离的最小值称为图形T到⊙O的“最近距离”，记作d(T-⊙O)．例：如图1，在直线l上有A、C、O三点，以AC为对角线作正方形ABCD，以点O为圆心作圆，与l交于E、F两点，若将正方形ABCD记为图形T，则C、E两点间的距离称为图形T到⊙的“最近距离”．数学理解：(1)在平面内有A、B两点，以点A为圆心，5为半径作⊙A，将点B记为图形T，若d(T-⊙A)=2，则AB= 3或7．(2)如图2，在平面直角坐标系中，以O(0,0)为圆心，半径为2作圆．①将点C(4,3)记为图形T，则d(T-⊙O)=．②将一次函数y=kx+22的图记为图形T，若d(T-⊙)>0，求k的取值范围．推广运用：(3)在平面直角坐标系中，P的坐标为(t,0)，⊙P的半径为2，D、E两点的坐标分别为(5,5)、(5,-5)，将ΔDOE记为图形T，若d(T-⊙P)=1，则t=．【解答】解：(1)如图1中，∵d(T-⊙A)=2，∴CB=CB′=2，∵AC=5，∴AB′=5-2=3，AB=5+2=7．故答案为：3或7．(2)①如图2中，连接OC交⊙O于E．∵C(4,3)，∴OC=42+32=5，∵OE=2，∴EC=3，∴d(T-⊙O)=3．故答案为：3．②如图，设直线y=kx+22与⊙O相切于E，K．连接OK，OE．∵OE⊥DE，OK⊥DK，OD=22，OE=OK=2，∴DK=OD2?OK2=(22)2-22=2，DE=OD2?OE2=(22)2-22=2，∴DE=OE=DK=OK，∴四边形DEOK是菱形，∵∠DKO=∠DEO=90°，∴四边形DEOK是正方形，∴∠ODE=∠ODK=45°，∴直线DE的解析式为y=-x+22，直线DK的解析式为y=x+22，∵d(T-⊙O)>0，∴观察图象可知满足条件的k的值为-1<k<1且k≠0．(3)如图3-1中，当点P在DE的右边时．∵D(5,5)，∴∠DOP=45°，∵d(T-⊙P)=1，∴OP=5+1+2=8∴t=8．如图3-2中，当点P在∠DOE的外侧时，由题意可知OM=1，OP=1+2=3，t=-3．综上所述，满足条件的t的值为8或-3．6(2022秋•昌平区期末)已知：对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙O，⊙O的半径为4，交x轴于点A，B，对于点P给出如下定义：过点C的直线与⊙O交于点M，N，点P为线段MN的中点，我们把这样的点P叫做关于MN的“折弦点”．(1)若C(-2,0)．①点P1(0,0)，P2(-1,1)，P3(2,2)中是关于MN的“折弦点”的是　P1，P2　；②若直线y=kx+3(k≠0)．上只存在一个关于MN的“折弦点”，求k的值；(2)点C在线段AB上，直线y=x+b上存在关于MN的“折弦点”，直接写出b的取值范围．【解答】解：(1)①连接OP，∵P点是弦MN的中点，∴OP⊥MN，∴∠CPO=90°，∴P点在以CO为直径的圆上，∵C(-2,0)，∴P点在以(-1,0)为圆心，1为半径的圆上，∵点P1(0,0)，P2(-1,1)在该圆上，∴点P1(0,0)，P2(-1,1)是关于MN的“折弦点”，故答案为：P1，P2；②由①可知，P点在以(-1,0)为圆心，1为半径的圆上，设圆心D(-1,0)，∵直线y=kx+3(k≠0)上只存在一个关于MN的“折弦点”，∴直线y=kx+3(k≠0)与圆D相切，过点D作DF垂直直线y=kx+3交于点F，∵直线y=kx+3与x轴交于点E-3k，0，与y轴交于点G(0,3)，∴DE=-1+3k，OF=3k，OG=3，∵∠DFE=∠EOG=90°，∴ΔEGO∽ΔEFD，∴DF GO =ED EG，∴13=3k-13+3k2，解得k=3 3；(2)由(1)可知，P点在以OC为直径的圆上，∵直线y=x+b上存在关于MN的“折弦点”，∴直线y=x+b与圆D相交或相切，过D点作DF垂直直线y=x+b交于点F，∵直线y=x+b与x轴交于点(-b,0)，与y轴交于点(0,b)，当C点与A点重合时，b有最大值，此时D(-2,0)，∴(-2+b)2=8，解得b=22+2或b=22+2(舍)；当C点与B点重合时，b有最小值，此时D(2,0)，∴(-b-2)2=8，解得b=22-2(舍)或b=-22-2；∴-22-2≤b≤22+2时，直线y=x+b上存在关于MN的“折弦点”．7(2022秋•东城区校级月考)如图，在平面直角坐标系xOy中，过⊙T外一点P引它的两条切线，切点分别为M，N，若60°<∠MPN<180°，则称P为⊙T的环绕点．(1)当⊙O半径为1时，①在P1(2，2)，P2(2,0)，P3(2,1)中，⊙O的环绕点是　P1　；②直线y=3x+b与x轴交于点A，y轴交于点B，若线段AB上存在⊙O的环绕点，求b的取值范围；(2)⊙T的半径为2，圆心为(0,t)，以-m，33m(m>0)为圆心，33m为半径的所有圆构成图形H，若在图形H上存在⊙T的环绕点，直接写出t的取值范围．【解答】解：(1)①如图，PM，PN是⊙T的两条切线，M，N为切点，连接TM，TN，当∠MPN=60°时，∵PT平分∠MPN，∴∠TPN=∠MPT=30°，∵TM⊥PM，TN⊥PN，∴∠TNP=∠PMT=90°，∴TP =2TM =2，以T 为圆心，TP 为半径作⊙T ．观察图象可知：当60°<∠MPN <180°时，⊙T 的环绕点在图中的圆环内部(包括大圆上的点不包括小圆上的点)，故答案为：P 1；②如图中，设小圆交y 轴的正半轴于F ，当直线y =3x +b 经过点F 时，b =1，当直线y =3x +b 与大圆相切于K (在第二象限)时，连接OK ，由题意B (0,b )，A -b 3，0，所以OB =b ，OA =b 3，AB =103b ，∵OK =2，12×AB ×OK =12×OA ×OB ，∴b =210，观察图象可知，当1<b <210时，线段AB 上存在⊙的环绕点，根据对称怀可知：当-210<b <-1时，线段AB 上存在⊙的环绕点，综上所述，满足条件的b 的值为1<b <210或-210<b <-1；(2)如图中，不妨设E -m ，33m (m >0)，则点E 直线y =-33x 上，∵m >0，∴点E 在射线OE 上运动，作EM ⊥x 轴；∵E -m ，33m (m >0)，∴OM =m ，EM =33m ，以E -m ，33m (m >0)为圆心，33m 为半径的⊙E 与x 轴相切，作⊙E 的切线ON ，观察图象可知：以E -m ，33m (m >0)为圆心，33m 为半径的所有圆构成图形H ，图形H 即为∠MON 的内部，包括射线OM ，ON 上，当⊙T 的圆心在y 轴的正半轴上时，假设以T 为圆心，4为半径的圆与射线ON 相切于D ，连接TD ，∵tan ∠EOM =EM OM=33，∴∠EOM =30°，∵OM ，ON 是⊙E 的切线，∴∠EON =∠EOM =30°．∴∠TOD =30°，∴OT =2DT =8，∴T (0,8)，当⊙T 的圆心在y 轴的负半轴上时，且经过点O (0.0)时，T (0,-4)，观察图象可知，当-4<t <8时，在图象上存在⊙T 的环绕点．8(2022秋•海淀区校级月考)对于平面直角坐标系中的线段AB 和点P (点P 不在线段AB 上)，给出如下定义：当PA =PB 时，过点A (或点B )向直线PB (或PA )作垂线段，则称此垂线段为点P 关于线段AB 的“测度线段”，垂足称为点P 关于线段AB 的“测度点”．如图所示，线段AD 和BC 为点P 关于线段AB 的“测度线段”，点C 与点D为点P关于线段AB的“测度点”．(1)如图，点M(0,4)、N(2,0)，①点P的坐标为(5,4)，直接写出点P关于线段MN的“测度线段”的长度4；②点H为平面直角坐标系中的一点，且HM=HN，则下列四个点：Q1(0,0)，Q2(3,3)，Q3(1,0)，Q4(0,4)中，是点H 关于线段MN的“测度点”的是；(2)直线y=-34x+6与x轴、y轴分别交于点A与点B，①点G为平面直角坐标系中一点，且GA=GB，若一次函数y=kx-14k+3上存在点G关于线段AB的“测度点”，直接写出k的取值范围为；②⊙O的半径为r，点C与点D均在⊙O上，且线段CD=65r．点K与点O位于线段CD的异侧，且KC=KD，若在线段AB上存在点K关于线段CD的“测度点”，直接写出r的取值范围为．【解答】解：(1)①∵M(0,4)、P(5,4)，∴MP⎳x轴，∴点P关于线段MN的“测度线段”的长度为4，故答案为：4；②∵过点N作NF⊥MH交于F点，过点M作MG⊥NH交于点G，∵∠MFN=∠MGN=90°，∴F、G点在以MN为直径的圆上，设MN的中点为E，∵点M(0,4)、N(2,0)，∴E(1,2)，MN=25，∴点H关于线段MN的“测度点”在以E为圆心，5为半径的圆上，且不与M、N重合，∵Q1(0,0)，Q2(3,3)，Q3(1,0)，Q4(0,4)中，Q1E=5，Q2E=5，Q3E=2，Q4E=5，∴Q1，Q2是点H关于线段MN的“测度点”，故答案为：Q1，Q2；(2)①当x=0时，y=6，∴B(0,6)，当y=0时，x=8，∴A(8,0)，∴AB的中点F(4,3)，AB=10，由(1)可知，点G关于线段AB的“测度点”在以F为圆心，5为半径的圆上，且不与A、B点重合，∵一次函数y=kx-14k+3上存在点G关于线段AB的“测度点”，∴直线y=kx-14k+3与圆F相切或相交，过点F作FK垂直直线y=kx-14k+3交于点K，直线与y轴的交点为T，过点F作FL⎳KT交于交y轴于点L，过点L作SL⊥KT交于点S，∴LS =FK =5，∴LF 的直线解析式为y =kx -4k +3，∴L (0,-4k +3)，T (0,-14k +3)，∴TL =-10k ，∵sin ∠LTS =5-10k =11+k 2，∴k =±33，∴-33≤k ≤33时，一次函数y =kx -14k +3上存在点G 关于线段AB 的“测度点”，故答案为：-33≤k ≤33；②由(1)可知，K 点关于线段CD 的“测度点”在以CD 为直角的半圆上，且不与C 、D 重合，当CD ⎳AB ，且AB 与圆P 相切时，r 有最小值，由①可得，45=35r 6-r ，解得r =247，当CD 在AB 上时，r 有最大值，r =6，∴247≤r <6时，线段AB 上存在点K 关于线段CD 的“测度点”，故答案为：247≤r <6．9(2022•盐城一模)对于平面内的两点K 、L ，作出如下定义：若点Q 是点L 绕点K 旋转所得到的点，则称点Q 是点L 关于点K 的旋转点；若旋转角小于90°，则称点Q 是点L 关于点K 的锐角旋转点．如图1，点Q 是点L 关于点K 的锐角旋转点．(1)已知点A (4,0)，在点Q 1(0,4)，Q 2(2,23)，Q 3(-2,23)，Q 4(22，-22)中，是点A 关于点O 的锐角旋转点的是　Q 2，Q 4　．(2)已知点B (5,0)，点C 在直线y =2x +b 上，若点C 是点B 关于点O 的锐角旋转点，求实数b 的取值范围．(3)点D 是x 轴上的动点，D (t ,0)，E (t -3,0)，点F (m ,n )是以D 为圆心，3为半径的圆上一个动点，且满足n ≥0．若直线y =2x +6上存在点F 关于点E 的锐角旋转点，请直接写出t 的取值范围．【解答】解：(1)如图，∵A (4,0)，Q 1(0,4)，∴OA =OQ 1=4，∠AOQ 1=90°，∴点Q 1不是点A 关于点O 的锐角旋转点；∵Q 2(2,23)，作Q 2F ⊥x 轴于点F ，∴OQ 2=OF 2+Q 2F 2=22+(23)2=4=OA ，∵tan ∠Q 2OF =232=3，∴∠Q 2OF =60°，∴点Q 2是点A 关于点O 的锐角旋转点；∵Q 3(-2,23)，作Q 3G ⊥x 轴于点G ，则tan ∠Q 3OG =Q 3G OG=232=3，∴∠Q3OG =60°，∴OQ 3=OG cos ∠Q 3OG =2cos60°=4=OA ，∵∠AOQ 3=180°-60°=120°，∴Q 3不是点A 关于点O 的锐角旋转点；∵Q 4(22，-22)，作Q 4H ⊥x 轴于点H ，则tan ∠Q 4OH =Q 4H OH =2222=1，∴∠Q 4OH =45°，∵OQ 4=OH cos ∠Q 4OH =22cos45°=4=OA ，∴Q 4是点A 关于点O 的锐角旋转点；综上所述，在点Q 1，Q 2，Q 3，Q 4中，是点A 关于点O 的锐角旋转点的是Q 2，Q 4，故答案为：Q 2，Q 4．(2)在y 轴上取点P (0,5)，当直线y =2x +b 经过点P 时，可得b =5，当直线y =2x +b 经过点B 时，则2×5+b =0，解得：b =-10，∴当-10<b <5时，OB 绕点O 逆时针旋转锐角时，点C 一定可以落在某条直线y =2x +b 上，过点O 作OG ⊥直线y =2x +b ，垂足G 在第四象限时，如图，则OT =-b ，OS =-12b ，∴ST =OS 2+OT 2=-12b 2+(-b )2=-52b ，当OG =5时，b 取得最小值，∵5×-52b =-b ×-12b ，∴b =-55，∴-55≤b <5．(3)根据题意，点F 关于点E 的锐角旋转点在半圆E 上，设点P 在半圆S 上，点Q 在半圆T 上(将半圆D 绕点E 旋转)，如图3(1)，半圆扫过的区域为图3(1)中阴影部分，如图3(2)中，阴影部分与直线y =2x +6相切于点G ，tan ∠EMG =2，SG =3，过点G 作GI ⊥x 轴于点I ，过点S 作SJ ⊥GI 于点J ，∴∠SGJ =∠EMG ，∴tan ∠SGJ =tan ∠EMG =2，∴GJ =355，SJ =655，∴GI =GJ +JI =3+355，∴MI =12GI =32+3510，∴OE =IE +MI -OM =352-32，即x E =t -3=352-32，解得t =352+32，如图3(3)中，阴影部分与HK 相切于点G ，tan ∠OMK =tan ∠EMH =2，EH =6，则MH =3，EM =35，∴x E =t -3=-3-35，解得t =-35，观察图象可知，-35≤t <3+352+32．10(2022秋•姜堰区期中)如图1，在平面内，过⊙T 外一点P 画它的两条切线，切点分别为M 、N ，若∠MPN ≥90°，则称点P 为⊙T 的“限角点”．(1)在平面直角坐标系xOy 中，当⊙O 半径为1时，在①P 1(1,0)，②P 2-1,12，③P 3(-1,-1)，④P 4(2,-1)中，⊙O 的“限角点”是②④；(填写序号)(2)如图2，⊙A 的半径为2，圆心为(0,2)，直线l :y =-34x +b 交坐标轴于点B 、C ，若直线l 上有且只有一个⊙A 的“限角点”，求b 的值．(3)如图3，E (2,3)、F (1,2)、G (3,2)，⊙D 的半径为2，圆心D 从原点O 出发，以2个单位/s 的速度沿直线l :y =x 向上运动，若ΔEFG 三边上存在⊙D 的“限角点”，请直接写出运动的时间t (s )的取值范围．【解答】解：(1)∵⊙O 半径为1，∴当P 为圆O 的“限角点”时，1<OP ≤2，∵OP 1=1，OP 2=52，OP 3=2，OP 4=5，∴⊙O 的“限角点”是P 2，P 3，故答案为：②③；(2)∵⊙A 的半径为2，∴当P 为圆A 的“限角点”时，2<AP ≤2，设直线l 上有且只有一个⊙O 的“限角点”P m ,-34m +b ，∴PA =2，此时AP ⊥BC ，令x =0，则y =b ，∴C (0,b )，令y =0，则x =43b ，∴B 43b ，0 ，∴tan ∠OCB =OB OC =43=AP CP ，∴CP =32，∴AC =52，∴|b -2|=52，∴b =92或b =-12；(3)∵圆心D 从原点O 出发，以2个单位/s 的速度沿直线l 移动，∴圆沿x 轴正方向移动t 个单位，沿y 轴正方向移动t 个单位，∴移动后D 点坐标为(t ,t )，设ΔEFG 边上的点P 是圆D 的“限角点”，则2<PD ≤2，在圆D 移动的过程中，当DF =2时，(t -1)2+(t -2)2=4，解得t =3-72或t =3+72，当t =3-72时，ΔEFG 边上开始出现⊙D 的“限角点”，当圆D 移动到E 点在圆上时，DE =2，(t -2)2+(t -3)2=2，解得t =5+32或t =5-32，∴3-72≤t <5-32时，ΔEFG 边上存在⊙D 的“限角点”，当圆D 再次移动到点F 在圆上时，DF =2，(t -2)2+(t -1)2=2，解得t =3+32或t 3-32，当t =3+32时，ΔEFG 三边上开始又要出现⊙D 的“限角点”；设直线EG 的解析式为y =kx +b ，直线y =x 与直线EG 的交点设为点H ，∴2k +b =33k +b=2 ，解得k =-1b =5 ，解得y =-x +5，联立方程组y =-x +5y =x，解得x =52y =52，∴H 52，52，当DH =2时，2t -52 2=4，解得t =2+52或t =-2+52，∴当t =2+52，ΔEFG 边上存在⊙D 的“限角点”，∴3+32<t ≤2+52时，ΔEFG 边上存在⊙D 的“限角点”；综上所述：3-72≤t <5-32或3+32<t ≤2+52时，ΔEFG 边上存在⊙D 的“限角点”．11(2022秋•西城区校级期中)在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a,b)，N．对于点P给出如下定义：将点P绕点M逆时针旋转90°，得到点P ，点P 关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．(1)如图1，若点M在坐标原点，点N(1,1)，①点P(-2,0)的“对应点”Q的坐标为　(2,0)　；②若点P的“对应点”Q的坐标为(-1,3)，则点P的坐标为；(2)如图2，已知⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N(0,2)，若P(m，0)(m>1)为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．①当点M(a,b)在第一象限时，求点Q的坐标(用含a，b，m的式子表示)；②当点M在⊙O 上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的积为.(用含m的式子表示)【解答】解：(1)①∵P(-2,0)，∴P点绕点M逆时针旋转90°得到点P (0,-2)，∵点P 关于点N的对称点为Q，∴Q(2,0)；故答案为：(2,0)；②∵Q的坐标为(-1,3)，∴Q点关于N(1,1)的对称点为P (3,-1)，将P 绕M点顺时针旋转90°得到点P，过P 作P F⊥x轴于点F，过点P作PE⊥x轴于点E，∵∠P OP=90°，∴∠POE+∠FOP =90°，∵∠EPO+∠EOP=90°，∴∠FOP =∠EPO，∵OP=OP ，∴ΔPOE≅△OP F(AAS)，∴EO=P F=1，PE=OF=3，∴P(-1．-3)，故答案为：(-1,-3)；(2)①过点M作EF⊥x轴于点F，过点P 作P E⊥EF交于点E，由(1)可得ΔMPF≅△P ME(AAS)，∴MF=EP ，FP=ME，∵M(a,b)，P(m,0)，∴EF=b+m-a，EP =b，∴P (a+b,b+m-a)，∵点N(0,2)，∴Q(-a-b,4-b-m+a)；②P点绕O点逆时针旋转90°后得到点G，∴G(0,m)，∵P (a+b,b+m-a)，∴GP =2(a 2+b 2)，∵M (a ,b )在圆O 上，∴a 2+b 2=1，∴GP =2，∴P 在以G 为圆心，2为半径的圆上，设G 点关于N 点的对称点为H ，则H (0,4-m )，∴QH =2(a 2+b 2)=2，∴Q 点在以H 为圆心2为半径的圆上，∴PQ 的最大值为PH +2，PQ 的最小值为PH -2，∴PQ 长的最大值与最小值的积为(PH +2)(PH -2)=2m 2-8m +14，故答案为：2m 2-8m +14．12(2022•秦淮区二模)【概念认识】与矩形一边相切(切点不是顶点)且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第Ⅰ类圆；与矩形两边相切(切点都不是顶点)且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第Ⅱ类圆．【初步理解】(1)如图①~③，四边形ABCD 是矩形，⊙O 1和⊙O 2都与边AD 相切，⊙O 2与边AB 相切，⊙O 1和⊙O 3都经过点B ，⊙O 3经过点D ，3个圆都经过点C ．在这3个圆中，是矩形ABCD 的第Ⅰ类圆的是①，是矩形ABCD 的第Ⅱ类圆的是．【计算求解】(2)已知一个矩形的相邻两边的长分别为4和6，直接写出它的第Ⅰ类圆和第Ⅱ类圆的半径长．【深入研究】(3)如图④，已知矩形ABCD ，用直尺和圆规作图．(保留作图痕迹，并写出必要的文字说明)①作它的1个第Ⅰ类圆；②作它的1个第Ⅱ类圆．【解答】解：(1)由定义可得，①的矩形有一条边AD 与⊙O 1相切，点B 、C 在圆上，∴①是第Ⅰ类圆；②的矩形有两条边AD 、AB 与⊙O 2相切，点C 在圆上，∴②是第Ⅱ类圆；故答案为：①，②；(2)如图1，设AD =6，AB =4，切点为E ，过点O 作EF ⊥BC 交BC 于F ，交AD 于E ，连接BO ，设BO =r ，则OE =r ，OF =4-r ，由垂径定理可得，BF =CF =3，在Rt ΔBOF 中，r 2=(4-r )2+32，解得r =258；如图2，设AD =4，BC =6，切点为E ，过点O 作EF ⊥BC 交BC 于F ，交AD 于E ，连接BO ，设BO =r ，则OE =r ，OF =6-r ，由垂径定理可得，BF =CF =2，在Rt ΔBOF 中，r 2=(6-r )2+22，解得r =103；综上所述：第Ⅰ类圆的半径是258或103；如图3，AD =6，AB =4，过点O 作MN ⊥AD 交于点M ，交BC 于点N ，连接OC ，设AB 边与⊙O 的切点为G ，连接OG ，∴GO ⊥AB ，设OM =r ，则OC =r ，则ON =4-r ，∵OG =r ，∴BN =r ，∴NC =6-r ，在Rt ΔOCN 中，r 2=(4-r )2+(6-r )2，解得r =10-43，∴第Ⅱ类圆的半径是10-43；(3)①如图4，第一步，作线段AD 的垂直平分线交AD 于点E ，第二步，连接EC ，第三步，作EC 的垂直平分线交EF 于点O ，第四步，以O 为圆心，EO 为半径作圆，∴⊙O 即为所求第Ⅰ类圆；②如图5，第一步：作∠BAD 的平分线；第二步：在角平分线上任取点E ，过点E 作EF ⊥AD ，垂足为点F ；第三步：以点E 为圆心，EF 为半径作圆E ，交AC 于点G ，连接FG ；第四步：过点C 作CH ⎳FG ，CH 交AD 于点H ；第五步：过点H 作AD 的垂线，交∠BAD 的平分线于点O ；第六步：以点O 为圆心，OH 为半径的圆，⊙O 即为所求第Ⅱ类圆．13(2021秋•海淀区校级期末)新定义：在平面直角坐标系xOy 中，若几何图形G 与⊙A 有公共点，则称几何图形G 的叫⊙A 的关联图形，特别地，若⊙A 的关联图形G 为直线，则称该直线为⊙A 的关联直线．如图，∠M 为⊙A 的关联图形，直线l 为⊙A 的关联直线．(1)已知⊙O 是以原点为圆心，2为半径的圆，下列图形：①直线y =2x +2；②直线y =-x +3；③双曲线y =2x，是⊙O 的关联图形的是①③(请直接写出正确的序号)．(2)如图1，⊙T 的圆心为T (1,0)，半径为1，直线l :y =-x +b 与x 轴交于点N ，若直线l 是⊙T 的关联直线，求点N 的横坐标的取值范围．(3)如图2，已知点B (0,2)，C (2,0)，D (0,-2)，⊙I 经过点C ，⊙I 的关联直线HB 经过点B ，与⊙I 的一个交点为P ；⊙I 的关联直线HD 经过点D ，与⊙I 的一个交点为Q ；直线HB ，HD 交于点H ，若线段PQ 在直线x =6上且恰为⊙I 的直径，请直接写出点H 横坐标h 的取值范围．【解答】解：(1)由题意①③是⊙O的关联图形，故答案为①③．(2)如图1中，∵直线l1y=-x+b是⊙T的关联直线，∴直线l的临界状态是和⊙T相切的两条直线l1和l2，当临界状态为l1时，连接TM(M为切点)，∴TM=1，TM⊥MB，且∠MNO=45°，∴ΔTMN是等腰直角三角形，∴TN=2，OT=1，∴N(1+2，0)，把N(1+2，0)代入y=-x+b中，得到b=1+2，同法可得当直线l2是临界状态时，b=-2+1，∴点N的横坐标的取值范围为-2+1≤N x≤2+1．(3)如图3-1中，当点Q在点P是上方时，连接BQ，PD交于点H，当圆心I在x轴上时，点H与点C重合，此时H(2,0)，得到h的最大值为2，如图3-2中，当点P在点Q是上方时，直线PB，QD交于点H，当圆心I在x轴上时，点H(-6,0)得到h的最小值为-6，综上所述，-6≤h<0，0<h≤2．14(2022春•海淀区校级月考)定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的“冰雪距离”．已知O(0,0)，A(1,1)，B(m,n)，C(m,n+2)是平面直角坐标系中四点．(1)根据上述定义，完成下面的问题：①当m=2，n=1时，如图1，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是1．②当m=2时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是1，则n的取值范围是．(2)如图2，若点B落在圆心为A，半径为1的圆上，当n≥1时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”记为d，结合图象，求d的最小值；(3)当m的值变化时，动线段BC与线段OA的“冰雪距离”始终为1，线段BC的中点为M．求点M随线段BC运动所走过的路径长．【解答】解：(1)①当m=2，n=1时，B(2,1)，C(2,3)．线段BC与线段OA的冰雪距离为AB=1．故答案为：1．②当m=2时，点A到直线BC的距离为1．若线段BC与线段OA的冰雪距离是1，则点A到BC的垂线的垂足在线段BC上，∴n≤1≤n+2，即-1≤n≤1．故答案为：-1≤n ≤1．(2)如图，B 2(0,1)为圆A 与y 轴的切点，B 11-22，1+22满足∠B 1AO =90°．当B 在B 1右侧时，冰雪距离d ≥B 1A =22．当B 在弧B 1B 2上时，冰雪距离d 为点B 到OA 的距离，结合图象可知，当且仅当B 处在点B 2时，d 取最小值22．(3)如图，当点B 位于图中弧DI 、线段IH 、弧HG 时，线段BC 与线段OA 的“冰雪距离”始终为1．当点C 位于图中弧DE 、线段EF 、弧FG 时，线段BC 与线段OA 的“冰雪距离”始终为1．当线段BC 由图中B 1D 向上平移到DC 3时，或由B 2G 向上平移到GC 4时，线段BC 与线段OA 的“冰雪距离”始终为1．对应中点M 所走过的路线长为：2π+4+22．15(2022•东城区校级开学)对于⊙C 和⊙C 上的一点A ，若平面内的点P 满足：射线AP 与⊙C 交于点Q (点Q 可以与点P 重合)，且1≤PAQA ≤2，则点P 称为点A 关于⊙C 的“生长点”．已知点O 为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A (-1,0)．(1)若点P 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且点P 在x 轴上，请写出一个符合条件的点P 的坐标　(2,0)(答案不唯一)；(2)若点B 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且满足∠BAO =30°，求点B 的纵坐标t 的取值范围；(3)直线y =3x +b 与x 轴交于点M ，且与y 轴交于点N ，若线段MN 上存在点A 关于⊙O 的“生长点”，直接写出b 的取值范围是．【解答】解：(1)根据“生长点”定义，点P 的坐标可以是(2,0)，故答案为：(2,0)(答案不唯一)；(2)如图，在x 轴上方作射线AM ，与⊙O 交于M ，使得∠OAM =30°，并在射线AM 上取点N ，使AM =MN ，并由对称性，将MN 关于x 轴对称，得M N ，则由题意，线段MN 和M N 上的点是满足条件的点B ．作MH ⊥x 轴于H ，连接MC ，∴∠MHA =90°，即∠OAM +∠AMH =90°．∵AC 是⊙O 的直径，∴∠AMC =90°，即∠AMH +∠HMC =90°．∴∠OAM =∠HMC =30°．∴tan30°=MH AH=HC MH =33，设MH=y，则AH=3y，CH=33y，∴AC=AH+CH=433y=2，解得y=32，即点M的纵坐标为32．又由AN=2AM，A为(-1,0)，可得点N的纵坐标为3，故在线段MN上，点B的纵坐标t满足：32≤t≤3，由对称性，在线段M N 上，点B的纵坐标t满足：?3≤t≤?3 2，∴点B的纵坐标t的取值范围是：32≤t≤3或?3≤t≤?32．(3)如图，Q是⊙O上异于点A的任意一点，延长AQ到P，使得PA=2AQ，∵Q的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆，∴点P的运动轨迹是以K(1,0)为圆心，2为半径的圆，当直线MN与⊙K相切于点R时，连接KR，在RtΔKMR中，∠KRM=90°，∵直线y=3x+b与x轴夹角为60°，∴∠KMR=60°，KR=2，∴KM=2÷sin60°=433，∴OM=1+433，∴ON=3OM=4+3，∴b=-4-3，当直线MN经过G(0,-1)时，满足条件，此时b=-1，观察图象可知：当-4-3≤b≤-1时，线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”，根据对称性，同法可得当1≤b≤4-3时，也满足条件．故答案为：-4-3≤b≤-1或1≤b≤4-3．16(2022•东城区校级开学)在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N 上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“近距离”，记为d(M,N)．特别地，若图形M，N有公共点，规定d(M,N)=0，如图，点A(-23，0)，B(0,2)．(1)如果⊙O的半径为2，那么d(A,⊙O)=　23-2　，d(B,⊙O)=；(2)如果⊙O的半径为r，且d(⊙O,AB)>0，求r的取值范围；(3)如果C(0,m)是y轴上的动点，⊙C的半径为1，使d(⊙C,AB)<1，直接写出m的取值范围为．【解答】解：(1)∵⊙O的半径为2，A(-23，0)，B(0,2)，∴OB=2，OA=23>2，∴点A在⊙O外，点B在⊙O上，∴d(A,⊙O)=23-2，d(B,⊙O)=0，故答案为：23-2；0；(2)如图1，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，在Rt ΔAOB 中，∵tan ∠BAO =OB OA =223=33，∴∠BAO =30°．在Rt ΔADO 中，sin ∠BAO =DO OA =12=DO23，∴DO =3，∵d (⊙O ,AB )=0，∴r 的取值范围是0<r <3或r >23；(3)如图2，过点C 作CN ⊥AB 于点N ，由(2)知，∠BAO =30°．∵C (m ,0)，当点C 在点B 的上边时，m >2，此时，d (⊙C ,AB )=BC ，∴BC ≤1，即m -2≤1，解得m ≤3；当点C 与点B 重合时，m =2，此时d (⊙C ,AB )=0，当点C 在点B 的下边时，m <2，∴BC =2-m ，∴CN =BC ⋅sin ∠OBA =32(2-m )．∵d (⊙C ,AB )<1，⊙C 的半径为1，∴0<32(2-m )<1．∴2-233<m <2．综上所述：2-233<m ≤3．故答案为：2-233<m ≤3．17(2021秋•润州区校级月考)在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于⊙C 的反称点的定义如下：若在射线CP 上存在一点P ′，满足CP +CP ′=2r ，则称P ′为点P 关于⊙C 的反称点，如图为点P 及其关于⊙C 的反称点P ′的示意图．(1)当⊙O 的半径为1时，①分别判断点M (3,1)，N 32，0，T (-1,3)关于⊙O 的反称点是否存在？若存在，直接求其坐标；②将⊙O 沿x 轴水平向右平移1个单位为⊙O ′，点P 在直线y =-x +1上，若点P 关于⊙O ′的反称点P ′存在，且点P ′不在坐标轴上，则点P 的横坐标的取值范围　1-2≤x ≤1+2且x ≠2-2　；(2)⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线y =-x +12与x 轴，y 轴分别交于点A 、B ，点E 与点D 分别在点A 与点B 的右侧2个单位，线段AE 、线段BD 都是水平的，若四边形ABDE 四边上存在点P ，使得点P 关于⊙C 的反称点P ′在⊙C 的内部，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．。

