1.2命题及其关系、充分条件与必要条件

第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·山东，6)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α ，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.(2016·四川，5)设p ：实数x ，y 满足x>1且y>1，q ：实数x ，y 满足x ＋y>2，则p 是q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(2016·浙江，6)已知函数f(x)＝x 2＋bx ，则“b ＜0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.(2015·山东，5)若m ∈R, 命题“若m>0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( )A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m≤0C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m≤05.(2015·天津，4)设x ∈R ，则“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.(2015·重庆，2)“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件7.(2015·福建，12)“对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，ksin xcos x ＜x”是“k ＜1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8.(2015·安徽，3)设p ：x<3，q ：－1<x<3，则p 是q 成立的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件9.(2015·陕西，6)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10.(2015·湖南，3)设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11.(2015·浙江，3)设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件12.(2014·陕西，8)原命题为“若a n＋a n＋12＜a n，n∈N＋，则{a n}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A．真，真，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假13.(2014·新课标全国Ⅱ，3)函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则()A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件14.(2014·北京，5)设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件15.(2014·广东，7)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的()A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件16.(2015·四川，15)已知函数f(x)＝2x，g(x)＝x2＋ax(其中a∈R)．对于不相等的实数x1，x2，设m＝f(x1)－f(x2)x1－x2，n＝g(x1)－g(x2)x1－x2，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1，x2，都有m＞0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n ＞0；③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ；④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n.其中真命题有________(写出所有真命题的序号)．B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·云南师范大学附属中学第七次月考)若p ：φ＝2kπ＋π2(k ∈Z)，q ：f(x)＝sin(x ＋φ)是偶函数，则p 是q 的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件2.(2016·成都市高三一诊)命题“若x≥a 2＋b 2，则x≥2ab”的逆命题是( )A.若x ＜a 2＋b 2，则x ＜2abB.若x≥a 2＋b 2，则x ＜2abC.若x ＜2ab ，则x ＜a 2＋b 2D.若x≥2ab ，则x≥a 2＋b 23.(2016·河南三市一调)若x ，y ∈R ，则x>y 的一个充分不必要条件是( )A.|x|>|y|B.x 2>y 2C.x>yD.x 3>y 34.(2016·江西重点中学盟校一联)b ＝－1是直线y ＝x ＋b 过抛物线y 2＝4x 焦点的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(2015·惠州市一调)命题“若x 2＜1，则－1＜x ＜1”的逆否命题是( )A.若x 2≥1，则x≥1或x≤－1B.若－1＜x ＜1，则x 2＜1C.若x ＞1或x ＜－1，则x 2＞1D.若x≥1或x≤－1，则x 2≥16.(2015·邢台市高三摸底)“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.(2016·江西九校联考)记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a)的定义域为集合B.