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，过点E 的切线与AB 的延长线交于点D ，连接BE ，过点O 作BE 的平行线，交⊙O 于点F ，交切线于点C ，连接AC（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）连接EF ，当∠D= °时，四边形FOBE 是菱形．【答案】（1）见解析；（2）30.【解析】【分析】（1）由等角的转换证明出OCA OCE ∆∆≌，根据圆的位置关系证得AC 是⊙O 的切线. （2）根据四边形FOBE 是菱形，得到OF=OB=BF=EF ，得证OBE ∆为等边三角形，而得出60BOE ∠=︒，根据三角形内角和即可求出答案.【详解】（1）证明：∵CD 与⊙O 相切于点E ，∴OE CD ⊥，∴90CEO ∠=︒，又∵OC BE ，∴COE OEB ∠=∠，∠OBE=∠COA∵OE=OB ，∴OEB OBE ∠=∠，∴COE COA ∠=∠，又∵OC=OC ，OA=OE ，∴OCA OCE SAS ∆∆≌（）， ∴90CAO CEO ∠=∠=︒，又∵AB 为⊙O 的直径，∴AC 为⊙O 的切线；（2）解：∵四边形FOBE 是菱形，∴OF=OB=BF=EF ，∴OE=OB=BE ，∴OBE ∆为等边三角形，∴60BOE ∠=︒，而OE CD ⊥，∴30D ∠=︒．故答案为30．【点睛】本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关键.2．如图1O ，的直径12AB P =，是弦BC 上一动点(与点B C ，不重合)30ABC ，∠=，过点P 作PD OP ⊥交O 于点D ．()1如图2，当//PD AB 时，求PD 的长；()2如图3，当DC AC =时，延长AB 至点E ，使12BE AB =，连接DE ． ①求证：DE 是O 的切线；②求PC 的长．【答案】（1）26；（2）333-①见解析，②．【解析】分析：()1根据题意首先得出半径长，再利用锐角三角函数关系得出OP PD ，的长； ()2①首先得出OBD 是等边三角形，进而得出ODE OFB 90∠∠==，求出答案即可； ②首先求出CF 的长，进而利用直角三角形的性质得出PF 的长，进而得出答案． 详解：()1如图2，连接OD ，//OP PD PD AB ⊥，，90POB ∴∠=，O 的直径12AB =，6OB OD ∴==，在Rt POB 中，30ABC ∠=， 3tan30623OP OB ∴=⋅=⨯=， 在Rt POD 中， 22226(23)26PD OD OP =-=-=；()2①证明：如图3，连接OD ，交CB 于点F ，连接BD ，DC AC =，30DBC ABC ∴∠=∠=， 60ABD ∴∠=，OB OD =，OBD ∴是等边三角形，OD FB ∴⊥，12BE AB =， OB BE ∴=，//BF ED ∴，90ODE OFB ∴∠=∠=，DE ∴是O 的切线；②由①知，OD BC ⊥，3cos30633CF FB OB ∴==⋅== 在Rt POD 中，OF DF =， 13(2PF DO ∴==直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半)， 333CP CF PF ∴=-=．点睛：此题主要考查了圆的综合以及直角三角形的性质和锐角三角函数关系，正确得出OBD 是等边三角形是解题关键．3．已知：AB 是⊙0直径,C 是⊙0外一点,连接BC 交⊙0于点D ，BD=CD,连接AD 、AC ．(1)如图1,求证:∠BAD=∠CAD(2)如图2,过点C 作CF ⊥AB 于点F,交⊙0于点E,延长CF 交⊙0于点G.过点作EH ⊥AG 于点H ，交AB 于点K,求证AK=2OF ；(3)如图3,在(2)的条件下,EH 交AD 于点L,若0K=1,AC=CG,求线段AL 的长.图1 图2 图3【答案】(1)见解析(2)见解析(3)12105 【解析】试题分析：（1）由直径所对的圆周角等于90°，得到∠ADB =90°，再证明△ABD ≌△ACD 即可得到结论；（2）连接BE ．由同弧所对的圆周角相等，得到∠GAB =∠BEG ．再证△KFE ≌△BFE ，得到BF =KF =BK ．由OF =OB -BF ，AK =AB -BK ，即可得到结论． （3）连接CO 并延长交AG 于点M ，连接BG ．设∠GAB =α．先证CM 垂直平分AG ，得到AM =GM ，∠AGC +∠GCM =90°．再证∠GAF =∠GCM =α．通过证明△AGB ≌△CMG ，得到BG =GM =12AG ．再证明∠BGC =∠MCG =α．设BF =KF =a ， 可得GF =2a ，AF =4a ． 由OK =1，得到OF =a +1，AK =2（a +1），AF = 3a +2，得到3a +2=4a ，解出a 的值，得到AF ，AB ，GF ，FC 的值．由tanα=tan ∠HAK =12HK AH =， AK =6，可以求出 AH 的长．再由1tan tan 3BAD BCF ∠=∠= ，利用公式tan ∠GAD =tan tan 1tan tan GAF BAD GAF BAD∠+∠-∠⋅∠，得到∠GAD =45°，则AL =2AH ，即可得到结论．试题解析：解：（1）∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，∴∠ADC =90°．∵BD =CD ，∠BDA =∠CDA ，AD =AD ，∴△ABD ≌△ACD ，∴∠BAD =∠CAD ．（2）连接BE ．∵BG =BG ，∴∠GAB =∠BEG ．∵CF ⊥AB ，∴∠KFE =90°．∵EH ⊥AG ，∴∠AHE =∠KFE =90°，∠AKH =∠EKF ，∴∠HAK =∠KEF =∠BEF ．∵FE =FE ，∠KFE =∠BFE =90°，∴△KFE ≌△BFE ，∴BF =KF =BK ．∵ OF =OB -BF ，AK =AB -BK ，∴AK =2OF ．（3）连接CO 并延长交AG 于点M ，连接BG ．设∠GAB =α．∵AC =CG ， ∴点C 在AG 的垂直平分线上．∵ OA =OG ，∴点O 在AG 的垂直平分线上， ∴CM 垂直平分AG ，∴AM =GM ，∠AGC +∠GCM =90°．∵AF ⊥CG ，∴∠AGC +∠GAF =90°，∴∠GAF =∠GCM =α．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AGB = 90°，∴∠AGB =∠CMG =90°．∵AB =AC =CG ，∴△AGB ≌△CMG ，∴BG =GM=12AG ． 在Rt △AGB 中， 1tan tan 2GB GAB AG α∠=== ． ∵∠AMC =∠AGB = 90°，∴BG ∥CM ， ∴∠BGC =∠MCG =α．设BF =KF =a ， 1tan tan 2BF BGF GF α∠===，∴GF =2a ，1tan tan 2GF GAF AF α∠=== ，AF =4a ．∵OK =1，∴OF =a +1，AK =2OF =2（a +1），∴AF =AK +KF =a +2（a +1）=3a +2，∴3a +2=4a ，∴a =2， AK =6，∴AF =4a =8，AB =AC =CG =10，GF =2a =4，FC =CG -GF =6． ∵tanα=tan ∠HAK =12HK AH =，设KH =m ，则AH =2m ，∴AK 22(2)m m +=6，解得：m 65，∴AH =2m 125．在Rt △BFC 中，1tan 3BF BCF FC ∠== ．∵∠BAD +∠ABD =90°， ∠FBC +∠BCF =90°，∴∠BCF =∠BAD ，1tan tan 3BAD BCF ∠=∠= ，∴tan ∠GAD =tan tan 1tan tan GAF BAD GAF BAD ∠+∠-∠⋅∠=1123111123+=-⨯，∴∠GAD =45°，∴HL=AH ，AL =2AH = 12105．4．如图，AC 是⊙O 的直径，OB 是⊙O 的半径，PA 切⊙O 于点A ，PB 与AC 的延长线交于点M ，∠COB ＝∠APB ．（1）求证：PB 是⊙O 的切线； （2）当MB ＝4，MC ＝2时，求⊙O 的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】【分析】（1）根据题意∠M +∠P ＝90°，而∠COB ＝∠APB ，所以有∠M +∠COB ＝90°，即可证明PB 是⊙O 的切线.（2）设圆的半径为r ,则OM =r +2,BM=4,OB =r ,再根据勾股定理列方程便可求出r .【详解】证明：（1）∵AC 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点A ，∴PA ⊥OA∴在Rt △MAP 中，∠M +∠P ＝90°，而∠COB ＝∠APB ，∴∠M +∠COB ＝90°，∴∠OBM ＝90°，即OB ⊥BP ，∴PB 是⊙O 的切线；（2）设⊙O 的半径为r ，2OM r ∴=+ ,OB r = ,4BM =OBM ∆为直角三角形∴222OM OB BM =+ ，即222(2)+4r r +=解得：r ＝3，∴⊙O 的半径为3．【点睛】本题主要考查圆的切线问题，证明圆的切线有两种思路一种是证明连线是半径，另一种是证明半径垂直.5．AB 是⊙O 直径，在AB 的异侧分别有定点C 和动点P ，如图所示，点P 在半圆弧AB 上运动（不与A 、B 重合），过C 作CP 的垂线CD ，交PB 的延长线于D ，已知5AB =，BC ∶CA ＝4∶3．（1）求证：AC ·CD ＝PC ·BC ；（2）当点P 运动到AB 弧的中点时，求CD 的长；（3）当点P 运动到什么位置时，PCD ∆的面积最大？请直接写出这个最大面积．【答案】(1)证明见解析；（2）CD 142；（3）当PC 为⊙O 直径时，△PCD 的最大面积=503. 【解析】【分析】（1）由圆周角定理可得∠PCD=∠ACB=90°，可证△ABC ∽△PCD ，可得AC BC CP CD =,即可得证．（2）由题意可求BC=4，AC=3，由勾股定理可求CE 的长，由锐角三角函数可求PE 的长，即可得PC 的长，由AC•CD=PC•BC 可求CD 的值；（3）当点P 在AB 上运动时，12PCD S PC CD =⨯⨯，由（1）可得：43CD PC =，可得2142233PCD SPC PC PC =⨯⨯=，当PC 最大时，△PCD 的面积最大，而PC 为直径时最大，故可求解．【详解】证明：（1）∵AB 为直径，∴∠ACB =90°∵PC ⊥CD ，∴∠PCD =90°∴∠PCD =∠ACB ，且∠CAB =∠CPB∴△ABC ∽△PCD ∴AC BC CP CD= ∴AC •CD =PC •BC（2）∵AB =5，BC ：CA =4：3，∠ACB =90°∴BC =4，AC =3，当点P 运动到AB 的中点时，过点B 作BE ⊥PC 于点E∵点P 是AB 的中点， ∴∠PCB =45°，且BC =4∴CE =BE =22BC 2 ∵∠CAB =∠CPB∴tan ∠CAB =43=BC AC =tan ∠CAB =BE PE ∴PE =322∴PC =PE +CE =3222=22 ∵AC •CD =PC •BC ∴3×CD =22×4∴CD =1423 （3）当点P 在AB 上运动时，S △PCD =12×PC ×CD ， 由（1）可得：CD =43PC ∴S △PCD =1423PC PC ⨯⨯=23PC 2， ∴当PC 最大时，△PCD 的面积最大， ∴当PC 为⊙O 直径时，△PCD 的最大面积=23×52=503 【点睛】本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，锐角三角函数，求出PC 的长是本题的关键．6．如图，已知AB 是⊙O 的直径，P 是BA 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，CD ⊥AB ，垂足为D ．（1）求证：∠PCA ＝∠ABC ；（2）过点A 作AE ∥PC 交⊙O 于点E ，交CD 于点F ，交BC 于点M ，若∠CAB ＝2∠B ，CF 3【答案】（1）详见解析；（2）6334π-. 【解析】【分析】（1）如图，连接OC ，利用圆的切线的性质和直径对应的圆周角是直角可得∠PCA=∠OCB ，利用等量代换可得∠PCA=∠ABC.（2）先求出△OCA 是等边三角形，在利用三角形的等边对等角定理求出FA=FC 和CF=FM,然后分别求出AM 、AC 、MO 、CD 的值，分别求出0A E S ∆、BOE S 扇形 、ABM S ∆ 的值，利用0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形，然后通过计算即可解答.【详解】解：（1）证明：连接OC ，如图，∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC,∴∠PCA+∠ACO=90º,∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ACO+OCB=90º∴∠PCA=∠OCB,∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB,∴∠PCA=∠ABC；（2）连接OE，如图，∵△ACB中，∠ACB＝90º,∠CAB＝2∠B,∴∠B＝30º,∠CAB＝60º,∴△OCA是等边三角形，∵CD⊥AB,∴∠ACD+∠CAD＝∠CAD＋∠ABC＝90º,∴∠ACD＝∠B＝30º,∵PC∥AE,∴∠PCA＝∠CAE＝30º,∴FC=FA,同理，CF＝FM,∴AM＝2CF=23,Rt△ACM中，易得AC=23×32=3＝OC,∵∠B＝∠CAE＝30º,∴∠AOC=∠COE=60º,∴∠EOB=60º,∴∠EAB=∠ABC=30º,∴MA=MB,连接OM,EG⊥AB交AB于G点，如图所示，∵OA=OB,∴MO⊥AB,∴MO＝3∵△CDO≌△EDO(AAS)，∴332∴1332ABM S AB MO ∆=⨯=, 同样，易求93AOE S ∆=， 260333602BOE S ππ⨯==扇形 ∴0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形=933633332ππ-+-=. 【点睛】 本题考查了切线的性质、解直角三角形、扇形面积和识图的能力，综合性较强，有一定难度，熟练掌握定理并准确识图是解题的关键.7．如图，PA 切⊙O 于点A ，射线PC 交⊙O 于C 、B 两点，半径OD ⊥BC 于E ，连接BD 、DC 和OA ，DA 交BP 于点F ；（1）求证：∠ADC+∠CBD ＝12∠AOD ； （2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中相等的线段．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；【解析】【分析】()1根据垂径定理得到BD CD =，根据等腰三角形的性质得到()111809022ODA AOD AOD ∠=-∠=-∠，即可得到结论； ()2根据垂径定理得到BE CE =，BD CD =，根据等腰三角形的性质得到ADO OAD ∠=∠，根据切线的性质得到90PAO ∠=，求得90OAD DAP ∠+∠=，推出PAF PFA ∠=∠，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．【详解】()1证明：OD BC ⊥，BD CD ∴=，CBD DCB ∴∠=∠，90DFE EDF ∠+∠=，90EDF DFE ∴∠=-∠，OD OA =，()111809022ODA AOD AOD ∴∠=-∠=-∠， 190902DFE AOD ∴-∠=-∠， 12DEF AOD ∴∠=∠， DFE ADC DCB ADC CBD ∠=∠+∠=∠+∠，12ADC CBD AOD ∴∠+∠=∠； ()2解：OD BC ⊥，BE CE ∴=，BD CD =，BD CD ∴=，OA OD =，ADO OAD ∴∠=∠，PA 切O 于点A ，90PAO ∴∠=， 90OAD DAP ∴∠+∠=， PFA DFE ∠=∠，90PFA ADO ∴∠+∠=，PAF PFA ∴∠=∠，PA PF ∴=．【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．8．如图，在△ABC 中，以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ，交AB 于点G ，且D 是BC 中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，交AC 的延长线于点F ．（1）求证：直线EF 是⊙O 的切线；（2）若CF=3，cosA=25，求出⊙O 的半径和BE 的长；（3）连接CG ，在（2）的条件下，求CG EF的值．【答案】(1)见解析；（2）2，65（3）CG:EF＝4：7【解析】试题分析：（1）连结OD．先证明OD是△ABC的中位线，根据中位线的性质得到OD∥AB，再由DE⊥AB，得出OD⊥EF，根据切线的判定即可得出直线EF是⊙O的切线；（2）先由OD∥AB，得出∠COD=∠A，再解Rt△DOF，根据余弦函数的定义得到cos∠FOD==，设⊙O的半径为R，解方程=，求出R=，那么AB=2OD=，解Rt△AEF，根据余弦函数的定义得到cosA==，求出AE=，然后由BE=AB﹣AE即可求解．试题解析：（1）证明：如图，连结OD．∵CD=DB，CO=OA，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AB，AB=2OD，∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，即OD⊥EF，∴直线EF是⊙O的切线；（2）解：∵OD∥AB，∴∠COD=∠A．在Rt△DOF中，∵∠ODF=90°，∴cos∠FOD==，设⊙O的半径为R，则=，解得R=，∴AB=2OD=．在Rt△AEF中，∵∠AEF=90°，∴cosA===，∴AE=，∴BE=AB﹣AE=﹣=2．【点睛】本题考查了切线的判定，解直角三角形，三角形中位线的性质知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连结圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．9．如图，已知等边△ABC，AB=16，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连结GD．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）求FG的长；（3）求tan∠FGD的值．【答案】(1)证明见解析；（2）6；（3）．【解析】试题分析：(1)连接OD，根据等边三角形得出∠A=∠B=∠C=60°，根据OD=OB得到∠ODB=60°，得到OD∥AC，根据垂直得出切线；(2)根据中位线得出BD=CD=6，根据Rt△CDF的三角函数得出CF的长度，从而得到AF的长度，最后根据Rt△AFG的三角函数求出FG的长度；(3)过点D作DH⊥AB，根据垂直得出FG∥DH，根据Rt△BDH求出BH、DH的长度，然后得出∠GDH的正切值，从而得到∠FGD的正切值.试题解析：(1)如图①，连结OD，∵△ABC为等边三角形，∴∠C＝∠A＝∠B＝60°，而OD＝OB，∴△ODB是等边三角形，∠ODB＝60°，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线(2)∵OD∥AC，点O为AB的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴BD＝CD＝6.在Rt△CDF中，∠C＝60°，∴∠CDF＝30°，∴CF＝CD＝3，∴AF＝AC－CF＝12－3＝9 在Rt△AFG中，∵∠A＝60°，∴FG＝AF·sinA＝9×＝(3)如图②，过D作DH⊥AB于H.∵FG⊥AB，DH⊥AB，∴FG∥DH，∴∠FGD＝∠GDH.在Rt△BDH中，∠B＝60°，∴∠BDH＝30°，∴BH＝BD＝3，DH＝BH＝3.∴tan∠GDH＝＝＝，∴tan∠FGD＝tan∠GDH＝考点：(1)圆的基本性质；(2)三角函数.10．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC交直径AD于点E，过点C作AD的垂线交AB的延长线于点G，垂足为F．连接OC．（1）若∠G=48°，求∠ACB的度数；（2）若AB=AE，求证：∠BAD=∠COF；（3）在（2）的条件下，连接OB，设△AOB的面积为S1，△ACF的面积为S2．若tan∠CAF=12，求12SS的值．【答案】（1）48°（2）证明见解析（3）3 4【解析】【分析】（1）连接CD，根据圆周角定理和垂直的定义可得结论；（2）先根据等腰三角形的性质得：∠ABE=∠AEB，再证明∠BCG=∠DAC，可得CD PB PD==，则所对的圆周角相等，根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系可得结论；（3）过O作OG⊥AB于G，证明△COF≌△OAG，则OG=CF=x，AG=OF，设OF=a，则OA=OC=2x-a，根据勾股定理列方程得：（2x-a）2=x2+a2，则a=34x，代入面积公式可得结论．【详解】（1）连接CD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∴∠ACB+∠BCD=90°，∵AD⊥CG，∴∠AFG=∠G+∠BAD=90°，∵∠BAD=∠BCD，∴∠ACB=∠G=48°；（2）∵AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，∵∠ABC=∠G+∠BCG，∠AEB=∠ACB+∠DAC，由（1）得：∠G=∠ACB，∴∠BCG=∠DAC，∴CD PB=，∵AD是⊙O的直径，AD⊥PC，∴CD PD=，∴CD PB PD==，∴∠BAD=2∠DAC，∵∠COF=2∠DAC，∴∠BAD=∠COF；（3）过O作OG⊥AB于G，设CF=x，∵tan∠CAF=12=CF AF，∴AF=2x，∵OC=OA，由（2）得：∠COF=∠OAG，∵∠OFC=∠AGO=90°，∴△COF≌△OAG，∴OG=CF=x，AG=OF，设OF=a，则OA=OC=2x﹣a，Rt△COF中，CO2=CF2+OF2，∴（2x﹣a）2=x2+a2，a=34 x，∴OF=AG=34 x，∵OA=OB，OG⊥AB，∴AB=2AG=32x，∴1213··3 22 1·24·2AB OG x xSS x xCF AF===．【点睛】圆的综合题，考查了三角形的面积、垂径定理、角平分线的性质、三角形全等的性质和判定以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据圆周角定理找出∠ACB+∠BCD=90°；（2）根据外角的性质和圆的性质得：CD PB PD==；（3）利用三角函数设未知数，根据勾股定理列方程解决问题．。

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，CD 为⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，连接BC 、BD ，过点B 的切线AE 与CD 的延长线交于点A ，AEO C =∠∠，OE 交BC 于点F . （1）求证：OE ∥BD ；（2）当⊙O 的半径为5，2sin 5DBA ∠=时，求EF 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）EF 的长为212【解析】试题分析：（1）连接OB ，利用已知条件和切线的性质证明； （2）根据锐角三角函数和相似三角形的性质，直接求解即可.试题解析：（1）连接OB ， ∵CD 为⊙O 的直径 ， ∴ 90CBD CBO OBD ∠=∠+∠=︒. ∵AE 是⊙O 的切线，∴ 90ABO ABD OBD ∠=∠+∠=︒. ∴ ABD CBO ∠=∠. ∵OB 、OC 是⊙O 的半径，∴OB=OC . ∴C CBO ∠=∠. ∴C ABD ∠=∠. ∵E C ∠=∠，∴E ABD ∠=∠. ∴ OE ∥BD . （2）由（1）可得sin ∠C = ∠DBA=25，在Rt △OBE 中, sin ∠C =25BD CD =,OC =5， 4BD =∴90CBD EBO ∠=∠=︒∵E C ∠=∠，∴△CBD ∽△EBO . ∴BD CDBO EO= ∴252EO =.∵OE ∥BD ，CO =OD ， ∴CF =FB . ∴122OF BD ==. ∴212EF OE OF =-=2．已知：如图，在矩形ABCD 中，点O 在对角线BD 上，以OD 的长为半径的⊙O 与AD ，BD 分别交于点E 、点F ，且∠ABE=∠DBC ．（1）判断直线BE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若sin ∠ABE=33，CD=2，求⊙O 的半径．【答案】（1）直线BE 与⊙O 相切，证明见解析；（2）⊙O 的半径为32． 【解析】分析：（1）连接OE ，根据矩形的性质，可证∠BEO =90°，即可得出直线BE 与⊙O 相切； （2）连接EF ，先根据已知条件得出BD 的值，再在△BEO 中，利用勾股定理推知BE 的长，设出⊙O 的半径为r ，利用切线的性质，用勾股定理列出等式解之即可得出r 的值． 详解：（1）直线BE 与⊙O 相切．理由如下：连接OE ，在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠ADB =∠DBC ． ∵OD =OE ，∴∠OED =∠ODE ． 又∵∠ABE =∠DBC ，∴∠ABE =∠OED ， ∵矩形ABDC ，∠A =90°，∴∠ABE +∠AEB =90°，∴∠OED +∠AEB =90°，∴∠BEO =90°，∴直线BE 与⊙O 相切；（2）连接EF ，方法1：∵四边形ABCD 是矩形，CD =2，∴∠A =∠C =90°，AB =CD =2． ∵∠ABE =∠DBC ，∴sin ∠CBD =33sin ABE ∠= ∴23DCBD sin CBD∠==在Rt △AEB 中，∵CD =2，∴22BC =． ∵tan ∠CBD =tan ∠ABE ，∴2222DC AE AEAE BC AB ，，==∴=， 由勾股定理求得6BE =在Rt △BEO 中，∠BEO =90°，EO 2+EB 2=OB 2．设⊙O 的半径为r ，则222623r r +=-（）（），∴r =32， 方法2：∵DF 是⊙O 的直径，∴∠DEF =90°． ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =∠C =90°，AB =CD =2． ∵∠ABE =∠DBC ，∴sin ∠CBD =3sin ABE ∠=． 设3DC x BD x ==，，则2BC x =．∵CD =2，∴22BC =． ∵tan ∠CBD =tan ∠ABE ，∴2222DC AE AEAE BC AB ，，=∴=∴=， ∴E 为AD 中点．∵DF 为直径，∠FED =90°，∴EF ∥AB ，∴132DF BD ==，∴⊙O 的半径为32．点睛：本题综合考查了切线的性质、勾股定理以及三角函数的应用等知识点，具有较强的综合性，有一定的难度．3．如图，O 是△ABC 的内心，BO 的延长线和△ABC 的外接圆相交于D ，连结DC 、DA 、OA 、OC ，四边形OADC 为平行四边形． （1）求证：△BOC ≌△CDA ． （2）若AB =2，求阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析；（2433π-. 【解析】分析: （1）根据内心性质得∠1=∠2，∠3=∠4，则AD=CD ，于是可判断四边形OADC 为菱形，则BD 垂直平分AC ，∠4=∠5=∠6，易得OA=OC ，∠2=∠3，所以OB=OC ，可判断点O 为△ABC 的外心，则可判断△ABC 为等边三角形，所以∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，BC=AC ，再根据平行四边形的性质得∠ADC=∠AOC=120°，AD=OC ，CD=OA=OB ，则根据“SAS”证明△BOC ≌△CDA ；（2）作OH ⊥AB 于H ，如图，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠BOH=30°，根据垂径定理得到BH=AH=12AB=1，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到OH=33BH=33，OB=2OH=233，然后根据三角形面积公式和扇形面积公式，利用S 阴影部分=S 扇形AOB-S △AOB 进行计算即可. 详解:（1）证明：∵O 是△ABC 的内心，∴∠2=∠3，∠5=∠6， ∵∠1=∠2，∴∠1=∠3， 由AD ∥CO ,AD =CO ，∴∠4=∠6， ∴△BOC ≌△CDA （AAS ）(2)由（1）得，BC =AC ,∠3=∠4=∠6， ∴∠ABC =∠ACB ∴AB =AC∴△ABC 是等边三角形 ∴O 是△ABC 的内心也是外心 ∴OA =OB =OC设E 为BD 与AC 的交点，BE 垂直平分AC . 在Rt △OCE 中，CE=12AC=12AB=1，∠OCE=30°， ∴23∵∠AOC=120°， ∴=AOBAOB S S S -阴影扇=2120231323602π-⨯ =433π- 点睛: 本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了等边三角形的判定与性质和扇形面积的计算.4．如图，已知AB为⊙O直径，D是BC的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线交AD的延长线于F．（1）求证：直线DE与⊙O相切；（2）已知DG⊥AB且DE=4，⊙O的半径为5，求tan∠F的值．【答案】（1）证明见解析；（2）2．【解析】试题分析：（1）连接BC、OD，由D是弧BC的中点，可知：OD⊥BC；由OB为⊙O的直径，可得：BC⊥AC，根据DE⊥AC，可证OD⊥DE，从而可证DE是⊙O的切线；（2）直接利用勾股定理得出GO的长，再利用锐角三角函数关系得出tan∠F的值．试题解析：解：（1）证明：连接OD，BC，∵D是弧BC的中点，∴OD垂直平分BC，∵AB 为⊙O的直径，∴AC⊥BC，∴OD∥AE．∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD为⊙O的半径，∴DE 是⊙O的切线；（2）解：∵D是弧BC的中点，∴DC DB，∴∠EAD=∠BAD，∵DE⊥AC，DG⊥AB且DE=4，∴DE=DG=4，∵DO=5，∴GO=3，∴AG=8，∴tan∠ADG=84=2，∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF=90°，∴DG∥BF，∴tan∠F=tan∠ADG=2．点睛：此题主要考查了切线的判定与性质以及勾股定理等知识，正确得出AG，DG的长是解题关键．5．如图．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=30cm，点P在AB上，AP=10cm，点E从点P 出发沿线段PA以2c m/s的速度向点A运动，同时点F从点P出发沿线段PB以1c m/s的速度向点B运动，点E到达点A后立刻以原速度沿线段AB向点B运动，在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧，设点E、F运动的时间为t （s）（0＜t＜20）．（1）当点H落在AC边上时，求t的值；（2）设正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．①试求S关于t的函数表达式；②以点C为圆心，12t为半径作⊙C，当⊙C与GH所在的直线相切时，求此时S的值．【答案】（1）t=2s或10s；（2）①S=2229?(02)75050(210)240400?(1020)t tt t tt t t⎧<≤⎪⎪-+-<≤⎨⎪-+<<⎪⎩；②100cm2．【解析】试题分析：（1）如图1中，当0＜t≤5时，由题意AE=EH=EF，即10﹣2t=3t，t=2；如图2中，当5＜t＜20时，AE=HE，2t﹣10=10﹣（2t﹣10）+t，t=10；（2）分四种切线讨论a、如图3中，当0＜t≤2时，重叠部分是正方形EFGH，S=（3t）2=9t2．b、如图4中，当2＜t≤5时，重叠部分是五边形EFGMN．c、如图5中，当5＜t＜10时，重叠部分是五边形EFGMN．d、如图6中，当10＜t＜20时，重叠部分是正方形EFGH．分别计算即可；②分两种情形分别列出方程即可解决问题．试题解析：解：（1）如图1中，当0＜t≤5时，由题意得：AE=EH=EF，即10﹣2t=3t，t=2如图2中，当5＜t＜20时，AE=HE，2t﹣10=10﹣（2t﹣10）+t，t=10．综上所述：t=2s或10s时，点H落在AC边上．（2）①如图3中，当0＜t≤2时，重叠部分是正方形EFGH，S=（3t）2=9t2如图4中，当2＜t≤5时，重叠部分是五边形EFGMN，S=（3t）2﹣12（5t﹣10）2=﹣72t2+50t﹣50．如图5中，当5＜t＜10时，重叠部分是五边形EFGMN，S=（20﹣t）2﹣12（30﹣3t）2=﹣72t2+50t﹣50．如图6中，当10＜t＜20时，重叠部分是正方形EFGH，S=（20﹣t）2=t2﹣40t+400．综上所述：S=2229?(02)75050(210)240400?(1020)t tt t tt t t⎧<≤⎪⎪-+-<≤⎨⎪-+<<⎪⎩．②如图7中，当0＜t≤5时，12t+3t=15，解得：t=307，此时S=100cm2，当5＜t＜20时，12t+20﹣t=15，解得：t=10，此时S=100．综上所述：当⊙C与GH所在的直线相切时，求此时S的值为100cm2点睛：本题考查了圆综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意不能漏解，属于中考压轴题．6．阅读：圆是最完美的图形，它具有一些特殊的性质：同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半……先构造“辅助圆”，再利用圆的性质将问题进行转化，往往能化隐为显、化难为易。

九年级中考数学圆的综合解答题压轴题提高专题练习附答案解析一、圆的综合1．如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF=ED．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若tan A=12，探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明；（3）在（2）的条件下，若OF=1，求圆O的半径．【答案】（1）答案见解析；（2）AB=3BE；（3）3．【解析】试题分析：（1）先判断出∠OCF+∠CFO=90°，再判断出∠OCF=∠ODF，即可得出结论；（2）先判断出∠BDE=∠A，进而得出△EBD∽△EDA，得出AE=2DE，DE=2BE，即可得出结论；（3）设BE=x，则DE=EF=2x，AB=3x，半径OD=32x，进而得出OE=1+2x，最后用勾股定理即可得出结论．试题解析：（1）证明：连结OD，如图．∵EF=ED，∴∠EFD=∠EDF．∵∠EFD=∠CFO，∴∠CFO=∠EDF．∵OC⊥OF，∴∠OCF+∠CFO=90°．∵OC=OD，∴∠OCF=∠ODF，∴∠ODC+∠EDF=90°，即∠ODE=90°，∴OD⊥DE．∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）线段AB、BE之间的数量关系为：AB=3BE．证明如下：∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO=∠BDE．∵OA=OD，∴∠ADO=∠A，∴∠BDE=∠A，而∠BED=∠DEA，∴△EBD∽△EDA，∴DE BE BDAE DE AD==．∵Rt△ABD中，tan A=BDAD=12，∴DE BEAE DE==12，∴AE=2DE，DE=2BE，∴AE=4BE，∴AB=3BE；（3）设BE=x，则DE=EF=2x，AB=3x，半径OD=32x．∵OF=1，∴OE=1+2x．在Rt△ODE中，由勾股定理可得：（32x）2+（2x）2=（1+2x）2，∴x=﹣29（舍）或x=2，∴圆O的半径为3．点睛：本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△EBD∽△EDA是解答本题的关键．2．如图，已知Rt△ABC中，C=90°，O在AC上，以OC为半径作⊙O，切AB于D点，且BC=BD．（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）若BC=6，sinA=35，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，P点在⊙O上为一动点，求BP的最大值与最小值.【答案】（1）连OD，证明略；（2）半径为3；（3）最大值35+3 ，35-3.【解析】分析：（1）连接OD，OB，证明△ODB≌△OCB即可.（2）由sinA=35且BC=6可知，AB=10且cosA=45，然后求出OD的长度即可.（3）由三角形的三边关系，可知当连接OB交⊙O于点E、F，当点P分别于点E、F重合时，BP分别取最小值和最大值.详解：（1）如图：连接OD、OB.在△ODB和△OCB中：OD=OC,OB=OB,BC=BD;∴△ODB≌△OCB（SSS）.∴∠ODB=∠C=90°.∴AB为⊙O的切线.（2）如图：∵sinA=35，∴CB3AB5=,∵BC=6，∴AB=10,∵BD=BC=6,∴AD=AB-BD=4,∵sinA=35，∴cosA=45，∴OA=5，∴OD=3，即⊙O的半径为：3.（3）如图：连接OB，交⊙O为点E、F，由三角形的三边关系可知：当P点与E点重合时，PB取最小值.由（2）可知：OD=3，DB=6,∴223635+=∴PB=OB-OE=353.当P点与F点重合时，PB去最大值，PB=OP+OB=3+35点睛：本题属于综合类型题，主要考查了圆的综合知识.关键是对三角函数值、勾股定理、全等三角形判定与性质的理解.3．如图，已知四边形ABCD是矩形，点P在BC边的延长线上，且PD=BC，⊙A经过点B，与AD边交于点E，连接CE .（1）求证：直线PD是⊙A的切线；（2）若PC=25，sin∠P=23，求图中阴影部份的面积（结果保留无理数）．【答案】（1）见解析；（2）20-4π.【解析】分析：（1）过点A作AH⊥PD，垂足为H，只要证明AH为半径即可.（2）分别算出Rt△CED的面积，扇形ABE的面积，矩形ABCD的面积即可.详解：（1）证明：如图，过A作AH⊥PD，垂足为H，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∠PCD=∠BCD=90°，∴∠ADH=∠P，∠AHD=∠PCD=90°，又PD=BC，∴AD=PD，∴△ADH≌△DPC，∴AH=CD，∵CD=AB，且AB是⊙A的半径，∴AH=AB,即AH是⊙A的半径，∴PD是⊙A的切线.（2）如图，在Rt△PDC中，∵sin∠P=23CDPD，5，令CD=2x，PD=3x，由由勾股定理得：（3x）2-(2x)252，解得：x=2，∴CD=4，PD=6，∴AB=AE=CD=4，AD=BC=PD=6，DE=2，∵矩形ABCD的面积为6×4=24，Rt△CED的面积为12×4×2=4，扇形ABE的面积为12π×42=4π，∴图中阴影部份的面积为24-4-4π=20-4π.点睛：本题考查了全等三角形的判定，圆的切线证明，三角形的面积，扇形的面积，矩形的面积.4．已知，如图：O1为x轴上一点，以O1为圆心作⊙O1交x轴于C、D两点，交y轴于M、N两点，∠CMD的外角平分线交⊙O1于点E，AB是弦，且AB∥CD，直线DM的解析式为y=3x+3．（1）如图1，求⊙O1半径及点E的坐标．（2）如图2，过E作EF⊥BC于F，若A、B为弧CND上两动点且弦AB∥CD，试问：BF+CF 与AC之间是否存在某种等量关系？请写出你的结论，并证明．（3）在（2）的条件下，EF交⊙O1于点G，问弦BG的长度是否变化？若不变直接写出BG 的长（不写过程），若变化自画图说明理由．【答案】（1）r=5 E（4，5）（2）BF+CF=AC （3）弦BG的长度不变，等于2【解析】分析：（1）连接ED、EC、EO1、MO1，如图1，可以证到∠ECD=∠SME=∠EMC=∠EDC，从而可以证到∠EO1D=∠EO1C=90°．由直线DM的解析式为y=3x+3可得OD=1，OM=3．设⊙O1的半径为r．在Rt△MOO1中利用勾股定理就可解决问题．（2）过点O1作O1P⊥EG于P，过点O1作O1Q⊥BC于Q，连接EO1、DB，如图2．由AB∥DC可证到BD=AC，易证四边形O1PFQ是矩形，从而有O1P=FQ，∠PO1Q=90°，进而有∠EO1P=∠CO1Q，从而可以证到△EPO1≌△CQO1，则有PO1=QO1．根据三角形中位线定理可得FQ=12BD．从而可以得到BF+CF=2FQ=AC．（3）连接EO1，ED，EB，BG，如图3．易证EF∥BD，则有∠GEB=∠EBD，从而有¶BG=¶ED，也就有BG=DE．在Rt△EO1D中运用勾股定理求出ED，就可解决问题．详解：（1）连接ED、EC、EO1、MO1，如图1．∵ME平分∠SMC，∴∠SME=∠EMC．∵∠SME=∠ECD，∠EMC=∠EDC，∴∠ECD=∠EDC，∴∠EO1D=∠EO1C．∵∠EO1D+∠EO1C=180°，∴∠EO1D=∠EO1C=90°．∵直线DM的解析式为y=3x+3，∴点M的坐标为（0，3），点D的坐标为（﹣1，0），∴OD=1，OM=3．设⊙O1的半径为r，则MO1=DO1=r．在Rt△MOO1中，（r﹣1）2+32=r2．解得：r=5，∴OO1=4，EO1=5，∴⊙O1半径为5，点E的坐标为（4，5）．（2）BF+CF=AC．理由如下：过点O1作O1P⊥EG于P，过点O1作O1Q⊥BC于Q，连接EO1、DB，如图2．∵AB∥DC，∴∠DCA=∠BAC，∴¶AD=¶¶BC BD∴，=¶AC，∴BD=AC．∵O1P⊥EG，O1Q⊥BC，EF⊥BF，∴∠O1PF=∠PFQ=∠O1QF=90°，∴四边形O1PFQ是矩形，∴O1P=FQ，∠PO1Q=90°，∴∠EO1P=90°﹣∠PO1C=∠CO1Q．在△EPO1和△CQO1中，111111EO P CO QEPO CQOO E O C∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EPO1≌△CQO1，∴PO1=QO1，∴FQ=QO1．∵QO1⊥BC，∴BQ=CQ．∵CO1=DO1，∴O1Q=12 BD，∴FQ=12BD．∵BF+CF=FQ+BQ+CF=FQ+CQ+CF=2FQ，∴BF+CF=BD=AC．（3）连接EO1，ED，EB，BG，如图3．∵DC是⊙O1的直径，∴∠DBC=90°，∴∠DBC+∠EFB=180°，∴EF∥BD，∴∠GEB=∠EBD，∴¶BG=¶ED，∴BG=DE．∵DO1=EO1=5，EO1⊥DO1，∴DE=52，∴BG=52，∴弦BG的长度不变，等于52．点睛：本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、弧与弦的关系、垂径定理、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的判定与性质、勾股定理等知识，综合性比较强，有一定的难度．而由AB∥DC证到AC=BD是解决第（2）小题的关键，由EG∥DB证到BG=DE是解决第（3）小题的关键．5．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交⊙O于点H，连接DC，AC．（1）求证：∠AEC=90°；（2）试判断以点A，O，C，D为顶点的四边形的形状，并说明理由；（3）若DC=2，求DH的长．【答案】（1）证明见解析；（2）四边形AOCD为菱形；（3）DH=2．【解析】试题分析：（1）连接OC，根据EC与⊙O切点C，则∠OCE=90°，由题意得，∠DAC=∠CAB，即可证明AE∥OC，则∠AEC+∠OCE=180°，从而得出∠AEC=90°；（2）四边形AOCD为菱形．由（1）得，则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形，再由OA=OC，即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（3）连接OD．根据四边形AOCD为菱形，得△OAD是等边三角形，则∠AOD=60°，再由DH⊥AB于点F，AB为直径，在Rt△OFD中，根据sin∠AOD=，求得DH的长．试题解析：（1）连接OC，∵EC与⊙O切点C，∴OC⊥EC，∴∠OCE=90°，∵点CD是半圆O的三等分点，∴，∴∠DAC=∠CAB，∵OA=OC，∴∠CAB=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA ，∴AE ∥OC （内错角相等，两直线平行）∴∠AEC+∠OCE=180°，∴∠AEC=90°；（2）四边形AOCD 为菱形．理由是： ∵，∴∠DCA=∠CAB ，∴CD ∥OA ，又∵AE ∥OC ，∴四边形AOCD 是平行四边形，∵OA=OC ，∴平行四边形AOCD 是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（3）连接OD ．∵四边形AOCD 为菱形，∴OA=AD=DC=2，∵OA=OD ，∴OA=OD=AD=2，∴△OAD 是等边三角形，∴∠AOD=60°，∵DH ⊥AB 于点F ，AB 为直径，∴DH=2DF ，在Rt △OFD 中，sin ∠AOD=， ∴DF=ODsin ∠AOD=2sin60°=，∴DH=2DF=2． 考点：1.切线的性质2.等边三角形的判定与性质3.菱形的判定与性质4.解直角三角形．6．如图1O e ，的直径12AB P =，是弦BC 上一动点(与点B C ，不重合)30ABC o ，∠=，过点P 作PD OP ⊥交O e 于点D ．()1如图2，当//PD AB 时，求PD 的长；()2如图3，当»»DC AC =时，延长AB 至点E ，使12BE AB =，连接DE ． ①求证：DE 是O e 的切线；②求PC 的长．【答案】（1）26；（2）333-①见解析，②．【解析】分析：()1根据题意首先得出半径长，再利用锐角三角函数关系得出OP PD ，的长； ()2①首先得出OBD V 是等边三角形，进而得出ODE OFB 90∠∠==o ，求出答案即可；②首先求出CF 的长，进而利用直角三角形的性质得出PF 的长，进而得出答案． 详解：()1如图2，连接OD ，//OP PD PD AB ⊥Q ，，90POB ∴∠=o ，O Q e 的直径12AB =，6OB OD ∴==，在Rt POB V 中，30ABC o ∠=，3tan30623OP OB ∴=⋅==o 在Rt POD V 中， 22226(23)26PD OD OP =-=-=；()2①证明：如图3，连接OD ，交CB 于点F ，连接BD ，»»DC AC =Q ，30DBC ABC ∴∠=∠=o ，60ABD o ∴∠=，OB OD =Q ，OBD ∴V 是等边三角形，OD FB ∴⊥，12BE AB =Q ， OB BE ∴=，//BF ED ∴，90ODE OFB o ∴∠=∠=，DE ∴是O e 的切线；②由①知，OD BC ⊥，3cos306332CF FB OB ∴==⋅=⨯=o 在Rt POD V 中，OF DF =， 13(2PF DO ∴==直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半)， 333CP CF PF ∴=-=．点睛：此题主要考查了圆的综合以及直角三角形的性质和锐角三角函数关系，正确得出OBD V 是等边三角形是解题关键．7．矩形ABCD 中，点C （3，8），E 、F 为AB 、CD 边上的中点，如图1，点A 在原点处，点B 在y 轴正半轴上，点C 在第一象限，若点A 从原点出发，沿x 轴向右以每秒1个单位长度的速度运动，点B 随之沿y 轴下滑，并带动矩形ABCD 在平面内滑动，如图2，设运动时间表示为t 秒，当点B 到达原点时停止运动．（1）当t =0时，点F 的坐标为 ；（2）当t =4时，求OE 的长及点B 下滑的距离；（3）求运动过程中，点F 到点O 的最大距离；（4）当以点F 为圆心，FA 为半径的圆与坐标轴相切时，求t 的值．【答案】（1）F （3，4）；（2）8-43；（3）7；（4）t 的值为245或325. 【解析】试题分析：（1）先确定出DF ，进而得出点F 的坐标； （2）利用直角三角形的性质得出∠ABO =30°，即可得出结论；（3）当O 、E 、F 三点共线时，点F 到点O 的距离最大，即可得出结论； （4）分两种情况，利用相似三角形的性质建立方程求解即可．试题解析：解：（1）当t =0时．∵AB =CD =8，F 为CD 中点，∴DF =4，∴F （3，4）； （2）当t =4时，OA =4．在Rt △ABO 中，AB =8，∠AOB =90°， ∴∠ABO =30°，点E 是AB 的中点，OE =12AB =4，BO =43，∴点B 下滑的距离为843-．（3）当O 、E 、F 三点共线时，点F 到点O 的距离最大，∴FO=OE+EF=7．（4）在Rt △ADF 中，FD 2+AD 2=AF 2，∴AF 22FD AD +，①设AO =t 1时，⊙F 与x 轴相切，点A 为切点，∴FA ⊥OA ，∴∠OAB +∠FAB =90°．∵∠FAD +∠FAB =90°，∴∠BAO =∠FAD ．∵∠BOA =∠D =90°，∴Rt △FAE ∽Rt △ABO ，∴AB AO FA FE =，∴1853t=，∴t 1=245，②设AO =t 2时，⊙F 与y 轴相切，B 为切点，同理可得，t 2=325．综上所述：当以点F为圆心，FA为半径的圆与坐标轴相切时，t的值为245或325．点睛：本题是圆的综合题，主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，中点的意义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，切线的性质，解（2）的关键是得出∠ABO=30°，解（3）的关键是判断出当O、E、F三点共线时，点F到点O的距离最大，解（4）的关键是判断出Rt△FAE∽Rt△ABD，是一道中等难度的中考常考题．8．(8分)已知AB为⊙O的直径，OC⊥AB，弦DC与OB交于点F，在直线AB上有一点E，连接ED，且有ED＝EF.(1)如图①，求证：ED为⊙O的切线；(2)如图②，直线ED与切线AG相交于G，且OF＝2，⊙O的半径为6，求AG的长．【答案】（1）见解析；（2）12【解析】试题分析：（1）连接OD，由ED=EF可得出∠EDF=∠EFD，由对顶角相等可得出∠EDF=∠CFO；由OD=OC可得出∠ODF=∠OCF，结合OC⊥AB即可得知∠EDF+∠ODF=90°，即∠EDO=90°，由此证出ED为⊙O的切线；（2）连接OD，过点D作DM⊥BA于点M，结合（1）的结论根据勾股定理可求出ED、EO 的长度，结合∠DOE的正弦、余弦值可得出DM、MO的长度，根据切线的性质可知GA⊥EA，从而得出DM∥GA，根据相似三角形的判定定理即可得出△EDM∽△EGA，根据相似三角形的性质即可得出GA的长度试题解析：解：（1）连接OD，∵ED=EF，∴∠EDF=∠EFD，∵∠EFD=∠CFO，∴∠EDF=∠CFO．∵OD=OC，∴∠ODF=∠OCF．∵OC⊥AB，∴∠CFO+∠OCF=∠EDF+∠ODF=∠EDO=90°，∴ED为⊙O的切线；（2）连接OD，过点D作DM⊥BA于点M，由（1）可知△EDO为直角三角形，设ED=EF=a，EO=EF+FO=a+2，由勾股定理得，EO2=ED2+DO2，即（a+2）2=a2+62，解得，a=8，即ED=8，EO=10．∵sin∠EOD=45EDEO=，cos∠EOD=35ODOE=，∴DM=OD•sin∠EOD=6×45=245，MO=OD•cos∠EOD=6×35=185，∴EM=EO﹣MO=10﹣18 5=325，EA=EO+OA=10+6=16．∵GA切⊙O于点A，∴GA⊥EA，∴DM∥GA，∴△EDM∽△EGA，∴DM EMGA EA=，即24325516GA，解得GA=12．点睛：本题考查的是切线的判定、垂径定理和勾股定理的应用、等腰三角形的性质、角的三角函数值、相似三角形的判定及性质，解题的关键是：（1）通过等腰三角形的性质找出∠EDO=90°；（2）通过相似三角形的性质找出相似比．9．如图1，延长⊙O的直径AB至点C，使得BC=12AB，点P是⊙O上半部分的一个动点（点P不与A、B重合），连结OP，CP．（1）∠C的最大度数为；（2）当⊙O的半径为3时，△OPC的面积有没有最大值？若有，说明原因并求出最大值；若没有，请说明理由；（3）如图2，延长PO交⊙O于点D，连结DB，当CP=DB时，求证：CP是⊙O的切线．【答案】（1）30°；（2）有最大值为9，理由见解析；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）当PC与⊙O相切时，∠OCP的度数最大，根据切线的性质即可求得；（2）由△OPC的边OC是定值，得到当OC边上的高为最大值时，△OPC的面积最大，当PO⊥OC时，取得最大值，即此时OC边上的高最大，于是得到结论；（3）根据全等三角形的性质得到AP=DB，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠C，得到CO=OB+OB=AB，推出△APB≌△CPO，根据全等三角形的性质得到∠CPO=∠APB，根据圆周角定理得到∠APB=90°，即可得到结论．试题解析：（1）当PC与⊙O相切时，∠OCP最大．如图1，所示：∵sin∠OCP=OPOC=2 4=12，∴∠OCP=30°∴∠OCP的最大度数为30°，故答案为：30°；（2）有最大值，理由：∵△OPC的边OC是定值，∴当OC边上的高为最大值时，△OPC的面积最大，而点P在⊙O上半圆上运动，当PO⊥OC时，取得最大值，即此时OC边上的高最大，也就是高为半径长，∴最大值S△OPC=12OC•OP=12×6×3=9；（3）连结AP，BP，如图2，在△OAP与△OBD中，OA ODAOP BODOP OB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OAP≌△OBD，∴AP=DB，∵PC=DB，∴AP=PC，∵PA=PC，∴∠A=∠C，∵BC=12AB=OB，∴CO=OB+OB=AB，在△APB和△CPO中，AP CPA CAB CO=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APB≌△CPO，∴∠CPO=∠APB，∵AB为直径，∴∠APB=90°，∴∠CPO=90°，∴PC切⊙O于点P，即CP是⊙O的切线．10．如图，已知在△ABC中，∠A=90°，（1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）．（2）若∠B=60°，AB=3，求⊙P的面积．【答案】（1）作图见解析；（2）3π【解析】【分析】（1）与AB、BC两边都相切．根据角平分线的性质可知要作∠ABC的角平分线，角平分线与AC的交点就是点P的位置．（2）根据角平分线的性质和30°角的直角三角形的性质可求半径，然后求圆的面积．【详解】解：（1）如图所示，则⊙P为所求作的圆．（2）∵∠ABC=60°，BP平分∠ABC，∴∠ABP=30°，∵∠A=90°，∴BP=2APRt△ABP中,AB=3，由勾股定理可得：AP=3，∴S⊙P=3π11．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上,∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC．(1) 试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；(2) 求证：∠ACF=90°；(3) 连接AF，过A，E，F三点作圆，如图2. 若EC=4，∠CEF=15°，求的长.图1 图2【答案】（1）BE="FH" ；理由见解析（2）证明见解析（3）=2π【解析】试题分析：（1）由△ABE≌△EHF（SAS）即可得到BE=FH（2）由（1）可知AB=EH，而BC=AB，FH=EB，从而可知△FHC是等腰直角三角形，∠FCH为45°，而∠ACB也为45°，从而可证明（3)由已知可知∠EAC=30°，AF是直径，设圆心为O，连接EO，过点E作EN⊥AC于点N，则可得△ECN为等腰直角三角形，从而可得EN的长，进而可得AE的长，得到半径，得到所对圆心角的度数，从而求得弧长试题解析：（1）BE=FH．理由如下：∵四边形ABCD是正方形∴∠B=90°，∵FH⊥BC ∴∠FHE=90°又∵∠AEF=90°∴∠AEB+∠HEF="90°" 且∠BAE+∠AEB=90°∴∠HEF=∠BAE ∴∠AEB=∠EFH 又∵AE=EF∴△ABE≌△EHF（SAS）∴BE=FH(2)∵△ABE≌△EHF∴BC=EH，BE=FH 又∵BE+EC=EC+CH ∴BE="CH"∴CH=FH∴∠FCH=45°，∴∠FCM=45°∵AC是正方形对角线，∴∠ACD=45°∴∠ACF=∠FCM +∠ACD =90°（3）∵AE=EF，∴△AEF是等腰直角三角形△AEF外接圆的圆心在斜边AF的中点上．设该中点为O．连结EO得∠AOE=90°过E作EN⊥AC于点NRt△ENC中，EC=4，∠ECA=45°，∴EN=NC=Rt△ENA中，EN =又∵∠EAF=45°∠CAF=∠CEF=15°（等弧对等角）∴∠EAC=30°∴AE=Rt△AFE中，AE== EF，∴AF=8AE所在的圆O半径为4，其所对的圆心角为∠AOE=90°=2π·4·（90°÷360°）=2π考点：1、正方形；2、等腰直角三角形；3、圆周角定理；4、三角函数12．如图，AB为⊙O的直径，DA、DC分别切⊙O于点A，C，且AB=AD．（1）求tan∠AOD的值．（2）AC，OD交于点E，连结BE．①求∠AEB的度数；②连结BD交⊙O于点H，若BC=1，求CH的长．【答案】（1）2；（2）①∠AEB＝135°；②22 CH=【解析】【分析】（1）根据切线的性质可得∠BAD=90°，由题意可得AD=2AO，即可求tan∠AOD的值；（2）①根据切线长定理可得AD=CD，OD平分∠ADC，根据等腰三角形的性质可得DO⊥AC，AE=CE，根据圆周角定理可求∠ACB=90°，即可证∠ABC=∠CAD，根据“AAS”可证△ABC≌△DAE，可得AE=BC=EC，可求∠BEC=45°，即可求∠AEB的度数；②由BC=1，可求AE=EC=1，BE2=，根据等腰直角三角形的性质可求∠ABE=∠HBC，可证△ABE∽△HBC，可求CH的长．【详解】（1）∵DA是⊙O切线，∴∠BAD=90°．∵AB=AD，AB=2AO，∴AD=2AO，∴tan∠AODADAO==2；（2）①∵DA、DC分别切⊙O于点A，C，∴AD=CD，OD平分∠ADC，∴DO⊥AC，AE=CE．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，且∠BAC+∠CAD=90°，∴∠ABC=∠CAD，且AB=AD，∠ACB=∠AED=90°，∴△ABC≌△DAE（AAS），∴CB=AE，∴CE=CB，且∠ACB=90°，∴∠BEC=45°=∠EBC，∴∠AEB=135°．②如图，∵BC=1，且BC=AE=CE，∴AE=EC=BC=1，∴BE2=．∵AD=AB，∠BAD=90°，∴∠ABD=45°，且∠EBC=45°，∴∠ABE=∠HBC，且∠BAC=∠CHB，∴△ABE∽△HBC，∴BC CHEB AE=，即12CH=，∴CH22=．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．13．在平面直角坐标系XOY中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，若P、Q为某等边三角形的两个顶点，且有一边与x轴平行（含重合），则称P、Q 互为“向善点”．如图1为点P、Q互为“向善点”的示意图．已知点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（m，0）（1）在点M（﹣1，0）、S（2，0）、T（3，33）中，与A点互为“向善点”的是_____；（2）若A、B互为“向善点”，求直线AB的解析式；（3）⊙B的半径为3，若⊙B上有三个点与点A互为“向善点”，请直接写出m的取值范围．【答案】（1）S，T．（2）直线AB的解析式为y3或y3x33）当﹣2＜m＜0或2＜m＜4时，⊙B上有三个点与点A互为“向善点”．【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义，可得出点S，T与A点互为“向善点”；（2）根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义，可得出关于m的分式方程，解之经检验后可得出点B的坐标，根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；（3）分⊙B与直线3相切及⊙B与直线33相切两种情况求出m的值，再利用数形结合即可得出结论．【详解】（1）∵303303tan60︒--===3333tan60︒-==，∴点S，T与A点互为“向善点”．故答案为S，T．（2）根据题意得：303 |1|m=-解得：m1＝0，m2＝2，经检验，m1＝0，m2＝2均为所列分式方程的解，且符合题意，∴点B的坐标为（0，0）或（2，0）．设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），将A（1，），B（0，0）或（2，0）代入y＝kx+b，得：3k bb⎧+=⎪⎨=⎪⎩或320k bk b⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得：3kb⎧=⎪⎨=⎪⎩或323kb⎧=-⎪⎨=⎪⎩，∴直线AB的解析式为y＝3x或y＝﹣3x+23．（3）当⊙B与直线y＝3x相切时，过点B作BE⊥直线y＝3x于点E，如图2所示．∵∠BOE＝60°，∴sin60°＝32BEOB=，∴OB＝2，∴m＝﹣2或m＝2；当⊙B与直线y＝﹣3x+23相切时，过点B作BF⊥直线y＝﹣3x+23于点F，如图3所示．同理，可求出m＝0或m＝4．综上所述：当﹣2＜m＜0或2＜m＜4时，⊙B上有三个点与点A互为“向善点”．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、特殊角的三角函数值、待定系数法求一次函数解析式、解分式方程以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义，确定给定的点是否与A点互为“向善点”；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（3）分⊙B与直线3相切及⊙B与直线33相切两种情况考虑．14．对于平面内的⊙C和⊙C外一点Q，给出如下定义：若过点Q的直线与⊙C存在公共点，记为点A ，B ，设AQ BQk CQ+=，则称点A （或点B ）是⊙C 的“K 相关依附点”，特别地，当点A 和点B 重合时，规定AQ=BQ ，2AQ k CQ =（或2BQCQ）． 已知在平面直角坐标系xoy 中，Q(-1,0)，C(1,0)，⊙C 的半径为r ． （1）如图1，当2r =时，①若A 1(0,1)是⊙C 的“k 相关依附点”，求k 的值． ②A 2(1+2，0)是否为⊙C 的“2相关依附点”． （2）若⊙C 上存在“k 相关依附点”点M ， ①当r=1，直线QM 与⊙C 相切时，求k 的值． ②当3k =时，求r 的取值范围．（3）若存在r 的值使得直线3y x b =-+与⊙C 有公共点，且公共点时⊙C 的“3相关依附点”，直接写出b 的取值范围．【答案】（1）2．②是；（2）①3k =②r 的取值范围是12r <≤；（3）333b -<．【解析】 【分析】（1）①如图1中，连接AC 、1QA ．首先证明1QA 是切线，根据2AQk CQ=计算即可解决问题；②根据定义求出k 的值即可判断；（2）①如图，当1r =时，不妨设直线QM 与C e 相切的切点M 在x 轴上方（切点M 在x 轴下方时同理），连接CM ，则QM CM ⊥，根据定义计算即可；②如图3中，若直线QM 与C e 不相切，设直线QM 与C e 的另一个交点为N （不妨设QN QM <，点N ，M 在x 轴下方时同理），作CD QM ⊥于点D ，则MD ND =，可得()222MQ NQ MN NQ NQ ND NQ DQ +=++=+=，2CQ =，推出2MQ NQ DQk DQ CQ CQ+===，可得当3k =3DQ =221CD CQ DQ -=，假设C e 经过点Q ，此时2r =，因为点Q 早C e 外，推出r 的取值范围是12r <…； （3）如图4中，由（2）可知：当3k =时，12r <…．当2r =时，C e 经过点(1,0)Q -或(3,0)E ，当直线3y x b =-+经过点Q 时，3b =-，当直线3y x b =-+经过点E 时，33b =，即可推出满足条件的b 的取值范围为333b -<<． 【详解】（1）①如图1中，连接AC 、1QA ．由题意：1OC OQ OA ==，∴△1QA C 是直角三角形，190CA Q ∴∠=︒，即11CA QA ⊥，1QA ∴是C e 的切线，122222QA k QC ∴=== ②Q 2(12,0)A +在C e 上，2212122k +∴==，2A ∴是C e 的“2相关依附点”．2 （2）①如图2，当1r =时，不妨设直线QM 与C e 相切的切点M 在x 轴上方（切点M 在x 轴下方时同理），连接CM ，则QM CM ⊥． (1,0)Q -Q ，(1,0)C ，1r =，2CQ ∴=，1CM =，∴3MQ =，此时23MQ k CQ= ②如图3中，若直线QM 与C e 不相切，设直线QM 与C e 的另一个交点为N （不妨设QN QM <，点N ，M 在x 轴下方时同理），作CD QM ⊥于点D ，则MD ND =，()222MQ NQ MN NQ NQ ND NQ DQ ∴+=++=+=，2CQ =Q ，∴2MQ NQ DQ k DQ CQ CQ +===，∴当3k =3DQ =221CD CQ DQ =-，假设C e 经过点Q ，此时2r =，Q 点Q 早C e 外，r ∴的取值范围是12r <…．（3）如图4中，由（2）可知：当3k =时，12r <…．当2r =时，C e 经过点(1,0)Q -或(3,0)E ，当直线3y x b =+经过点Q 时，3b =3y x b =-+经过点E 时，33b =，∴满足条件的b 的取值范围为333b -<．【点睛】本题考查了一次函数综合题、圆的有关知识、勾股定理、切线的判定和性质、点A （或点)B 是C e 的“k 相关依附点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会考虑特殊位置解决问题，属于中考压轴题．15．结果如此巧合!下面是小颖对一道题目的解答．题目：如图，Rt △ABC 的内切圆与斜边AB 相切于点D ，AD=3，BD=4，求△ABC 的面积． 解：设△ABC 的内切圆分别与AC 、BC 相切于点E 、F ，CE 的长为x ．根据切线长定理，得AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x ．根据勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2=（3+4）2． 整理，得x 2+7x=12． 所以S △ABC =12AC•BC =12（x+3）（x+4）=12（x2+7x+12）=12×（12+12）=12．小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC的面积等于AD与BD的积．这仅仅是巧合吗？请你帮她完成下面的探索．已知：△ABC的内切圆与AB相切于点D，AD=m，BD=n．可以一般化吗？（1）若∠C=90°，求证：△ABC的面积等于mn．倒过来思考呢？（2）若AC•BC=2mn，求证∠C=90°．改变一下条件……（3）若∠C=60°，用m、n表示△ABC的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）S△ABC=3mn；【解析】【分析】（1）设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x，仿照例题利用勾股定理得（x＋m）2＋（x＋n）2＝（m＋n）2，再根据S△ABC＝AC×BC，即可证明S△ABC＝mn.（2）由AC•BC＝2mn，得x2＋（m＋n）x＝mn，因此AC2＋BC2＝（x＋m）2＋（x＋n）2＝AB2，利用勾股定理逆定理可得∠C＝90°.（3）过点A作AG⊥BC于点G，在Rt△ACG中，根据条件求出AG、CG，又根据BG＝BC－CG得到BG .在Rt△ABG中，根据勾股定理可得x2＋（m＋n）x＝3mn，由此S△ABC＝BC•AG＝mn.【详解】设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x，根据切线长定理，得：AE＝AD＝m、BF＝BD＝n、CF＝CE＝x，（1）如图1，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：（x＋m）2＋（x＋n）2＝（m＋n）2，整理，得：x2＋（m＋n）x＝mn，所以S△ABC＝AC•BC＝（x＋m）（x＋n）＝[x2＋（m＋n）x＋mn]＝（mn＋mn）＝mn;（2）由AC•BC＝2mn，得：（x＋m）（x＋n）＝2mn，整理，得：x2＋（m＋n）x＝mn，∴AC2＋BC2＝（x＋m）2＋（x＋n）2＝2[x2＋（m＋n）x]＋m2＋n2＝2mn＋m2＋n2＝（m＋n）2＝AB2，根据勾股定理逆定理可得∠C＝90°；（3）如图2，过点A作AG⊥BC于点G，在Rt△ACG中，AG＝AC•sin60°＝（x＋m），CG＝AC•cos60°＝（x＋m），∴BG＝BC﹣CG＝（x＋n）﹣（x＋m），在Rt△ABG中，根据勾股定理可得：[（x＋m）]2＋[（x＋n）﹣（x＋m）]2＝（m＋n）2，整理，得：x2＋（m＋n）x＝3mn，∴S△ABC＝BC•AG＝×（x＋n）•（x＋m）＝34[x2＋（m＋n）x＋mn]＝3（3mn＋mn）3．【点睛】本题考查了圆中的计算问题、与圆有关的位置关系以及直角三角形，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用.。