若“x ∈A”是“x ∈B”的充分条件，则实数a 的取值范围为________.8.(2015·河源模拟)对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“a ＝b”是“ac ＝bc”的充要条件；②“a ＋5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；③“a ＞b”是“a 2＞b 2”的充分条件；④“a ＜5”是“a ＜3”的必要条件.其中真命题的序号是________.9.(2016·烟台诊断)已知命题p ：关于x 的方程4x 2－2ax ＋2a ＋5＝0的解集至多有两个子集，命题q：1－m≤x≤1＋m，m>0，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.解析 若直线a 和直线b 相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a 和直线b 可能平行或异面或相交，故选A.答案 A2.解析 当11x y >>，时，+2x y >一定成立，即p q ⇒；当+2x y >时，可以=-1=4x y ，，即q p ⇒， 故p 是q 的充分不必要条件.答案 A3.解析 由题意知f(x)＝x 2＋bx ＝⎝⎛⎭⎫x ＋b 22－b 24， f(x)min ＝－b 24，令t ＝x 2＋bx≥－b 24， 则f(f(x))＝f(t)＝t 2＋bt ＝⎝⎛⎭⎫t ＋b 22－b 24， 当b ＜0时，f(f(x))的最小值为－b 24，所以“b ＜0”能推出“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”； 当b ＝0时，f(f(x))＝x 4的最小值为0，f(x)的最小值也为0，所以“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”不能推出“b ＜0”，选A.答案 A4.解析 原命题为“若p ，则q”，则其逆否命题为“若綈q ，则綈p”．∴所求命题为“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m≤0”．答案 D5.解析 从原命题的真假入手，由于a n ＋a n ＋12＜a n ⇔a n ＋1＜a n ⇔{a n }为递减数列，即原命题和逆命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选A.答案 A6.解析 由|x －2|＜1得1＜x ＜3，所以1＜x ＜2⇒1＜x ＜3；但1＜x ＜31＜x ＜2，故选A.答案 A7.解析 解x 2－2x ＋1＝0得x ＝1，所以“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的充要条件． 答案 A8.解析 ∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，ksin xcos x ＜x ⇔∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，k ＜2x sin 2x， 令f(x)＝2x －sin 2x.∴f′(x)＝2－2cos 2x ＞0，∴f(x)在⎝⎛⎭⎫0，π2为增函数，∴f(x)＞f(0)＝0. ∴2x ＞sin 2x ，∴2x sin 2x＞1，∴k≤1，故选B. 答案 B9.解析 ∵x<3－1<x<3，但－1<x<3⇒x<3，∴p 是q 的必要不充分条件，故选C. 答案 C10.解析 ∵sin α＝cos α⇒cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝0；cos 2α＝0⇔cosα＝±sinαsinα＝cosα，故选A.答案 A11.解析 由x ＞1知，x 3＞1；由x 3＞1可推出x ＞1.故选C.答案 C12.解析 当a ＝3，b ＝－1时，a ＋b ＞0，但ab ＜0，故充分性不成立；当a ＝－1，b ＝－2时，ab ＞0，而a ＋b ＜0.故必要性不成立．故选D.答案 D13.解析 设f(x)＝x 3，f′(0)＝0，但是f(x)是单调增函数，在x ＝0处不存在极值， 故若p 则q 是一个假命题，由极值的定义可得若q 则p 是一个真命题．故选C.答案 C14.解析 可采用特殊值法进行判断，令a ＝1，b ＝－1，满足a ＞b ，但不满足a 2＞b 2， 即条件“a ＞b”不能推出结论“a 2＞b 2”；再令a ＝－1，b ＝0，满足a 2＞b 2，但不满足a ＞b ， 即结论“a 2＞b 2”不能推出条件“a ＞b”．故选D.答案 D15.解析 由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，故a≤b ⇔sin A≤sin B ，选A. 答案 A16.解析 设A(x 1，f(x 1))，B(x 2，f(x 2))，C(x 1，g(x 1))，D(x 2，g(x 2))，对于①：从y ＝2x 的图象可看出，m ＝k AB ＞0恒成立，故正确；对于②：直线CD 的斜率可为负，即n ＜0，故不正确；对于③：由m ＝n 得f(x 1)－f(x 2)＝g(x 1)－g(x 2)，即f(x 1)－g(x 1)＝f(x 2)－g(x 2)，令h(x)＝f(x)－g(x)＝2x －x 2－ax ，则h′(x)＝2x ·ln 2－2x －a ，由h′(x)＝0，∴2x ·ln 2＝2x ＋a ，(*)结合图象知，当a 很小时，方程(*)无解，∴函数h(x)不一定有极值点，就不一定存在x 1，x 2使f(x 1)－g(x 1)＝f(x 2)－g(x 2)，不一定存在x 1，x 2使得m ＝n ；对于④：由m ＝－n ，得f(x 1)－f(x 2)＝g(x 2)－g(x 1)，即f(x 1)＋g(x 1)＝f(x 2)＋g(x 2)，令F(x)＝f(x)＋g(x)＝2x ＋x 2＋ax ，则F′(x)＝2x ln 2＋2x ＋a ，由F′(x)＝0，得2x ln 2＝－2x －a ，结合如图所示图象可知，该方程有解，即F(x)必有极值点，∴存在x 1，x 2使F(x 1)＝F(x 2)，得m ＝－n.故①④正确．答案 ①④B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.解析 当φ＝2kπ＋π2(k ∈Z)时，f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2kπ＋π2＝cos x ， 当f(x)＝sin(x ＋φ)是偶函数时，φ＝kπ＋π2(k ∈Z). 所以p 是q 的充分不必要条件.答案 B2.解析 原命题条件和结论对换得到逆命题，可知选D.答案 D3.解析 由|x|>|y|，x 2>y 2未必能推出x>y ，排除A ，B ；由x>y 可推出x>y ，反之，未必成立，而x 3>y 3是x>y 的充要条件，故选C.答案 C4.解析 抛物线的焦点坐标为(1，0)，y ＝x ＋b 过点(1，0)⇔b ＝－1，所以是充要条件，故选C.答案 C5.解析 根据原命题和逆否命题条件和结论的关系，可知命题“若x 2＜1，则－1＜x ＜1”的逆否命题为“若x≥1或x≤－1，则x 2≥1”.答案 D6.解析 由两直线平行，可得⎩⎪⎨⎪⎧a （a －2）＝3×1，a×1≠3×1，即a ＝－1，当a ＝－1时，两直线分别为 x －3y －3＝0和x －3y ＋1＝0，可知两直线平行.答案 C7.解析 不等式x 2＋x －6<0的解集为A ＝(－3，2)，函数y ＝lg(x －a)的定义域为B ＝(a ，＋∞).由“x ∈A”是“x ∈B”的充分条件，得实数a 的取值范围为(－∞，－3].答案 (－∞，－3]8.解析 ①中“a ＝b”可得ac ＝bc ，但c ＝0时ac ＝bc ⇒a ＝b ，所以不是充要条件； ②正确；③中a ＞b 时a 2＞b 2不一定成立，所以③错误；④中“a ＜5”得不到“a ＜3”，但“a ＜3”可得出“a ＜5”，“a ＜5”是“a ＜3”的必要条件，正确. 答案 ②④9.解 ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴p 是q 的充分不必要条件.对于命题p ，依题意知Δ＝(－2a)2－4·4(2a ＋5)＝4(a 2－8a －20)≤0，∴－2≤a≤10，令p ：P ＝{a|－2≤a≤10}，q ：Q ＝{x|1－m≤x≤1＋m ，m>0}，由题意知P Q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m>0，1－m<－2，1＋m≥10或⎩⎪⎨⎪⎧m>0，1－m≤－2，1＋m>10，解得m≥9.因此实数m 的取值范围是{m|m≥9}.。

第一篇集合与常用逻辑用语专题1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件【考纲要求】1．理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，3. 会分析四种命题的相互关系．4．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.【命题趋势】1. 判断命题的真假．2．写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题等．3．常以函数、不等式等知识为载体，考查一个命题是另一个命题的什么条件．4．求一个命题的充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件，或已知充要条件求参数的取值范围等. 【核心素养】本讲内容主要考查数学运算和逻辑推理的核心素养.【素养清单•基础知识】1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能模棱两可.2．四种命题及其相互关系3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；①A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A；②A 的充分不必要条件是B 是指：B ⇒A 且AB ，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．(2)如果q ⇒p ，则p 是q 的必要条件； (3)如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作p ⇔q ，则p 是q 的充要条件．充要关系与集合的子集之间的关系设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q(x )}，①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．②若A ØB ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件．③若A ＝B ，则p 是q 的充要条件．【素养清单•常用结论】1．四种命题中的等价关系原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时，往往找等价命题进行证明．2．等价转化法判断充分条件、必要条件p 是q 的充分不必要条件，等价于非q 是 非p 的充分不必要条件．其他情况以此类推．【真题体验】1.（2019·全国Ⅱ卷文、理7）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ）A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面 2.（2019·全国Ⅲ卷文11）记不等式组6,20x y x y +⎧⎨-≥⎩…表示的平面区域为D .命题:(,),29p x y D x y ∃∈+…；命题:(,),212q x y D x y ∀∈+….下面给出了四个命题①p q ∨ ②p q ⌝∨ ③p q ∧⌝ ④p q ⌝∧⌝这四个命题中，所有真命题的编号是（ ）A ．①③B ．①②C ．②③D ．③④ 3.（2019·天津卷文、理3）设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.（2019·浙江卷5）若a ＞0，b ＞0，则“a +b ≤4”是 “ab ≤4”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.(2018·天津卷)设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6.