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC内切圆的圆心，连接AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．（1）求证：直线DM是⊙O的切线；（2）若DF=2，且AF=4，求BD和DE的长．【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC，再根据∠BDM=∠DBC，即可判定BC∥DM，进而得到OD⊥DM，据此可得直线DM是⊙O的切线；（2）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出DB=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DF•DA，据此解答即可．【详解】（1）如图所示，连接OD．∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∴BD CD=，∴OD⊥BC．又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，∴∠BDM=∠DBC，∴BC∥DM，∴OD⊥DM．又∵OD为⊙O半径，∴直线DM是⊙O的切线．（2）连接BE．∵E为内心，∴∠ABE=∠CBE．∵∠BAD=∠CAD，∠DBC=∠CAD，∴∠BAD=∠DBC，∴∠BAE+∠ABE=∠CBE+∠DBC，即∠BED=∠DBE，∴BD=DE．又∵∠BDF=∠ADB（公共角），∴△DBF∽△DAB，∴DF DBDB DA=，即DB2=DF•DA．∵DF=2，AF=4，∴DA=DF+AF=6，∴DB2=DF•DA=12，∴DB=DE=23．【点睛】本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．2．如图1，已知扇形MON 的半径为2，∠MON=90°，点B 在弧MN 上移动，联结BM ，作OD ⊥BM ，垂足为点D ，C 为线段OD 上一点，且OC=BM ，联结BC 并延长交半径OM 于点A ，设OA=x ，∠COM 的正切值为y.（1）如图2，当AB ⊥OM 时，求证：AM=AC ；（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）当△OAC 为等腰三角形时，求x 的值.【答案】 (1)证明见解析;(2) 2=+y x 02<≤x 142-=x . 【解析】 分析：（1）先判断出∠ABM =∠DOM ，进而判断出△OAC ≌△BAM ，即可得出结论； （2）先判断出BD =DM ，进而得出DM ME BD AE =，进而得出AE =122x （），再判断出2OA OC DM OE OD OD==，即可得出结论； （3）分三种情况利用勾股定理或判断出不存在，即可得出结论．详解：（1）∵OD ⊥BM ，AB ⊥OM ，∴∠ODM =∠BAM =90°．∵∠ABM +∠M =∠DOM +∠M ，∴∠ABM =∠DOM ．∵∠OAC =∠BAM ，OC =BM ，∴△OAC ≌△BAM ， ∴AC =AM ．（2）如图2，过点D 作DE ∥AB ，交OM 于点E ． ∵OB =OM ，OD ⊥BM ，∴BD =DM ．∵DE ∥AB ，∴DM ME BD AE =，∴AE =EM ．∵OM 2，∴AE =122x （）． ∵DE ∥AB ，∴2OA OC DM OE OD OD==，∴22DM OA y OD OE x =∴=+，．（02x ≤＜） （3）（i ） 当OA =OC 时．∵111222DM BM OC x ===．在Rt △ODM 中，222124OD OM DM x =-=-． ∵2121224x DM y OD x x =∴=+-，．解得142x -=，或142x --=（舍）． （ii ）当AO =AC 时，则∠AOC =∠ACO ．∵∠ACO ＞∠COB ，∠COB =∠AOC ，∴∠ACO ＞∠AOC ，∴此种情况不存在．（ⅲ）当CO =CA 时，则∠COA =∠CAO =α．∵∠CAO ＞∠M ，∠M =90°﹣α，∴α＞90°﹣α，∴α＞45°，∴∠BOA =2α＞90°．∵∠BOA ≤90°，∴此种情况不存在．即：当△OAC 为等腰三角形时，x 的值为142-．点睛：本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，勾股定理，等腰三角形的性质，建立y 关于x 的函数关系式是解答本题的关键．3．已知▱ABCD 的周长为26，∠ABC=120°，BD 为一条对角线，⊙O 内切于△ABD ，E ，F ，G 为切点，已知⊙O 的半径为3▱ABCD 的面积．【答案】3【解析】【分析】首先利用三边及⊙O 的半径表示出平行四边形的面积，再根据题意求出AB+AD=13，然后利用切线的性质求出BD 的长即可解答.【详解】设⊙O 分别切△ABD 的边AD 、AB 、BD 于点G 、E 、F ；平行四边形ABCD 的面积为S ；则S=2S △ABD =2×12(AB·OE+BD·OF+AD·3（AB+AD+BD ）； ∵平行四边形ABCD 的周长为26，∴AB+AD=13，∴S=3(13+BD)；连接OA；由题意得：∠OAE=30°，∴AG=AE=3；同理可证DF=DG，BF=BE；∴DF+BF=DG+BE=13﹣3﹣3=7，即BD=7，∴S=3（13+7）=203．即平行四边形ABCD的面积为203．4．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交⊙O于点H，连接DC，AC．（1）求证：∠AEC=90°；（2）试判断以点A，O，C，D为顶点的四边形的形状，并说明理由；（3）若DC=2，求DH的长．【答案】（1）证明见解析；（2）四边形AOCD为菱形；（3）DH=2．【解析】试题分析：（1）连接OC，根据EC与⊙O切点C，则∠OCE=90°，由题意得，∠DAC=∠CAB，即可证明AE∥OC，则∠AEC+∠OCE=180°，从而得出∠AEC=90°；（2）四边形AOCD为菱形．由（1）得，则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形，再由OA=OC，即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（3）连接OD．根据四边形AOCD为菱形，得△OAD是等边三角形，则∠AOD=60°，再由DH⊥AB于点F，AB为直径，在Rt△OFD中，根据sin∠AOD=，求得DH的长．试题解析：（1）连接OC，∵EC与⊙O切点C，∴OC⊥EC，∴∠OCE=90°，∵点CD是半圆O的三等分点，∴，∴∠DAC=∠CAB，∵OA=OC，∴∠CAB=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴AE∥OC（内错角相等，两直线平行）∴∠AEC+∠OCE=180°，∴∠AEC=90°；（2）四边形AOCD为菱形．理由是：∵，∴∠DCA=∠CAB，∴CD∥OA，又∵AE∥OC，∴四边形AOCD是平行四边形，∵OA=OC，∴平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（3）连接OD．∵四边形AOCD为菱形，∴OA=AD=DC=2，∵OA=OD，∴OA=OD=AD=2，∴△OAD是等边三角形，∴∠AOD=60°，∵DH⊥AB于点F，AB为直径，∴DH=2DF，在Rt△OFD中，sin∠AOD=，∴DF=ODsin∠AOD=2sin60°=，∴DH=2DF=2．考点：1.切线的性质2.等边三角形的判定与性质3.菱形的判定与性质4.解直角三角形．5．如图，AB，BC分别是⊙O的直径和弦，点D为BC上一点，弦DE交⊙O于点E，交AB于点F，交BC于点G，过点C的切线交ED的延长线于H，且HC=HG，连接BH，交⊙O 于点M，连接MD，ME．求证：（1）DE⊥AB；（2）∠HMD=∠MHE+∠MEH．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）连接OC，根据等边对等角和切线的性质，证明∠BFG=∠OCH=90°即可；（2）连接BE，根据垂径定理和圆内接四边形的性质，得出∠HMD=∠BME，再根据三角形的外角的性质证明∠HMD=∠DEB=∠EMB即可．详解：证明：（1）连接OC，∵HC=HG，∴∠HCG=∠HGC；∵HC切⊙O于C点，∴∠OCB+∠HCG=90°；∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC，∵∠HGC=∠BGF，∴∠OBC+∠BGF=90°，∴∠BFG=90°，即DE⊥AB；（2）连接BE ，由（1）知DE ⊥AB ，∵AB 是⊙O 的直径， ∴，∴∠BED=∠BME ；∵四边形BMDE 内接于⊙O ，∴∠HMD=∠BED ，∴∠HMD=∠BME ；∵∠BME 是△HEM 的外角，∴∠BME=∠MHE+∠MEH ，∴∠HMD=∠MHE+∠MEH ．点睛：此题综合性较强，主要考查了切线的性质、三角形的内角和外角的性质、等腰三角形的性质、内接四边形的性质．6．已知P 是O 的直径BA 延长线上的一个动点，∠P 的另一边交O 于点C 、D ，两点位于AB 的上方，AB ＝6，OP=m ，1sin 3P ＝，如图所示．另一个半径为6的1O 经过点C 、D ，圆心距1OO n ＝．（1）当m=6时，求线段CD 的长；（2）设圆心O 1在直线AB 上方，试用n 的代数式表示m ；（3）△POO 1在点P 的运动过程中，是否能成为以OO 1为腰的等腰三角形，如果能，试求出此时n 的值；如果不能，请说明理由．【答案】(1)CD=2523812n n;(3) n 9559155 【解析】分析：（1）过点O 作OH ⊥CD ，垂足为点H ，连接OC ．解Rt △POH ，得到OH 的长．由勾股定理得CH 的长，再由垂径定理即可得到结论；（2）解Rt △POH ，得到Rt 3m OH OCH ＝．在和Rt △1O CH 中，由勾股定理即可得到结论；（3）△1POO 成为等腰三角形可分以下几种情况讨论：① 当圆心1O 、O 在弦CD 异侧时，分1OP OO ＝和11O P OO ＝．②当圆心1O 、O 在弦CD 同侧时，同理可得结论． 详解：（1）过点O 作OH ⊥CD ，垂足为点H ，连接OC ．在Rt △1sin 63POH P PO =中，＝，，∴2OH =．∵AB ＝6，∴3OC ＝．由勾股定理得： 5CH =∵OH ⊥DC ，∴225CD CH ==．（2）在Rt △1sin 3POH P PO m 中，＝，＝，∴3m OH ＝． 在Rt △OCH 中，2293m CH ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝． 在Rt △1O CH 中，22363m CH n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝． 可得： 2236933m m n ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝，解得23812n m n -：＝． （3）△1POO 成为等腰三角形可分以下几种情况：① 当圆心1O 、O 在弦CD 异侧时i ）1OP OO ＝，即m n ＝，由23812n n n -＝，解得9n ：＝． 即圆心距等于O 、1O 的半径的和，就有O 、1O 外切不合题意舍去．ii ）11O P OO ＝22233m m n m -+-（）（） n ＝， 解得：23m n ＝，即23n 23812n n-＝，解得9155n ：＝②当圆心1O 、O 在弦CD 同侧时，同理可得： 28132n m n-＝． ∵1POO ∠是钝角，∴只能是m n =，即28132n n n-＝，解得955n ：＝． 综上所述：n 的值为955或9155． 点睛：本题是圆的综合题．考查了圆的有关性质和两圆的位置关系以及解直径三角形．解答（3）的关键是要分类讨论．7．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BAD =90°，AD 、BC 的延长线交于点F ，点E 在CF 上，且∠DEC =∠BAC ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）当AB =AC 时，若CE =2，EF =3，求⊙O 的半径．【答案】（1）证明见解析；（235． 【解析】【分析】 （1）先判断出BD 是圆O 的直径，再判断出BD ⊥DE ，即可得出结论；（2）根据余角的性质和等腰三角形的性质得到∠F =∠EDF ，根据等腰三角形的判定得到DE =EF =3，根据勾股定理得到CD 225DE CE -=△CDE ∽△DBE ，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）如图，连接BD ．∵∠BAD =90°，∴点O 必在BD 上，即：BD 是直径，∴∠BCD =90°，∴∠DEC +∠CDE =90°． ∵∠DEC =∠BAC ，∴∠BAC +∠CDE =90°．∵∠BAC =∠BDC ，∴∠BDC +∠CDE =90°，∴∠BDE =90°，即：BD ⊥DE ．∵点D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线；（2）∵∠BAF =∠BDE =90°，∴∠F +∠ABC =∠FDE +∠ADB =90°．∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ．∵∠ADB =∠ACB ，∴∠F =∠FDE ，∴DE =EF =3．∵CE =2，∠BCD =90°，∴∠DCE =90°，∴CD 225DE CE =-=．∵∠BDE =90°，CD ⊥BE ，∴∠DCE =∠BDE =90°．∵∠DEC =∠BED ，∴△CDE ∽△DBE ，∴CD BD CE DE =，∴BD 5335⨯==，∴⊙O 的半径354=．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，求出DE =EF 是解答本题的关键．8．如图，过⊙O 外一点P 作⊙O 的切线PA 切⊙O 于点A ，连接PO 并延长，与⊙O 交于C 、D 两点，M 是半圆CD 的中点，连接AM 交CD 于点N ，连接AC 、CM ．（1）求证：CM 2=MN.MA ；（2）若∠P=30°，PC=2，求CM 的长．【答案】（1）见解析；（2）2【解析】【分析】（1）由CM DM =知CAM DCM ∠=∠，根∠CMA=∠NMC 据证ΔAMC ∽ΔCMN 即可得；（2）连接OA 、DM ，由直角三角形PAO 中∠P=30°知()1122OA PO PC CO ==+，据此求得OA=OC=2，再证三角形CMD 是等腰直角三角形得CM 的长．【详解】 （1）O 中，M 点是半圆CD 的中点，∴ CM DM =，CAM DCM ∴∠=∠，又CMA NMC ∠=∠，AMC CMN ∽∴∆∆，∴ CM AM MN CM=，即2·CM MN MA =； （2）连接OA 、DM ，PA 是O 的切线，90PAO ∴∠=︒，又30P ∠=︒，()1122OA PO PC CO ∴==+， 设O 的半径为r ，2PC =，()122r r ∴=+， 解得：2r =，又CD 是直径，90CMD ∴∠=︒，CM DM =，CMD ∴∆是等腰直角三角形，∴在Rt CMD ∆中，由勾股定理得222CM DM CD +=，即()222216CM r ==， 则28CM =， 22CM ∴=．【点睛】本题主要考查切线的判定和性质，解题的关键是掌握切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质等知识点9．如图所示，ABC ∆内接于圆O ，CD AB ⊥于D ；（1）如图1，当AB 为直径，求证：OBC ACD ∠=∠；（2）如图2，当AB 为非直径的弦，连接OB ，则（1）的结论是否成立？若成立请证明，不成立说明由；（3）如图3，在（2）的条件下，作AE BC ⊥于E ，交CD 于点F ，连接ED ，且2AD BD ED =+，若3DE =，5OB =，求CF 的长度．【答案】（1）见解析；（2）成立；（3）145【解析】【分析】 （1）根据圆周角定理求出∠ACB=90°，求出∠ADC=90°，再根据三角形内角和定理求出即可；（2）根据圆周角定理求出∠BOC=2∠A ，求出∠OBC=90°-∠A 和∠ACD=90°-∠A 即可； （3）分别延长AE 、CD 交⊙O 于H 、K ，连接HK 、CH 、AK ，在AD 上取DG=BD ，延长CG 交AK 于M ，延长KO 交⊙O 于N ，连接CN 、AN ，求出关于a 的方程，再求出a 即可．【详解】（1）证明：∵AB 为直径，∴ACB 90∠=︒， ∵CD AB ⊥于D ， ∴ADC 90∠=︒，∴OBC A 90∠∠+=︒，A ACD 90∠∠+=︒，∴OBC ACD ∠∠=；（2）成立，证明：连接OC ，由圆周角定理得：BOC 2A ∠∠=，∵OC OB =， ∴()()11OBC 180BOC 1802A 90A 22∠∠∠∠=︒-=︒-=︒-， ∵ADC 90∠=︒，∴ACD 90A ∠∠=︒-，∴OBC ACD ∠∠=；（3）分别延长AE 、CD 交⊙O 于H 、K ，连接HK 、CH 、AK ，∵AE BC ⊥，CD BA ⊥，∴AEC ADC 90∠∠==︒，∴BCD CFE 90∠∠+=︒，BAH DFA 90∠∠+=︒，∵CFE DFA ∠∠=，∴BCD BAH ∠∠=，∵根据圆周角定理得：BAH BCH ∠∠=，∴BCD BAH BCH ∠∠∠==，∴由三角形内角和定理得：CHE CFE ∠∠=， ∴CH CF =，∴EH EF =，同理DF DK =，∵DE 3=，∴HK 2DE 6==，在AD 上取DG BD =，延长CG 交AK 于M ，则AG AD BD 2DE 6=-==， BC GC =，∴MCK BCK BAK ∠∠∠==，∴CMK 90∠=︒，延长KO 交⊙O 于N ，连接CN 、AN ，则NAK 90CMK ∠∠=︒=，∴CM //AN ，∵NCK ADK 90∠∠==︒，∴CN //AG ，∴四边形CGAN 是平行四边形，∴AG CN 6==，作OT CK ⊥于T ，则T 为CK 的中点，∵O 为KN 的中点， ∴1OT CN 32==， ∵OTC 90∠=︒，OC 5=，∴由勾股定理得：CT 4=，∴CK 2CT 8==，作直径HS ，连接KS ，∵HK 6=，HS 10=，∴由勾股定理得：KS 8=， ∴3tan HSK tan HAK 4∠∠==， ∴1tan EAB tan BCD 3∠∠==， 设BD a =，CD 3a =， ∴AD BD 2ED a 6=+=+，11DK AD a 233==+， ∵CD DK CK +=， ∴13a a 283++=， 解得：9a 5=， ∴113DK a 235=+=， ∴2614CF CK 2DK 855=-=-=． 【点睛】本题考查了垂径定理、解直角三角形、等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大．10．如图1，D是⊙O的直径BC上的一点，过D作DE⊥BC交⊙O于E、N，F是⊙O上的一点，过F的直线分别与CB、DE的延长线相交于A、P，连结CF交PD于M，∠C＝12∠P．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若∠A＝30°，⊙O的半径为4，DM＝1，求PM的长；（3）如图2，在（2）的条件下，连结BF、BM；在线段DN上有一点H，并且以H、D、C 为顶点的三角形与△BFM相似，求DH的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）PM＝32；（3）满足条件的DH 63-或12311+【解析】【分析】（1）如图1中，作PH⊥FM于H．想办法证明∠PFH=∠PMH，∠C=∠OFC，再根据等角的余角相等即可解决问题；（2）解直角三角形求出AD，PD即可解决问题；（3）分两种情形①当△CDH∽△BFM时，DH CD FM BF=．②当△CDH∽△MFB时，DH CDFB MF=，分别构建方程即可解决问题；【详解】（1）证明：如图1中，作PH⊥FM于H．∵PD⊥AC，∴∠PHM＝∠CDM＝90°，∵∠PMH＝∠DMC，∴∠C＝∠MPH，∵∠C＝12∠FPM，∴∠HPF＝∠HPM，∵∠HFP+∠HPF＝90°，∠HMP+∠HPM＝90°，∴∠PFH＝∠PMH，∵OF＝OC，∴∠C＝∠OFC，∵∠C+∠CMD＝∠C+∠PMF＝∠C+∠PFH＝90°，∴∠OFC+∠PFC＝90°，∴∠OFP＝90°，∴直线PA是⊙O的切线．（2）解：如图1中，∵∠A＝30°，∠AFO＝90°，∴∠AOF＝60°，∵∠AOF＝∠OFC+∠OCF，∠OFC＝∠OCF，∴∠C＝30°，∵⊙O的半径为4，DM＝1，∴OA＝2OF＝8，CD＝3DM＝3，∴OD＝OC﹣CD＝4﹣3，∴AD＝OA+OD＝8+4﹣3＝12﹣3，在Rt△ADP中，DP＝AD•tan30°＝（12﹣3）×33＝43﹣1，∴PM＝PD﹣DM＝4 3﹣2．（3）如图2中，由（2）可知：BF ＝12BC ＝4，FM BF ＝，CM ＝2DM ＝2，CD ， ∴FM ＝FC ﹣CM ＝﹣2， ①当△CDH ∽△BFM 时，DH CD FM BF = ，∴= ，∴DH ②当△CDH ∽△MFB 时，DH CD FB MF =，∴4DH =，∴DH ，∵DN =，∴DH ＜DN ，符合题意，综上所述，满足条件的DH ． 【点睛】本题考查圆综合题、切线的判定、解直角三角形、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题.。

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，BC=6cm,AC=8cm,∠BAD=45°．点E 在⊙O 外，做直线AE ，且∠EAC=∠D ．（1）求证：直线AE 是⊙O 的切线．（2）求图中阴影部分的面积.【答案】(1)见解析;(2)25-504π. 【解析】 分析：（1）根据圆周角定理及推论证得∠BAE=90°，即可得到AE 是⊙O 的切线； （2）连接OD ，用扇形ODA 的面积减去△AOD 的面积即可.详解：证明：（1） ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，即∠BAC+∠ABC=90°，∵∠EAC=∠ADC ，∠ADC=∠ABC ，∴∠EAC=∠ABC∴∠BAC+∠EAC =90°，即∠BAE= 90°∴直线AE 是⊙O 的切线；（2）连接OD∵ BC=6 AC=8∴ 226810AB =+=∴ OA = 5又∵ OD = OA∴∠ADO =∠BAD = 45°∴∠AOD = 90°∴AOD ODA S S S ∆-阴影扇形＝ =90155553602π⨯⨯-⨯⨯ 25504π-= （2cm ）点睛：此题主要考查了圆周角定理和圆的切线的判定与性质，关键是利用圆周角定理和切线的判定与性质，结合勾股定理的和弓形的面积的求法求解，注意数形结合思想的应用.2．已知，如图：O1为x轴上一点，以O1为圆心作⊙O1交x轴于C、D两点，交y轴于M、N两点，∠CMD的外角平分线交⊙O1于点E，AB是弦，且AB∥CD，直线DM的解析式为y=3x+3．（1）如图1，求⊙O1半径及点E的坐标．（2）如图2，过E作EF⊥BC于F，若A、B为弧CND上两动点且弦AB∥CD，试问：BF+CF 与AC之间是否存在某种等量关系？请写出你的结论，并证明．（3）在（2）的条件下，EF交⊙O1于点G，问弦BG的长度是否变化？若不变直接写出BG 的长（不写过程），若变化自画图说明理由．【答案】（1）r=5 E（4，5）（2）BF+CF=AC （3）弦BG的长度不变，等于2【解析】分析：（1）连接ED、EC、EO1、MO1，如图1，可以证到∠ECD=∠SME=∠EMC=∠EDC，从而可以证到∠EO1D=∠EO1C=90°．由直线DM的解析式为y=3x+3可得OD=1，OM=3．设⊙O1的半径为r．在Rt△MOO1中利用勾股定理就可解决问题．（2）过点O1作O1P⊥EG于P，过点O1作O1Q⊥BC于Q，连接EO1、DB，如图2．由AB∥DC可证到BD=AC，易证四边形O1PFQ是矩形，从而有O1P=FQ，∠PO1Q=90°，进而有∠EO1P=∠CO1Q，从而可以证到△EPO1≌△CQO1，则有PO1=QO1．根据三角形中位线定理可得FQ=12BD．从而可以得到BF+CF=2FQ=AC．（3）连接EO1，ED，EB，BG，如图3．易证EF∥BD，则有∠GEB=∠EBD，从而有BG=ED，也就有BG=DE．在Rt△EO1D中运用勾股定理求出ED，就可解决问题．详解：（1）连接ED、EC、EO1、MO1，如图1．∵ME平分∠SMC，∴∠SME=∠EMC．∵∠SME=∠ECD，∠EMC=∠EDC，∴∠ECD=∠EDC，∴∠EO1D=∠EO1C．∵∠EO1D+∠EO1C=180°，∴∠EO1D=∠EO1C=90°．∵直线DM的解析式为y=3x+3，∴点M的坐标为（0，3），点D的坐标为（﹣1，0），∴OD=1，OM=3．设⊙O1的半径为r，则MO1=DO1=r．在Rt△MOO1中，（r﹣1）2+32=r2．解得：r=5，∴OO1=4，EO1=5，∴⊙O1半径为5，点E的坐标为（4，5）．（2）BF+CF=AC．理由如下：过点O1作O1P⊥EG于P，过点O1作O1Q⊥BC于Q，连接EO1、DB，如图2．∵AB∥DC，∴∠DCA=∠BAC，∴AD=BC BD∴，=AC，∴BD=AC．∵O1P⊥EG，O1Q⊥BC，EF⊥BF，∴∠O1PF=∠PFQ=∠O1QF=90°，∴四边形O1PFQ是矩形，∴O1P=FQ，∠PO1Q=90°，∴∠EO1P=90°﹣∠PO1C=∠CO1Q．在△EPO1和△CQO1中，111111EO P CO QEPO CQOO E O C∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EPO1≌△CQO1，∴PO1=QO1，∴FQ=QO1．∵QO1⊥BC，∴BQ=CQ．∵CO1=DO1，∴O1Q=12 BD，∴FQ=12BD．∵BF+CF=FQ+BQ+CF=FQ+CQ+CF=2FQ，∴BF+CF=BD=AC．（3）连接EO1，ED，EB，BG，如图3．∵DC是⊙O1的直径，∴∠DBC=90°，∴∠DBC+∠EFB=180°，∴EF∥BD，∴∠GEB=∠EBD，∴BG=ED，∴BG=DE．∵DO1=EO1=5，EO1⊥DO1，∴DE=52，∴BG=52，∴弦BG的长度不变，等于52．点睛：本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、弧与弦的关系、垂径定理、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的判定与性质、勾股定理等知识，综合性比较强，有一定的难度．而由AB∥DC证到AC=BD是解决第（2）小题的关键，由EG ∥DB 证到BG =DE 是解决第（3）小题的关键．3．如图，⊙M 与菱形ABCD 在平面直角坐标系中，点M 的坐标为（3，﹣1），点A 的坐标为（﹣2，3），点B 的坐标为（﹣3，0），点C 在x 轴上，且点D 在点A 的左侧． （1）求菱形ABCD 的周长；（2）若⊙M 沿x 轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，同时菱形ABCD 沿x 轴向右以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t （秒），当⊙M 与BC 相切，且切点为BC 的中点时，连接BD ，求：①t 的值；②∠MBD 的度数；（3）在（2）的条件下，当点M 与BD 所在的直线的距离为1时，求t 的值．【答案】（1）8；（2）①7；②105°；（3）t=633 【解析】 分析：（1）根据勾股定理求菱形的边长为2，所以可得周长为8；（2）①如图2，先根据坐标求EF 的长，由EE '﹣FE '=EF =7，列式得：3t ﹣2t =7，可得t 的值；②先求∠EBA =60°，则∠FBA =120°，再得∠MBF =45°，相加可得：∠MBD =∠MBF +∠FBD =45°+60°=105°；（3）分两种情况讨论：作出距离MN 和ME ，第一种情况：如图5由距离为1可知：BD 为⊙M 的切线，由BC 是⊙M 的切线，得∠MBE =30°，列式为3t 3=2t +6，解出即可； 第二种情况：如图6，同理可得t 的值．详解：（1）如图1，过A 作AE ⊥BC 于E ．∵点A 的坐标为（﹣23），点B 的坐标为（﹣3，0），∴AE 3，BE =3﹣2=1，∴AB 22AE BE +2231+（）=2． ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =CD =AD =2，∴菱形ABCD 的周长=2×4=8；（2）①如图2，⊙M 与x 轴的切点为F ，BC 的中点为E ．∵M （3，﹣1），∴F （3，0）．∵BC =2，且E 为BC 的中点，∴E （﹣4，0），∴EF =7，即EE '﹣FE '=EF ，∴3t ﹣2t =7，t =7；②由（1）可知：BE =1，AE 3∴tan∠EBA=AEBE =31=3，∴∠EBA=60°，如图4，∴∠FBA=120°．∵四边形ABCD是菱形，∴∠FBD=12∠FBA=11202⨯︒=60°．∵BC是⊙M的切线，∴MF⊥BC．∵F是BC的中点，∴BF=MF=1，∴△BFM是等腰直角三角形，∴∠MBF=45°，∴∠MBD=∠MBF+∠FBD=45°+60°=105°；（3）连接BM，过M作MN⊥BD，垂足为N，作ME⊥BC于E，分两种情况：第一种情况：如图5．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴∠CBD=60°，∴∠NBE=60°．∵点M与BD所在的直线的距离为1，∴MN=1，∴BD为⊙M的切线．∵BC是⊙M的切线，∴∠MBE=30°．∵ME=1，∴EB=3，∴3t+3=2t+6，t=6﹣3；第二种情况：如图6．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴∠DBC=60°，∴∠NBE=120°．∵点M与BD所在的直线的距离为1，∴MN=1，∴BD为⊙M的切线．∵BC是⊙M的切线，∴∠MBE=60°．∵ME=MN=1，∴Rt△BEM中，tan60°=MEBE，EB=160tan︒=3，∴3t=2t+6+3，t=6+3；综上所述：当点M与BD所在的直线的距离为1时，t=6﹣3或6+33．点睛：本题是四边形和圆的综合题，考查了菱形的性质、圆的切线的性质和判定、特殊的三角函数值、等腰直角三角形的性质、动点运动问题，此类问题比较复杂，弄清动点运动方向、速度、时间和路程的关系，并与方程相结合，找等量关系，求出时间t的值．4．在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”．（1）已知点A（2，0），B（0，23），则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为；（2）若点C（1，2），点D在直线y=5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；（3）⊙O的半径为2，点P的坐标为（3，m）．若在⊙O上存在一点Q，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，求m的取值范围．【答案】（1）60°；（2）y=x+1或y=﹣x+3；（3）1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1【解析】分析：（1）根据定义建立以AB为边的“坐标菱形”，由勾股定理求边长AB=4，可得30度角，从而得最小内角为60°；（2）先确定直线CD与直线y=5的夹角是45°，得D（4，5）或（﹣2，5），易得直线CD的表达式为：y=x+1或y=﹣x+3；（3）分两种情况：①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3，根据等腰直角三角形的性质分别求P'B=BD=1，PB=5，写出对应P的坐标；②先作直线y=﹣x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=﹣x，如图4，同理可得结论．