(2018·北京高考) 设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7. (2018·北京高考) 设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考法拓展•题型解码】考法一四种命题的相互关系及其真假判断解题技巧：与四种命题有关的问题的解题策略(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．【例1】(1)(2019·邹平双语学校月考)已知命题p：若x＜－3，则x2－2x－8＞0，则下列叙述正确的是() A．命题p的逆命题是“若x2－2x－8≤0，则x＜－3”B．命题p的否命题是“若x≥－3，则x2－2x－8＞0”C．命题p的否命题是“若x＜－3，则x2－2x－8≤0”D．命题p的逆否命题是真命题(2)(2019·长治二中月考)设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是()A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题(3)已知命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是()A．否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”，是真命题B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题C．逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题D．逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题考法二充分条件、必要条件的判断解题技巧:充分条件、必要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．(2)集合法：根据p，q成立的对应集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，常用的是逆否等价法．①¬q是¬p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件；②¬q是¬p的必要不充分条件⇔p是q的必要不充分条件；③¬q是¬p的充要条件⇔p是q的充要条件．【例2】(1)(2018·北京卷)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2017·北京卷)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考法三充分条件、必要条件的应用误区防范:充分条件、必要条件的应用的注意点充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式能否取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．【例3】 (1)已知条件p ：|x －4|≤6；条件q ：(x －1)2－m 2≤0(m >0)．若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是( )A ．[21，＋∞)B ．[9，＋∞)C ．[19，＋∞)D ．(0，＋∞)(2)已知条件p ：|x －4|≤6；条件q ：(x －1)2－m 2≤0(m >0)．若¬p 是¬q 的充分不必要条件，则m 的取值范围为__________．【易错警示】易错点 逻辑关系与集合关系的转化出错【典例】 (2019·广东六校联考)“不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A ．m ＞14B ．0＜m ＜1C ．m ＞0D ．m ＞1【错解】：A【错因分析】：是充分条件、必要条件、充要条件对应集合关系的转化上出现了失误．事实上，充要条件时参数取值集合是必要不充分条件时参数取值集合的真子集．【正解】【答案】C【解析】不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立，则Δ＝1－4m ＜0，所以m ＞14.所以“不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是m ＞0.误区防范：注意区分以下两种不同的说法(1)A 是B 的充分不必要条件，是指A ⇒B 但B ⇒/A ．(2)A 的充分不必要条件是B ，是指B ⇒A 但A ⇒/B ．以上两种说法在充要条件的推理判断中经常出现且容易混淆，在解题中一定要注意问题的设问方式，弄清它们的区别，以免出现错误判断．【跟踪训练】 已知p ：1x －2≥1，q ：|x －a |<1，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为__________． 【递进题组】1．(2019·南昌二中月考)命题“已知a ＞1，若x ＞0，则a x ＞1”的否命题为( )A ．已知0＜a ＜1，若x ＞0，则a x ＞1B ．已知a ＞1，若x ≤0，则a x ＞1C ．已知a ＞1，若x ≤0，则a x ≤1D ．已知0＜a ＜1，若x ≤0，则a x ≤12．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．03．(2019·北京四中期中)设a ，b 是实数，则“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是“到达奇伟、瑰怪，非常之观”的__________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．5．已知“(x －t )2>3(x －t )”是“x 2＋3x －4<0”成立的必要不充分条件，则实数t 的取值范围为__________．【考卷送检】一、选择题1．已知命题p ：正数a 的平方不等于0，命题q ：若a 不是正数，则它的平方等于0，则q 是p 的( )A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．否定2．(2018·天津卷)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．原命题为“△ABC 中，若cos A <0，则△ABC 为钝角三角形”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真、真、真B ．假、假、真C ．真、真、假D ．真、假、假4．(2018·浙江卷)已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是() A．a≤4 B．a≥4C．a≤5 D．a≥56．(2019·北京东城期末)下列四个选项中错误的是()A．命题“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”的逆否命题是“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”B．存在x0∈R，使x20＋2x0＋3＝0C．“若α＝β，则sin α＝sin β”的逆否命题为真命题D．“x＞2”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要条件二、填空题7．已知命题p：若a>b>0，则log12a<log12b＋1，命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为________．8．能够说明“设a，b，c是任意实数，若a＞b＞c，则a＋b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．9．记不等式x2＋x－6<0的解集为集合A，函数y＝lg(x－a)的定义域为集合B．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为________．三、解答题10．写出“若x＝2，则x2－5x＋6＝0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．11．已知函数f(x)＝lg(x2－2x－3)的定义域为集合A，函数g(x)＝2x－a(x≤2)的值域为集合B．(1)求集合A，B；(2)已知命题p：m∈A，命题q：m∈B，若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．12．已知p：A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，q：B＝{x|x2－2mx＋m2－9≤0，x∈R，m∈R}．(1)若A∩B＝[1,3]，求实数m的值；(2)若p是¬q的充分条件，求实数m的取值范围．13．(2019·商南高中模拟)在△ABC中，设命题p：asin B＝bsin C＝csin A，命题q：△ABC是等边三角形，那么命题p是命题q的()A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件。

解析： a＞b⇒/ ac2＞bc2，原因是 c 可能为 0，而若 ac2＞bc2， 则可以推出 a＞b， 故“a＞b”是“ac2＞bc2” 的必要不充分条件，故选 B.
答案：
B
第一章 集合与常用逻辑用语
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2．(2010· 杭州二模)已知命题 p：“若 a＞b＞0， 1 1 则 log a＜log b＋1”，则命题 p 的逆命题、否命 2 2 题、逆否命题中真命题的个数为( ) A． 0 B．1 C． 2 D． 4
第一章 集合与常用逻辑用语
栏目导引
解析： (1)∵(x－2)(x－3)＝0⇒/ x－2＝0(可能 x－3＝0)， 但 x－2＝0⇒(x－2)(x－3)＝0， ∴p 是 q 的必要不充分条件． (2)∵四边形的对角线相等⇒/ 四边形是平行四边形， 四边 形是平行四边形⇒/ 四边形的对角线相等， ∴p 是 q 的既不充分也不必要条件． (3)∵(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1 且 y＝2⇒(x－1)(y－2)＝ 0，而(x－1)(y－2)＝0⇒/ (x－1)2＋(y－2)2＝0. ∴p 是 q 的充分不必要条件． (4)∵在△ABC 中，大边对大角，大角对大边． ∴∠A＞∠B⇒BC＞AC，同时，BC＞AC⇒∠A＞∠B， ∴p 是 q 的充要条件．
2．命题“若 a∉A，则 b∈B”的否命题是( ) A．若 a∉A，则 b∉B B．若 a∈A，则 b∉B C．若 b∈B，则 a∉A D．若 b∉B，则 a∈A
答案：
B
3．(2010· 广东卷)“x＞0”是“ x2＞0”成立的 ( ) A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．非充分非必要条件 D．充要条件 3 2 3 2 解析： 因为当 x＞0 时，一定有 x ＞0，但当 x 3 2 ＞0 时，x＜0 也成立，因此，x＞0 是 x ＞0 成立的 充分非必要条件． 答案： A

§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念概念方法微思考若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．提示若A B，则p是q的充分不必要条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A B，则p是q的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件；若A⃘B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“对顶角相等”是命题．(√)(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(×)(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(√)(4)已知集合A，B，则A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.