详解：（1）∵点A（2，0），B（0，23），∴OA=2，OB=23．在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=22（）=4，∴∠ABO=30°．223∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC=2∠ABO=60°．∵AB∥CD，∴∠DCB=180°﹣60°=120°，∴以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为60°．故答案为：60°；（2）如图2．∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形，∴直线CD与直线y=5的夹角是45°．过点C作CE⊥DE于E，∴D（4，5）或（﹣2，5），∴直线CD的表达式为：y=x+1或y=﹣x+3；（3）分两种情况：①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3．∵⊙O的半径为2，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD=2OQ'=2，∴P'D=3﹣2=1．∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，1），同理可得：OA=2，∴AB=3+2=5．∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，5），∴当1≤m≤5时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；②先作直线y=﹣x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=﹣x，如图4．∵⊙O的半径为2，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD=2OQ'=2，∴BD=3﹣2=1．∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，﹣1），同理可得：OA=2，∴AB=3+2=5．∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，﹣5），∴当﹣5≤m≤﹣1时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；综上所述：m的取值范围是1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1．点睛：本题是一次函数和圆的综合题，考查了菱形的性质、正方形的性质、点P，Q的“坐标菱形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考创新题目．5．如图，AB是⊙O的直径，D、D为⊙O上两点，CF⊥AB于点F，CE⊥AD交AD的延长线于点E，且CE=CF.（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）连接CD、CB，若AD=CD=a，求四边形ABCD面积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接OC，AC，可先证明AC平分∠BAE，结合圆的性质可证明OC∥AE，可得∠OCB＝90°，可证得结论；（2）可先证得四边形AOCD为平行四边形，再证明△OCB为等边三角形，可求得CF、AB，利用梯形的面积公式可求得答案．【详解】（1）证明：连接OC，AC．∵CF⊥AB，CE⊥AD，且CE＝CF．∴∠CAE＝∠CAB．∵OC＝OA，∴∠CAB＝∠OCA．∴∠CAE＝∠OCA．∴OC∥AE．∴∠OCE＋∠AEC＝180°，∵∠AEC＝90°，∴∠OCE＝90°即OC⊥CE，∵OC是⊙O的半径，点C为半径外端，∴CE是⊙O的切线．（2）解：∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA＝∠CAB，∴DC∥AB，∵∠CAE＝∠OCA，∴OC∥AD，∴四边形AOCD是平行四边形，∴OC＝AD＝a，AB＝2a，∵∠CAE＝∠CAB，∴CD＝CB＝a，∴CB＝OC＝OB，∴△OCB是等边三角形，在Rt△CFB中，CF＝，∴S四边形ABCD＝（DC＋AB）•CF＝【点睛】本题主要考查切线的判定，掌握切线的两种判定方法是解题的关键，即有切点时连接圆心和切点，然后证明垂直，没有切点时，过圆心作垂直，证明圆心到直线的距离等于半径．6．如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O(0，0)，点A(6，0)与点B(0，－2)，点D 在劣弧OA上，连结BD交x轴于点C，且∠COD＝∠CBO.(1)求⊙M的半径；(2)求证：BD平分∠ABO；(3)在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰为⊙M的切线，求此时点E的坐标．【答案】（1）M的半径r2；（2）证明见解析；（3）点E的坐标为262)．【解析】试题分析：根据点A 和点B 的坐标得出OA 和OB 的长度，根据Rt △AOB 的勾股定理得出AB 的长度，然后得出半径；根据同弧所对的圆周角得出∠ABD=∠COD ，然后结合已知条件得出角平分线；根据角平分线得出△ABE ≌△HBE ，从而得出BH=BA=22，从而求出OH 的长度，即点E 的纵坐标，根据Rt △AOB 的三角函数得出∠ABO 的度数，从而得出∠CBO 的度数，然后根据Rt △HBE 得出HE 的长度，即点E 的横坐标.试题解析：（1）∵点A 为（6，0），点B 为（0，－2） ∴OA=6OB=2 ∴根据Rt △AOB 的勾股定理可得：AB=22∴M 的半径r=12AB=2. （2）根据同弧所对的圆周角相等可得：∠ABD=∠COD ∵∠COD=∠CBO ∴∠ABD=∠CBO ∴BD 平分∠ABO（3）如图，由（2）中的角平分线可得△ABE ≌△HBE ∴BH=BA=22∴OH=22－2=2在Rt △AOB 中，3OA OB=∴∠ABO=60° ∴∠CBO=30° 在Rt △HBE 中，HE=2633BH =∴点E 的坐标为（263，2）考点：勾股定理、角平分线的性质、圆的基本性质、三角函数.7．如图, Rt △ABC 中，∠B=90°，它的内切圆分别与边BC 、CA 、AB 相切于点D 、E 、F ， (1)设AB=c, BC=a, AC=b, 求证: 内切圆半径r ＝12(a+b-c). (2) 若AD 交圆于P , PC 交圆于H, FH//BC, 求∠CPD; (3)若r=310, PD ＝18, PC=272. 求△ABC 各边长.【答案】（1）证明见解析（2）45°（3）1010,1510，12【解析】【分析】（1）根据切线长定理，有AE=AF，BD=BF，CD=CE．易证四边形BDOF为正方形，BD=BF=r，用r表示AF、AE、CD、CE，利用AE+CE=AC为等量关系列式．（2）∠CPD为弧DH所对的圆周角，连接OD，易得弧DH所对的圆心角∠DOH=90°，所以∠CPD=45°．（3）由PD=18和r=310,联想到垂径定理基本图形，故过圆心O作PD的垂线OM，求得弦心距OM=3，进而得到∠MOD的正切值．延长DO得直径DG，易证PG∥OM，得到同位角∠G=∠MOD．又利用圆周角定理可证∠ADB=∠G，即得到∠ADB的正切值，进而求得AB．再设CE=CD=x，用x表示BC、AC，利用勾股定理列方程即求出x．【详解】解：（1）证明：设圆心为O，连接OD、OE、OF，∵⊙O分别与BC、CA、AB相切于点D、E、F∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，AE=AF，BD=BF，CD=CE∴∠B=∠ODB=∠OFB=90°∴四边形BDOF是矩形∵OD=OF=r∴矩形BDOF是正方形∴BD=BF=r∴AE=AF=AB-BF=c-r，CE=CD=BC-BD=a-r∵AE+CE=AC∴c-r+a-r=b整理得：r=12（a+b-c）（2）取FH中点O，连接OD ∵FH∥BC∴∠AFH=∠B=90°∵AB与圆相切于点F，∴FH为圆的直径，即O为圆心∵FH∥BC∴∠DOH=∠ODB=90°∴∠CPD=12∠DOH=45°（3）设圆心为O ，连接DO 并延长交⊙O 于点G ，连接PG ，过O 作OM ⊥PD 于M ∴∠OMD=90°∵PD=18∴DM=12PD=9 ∵10∴22OD DM -22(310)9-9081-3∴tan ∠MOD=DM OM ＝3 ∵DG 为直径∴∠DPG=90°∴OM ∥PG ，∠G+∠ODM=90°∴∠G=∠MOD∵∠ODB=∠ADB+∠ODM=90°∴∠ADB=∠G∴∠ADB=∠MOD∴tan ∠ADB=AB BD=tan ∠MOD=3 ∴10∴10−10＝10设CE=CD=x ，则10+x ，10+x∵AB 2+BC 2=AC 2∴10)2．10+x)2＝10+x)2解得：10∴10，10∴△ABC 各边长10，10，10【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，正方形的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理．切线长定理的运用是解决本题的关键，而在不能直接求得线段长的情况下，利用勾股定理作为等量关系列方程解决是常用做法．8．已知：如图，四边形ABCD为菱形，△ABD的外接圆⊙O与CD相切于点D，交AC于点E．（1）判断⊙O与BC的位置关系，并说明理由；（2）若CE=2，求⊙O的半径r．【答案】（1）相切，理由见解析；（2）2.【解析】试题分析：（1）根据切线的性质，可得∠ODC的度数，根据菱形的性质，可得CD与BC 的关系，根据SSS，可得三角形全等，根据全等三角形的性质，可得∠OBC的度数，根据切线的判定，可得答案；（2）根据等腰三角形的性质，可得∠ACD=∠CAD，根据三角形外角的性质，∠COD=∠OAD+∠AOD，根据直角三角形的性质，可得OC与OD的关系，根据等量代换，可得答案．（1）⊙O与BC相切，理由如下连接OD、OB，如图所示：∵⊙O与CD相切于点D，∴OD⊥CD，∠ODC=90°．∵四边形ABCD为菱形，∴AC垂直平分BD，AD=CD=CB．∴△ABD的外接圆⊙O的圆心O在AC上，∵OD=OB，OC=OC，CB=CD，∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC=∠ODC=90°，又∵OB为半径，∴⊙O与BC相切；（2）∵AD=CD，∴∠ACD=∠CAD．∵AO=OD，∴∠OAD=∠ODA．∵∠COD=∠OAD+∠AOD，∠COD=2∠CAD．∴∠COD=2∠ACD又∵∠COD+∠ACD=90°，∴∠ACD=30°．∴OD=12OC，即r=12（r+2）．∴r=2．【点睛】运用了切线的判定与性质，利用了切线的判定与性质，菱形的性质，直角三角形的性质．9．如图，AB是⊙O的直径，∠ACB的平分线交AB于点D，交⊙O于点E，过点C作⊙O 的切线CP交BA的延长线于点P，连接AE．（1）求证：PC=PD；（2）若AC=5cm，BC=12cm，求线段AE，CE的长．【答案】(1)见解析172132【解析】试题分析：（1）如图1中，连接OC 、OE ．利用等角的余角相等，证明∠PCD =∠PDC 即可；（2）如图2中．作EH ⊥BC 于H ，EF ⊥CA 于F ．首先证明Rt △AEF ≌Rt △BEH ，推出AF =BH ，设AF =BH =x ，再证明四边形CFEH 是正方形，推出CF =CH ，可得5+x =12﹣x ，推出x =72，延长即可解决问题； 试题解析：（1）证明：如图1中，连接OC 、OE ．∵AB 直径，∴∠ACB =90°，∴CE 平分∠ACB ，∴∠ECA =∠ECB =45°，∴AE =BE ，∴OE ⊥AB ，∴∠DOE =90°．∵PC 是切线，∴OC ⊥PC ，∴∠PCO =90°．∵OC =OE ，∴∠OCE =∠OEC ．∵∠PCD +∠OCE =90°，∠ODE +∠OEC =90°，∠PDC =∠ODE ，∴∠PCD =∠PDC ，∴PC =PD ．（2）如图2中．作EH ⊥BC 于H ，EF ⊥CA 于F ．∵CE 平分∠ACB ，EH ⊥BC 于H ，EF ⊥CA 于F ，∴EH =EF ，∠EFA =∠EHB =90°．∵AE =BE ，∴AE =BE ，∴Rt △AEF ≌Rt △BEH ，∴AF =BH ，设AF =BH =x ．∵∠F =∠FCH =∠CHE =90°，∴四边形CFEH 是矩形．∵EH =EF ，∴四边形CFEH 是正方形，∴CF =CH ，∴5+x =12﹣x ，∴x =72，∴CF =FE =172，∴EC 2CF 172，AE 22EF AF +2217722（）（）+132 点睛：本题考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理、垂径定理、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．10．如图，AB 为⊙O 的直径，DA 、DC 分别切⊙O 于点A ，C ，且AB =AD ．（1）求tan ∠AOD 的值．（2）AC，OD交于点E，连结BE．①求∠AEB的度数；②连结BD交⊙O于点H，若BC=1，求CH的长．【答案】（1）2；（2）①∠AEB＝135°；②2 CH=【解析】【分析】（1）根据切线的性质可得∠BAD=90°，由题意可得AD=2AO，即可求tan∠AOD的值；（2）①根据切线长定理可得AD=CD，OD平分∠ADC，根据等腰三角形的性质可得DO⊥AC，AE=CE，根据圆周角定理可求∠ACB=90°，即可证∠ABC=∠CAD，根据“AAS”可证△ABC≌△DAE，可得AE=BC=EC，可求∠BEC=45°，即可求∠AEB的度数；②由BC=1，可求AE=EC=1，BE2=，根据等腰直角三角形的性质可求∠ABE=∠HBC，可证△ABE∽△HBC，可求CH的长．【详解】（1）∵DA是⊙O切线，∴∠BAD=90°．∵AB=AD，AB=2AO，∴AD=2AO，∴tan∠AODADAO==2；（2）①∵DA、DC分别切⊙O于点A，C，∴AD=CD，OD平分∠ADC，∴DO⊥AC，AE=CE．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，且∠BAC+∠CAD=90°，∴∠ABC=∠CAD，且AB=AD，∠ACB=∠AED=90°，∴△ABC≌△DAE（AAS），∴CB=AE，∴CE=CB，且∠ACB=90°，∴∠BEC=45°=∠EBC，∴∠AEB=135°．②如图，∵BC=1，且BC=AE=CE，∴AE=EC=BC=1，∴BE2=．∵AD=AB，∠BAD=90°，∴∠ABD=45°，且∠EBC=45°，∴∠ABE=∠HBC，且∠BAC=∠CHB，∴△ABE∽△HBC，∴BC CHEB AE=，即12CH=，∴CH22=．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．。

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣33，O），C（3，O）．（1）求⊙M的半径；（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH．（3）在（2）的条件下求AF的长．【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4．【解析】【分析】（1）过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长；（2）连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH≌△AFH，进而可得出结论；（3）先由（1）中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG 的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案．【详解】（1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM，∵BC是⊙O的一条弦，MT是垂直于BC的直径，∴BT=TC=123∴124；（2）如图（二），连接AE，则∠AEC=∠ABC，∵CE⊥AB，∴∠HBC+∠BCH=90°在△COF中，∵∠OFC+∠OCF=90°，∴∠HBC=∠OFC=∠AFH，在△AEH和△AFH中，∵AFH AEHAHF AHE AH AH∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEH≌△AFH（AAS），∴EH=FH；（3）由（1）易知，∠BMT=∠BAC=60°，作直径BG，连CG，则∠BGC=∠BAC=60°，∵⊙O的半径为4，∴CG=4，连AG，∵∠BCG=90°，∴CG⊥x轴，∴CG∥AF，∵∠BAG=90°，∴AG⊥AB，∵CE⊥AB，∴AG∥CE，∴四边形AFCG为平行四边形，∴AF=CG=4．【点睛】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．2．如图，以O为圆心，4为半径的圆与x轴交于点A，C在⊙O上，∠OAC=60°．（1）求∠AOC的度数；（2）P为x轴正半轴上一点，且PA=OA，连接PC，试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）有一动点M从A点出发，在⊙O上按顺时针方向运动一周，当S△MAO=S△CAO时，求动点M所经过的弧长，并写出此时M点的坐标．【答案】（1）60°；（2）见解析；（3）对应的M点坐标分别为：M1（2，﹣23）、M2（﹣2，﹣23）、M3（﹣2，23）、M4（2，23）．【解析】【分析】（1）由于∠OAC=60°，易证得△OAC是等边三角形，即可得∠AOC=60°．（2）由（1）的结论知：OA=AC，因此OA=AC=AP，即OP边上的中线等于OP的一半，由此可证得△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，由此可判断出PC与⊙O的位置关系．（3）此题应考虑多种情况，若△MAO、△OAC的面积相等，那么它们的高必相等，因此有四个符合条件的M点，即：C点以及C点关于x轴、y轴、原点的对称点，可据此进行求解．【详解】（1）∵OA=OC，∠OAC=60°，∴△OAC是等边三角形，故∠AOC=60°．（2）由（1）知：AC=OA，已知PA=OA，即OA=PA=AC；∴AC=12OP，因此△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，而OC是⊙O的半径，故PC与⊙O的位置关系是相切．（3）如图；有三种情况：①取C点关于x轴的对称点，则此点符合M点的要求，此时M点的坐标为：M1（2，﹣3劣弧MA的长为：6044 1803ππ⨯=；②取C点关于原点的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M2（﹣2，﹣23）；劣弧MA的长为：12048 1803ππ⨯=；③取C点关于y轴的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M3（﹣2，23）；优弧MA的长为：240416 1803ππ⨯=；④当C、M重合时，C点符合M点的要求，此时M4（2，23）；优弧MA的长为：300420 1803ππ⨯=；综上可知：当S△MAO=S△CAO时，动点M所经过的弧长为481620,,,3333ππππ对应的M点坐标分别为：M1（2，﹣23）、M2（﹣2，﹣23）、M3（﹣2，23）、M4（2，23）．【点睛】本题考查了切线的判定以及弧长的计算方法，注意分类讨论思想的运用，不要漏解．3．如图，⊙O的半径为6cm，经过⊙O上一点C作⊙O的切线交半径OA的延长于点B，作∠ACO的平分线交⊙O于点D，交OA于点F，延长DA交BC于点E．（1）求证：AC∥OD；（2）如果DE⊥BC，求AC的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）2π．【解析】试题分析：（1）由OC=OD，CD平分∠ACO，易证得∠ACD=∠ODC，即可证得AC∥OD；（2）BC切⊙O于点C，DE⊥BC，易证得平行四边形ADOC是菱形，继而可证得△AOC是等边三角形，则可得：∠AOC=60°，继而求得弧AC的长度．试题解析：（1）证明：∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC．∵CD平分∠ACO，∴∠OCD=∠ACD，∴∠ACD=∠ODC，∴AC∥OD；（2）∵BC切⊙O于点C，∴BC⊥OC．∵DE⊥BC，∴OC∥DE．∵AC∥OD，∴四边形ADOC 是平行四边形．∵OC=OD，∴平行四边形ADOC是菱形，∴OC=AC=OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC=60°，∴弧AC的长度=606 180π⨯=2π．点睛：本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公式．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．4．如图，在ABC∆中，90,BAC∠=︒2,AB AC==AD BC⊥，垂足为D，过,A D 的⊙O分别与,AB AC交于点,E F，连接,,EF DE DF．（1）求证：ADE∆≌CDF∆；（2）当BC与⊙O相切时，求⊙O的面积．【答案】(1)见解析;(2)24π.【解析】分析：（1）由等腰直角三角形的性质知AD=CD、∠1=∠C=45°，由∠EAF=90°知EF是⊙O 的直径，据此知∠2+∠4=∠3+∠4=90°，得∠2=∠3，利用“ASA”证明即可得；（2）当BC与⊙O相切时，AD是直径，根据∠C=45°、AC=2可得AD=1，利用圆的面积公式可得答案．详解：（1）如图，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠C=45°．又∵AD⊥BC，AB=AC，∴∠1=12∠BAC=45°，BD=CD，∠ADC=90°．又∵∠BAC=90°，BD=CD，∴AD=CD．又∵∠EAF=90°，∴EF是⊙O的直径，∴∠EDF=90°，∴∠2+∠4=90°．又∵∠3+∠4=90°，∴∠2=∠3．在△ADE和△CDF中．∵123CAD CD∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADE≌△CDF（ASA）．（2）当BC与⊙O相切时，AD是直径．在Rt△ADC中，∠C=45°，AC2，∴sin∠C=ADAC，∴AD=AC sin∠C=1，∴⊙O的半径为12，∴⊙O的面积为24π．点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、与圆有关的位置关系等知识点．5．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点E，连接AC，BC，点F是BA延长线上的一点，且∠FCA＝∠B.(1)求证：CF是⊙O的切线；(2)若AE＝4，tan∠ACD＝3，求FC的长．【答案】（1）见解析【解析】分析：（1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠OCF=90°，进而得出答案；（2）根据正切的性质求出EC的长，然后利用垂径定理求出圆的半径，再根据等边三角形的性质，利用勾股定理求出即可．详解：(1)证明：连接OC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OCB＋∠ACO＝90°.∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB.又∵∠FCA＝∠B，∴∠FCA＝∠OCB，∴∠FCA＋∠ACO＝90°，即∠FCO＝90°，∴FC⊥OC，∴FC是⊙O切线．(2)解：∵AB⊥CD，∴∠AEC＝90°，∴EC=AE43 tan ACE3∠==设OA＝OC＝r，则OE＝OA－AE＝r－4.在Rt△OEC中，OC2＝OE2＋CE2，即r2＝(r－4)2＋32，解得r＝8.∴OE＝r－4＝4＝AE.∵CE⊥OA，∴CA＝CO＝8，∴△AOC是等边三角形，∴∠FOC＝60°，∴∠F＝30°.在Rt△FOC中，∵∠OCF＝90°，OC＝8，∠F＝30°，∴OF＝2OC＝16，∴FC22OF OC83-=.点睛：此题主要考查了切线的判定、垂径定理的推论以及勾股定理等知识，得出BC的长是解题关键．6．如图，△ABC中，∠A=45°，D是AC边上一点，⊙O经过D、A、B三点，OD∥BC．（1）求证：BC与⊙O相切；（2）若OD=15，AE=7，求BE的长．【答案】(1)见解析;(2)18.【解析】分析：（1）连接OB，求出∠DOB度数，根据平行线性质求出∠CBO=90°，根据切线判定得出即可；（2）延长BO交⊙O于点F，连接AF，求出∠ABF，解直角三角形求出BE．详解：（1）证明：连接OB．∵∠A=45°，∴∠DOB=90°．∵OD∥BC，∴∠DOB+∠CBO=180°．∴∠CBO=90°．∴直线BC是⊙O的切线．（2）解：连接BD．则△ODB是等腰直角三角形，∴∠ODB=45°，BD=OD=15，∵∠ODB=∠A，∠DBE=∠DBA，∴△DBE∽△ABD，∴BD2=BE•BA，∴（15）2=（7+BE）BE，∴BE=18或﹣25（舍弃），∴BE=18．点睛：本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形等知识点，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键，题目综合性比较强，难度偏大．7．如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA 的延长线相交于点E，G是AD的中点，连结CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF：（2）求证：PA是⊙O的切线；（3）若FG=BF，且⊙O的半径长为32，求BD的长度.【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；（3）22【解析】分析：（1）利用平行线截三角形得相似三角形，得△BFC∽△DGC且△FEC∽△GAC，得到对应线段成比例，再结合已知条件可得BF=EF；（2）利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角，得到∠FAO=∠EBO，结合BE是圆的切线，得到PA⊥OA，从而得到PA是圆O的切线；（3）点F作FH⊥AD于点H，根据前两问的结论，利用三角形的相似性质即可以求出BD 的长度．详解：证明：(1)∵BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，∴EB⊥BC.又∵AD⊥BC，∴AD∥BE.∴△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，∴BFDG=CFCG，EFAG=CFCG，∴BFDG=EFAG，∵G是AD的中点，∴DG=AG，∴BF=EF；(2)连接AO，AB.∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°，由(1)得：在Rt△BAE中，F是斜边BE的中点，∴AF =FB =EF ，可得∠FBA =∠FAB ，又∵OA =OB ，∴∠ABO =∠BAO ，∵BE 是圆O 的切线，∴∠EBO =90°，∴∠FBA +∠ABO =90°，∴∠FAB +∠BAO =90°，即∠FAO =90°，∴PA ⊥OA ，∴PA 是圆O 的切线；（3）过点F 作FH ⊥AD 于点H ，∵BD ⊥AD ，FH ⊥AD ，∴FH ∥BC ，由(2)，知∠FBA =∠BAF ，∴BF =AF .∵BF =FG ，∴AF =FG ，∴△AFG 是等腰三角形.∵FH ⊥AD ，∴AH =GH ，∵DG =AG ，∴DG =2HG . 即12HG DG =， ∵FH ∥BD ，BF ∥AD ，∠FBD =90°，∴四边形BDHF 是矩形，∴BD =FH ，∵FH ∥BC∴△HFG ∽△DCG ， ∴12FH HG CD DG ==，即12 BDCD=，∴23 2.15≈，∵O的半径长为32，∴BC=62，∴BD=13BC＝22.点睛：本题考查了切线的判定、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质.结合已知条件准确对图形进行分析并应用相应的图形性质是解题的关键.8．如图，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一点，△ABC为正三角形，D为BC的中点，M 为⊙O上一点，并且∠BMC=60°．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若E，F分别是边AB，AC上的两个动点，且∠EDF=120°，⊙O的半径为2，试问BE+CF的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）证明见试题解析；（2）BE+CF的值是定值，为等边△ABC边长的一半．【解析】试题分析：（1）连结OB、OD，如图1，由于D为BC的中点，由垂径定理的推理得OD⊥BC，∠BOD=∠COD，即可得到∠BOD=∠M=60°，则∠OBD=30°，所以∠ABO=90°，于是得到AB是⊙O的切线；（2）作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，连结AD，如图2，由△ABC为正三角形，D为BC 的中点，得到AD平分∠BAC，∠BAC=60°，利用角平分线性质得DM=DN，得∠MDN=120°，由∠EDF=120°，得到∠MDE=∠NDF，于是有△DME≌△DNF，得到ME=NF，得到BE+CF=BM+CN，由BM=12BD，CN=12OC，得到BE+CF=12BC，即可判断BE+CF的值是定值，为等边△ABC边长的一半．试题解析：（1）连结OB、OD，如图1，∵D为BC的中点，∴OD⊥BC，∠BOD=∠COD，∴∠ODB=90°，∵∠BMC=12∠BOC，∴∠BOD=∠M=60°，∴∠OBD=30°，∵△ABC为正三角形，∴∠ABC=60°，∴∠ABO=60°+30°=90°，∴AB⊥OB，∴AB是⊙O的切线；（2）BE+CF的值是为定值．作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，连结AD，如图2，∵△ABC为正三角形，D为BC的中点，∴AD平分∠BAC，∠BAC=60°，∴DM=DN，∠MDN=120°，∵∠EDF=120°，∴∠MDE=∠NDF，在△DME和△DNF中，∵∠DME=∠DNF．DM=DN，∠MDE=∠NDF，∴△DME≌△DNF，∴ME=NF，∴BE+CF=BM﹣EM+CN+NF=BM+CN，在Rt△DMB中，∵∠DBM=60°，∴BM=12BD，同理可得CN=12OC，∴BE+CF=12OB+12OC=12BC，∴BE+CF的值是定值，为等边△ABC边长的一半．考点：1．切线的判定；2．等边三角形的性质；3．定值问题；4．探究型；5．综合题；6．压轴题．9．如图1，已知⊙O是ΔADB的外接圆，∠ADB的平分线DC交AB于点M，交⊙O于点C，连接AC，BC．（1）求证：AC=BC；（2）如图2，在图1 的基础上做⊙O的直径CF交AB于点E，连接AF，过点A作⊙O的切线AH，若AH//BC，求∠ACF的度数；（3）在（2）的条件下，若ΔABD的面积为63，ΔABD与ΔABC的面积比为2：9，求CD 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）30°；（3）33【解析】分析：（1）运用“在同圆或等圆中，弧相等，所对的弦相等”可求解；（2）连接AO并延长交BC于I交⊙O于J,由AH是⊙O的切线且AH∥BC得AI⊥BC，易证∠IAC=30°，故可得∠ABC=60°=∠F=∠ACB，由CF是直径可得∠ACF的度数；（3）过点D作DG⊥AB ，连接AO，知ABC为等边三角形，求出AB、AE的长，在RtΔAEO 中，求出AO的长，得CF的长，再求DG 的长，运用勾股定理易求CD的长.详解：（1）∵DC平分∠ADB，∴∠ADC=∠BDC，∴AC=BC．（2）如图，连接AO并延长交BC于I交⊙O于J∵AH是⊙O的切线且AH∥BC，∴AI⊥BC，∴BI=IC，∵AC=BC，∴IC=1AC，2∴∠IAC=30°，∴∠ABC=60°=∠F=∠ACB．∵FC是直径，∴∠FAC=90°，∴∠ACF=180°-90°-60°=30°．⊥，连接AO（3）过点D作DG AB由（1）（2）知ABC为等边三角形∵∠ACF=30°，⊥，∴AB CF∴AE=BE ， ∴2ΔABC 3273S AB ==， ∴AB=63，∴33AE =．在RtΔAEO 中，设EO=x ，则AO=2x ，∴222AO AE OE =+，∴()()222233x x =+，∴x =6，⊙O 的半径为6，∴CF=12．∵ΔABD 11636322S AB DG DG =⨯⨯=⨯⨯=， ∴DG=2．如图，过点D 作DG CF '⊥,连接OD ．∵AB CF ⊥,DG AB ⊥，∴CF//DG ，∴四边形G ′DGE 为矩形，∴2G E '=， 63211CG G E CE +=++'=='，在RtΔOG D '中，5,6OG OD ='=，∴11DG '=，∴2221111233CD DG CG =+=+=''点睛：本题是一道圆的综合题.考查了圆的基本概念，垂径定理，勾股定理，圆周角定理等相关知识.比较复杂，熟记相关概念是解题关键.10．如图，已知△ABC ，AB=2，3BC =，∠B=45°，点D 在边BC 上，联结AD ， 以点A 为圆心，AD 为半径画圆，与边AC 交于点E ，点F 在圆A 上，且AF ⊥AD ．（1）设BD 为x ，点D 、F 之间的距离为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （2）如果E 是DF 的中点，求:BD CD 的值；（3）联结CF ，如果四边形ADCF 是梯形，求BD 的长 ．【答案】(1) 2442y x x (0≤x≤3); (2) 45; (3) BD 的长是1或1+5. 【解析】【分析】 （1）过点A 作AH ⊥BC ，垂足为点H ．构造直角三角形，利用解直角三角形和勾股定理求得AD 的长度．联结DF ，点D 、F 之间的距离y 即为DF 的长度，在Rt △ADF 中，利用锐角三角形函数的定义求得DF 的长度，易得函数关系式．（2）由勾股定理求得：AC=22AH DH +．设DF 与AE 相交于点Q ，通过解Rt △DCQ 和Rt △AHC 推知12DQ CQ =．故设DQ=k ，CQ=2k ，AQ=DQ=k ，所以再次利用勾股定理推知DC 的长度，结合图形求得线段BD 的长度，易得答案．（3）如果四边形ADCF 是梯形，则需要分类讨论：①当AF ∥DC 、②当AD ∥FC ．根据相似三角形的判定与性质，结合图形解答．【详解】（1）过点A 作AH ⊥BC ，垂足为点H ．∵∠B =45°，AB 2∴·cos 1BH AH AB B ===．∵BD 为x ，∴1DH x =-．在Rt △ADH 中，90AHD ∠=︒，∴22222AD AH DH x x =+=-+． 联结DF ，点D 、F 之间的距离y 即为DF 的长度．∵点F 在圆A 上，且AF ⊥AD ，∴AD AF =，45ADF ∠=︒．在Rt △ADF 中，90DAF ∠=︒，∴2442cos AD DF x x ADF ==-+∠ ∴2442y x x =-+．()03x ≤≤ ;（2）∵E 是DF 的中点，∴AE DF ⊥，AE 平分DF ．∵BC=3，∴312HC =-=．∴225AC AH HC +=．设DF 与AE 相交于点Q ，在Rt △DCQ 中，90DQC ∠=︒，tan DQ DCQ CQ ∠=． 在Rt △AHC 中，90AHC ∠=︒，1tan 2AH ACH HC ∠==．∵DCQ ACH ∠=∠，∴12DQ CQ =． 设,2DQ k CQ k ==，AQ DQ k ==，∵3k =k =，∴53DC ==． ∵43BD BC DC =-=，∴4:5BD CD =． （3）如果四边形ADCF 是梯形 则①当AF ∥DC 时，45AFD FDC ∠=∠=︒．∵45ADF ∠=︒，∴AD BC ⊥，即点D 与点H 重合． ∴1BD =．②当AD ∥FC 时，45ADF CFD ∠=∠=︒．∵45B ∠=︒，∴B CFD ∠=∠．∵B BAD ADF FDC ∠+∠=∠+∠，∴BAD FDC ∠=∠．∴ABD ∆∽DFC ∆．∴AB AD DF DC =． ∵DF =，DC BC BD =-．∴2AD BC BD =-．即23x =-,整理得 210x x --=，解得 12x ±=（负数舍去）．综上所述，如果四边形ADCF 是梯形，BD 的长是1 【点睛】此题属于圆的综合题，涉及了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数值以及勾股定理等知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．。