(√)题组二教材改编2．下列命题是真命题的是()A．矩形的对角线相等B．若a>b，c>d，则ac>bdC．若整数a是素数，则a是奇数D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题答案 A3．命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是____________________________．答案两直线不平行，同位角不相等4．已知△ABC的三边分别为a，b，c，那么“a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca”是“△ABC为等边三角形”的________条件．答案充要题组三易错自纠5．设S n为数列{a n}的前n项和，“{a n}是递增数列”是“{S n}是递增数列”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 D解析若a n＝2n－10，则S4<S3，∴充分性不成立．若a n＝1，则{S n}递增，此时{a n}递减，n∴必要性不成立．6．(多选)设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是()A．x<1 B．x>1 C．x>－1 D．x>3答案BC命题及其关系1．命题“若xy ＝0，则x ＝0”的逆否命题是( ) A ．若xy ＝0，则x ≠0 B ．若xy ≠0，则x ≠0 C ．若xy ≠0，则y ≠0 D ．若x ≠0，则xy ≠0答案 D解析 “若xy ＝0，则x ＝0”的逆否命题为“若x ≠0，则xy ≠0”． 2．已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的方差也相等； ③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切．其中真命题的序号是________． 答案 ①③3．命题“若a<0，则一元二次方程x2＋x＋a＝0有实根”与其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是________．答案 2解析当a<0时，Δ＝1－4a>0，所以方程x2＋x＋a＝0有实数根，故原命题为真；根据原命题与逆否命题真假一致，可知其逆否命题为真；逆命题为：“若方程x2＋x＋a＝0有实根，，显然a<0不一定成立，则a<0”，因为方程有实根，所以判别式Δ＝1－4a≥0，所以a≤14故逆命题为假；根据否命题与逆命题真假一致，可知否命题为假．故真命题的个数为2. 4．给出以下命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③若ab是正整数，则a，b都是正整数；④若f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)单调递减．其中为真命题的是________．(写出所有真命题的序号)答案①解析①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然①为真命题；②否命题为“不全等三角形的面积不相等”，但不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③若ab是正整数，则a，b不一定都是正整数，例如a ＝－1，b＝－3，故③为假命题；④构造函数f(x)＝x，g(x)＝－x，则f(x)－g(x)＝2x，显然f(x)－g(x)单调递增，故④为假命题．综上①为真命题．思维升华(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写．②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．(2)判断一个命题为真命题，需要推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．充分、必要条件的判定例1 (1)(2019·皖南八校联考)“1x >1”是“e x －1<1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 ∵1x >1，∴x ∈(0,1)．∵e x －1<1，∴x <1.∴“1x>1”是“e x －1<1”的充分不必要条件．(2)若集合A ＝{x |x 2－5x ＋4<0}，B ＝{x ||x －a |<1}，则“a ∈(2,3)”是“B ⊆A ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 A ＝{x |1<x <4}，B ＝{x |a －1<x <a ＋1}．∵B ⊆A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥1，a ＋1≤4，即2≤a ≤3，∵(2,3)[2,3]，∴“a ∈(2,3)”是“B ⊆A ”的充分不必要条件．(3)已知条件p ：x >1或x <－3，条件q ：5x －6>x 2，则綈p 是綈q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由5x －6>x 2，得2<x <3，即q ：2<x <3. 所以q ⇒p ，p ⇏q ，所以綈p ⇒綈q ，綈q ⇏綈p ， 所以綈p 是綈q 的充分不必要条件，故选A. 思维升华 充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p ，q 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．跟踪训练1 (1)王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的( ) A ．充要条件 B ．既不充分也不必要条件 C ．充分不必要条件 D ．必要不充分条件答案 D解析 非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件． (2)设p ：⎝⎛⎭⎫12x<1，q ：log 2x <0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 由⎝⎛⎭⎫12x <1知x >0，所以p 对应的集合为(0，＋∞)，由log 2x <0知0<x <1，所以q 对应的集合为(0,1)，显然(0,1)(0，＋∞)，所以p 是q 的必要不充分条件．充分、必要条件的应用例2 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围．解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}．由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2， ∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件， 即所求m 的取值范围是[0,3]．本例中，若x ∉P 是x ∉S 的必要条件，求m 的取值范围．解 若x ∉P 是x ∉S 的必要条件，则x ∉S ⇒x ∉P ， ∴x ∈P ⇒x ∈S ，∴P ⊆S ， 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≤－2，1＋m ≥10，∴m ≥9，故m 的取值范围是[9，＋∞)．若本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P是x ∈S 的充要条件．解 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，方程组无解，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练2 (1)已知p ：1≤x ≤2，q ：(x －a )(x －a －1)>0，若p 是綈q 的充要条件，则实数a 的值为________． 答案 1解析 綈q ：(x －a )(x －a －1)≤0，∴a ≤x ≤a ＋1.由p 是綈q 的充要条件知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，a ＋1＝2，∴a ＝1.(2)设p ：|2x ＋1|<m (m >0)；q ：x －12x －1>0.若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为__________． 答案 (0,2]解析 由|2x ＋1|<m (m >0)，得－m <2x ＋1<m ， ∴－m ＋12<x <m －12，且－m ＋12<0，由x －12x －1>0，得x <12或x >1.∵p 是q 的充分不必要条件， ∴m －12≤12，∴0<m ≤2.1．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．否定答案 B解析命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．2．(2019·人大附中阶段考)命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是()A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1答案 D解析原命题的逆否命题是把条件和结论都否定后，再交换条件和结论，注意“－1<x<1”的否定是“x≥1或x≤－1”．3．已知命题p：若a<1，则a2<1，下列说法正确的是()A．命题p是真命题B．命题p的逆命题是真命题C．命题p的否命题是“若a<1，则a2≥1”D．命题p的逆否命题是“若a2≥1，则a<1”答案 B解析已知命题p：若a<1，则a2<1，如a＝－2，则(－2)2>1，命题p为假命题，所以A不正确；命题p的逆命题是若a2<1，则a<1，为真命题，所以B正确；命题p的否命题是若a≥1，则a2≥1，所以C不正确；命题p的逆否命题是若a2≥1，则a≥1，所以D不正确．故选B. 4．命题“若m>－1，则m>－4”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为() A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析原命题为真命题，从而其逆否命题也为真命题；逆命题“若m>－4，则m>－1”为假命题，故否命题也为假命题，故选B.5．“log2(2x－3)<1”是“4x>8”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由log2(2x－3)<1⇔0<2x－3<2⇔32<x<52，4x>8⇔2x>3⇔x>32，所以“log2(2x－3)<1”是“4x>8”的充分不必要条件，故选A.6．若“x>1”是“不等式2x>a－x成立”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是() A．a>3 B．a<3 C．a>4 D．a<4答案 A解析若2x>a－x，即2x＋x>a.设f (x)＝2x＋x，则函数f (x)为增函数．由题意知“2x＋x>a成立，即f (x )>a 成立”能得到“x >1”，反之不成立．因为当x >1时，f (x )>3，∴a >3. 7．(多选)若x 2－x －2<0是－2<x <a 的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 BCD解析 由x 2－x －2<0，解得－1<x <2. ∵x 2－x －2<0是－2<x <a 的充分不必要条件， ∴(－1,2)(－2，a )，∴a ≥2. ∴实数a 的值可以是2,3,4.8．(多选)下列叙述中不正确的是( )A ．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充要条件是“b 2－4ac ≤0”B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2>cb 2”的充要条件是“a >c ”C ．“a <1”是“方程x 2＋x ＋a ＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件D ．