初三圆难题压轴题答案解析公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]圆难题压轴题答案解析1. 解：（1）如图1，设⊙O的半径为r，当点A在⊙C上时，点E和点A重合，过点A作AH⊥BC于H，∴BH=AB?cosB=4，∴AH=3，CH=4，∴AC==5，∴此时CP=r=5；（2）如图2，若AP∥CE，APCE为平行四边形，∵CE=CP，∴四边形APCE是菱形，连接AC、EP，则AC⊥EP，∴AM=CM=，由（1）知，AB=AC，则∠ACB=∠B，∴CP=CE==，∴EF=2=；（3）如图3：过点C作CN⊥AD于点N，∵cosB=45，∴∠B＜45°，∵∠BCG＜90°，∴∠BGC＞45°，∵∠AEG=∠BCG≥∠ACB=∠B，∴当∠AEG=∠B时，A、E 、G 重合，∴只能∠AGE=∠AEG，∵AD∥BC，∴△GAE∽△GBC，∴=，即=，解得：AE=3，EN=AN﹣AE=1，∴CE===．2.解：（1）①若圆P与直线l和l2都相切，当点P在第四象限时，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，连接OP，如图1所示．设y=x的图象与x轴的夹角为α．当x=1时，y=．∴tanα=．∴α=60°．∴由切线长定理得：∠POH=（180°﹣60°）=60°．∵PH=1，∴tan∠POH===．∴OH=．∴点P的坐标为（，﹣1）．同理可得：当点P在第二象限时，点P的坐标为（﹣，1）；当点P在第三象限时，点P的坐标为（﹣，﹣1）；②若圆P与直线l和l1都相切，如图2所示．同理可得：当点P在第一象限时，点P的坐标为（，1）；当点P在第二象限时，点P的坐标为（﹣，1）；当点P在第三象限时，点P的坐标为（﹣，﹣1）；当点P在第四象限时，点P的坐标为（，﹣1）．③若圆P与直线l1和l2都相切，如图3所示．同理可得：当点P在x轴的正半轴上时，点P的坐标为（，0）；当点P在x轴的负半轴上时，点P的坐标为（﹣，0）；当点P在y轴的正半轴上时，点P的坐标为（0，2）；当点P在y轴的负半轴上时，点P的坐标为（0，﹣2）．综上所述：其余满足条件的圆P的圆心坐标有：（，﹣1）、（﹣，1）、（﹣，﹣1）、（，1）、（﹣，1）、（﹣，﹣1）、（，﹣1）、（，0）、（﹣，0）、（0，2）、（0，﹣2）．（2）用线段依次连接各圆心，所得几何图形，如图4所示．由图可知：该几何图形既轴对称图形，又是中心对称图形，由对称性可得：该几何图形的所有的边都相等．∴该图形的周长=12×（﹣）=8．3.（1）解：连接OB，OD，∵∠DAB=120°，∴所对圆心角的度数为240°，∴∠BOD=120°，∵⊙O的半径为3，∴劣弧的长为：×π×3=2π；（2）证明：连接AC，∵AB=BE，∴点B为AE的中点，∵F是EC的中点，∴BF为△EAC的中位线，∴BF=AC，∵=，∴+=+，∴=，∴BD=AC，∴BF=BD；（3）解：过点B作AE的垂线，与⊙O的交点即为所求的点P，∵BF为△EAC的中位线，∴BF∥AC，∴∠FBE=∠CAE ， ∵=，∴∠CAB=∠DBA ，∵由作法可知BP ⊥AE ， ∴∠GBP=∠FBP ， ∵G 为BD 的中点， ∴BG=BD ，∴BG=BF ，在△PBG 和△PBF 中，，∴△PBG ≌△PBF （SAS ）， ∴PG=PF ．4.解：（1）∵l 1⊥l 2，⊙O 与l 1，l 2都相切， ∴∠OAD=45°，∵AB=4cm ，AD=4cm ， ∴CD=4cm ，AD=4cm ， ∴tan ∠DAC===，∴∠DAC=60°，∴∠OAC 的度数为：∠OAD+∠DAC=105°， 故答案为：105；（2）如图位置二，当O 1，A 1，C 1恰好在同一直线上时，设⊙O 1与l 1的切点为E ，连接O 1E ，可得O 1E=2，O 1E ⊥l 1，在Rt △A 1D 1C 1中，∵A 1D 1=4，C 1D 1=4， ∴tan ∠C 1A 1D 1=，∴∠C 1A 1D 1=60°， 在Rt △A 1O 1E 中，∠O 1A 1E=∠C 1A 1D 1=60°， ∴A 1E==，∵A 1E=AA 1﹣OO 1﹣2=t ﹣2，∴t ﹣2=， ∴t=+2，∴OO 1=3t=2+6；（3）①当直线AC 与⊙O 第一次相切时，设移动时间为t 1，如图，此时⊙O 移动到⊙O 2的位置，矩形ABCD 移动到A 2B 2C 2D 2的位置，设⊙O 2与直线l 1，A 2C 2分别相切于点F ，G ，连接O 2F ，O 2G ，O 2A 2， ∴O 2F ⊥l 1，O 2G ⊥A 2G 2，由（2）得，∠C 2A 2D 2=60°，∴∠GA 2F=120°， ∴∠O 2A 2F=60°，在Rt △A 2O 2F 中，O 2F=2，∴A 2F=，∵OO 2=3t ，AF=AA 2+A 2F=4t 1+，∴4t 1+﹣3t 1=2， ∴t 1=2﹣，②当直线AC 与⊙O 第二次相切时，设移动时间为t 2，记第一次相切时为位置一，点O 1，A 1，C 1共线时位置二，第二次相切时为位置三，由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等， ∴+2﹣（2﹣）=t 2﹣（+2），解得：t 2=2+2，综上所述，当d ＜2时，t 的取值范围是：2﹣＜t ＜2+2．5.解：（1）证明：如图1， ∵CE 为⊙O 的直径， ∴∠CFE=∠CGE=90∵EG⊥EF， ∴∠FEG=90°．∴∠CFE=∠CGE=∠FEG=90°． ∴四边形EFCG 是矩形． （2）①存在． 连接OD ，如图2①， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A=∠ADC=90°． ∵点O 是CE 的中点， ∴OD=OC．∴点D 在⊙O 上．∵∠FCE=∠FDE，∠A=∠CFE=90°， ∴△CFE∽△DAB． ∴=（）2．∵AD=4，AB=3， ∴BD=5， S △CFE =（）2S △DAB=××3×4 =．∴S 矩形ABCD =2S △CFE =．∵四边形EFCG 是矩形，∴FC∥EG．∴∠FCE=∠CEG．∵∠GDC=∠CEG，∠FCE=∠FDE，∴∠GDC=∠FDE．∵∠FDE+∠CDB=90°，∴∠GDC+∠CDB=90°．∴∠GDB=90°Ⅰ．当点E在点A（E′）处时，点F在点B（F′）处，点G在点D（G′处，如图2①所示．此时，CF=CB=4．Ⅱ．当点F在点D（F″）处时，直径F″G″⊥BD，如图2②所示，此时⊙O与射线BD相切，CF=CD=3．Ⅲ．当CF⊥BD时，CF最小，此时点F到达F″′，如图2③所示．S=BC?CD=BD?CF″′．△BCD∴4×3=5×CF″′∴CF″′=．∴≤CF≤4．=，∵S矩形ABCD∴×（）2≤S≤×42．矩形ABCD≤12．∴≤S矩形ABCD∴矩形EFCG的面积最大值为12，最小值为．②∵∠GDC=∠FDE=定值，点G的起点为D，终点为G″，∴点G的移动路线是线段DG″．∵∠GDC=∠FDE，∠DCG″=∠A=90°，∴△DCG″∽△DAB．∴=．∴=．∴DG″=．∴点G移动路线的长为．[来6.解：（1）以AB为边，在第一象限内作等边三角形ABC，以点C为圆心，AC为半径作⊙C，交y轴于点P1、P2．在优弧AP1B上任取一点P，如图1，则∠APB=∠ACB=×60°=30°．∴使∠APB=30°的点P有无数个．故答案为：无数．（2）①当点P在y轴的正半轴上时，过点C作CG⊥AB，垂足为G，如图1．∵点A（1，0），点B（5，0），∴OA=1，OB=5．∴AB=4．∵点C为圆心，CG⊥AB，∴AG=BG=AB=2．∴OG=OA+AG=3．∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC=AB=4．∴CG===2．∴点C的坐标为（3，2）．过点C作CD⊥y轴，垂足为D，连接CP2，如图1，∵点C的坐标为（3，2），∴CD=3，OD=2．∵P 1、P 2是⊙C 与y 轴的交点，∴∠AP 1B=∠AP 2B=30°．∵CP 2=CA=4，CD=3，∴DP 2==．∵点C 为圆心，CD⊥P 1P 2，∴P 1D=P 2D=．∴P 2（0，2﹣）．P 1（0，2+）．②当点P 在y 轴的负半轴上时，同理可得：P 3（0，﹣2﹣）．P 4（0，﹣2+）．综上所述：满足条件的点P 的坐标有：（0，2﹣）、（0，2+）、（0，﹣2﹣）、（0，﹣2+）．（3）当过点A 、B 的⊙E 与y 轴相切于点P 时，∠APB 最大． ①当点P 在y 轴的正半轴上时，连接EA ，作EH⊥x 轴，垂足为H ，如图2．∵⊙E 与y 轴相切于点P ，∴PE⊥OP∵EH⊥AB，OP⊥OH，∴∠EPO=∠POH=∠EHO=90°．∴四边形OPEH 是矩形．∴OP=EH，PE=OH=3∴EA=3．∵∠EHA=90°，AH=2，EA=3，∴EH===∴OP=∴P（0，）．②当点P在y轴的负半轴上时，同理可得：P（0，﹣）．理由：①若点P在y轴的正半轴上，在y轴的正半轴上任取一点M（不与点P重合），连接MA，MB，交⊙E于点N，连接NA，如图2所示．∵∠ANB是△AMN的外角，∴∠ANB＞∠AMB．∵∠APB=∠ANB，∴∠APB＞∠AMB．②若点P在y轴的负半轴上，同理可证得：∠APB＞∠AMB．综上所述：当点P在y轴上移动时，∠APB有最大值，此时点P的坐标为（0，）和（0，﹣）．7．解答：证明：（1）如图，连接PM，PN，∵⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，∴PM⊥MF，PN⊥ON且PM=PN，∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°，∵PE⊥PF，∠NPE=∠MPF=90°﹣∠MPE，在△PMF和△PNE中，，∴△PMF≌△PNE （ASA），∴PE=PF，（2）解：①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上，如图，由（1）得△PMF≌△PNE，∴NE=MF=t，PM=PN=1，∴b=OF=OM+MF=1+t，a=NE﹣ON=t﹣1，∴b﹣a=1+t﹣（t﹣1）=2，∴b=2+a，②0＜t≤1时，如图2，点E在y轴的正半轴或原点上，同理可证△PMF≌△PNE，∴b=OF=OM+MF=1+t，a=ON﹣NE=1﹣t，∴b+a=1+t+1﹣t=2，∴b=2﹣a，（3）如图3，（Ⅰ）当1＜t＜2时，∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，∴F′（1﹣t，0）∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，∴Q（1﹣t，0）∴OQ=1﹣t，由（1）得△PMF≌△PNE∴NE=MF=t，∴OE=t﹣1当△OEQ∽△MPF∴=∴=，解得，t=，当△OEQ∽△MFP时，∴=，=，解得，t=，（Ⅱ）如图4，当t＞2时，∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，∴F′（1﹣t，0）∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，∴Q（1﹣t，0）∴OQ =t﹣1，由（1）得△PMF≌△PNE∴NE=MF=t，∴OE=t﹣1当△OEQ∽△MPF ∴=∴=，无解，当△OEQ∽△MFP 时，∴=，=，解得，t =2±，所以当t =，t =，t =2±时，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似．8.答：：（1）∵DF⊥AB，EF⊥AC，∴∠BDF=∠CEF=90°．∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°．∵∠BDF=∠CEF，∠B=∠C，∴△BDF∽△CEF．（2）∵∠BDF=90°，∠B=60°，∴sin60°==，cos60°==．∵BF=m，∴DF=m，BD=．∵AB=4，∴AD=4﹣．∴S△ADF=ADDF=×（4﹣）×m=﹣m2+m．同理：S△AEF=AEEF=×（4﹣）×（4﹣m）=﹣m2+2．∴S=S△ADF+S△AEF=﹣m2+m+2=﹣（m2﹣4m﹣8）=﹣（m﹣2）2+3．其中0＜m＜4．∵﹣＜0，0＜2＜4，∴当m=2时，S取最大值，最大值为3．∴S与m之间的函数关系为：S═﹣（m﹣2）2+3（其中0＜m＜4）．当m=2时，S取到最大值，最大值为3．（3）如图2，∵A、D、F、E四点共圆，∴∠EDF=∠EAF．∵∠ADF=∠AEF=90°，∴AF是此圆的直径．∵tan∠EDF=，∴tan∠EAF=．∴=．∵∠C=60°，∴=tan60°=．设EC=x，则EF=x，EA=2x．∵AC=a，∴2x+x=A．∴x=．∴EF=，AE=．∵∠AEF=90°，∴AF==．∴此圆直径长为．9.解答：解：（1）连接OA，过点B作BH⊥AC，垂足为H，如图1所示．∵AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥AB．∴∠OAB=90°．∵OQ=QB=1，∴OA=1．∴AB===．∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB=，∠CAB=60°．∵sin∠HAB=，∴HB=AB?sin∠HAB=×=．∴S△ABC=AC?BH=××=．∴△ABC的面积为．（2）①当点A与点Q重合时，线段AB与圆O只有一个公共点，此时α=0°；②当线段A1B所在的直线与圆O相切时，如图2所示，线段A1B与圆O只有一个公共点，此时OA1⊥BA1，OA1=1，OB=2，∴cos∠A1OB==．∴∠A1OB=60°．∴当线段AB与圆O只有一个公共点（即A点）时，α的范围为：0°≤α≤60°．（3）连接MQ，如图3所示．∵PQ是⊙O的直径，∴∠PMQ=90°．∵OA⊥PM，∴∠PDO=90°．∴∠PDO=∠PMQ．∴△PDO∽△PMQ．∴==∵PO=OQ=PQ．∴PD=PM，OD=MQ．同理：MQ=AO，BM=AB．∵AO=1，∴MQ=．∴OD=．∵∠PDO=90°，PO=1，OD=，∴PD=．∴PM=．∴DM=．∵∠ADM=90°，AD=A0﹣OD=，∴AM===．∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB=BC，∠CAB=60°．∵BM=AB，∴AM=BM．∴CM⊥AB．∵AM=，∴BM=，AB=．∴AC=．∴CM===．∴CM的长度为．10.解答：（1）证明：∵CD是⊙O的直径，∴∠DFC=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AD∥BC，∴∠ADF=∠DFC=90°，∵DE为⊙O的切线，∴DE⊥DC，∴∠EDC=90°，∴∠ADF=∠EDC=90°，∴∠ADE=∠CDF，∵∠A=∠C，∴△ADE∽△CDE；（2）解：∵CF：FB=1：2，∴设CF=x，FB=2x，则BC=3x，∵AE=3EB，∴设EB=y，则AE=3y，AB=4y，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=3x，AB=DC=4y，∵△ADE∽△CDF，∴=，∴=，∵x、y均为正数，∴x=2y，∴BC=6y，CF=2y，在Rt△DFC中，∠DFC=90°，由勾股定理得：DF===2y，∴⊙O的面积为π（DC）2=πDC2=π（4y）2=4πy2，四边形ABCD的面积为BCDF=6y2y=12y2，∴⊙O与四边形ABCD的面积之比为4πy2：12y2=π：3．11.（1）证明：∵，∴∠DPF=180°﹣∠APD=180°﹣所对的圆周角=180°﹣所对的圆周角=所对的圆周角=∠APC．在△PAC和△PDF中，，∴△PAC∽△PDF．（2）解：如图1，连接PO，则由，有PO⊥AB，且∠PAB=45°，△APO、△AEF都为等腰直角三角形．在Rt△ABC中，∵AC=2BC，∴AB2=BC2+AC2=5BC2，∵AB=5，∴BC=，∴AC=2，∴CE=ACsin∠BAC=AC=2=2，AE=ACcos∠BAC=AC=2=4，∵△AEF为等腰直角三角形，∴EF=AE=4，∴FD=FC+CD=（EF﹣CE）+2CE=EF+CE=4+2=6．∵△APO为等腰直角三角形，AO=?AB=，∴AP=．∵△PDF∽△PAC，∴，∴，∴PD=．（3）解：如图2，过点G作GH⊥AB，交AC于H，连接HB，以HB为直径作圆，连接CG并延长交⊙O于Q，∵HC⊥CB，GH⊥GB，∴C、G都在以HB为直径的圆上，∴∠HBG=∠ACQ，∵C、D关于AB对称，G在AB上，∴Q、P关于AB对称，∴，∴∠PCA=∠ACQ，∴∠HBG=∠PCA．∵△PAC∽△PDF，∴∠PCA=∠PFD=∠AFD，∴y=tan∠AFD=tan∠PCA=tan∠HBG=．∵HG=tan∠HAGAG=tan∠BACAG==，∴y==x．12. 解答：解：（1）证明：连接OH，如图①所示．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=∠BAD=90°，BC=AD，AB=CD．∵HP∥AB，∴∠ANH+∠BAD=180°．∴∠ANH=90°．∴HN=PN=HP=．∵OH=OA=，∴sin∠HON==．∴∠HON=60°∵BD与⊙O相切于点H，∴OH⊥BD．∴∠HDO=30°．∴OD=2．∴AD=3．∴BC=3．∵∠BAD=90°，∠BDA=30°．∴tan∠BDA===．∴AB=3．∵HP=3，∴AB=HP．∵AB∥HP，∴四边形ABHP是平行四边形．∵∠BAD=90°，AM是⊙O的直径，∴BA与⊙O相切于点A．∵BD与⊙O相切于点H，∴BA=BH．∴平行四边形ABHP是菱形．（2）△EFG的直角顶点G能落在⊙O上．如图②所示，点G落到AD上．∵EF∥BD，∴∠FEC=∠CDB．∵∠CDB=90°﹣30°=60°，∴∠CEF=60°．由折叠可得：∠GEF=∠CEF=60°．∴∠GED=60°．∵CE=x，∴GE=CE=x．ED=DC﹣CE=3﹣x．∴cos∠GED===．∴x=2．∴GE=2，ED=1．∴GD=．∴OG=AD﹣AO﹣GD=3﹣﹣=．∴OG=OM．∴点G与点M重合．此时△EFG的直角顶点G落在⊙O上，对应的x的值为2．∴当△EFG的直角顶点G落在⊙O上时，对应的x的值为2．（3）①如图①，在Rt△EGF中，tan∠FEG===．∴FG=x．∴S=GEFG=x x=x2．②如图③，ED=3﹣x，RE=2ED=6﹣2x，GR=GE﹣ER=x﹣（6﹣2x）=3x﹣6．∵tan∠SRG===，∴SG=（x﹣2）．∴S△SGR=SGRG=（x﹣2）（3x﹣6）．=（x﹣2）2．∵S△GEF=x2，∴S=S△GEF ﹣S△SGR=x2﹣（x﹣2）2．=﹣x2+6x﹣6．综上所述：当0≤x≤2时，S=x2；当2＜x≤3时，S=﹣x2+6x﹣6．当FG与⊙O相切于点T时，延长FG交AD于点Q，过点F作FK⊥AD，垂足为K，如图④所示．∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∠ABC=∠BAD=90°∴∠AQF=∠CFG=60°．∵OT=，∴OQ=2．∴AQ=+2．∵∠FKA=∠ABC=∠BAD=90°，∴四边形ABFK是矩形．∴FK=AB=3，AK=BF=3﹣x．∴KQ=AQ﹣AK=（+2）﹣（3﹣x）=2﹣2+x．在Rt△FKQ中，tan∠FQK==．∴FK=QK．∴3=（2﹣2+x）．解得：x=3﹣．∵0≤3﹣≤2，∴S=x2=×（3﹣）2=﹣6．∴FG与⊙O相切时，S的值为﹣6．13解答：（1）证明：连结OC、OE，OE交AB于H，如图1，∵E是弧AB的中点，∴OE⊥AB，∴∠EHF=90°，∴∠HEF+∠HFE=90°，而∠HFE=∠CFD，∴∠HEF+∠CFD=90°，∵DC=DF，∴∠CFD=∠DCF，而OC=OE，∴∠OCE=∠OEC，∴∠OCE+∠DCE=∠HEF+∠CFD=90°，∴OC⊥CD，∴直线DC与⊙O相切；（2）解：连结BC，∵E是弧AB的中点，∴弧AE=弧BE，∴∠ABE=∠BCE，而∠FEB=∠BEC，∴△EBF∽△ECB，∴EF：BE=BE：EC，∴EF?EC=BE2=（r）2=r2；（3）解：如图2，连结OA，∵弧AE=弧BE，∴AE=BE=r，设OH=x，则HE=r﹣x，在Rt△OAH中，AH2+OH2=OA2，即AH2+x2=r2，在Rt△EAH中，AH2+EH2=EA2，即AH2+（r﹣x）2=（r）2，∴x2﹣（r﹣x）2=r2﹣（r）2，即得x=r，∴HE=r﹣r=r，在Rt△OAH中，AH===，∵OE⊥AB，∴AH=BH，而F是AB的四等分点，∴HF=AH=，在Rt△EFH中，EF===r，∵EF?EC=r2，∴r?EC=r2，∴EC=r．14. 解：（1）连结O1A、O2B，如图，设⊙O1的半径为r，⊙O2的半径为R，∵⊙O1与⊙O2外切与点D，∴直线O1O2过点D，∴MO2=MD+O2D=4+R，∵直线l与两圆分别相切于点A、B，∴O1A⊥AB，O2B⊥AB，∵tan∠AM01=，∴∠AM01=30°，在Rt△MBO2中，MO2=O2B=2R，∴4+R=2R，解得R=4，即⊙O2的半径为4；（2）∵∠AM02=30°，∴∠MO2B=60°，而O2B=O2D，∴△O2BD为等边三角形，∴BD=O2B=4，∠DBO2=60°，∴∠ABD=30°，∵∠AM01=30°，∴∠MO1A=60°，而O1A=O1D，∴∠O1AD=∠O1DA，∴∠O1AD=∠MO1A=30°，∴∠DAB=60°，∴∠ADB=180°﹣30°﹣60°=90°，在Rt△ABD中，AD=BD=4，AB=2AD=8，∴△ADB内切圆的半径===2﹣2，∴△ADB内切圆的面积=π（2﹣2）2=（16﹣8）π；（3）存在．在Rt△MBO2中，MB=O2B=×4=12，当△MO2P∽△MDB时，=，即=，解得O2P=8；当△MO2P∽△MBD时，=，即=，解得O2P=8，综上所述，满足条件的O2P的长为8或8．15.解：（1）连接PA，如图1所示．∵PO⊥AD，∴AO=DO．∵AD=2，∴OA=．∵点P坐标为（﹣1，0），∴OP=1．∴PA==2．∴BP=CP=2．∴B（﹣3，0），C（1，0）．（2）连接AP，延长AP交⊙P于点M，连接MB、MC．如图2所示，线段MB、MC即为所求作．四边形ACMB是矩形．理由如下：∵△MCB由△ABC绕点P旋转180°所得，∴四边形ACMB是平行四边形．∵BC是⊙P的直径，∴∠CAB=90°．∴平行四边形ACMB是矩形．过点M作MH⊥BC，垂足为H，如图2所示．在△MHP和△AOP中，∵∠MHP=∠AOP，∠HPM=∠OPA，MP=AP，∴△MHP≌△AOP．∴MH=OA=，PH=PO=1．∴OH=2．∴点M的坐标为（﹣2，）．（3）在旋转过程中∠MQG的大小不变．∵四边形ACMB是矩形，∴∠BMC=90°．∵EG⊥BO，∴∠BGE=90°．∴∠BMC=∠BGE=90°．∵点Q是BE的中点，∴QM=QE=QB=QG．∴点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，如图3所示．∴∠MQG=2∠MBG．∵∠COA=90°，OC=1，OA=，∴tan∠OCA==．∴∠OCA=60°．∴∠MBC=∠BCA=60°．∴∠MQG=120°．∴在旋转过程中∠MQG的大小不变，始终等于120°．16．解：（1）如图1，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°．∴AE⊥BC．（2）如图1，∵BF与⊙O相切，∴∠ABF=90°．∴∠CBF=90°﹣∠ABE=∠BAE．∵∠BAF=2∠CBF．∴∠BAF=2∠BAE．∴∠BAE=∠CAE．∴∠CBF=∠CAE．∵CG⊥BF，AE⊥BC，∴∠CGB=∠AEC=90°．∵∠CBF=∠CAE，∠CGB=∠AEC，∴△BCG∽△ACE．（3）连接BD，如图2所示．∵∠DAE=∠DBE，∠DAE=∠CBF，∴∠DBE=∠CBF．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∴BD⊥AF．∵∠DBC=∠CBF，BD⊥AF，CG⊥BF，∴CD=CG．∵∠F=60°，GF=1，∠CGF=90°，∴tan∠F==CG=tan60°=∵CG=，∴CD=．∵∠AFB=60°，∠ABF=90°，∴∠BAF=30°．∵∠ADB=90°，∠BAF=30°，∴AB=2BD．∵∠BAE=∠CAE，∠AEB=∠AEC，∴∠ABE=∠ACE．∴AB=AC．设⊙O的半径为r，则AC=AB=2r，BD=r．∵∠ADB=90°，∴AD=r．∴DC=AC﹣AD=2r﹣r=（2﹣）r=．∴r=2+3．∴⊙O的半径长为2+3．17．解答：解：（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x 2﹣1，直线解析式为y=x+1．联立两个解析式，得：x 2﹣1=x+1，解得：x=﹣1或x=2，当x=﹣1时，y=x+1=0；当x=2时，y=x+1=3，∴A（﹣1，0），B （2，3）．（2）设P （x ，x 2﹣1）．如答图2所示，过点P 作PF∥y 轴，交直线AB 于点F ，则F （x ，x+1）．∴PF=y F ﹣y P =（x+1）﹣（x 2﹣1）=﹣x 2+x+2．S △ABP =S △PFA +S △PFB =PF （xF ﹣xA ）+PF （xB ﹣xF ）=PF （xB ﹣xA ）=PF ∴S△ABP=（﹣x 2+x+2）=﹣（x ﹣）2+当x=时，yP=x2﹣1=﹣．∴△ABP面积最大值为，此时点P坐标为（，﹣）．（3）设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，则E（﹣，0），F（0，1），OE=，OF=1．在Rt△EOF中，由勾股定理得：EF==．令y=x2+（k﹣1）x﹣k=0，即（x+k）（x﹣1）=0，解得：x=﹣k或x=1．∴C（﹣k，0），OC=k．假设存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，如答图3所示，则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，根据圆周角定理，此时∠OQC=90°．设点N为OC中点，连接NQ，则NQ⊥EF，NQ=CN=ON=．∴EN=OE﹣ON=﹣．∵∠NEQ=∠FEO，∠EQN=∠EOF=90°，∴△EQN∽△EOF，∴，即：，解得：k=±， ∵k＞0， ∴k=．∴存在唯一一点Q ，使得∠OQC=90°，此时k=．18． 解：（1）设抛物线为y=a （x ﹣4）2﹣1，∵抛物线经过点A （0，3），∴3=a（0﹣4）2﹣1，； ∴抛物线为；（3分）（2）相交．证明：连接CE ，则CE⊥BD， 当时，x 1=2，x 2=6．A （0，3），B （2，0），C （6，0），对称轴x=4，∴OB=2，AB==，BC=4，∵AB⊥BD，∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBC=90°，∴△AOB∽△BEC， ∴=，即=，解得CE=， ∵＞2， ∴抛物线的对称轴l 与⊙C 相交．（7分）（3）如图，过点P 作平行于y 轴的直线交AC 于点Q ；可求出AC 的解析式为；（8分）设P 点的坐标为（m ，）， 则Q 点的坐标为（m ，）；∴PQ=﹣m+3﹣（m 2﹣2m+3）=﹣m 2+m ．∵S △PAC =S △PAQ +S △PCQ =×（﹣m 2+m ）×6=﹣（m ﹣3）2+；∴当m=3时，△PAC 的面积最大为；此时，P点的坐标为（3，）．（10分）19、【解】：（1）如图1，设⊙O与AB、BC、CA的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，则AD=AF，BD=BE，CE=CF．∵⊙O为△ABC的内切圆，∴OF⊥AC，OE⊥BC，即∠OFC=∠OEC=90°．∵∠C=90°，∴四边形CEOF是矩形，∵OE=OF，∴四边形CEOF是正方形．设⊙O的半径为rcm，则FC=EC=OE=rcm，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，∴AB==5cm．∵AD=AF=AC﹣FC=4﹣r，BD=BE=BC﹣EC=3﹣r，∴4﹣r+3﹣r=5，解得r=1，即⊙O的半径为1cm．（2）如图2，过点P作PG⊥BC，垂直为G．∵∠PGB=∠C=90°，∴PG∥AC．∴△PBG∽△ABC，∴．∵BP=t，∴PG=，BG=．若⊙P与⊙O相切，则可分为两种情况，⊙P与⊙O外切，⊙P与⊙O内切．①当⊙P与⊙O外切时，如图3，连接OP，则OP=1+t，过点P作PH⊥OE，垂足为H．∵∠PHE=∠HEG=∠PGE=90°，∴四边形PHEG是矩形，∴HE=PG，PH=CE，∴OH=OE﹣HE=1﹣，PH=GE=BC﹣EC﹣BG=3﹣1﹣=2﹣．在Rt△OPH中，由勾股定理，，解得t=．②当⊙P与⊙O内切时，如图4，连接OP，则OP=t﹣1，过点O作OM⊥PG，垂足为M．∵∠MGE=∠OEG=∠OMG=90°，∴四边形OEGM是矩形，∴MG=OE，OM=EG，∴PM=PG﹣MG=，OM=EG=BC﹣EC﹣BG=3﹣1﹣=2﹣，在Rt△OPM中，由勾股定理，，解得t=2．综上所述，⊙P与⊙O相切时，t=s或t=2s．20.：（1）如图2，连接OA、OB、OC、OD．∵S=S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD=+++=，∴r=．（2）如图3，过点D作DE⊥AB于E，∵梯形ABCD为等腰梯形，∴AE===5，∴EB=AB﹣AE=21﹣5=16．在Rt△AED中，∵AD=13，AE=5，∴DE=12，∴DB==20．∵S△ABD===126，S△CDB===66，∴===．。

中考数学圆的综合-经典压轴题含答案解析一、圆的综合1．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为⊙O 的弦，AD 平分∠BAC ，交⊙O 于点D ，DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ．（1）判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若AE ＝8，⊙O 的半径为5，求DE 的长．【答案】（1）直线DE 与⊙O 相切（2）4【解析】试题分析：（1）连接OD ，∵AD 平分∠BAC ，∴EAD OAD ∠∠＝，∵OA OD ＝，∴ODA OAD ∠∠＝，∴ODA EAD ∠∠＝，∴EA ∥OD ，∵DE ⊥EA ，∴DE ⊥OD ，又∵点D 在⊙O 上，∴直线DE 与⊙O 相切（2）如图1，作DF ⊥AB ，垂足为F ，∴DFA DEA 90∠∠︒＝＝，∵EAD FAD ∠∠＝，AD AD ＝，∴△EAD ≌△FAD ，∴AF AE 8＝＝，DF DE ＝，∵OA OD 5＝＝，∴OF 3＝，在Rt △DOF 中，22DF 4OD OF -＝＝，∴AF AE 8＝＝ 考点：切线的证明，弦心距和半径、弦长的关系点评：本题难度不大，第一小题通过内错角相等相等证明两直线平行，再由两直线平行推出同旁内角相等．第二小题通过求出两个三角形全等，从而推出对应边相等，接着用弦心距和弦长、半径的计算公式，求出半弦长．2．如图，AB 为O e 的直径，弦//CD AB ，E 是AB 延长线上一点，CDB ADE ∠=∠． ()1DE 是O e 的切线吗？请说明理由；()2求证：2AC CD BE =⋅．【答案】（1）结论：DE 是O e 的切线，理由见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接OD ，只要证明OD DE ⊥即可；（2）只要证明：AC BD =，CDB DBE V V ∽即可解决问题.【详解】()1解：结论：DE 是O e 的切线．理由：连接OD ．CDB ADE ∠=∠Q ，ADC EDB ∴∠=∠，//CD AB Q ，CDA DAB ∴∠=∠，OA OD =Q ，OAD ODA ∴∠=∠，ADO EDB ∴∠=∠，AB Q 是直径，90ADB ∴∠=o ，90ADB ODE ∴∠=∠=o ，DE OD ∴⊥，DE ∴是O e 的切线．()2//CD AB Q ，ADC DAB ∴∠=∠，CDB DBE ∠=∠，AC BD ∴=n n， AC BD ∴=，DCB DAB ∠=∠Q ，EDB DAB ∠=∠，EDB DCB∴∠=∠，∴V∽DBECDBV，CD DB∴=，BD BE2∴=⋅，BD CD BE2∴=⋅．AC CD BE【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，准确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型.3．如图1，以边长为4的正方形纸片ABCD的边AB为直径作⊙O，交对角线AC于点E．（1）图1中，线段AE=；（2）如图2，在图1的基础上，以点A为端点作∠DAM=30°，交CD于点M，沿AM将四边形ABCM剪掉，使Rt△ADM绕点A逆时针旋转（如图3），设旋转角为α（0°＜α＜150°），在旋转过程中AD与⊙O交于点F．①当α=30°时，请求出线段AF的长；②当α=60°时，求出线段AF的长；判断此时DM与⊙O的位置关系，并说明理由；③当α=°时，DM与⊙O相切．【答案】（1）2（2）①2②2，相离③当α=90°时，DM与⊙O相切【解析】（1）连接BE，∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠BAC=45°，∴△AEB是等腰直角三角形，又∵AB=8，∴AE=4；（2）①连接OA、OF，由题意得，∠NAD=30°，∠DAM=30°，故可得∠OAM=30°，∠DAM=30°，则∠OAF=60°，又∵OA=OF，∴△OAF是等边三角形，∵OA=4，∴AF=OA=4；②连接B'F，此时∠NAD=60°，∵AB'=8，∠DAM=30°，∴AF=AB'cos∠DAM=8×=4；此时DM与⊙O的位置关系是相离；③∵AD=8，直径的长度相等，∴当DM与⊙O相切时，点D在⊙O上，故此时可得α=∠NAD=90°．点睛：此题属于圆的综合题，主要是仔细观察每一次旋转后的图形，根据含30°角的直角三角形进行计算，另外在解答最后一问时，关键是判断出点D的位置，有一定难度．4．如图，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，点C在⊙O上，CB∥PO．（1）判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB=6，CB=4，求PC的长．【答案】（1）PC是⊙O的切线，理由见解析；（2）35 2【解析】试题分析：（1）要证PC是⊙O的切线，只要连接OC，再证∠PCO=90°即可．（2）可以连接AC，根据已知先证明△ACB∽△PCO，再根据勾股定理和相似三角形的性质求出PC的长．试题解析：（1）结论：PC是⊙O的切线．证明：连接OC∵CB∥PO∴∠POA=∠B，∠POC=∠OCB∵OC=OB∴∠OCB=∠B∴∠POA=∠POC又∵OA=OC，OP=OP∴△APO≌△CPO∴∠OAP=∠OCP∵PA是⊙O的切线∴∠OAP=90°∴∠OCP=90°∴PC是⊙O的切线．（2）连接AC∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=90°（6分）由（1）知∠PCO=90°，∠B=∠OCB=∠POC∵∠ACB=∠PCO∴△ACB∽△PCO∴∴．点睛：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了勾股定理和相似三角形的性质．5．已知，如图：O1为x轴上一点，以O1为圆心作⊙O1交x轴于C、D两点，交y轴于M、N两点，∠CMD的外角平分线交⊙O1于点E，AB是弦，且AB∥CD，直线DM的解析式为y=3x+3．（1）如图1，求⊙O1半径及点E的坐标．（2）如图2，过E作EF⊥BC于F，若A、B为弧CND上两动点且弦AB∥CD，试问：BF+CF 与AC之间是否存在某种等量关系？请写出你的结论，并证明．（3）在（2）的条件下，EF交⊙O1于点G，问弦BG的长度是否变化？若不变直接写出BG 的长（不写过程），若变化自画图说明理由．【答案】（1）r=5 E（4，5）（2）BF+CF=AC （3）弦BG的长度不变，等于2【解析】分析：（1）连接ED、EC、EO1、MO1，如图1，可以证到∠ECD=∠SME=∠EMC=∠EDC，从而可以证到∠EO1D=∠EO1C=90°．由直线DM的解析式为y=3x+3可得OD=1，OM=3．设⊙O1的半径为r．在Rt△MOO1中利用勾股定理就可解决问题．（2）过点O1作O1P⊥EG于P，过点O1作O1Q⊥BC于Q，连接EO1、DB，如图2．由AB∥DC可证到BD=AC，易证四边形O1PFQ是矩形，从而有O1P=FQ，∠PO1Q=90°，进而有∠EO1P=∠CO1Q，从而可以证到△EPO1≌△CQO1，则有PO1=QO1．根据三角形中位线定理可得FQ=12BD．从而可以得到BF+CF=2FQ=AC．（3）连接EO1，ED，EB，BG，如图3．易证EF∥BD，则有∠GEB=∠EBD，从而有¶BG=¶ED，也就有BG=DE．在Rt△EO1D中运用勾股定理求出ED，就可解决问题．详解：（1）连接ED、EC、EO1、MO1，如图1．∵ME平分∠SMC，∴∠SME=∠EMC．∵∠SME=∠ECD，∠EMC=∠EDC，∴∠ECD=∠EDC，∴∠EO1D=∠EO1C．∵∠EO1D+∠EO1C=180°，∴∠EO1D=∠EO1C=90°．∵直线DM的解析式为y=3x+3，∴点M的坐标为（0，3），点D的坐标为（﹣1，0），∴OD=1，OM=3．设⊙O1的半径为r，则MO1=DO1=r．在Rt△MOO1中，（r﹣1）2+32=r2．解得：r=5，∴OO1=4，EO1=5，∴⊙O1半径为5，点E的坐标为（4，5）．（2）BF+CF=AC．理由如下：过点O1作O1P⊥EG于P，过点O1作O1Q⊥BC于Q，连接EO1、DB，如图2．∵AB∥DC，∴∠DCA=∠BAC，∴¶AD=¶¶BC BD∴，=¶AC，∴BD=AC．∵O1P⊥EG，O1Q⊥BC，EF⊥BF，∴∠O1PF=∠PFQ=∠O1QF=90°，∴四边形O1PFQ是矩形，∴O1P=FQ，∠PO1Q=90°，∴∠EO1P=90°﹣∠PO1C=∠CO1Q．在△EPO1和△CQO1中，111111EO P CO QEPO CQOO E O C∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EPO1≌△CQO1，∴PO1=QO1，∴FQ=QO1．∵QO1⊥BC，∴BQ=CQ．∵CO1=DO1，∴O1Q=12 BD，∴FQ=12BD．∵BF+CF=FQ+BQ+CF=FQ+CQ+CF=2FQ，∴BF+CF=BD=AC．（3）连接EO1，ED，EB，BG，如图3．∵DC是⊙O1的直径，∴∠DBC=90°，∴∠DBC+∠EFB=180°，∴EF∥BD，∴∠GEB=∠EBD，∴¶BG=¶ED，∴BG=DE．∵DO1=EO1=5，EO1⊥DO1，∴DE=52，∴BG=52，∴弦BG的长度不变，等于52．点睛：本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、弧与弦的关系、垂径定理、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的判定与性质、勾股定理等知识，综合性比较强，有一定的难度．而由AB∥DC证到AC=BD是解决第（2）小题的关键，由EG∥DB证到BG=DE是解决第（3）小题的关键．6．如图，△ABC中，∠A=45°，D是AC边上一点，⊙O经过D、A、B三点，OD∥BC．（1）求证：BC与⊙O相切；（2）若OD=15，AE=7，求BE的长．【答案】(1)见解析;(2)18.【解析】分析：（1）连接OB，求出∠DOB度数，根据平行线性质求出∠CBO=90°，根据切线判定得出即可；（2）延长BO交⊙O于点F，连接AF，求出∠ABF，解直角三角形求出BE．详解：（1）证明：连接OB．∵∠A=45°，∴∠DOB=90°．∵OD∥BC，∴∠DOB+∠CBO=180°．∴∠CBO=90°．∴直线BC是⊙O的切线．（2）解：连接BD．则△ODB是等腰直角三角形，∴∠ODB=45°，BD=OD=15，∵∠ODB=∠A，∠DBE=∠DBA，∴△DBE∽△ABD，∴BD2=BE•BA，∴（15）2=（7+BE）BE，∴BE=18或﹣25（舍弃），∴BE=18．点睛：本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形等知识点，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键，题目综合性比较强，难度偏大．7．已知：AB是⊙0直径,C是⊙0外一点,连接BC交⊙0于点D，BD=CD,连接AD、AC．(1)如图1,求证:∠BAD=∠CAD(2)如图2,过点C作CF⊥AB于点F,交⊙0于点E,延长CF交⊙0于点G.过点作EH⊥AG于点H，交AB于点K,求证AK=2OF；(3)如图3,在(2)的条件下,EH交AD于点L,若0K=1,AC=CG,求线段AL的长.图1 图2 图3【答案】(1)见解析(2)见解析(3)12105 【解析】试题分析：（1）由直径所对的圆周角等于90°，得到∠ADB =90°，再证明△ABD ≌△ACD 即可得到结论；（2）连接BE ．由同弧所对的圆周角相等，得到∠GAB =∠BEG ．再证△KFE ≌△BFE ，得到BF =KF =BK ．由OF =OB -BF ，AK =AB -BK ，即可得到结论． （3）连接CO 并延长交AG 于点M ，连接BG ．设∠GAB =α．先证CM 垂直平分AG ，得到AM =GM ，∠AGC +∠GCM =90°．再证∠GAF =∠GCM =α．通过证明△AGB ≌△CMG ，得到BG =GM =12AG ．再证明∠BGC =∠MCG =α．设BF =KF =a ， 可得GF =2a ，AF =4a ． 由OK =1，得到OF =a +1，AK =2（a +1），AF = 3a +2，得到3a +2=4a ，解出a 的值，得到AF ，AB ，GF ，FC 的值．由tanα=tan ∠HAK =12HK AH =， AK =6，可以求出 AH 的长．再由1tan tan 3BAD BCF ∠=∠= ，利用公式tan ∠GAD =tan tan 1tan tan GAF BAD GAF BAD ∠+∠-∠⋅∠，得到∠GAD =45°，则AL =2AH ，即可得到结论．试题解析：解：（1）∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，∴∠ADC =90°．∵BD =CD ，∠BDA =∠CDA ，AD =AD ，∴△ABD ≌△ACD ，∴∠BAD =∠CAD ．（2）连接BE ．∵BG =BG ，∴∠GAB =∠BEG ．∵CF ⊥AB ，∴∠KFE =90°．∵EH ⊥AG ，∴∠AHE =∠KFE =90°，∠AKH =∠EKF ，∴∠HAK =∠KEF =∠BEF ．∵FE =FE ，∠KFE =∠BFE =90°，∴△KFE ≌△BFE ，∴BF =KF =BK ．∵ OF =OB -BF ，AK =AB -BK ，∴AK =2OF ．（3）连接CO 并延长交AG 于点M ，连接BG ．设∠GAB =α．∵AC =CG ， ∴点C 在AG 的垂直平分线上．∵ OA =OG ，∴点O 在AG 的垂直平分线上， ∴CM 垂直平分AG ，∴AM =GM ，∠AGC +∠GCM =90°．∵AF ⊥CG ，∴∠AGC +∠GAF =90°，∴∠GAF =∠GCM =α．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AGB = 90°，∴∠AGB =∠CMG =90°．∵AB =AC =CG ，∴△AGB ≌△CMG ，∴BG =GM =12AG ． 在Rt △AGB 中， 1tan tan 2GB GAB AG α∠=== ． ∵∠AMC =∠AGB = 90°，∴BG ∥CM ， ∴∠BGC =∠MCG =α．设BF =KF =a ， 1tan tan 2BF BGF GF α∠===，∴GF =2a ，1tan tan 2GF GAF AF α∠=== ，AF =4a ．∵OK =1，∴OF =a +1，AK =2OF =2（a +1），∴AF =AK +KF =a +2（a +1）=3a +2，∴3a +2=4a ，∴a =2， AK =6，∴AF =4a =8，AB =AC =CG =10，GF =2a =4，FC =CG -GF =6． ∵tanα=tan ∠HAK =12HK AH =，设KH =m ，则AH =2m ，∴AK 22(2)m m +=6，解得：m =655，∴AH =2m 125．在Rt △BFC 中，1tan 3BF BCF FC ∠== ．∵∠BAD +∠ABD =90°， ∠FBC +∠BCF =90°，∴∠BCF =∠BAD ，1tan tan 3BAD BCF ∠=∠= ，∴tan ∠GAD =tan tan 1tan tan GAF BAD GAF BAD ∠+∠-∠⋅∠=1123111123+=-⨯，∴∠GAD =45°，∴HL=AH ，AL 2AH 12108．四边形ABCD内接于⊙O，点E为AD上一点，连接AC，CB，∠B=∠AEC．（1）如图1，求证：CE=CD；（2）如图2，若∠B+∠CAE=120°，∠ACD=2∠BAC，求∠BAD的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，延长CE交⊙O于点G，若tan∠BAC= 5311，EG=2，求AE的长．【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）7.【解析】试题分析：(1)利用圆的内接四边形定理得到∠CED=∠CDE.(2) 作CH⊥DE于H, 设∠ECH=α，由（1）CE=CD，用α表示∠CAE，∠BAC，而∠BAD=∠BAC+∠CAE.（3）连接AG，作GN⊥AC，AM⊥EG，先证明∠CAG=∠BAC，设NG=53m，可得AN=11m，利用直角n AGM,n AEM，勾股定理可以算出m的值并求出AE长.试题解析：（1）解：证明：∵四边形ABCD内接于⊙O.∴∠B+∠D=180°，∵∠B=∠AEC，∴∠AEC+∠D=180°，∵∠AEC+∠CED=180°，∴∠D=∠CED，∴CE=CD．（2）解：作CH⊥DE于H．设∠ECH=α，由（1）CE=CD，∴∠ECD=2α，∵∠B=∠AEC，∠B+∠CAE=120°，∴∠CAE+∠AEC=120°，∴∠ACE=180°﹣∠AEC﹣∠ACE=60°，∴∠CAE=90°﹣∠ACH=90°﹣（60°+α）=30°﹣α，∠ACD=∠ACH+∠HCD=60°+2α，∵∠ACD=2∠BAC，∴∠BAC=30°+α，∴∠BAD=∠BAC+∠CAE=30°+α+30°﹣α=60°．（3）解：连接AG，作GN⊥AC，AM⊥EG，∵∠CED=∠AEG，∠CDE=∠AGE，∠CED=∠CDE，∴AE =AG ，∴EM=MG =12EG =1， ∴∠EAG =∠ECD =2α，∴∠CAG =∠CAD +∠DAG =30°﹣α+2α=∠BAC ，∵tan ∠BAC =53， ∴设NG=53m ，可得AN =11m ，AG =22AG AM -=14m ， ∵∠ACG =60°，∴CN=5m ，AM =83m ，MG =22AG AM -=2m =1， ∴m =12， ∴CE=CD =CG ﹣EG =10m ﹣2=3， ∴AE =22AM EM +=221+43（）=7．9．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点D ，E 在⊙O 上，连接AE ，DE ，CD ，BE ，CE ，∠EAC+∠BAE=180°，»»AB CD =．（1）判断BE 与CE 之间的数量关系，并说明理由；（2）求证：△ABE ≌△DCE ；（3）若∠EAC=60°，BC=8，求⊙O 的半径．【答案】（1）BE=CE ，理由见解析；（2）证明见解析；（383． 【解析】 分析：（1）由A 、B 、C 、E 四点共圆的性质得：∠BCE+∠BAE=180°，则∠BCE=∠EAC ，所以»»BECE =，则弦相等；（2）根据SSS 证明△ABE ≌△DCE ； （3）作BC 和BE 两弦的弦心距，证明Rt △GBO ≌Rt △HBO （HL ），则∠OBH=30°，设OH=x ，则OB=2x ，根据勾股定理列方程求出x 的值，可得半径的长．本题解析：（1）解：BE=CE ，理由：∵∠EAC+∠BAE=180°，∠BCE+∠BAE=180°，∴»»BECE =， ∴BE=CE ；（2）证明：∵»»AB CD =，∴AB=CD ，∵»»BE CE =，»»AE ED=，∴AE=ED ， 由（1）得：BE=CE ，在△ABE 和△DCE 中，∵AE DE AB CD BE CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△DCE （SSS ）；（3）解：如图，∵过O 作OG ⊥BE 于G ，OH ⊥BC 于H ，∴BH=12BC=12×8=4，BG=12BE ， ∵BE=CE ，∠EBC=∠EAC=60°， ∴△BEC 是等边三角形，∴BE=BC ，∴BH=BG ，∵OB=OB ，∴Rt △GBO ≌Rt △HBO （HL ），∴∠OBH=∠GBO=12∠EBC=30°， 设OH=x ，则OB=2x ， 由勾股定理得：（2x ）2=x 2+42，x=43， ∴OB=2x=833，∴⊙O 的半径为833．点睛：本题是圆的综合题，考查了四点共圆的性质、三角形全等的性质和判定、勾股定理、直角三角形30°的性质，难度适中，第一问还可以利用三角形全等得出对应边相等的结论；第三问作辅助线，利用勾股定理列方程是关键.10．对于平面直角坐标系xOy 中的线段MN 和点P ，给出如下定义：点A 是线段MN 上一个动点，过点A 作线段MN 的垂线l ，点P 是垂线l 上的另外一个动点．如果以点P 为旋转中心，将垂线l 沿逆时针方向旋转60°后与线段MN 有公共点，我们就称点P 是线段MN 的“关联点”．如图，M （1，2），N （4，2）．（1） 在点P 1（1，3），P 2（4，0），P 3（3，2）中，线段MN 的“关联点”有 ； （2） 如果点P 在直线1y x =+上，且点P 是线段MN 的“关联点”，求点P 的横坐标x 的取值范围；（3） 如果点P 在以O （1，1-）为圆心，r 为半径的⊙O 上，且点P 是线段MN 的“关联点”，直接写出⊙O 半径r 的取值范围．【答案】（1）P 1和P 3；（2）3311x -≤≤；（3）333 3.r +≤≤ 【解析】【分析】 （1）先根据题意求出点P 的横坐标的范围，再求出P 点的纵坐标范围即可得出结果； （2）由直线y=x+1经过点M （1，2），得出x≥1，设直线y=x+1与P 4N 交于点A ，过点A 作AB ⊥MN 于B ，延长AB 交x 轴于C ，则在△AMN 中，MN=3，∠AMN=45°，∠ANM=30°，设AB=MB=a ，tan ∠ANM=AB BN ，即tan30°=3a a-，求出a 即可得出结果； （3）圆心O 到P 4的距离为r 的最大值，圆心O 到MP 5的距离为r 的最小值，分别求出两个距离即可得出结果．【详解】（1））如图1所示：∵点A 是线段MN 上一个动点，过点A 作线段MN 的垂线l ，点P 是垂线l 上的另外一个动点，M （1，2），N （4，2），∴点P 的横坐标1≤x≤4，∵以点P 为旋转中心，将垂线l 沿逆时针方向旋转60°后与线段MN 有公共点，当∠MPN=60°时，PM=60MN tan ︒=3=3， 同理P′N=3， ∴点P 的纵坐标为2-3或2+3，即纵坐标2-3≤y≤2+3，∴线段MN 的“关联点”有P 1和P 3；故答案为：P 1和P 3；（2）线段MN 的“关联点”P 的位置如图所示，∵ 直线1y x =+经过点M （1，2），∴ x ≥1.设直线1y x =+与P 4N 交于点A .过点A 作AB ⊥MN 于B ，延长AB 交x 轴于C .由题意易知，在△AMN 中，MN = 3，∠AMN = 45°，∠ANM = 30°.设AB = MB = a ，∴ tan AB ANM BN ∠=，即tan303a a ︒=-， 解得333a -= ∴ 点A 的横坐标为33333111x a --=+=+= ∴331x - 综上 3311x -≤≤（3）点P 在以O （1，-1）为圆心，r 为半径的⊙O 上，且点P 是线段MN 的“关联点”，如图3所示：连接P 4O 交x 轴于点D ，P 4、M 、D 、O 共线，则圆心O 到P 4的距离为r 的最大值，由（1）知：MP 4=NP 53即OD+DM+MP 433圆心O 到MP 5的距离为r 的最小值，作OE ⊥MP 5于E ，连接OP 5，则OE 为r 的最小值，MP 5225MN NP +223(3)+3OM=OD+DM=1+2=3， △OMP 5的面积=12OE•MP 5=12OM•MN ，即12312×3×3， 解得：33 ∴3323 【点睛】本题是圆的综合题，考查了旋转、直角三角形的性质、勾股定理、最值等知识，熟练掌握“关联点”的含义，作出关于MN 的“关联点”图是关键．11．如图1，已知⊙O 是ΔADB 的外接圆，∠ADB 的平分线DC 交AB 于点M ，交⊙O 于点C ，连接AC ，BC ．（1）求证：AC=BC ；（2）如图2，在图1 的基础上做⊙O 的直径CF 交AB 于点E ，连接AF ，过点A 作⊙O 的切线AH ，若AH//BC ，求∠ACF 的度数；（3）在（2）的条件下，若ΔABD 的面积为63ΔABD 与ΔABC 的面积比为2：9，求CD 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）30°；（3）233【解析】分析：（1）运用“在同圆或等圆中，弧相等，所对的弦相等”可求解；（2）连接AO并延长交BC于I交⊙O于J,由AH是⊙O的切线且AH∥BC得AI⊥BC，易证∠IAC=30°，故可得∠ABC=60°=∠F=∠ACB，由CF是直径可得∠ACF的度数；（3）过点D作DG⊥AB ，连接AO，知ABC为等边三角形，求出AB、AE的长，在RtΔAEO 中，求出AO的长，得CF的长，再求DG 的长，运用勾股定理易求CD的长.详解：（1）∵DC平分∠ADB，∴∠ADC=∠BDC，∴AC=BC．（2）如图，连接AO并延长交BC于I交⊙O于J∵AH是⊙O的切线且AH∥BC，∴AI⊥BC，∴BI=IC，∵AC=BC，∴IC=1AC，2∴∠IAC=30°，∴∠ABC=60°=∠F=∠ACB．∵FC是直径，∴∠FAC=90°，∴∠ACF=180°-90°-60°=30°．（3）过点D 作DG AB ⊥，连接AO由（1）（2）知ABC 为等边三角形∵∠ACF=30°，∴AB CF ⊥，∴AE=BE ， ∴2ΔABC 33S AB == ∴AB=3 ∴33AE =在RtΔAEO 中，设EO=x ，则AO=2x ，∴222AO AE OE =+，∴()(222233x x =+，∴x =6，⊙O 的半径为6，∴CF=12． ∵ΔABD 11636322S AB DG DG =⨯⨯=⨯= ∴DG=2．如图，过点D 作DG CF '⊥,连接OD ．∵AB CF ⊥,DG AB ⊥，∴CF//DG ，∴四边形G ′DGE 为矩形，∴2G E '=， 63211CG G E CE +=++'=='，在RtΔOG D '中，5,6OG OD ='=， ∴11DG '= ∴2221111233CD DG CG =++=''点睛：本题是一道圆的综合题.考查了圆的基本概念，垂径定理，勾股定理，圆周角定理等相关知识.比较复杂，熟记相关概念是解题关键.12．如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD．延长PD 交圆的切线BE于点E(1)判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；(2)如果∠BED=60°，PD=3，求PA的长；(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°，进而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直线PD为⊙O的切线；（2）根据BE是⊙O的切线，则∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD为⊙O的切线，得∠PDO=90°，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA；（3）根据题意可证得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，由AB是圆O的直径，得∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，由圆内接四边形的性质得出x 的值，可得出△BDE是等边三角形．进而证出四边形DFBE为菱形．【详解】（1）直线PD为⊙O的切线，理由如下：如图1，连接OD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO+∠BDO=90°，又∵DO=BO，∴∠BDO=∠PBD，∵∠PDA=∠PBD，∴∠BDO=∠PDA，∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD，∵点D在⊙O上，∴直线PD为⊙O的切线；（2）∵BE是⊙O的切线，∴∠EBA=90°，∵∠BED=60°，∴∠P=30°，∵PD为⊙O的切线，∴∠PDO=90°，在Rt△PDO中，∠P=30°，∴0 tan30ODPD=，解得OD=1，∴PO，∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1；（3）如图2，依题意得：∠ADF=∠PDA，∠PAD=∠DAF，∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，∵四边形AFBD内接于⊙O，∴∠DAF+∠DBF=180°，即90°+x+2x=180°，解得x=30°，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°，∵BE、ED是⊙O的切线，∴DE=BE，∠EBA=90°，∴∠DBE=60°，∴△BDE是等边三角形，∴BD=DE=BE，又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°，∴△BDF是等边三角形，∴BD=DF=BF，∴DE=BE=DF=BF，∴四边形DFBE为菱形.【点睛】本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档题，难度较大．13．如图，已知AB 是⊙O 的直径，P 是BA 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，CD ⊥AB ，垂足为D ．（1）求证：∠PCA ＝∠ABC ；（2）过点A 作AE ∥PC 交⊙O 于点E ，交CD 于点F ，交BC 于点M ，若∠CAB ＝2∠B ，CF 3【答案】（1）详见解析；（2）6334π-. 【解析】【分析】（1）如图，连接OC ，利用圆的切线的性质和直径对应的圆周角是直角可得∠PCA=∠OCB ，利用等量代换可得∠PCA=∠ABC.（2）先求出△OCA 是等边三角形，在利用三角形的等边对等角定理求出FA=FC 和CF=FM,然后分别求出AM 、AC 、MO 、CD 的值，分别求出0A E S ∆、BOE S 扇形 、ABM S ∆ 的值，利用0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形，然后通过计算即可解答.【详解】解：（1）证明：连接OC ，如图，∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC,∴∠PCA+∠ACO=90º,∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ACO+OCB=90º∴∠PCA=∠OCB,∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB,∴∠PCA=∠ABC；（2）连接OE，如图，∵△ACB中，∠ACB＝90º,∠CAB＝2∠B,∴∠B＝30º,∠CAB＝60º,∴△OCA是等边三角形，∵CD⊥AB,∴∠ACD+∠CAD＝∠CAD＋∠ABC＝90º,∴∠ACD＝∠B＝30º,∵PC∥AE,∴∠PCA＝∠CAE＝30º,∴FC=FA,同理，CF＝FM,∴AM＝2CF=23,Rt△ACM中，易得AC=23×32=3＝OC,∵∠B＝∠CAE＝30º,∴∠AOC=∠COE=60º,∴∠EOB=60º,∴∠EAB=∠ABC=30º,∴MA=MB,连接OM,EG⊥AB交AB于G点，如图所示，∵OA=OB,∴MO⊥AB,∴MO＝3∵△CDO≌△EDO(AAS)，∴332∴1332ABM S AB MO ∆=⨯=, 同样，易求93AOE S ∆=， 260333602BOE S ππ⨯==扇形 ∴0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形=933633332ππ-+-=. 【点睛】本题考查了切线的性质、解直角三角形、扇形面积和识图的能力，综合性较强，有一定难度，熟练掌握定理并准确识图是解题的关键.14．如图1，等腰直角△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，过点A ，C 的圆交AB 于点D ，交BC 于点E ，连结DE（1）若AD=7，BD=1，分别求DE ，CE 的长（2）如图2，连结CD ，若CE=3，△ACD 的面积为10，求tan ∠BCD（3）如图3，在圆上取点P 使得∠PCD=∠BCD （点P 与点E 不重合），连结PD ，且点D 是△CPF 的内心①请你画出△CPF ，说明画图过程并求∠CDF 的度数②设PC=a ，PF=b ，PD=c ，若（a-2c ）（b-2c ）=8，求△CPF 的内切圆半径长．【答案】（1）DE=1，CE=322）tan ∠BCD=14；（3）①135°；②2. 【解析】【分析】 （1）由A 、C 、E 、D 四点共圆对角互补为突破口求解；（2）找∠BDF 与∠ODA 为对顶角，在⊙O 中，∠COD=2∠CAD ，证明△OCD 为等腰直角三角形，从而得到∠EDC+∠ODA=45°，即可证明∠CDF=135°；（3）过点D 做DH CB ⊥于点H ，以D 为圆心，DH 为半径画圆，过点P 做D e 切线PF 交CB 的延长线于点F ，结合圆周角定理得出∠CPD=∠CAD=45°，再根据圆的内心是三角形三个内角角平分线的交点，得出∠CPF=90°，然后根据角平分线性质得出114522DCF CFD PCF PFC ∠+∠=∠+∠=︒，最后再根据三角形内角和定理即可求解；证明∠DCF+∠CFD=45°，从而证明∠CPF是直角，再求证四边形PKDN是正方形，最后以△PCF面积不变性建立等量关系，结合已知（a-2c）（b-2c）=8，消去字母a，b求出c值，即求出△CPF的内切圆半径长为22c．【详解】（1）由图可知：设BC=x．在Rt△ABC中，AC=BC．由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，∵AB=AD+BD，AD=7，BD=1，∴x2+x2=82，解得：x=42．∵⊙O内接四边形，∠ACD=90°，∴∠ADE=90°，∴∠EDB=90°，∵∠B=45°，∴△BDE是等腰直角三形．∴DE=DB，又∵DB=1，∴DE=1，又∵CE=BC-BE，∴CE=42232-=．（2）如图所示：在△DCB中过点D作DM⊥BE，设BE=y，则DM=12 y，又∵CE=3，∴BC=3+y，∵S △ACB =S ACD +S DCB ， ∴()1114242103y y 222⨯⨯=+⨯+⨯， 解得：y=2或y=-11（舍去）．∴EM=1，CM=CE+ME=1+3=4，又∵∠BCD=∠MCD ，∴tan ∠BCD=tan ∠MCD ， 在Rt △DCM 中，tan ∠MCD=DM CM =14， ∴tan ∠BCD=14． （3）①如下图所示：过点D 做DH CB ⊥于点H ，以D 为圆心，DH 为半径画圆，过点P 做D e 切线PF 交CB 的延长线于点F ．∵∠CAD=45°，∴∠CPD=∠CAD=45°，又∵点D 是CPF ∆的内心，∴PD 、CD 、DF 都是角平分线，∴∠FPD=∠CPD =45°，∠PCD=∠DCF ，∠PFD=∠CFD∴∠CPF=90°∴∠PCF+∠PFC=90°∴114522DCF CFD PCF PFC ∠+∠=∠+∠=︒ ∴∠CDF=180°-∠DCF-∠CFD F=90°+45°=135°，即∠CDF 的度数为135°．②如下图所示过点D 分别作DK ⊥PC ，DM ⊥CF ，DN ⊥PF 于直线PC ，CF 和PF 于点K ，M ，N 三点， 设△PCF 内切圆的半径为m ，则DN=m ，∵点D 是△PCF 的内心，∴DM=DN=DK ，又∵∠DCF+∠CFD+∠FDC=180°，∠FDC=45°，∴∠DCF+∠CFD=45°，又∵DC ，DF 分别是∠PCF 和∠PFC 的角平分线，∴∠PCF=2∠DCF ，∠PFC=2∠DFC ，∴∠PCF+∠PFC=90°，∴∠CPF=90°．在四边形PKDN 中，∠PND=∠NPK=∠PKD=90°，∴四边形PKDN 是矩形，又∵KD=ND ，∴四边形PKDN 是正方形．又∵∠MBD=∠BDM=45°，∠BDM=∠KDP ，∴∠KDP=45°．∵PC=a ，PF=b ，PD=c ，∴2， ∴NF=2b -，CK=2a -， 又∵CK=CM ，FM=FN ，CF=CM+FM ，∴CF=a b 2c +，又∵S △PCF =S △PDF +S △PDC +S △DCF ， ∴112121ab a c b c (a b 2222222=⨯+⨯++-）×2c 2， 化简得：)22a b c c +-------（Ⅰ），又∵若（2c ）（2c ）=8 化简得：()2ab 2c a b 2c 8++=------（Ⅱ）， 将（Ⅰ）代入（Ⅱ）得：c 2=8，解得：c 22=，或c 22=-（舍去），∴m=22c 22222=⨯=， 即△CPF 的内切圆半径长为2．【点睛】 本题考查圆的内接四边形性质，圆的内心，圆心角、圆周角，同弧（或等弧）之间的相互关系，同时也考查直角三角形，勾股定理，同角或等角的三角函数值相等和三角形的面积公式，正方形，对顶角和整式的运算等知识点；难点是作辅助线和利用等式求△CPF 的内切圆半径长．15．如图，AB 为⊙O 的直径，BC 为⊙O 的弦，过O 点作OD ⊥BC ，交⊙O 的切线CD 于点D ，交⊙O 于点E ，连接AC 、AE ，且AE 与BC 交于点F ．（1）连接BD ，求证：BD 是⊙O 的切线；（2）若AF ：EF=2：1，求tan ∠CAF 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）33. 【解析】【分析】 （1）根据全等三角形的性质得到∠OBD=∠OCD=90°，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）根据已知条件得到AC ∥DE ，设OD 与BC 交于G ，根据平行线分线段成比例定理得到AC ：EG=2：1，EG=12AC ，根据三角形的中位线的性质得到OG=12AC 于是得到AC=OE ，求得∠ABC=30°，即可得到结论．【详解】证明：（1）∵OC=OB ，OD ⊥BC ，∴∠COD=∠BOD ，在△COD 与△BOD 中， OC OB COD BOD OD OD ＝＝＝⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△COD≌△BOD，∴∠OBD=∠OCD=90°，∴BD是⊙O的切线；（2）解：∵AB为⊙O的直径，AC⊥BC，∵OD⊥CB，∴AC∥DE，设OD与BC交于G，∵OE∥AC，AF：EF=2：1，∴AC：EG=2：1，即EG=12AC，∵OG∥AC，OA=OB，∴OG=12AC，∵OG+GE=12AC+12AC=AC，∴AC=OE，∴AC=12AB，∴∠ABC=30°，∴∠CAB=60°，∵¼¼CE BE，∴∠CAF=∠EAB=12∠CAB=30°，∴tan∠CAF=tan30°3【点睛】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，三角函数的定义，正确的识别图形是解题的关键．。