“a >1”是“1a <1”的充分不必要条件答案 AB解析 A 错误，当a ＝0，b ＝0，c <0时，满足b 2－4ac ≤0，但此时ax 2＋bx ＋c ≥0不成立，故若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充要条件是“b 2－4ac ≤0”错误； B 错误，若a ，b ，c ∈R ，“a >c ”且b ＝0时，推不出“ab 2>cb 2”，故错误；C 正确，若方程x 2＋x ＋a ＝0有一个正根和一个负根，则Δ＝1－4a >0，x 1x 2＝a <0，则a <0，又“a <1”是“a <0”的必要不充分条件，故正确；D 正确，“a >1”⇒“1a <1”但是“1a<1”推不出“a >1”，故正确．9．已知命题“非空集合M 中的元素都是集合P 中的元素”是假命题，那么下列命题中________为真命题．(填序号) ①M 中的元素都不是P 中的元素； ②M 中有不属于P 的元素； ③M 中有属于P 的元素； ④M 中的元素不都是P 中的元素． 答案 ②④10．下列命题中为真命题的是________．(填序号) ①命题“若x >1，则x 2>1”的否命题；②命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题； ③命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题； ④命题“若a >b ，则ac >bc ”的逆否命题． 答案 ②解析 对于①，命题“若x >1，则x 2>1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x 2＝4>1，故①为假命题；对于②，命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题为“若x >|y |，则x >y ”，分析可知②为真命题；对于③，命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故③为假命题；对于④，命题“若a >b ，则ac >bc ”为假命题，所以它的逆否命题为假命题．11．已知f (x )是R 上的奇函数，则“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的__________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要解析 ∵函数f (x )是奇函数，∴若x 1＋x 2＝0，则x 1＝－x 2，则f (x 1)＝f (－x 2)＝－f (x 2)，即f (x 1)＋f (x 2)＝0成立，即充分性成立；若f (x )＝0，满足f (x )是奇函数，当x 1＝x 2＝2时，满足f (x 1)＝f (x 2)＝0，此时满足f (x 1)＋f (x 2)＝0，但x 1＋x 2＝4≠0，即必要性不成立．故“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的充分不必要条件．12．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，B ＝{x |－1<x <m ＋1，m ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是____________． 答案 (2，＋∞)解析 因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8＝{x |－1<x <3}，x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，所以A B ，所以m ＋1>3，即m >2.13．(2020·深圳模拟)对于任意实数x ，〈x 〉表示不小于x 的最小整数，例如〈1.1〉＝2，〈－1.1〉＝－1，那么“|x －y |<1”是“〈x 〉＝〈y 〉”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 令x ＝1.8，y ＝0.9，满足|x －y |<1，但〈1.8〉＝2，〈0.9〉＝1，〈x 〉≠〈y 〉，可知充分性不成立．当〈x 〉＝〈y 〉时，设〈x 〉＝x ＋m ，〈y 〉＝y ＋n ，m ，n ∈[0,1)，则|x －y |＝|n －m |<1，可知必要性成立．所以“|x －y |<1”是“〈x 〉＝〈y 〉”的必要不充分条件．故选B. 14．设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 (x －1)2＋(y －1)2≤2表示以(1,1)为圆心，以2为半径的圆内区域(包括边界)；满足⎩⎨⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，故p 是q 的必要不充分条件，故选A.15．(2019·山西运城测试)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 2－x －6≤1，B ＝{x |log 3(x ＋a )≥1}，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，0]解析 由⎝⎛⎭⎫13x 2－x －6≤1，得x 2－x －6≥0，解得x ≤－2或x ≥3，则A ＝{x |x ≤－2或x ≥3}．由log 3(x ＋a )≥1，得x ＋a ≥3，即x ≥3－a ，则B ＝{x |x ≥3－a }．由题意知B A ，所以3－a ≥3，解得a ≤0.16．(2019·南昌模拟)已知r >0，x ，y ∈R ，p ：|x |＋|y |2≤1，q ：x 2＋y 2≤r 2，若p 是q 的必要不充分条件，则实数r 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎦⎤0，255解析 画出|x |＋|y |2≤1表示的平面区域(图略)，由图可得p 对应的平面区域是一个菱形及其内部，当x >0，y >0时，可得菱形的一边所在的直线的方程为x ＋y2＝1，即2x ＋y －2＝0.由p 是q 的必要不充分条件，可得圆x 2＋y 2＝r 2的圆心(0,0)到直线2x ＋y －2＝0的距离d ＝222＋1＝255≥r ，又r >0，所以实数r 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，255.。