2024年中考数学高频压轴题训练——圆-动点问题1．“同弧或等弧所对的圆周角相等”，利用这个推论可以解决很多数学问题．（1）【知识理解】如图1，圆O 的内接四边形ACBD 中，60ABC ∠=︒，BC AC =，①BDC ∠=；DAB ∠DCB ∠（填“>”，“=”，“<”）②将D 点绕点B 顺时针旋转60︒得到点E ，则线段DB DC DA ，，的数量关系为．（2）【知识应用】如图2，AB 是圆O 的直径，1tan 2ABC ∠=，猜想DA DB DC ，，的数量关系，并证明；（3）【知识拓展】如图3，已知2AB =，A B ，分别是射线DA DB ，上的两个动点，以AB 为边往外构造等边ABC ，点C 在MDN ∠内部，若120D ∠=︒，直接写出四边形ADBC 面积S 的取值范围．2．如图1，对于PMN 的顶点P 及其对边MN 上的一点Q ，给出如下定义：以P 为圆心，PQ 为半径的圆与直线MN 的公共点都在线段MN 上，则称点Q 为PMN 关于点P 的内联点．在平面直角坐标系xOy 中：（1）如图2，已知点(70)A ，，点B 在直线1y x =+上．①若点(34)B ，，点(30)C ，，则在点O ，C ，A 中，点是AOB 关于点B 的内联点；②若AOB 关于点B 的内联点存在，求点B 纵坐标n 的取值范围；（2）已知点(20)D ，，点(42)E ，，将点D 绕原点O 旋转得到点F ．若EOF 关于点E 的内联点存在，直接写出点F 横坐标m 的取值范围．3．在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于点A 和线段BC ，给出如下定义：若将线段BC 绕点A 旋转可以得到O 的弦B C ''（B C ''，分别是B C ，的对应点），则称线段BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”．（1）如图，点112233A B C B C B C ，，，，，，的横､纵坐标都是整数．在线段112233B C B C B C ，，中，O 的以点A 为中心的“关联线段”是；（2）ABC 是边长为1的等边三角形，点()0A t ，，其中0t ≠．若BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，求t 的值；（3）在ABC 中，12AB AC ==，．若BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，直接写出OA 的最小值和最大值，以及相应的BC 长．4．已知：点C 为⊙O 的直径AB 上一动点，过点C 作CD ⊥AB ，交⊙O 于点D 和点E ，连接AD 、BD ，∠DBA 的角平分线交⊙O 于点F ．（1）若DF ＝BD ，求证：GD ＝GB ；（2）若AB ＝2cm ，在（1）的条件下，求DG 的值；（3）若∠ADB 的角平分线DM 交⊙O 于点M ，交AB 于点N ．当点C 与点O 重合时，AD BD DM+＝；据此猜想，当点C 在AB （不含端点）运动过程中，AD BD DM +的值是否发生改变？若不变，请求其值；若改变，请说明理由．5．在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于ABC 和直线l 给出如下定义：若ABC 的一条边关于直线l 的对称线段PQ 是O 的弦，则称ABC 是O 的关于直线l 的“关联三角形”，直线l 是“关联轴”．（1）如图1，若ABC 是O 的关于直线l 的“关联三角形”，请画出ABC 与O 的“关联轴”（至少画两条）；（2）若ABC 中，点A 坐标为(23)，，点B 坐标为(41)，，点C 在直线3y x =-+的图像上，存在“关联轴l ”使ABC 是O 的关联三角形，求点C 横坐标的取值范围；（3）已知A ，将点A 向上平移2个单位得到点M ，以M 为圆心MA 为半径画圆，B ，C 为M 上的两点，且2AB =（点B 在点A 右侧），若ABC 与O 的关联轴至少有两条，直接写出OC 的最小值和最大值，以及OC 最大时AC 的长．6．如图，在⊙O 中，AB 为弦，CD 为直径，且AB ⊥CD ，垂足为E ，P 为 AC 上的动点（不与端点重合），连接PD ．（1）求证：∠APD ＝∠BPD ；（2）利用尺规在PD 上找到点I ，使得I 到AB 、AP 的距离相等，连接AD （保留作图痕迹，不写作法）．求证：∠AIP+∠DAI ＝180°；（3）在（2）的条件下，连接IC 、IE ，若∠APB ＝60°，试问：在P 点的移动过程中，IC IE 是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知线段AB 和点P ，给出如下定义：若PA PB =且点P 不在线段AB 上，则称点P 是线段AB 的等腰顶点．特别地，当90APB ∠≥︒时，则称点P 是线段AB 的非锐角等腰顶点．（1）已知点(20)A ，，(42)B ，．①在点(40)C ，，(31)D ，，(15)E -，，(05)F ，中，是线段AB 的等腰顶点的是▲；②若点P 在直线3(0)y kx k =+≠上，且点P 是线段AB 的非锐角等腰顶点，求k 的取值范围；（2）直线33y x =-+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ．⊙P 的圆心为(0)P t ，，半径为，若⊙P 上存在线段MN 的等腰顶点，请直接写出t 的取值范围．8．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，T（0，t）为y轴上一点，P为平面上一点．给出如下定义：若在⊙O上存在一点Q，使得△TQP是等腰直角三角形，且∠TQP＝90°，则称点P为⊙O的“等直点”，△TQP为⊙O的“等直三角形”．如图，点A，B，C，D的横、纵坐标都是整数．（1）当t＝2时，在点A，B，C，D中，⊙O的“等直点”是；（2）当t＝3时，若△TQP是⊙O“等直三角形”，且点P，Q都在第一象限，求CPOQ的值．9．综合与实践动手操作利用正方形纸片的折叠开展数学活动．探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法．如图1，点E 为正方形ABCD 的AB 边上的一个动点，3AB =，将正方形ABCD 对折，使点A 与点B 重合，点C 与点D 重合，折痕为MN ．思考探索（1）将正方形ABCD 展平后沿过点C 的直线CE 折叠，使点B 的对应点B '落在MN 上，折痕为EC ，连接DB '，如图2．①点B '在以点E 为圆心，的长为半径的圆上；②B M '=；③DB C ' 为三角形，请证明你的结论．（2）拓展延伸当3AB AE =时，正方形ABCD 沿过点E 的直线l （不过点B ）折叠后，点B 的对应点B '落在正方形ABCD 内部或边上．①ABB ' 面积的最大值为；②连接AB '，点P 为AE 的中点，点Q 在AB '上，连接PQ AQP AB E ∠=∠'，，则2B C PQ '+的最小值为．10．在平面直角坐标系xOy 中，过⊙T （半径为r ）外一点P 引它的一条切线，切点为Q ，若0＜PQ≤2r ，则称点P 为⊙T 的伴随点．（1）当⊙O 的半径为1时，①在点A(4，0)，B(0，)，C(1，)中，⊙O 的伴随点是▲；②点D 在直线y ＝x+3上，且点D 是⊙O 的伴随点，求点D 的横坐标d 的取值范围；（2）⊙M 的圆心为M(m ，0)，半径为2，直线y ＝2x ﹣2与x 轴，y 轴分别交于点E ，F ．若线段EF 上的所有点都是⊙M 的伴随点，直接写出m 的取值范围．11．定义：在平面直角坐标系xOy 中，点P 为图形M 上一点，点Q 为图形N 上一点．若存在OP OQ =，则称图形M 与图形N 关于原点O “平衡”．（1）如图，已知⊙A 是以()1,0为圆心，2为半径的圆，点()1,0C -，()2,1D -，()3,2E ．①在点C ，D ，E 中，与⊙A 关于原点O “平衡”的点是；②点H 为直线y x =-上一点，若点H 与⊙A 关于原点O “平衡”，点H 的横坐标的取值范围为：；（2）如图，已知图形G 是以原点O 为中心，边长为2的正方形．⊙K 的圆心在x 轴上，半径为2．若⊙K 与图形G 关于原点O “平衡”，请直接写出圆心K 的横坐标的取值范围．12．阅读下列材料，并按要求解答相关问题：【思考发现】根据直径所对的圆周角是直角，我们可以推出“如果一条定边所对的角始终为直角，那么所有满足条件的直角顶点组成的图形是以定边为直径的圆或圆弧（直径的两个端点除外）”这一正确的结论．如图1，若AB 是一条定线段，且90APB ∠=︒，则所有满足条件的直角顶点P 组成的图形是定边AB 为直径的O （直径两端点A 、B 除外）（1）已知：如图2，四边形ABCD 是边长为8的正方形，点E 从点B 出发向点C 运动，同时点F 从点C 出发以相同的速度向点D 运动，连接AE ，BF 相交于点P ．①当点E 从点B 运动到点C 的过程中，APB ∠的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请直接写出APB ∠的度数．②当点E 从点B 运动到点C 的过程中，点P 运动的路径是（）A ．线段；B ．弧；C ．半圆；D ．圆③点P 运动的路经长是▲．（2）已知：如图3，在图2的条件下，连接CP ，请直接写出E 、F 运动过程中，CP 的最小值．13．对于平面内的图形1G 和图形2G ，记平面内一点P 到图形1G 上各点的最短距离为1d ，点P 到图形2G 上各点的最短距离为2d ，若12d d =，就称点P 是图形1G 和图形2G 的一个“等距点”．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()60A ，，(0B ．（1）在()30R ，，()20S ，，(1T 三点中，点A 和点B 的等距点是；（2）已知直线2y =-．①若点A 和直线2y =-的等距点在x 轴上，则该等距点的坐标为▲；②若直线y a =上存在点A 直线2y =-的等距点，求实数a 的取值范围；（3）记直线AB 为直线1l ，直线2l ：33y x =-，以原点O 为圆心作半径为r 的O ．若O 上有m 个直线1l 和直线2l 的等距点，以及n 个直线1l 和y 轴的等距点（0m ≠，0n ≠），求m n ≠时，求r 的取值范围．14．如图，平面上存在点P 、点M 与线段AB ．若线段AB 上存在一点Q ，使得点M 在以PQ 为直径的圆上，则称点M 为点P 与线段AB 的共圆点．已知点P （0，1），点A （﹣2，﹣1），点B （2，﹣1）．（1）在点O （0，0），C （﹣2，1），D （3，0）中，可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是；（2）点K 为x 轴上一点，若点K 为点P 与线段AB 的共圆点，请求出点K 横坐标x K 的取值范围；（3）已知点M （m ，﹣1），若直线y ＝12x +3上存在点P 与线段AM 的共圆点，请直接写出m 的取值范围．15．如图，在ABC 中，AB BC =，30CAB ∠=︒，8AC =，半径为2的O 从点A 开始（如图1）沿直线AB 向右滚动，滚动时始终与直线AB 相切（切点为D ），当O 与ABC 只有一个公共点时滚动停止，作OG AC ⊥于点G ．（1）图1中，O 在AC 边上截得的弦长AE =；（2）当圆心落在AC 上时，如图2，判断BC 与O 的位置关系，并说明理由．（3）在O 滚动过程中，线段OG 的长度随之变化，设AD x =，OG y =，求出y 与x 的函数关系式，并直接写出x 的取值范围．16．在平面直角坐标系xOy 中，给出如下定义：若点P 在图形M 上，点Q 在图形N 上，称线段PQ 长度的最小值为图形M ，N 的“近距离”，记为d(M ，N)，特别地，若图形M ，N 有公共点，规定d(M ，N)＝0．已知：如图，点A(2-，0)，B(0，．（1）如果⊙O 的半径为2，那么d(A ，⊙O)＝，d(B ，⊙O)＝．（2）如果⊙O 的半径为r ，且d （⊙O ，线段AB ）=0，求r 的取值范围；（3）如果C(m ，0)是x 轴上的动点，⊙C 的半径为1，使d （⊙C ，线段AB ）<1，直接写出m 的取值范围．17．在平面直角坐标系xOy 中，对于点()P m n ，，我们称直线y mx n =+为点P 的关联直线.例如，点()24P ，的关联直线为24y x =+．（1）已知点()12A ，．①点A 的关联直线为；②若O 与点A 的关联直线相切，则O 的半径为；（2）已知点()02C ，，点()0.D d ，点M 为直线CD 上的动点．①当2d =时，求点O 到点M 的关联直线的距离的最大值；②以()11T -，为圆心，3为半径作.T 在点M 运动过程中，当点M 的关联直线与T 交于E ，F 两点时，EF 的最小值为4，请直接写出d 的值．18．在平面直角坐标系xOy 中，给定圆C 和点P ，若过点P 最多可以作出k 条不同的直线，且这些直线被圆C 所截得的线段长度为正整数，则称点P 关于圆C 的特征值为.k 已知圆O 的半径为2，（1）若点M 的坐标为()11，，则经过点M 的直线被圆O 截得的弦长的最小值为，点M 关于圆O 的特征值为；（2）直线y x b =+分别与x ，y 轴交于点A ，B ，若线段AB 上总存在关于圆O 的特征值为4的点，求b 的取值范围；（3）点T 是x 轴正半轴上一点，圆T 的半径为1，点R ，S 分别在圆O 与圆T 上，点R 关于圆T 的特征值记为r ，点S 关于圆O 的特征值记为.s 当点T 在x 轴正轴上运动时，若存在点R ，S ，使得3r s +=，直接写出点T 的横坐标t 的取值范围．答案解析部分1．【答案】（1）60︒；=；DC DB DA=+（2）解：在AB 上取一点E ，使ADE BDC ∠=∠，如图所示：∵AB 是圆O 的直径，1tan 2ABC ∠=，∴1tan 2AC ABC BC BC =∠⋅=，∴在Rt ACB 中，52AB BC ==，∵ BD BD =，∴DAB DCB ∠=∠，∵ADE BDC ∠=∠，∴ADE CDB ∽，∴ADAECD CB =，∴AD CB CD AE ⋅=⋅，∵ AD AD =，∴DBA DCA ∠=∠，∵ADE CDE CDB CDE ∠-∠=∠-∠，即ADC BDE ∠=∠，∴BDE CDA ∽，∴BDBECD AC =，∴BD AC CD BE ⋅=⋅，∴()AD CB AC BD CD AE CD BE CD AE BE CD AB⋅+⋅=⋅+⋅=⋅+=⋅，∴AB CD AC DB AD BC ⋅=⋅+⋅，∴122BC CD BC DB AD BC ⋅=⋅+⋅，∴5122CD DB AD ⋅=⋅+，∴5122CD DB AD =+，即2DB AD =+，故答案为：2DB AD =+．（3）解：∵A B ，分别是射线DA DB ，上的两个动点，120D ∠=︒，ABC 是等边三角形，∴四边形ADBC 的两个对角180ADB ACB ∠+∠=︒，∴构造四边形ADBC 的外接圆，∴根据四边形外接圆的性质可得：当点A 和点D 重合时，四边形ADBC 面积S 最小；当CD AB ⊥时，四边形ADBC 面积S 最大，①当点A 和点D 重合时，四边形ADBC 面积S 最小，∵CBD 时等边三角形，且2AB =，∴60CBD ∠=︒，2AB BD BC ===∴1sin 602CBD S BC BD =⋅⋅⋅= ，②当CD AB ⊥时，四边形ADBC 面积S 最大，∵CBD 时等边三角形，且2AB =，∴30ACD ∠=︒，2AC =，∴tan 233AD ACD AC =∠⋅==，∴11232322233ADC S AD DC =⋅⋅=⨯= ，∴23ADC ADBC S S == 四边形；433S <≤．2．【答案】（1）解：①O ，C ②当点B 的坐标为（0，1）时，如图，此时以BO 为半径的B 与线段OA 相切于点O ，∴点O 是OAB 关于点B 的内联点；当点B 移动到在y 轴左侧时，作图发现B 与x 轴有相交，且有一个交点不在线段OA 上，∴不再有OAB 关于点B 的内联点；当点B 的坐标为（7，8）时，以BA 为半径的B 与x 轴相切于点A ，∴点A 是OAB 关于点B 的内联点；当点B 直线x=7的右侧时，以BA 为半径的B 与x 轴相交，且有一个交点不在线段OA 上∴不再有OAB 关于点B 的内联点；综上所述，若AOB 关于点B 的内联点存在，求点B 纵坐标n 的取值范围为18n ≤≤；（2）80m 555m -≤≤≤≤或3．【答案】（1）22B C （2）解：由题意可得：当BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”时，则有AB C '' 是等边三角形，且边长也为1，当点A 在y 轴的正半轴上时，如图所示：设B C ''与y 轴的交点为D ，连接OB '，易得B C y ''⊥轴，∴12B D DC ''==，∴32OD ==，32==，∴OA =，∴t =；当点A 在y 轴的正半轴上时，如图所示：同理可得此时的OA =，∴t =；（3）当1min OA =时，此时BC =；当2max OA =时，此时2BC =．4．【答案】（1）证明：∵CD ⊥直径AB ，∴ BDBE =，∵DF ＝BD ，∴ DFBD =，∴ BEDF =，∴∠1＝∠2，∴DG ＝BG（2）解：∠DBA 的角平分线交⊙O 于点F ，∴∠2＝∠3，由（1）知，∠1＝∠2，∴∠1＝∠2＝∠3，∵∠BCD ＝90°，∴∠1+∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠2＝∠3＝30°，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠4＝90°﹣∠2﹣∠3＝30°，∵AB ＝2，∴BD ＝1，在Rt △BCD 中，∠1＝30°，∴BC ＝12BD ＝12，在Rt △BCG 中，∠3＝30°，∴CG ＝＝6，∴BG ＝2CG ＝33，由（1）知，DG ＝BG ＝33（3）5．【答案】（1）解：如图1，作BM ⊥x 轴，垂足为M ，根据题意AB=AE=EF=BF=，且∠EFO=∠BFM=45°，∴∠EFB=90°，∴四边形ABFE 是正方形，∴边AE ，BF 的中点所在直线就是ABC 与O 的一条“关联轴”；∵O 的半径为1，∴，且∠EFG=90°，∴四边形EFGH 是正方形，∵∠EFG+∠EFB=180°，∴B 、F 、G 三点共线，∴直线EF 是ABC 与O 的一条“关联轴”．（2）解：如图2，根据A （2，3），B （4，1），C （4，1），计算2=，故AB 不能落在圆的内部；过点A 作AN ⊥y 轴，垂足为N ，则AN=2，等于圆的直径，存在“关联轴l ”使ABC 是O 的关联三角形，此时0C x =；作点B 关于x 轴的对称点P ，此时BP=2，等于圆的直径，存在“关联轴l ”使ABC 是O 的关联三角形，此时4C x =，综上所述，点C 横坐标的范围是04C x ≤≤．（3）解：OC 的最小值为2-；OC 最大，根据勾股定理，AC=4.6．【答案】（1）证明：∵直径CD ⊥弦AB ，∴ AD BD=，∴∠APD=∠BPD ；（2）解：如图，作∠BAP 的平分线，交PD 于I ，证：∵AI 平分∠BAP ，∴∠PAI=∠BAI ，∴∠AID=∠APD+∠PAI=∠APD+BAI ，∵ AD BD=，∴∠DAB=∠APD ，∴∠DAI=∠DAB+∠BAI=∠APD+∠BAI ，∴∠AID=∠DAI ，∵∠AIP+∠DAI=180°，∴∠AIP+∠DAI=180°；（3）解：如图2，连接BI ，AC ，OA ，OB ，∵AI 平分∠BAP ，PD 平分∠APB ，∴BI 平分∠ABP ，∠BAI=12∠BAP ，∴∠ABI=12∠ABP ，∵∠APB=60°，∴∠PAB+∠PBA=120°，∴∠BAI+∠ABI=12（∠BAP+∠ABP ）=60°，∴∠AIB=120°，∴点I 的运动轨迹是 AB ，∴DI=DA ，∵∠AOB=2∠APB=120°，∵AD ⊥AB ，∴ AD BD=，∴∠AOB=∠BOD=60°，∵OA=OD ，∴△AOD 是等边三角形，∴AD=AO ，∵CD 是⊙O 的直径，∴∠DAC=90°，∵CD ⊥AB ，∴∠AED=90°，∴∠AED=∠CAD ，∵∠ADC=∠ADE ，∴△ADE ∽△CDA ，∴AD DE CD AD=，∴AD 2=DE•CD ，∵DI′=DI=AD ，∴DI 2=DE•CD ，∵∠I′DE 是公共角，∴△DIE ∽△DCI ，∴2IC CD IE DI==．7．【答案】（1）解：①C(4，0)，E(-1，5)；②（Ⅰ）当点(40)，在直线3y kx =+上时，430k +=，34k =-；（Ⅱ）当点(31)，在直线3y kx =+上时，331k +=，23k =-；（Ⅲ）当点(22)，在直线3y kx =+上时，232k +=，12k =-；结合图象可得3142k -≤≤-且23k ≠-；（2）解：直线333y x =-+与x 轴的交点M 坐标为()30，，与y 轴交点N 的坐标为(03，，∴tan 3NMO ∠=，∴30NMO ∠=︒，如图，作出线段MN 的垂直平分线，如图为两个临界情况：，利用待定系数法求得MN 垂直平分线解析式为y =，∴(0R -，，12230ORQ P RQ ∠=∠=︒，∴1112PR PQ ==，2222P R P Q ==，∴(10P ，(20P -，，∴t -≤<．8．【答案】（1）A 、B 、D（2）解：如图，依题意作⊙O 的“等直三角形”△TQP∴TQ=PQ ，∠TQP=90°过Q 点作MH //x 轴，交y 轴于M 点，过点P 作PH ⊥MH 于H 点∴∠TMQ=∠QHP=90°∴∠TQM+∠MTQ=∠TQM+∠HQP=90°∴∠MTQ=∠HQP∴△TMQ ≌△QHP （AAS ）∴TM=QH ，MQ=HP设Q （x ，y ）∴HM=MQ+QH=MQ+TM=x+3-y ，PH=MQ=x∴P （x-y+3，x+y ）∵C （3，0）∴∵∴CP OQ ．9．【答案】（1）BE ；3332-；等边；证明：B′D=BC CD ==，∴△DB'C 为等边三角形（2）310．【答案】（1）B ，C ；解：②如图2中，设点D 的坐标为(3)d d +，当过点D 的切线长为22r =时，OD ==由两点之间的距离公式得：OD =解得1221d d =-=-，结合图象可知，点D 的横坐标d 的取值范围是21d -≤≤-；（2）解：对于22y x =-当0y =时，220x -=，解得1x =，则点E 的坐标为(10)E ，当0x =时，2y =-，则点F 的坐标为(02)F -，⊙M 的半径为2，⊙M 的圆心为(0)M m ，24r ∴=，OM m=由题意，由以下两种情况：如图3-1中，点M 在点E 的右侧设FT 是⊙M 的切线则有两个临界位置：4FT =和点E 对应的切线长为0当4FT =时，则4OM m FT ===当点E 对应的切线长为0，即2EM =12EM m ∴=-=解得3m =结合图象得，当34m <≤时，线段EF 上的所有点都是⊙M 的伴随点②如图3-2和3-3中，点M 在点E 的左侧则有如下两个临界位置：如图3-2，设ET 是⊙M 的切线，连接MT ，则90MTE ∠=︒当4ET =时，2222245EM MT ET =+=+此时15m -=解得15m =-如图3-3，当⊙M 在直线EF 的左侧与EF 相切时，设切点为T ，连接MT∵(10)(02)E F -，，，∴12OE OF ==，∴22125EF =+=∵EF 是切线∴EF MT⊥∴90MTE FOE ∠=∠=︒∵MET FEO∠=∠∴MTE FOE~ ∴EM MTEF OF =，即22=解得EM =，即1m -=解得1m =-结合图象得，当11m -≤<-时，线段EF 上的所有点都是⊙M 的伴随点综上，m 的取值范围是11m -≤<-或34m <≤．11．【答案】（1）点C 、D ；22H x -≤≤-或22H x ≤≤（2）解： 图形G 是以原点O 为中心，边长为2的正方形，∴原点O 到正方形的最短距离是1d =，最长距离是d =，⊙K 与图形G 关于原点O “平衡”，∴原点O 到⊙K 上一点的距离1d ≤≤，⊙K 的圆心在x 轴上，半径为2，∴当⊙K 在x 轴正半轴时，圆心K 的横坐标的取值范围为：22x -≤≤+，当⊙K 在x 轴负半轴时，圆心K 的横坐标的取值范围为：22x --≤≤，综上所述，圆心K 的横坐标的取值范围22x -≤≤+或22x --≤≤．12．【答案】（1）解：①90°；②B ；③2π（2）解：413．【答案】（1）S(2，0)（2）解：①（4，0）或（8，0）；②如图，设直线y a =上的点Q 为点A 和直线2y =-的等距点，连接QA ，过点Q 作直线2y =-的垂线，垂足为点C ．点Q 为点A 和直线2y =-的等距点，QA QC ∴=．22QA QC ∴=．点Q 在直线y a =上，∴可设点Q 的坐标为()Q x a ，．()()22262x a a ∴-+=--⎡⎤⎣⎦．整理得2123240x x a -+-=．由题意得关于x 的方程2123240x x a -+-=有实数根．()()()212413241610a a ∴∆=--⨯⨯-=+≥．解得1a ≥-．（3）解：如图．直线l 1和直线l 2的等距点在直线l 3：33y x =-+上，直线l 1和y 轴的等距点在直线4l y =+：或33y x =+上，点O 与l 4的距离为32，点O 与l 3的距离为，点O 与l 5的距离为3，当r ＜时，n=0不符合题意，当r=时，m=2，n=0，符合题意，当＜r ＜3时，m=n=2，不符合题意，当r≥3时，m=2，n=3或4，符合题意，综上所述，r=或r≥3.14．【答案】（1）C（2）解：∵P （0，1），点A （﹣2，﹣1），点B （2，﹣1）．∴AP ＝BP ＝＝2，如图2，分别以PA 、PB 为直径作圆，交x 轴于点K 1、K 2、K 3、K 4，∵OP＝OG＝1，OE∥AB，∴PE＝AE＝，∴OE＝12AG＝1，∴K1（﹣1﹣，0），k2（1﹣，0），k3（﹣1，0），k4（1+，0），∵点K为点P与线段AB的共圆点，∴﹣1﹣≤x k≤1﹣或﹣1≤x k≤1+（3）解：分两种情况：①如图3，当M在点A的左侧时，Q为线段AM上一动点，以PQ为直径的圆E与直线y＝12x+3相切于点F，连接EF，则EF⊥FH，当x＝0时，y＝3，当y＝0时，y＝12x+3＝0，x＝﹣6，∴ON＝3，OH＝6，∵tan∠EHF＝ON EFOH FH＝36＝12，设EF＝a，则FH＝2a，EH＝a，∴OE＝6﹣a，Rt △OEP 中，OP ＝1，EP ＝a ，由勾股定理得：EP 2＝OP 2+OE 2，∴2221(6)a =+-，解得：a ＝2+（舍去）或2，∴QG ＝2OE ＝2（6﹣a ）＝﹣3+2，∴m≤3﹣2；②如图4，当M 在点A 的右侧时，Q 为线段AM 上一动点，以PQ 为直径的圆E 与直线y ＝12x+3相切于点F ，连接EF ，则EF ⊥FH ，同理得QG ＝3+2，∴m≥3+2，综上，m 的取值范围是m≤3﹣2或m≥3+215．【答案】（1）2（2）解：BC 与O 相切；理由：如图2，过点O 作OH BC ⊥于H ，连接OD ，∵O 与AB 相切于D ，∴OD AB ⊥，在Rt AOD 中，30BAC ∠=︒，∴24OA OD ==，∵8AC =，∴4OC =，在ABC 中，AB BC =，∴30C BAC ∠=∠=︒，在Rt OHC 中，30C ∠=︒，∴122OH OC OD ===，∴BC 与O 相切，（3）解：①当点O 在AC 的左侧时，连接OD 交AC 于F ，如备用图1，∵O 与AB 相切于D ，∴OD AB ⊥，∵OG AC ⊥，∴30FOG BAC ∠=∠=︒，在Rt FDA 中，tan FD BAC AD ∠=，∴tan 3FD AD BAC x =⋅∠=，∴23OF x =-，在Rt FOG 中，331cos 2322y OG OF FOG ⎛⎫==⋅∠=-⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭，即12y x =-+，此时x 的取值范围为0x ≤≤；②当点O 在AC 的右侧时，连接DO 并延长交AC 于F ，如备用图2，同①的方法得，33FD x =，∴23OF x =-，∵FD AB ⊥，∴90BAC AFD ∠+∠=︒，∴30FOG BAC ∠=∠=︒，在Rt FOG 中，331cos 2322y OG OF FOG x x ⎛⎫==⋅∠=-⨯- ⎪⎪⎝⎭，即12y x =-，此时x 的取值范围为1433x ≤≤．16．【答案】（1）0；2-（2）解：过点O 作OD ⊥AB 于点D ，∵点A(2-，0)，B(0，．∴2OA OB ==，，∴4AB ==，∵1122OA OB AB OD ⋅=⋅，∴112422OD ⨯⨯=⨯⨯∴DO =，∵d （⊙O ，线段AB ）=0，∴当⊙O 的半径等于OD 时最小，当⊙O 的半径等于OB 时最大，∴r r ≤≤（3）43423m -<<-17．【答案】（1）2y x =+（2）解：①当2d =时，()20D ，，设直线CD 的解析式为：y kx b =+，()02C ，，202k b b +=⎧∴⎨=⎩，解得：12k b =-⎧⎨=⎩，∴直线CD 的解析式为：y x =-+，设点M 的坐标为()2m m -+，，∴点M 的关联直线为：()212y mx m m x =-+=-+，∴点M 的关联直线经过定点()12N ，，如图2，过点O 作直线2y mx m =--+的垂线，垂足为H ，连接ON ，ON OH ∴≥，∴当点H与点N重合时，OH最大，即点O到点M的关联直线的距离最大，∴点O到点M=；2 d=②或2 3-18．【答案】（1）；3（2）解：设点G是O的特征值为4的点，∴经过一点G且弦长为4(最长弦)的直线有1条，弦长为3的直线有2条，弦长为2的直线有且只有1条， 经过点G的直线被O截得的弦长的最小值为2，=，∴关于O的特征值为4的所有点都在以O为半径的圆周上，直线y x b=+分别与x，y轴交于点A、B，()0A b∴-，，()B b，，OA OB b∴==，45OBH∴∠=︒，当0b>时，线段AB与以O为半径的圆相切时，点G特征值为4，设切点为为H，连接OH，则OH=，OB∴==，b∴=，设以O 为半径的圆与y 轴正半轴的交点记为1B ，则1OB =，当线段AB 与以O 1B 时，可得b =，b ≤≤同理可求当0b <时，b ≤≤，综上，b b b ≤≤-≤（3）当372122t -≤≤+时，存在点R ，S ，使得3r s +=。